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ESCUELA POLITECNICA DEL

EJRCITO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCION

CALCULO DE COMPENSACION

Juan Carlos Sani

CONSULTA:

Condiciones de sistemas de ecuaciones

Nmeros de condicin

Nmeros de Turing

PERIODO MARZO 12-JULIO 12

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CONDICIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas pueden ser:

Sistemas bien condicionados

Son aquellos en los que un pequeo cambio en uno o ms coeficientes del sistema provoca uncambio similarmente pequeos en la solucin del sistema.

Sistemas mal condicionados

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales, es necesario analizar si el resultado calculado es

confiable pues puede ocurrir que los valores obtenidos no tengan la precisin esperada. Un

caso especial se presenta en sistemas que son sensibles a los errores de redondeo

introducidos en los datos y en los clculos.

Si suponemos que los coeficientes de la matriz representan datos obtenidos mediante algn

tipo de medicin y que el clculo de la solucin es un proceso que puede introducir errores,

entonces esto debe interpretarse como un indicio de que la solucin es afectada

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fuertemente por los pequeos errores de los coeficientes, en consecuencia la solucin no es

confiable.

Estos sistemas son muy sensibles a los cambios en los coeficientes y tambin a los errores de

redondeo en el clculo de la solucin y se denominan sistemas mal condicionados.

Una interpretacin grfica ayuda a entender este problema.

En el ejemplo se observa que los coeficientes correspondientes de las ecuaciones tienen valores

muy cercanos. Cada ecuacin es una recta en el plano y sus pendientes tendrn valores muy

cercanos, por lo tanto, al graficarlas se obtendrn rectas casi paralelas:

Geomtricamente, la solucin del sistema es la interseccin de ambas rectas. Si tienen

pendientes muy cercanas, la interseccin no estar claramente definida. En consecuencia, alcambiar alguno de los coeficientes, el punto de interseccin se desplazar significativamente.

Segn lo anterior, un procedimiento experimental para detectar si un sistema lineal es mal

condicionado consiste en modificar ligeramente el valor de alguno de los coeficientes y observar si el

vector solucin cambia significativamente.

Si se detecta este problema, debe entenderse que el sistema contiene ecuaciones muy cercanas

o que tienen algn tipo de relacin, y por lo tanto deben revisarse los datos y las consideraciones

usadas para generar el modelo matemtico. Esta situacin puede extenderse a sistemas con

ms ecuaciones

NMEROS DE CONDICIN

El nmero de condicin de una matriz es una definicin para cuantificar su nivel de

mal condicionamiento.

Definicin:

Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces

cond(A) = || A || || A-1 || es el nmero de condicin de la matriz A.

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Si la matriz tiene filas casi linealmente dependientes, su determinante tomar un valor

muy pequeo y su inversa tendr valores muy grandes, siendo esto un indicio de que la matriz

es mal condicionada o casi singular.

Cotas para el nmero de condicin:

El nmero de condicin no cambia si la matriz es multiplicada por alguna constante:

Si la matriz tiene valores muy pequeos, su determinante ser muy pequeo, su inversa

contendr valores grandes y la norma de la matriz inversa tambin tendr un valor grande. Si el

nmero de condicin solo dependiera de esta norma, tendra un valor grande aunque la matriz

no sea mal condicionada. Por esto, y usando la propiedad anotada anteriormente, es necesario

multiplicar por la norma de la matriz original para que el nmero de condicin no dependa

nicamente del determinante de esta matriz.

Una matriz puede considerarse mal condicionada si una ligera variacin en la matriz de

coeficientes produce un cambio muy significativo en el vector solucin.

Para el ejemplo inicial de este

A: matriz original

A: matriz perturbada

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X: vector solucin con la matriz original

X: vector solucin con la matriz perturbada

E: matriz o vector con la variacin

Porcentaje de variacin de la matriz de coeficientes:

Porcentaje de variacin en la solucin:

La variacin en la solucin es muy significativa respecto a la variacin en la matriz de

coeficientes. Se concluye que es un sistema mal condicionado.

El nmero de condicin y el error en la solucin calculada

La expresin establece que la magnitud del error relativo en la solucin est relacionada con el

error en los datos de la matriz y con el nmero de condicin de la matriz A. El nmero de

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condicin es un factor que amplifica al error en los datos E.

NMEROS DE TURING

Sea A una matriz n n con coeficientes reales invertible, y b Rn. Estamos interesados en

resolver el sistema A x = b, y queremos estudiar cmo se afecta la solucin si se perturban los

datos ingresados (input) A y b. Sera conveniente conocer de antemano cun distante es la

solucin del sistema perturbado x de la solucin del sistema x. O sea saber de antemano cual es la

sensibilidad de la solucin a las perturbaciones en el input.

Con tales fines existe una cantidad que nos da una

medida de esa sensibilidad. Dicha cantidad se denomina nmero de condicin y fue identificada por

Turing. El nmero de condicin es definido por:

Es en este artculo que Turing introduce el nmero de condicin de una matriz cuadrada.

Probaremos ms adelante en el Teorema 1 que se cumple la siguiente desigualdad:

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De donde se obtiene:

( )

(() )

T1 es el valor del sistema sin que exista una variacin; mientras que el T2 ya existe una

pequea variacin pero esta no debe ser mayor al doble de T 1 para que sea un sistema

condicionado.

NMEROS DE TODD

Estos nmeros de condicionamiento se utilizaron en el uso de la teora de matrices

para investigar el fenmeno de aeroelasticidad.

P =

( )

Ejercicio

A1 2

3 -4

( )

det

1 2 - 1 0 = 03 -4 0 1

2

+ 3 - 10 = 0

1 = 2

2 = -5

P =

P =

= 2.5

BIBLIOGRAFIA

Mtodos Numricos; Cuarta Edicin, Steven C. Chapra, Raymond P. Canale.

http://www.ugr.es/~mpasadas/ftp/Tema3_apuntes.pdf

http://www.ugr.es/~mpasadas/ftp/Tema3.pdf

http://pcmap.unizar.es/~mpala/MatII_lecci/9normiterslin.pdf

www.slideshare.net/.../mtodos-numricos-06 - Estados Unidos

http://mat21.etsii.upm.es/algebra2/clases/clases0203/tema07/NormasyCondicion_

6.pdf

det1 - 2 = 03 -4 -

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