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MATEMATICAS GRADO 8

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GUIA DE CONTENIDOS BASICOS MATEMATICAS 8

VERSION REDUCIDA DE LA ORIGINAL

DOCENTE

HENRY PIERCE

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Unidad 1

NUMEROS REALES

Numeros racionales La siguiente actividad está encaminada a que los alumnos clasifiquen los números Racionales en tres tipos, según su representación decimal. Dividiendo el numerador entre el denominador, calcula el numeró decimal Correspondiente a:

Seguidamente, definiremos los tres tipos de números decimales (racionales) que se pueden encontrar. Daremos pues, la noción de decimal exacto

Decimal finito _ 5 / 3 = 1.3333333… o 1.3 decimal infinito periódico Todo número racional se puede representar por una expansión decimal no Periódica finita o por una expansión decimal infinita periódica (o simplemente por una expansión decimal periódica). Esta sesión la dedicaremos a pasar de: fracción a decimal y de decimal a fracción, mediante la fracción generatriz. La idea es que el alumno, aprenda a pasar de una expresión a otra

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Conversión de racionales

Fracción generatriz

Se darán los procesos para calcular la fracción generatriz: Todo número decimal periódico se puede escribir en forma fraccionaria siguiendo estos Pasos: 1. Decimal exacto: Convertir 1.75 x = 1, 75. Se multiplica por 100: 100x = 175, (se multiplica por 10n donde n es el numero de cifras decimales ) se despeja x y se Simplifica:

Convertir 0.5 X = 0.5 10 x = 5

X = = Convertir 8.224 X = 8.224 1000x = 8224

X = =

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2. Numero decimal periódico puro:

Convertir 2.3636… x = 2, 3636. . Se multiplica por 100 : 100x = 236, 3636. . se deja el numero x como esta x = 2, 3636 Se restan ambas igualdades 100x = 236, 3636. x = 2, 3636. . _______________ 99x = 234 Luego se despeja

X = se simplifica si es posible

Convertir 0.33… X = 0.333… 10X = 3.333… X = 0.333… ___________ 9x = 3

X = =

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3. Numero decimal periódico mixto:

Convertir 1.7555… 7 x = 1, 7555.. Se multiplica por 100: 100x = 175. 555 . . también se multiplica por 10: 10x = 17. 555 . . .. Se restan ambas igualdades: 100x = 175. 555 10x = 17. 555 _____________ 90X = 158 Se despeja

X = = x = 1, 7555 . . .

Convertir 0.1666… x = 0.12666… Se multiplica por 1000: 1000x = 126. 666. . también se multiplica por 100 : 100x = 12.666 . .. Se restan ambas igualdades: 1000x = 126. 666.. 100x = 12. 666… _____________ 900X = 114

Se despeja X = =

A practicar. Un rectángulo mide 5, 2222 . . . cm de largo y 3, 5555 . . . cm de ancho.

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Expresa su área en forma fraccionaria.

DATOS HISTORICOS

• La regla de los signos de la multiplicación:

+ por + da + - por - da + - por + da - + por - da -

apareció por primera vez en un libro publicado en Francia en el siglo XV.

Entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los números hay cierta analogía: dos negaciones seguidas equivalen a una afirmación.

Introducción a los números irracionales

Números irracionales. Aproximación y errores Al terminar la sesión, pediremos a los alumnos que realicen un trabajo tratara sobre los números La idea es que descubran por sı mismos hasta que punto estos números influyen en la Ciencia, la Naturaleza y el Arte. En esta sesión veremos el concepto de numero irracional como un numero que no se Puede expresar como fracción. Veremos ejemplos de números irracionales como el

número el numero e, y el numero áureo Estudiaremos las aproximaciones y los errores.

Operemos con estos números

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Reflexione sobre esta imposibilidad hasta comprender realmente.

proponemos las siguientes actividades: 1) El numero e, bautizado por Leonard Euler, uno de los matemáticos mas Influyentes del siglo XV III, del que se sabe, se pueden ir calculando aproximaciones

Dando valores a n (potencias de 10) en la expresión Utiliza la calculadora para encontrar algunas aproximaciones del numero e. ¿Entre que números enteros consecutivos crees que esta? Utiliza la calculadora para obtener un valor aproximado de e. 2) El numero 0, 50500500050000 . . . ¿es un numero racional? ¿Crees que lo puedes clasificar en algún tipo de decimal?

3) Sabiendo que = 1, 414213562 . . ., di si las siguientes aproximaciones son por defecto o por exceso: a. 1, 41415 b. 1, 4142146 c. 1, 414226 d. 1, 41421367 4)Escribe cuatro aproximaciones del numero , dos por defecto y dos por exceso. Utiliza la calculadora para hallar aproximado. ¿Cuantas cifras exactas da la calculadora? Trunca y redondea a las décimas, centésimas y milésimas.

5) Sabiendo que 1, 5 < < 1, 9, calcula dos aproximaciones por defecto y dos por exceso de p3. Utiliza la calculadora. 6) El numero aureo es un numero que maravillo a los antiguos griegos ya que representaba

la proporcionalidad perfecta. Se define el numero laureo como Halla tres aproximaciones por defecto y tres por exceso.

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7). Halla el error absoluto generado al tomar las siguientes aproximaciones de a) 0, 11 b) 0, 111 c) 0, 1111 8). Una circunferencia tiene 36 m de longitud y su diámetro mide 12 m. ¿Es correcta esta afirmación? 9). Clasifica en racionales e irracionales los siguientes números: a) 0, 454545. . . ; b) 34, 7 b32; c) 4, 3467510076. . . d) −52, b34; e) −61, 067068095. . .

Construcción grafica de algunos irracionales

¿Qué punto le corresponde en la recta numérica a los números irracionales .

Para ubicar estos números en la recta, se necesita regla y compás. 1. Se traza una recta y se ubica en ella el punto cero y un segmento de longitud 1, con extremos O y 1,como muestra la figura. 2. A partir del extremo 1, se dibuja un segmento de longitud 1, perpendicular al segmento entre O y1, con extremos 1 y P. 3. Se forma un triángulo rectángulo trazando el segmento OP o hipotenusa. Los catetos del triángulo son los segmentos 01 y 1P. 4. Hallamos la longitud de la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras:

5. Ahora, con ayuda del compás, se traslada la longitud de la hipotenusa con

medida . sobre la recta. Para ello, con centro en O y radio OP, se traza el arco de circunferencia, hasta tocar la recta en el punto Q.

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actividad

Ahora completa la grafica de las otras raíces irracionales hasta la raíz de 11

Ubicaciones de expresiones irracionales en la recta

Determine sobre una misma recta real los puntos que

representan a: 0, 1,

luego se hace

la traslación

Datos curiosos

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El origen de los signos + y - no se conoce con certeza. Hay varias opiniones. Una de ellas supone que surgieron de las marcas hechas con tiza en las cajas de mercaderías, por los comerciantes alemanes del siglo XV, para indicar las diferencias de peso en más o en menos según un patrón establecido

El conjunto de los números Reales

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo R, simbólicamente escribimos: R = Q U Q’ Operaciones definidas en el conjunto de los números reales En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos adición y multiplicación. Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado es un numero real.

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición clausurativa

Conmutativa Suma a+b = b+a Multiplicación ab = ba

Asociativa Suma

a+(b+c)=(a+b)+c

Multiplicación a(bc) = (ab)c Distributiva Suma

respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac

Identidad Suma a + 0 = a

Multiplicación a x 1= a

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POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES propiedades de la potenciaciónLas siguientes propiedades se cumplen ∀ a, b, c ∈ R y n, m ∈ Z

Multiplicación an · am = an + m a3·a2 = (a·a·a)(a·a) = a5

División an : am = an – m a 0

Potencia de un producto (a·b)n = an·bn

Potencia de un cociente

Potencia de una potencia

Potencia de exponente cero a0 = 1 a 0

Potencia negativa a-n = a 0

Exponentes racionales n IN

Inversos Suma

a + ( -a) = 0

Multiplicación

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Toda potencia de exponente racional puede expresarse con

el símbolo , denominado raíz.

Datos historicos

Los cinco poliedros regulares se conocían en el siglo VI a. J.C. por Pitágoras y sus discípulos. Para ellos tenían un sentido simbólico: el tetraedro representaba el fuego; el cubo, la Tierra; el octaedro, el aire; el icosaedro, el agua y el dodecaedro, el universo en su integridad.

Radicación en los numeros reales Propiedades: Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces:

1 ) ( ) aann=

Ejemplo: ( ) 171744=

2 ) n a > 0 Ejemplo: 021287 >=

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3 ) n impar ⇒ n a– < 0 Ejemplo: 09–729–3 <=

4 ) aan n=

Ejemplo: 885 5=

5 ) n impar ⇒ ( ) a–a–n n=

Ejemplo: ( ) 4–4–7 7=

6 ) n par ⇒ ( ) aa–n n=

Ejemplo: ( ) 555– 4 44 4==

Observación: a ∈ R ⇒ 2a = | a |

7 ) nnn baba =× Ejemplos: 464322 333 ==× 2724924998 =×=×=

8 ) nn

n

ba

b

a=

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Ejemplos: 3

333

2000 20001000 10

22= = =

1415

196

1519615

==

9 ) nmm nn m aaa ==

Ejemplo: 288 33==

Datos históricos

El signo = para las igualdades fue utilizado por primera vez por el inglés Robert Recorbe en 1557 apareciendo por primera vez en su libro "El aguzador del ingenio", siendo el primer tratado inglés de álgebra. Según el autor, eligió ese símbolo porque dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas. El símbolo se generalizó hacia finales del siglo XVII. Descartes utilizó un

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CONEXIÓN CON LAS MATEMATICAS

LA DESCENDENCIA DE UNA PAREJA DE HORMIGAS

Cuando una especie animal encuentra dificultades para reproducirse, la Naturaleza pone remedio y permite que sea inmenso el número de huevos o crías que van a permitir el correcto desarrollo de la especie.

Hagamos un pequeño cálculo para demostrar de qué manera crecería la descendencia de una hormiga y cómo las dificultades que encuentran en el medio, aniquilan millones de ellas.

Supongamos que cada hormiga pone 100 huevos y que en el curso de un verano se alcancen seis generaciones de hormigas. En la primera generación saldrán 100 hormigas, de ellas 50 hembras; de estas 50 hembras, en la segunda generación salen 5000 hormigas, de las cuales 2500 serán hembras ... y siguiendo el proceso, en la sexta generación aparecerían

1 562 500 000 000 hormigas

que puestas en fila, cubrirían unas 20 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. Está claro que las cosas no suceden así. Son relativamente pocos huevos los que prosperan y dan lugar a individuos adultos.

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Unidad 2

Introducción al lenguaje algebraico

En las matemáticas, se usa un lenguaje que facilita la resolución de problemas y operaciones con una o varias cantidades desconocidas. Ejemplo: La herencia, el ambiente externo, la temperatura y el periodo de insolación son factores muy importantes para el crecimiento, además de la alimentación. De los tres años a la prepubertad (10 u 11 años para las niñas y 13 o 14 para los niños), el promedio de crecimiento es de 5 o 6 cm cada año. En las vacaciones de verano, Guillermo creció 2 cm, y 1 cm en lo que va de este curso. Si su estatura actual es de 152 cm, ¿cuánto tenía de altura al finalizar el curso anterior? Se puede resolver por medio de la siguiente expresión:

Resolviendo:

e + 3 = 152 e = 149

Resultado: Tenía una estatura de 149 cm al finalizar el curso anterior. A la expresión de enunciados con letras que simbolizan cantidades desconocidas, se les llama expresiones algebraicas. Las siguientes, son expresiones escritas en lenguaje común y en lenguaje algebraico. a) Un número aumentado en cuatro unidades: n + 4 b) La diferencia de dos números distintos: x – y c) El producto de dos números distintos: p q

d) La mitad de un número:

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Ecuaciones de primer grado

Para resolver las ecuaciones:

1º ) Quitar denominadores, si los tiene. Para ello se multiplica ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º ) Quitar paréntesis, si los tiene.

3º ) Pasa todos los términos que contenga la incógnita a un lado de la igualdad y los demás al otro lado.

Recordar que todo sumando de un lado de la igualdad pasa al otro con el signo opuesto. Se le suma en ambos lados el opuesto del número que queremos eliminar. Si está multiplicando, se elimina multiplicando ambos lados por el inverso del número que queremos eliminar de ese lado.

Ejemplo:

3·x -5 = 7

3·x - 5 + 5 = 7 + 5

3·x + 0 = 12

(1/3) · 3·x = (1/3) · 12

x = 12/3 = 4

Resumiendo, en una igualdad puede hacer lo que le convenga (sumar o multiplicar por un número, hacer una raíz, etc) siempre que lo haga en ambos lados de ella.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:

3x + 1 = x - 2.

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

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2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:

Problema 1

El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :

x = edad del hermano menor.

A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:

x + 3 : edad del hermano mediano

x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Ecuación : suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:

Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.

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Problema 2 Dos ciudades A y B están separadas por una distancia de 98 kilómetros. Un ciclista sale de la ciudad A hasta la ciudad B a una cierta velocidad. A la misma hora que salio el ciclista anterior, salio otro de la ciudad B con rumbo a la ciudad A, a una velocidad de 1 kilómetro por hora mas aprisa que el primer ciclista. Si ambos se encuentran después de 2 horas, determine la velocidad de cada uno. Solución

Sea: d1: distancia recorrida por el ciclista que va de A a B, al cabo de 2 horas. d2: distancia recorrida por el ciclista que va de B a A, al cabo de 2 horas. x: Velocidad del ciclista que va de A a B x + 1: Velocidad del ciclista que va de B a A Entonces: d1 = x · 2 d2 =2 (x + 1) d1 + d2 = 98 Por lo que: x · 2 + (x + 1)2 = 98 x · 2 + (x + 1)2 = 98 2x + 2x + 2 = 98 4x = 98 - 2 4x = 96 x =96 / 4 x = 24 Respuesta: La velocidad del ciclista que va de A a B es de 24Km/h y la velocidad del ciclista que va de B a A es de 25Km/h.

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UNIDAD 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ÁLGEBRA INTRODUCCIÓN

Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

HISTORIA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que

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Importancia del algebra

El algebra es un lenguaje universal sus fundamentos son los mismos en Colombia hasta china.

Practica tras práctica es lo único que garantiza el éxito. El algebra para bien se relaciona con muchísimas áreas de conocimiento de ahí su importancia, la encuentra aplicadas en tu pasatiempo favorito.

Ventajas del Algebra:

- Es un lenguaje relativamente sencillo y fácil de aprender - Es muy productivo (Lo ocupas desde la cocina hasta la astronomía) - Es un lenguaje universal. (Funciona aquí y en todo el mundo) - Es muy divertido trabajar con el Algebra!

Requisitos para Aprender Algebra

- Deseos de querer aprender.

Un buen libro para practicar y comprobar otros procedimientos

- Persistencia para practicar.

- Honestidad para no copiar ejercicios o tareas.

- Humilde para reconocer errores.

- Sencillo para compartir su conocimiento con lo que no entienden.

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1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos. Coeficiente 3a2 Grado Parte literal Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

…………..Los hay de todas clases

Clases de expresiones algebraicas:

quede claro que losa expresiones se conforman de uno o varios terminos considerándose términos aquéllas expresiones que están separadas por signos + , - 1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2 2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy 3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio. Ej: 5x2 + 4y5 – 6x2y 4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Determinación del grado de una expresión algebraica

Para determinar el grado de una expresión de un solo termino se deben sumar los exponentes de los literales

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Cuando una expresión se compone de varios términos el grado se determina con el término de mayor grado con respecto a una letra

1) 234 x18x21x6 −+ polinomio de 4 grado

2) x15x2x 23 −+ polinomio de 3 grado

3) 21m11m2 2 −+ polinomio de 2 grado

Valor numérico de las expresiones algebraicas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: Si a= 1 b = 2

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Reducción de términos semejantes Se consideran términos semejantes a aquellos términos que tienen igual parte Literal con su correspondiente grado. Para reducir los términos se suman o se restan sus valores según sean los signos de los coeficientes y el resultado queda con la misma parte literal

Datos históricos

De los tres pueblos orientales (chino, indio y árabe) que influyeron en el progreso de las matemáticas, fueron los indios los más importantes en aportaciones originales: conservaron los trabajos de los griegos, inventaron el sistema de numeración decimal, el uso del cero como símbolo operatorio, establecieron diferencias entre números enteros positivos y negativos, que interpretaron como créditos y débitos.

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UNIDAD 4

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SUMA DE POLINOMIOS 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes:

Datos históricos

La primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las Matemáticas es Hypatia de Alenjandría (s.1V-V d.c.) .que inicio sus actividades con Euclides y continuo con grandes matematicos como Arquímedes, Apolonio y Pappus. La obra de Hypatia se centro en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y en el trabajos originales sobre curvas cónicas.

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RESTA DE POLINOMIOS 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante

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TALLER

1) sumar los siguientes polinomios: a) 3x2 + 2x -2 ; -2x2 +5x +5 b) 12m2 + 9m -10 ; 8m2+ 3m +15 c) 5x3 + 6x2 – 3x +1 ; 5x4 –6x3 +2x –5 ; d) 8a5 –6a3 +6a+5 ; 17a5 + 3a3 + 4a -7 e) -3cd4 +6d2 +2cd –1 ; -3d2 +2cd +1; f ) 4x2 + 20xy + 25y2 ; 16y2 + 24y + 9 ; x2 - 8x + 16 g) x2 - 4x + 3 ; x2 - 2x – 15 ; 3x – 2 h) 5x3 - 55x2 + 140x ; 3x3 + 12x2 - 2x – 8 ; x3 – 27 i ) 12m2n + 24m3n2 - 36mn ; 4m2n2 + 24mn - 28m2 ; 9mn + mn – 3 j ) 36a2 - 12a + 1 ; ab - 2a - 5b + 10 ; 25 - 4a2 + 8ª –b 2) restar los siguientes polinomios a) 12m2 + 9m -10 de 8m2+ 3m +15 b) x2 - 4x + 3 de 12 - 4x - x2 c) 9mn + mn – 3 de 4m2n2 + 24m2n - 28m2 + 5 d) 6x2 - 7x – 5 de 3x3 + 12x2 - 2x – 8 f) 3a2 + 10ab + 7b2 de 6a2 + 23ab - 4b2 g) 6ab + 4a - 15b - 10 de ab + 3a + 2b + 6 3) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios: 1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas 2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas 3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul. A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.

Nº bolitas blancas

Nº bolitas azules

Total bolitas

Inicio b a a + b 1º 2º 3º

4) hallar el perímetro de las siguientes figuras

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y 12. y x x P = ________________ P = ____________________

MULTIPLICACIÓN

En esta sección se mostrara como realizar la multiplicación entre monomios, polinomio por monomios y entre polinomios Se multiplica cada término monomio o del polinomio por cada uno de los términos del polinomio, o del monomio el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los números entre si. c. se multiplica la parte literal sumando entre si los exponentes que de los literales semejantes entre si. Ejemplo entre monomios:

x x

x x

x x x x

y

x x y

0,5y 0,5y

1,5x 1,5x

1,5x 1,5x

x+y

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Ejemplo, monomio por polinomio ( aplicar la propiedad distributiva )

Ejemplo polinomio por polinomio

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Calculo de aéreas y perímetros Es muy importante en todo proceso algebraico la aplicación el los cálculos geométricos tales como el calculo de áreas volúmenes, perímetros. que nos permitirán hallar expresiones que generalicen la expresión mas adecuada en cada caso.

Perímetro = 2(2x+x) + 2(y+2y) area = se suman todas las areas 6x + 6y independientemente = 2xy + xy + 4xy + 2xy 9xy

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DIVISION

en la división de polinomios se analizan la las diferentes situaciones y casos tale como la división entre monomios , polinomio entre monomio y entre polinomios : Para realizar dichas operaciones hay que dividir los coeficientes entre si y los literales que sean iguales entre si, se les restan sus exponentes division entre monomios

División polinomio entre monomio (se aplica la propiedad distributiva )

Datos curiosos La paradoja de Aquiles y la tortuga En una carrera entre Aquiles y una tortuga, el rápido Aquiles no logrará nunca alanzar a la lenta tortuga si ésta goza de una ventaja inicial; en efecto, mientras él recorre la distancia asignada, la tortuga habrá obtenido una nueva ventaja, creándose otra vez la situación de partida, y así hasta el infinito. Es indudablemente cierto que la distancia entre Aquiles y la tortuga irá disminuyendo cada vez más, pero ¡nunca quedará reducida a cero!

-7a2b2

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Division entre polinomios División entre polinomios, este es un proceso un tanto complicado pero se puede llegar a hacer siendo muy atento a cada proceso de su desarrollo. 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

MATEMATICAS GRADO 8

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CONEXIÓN CON LAS MATEMATICA

EL INVENTOR DEL AJEDREZ

El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara.

El matemático contestó:

- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden.

Se necesitaría la cantidad de:

264 granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granos

¿Sabes leer ese número?:

Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo.

En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado.

Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.

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PRODUCTOS NOTABLES

cuadrado de un binomio 1. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Cada término, una vez desarrollados los paréntesis, se desarrolla para obtener el resultado final

Desarrollar:

MATEMATICAS GRADO 8

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taller

1) resolver los siguientes cudardos de un binomio 1) (2x + 3)2

2) (2x – 3)2

3) (2x3 + 2x)2

4) (2x + y2)2

5) (x + 3) 2

6) (x – 2) 2

7) (3 + xy)2

8) (x2 – 2)2

9) (y – 9)2

10)

−++

+2

3222

22

4

13

5

23

8

3abbaabab

2) Escribe un polinomio lo más reducido posible para el área total del siguiente cuerpo: 3) Completa el dato que falta: a) c) 11 ) hallar la expresión para las siguientes figuras

2x + 1

10 x

x

10

x - y

x + y

área :_________

área: x2 – 25

x + 5

MATEMATICAS GRADO 8

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CUBO DE UN BINOMIO 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −

Escribir por simple inspección, el resultado de:

3) (2a + 4b)3 = 23a3 + 3 (2a)2(4b) + 3 (2a) (4b)2 + 43b3

= 8a3 + 3⋅4a2⋅4b + 3⋅2a ⋅16b2 + 64b3

= 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3. R.

MATEMATICAS GRADO 8

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Producto de dos binomios de la forma ( x + a)(x + b )

1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes

Escribir por simple inspección, el resultado de:

b) (x +5) (x-4)

x 4

x- 4

5 x

(x +5) (x +4) x2 +5x – 4x –20 x2 + x - 20

MATEMATICAS GRADO 8

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Producto de la suma por la diferencia de dos cantid ades

1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de:

Ejercicios 1.3

a. (2x + 3)(2x – 3)

b. (x + 8)(x – 8)

c. (xy + 3)(3 – xy)

d. (x3 + 2y)(x3 – 2y) e. (4x - 5y)(4x + 5y) f. (y – 9) (y + 2) g. (x + 3) (x + 5) h. (x – 3) (x – 5)

i. (x + 5) (x + 8) j. (12 + xy)(12 - xy) k. (6 + 5a)(6 - 5a) l. (5 + 2a)(5 - 2a) m. (4mn+3p)(4mn - 3p) n. (x - 3)(x - 1) o. (x - 5)(x + 3) p. (x - 9y)(x + 2y)

2 ) (x – y ) ( x + y )

y x

x y

MATEMATICAS GRADO 8

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Triángulo de pascal

Para obtener los factores de los coeficientes en el desarrollo de un binomio. mediante el triángulo de Pascal, se procede de la siguiente manera: 1. Se forma el triangulo de pascal hasta formar la fila cuyo segundo número es el exponente del binomio (aquí lo vamos a construir hasta la fila que nos muestra los factores de los coeficientes para un exponente n = 9): a. En la primera fila se escribe 1 b. En la segunda fila se escribe 1 y 1 c. A partir de la tercera fila se comienza escribiendo 1 y luego se escriben los resultados de las sumas de dos números consecutivos en la fila anterior 2. A partir del Triángulo de Pascal, se toman los factores de los coeficientes de los términos en el desarrollo del binomio

Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en el vínculo que tiene con la álgebra elemental. En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades:

y

pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generaliza a cualquier potencia del binomio 'a + b

MATEMATICAS GRADO 8

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UNIDAD 5

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL La factorización es muy importante en el álgebra. No sólo la aprendemos para expresar un polinomio como un producto de factores también la utilizamos para: simplificar expresiones racionales, efectuar operaciones (suma, resta, multiplicación y división) de expresiones racionales y resolver ecuaciones que contienen expresiones racionales, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas. En la factorización se analizaran los diferentes casos entre ellos los mas importantes tales como: Factor común monomio “ “ polinomio “ “ por agrupación de términos Trinomio cuadrado perfecto (T C P) Diferencia de cuadrados (D C) Trinomio de la forma x2 + bx + c Trinomio de la forma ax2 + bx + c Suma y diferencias de cubos perfectos Descomposición factorial por la regla de Rufinni (división sintética) Factores la idea que nos dan los factores es la de convertir una expresión en forma de varios productos (factores)

MATEMATICAS GRADO 8

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FACTOR COMÚN P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)

MATEMATICAS GRADO 8

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Factor común polinomio

Este caso es cuando el factor común esta representado por un polinomio y se efectúa teniendo en cuenta los criterios de caso anterior

Factor común por agrupación de términos

1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis Factorar o descomponer en dos factores:

MATEMATICAS GRADO 8

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Diferencia de cuadrados perfectos

1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. Factorar o descomponer en dos factores:

MATEMATICAS GRADO 8

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Trinomio cuadrado perfecto

Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales. 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado. Factorar o descomponer en dos factores:

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TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c

1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio Factorar o descomponer en dos factores:

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TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c Para factor izar esta clase de trinomios se lleva a la forma

Este trinomio se diferencia del anterior por tener un coeficiente diferente de 1 en su primer término. Y para resolverlo se deben seguir las siguientes indicaciones 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 4. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador. Factorar o descomponer en dos factores:

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suma o diferencia de cubos perfectos 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos 3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz a3 + b3 = ( a + b ) (a2 – ab + b2 ) a3 - b3 = ( a - b ) (a2 + ab + b2 ) Descomponer en dos factores:

Suma o diferencia de dos potencias

iguales Se aplican los siguientes criterios:

MATEMATICAS GRADO 8

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Factorar:

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LOS DOBLECES DE UNA HOJA DE PAPEL Si doblamos un folio por la mitad, se tienen dos cuartillas y cuatro páginas. Si volvemos a doblar se forman 8 páginas, doblando una tercera vez se obtienen 16, la siguiente vez, se formará un cuadernillo de 32 páginas... Si dispusiéramos de una hoja de papel suficientemente grande (como la de un periódico), no podríamos doblarla por la mitad muchas veces, llegaría un momento en que el grosor del cuadernillo formado sería tan grande que costaría mucho trabajo. Como estamos en la sección de "Números muy grandes" veamos algunos ejemplos: Supongamos una hoja de papel muy fino, papel de seda, de un grosor de tan solo 1 milésima de centímetro: Si la doblaras 10 veces; el grosor del cuadernillo formado sería:

210 = 1024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente.

Si el número de dobleces fueran 17: 217 = 131 072 milésimas de cm = 1'3 metros

Si pudiéramos doblarla 27 veces:

227 = 134 217 728 milésimas de cm = 1342 metros.

Y puestos a imaginar, si pudiéramos hacerle 50 dobleces a la hoja de papel de seda, la pila de papel obtenida alcanzaría una altura sorprendente:

250 = 1 125 899 906 842 624 milésimas de cm = 11 258 999 068 metros. ¡ Más de 11 millones de Km. !

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Regla general para factorizar expresiones algebraicas Dependiendo del numero de términos

MATEMATICAS GRADO 8

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POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI

En algunos casos es conveniente factor izar los polinomios mediante divisiones

sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la

forma (x ± a)

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x

por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la

expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ejemplo: x4+6x3+x2-24x+16 El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16 16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para

los divisores de 16.

Probamos con 2 : Si x4+6x3+x2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16 2

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

(x3+2x2-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

1. Bajas el primer cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso

2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes 3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar

4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)

MATEMATICAS GRADO 8

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(x2+3x-4) (x-1) (x+4)

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

= (x+4)2 (x-1)2

Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplaz amos en el polinomio

original.

= x4 + 6x3 + x2 - 24x + 16

= (-4)4 + 6(-4) + (-4)2 - 24(-4) + 16

= 256-384+16+96+16

= 0 es lo que debe suceder

Ejemplo2. x 3-3x-2

1 0 -3 -2 1

1 1 -2

1 1 -2 -4 NO

1 0 -3 -2 -1

-1 +1 +2

1 -1 -1 0 SI

(x2-x-2) (X-1) El trinomio es de la 2da. Forma

(x-2) (x+1) (x-1)

5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2 en su lugar ponemos cero

MATEMATICAS GRADO 8

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Comprobación:

= x3-3x-2

= (-1)3 – 3(-1) – 2

= -1 + 3 -2

= 0

= (+5)3 – 8(+5)2 + 16(+5) -5

= 125-200+80-5

= 0 es lo que debe darnos

EJERCICIOS: FACTORIZA APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI .

1) a3+6a2+12a+8

2) a4-13a2+36

3) a4-5a2+4

4) m3+m2-13m-28

5) x3-3x-2

6) m3-4m2+m+6

7) y3+12y+6y2+8

8) x3+2x2-6-5x

9) 1+12y+48y2+64y3

10) y3-4y2+6+y

Datos historicos

Euler

Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i (inicial de imaginario). Ese mismo año nacía Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que dio una interpretación geométrica a los números complejos ¿Casualidad?. (v. Recta de Euler). Demostró el teorema de Fermat (v.) para n=3, pero cometió un grave error

MATEMATICAS GRADO 8

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UNIDAD 6

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de fracciones 1. Se transforma el numerador y denominador con el propósito de identificar los factores comunes 2. Se cancelan los factores comunes en numerador y denominador Simplificar o reducir a su más simple expresión:

MATEMATICAS GRADO 8

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Simplificación de fracciones cuyos términos sean po linomios 1. Se factor izan los polinomios en el numerador y denominador 2. Se simplifican las expresiones, suprimiendo los factores comunes en el numerador y denominador Simplificar o reducir a su más simple expresión:

MATEMATICAS GRADO 8

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Ejercicio 3.1 1) simplificar las siguientes fracciones representadas por monomios

1) 3

2

8

12

x

yx

2) 252

243

24

50

cba

cba

3)25

45

25

15

zxy

zyx−

4) 45

54

12

60

ba

ba

5) xx

xx

ba

ba )3(218 +

6) 712

534

−+

−+

aa

aa

yx

yx

MATEMATICAS GRADO 8

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Operaciones con fracciones

Suma de fracciones Para sumar fracciones se procede de la siguiente manera: 1. Se simplifican las fracciones 2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.) 3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo 4. Se expresa la suma de los productos obtenidos en el paso anterior en un sólo numerador 5. El denominador de la fracción resultante es el m.c.d. 6. Se reducen los términos semejantes en el numerador 7. Se simplifica Simplificar:

MATEMATICAS GRADO 8

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Multiplicación de fracciones 1. Se factorizan las expresiones en los numeradores y denominadores 2. Se simplifica, cancelando los factores comunes en numeradores y denominadores 3. Se multiplican entre sí las expresiones ubicadas en los numeradores, el resultado será el numerador de la fracción producto; asimismo, se multiplican entre sí las expresiones escritas en los denominadores, este producto será el denominador de la fracción resultado. Consejo: Para realizar los ejercicios siguientes es indispensable dominar por completo la factorización, por lo cual recomiendo que se estudie primero, concienzudamente, S i m p l i f i c a r :

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División de fracciones Para efectuar la división de fracciones se procede de la siguiente forma: 1. Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y, viceversa, el denominador se ubica en el numerador) y, se procede a multiplicar el dividendo por este divisor invertido 2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes: a) Se factorizan las expresiones b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores c) Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; luego, para el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores Consejo : Para realizar los ejercicios siguientes es indispensable dominar por completo la factorización, por lo cual recomiendo que se estudie primero concienzudamente los 10 casos de factorización (Ejercicios 89 a 110). S i m p l i f i c a r :

MATEMATICAS GRADO 8

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Ecuaciones fraccionarias y algebraicas

Llamaremos ecuaciones fraccionarias a aquellas ecuaciones donde aparezcan fracciones y Llamaremos ecuaciones enteras a aquellas donde no aparezcan fracciones (excepto tal vez en algunos cocientes ). Como sabemos resolver ecuaciones enteras, la estrategia para resolver ecuaciones fraccionarias será convertirlas en ecuaciones enteras. Cómo lograremos eso? Multiplicando ambos Miembros de la ecuación por un mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores Que aparezcan.

El mcm de 3 , 8 y 6 24

MATEMATICAS GRADO 8

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Denominadores Polinomios

Factorizando los denominadores tenemos

Entonces el mcm es

MATEMATICAS GRADO 8

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Unidad 7

RELACIONES Y FUNCIONES Uno de los aspectos más importantes en la ciencia es establecer relaciones entre varios tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la relación es posible hacer predicciones. Por ejemplo, a un economista le gustaría ser capaz de predecir las tasas de interés, un ingeniero puede usar una fórmula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas.

Veamos particularmente qué ocurre con la matemática.

Considere el conjunto la representación gráfica del producto A x A se llama Producto Cartesiano y se lee " A cruz A " se hace mediante un diagrama cartesiano, como se ve en la figura:

MATEMATICAS GRADO 8

64

Suponga que de todos los puntos de Ax A sólo necesitamos a aquellos que cumplen la siguiente ‚ condición: en lenguaje matemático decimos: "La suma de sus componentes es 8 o mayor que 8 "ß

Representación Gráfica Generalmente una relación se representa por el Método de la flecha, en forma de tabla, como conjunto de pares ordenados, en forma gráfica o en forma de Ecuación.

MATEMATICAS GRADO 8

65

El primero como su nombre lo dice se traza una flecha del dominio al Codominio. En forma de tabla se escribe el dominio en la primera columna y el Codominio en la segunda. Como conjunto de pares ordenados de números reales, se escribe el conjunto de puntos separados por una coma. Y en forma gráfica, se marcan los correspondientes puntos del conjunto en el plano cartesiano ésta recibe el nombre de gráfica de la relación. ejemplo: Forma de Flechas

Esta forma de diagrama indica que la Relación es una Correspondencia de A en A. Una relación de un conjunto A sobre el conjuntoA también se puede escribir como:

Suponga otra relación que va de un conjunto a un conjunto , como el siguiente ejemplo:

MATEMATICAS GRADO 8

66

y los pares que la forman son:

El conjunto A se llama de PARTIDA El conjunto B se llama de LLEGADA Se llama DOMINIO de la relación al conjunto de los elementos de A que están relacionados con los de B, son los del par ordenado En la relación el Dominio es el conjunto de los. primeros elemento :

Se llama RECORRIDO de la relación al conjunto de aquellos elementos de B con los que se han relacionados los elementos de A, son los del par ordenado. segundos elementos determine el dominio y recorrido

MATEMATICAS GRADO 8

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Plano cartesiano

El Plano Cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamada cada una Eje, y y eje x que se intersecan en un par común llamado Origen, el cuál es (0, 0) Cada par de coordenadas (x, y ) se llama Punto .

Función lineal Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo

y = mx +b

pendiente

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

m = y2 – y1 X2 – x1

MATEMATICAS GRADO 8

68

trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos según las coordenadas que elegidas:

Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.

¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos ?, hemos restado. La resta (diferencia) se representa por el símbolo ∩; de allí que al restar x obtuvimos ∩x (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos ∩y ( diferencial y ). Así el cateto adyacente. y el cateto opuesto están representados por ∩x y por ∩y respectivamente.

¿Qué función trigonométrica relaciona ∩x y ∩y con el ángulo del triángulo?, la tangente.

Recuerde que:

son paralelas si y solo si:

son perpendiculares si y solo si:

Grafica de funciones lineales

Para graficar todo tipo de gráficos lineales es necesario determinar los valores para x los cuales Están dentro del dominio de los racionales y luego se reemplazan en la ecuación lineal de tipo y = mx + b Ej : graficar la funcion y = 2x + 3 Se establecen los valores para x Dominio : {-2, 2 }

x -2 -1 0 1 2 y -1 1 3 5 6

Y = 2 ( -2 ) + 3 = - 4 + 3 = - 1 Y= 2 ( -1 ) + 3 = - 2 + 3 = 1

MATEMATICAS GRADO 8

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Y= 2 ( 0 ) + 3 = 0 + 3 = 3 ( punto de corte en y ) Y= 2 ( 1 ) + 3 = 2 + 3 = 5 Y= 2 ( 2 ) + 3 = 4 + 3 = 7

Graficar y = (- 1 / 2 ) x + 4 Dominio { - 4 , 4 } pares

x -4 -2 0 2 4 y 6 5 4 3 2

Y= (- 1 / 2 ) ( - 4 ) + 4 = 2 + 4 = 6 Y= (- 1 / 2 ) ( - 2 ) + 4 = 1 + 4 = 5 Y= (- 1 / 2 ) ( 0 ) + 4 = 0 + 4 = 4 Y= (- 1 / 2 ) ( 2 ) + 4 = - 1 + 4 = 3 Y= (- 1 / 2 ) ( 4 ) + 4 = - 2 + 4 = 2

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Aplicaciones de la línea recta

I. Ejemplo: 1. Existe una función que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, la cual esta dada por: y = 1/ 4 (x) donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en el cuerpo, medido en litros. a) Grafique la función. b) ¿Cuántos litros de sangre tienen los siguientes pacientes, si sus pesos respectivos son: 58, 46 y 62. solución: a) La gráfica de esta función corresponde a una recta, cuya pendiente es 1/14 (es decir, por cada 14 kilos hay un litro de sangre) y pasa por el origen.

MATEMATICAS GRADO 8

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b) Evaluando en la función el respectivo peso, se tiene:

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LEONARD DAVINCI Y LAS PROPORCIONES

Leonardo era un bromista empedernido, cosa por otro lado muy propia de la gente del Renacimiento. Uno de sus innumerables chistes: «Le preguntaron a un pintor por qué, siendo tan buenas sus pinturas, que eran cosa muerta, hacía los hijos tan feos; a lo cual replicó que las pinturas las hacía de día y los hijos de noche». El Hombre de Vitrubio es uno de los dibujos de los libros de apuntes de Leonardo da Vinci. En cualquier persona la longitud de una estructura (brazos) varía en relación con la de cualquier otra estructura (la altura total del cuerpo) en las diferentes etapas del desarrollo. Los brazos de un bebé son más cortos en relación con la altura del cuerpo que los brazos de un hombre. Si en las dimensiones de una persona particular, y = f(t), designa la longitud de los brazos y x = g(t) la altura de la misma, en función del tiempo, el cociente f(t)/g(t) = y/x se aproxima hacia 1. En las primeras etapas del crecimiento esta relación es aproximadamente 1,2. Este resultado es una característica de la anatomía humana ampliamente reconocida desde que Leonardo da Vinci la representa en su famoso Hombre de Vitrubio.

MATEMATICAS GRADO 8

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OTRAS FUNCIONES

Función cuadrática

La función es de la forma y = ax2 + bx + c la cual da como grafica una parabola

Aqi tenemos un ejemplo con vértice positivo y negat ivo

MATEMATICAS GRADO 8

74

Unidad 8 Líneas Notables En Un Triángulo

Son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo.

Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ortocentro.

Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto, el punto donde se cruzan se llama baricentro.

Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto medio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo.

Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo en dos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este punto es el centro de una circunferencia inscrita.

MATEMATICAS GRADO 8

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demostración puntos y rectas notables en el triang ulo Altura, mediana y bisectriz Sean A, B y C los vértices de un triangulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente.

A las distancias de los vértices a sus lados opuestos las llamaremos las alturas del triangulo. A las alturas las denotaremos con ha, hb, hc, y a sus puntos de Intersección con los lados con Ha, Hb, Hc, respectivamente. Designaremos con ma, mb y mc las tres medianas, llamando as´ı a las Distancias de cada vértice A, B y C al punto medio Ma, Mb y Mc del lado Opuesto. Finalmente, denotaremos con va, vb y vc, a los segmentos de bisectriz de los ángulos A ,B , C comprendidos entre dichos vértices y su respectivas Intersecciones Va, Vb y Vc con los respectivos lados opuestos. Circunferencia circunscrita Hemos visto que tres puntos no colineales A, B y C, determinan una circunferencia que los contiene y cuyo centro O está en la intersección de las mediatrices de los segmentos que estos puntos determinan. De modo que En todo triángulo las mediatrices de sus lados se cortan en un punto al que llamaremos circuncentro, por ser este centro de la circunferencia llamada cirncunscrita al triángulo.

MATEMATICAS GRADO 8

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Circunferencia inscrita Teorema Las tres bisectrices internas de un triangulo se cortan en un Punto En efecto las bisectrices de los ángulos A y B se cortan porque forman con la secante común AB ángulos cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto I de intersección de estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ángulos A y B, esto es, de los tres lados. Se sigue que la tercera bisecriz ha de cortar a las anteriores en el mismo punto. El punto de intersección se llama incetro del triangulo.

Baricentro de un triangulo Las tres medianas de un tri´angulo ABC concurren en un punto G. El segmento de mediana comprendido entre el punto medio del lado y el el punto G es un tercio de la misma. MaG = GP = PA y MbG = GQ = QB. Finalmente la otra mediana debe pasar por G puesto que debe dividir a Las otras dos de la misma manera. Al punto G lo llamaremos baricentro del Triangulo.

MATEMATICAS GRADO 8

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Triangulo ortico Las alturas de todo triangulo acutángulo ABC son bisectrices interiores del triangulo Ha Hb Hc, cuyos vértices son las intersecciones de dichas alturas con el triangulo dado.

El triangulo Ha Hb Hc se llama el triangulo ortico del triangulo ABC

Unidad 9

UNIDAD DE ESTADISTICA

La estadística se ocupa de recopilar datos, organizarlos en tablas y gráficos y analizarlos con un determinado objetivo. La estadística puede ser descriptiva o inferencial. La estadística descriptiva tabula, representa y describe una serie de datos que pueden ser cuantitativos o cualitativos, sin sacar conclusiones. La estadística inferencial infiere propiedades de gran número de datos recogidos de una muestra tomada de la población. Nosotros sólo estudiaremos la estadística descriptiva . En ella debemos tener en cuenta las siguientes etapas:

a) Recolección de datos b) Organización de datos

(1) Tabulación (2) Graficación

c) Análisis y medición de datos a) Recolección de datos Para esta etapa tomaremos los siguientes conceptos básicos:

MATEMATICAS GRADO 8

78

� Población : conjunto de observaciones efectuadas � Individuo : cada elemento de la población. � Atributo : característica investigada en la observación. Estos pueden ser cualitativos

(sexo, religión, nacionalidad) o cuantitativos (estatura, peso, área –estos son continuos, se miden en números reales-; número de hijos, número de goles –discretos, se miden en números enteros-)

Por ejemplo: si se desea realizar un estudio estadístico de las estaturas de los alumnos de tercer año,

� Población: conjunto de estaturas � Individuo: cada estatura � Atributo: la estatura

� Teniendo presente la clasificación, clasifica los siguientes atributos 1. Afiliación política de los habitantes de la Capital de Chile. 2. Cantidad de ganado vacuno en las provincias de la Río Bueno y La Unión. 3. Religión de los padres de familia de la comunidad educativa Santa Cruz. 4. Ingresos de los obreros. 5. Cantidad de alumnos de las diferentes carreras de la Facultad de Ciencias

Exacta en la U.L.A. 6. Sexo de los alumnos de una escuela. 7. Estado civil de los habitantes de la ciudad de Río Bueno. 8. Cantidad de películas nacionales estrenadas durante un año. 9. Color de cabellos de los alumnos de un curso. 10. Puntaje obtenido por los alumnos que ingresan a la carrera de Medicina.

b) Organización de los datos (1) Tabulación : puede ser a través de una serie simple, con la presentación de los datos recogidos en forma de tabla ordenada, o a través de la agrupación de datos, este método se utiliza cuando el número de observaciones es muy grande. Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura, registrándose los siguientes valores: 1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58 1,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,63 1,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,69 1,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63 i. Serie simple : � Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos. Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla

1 1,52 11 21 31 2 1,53 12 22 32 3 1,54 13 23 33 4 1,54 14 24 34 5 1,55 15 25 35 6 1,55 16 26 36 7 1,56 17 27 37

MATEMATICAS GRADO 8

79

8 1,57 18 28 38 9 1,58 19 29 39

10 1,58 20 30 40 ii. Agrupación de datos por serie o distribución de frecuencias : se registra la

frecuencia de cada valor de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), número que indica la cantidad de veces que la variable toma un cierto valor, relativa (fr ), cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la variable y el número total de observaciones; relativa porcentual que es el porcentaje de la fr; frecuencia Acumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que el la suma de fr% .

� Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias.

x (tallas) Absoluta fi

Relativa fr = f/n

R. Porcentual (100.fr) %

Acumulada Fa

Ac. Porcentual

Fa % 1,52 1 1/40 = 0,025 2,5 % 1 2,5% 1,53 1 1/40 = 0,025 2,5% 2 5% 1,54 2 2/40 = 0,05 5% 4 10% 1,55 1,56

.

.

1,79 � ¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias absolutas? ¿Por

qué? ................................................................................................................................... � ¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias relativas? ¿Por qué? ................................................................................................................................... � ¿Y el total de la columna de porcentajes? ...................................................................................................................................

Agrupación de datos por intervalos de clase : intervalos iguales en los que se divide el número total de observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de una variable continua. ¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?

Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos.

Rango = x máx – xmín � Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo.

..................................................................................................................................

..

MATEMATICAS GRADO 8

80

Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de

los mismos.

A = rango / N (N tu lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequeño) � Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuál es, para nuestro caso, la amplitud de

cada uno de ellos? De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado

...................................................................................................................................... Siendo el primer intervalo [1,52 ; 1.55) completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo izquierdo del intervalo se usa un corchete “ [ “, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el derecho usamos “ ) “ que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de clase es el promedio aritmético de los extremos del intervalo.

Tallas Marca de clase (MC)

fi fr fr% Fa Fa%

[1,52 ; 1.55) 1,535 [1,55 ; 1,58) 1,565 [1,58 ; 1,61) 1,595

Totales � Investiga sobre el número de hermanos de cada alumno de tu curso y dispone los

datos obtenidos en una serie o distribución de frecuencias. (3) Gráficos : la recopilación de datos y la tabulación pueden traducirse gráficamente mediante representaciones convenientemente elegidas: barras, sectores circulares, mapas curvas, etc. Los gráficos permiten visualizar e interpretar el fenómeno que se estudia, en forma más clara. Las barras se utilizan generalmente para representar atributos cualitativos o cuantitativos discreto. La longitud es igual a la frecuencia de cada observación. Pueden ser barras simples o múltiples, según se trate de representar uno o más atributos. Las barras pueden ser horizontales o verticales.

MATEMATICAS GRADO 8

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Gráfico de barras compuesto: Remuneraciones medias (año Z)

Los gráficos circulares o gráficos de torta son útiles para comparar datos pues, en general, trabajan con porcentuales. El área de cada sector representa el porcentaje que corresponde a la frecuencia de un cierto valor de la variable. Esta representación es conveniente cuando el número de sectores es pequeño y sus áreas están bien

diferenciadas. Evaluación del gobierno X

p os it iv a

n e g a t i v a

n e u t r a

p o s i t i v a

n e g a t i v a

n e u t r a

0

100

200

300

400

500

600

Enero Fe brero Ma rzo

Industr ial

Bancario

Adm. Pública

Educativo

Comercio

0 20 40 60

Gráf. de barras: E valuación del gobierno X

neutra

negativa

posi tiva

MATEMATICAS GRADO 8

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El histograma se utiliza para representar una tabla de frecuencias de intervalos de clase. Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, las frecuencias de los intervalos. El gráfico consiste en un conjunto de rectángulos adyacentes cuya base representa un intervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo. El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectángulo. Si se quiere cerrar el rectángulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al último y se prolonga el polígono hasta los puntos medios de estos intervalos. Las curvas se utilizan generalmente para representar la variación de una variable a través del tiempo (años, meses, horas, etc.). Sobre el eje horizontal figuran los períodos de tiempo. Variación del valor de las importaciones y exportac iones de la Argentina en millones de dólares

Estas son sólo algunas de las formas posibles de graficación y las que encontrarás con más frecuencia. � Construye el histograma y el polígono de frecuencias para la tabla del ejercicio de

intervalos de clase, de la página 3, de las tallas... c) Análisis y medición de datos Para describir un conjunto de datos, se calculan algunas medidas que resumen la información y que permiten realizar comparaciones.

0200400600800

10001200140016001800

importación de la Argentina

expor tación de la Argentina

MATEMATICAS GRADO 8

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Medidas de posición : se utilizan para encontrar un valor que represente a todos los datos. Las más importantes son: la media aritmética , la moda y la mediana . � La media aritmética o promedio ( x ) de varios números se calcula como el

cociente entre la suma de todos esos números y la cantidad de números que sumamos.

� La moda (Mo) es el valor que más se repite. Puede suceder que haya más de una moda o ninguna (si todos los valores tienen igual frecuencia).

� La mediana (Me) es el valor que ocupa el lugar central al ordenar los datos de menor a mayor. Si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los dos valores centrales.

� Los sueldos de cinco empleados de una empresa son: $ 400000, $500000,

$450000, $600000 y $3500000. Calcula el sueldo medio, la moda, si es que existe, y la mediana e indica cuál representa mejor a los datos.

� El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la

próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?

Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1 Tomás 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7 Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2 Para poder decidir, calcula las medidas de posición de cada uno.

promedio moda mediana Diego 62,34 61,7 62,3 Tomás Sergio

En promedio, los nadadores más rápidos son ................................ y ................................., pero esto no significa que hayan tenido el mismo rendimiento; por eso necesitamos las otras medidas de posición: de ellos dos, tanto la moda como la mediana indican que ................................ fue más veloz. Sin embargo, para elegir el nadador adecuado, no basta con considerar las medidas de posición, ya que también es necesario que su rendimiento sea parejo, es decir, que los tiempos de sus 100 m libres no tengan mucha dispersión. Medidas de dispersión : nos informan cómo están distribuidos los datos. La más importante es el desviación estándar ( σ), que mide la dispersión de los datos con respecto al promedio. Cuanto menor es el desvío estándar, menos dispersos están los datos con respecto al promedio. Para calcular el desvío estándar, seguimos los siguientes pasos:

MATEMATICAS GRADO 8

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� Calculamos la diferencia entre cada uno y el promedio. � Elevamos al cuadrado cada una de las diferencias anteriores. � Sumamos todos los valores hallados en el paso anterior y dividimos el resultado por

la cantidad de datos. Así obtenemos la varianza . � Calculamos el desviación estándar ( σ) como la raíz cuadrada de la varianza .

( )n

xxn

ii∑

=

−

=1

2

σ n: número de datos

� Diego y Sergio, dos de los nadadores del ejercicio anterior, obtuvieron el mismo

promedio y sin embargo sus tiempos están distribuidos de manera diferente. Calcula los desvíos estándares de los tiempos de los nadadores: Tiempos de Diego

xi

(xi – x)

(xi – x)2 61,7 -0,64 61,7 -0,64 62,3 -0,04 62,9 0,56 63,1 0,76 total

Entonces: Podemos ver que el desvío estándar de ................................... es menor que el de ................................., lo cual indica que el promedio representa mejor los datos de ................................., porque sus tiempos fueron menos dispersos. Entonces, aunque cinco datos son muy pocos para hacer estadística, si con esa información hay que elegir un nadador de ese equipo para la próxima competencia, conviene que sea .......................................

KKKK≅=5Diegoσ

KKKK≅=Sergioσ

Tiempos de Sergio

xi

(xi – x)

(xi – x)2

total

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CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos. Analicemos el siguiente ejemplo: Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba. Intervalos M.C.

(x) fi f·x Fa

[60 – 65) 62,5 5 312.5 5 [65 – 70) 67,5 5 337.5 10 [70 – 75) 72,5 8 580 18 [75 – 80) 77,5 12 930 30 � Intervalo mediano [80 – 85) 82,5 16 1320 46 � Intervalo modal [85 – 90) 87,5 4 350 50 TOTALES

50 3830

La Media Aritmética: ∑∑=

f

xfx

· � 6.76

50

3830==x ptos. ≈ 77 ptos.

Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente fórmula:

i

a

f

AFn

LMe·

2

−+=

en el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50 : 2 = 25, y la Fa 25 se encuentra en el intervalo [75 – 80) ya que el 25 esta aquí, en cambio en la anterior (18) no esta. Luego el intervalo mediano es [75 – 80) Entonces: L = 75 (límite inferior) fi = 8 A = 5 (80 – 75 = 5) Fa = 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)

375.79375.47585·7

758

5·182

50

75 =+=+=

−+=Me ≈ 79 ptos.

y finalmente, para calcular la Moda en datos agrupados, utilizamos la siguiente fórmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la Frecuencia Modal.

Donde: L es el límite inferior del intervalo mediano. Fa es la frecuencia acumulada hasta antes del intervalo mediano.

L: Límite real inferior de la clase modal. d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior. d2: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia siguiente.

MATEMATICAS GRADO 8

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Add

dLMo ·

21

1

++=

L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la mayor) d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior) d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente) A = 5

Luego, 25,8116

20 80 5 ·

124

480 =+=

++=Mo puntos. ≈ 81 puntos.

Se estima que el valor más repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81.

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