Contenidos y actividades algebraicas en Educación Primaria

Catherina Martínez & Verónica Castillo

El desarrollo el pensamiento algebraico en el nivel de educación primaria ha sido trabajado en la escuela con una concepción tradicional y limitada, en la que el álgebra se generaliza por el uso de letras que representan números no especificados; esta situación, conlleva a los docentes a tratar el área de álgebra de manera superficial. Por ello, una propuesta que permite introducir ideas para acercar a los alumnos al desarrollo del pensamiento algebraico, desde los primeros grados de educación primaria, tal como se considera en el documento Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares del National Council of Teachers of Matematichs (NCMT, 2000) es la que presentan Ake, L., Godino, J. y Gonzato, M. (2013) en su artículo Contenidos y actividades algebraicas en Educación Primaria.

En esta propuesta se pone de manifiesto diversas características del razonamiento algebraico presentes en el desarrollo desde los primeros niveles de educación primaria y para reconocerlas, nos presentan diversas actividades matemáticas clasificadas en niveles de algebrización, así como los estándares sobre álgebra que se tienen en cuenta en primaria, sustentados en el enfoque ontosemiótico y las expectativas para cada grado. Dado que es necesario incorporar en el currículo el razonamiento algebraico, se propone que el Algebra sea uno de los cinco bloques que permitan desarrollar capacidades y propicien en el estudiante las habilidades para resolver problemas relacionados con ecuaciones, analizar situaciones utilizando símbolos y variables, estudiar patrones numéricos y geométricos, determinar reglas y usar distintas propiedades de las operaciones.

Esta capacidad debe ser desarrollada desde los primeros niveles de algebrización que se desarrollan en primaria, siempre y cuando un tema concreto sea matemáticamente importante, se ajuste al aprendizaje de las matemáticas y permita la conexión lógica con los niveles anteriores y posteriores. Por ello, debe considerar las características fundamentales del álgebra escolar, tales como la representación, generalización, formalización de patrones, y regularidades de cada aspecto de las matemáticas en actividades que le permitan, al estudiante: usar símbolos, que les ayude a generar ecuaciones; variables, entendidas como símbolos que se usan en lugar de números desconocidos; funciones, como relaciones que asocian elementos de un conjunto con los de otro.

A nuestro parecer, lo fundamental de la propuesta de Ake, L., Godino, J. y Gonzato, M. (2013) es que las actividades conllevan a los estudiantes hacia la modelización matemática de problemas procedentes de los otros bloques afines como la Geometría y Medición, Aritmética, Números y Operaciones, Análisis de datos y Probabilidad o de problemas que responden a situaciones de la vida cotidiana. Esta modelización a la que se hace referencia implica la adquisición de nuevas capacidades que permiten al estudiante analizar

CONTENIDOS Y

ACTIVIDADES

ALGEBRAICAS EN

EDUCACIÓN PRIMARIA

soluciones, generalizarlas y justificar sus procedimientos, consiguiendo así priorizar técnicas aplicadas y unificarlas en función a los tipos de problemas que se le presenten, desde los inicios de su etapa escolar.

En cuanto a la enseñanza del álgebra en primaria, el NCMT (2000) establece la inclusión de cuatro estándares de contenido algebraico, tales como: a) comprender patrones, relaciones y funciones, b) representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras usando símbolos algebraicos, c) usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas y d) analizar el cambio en diversos contextos. En función a estos estándares se tiene en cuenta tres criterios para considerar que los temas dados son realmente necesarios en el currículo escolar; es decir, deben ser matemáticamente importantes para los aprendizajes posteriores de los alumnos, deben permitir el encuentro de los saberes previos y los nuevos saberes.

Ahora bien, teniendo en cuenta las expectativas de aprendizaje para el sexto grado de primaria, consideramos fundamental aplicar y extender los conocimientos previos que se tienen tanto en aritmética como en geometría hacia las expresiones algebraicas, de modo que pueda operar en situaciones de correspondencia, resolver ecuaciones y problemas matemáticos a partir de problemas que se contextualicen en la cotidianidad.

Teniendo en cuenta estos criterios proponemos una situación en la que se genere la integración de los diversos aspectos matemáticos, pasando por actividades básicas de geometría, aritmética, números y operaciones y álgebra. El problema que proponemos a continuación está dirigido a alumnos de sexto grado de primaria:

A. Se les plantea la situación que detallaremos a continuación, en ella se trabaja la noción de correspondencia entre medida (peso y área) y color:

Don Alejandro, dueño de la tienda “Bienvenida navidad”, está muy preocupado porque no sabe cómo acomodar, en sus tres estantes, panetones de 250, 500 y 1000 gramos, que venderá en las próximas fiestas navideñas.

Lucas se ha ofrecido a ayudar a don Alejandro y para hacer su ayuda eficiente ha realizado las siguientes actividades:

1. Sabe que cada estante mide 2.0m. de largo por 0.60m. de ancho cada uno.2. Reconoce la correspondencia de cada panetón con el color de su caja; de modo que:

Cada panetón de 250 gramos está colocado en una caja roja, que tiene una base cuadrada de 10 x 10 cm.

Cada panetón de 500 gramos está colocado en una caja amarilla, que tiene una base cuadrada de 20 x 20 cm.

Cada panetón de 1000 gramos está colocado en una caja verde, que tiene una base cuadrada de 30 x 30 cm.

B. A continuación, planteamos las preguntas que se derivan de la situación inicial, considerando condiciones que debe tener para la resolución del problema.

Parte I

Lucas los ha acomodado de distintas maneras, sabiendo que no debe colocar panetones uno encima de otro para que no se maltraten. ¿Cómo crees que logró acomodar los panetones? Ten en cuenta que siguió las siguientes condiciones:

Ocupó toda el área del estante.1.- Colocó los panetones de tres maneras diferentes en cada estante.2.- Los ubicó de manera que ocupen el menor peso posible en cada estante.3.- Para optimizar el espacio del estante, colocó la mayor cantidad de panetones, recordó colocar panetones de los tres tipos.

En la parte I, se desarrollarán aspectos referidos a la geometría, en cuanto a la ocupación de toda el área; medida, en tanto trabaja con pesos asignados; números, porque debe realizar el conteo respetando ciertas condiciones, de modo que alcancen en el estante.

Seguidamente, se solicita al estudiante hacer predicciones y justificar sus respuestas desarrollando la actividad.

Parte II

Lucas las estaba acomodando, pero se cansó. Ayúdalo tú a continuar con su trabajo.

1.- ¿Será posible colocar panetones en los estantes de modo que en cada uno haya el doble de panetones que en el estante anterior? (Si tu respuesta es afirmativa, señala cómo sería su ubicación).

En caso no se pueda colocar los panetones tal como se indica en el ejercicio anterior, ¿qué se podría modificar para que se cumpla con esta condición?

A continuación se orienta el trabajo del estudiante hacia la algebrización de las operaciones en función a la situación planteada de colocar panetones en una determinada área. En este sentido, estaremos integrando la geometría con el álgebra.

2.- Lucas ha colocado en los tres estantes 108 panetones, si en cada uno de ellos colocó 10 panetones más que en el anterior, ¿cuántos panetones colocó en cada estante?

3.- Si ya ocupamos la mitad de uno de los estantes, ¿cuántos panetones de los tres tamaños de caja se debe colocar como máximo para completar el área total del estante?

A modo de finalización de la actividad presentamos la actividad 4; con ella pretendemos establecer patrones para desarrollar series geométricas, con esto se busca que el estudiante pueda generar nuevas situaciones.

4.- Para obtener mejores ventas, don Alejandro decide variar la presentación de las cajas de panetones, las mismas que tienen base cuadrada, hexagonal y octogonal. ¿Qué panetón o panetones ubicaría en el espacio vacío?

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Como se ha podido observar, con el problema propuesto se pretende desarrollar el pensamiento algebraico a partir de las actividades propias de la situación, alcanzando así los niveles de algebrización que pasaremos a detallar:

Nivel

Descripción de tareas Objetos algebraicos Lenguaje

0 Parte I:- Realiza cálculos para obtener resultados

Ninguno Natural en el enunciado y aritmético en la resolución.

1 Parte I:- Noción de peso: Cada panetón pesa

250, 500 y 1000 gramos.

- Noción de tamaño: Cada estante mide 2,0 metros de largo x 0,60m. de ancho.

- Noción de área: Cada caja de panetón tiene una base cuadrada de 10x10cm. , 20x20cm. y 30 x 30cm.

NingunoNaturalAritmético

Numérico:sistema de medidas convencionalesGeométrico

- Noción de correspondencia entre peso, área de la base y color: A cada peso le corresponde una caja con determinada base y color.

Función: correspondencia

NaturalNumérico

1 - Relaciones entre operaciones:- Sumas y multiplicaciones.

Parte II- Uso de literales para modelizar

situaciones. Plantea ecuaciones de la forma a+(a+b)+(a+b +b) = c

- Representa, analiza y generaliza patrones utilizando gráficas.

- Reconoce la variable dependiente (forma, color, área)

Ninguno

Planteamiento de ecuaciones

Patrones

Aritmético

2 - Propiedades conmutativa y asociativa al calcular las posibles ubicaciones de panetones en los estantes.

- Igualdad como indicador de equivalencia de expresiones.

a+(a+10)+(a+10 +10) = 108- Cantidades indeterminadas para hallar

la cantidad de panetones en cada estante.

- Uso de literales para modelizar situaciones: planteo de ecuaciones para hallar el valor de a panetones en cada estante.

- Representar, analizar y generalizar patrones de secuencia.

Propiedades de las operacionesCorrespondenciaEcuaciónPatronesFunciónIncógnitaVariable

Simbólico literal

A continuación presentaremos la configuración cognitiva y epistémica propias del desarrollo del problema planteado.

Es importante resaltar que el problema propuesto se aplicó a 35 estudiantes de 5° B turno mañana de la I.E. N° 20402 "Virgen de Fátima" del turno mañana. Ellos lo han resuelto de manera individual, algunos han recurrido a la representación gráfica para hallar sus repuestas y otros han realizado operaciones aritméticas desde el problema 1 de la parte I. Para hallar el problema 1 de la parte II, sobre el doble en cada estante, una niña encontró otra respuesta.

La profesora encargada de aplicar este problema y el subdirector de la institución comentaron que fue agradable trabajar este tipo de problemas.

CONFIGURACIÓN COGNITIVA

Hoja de aplicación

Nombres y Apellidos: _________________________________________________

I.E: ________________________________________________________________

Grado y Sección: _____________ Turno: _____________







Parte I


Ocupó toda el área del estante.1.- Colocó los panetones de tres maneras diferentes en cada estante.

2.- Los ubicó de manera que ocupen el menor peso posible en cada estante.

3.- Para optimizar el espacio del estante, colocó la mayor cantidad de panetones, recordó colocar panetones de los tres tipos.

Parte II

Lucas las estaba acomodando, pero se cansó. Ayúdalo tú a continuar con su trabajo.

1.- ¿Será posible colocar panetones en los estantes de modo que en cada uno haya el doble de panetones que en el estante anterior? (Si tu respuesta es afirmativa, señala cómo sería su ubicación).



4.- Para obtener mejores ventas, don Alejandro decide variar la presentación de las cajas de panetones, las mismas que tienen base cuadrada, hexagonal y octogonal. ¿Qué panetón o panetones ubicaría en el espacio vacío?

CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA

Hoja de aplicación desarrollada







Parte I


1.- Ocupó toda el área del estante.

2.- Colocó los panetones de tres maneras diferentes en cada estante.

Se muestra tres posibles soluciones. El niño puede plantear otras.

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

8 (900 cm.) = 7200 cm2

9 (400) = 3600 cm2

12 (100) = 1200 cm2 12000 cm2

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

15 (400 cm.) = 6000 cm2

6 (900) = 5400 cm2

6 (100) = 600 cm2 12000 cm2

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

9 (400) = 3600 cm2

30 (100) = 3000 cm2

6 (900) = 5400 cm2 12000 cm2

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

15 (400 cm.) = 6000 cm2

6 (900) = 5400 cm2

6 (100) = 600 cm 2 12000 cm2

3.- Los ubicó de manera que ocupen el menor peso posible en cada estante.

4.- Para optimizar el espacio del estante, colocó la mayor cantidad de panetones, recordó colocar panetones de los tres tipos.

13,500 gr.

Solo hay estas formas, ya que si el niño propone otra forma no se cumpliría con las

condiciones de los problemas. Sería excelente que el niño argumente esta

condición.

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

12 (1000gr.) = 12000 gr. 3 (500) = 1500 gr. 13500gr.

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

107 (100cm.) = 10700 cm2. 1 (900) = 900 cm2

1(400) = 400 cm 2 12000 cm2

Parte II

1.- ¿Será posible colocar panetones en los estantes de modo que en cada uno haya el doble de panetones que en el estante anterior? (Si tu respuesta es afirmativa, señala cómo sería su ubicación). Si es posible.

1er. Estante:

2do. Estante:

3er. Estante:

En caso no se pueda colocar los panetones tal como se indica en el ejercicio anterior, ¿qué se podría modificar para que se cumpla con esta condición?

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

12 (900cm.) = 10800 cm2

3(400) = 1200 cm 2 12000 cm2

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

30(400cm.) = 12000 cm2

Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

6 (900cm.) = 5400 cm2

4 (400) = 1600 cm50(100) = 5000 cm 2 12000 cm2


a+(a+10)+(a+10 +10) = 108

3a +30 = 108

3a +30-30 = 108 -30

3a= 78

a = 78: 3

a= 26 panetones

1er estante: 26 panetones

2do. Estante: 36 panetones

3er estante: 46 panetones

Total : 108 panetones


Área total: 1200 m2 = 12000 cm2

Área cubierta: 12000 x 12 = 6000 cm2

4 (100cm.) = 400 cm2

5 (400) = 2000 cm2

4 (900) = 3600 cm 2 = 6000 cm2

4.- Para obtener mejores ventas, don Alejandro decide variar la presentación de las cajas de panetones, las mismas que tienen base hexagonal y octogonal. ¿Qué panetón o panetones ubicaría en el espacio vacío?

Es claro, sin duda, que los niveles de algebrización se deben tener presentes desde los primeros grados de educación primaria, dándole el lugar que le corresponde, pero no de manera aislada o como bloque separado de los contenidos de índole aritmético, geométrico y los anteriormente mencionados. Para conocer la opinión de la docente que aplicó el problema propuesto, vimos por conveniente realizar una encuesta (anexo 1), su respuesta fue motivadora porque pone de manifiesto su pertinencia en tanto son temas trabajados en el grado y le permite afianzar el razonamiento propio del aprendizaje de los niños; los materiales presentados eran conocidos porque los niños tenían noción de figura y los alumnos mostraron agrado porque, según cuenta la maestra, les encanta crear formas para resolver situaciones problemáticas.

Entonces, a partir de esta experiencia, es posible considerar que es urgente que los docentes tomemos conciencia de la importancia de llevar nuestras actividades matemáticas al campo del álgebra de una manera secuencial y pertinente a las edades, grados y niveles de algebrización, que a su vez, permita desarrollar el pensamiento matemático de los estudiantes durante toda su etapa escolar y posterior. En nuestra opinión, los cambios deben comenzar desde la formación de los futuros educadores, la actualización constante de los educadores en servicio y la toma de decisiones de la comunidad educativa para transformar la enseñanza de las matemáticas en aprendizajes que sean de mayor significatividad para los estudiantes.

Referencias:

Aké, L., Godino, J. y Gonzato, M. (2013). Contenidos y actividades algebraicas en Educación Primaria. Revista Unión. Número 33. Marzo 2013. pp. 39-52.

Recuperado de: http://www.ugr.es/~jgodino/eos/Ake_Godino_Gonzato%20UNION_2013.pdf

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http://www.ugr.es/~jgodino/eos/Ake_Godino_Gonzato%20UNION_2013.pdf

Anexo 1

Para el docente

Nombres y Apellidos:_________________________________________________

I.E: _______________________________________________________________

Grado y Sección:__________ Turno: __________________________

1. ¿Qué preguntas más frecuentes hicieron los niños durante el desarrollo de los problemas?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Al interpretar el problema y sin ayuda de material concreto, ¿qué estrategias usaron sus alumnos para tratar de resolver los problemas?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Qué materiales usaron los estudiantes como ayuda para resolver los ejercicios? ¿Con qué fin lo hicieron?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Cuando se les propuso a los estudiantes brindarle material concreto (tarjetas cuadradas que representaban cada tipo de panetón y tarjeta rectangular que representaba al estante). ¿Aceptaron con agrado el material?, ¿les sirvió de ayuda el material?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Los estudiantes resolvieron con agrado los problemas?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Qué opina Ud. acerca de los problemas propuestos? ¿Cree que fueron apropiados para su grado de estudios? Sí, No ¿Por qué?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ¿Qué temas podría Ud. trabajar en el aula con los problemas propuestos?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Opcional. Formule preguntas o proponga un problema similar a los problemas dados.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Muy agradecidas por su valiosa colaboración. Dios los bendiga a Ud. y a su familia.

Con aprecio:

Castillo Pérez, Veronica

Martínez Díaz, Catherina

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