POLINOMIOS: M.C.D. Y M.C.M.FRACCIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Recordemos primero cómo calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números con un ejemplo:

Sean los números 12 y 40

M.C.D. Y M.C.M. DE VARIOS POLINOMIOS

Primero debemos descomponerlos en sus factores primos:

12 = 22 . 3

40 = 23 . 5

Para calcular el m.c.d. multiplicamos

los factores comunes elevados al menor exponente

m.c.d. (12 , 40) = 22 = 4

Sin embargo para el m.c.m debemos multiplicar

los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente

m.c.m. (12 , 40) = 23 . 3 . 5 = 120

12 = 22 . 340 = 23 . 5

Para calcular el m.c.d. y el m.c.m. en el caso de varios polinomios conviene recordar:

• ¿ Qué son polinomios primos?

• Factorización de polinomios

Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad.

Ejemplos de polinomios primos:

• x

• x + 1

• x - 2

• 2x + 1

• x2 + 1

• x4 + 2

En general son primos todos los polinomios

de la forma (x – a)

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x

1. ¿Podemos sacar factor común?

Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x).

2. ¿Es identidad notable? No

3. ¿Es ecuación de segundo grado? No

4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6)

Ahora nos centraremos en factorizar…

Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las

mismas preguntas

Veamos un ejemplo de factorización:

2x3 – 3x2 – 11x +6 Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.

Comenzaríamos probando con el 1.2 -3 -11 +6

1

1

1

-2

-2

-13

-13

-7

Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6.

Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0.

-2

2

-4

-7

14

3

-6

0

Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =

= 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)

Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2

Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 - 7x + 3

Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3)

Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus raíces.

Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación:

2x2 -7x +3 = 0

Las soluciones obtenidas serán:

x1 = 3

x2 = 2

1

Por lo tanto 2x2 -7x +3 =

x - 3

x – 1/2

(x – 3)

(x – ½)

·

Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =

= 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

· 2

¿Por qué ponemos el 2?

Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x2, sino x2.

Recopilemos toda la información obtenida:

Raíces:Polinomios divisores de P(x):

-2 x + 2

3 x - 3

1/2 x – 1/2

¡Pero falta otra raíz!

P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2

Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

0 x

CÁLCULO DEL

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Y DEL

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

Para calcular el m.c.d y el m.c.m, tenemos que tener los polinomios factorizados.

Recuerda que para factorizar polinomios hay que seguir ciertos pasos:

1. Sacar factor común.

2. Mirar si es identidad notable.

3. Resolver la ecuación de segundo grado o Ruffini.

CÁLCULO DEL M.C.D.

Hallemos el m.c.d de los polinomios P(x) y Q(x):

P(x) = x3 + x2 - 4x - 4

Q(x) = 3x2 - 12x + 12

El primer paso es factorizar dichos polinomios.

P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1)

Q(x) = 3·(x - 2)2

Ejemplo 1

La definición de m.c.d es: El producto de los factores comunes al menor exponente

P(x) = (x - 2) ·(x + 2)·(x + 1)

Q(x) = 3·(x - 2)2

Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son:

El único factor común, y al menor exponente es

(x - 2)

(x - 2)

(x - 2)

(x - 2)

m.c.d(P(x), Q(x)) =

Ejemplo 2

P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3 =

Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2 =

Factorizamos los polinomios

· (x+2)

·(x+3)

Recordemos que el m.c.d son factores comunes al menor exponente, luego en este caso los factores comunes son:

24

22

· (x-1)2

2 y (x-1)

Como tiene que ser al menor exponente,

22

(x-1)22 ·m.c.d(P(x),Q(x)) =

24 · 3 ·x3 · (x-1)2

· x2 · (x-1)· (x-1) 22 · (x-1)

CÁLCULO DEL M.C.M.

Hallemos el m.c.m de los polinomios P(x) y Q(x):

P(x) = x3 + x2 - 4x - 4

Q(x) = 3x2 - 12x + 12

El primer paso es factorizar dichos polinomios.

= (x - 2)·(x + 2)·(x + 1)

= 3·(x - 2)2

Ejemplo 1

La definición de M.C.M. es: el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

P(x) =

Q(x) =

Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son:

Los factores comunes son:

(x - 2)

(x - 2)2

(x - 2)

m.c.m(P(x), Q(x)) =

3, (x + 2) y (x + 1).

3·

· (x + 2) · (x + 1)

(x - 2)23·

· (x + 2) ·(x + 1)

3·(x + 2)· (x + 1)·

Como tienen que ser al mayor exponente, el

(x - 2)2

y los no comunes son:

(x – 2) ·

(x + 2) · (x + 1)

· (x - 2)23·

Ejemplo 2

P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3

Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2

Factorizamos los polinomios

· (x+2)

·(x+3)

Recordemos que el m.c.m son factores comunes y no comunes al mayor exponente, luego en este caso,

= 22

(x+2) ·24·m.c.m(P(x),Q(x)) =

24 · 3 ·x3 · (x-1)2=

· x2 · (x-1)

3 ·x3 · (x+3) · (x-1)2

FRACCIONES ALGEBRAICAS

En la multiplicación y división de fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el denominador, se multiplica o se divide, según sea, y se simplifica:

2

63:

44

42

3

x

x

xx

xx

2

)2(3:

)2(

)2)(2(2

x

x

x

xxxEjemplo: Factorizamos

Operamos

)2(3)2(

)2)(2)(2(2

xx

xxxx

3

x

y simplificamos

Para sumar o restar fracciones algebraicas tendremos que hacer como a la hora de sumar o restar fracciones, calcular el m.c.m de los denominadores

Calculemos:2

5

4

2

2

322

xx

x

xx

Lo primero será factorizar los denominadores:

222 xxxx

2242 xxx

2xm.c.m 22 xxx

2

5

4

2

2

322

xx

x

xx =

2

5

22

2

2

3

xxx

x

xx

22

3

xxx

·(x-2) 22

2

xxx

x · x

22

5

xxx

·x (x+2)

22

105263 22

xxx

xxxx

22

6133 2

xxx

xx

Sustituimos los denominadores por el m.c.m

Dividimos el m.c.m entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador.

Operamos

y… ya está

FRACCIONES ALGEBRAICAS: ECUACIONES

Estas ecuaciones se resuelven aplicando las mismas propiedades que para cualquier otro tipo de ecuación.

Veamos algunos ejemplos:

21

31

x1

Debemos reducir a común denominador ambos miembros de la ecuación recordando lo que sabemos sobre polinomios primos

Ejemplo 1:

21

31

x1

En la ecuación:

El m.c.m. de los denominadores será simplemente su producto 6x

Eliminamos denominadores y resolvemos:

6x3x

6x2x

6x6

3x2x6

6x

3x1

2xx

1-x1

Como el cociente es por jerarquía anterior a la suma, primero operaremos:

Siempre que tengamos dos fracciones separadas por un signo =, el mejor método

3x1

1)-x(x2x

Ejemplo 2:

3x1

1)-x(x2x

será utilizar la propiedad “producto de medios igual a producto de extremos”

1xx3x2x

xx65xx 22

66x 1x

32

-x

Ejemplo 3:

03x23x

2

Una fracción vale cero cuando vale cero su numerador

023x

xxx2

1x12x

22x3x

2

Ejemplo 4

Primero factorizamos los denominadores en polinomios primos:

1)x(xx2

1x12x

1)2(x3x

Calculamos el m.c.m. de los denominadores

multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente

1)x(xx2

1x12x

1)2(x3x

1x2x

Reducimos a común denominador

1)2x(x

x221x2x12x2x

1)2x(x3xx

eliminamos denominadores y resolvemos

2x42x4x3xx 22

047x3x- 2

1x34

x

1)2x(x

x221x2x12x2x

1)2x(x3xx