Fracciones algebraicas

Objetivos:

Determinar el M.CD. y el m.cm. de varias fracciones algebraicas.

Aplicar los conceptos de M.C.D. y m.cm. para obtener el factor común de los términos de un polinomio.

Aplicar estos conceptos de M.CO. y m.cm. en la simplificación de fracciones algebraicas.

Desarrollar operaciones de adición sustracción y división de fracciones algebraicas.

Simon Stevin (1548-1620).

Nació en Brujas (Bélgica) y muy

pronto ejerció el oficio de cajero y contable; más tarde se desempefió como funcionario de hacienda en su ciudad natal.

Su primer libro apareció en Amberes en 1582 y trataba de las tablas de interés y su construcción. Stevin conocía bien los trabajos de Euclides,

Apolonio y Al-Jwarizmi y estaba familiarizado con las obras de Cardano, Tartaglia y Bombelli. Sus preocupaciones matemáticas hicieron de él

uno de los grandes matemáticos del siglo XVI y, en mecánica, el más importante de los sabios de todo el período que se extiende desde Arquímedes hasta Galileo.

FRACClONES ALGEBRAICAS

estudiado en cursos y unidades anteriores, todo lo concerniente a números racionales, :;;opiedades y sus posibles operaciones.

todos estos conceptos los utilizaremos en el estudio de las fracciones algebraicas 'Ulles, o simplemente, fracciones algebraicas.

101

Analicemos las siguientes expresiones:

x+l .

_x+ 3 '

X2+ 3x+ 1 2xL5

fXL2X . 3x-4

_3_ x2+4x

8bservamos que todas las expresiones, son de tipo algebraico y que. constan de numeradores y denominadores los cuales están formados por binomios, trinomios, es decir, Polinomios.

lo 2

·eamos las siguientes expresiones:

~ 5

~ 3x

4x2y -5

Observemos que los numeradores y denominadores de cada expresión, son términos, es decir ,monomios.

Se dice que una expresión es fracción algebraica si es de la forma ~, con b "# O, Y tanto el numerador como el denominador, son

polinomios algebraicos de una o varias variables.

a)

VALORES ADMISIBLES DE UNA VARIABLE EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACCION ALGEBRAICA

101

.--illalicemos la fracción algebraica: x + 1 1 x-

Solución

8bservamos que, en el denominador de este ejemplo, x no puede tomar el valor 1, porque al reemplazar a x por este valor, la expresión queda: x + 1 = 1 + 1= 1..

x-1 1-1 O

ecuerda que la división por cero no está definida en el conjunto de los reales.

Ejemplo 2

Analicemos la fracción algebraica; x2~9Solución

La variable x puede tomar cualquier valor, excepto los valóres 3 y - 3, porque a..: remplazar estos en la fracción, tenemos:

_3_=_3_=_3_=1 ó _3_ 3 =_3_=1 xL9 (3)2-9 9 -9 O xL9 (-3)2-9 9 -9 O

El conjunto de valores de una variable x/ para los cuales, el denominador de la fracción es diferente de cero, se llama conjunto de valores admisibles de la variable x.

Ejercicio 6.1En cada una de las siguientes expresiones, dí qué valores no son admisibles para I

variable.a) _1_ j) x2-16

q)6z-10

2x-2 x{x + 4) (z -1)2

b) _5_ P 2c+S r) 7m -4

x-4 4c+8 (7m + 14)(m -5)

c)

-ª---

k)

b2+2b

s)

6>:- 4

Sa2 4b+ 12 13y-Y26

d) ~ 1) ~ t) Sn - 12

y-3 6z-3 n - (n-me) m-S m) 4>: u) x

m2- 4 (y -2)(y + 3) Vx-2

f) z2- 4z+4 n) 6m-2 v) 4t

2z+2 2 (3m - 1)( m + 5) t(t2 -4)

g)

~ o) 3x2 w) 2s- 1

3x+6 x (x + 1) 52{S + 1)2

h)x2-2S

p)x4

x)I

x+S (2x+ 1) V 1-2 + 1

AXIMO COMUN DIVISOR

Recordemos cómo se halla el M.C.D. de dos o más cantidades aritméticas.

Ejl'mplo

Determinemos el M.C.D. de: 18,27 Y 36

Solución

Descomponemos cada número en sus factores primos, así:

18 2 27 3 36 29 3 9 3 18 2

3 3 3 3 9 3

1 1 3 3

118 = 2x32 27 = 33 36 = 22 X 32

El M.C.D. está formado por el producto de los factores primos comunes, con su menor exponente, o sea:

M.C.D. de 18,27,36 = 32 = 9

6.2.1 MAXIMO COMUN DIVISOR DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Este mismo proceso, lo utilizaremos para hallar el M.C.D. de expresiones algebraicas, con la diferencia que además de términos constantes (números), también intervienen partes ti.te rales .

.\I1odifiquemos un poco, el ejemplo anterior, es decir, agreguemos una parte literal a cada número,y hallemos el M.C.D.

Ejemplo 1

Determinemos el M.C.D. de 18a2b , 27ab2c y 36a3b3c2 Solución

Determinemos el M.C.D. de 18,27 Y 36:

Determinemos el M.C.D. de a2b , ab2c y a3b3c2:

M.C.D. de 18a2b, 27ab2c, 36a3b3c2:

9 ab = 9ab

Eiprnplo 2

Determinemos el M.C.D. de 15ry Solución

M.C.D. de 15 y 30 : 15 M.C.D. ry y ~1 : ry M.C.D de 15x7 y 30~1 = 15ry

Ejemplo 3

Hallemos el M.C.D. de: r + 5x + 6; r - 4

Solución

Las expresiones son polinomios, por 10 tanto las debemos factorizar.

r + 5x + 6 es un trinomio de la forma Luego la factorizamos como:

r+ bx+ e

(x + 3)(x + 2)

r - 4, es una diferencia de cuadrados, al factorizarla tenemos:

(x + 2)(x- 2)

Tomamos los factores comunes:

M.C.D de r+ 5x + 64 ; x2 - 4

(x+ 2) = (x + 2)

Para hallar el M.CO. de dos o más expresiones algebraicas, se halla el M. C D. de los coeficientes (parte numérica), a continuación se escriben las letras comunes con su menor exponente.

Si la parte literal son polinomios factorizables, entonces se descomponen en sus factores y se toman los comunes con su menor exponente.

b)

Ejercicio 6.21

lo Halla el M.C.D. de:

a) 14; 42 f) 3z;21z2 k) 30fv ; 42fv

b) 21 ; 343 g) 12m; 108 1) 15a3t1-; 30a4b; 45a3tr

el 7a; 14b h) 4d; 32d m)50xyz2 ; 25xyz3d) 2c; 6¿ i) 33x; 11 n) 3mn3¡i ; 12m2n2p2e) 9m2·81m j) 6y; 36my o) 20; 8V't; 12vf

,2. Halla el M.C.D. de cada una de las siguientes expresiones.

a) 30m3n; 42m2n2 h) 2x + 2 ; xl-1b) 42p3cf ; 54¡iq j) xl - 9; 2x + 6

el 20xly; 28xy3 j) xl + 8x+ 15; (x+ 3)2d) 28a2t1-c; 36ab3¿ ; 40a3b2 k) (x + 5)2 ; xl - 25e) 32r3sl ; 48rsf ; 64rst 1) ~-8;xl-4

f) 170m3n2 . 204m2n3 . 34mn m) xl + 12x + 36 ; xl + 7x + 6, ,

g) 33vwy; 77vwy; 121 vwy3 n) (x + 2)3 ; (x + 2)2 ; xl - 4

INIMO COMUN MULTIPLO

Recordemos cómo se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más cantidades aritméticas.

Ejemplo

Hallemos el m.c.m. de los números: 9 y 18.

9 3 3 3 1

18 2 9 3 3 3 1

18 = 32 X 2

Descomponemos los números dados, en sus factores primos:

Tomamos los factores primos comunes

y no comunes, con su mayor exponente: 32 x 2 = 9 X 2 = 18

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 9 y 18 es 18

6.3.1 MINIMO COMUN MULTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Así como es posible determinar, el m.C.m. de dos o más valores constantes (números), también podemos hallarlo para expresiones algebraicas.

El procedimiento es el mismo, solamente que ahora existen partes literales. Veamos el

procedimiento.

Solución

Ejemplo 1

Determinemos el m.c.m. de 30ryz3 y 15~y2z.

Descomponemos los coe!icientes en sus factores primos:

m.c.ro.de 30 Y 15, (2 X 3 x 5): 30

m.C.m. de ryz3 y ~y2z : x3y2z3

m.c.m. de 30ryz3 y 15~y2z = 30x3y2z3

Ejemplo 2

Deterninemos el m.c.m. de: 50a2b2c2; 80ab3c y 120a2bc3

Solución

m.c.m. de 50, 80 Y 120:

1.200

m.c.m. de a2b2c2 ; ab3c y a2bc3: a2b3c3

m.c.m. de 50a2b2c2; 80ab3c y 120a2bc3 = 1.2ooa2b3c3

Ejemplo 3

Deterninemos el m.c.m de: X2 + 9x + 20 ; r - 16 Y 4x + 16

Solución

Como las expresiones son polinomios debemos factorizarlas :

El m.c.m. serán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente:

r + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4) r-16 = (x+4)(x-4) 4x + 16 = 4(x + 4)

= 4(x + 5)(x + 4)(x - 4)

La característica fundamental del m.c.m. de dos o más cantidades, es que éste es divisible por cada una de las cantidades dadas. Compruébalo en el ejemplo desarrollado.

Para hallar el m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, se halla primero, el m.c.m. de los coeficientes y luego se agregan a éste las letras comunes y no comunes, de las expresiones dadas, con su mayor exponente.

Si la parte literal de las expresiones son polinomios factorizables, entonces, efectuamos la factorizaci6n y tomamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejercicio 6.3

Determina el m.c.m. de cada una de las siguientes expresiones.

c) 46a3; 69a2b3c

d) 7mn; 10m3n; 14m2n3

e) 19p2cf; 39pcf ; 342p3q4

f) 16~y2z; 48xly ; 150x~

g) 1 02a3gcd 3 ; 192¿d ; 306a/jc

h) 1 08m3n2; 216nrn3 ; 432m3n3

g) 812d2;100c4d3;300¿d3

h) 210r; 39v4~; 6oV3z

j) 80X4~; 120x4y2; 300yr

j) xl + 4x + 4; ~ + 8

k) (X-1)2; xl -1; 5x- 5

1) xl -llx+ 24; ~ - 27; {X-3)2

ELACION ENTRE EL M.C.D y EL m.c.m. DE DOS O MAS CANTIDADES

Los conceptos M.C.O. y m.c.m., los has estudiado en muchas ocasiones, en tu primaria, en el conjunto N (grado sexto); en el conjunto Z (grado 7) y ahora nuevamente, para aplicarlo a expresiones algebraicas. Pero ¿te has preguntado alguna vez qué relación existe entre ellos?

eámoslo por medio del siguiente ejemplo.

Ejemplo

Hallemos la relación entre el M.C.O. y el m.c.m. de 105a2b3c; 21Oab2c3

Solución

En primer lugar descomponemos los coeficientes en sus factores primos:

105 3 210 235 5 105 37 7 35 51 7 7

1105=3x5x7 210 = 2 x 3 x 5 x 7M.C.D.de 105a2b3c y 21Oab2c3 = 105ab2c m.c,m. de 105a2b3c y 21Oab2c3 = 21Oa2b3c3

Multipliquemos las expresiones dadas: (105a2b3c)(210ab2c3):

Multipliquemos el M.C.O. y el m.c.m.: (105ab2c) (21Oa2b3c3) :

Comparando los dos resultados vemos que son iguales.

La relación que existe entre el M.Co. y el m.c.m. de dos o más cantidades I es que el producto de ellas es igual al producto del M. C D. por el m.c.m. de las mismas.

Ejercicio 6.4

Comprueba la relación existente entre el M.C.D. y el m.c.m. para las siguientes cantidades.

a) 21 ;343

b) 13a2; 26a3

c) 7 a2xZ ; 49a~

d) z + y; 3xz+3xy

e) sJ:l- 1Sb; b3_ 3b2

f) mn + n ; m2+ m

. REDUCCION DE FRACCIONES

En el estudio del tema, reducción de fracciones algebraicas, tenemos que recordar, cómo simplificamos una fracción.

Recordemos mediante la solución de algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Simplifiquemos o reduzcamos el racional, ~ 18

Solución

Conocemos varios métodos para llegar a la respuesta correcta.

Usemos la forma más sencilla, pues solamente necesitamos recordar los criterios de divisibilidad, es decir, cuando un número es divisible por 2, 3, 4, etc.

En nuestro ejemplo, 1~,tanto el numerador como el denominador son divisibles por 3 entonces, los expresamos como un producto de factores, cancelando los términos que sean iguales:

9 _3x3_1 18 - 6 x3 - 6

Nuevamente los dos términos de la fracción son divisibles por 3, entonces: .3. = lx3=1.

6 2x3 2

Este proceso se puede realizar mentalmente y obtener de ~, directamente su fracción

equivalente, }. 1

Ejemplo 2

Simplifiquemos o reduzcamos la fracción io

, ..

Solución

Aplicando el proceso visto en el ejemplo anterior: í = 1 x5 = 1.

20 4 x5 4

Hemos aplicado el principio fundamental de la fracción.

Para cualquier polinomio p, q y k, donde q, k son diferentes de cero,

se cumple que: p x k = E. qx k q

Esto indica que para simplificar fracciones, escribimos el numerador y el denominador como un producto de factores y luego cancelamos aquellos que sean comunes

1 REDUCCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ya recordamos cómo simplificamos fracciones; utilicemos el concepto anterior, para reducir fracciones algebraicas.

Ejemplo 1

Reduzcamos: 6m2n 2

9m3n

Solución

Fracción dada:

~ 9m3n

_ (2n)(~

- (3m) (3m2ffr

= 2n 3m

Descomponiendo en factores:

Cancelando los factores comunes:

Ejemplo 2

Reduzcamos: 10a2b

20ab2

Solución

Fracción dada:

~ 20ab2

= (lOab1(a) (j.OaoT(2b)

Descomponiendo en factores:

Cancelamos los factores comunes: = .fL

2b

Ejemplo 3

Reduzcamos: 3x +3 xLI

Solución

Fracción dada:

Como el numerador y el denominador no son monomios sino binomios,

los factorizamos:

3~

=

iv+-lr(x -1)

= _3_ x-l

Cancelamos los facto~s comunes:

Para simplificar fracciones algebraicas, se expresan numerador y denominador como el producto de factores (se factoriza); luego se cancelan todos los factores comunes del numerador y del denominador.

Ejercicio 6.51

Simplifica o reduce las siguientes fracciones.

a) ~ g) - 6X3Z2 m) 5x+5

36 12xz2 3x+3b) 120 h) 4m3n4 n) 2x3-4x2+2x

360 10m3n2 x2-2x+ 1

e)

12a 2

j)

- 7XS,t3Z

o)

3x3+30x2+75x

40ab -35x4y3z2 (x+ 5)2

d)

-21z2

j)

&J2b3c4

p)

x2-16

-7z3y -12a2b3c x2-8x+ 16

e) 15m k) 15 m5n6q) x2-1

45 3m7nS (x- 1)(x2 +x+ 1)f) 6a 2 b 3 1) 56ab2c3cf r) {x-1P

3a 7a2b2c2cf (X3_ 1)

6.5.2 AMPLlFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICASRecordemos que amplificar, es expresar una fracción en términos mayores pero equivalentes. Ahora, veamos cómo podemos amplificar una fracción algebraica a términos mayores.

Ejemplo

Amplifiquemos la fracción algebraica 3m 2 , a una fracción equivalente cuyo numerador

sea 12m5. 4n

Solución

Fracción dada:

3m 2 4n

Busquemos una expresión que multiplicada por 3m2, dé, 12m5:

Multipliquemos ahora numerador y denominador por el cociente obtenido:

(3m 2 ){4m 3 ) (4n) (4m3)

12m 5 16m3n

Efectuando:

Para amplificar una fracción algebraica, se multiplican el numerador y el denominador por una misma cantidad, diferente de cero.

Ejercicio 6.6

Completa la amplificación, de las siguientes fracciones algebraicas, escribiendo en el

rectángulo la expresión correcta.

al 3a 2 = O

4b 20a2b2

bl jL= O

2x 2 y = 14x4y3

dl r-I

7z L--J

el

__ 1'-----_ = 5

3x2y3z4 O

i)

el

j)

f)

3y3 8m

i)

6 OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES

Con fracciones algebraicas podemos efectuar operaciones, como la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, etc.

Adición y sustracción de fracciones

Recordemos cómo se adicionan dos o más fracciones, con la solución de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Efectuemos la adición de las fracciones: ..1 + 2. 2 2

Solución

Operación indicada:

Como las fracciones son homogéneas, sumamos los numeradores y dejamos el denominador común.

= 3+5

2 =.3.=4 2

Efectuando:

Ejemplo 2

Efectuemos la adición, ..1 + l. 5 4

Solución

Operación indicada:

Como las fracciones son heterogéneas calculamos el m.c.m. (20 en este caso):

3(4)+1(5) 20 12+5= TI

20 20

Ejemplo 3

Efectuemos la siguiente operación y simplifiquémosla si es posible: 3sab2+ Sa 9b2

Solución

Operación indicada:

Como son fracciones heterogéneas, hallamos el m.c.m. de los denominadores:

72b2, es el común denominador, entonces,

(3a 2 )(9b) +(5a) (S)

72b2

= 27a2b +40a 72b2

transformamos los numeradores:

Resolviendo obtenemos:

Ejemplo 4

Efectuemos la siguiente operación:

2x +~

x2+Sx+6 xL9

Solución

Factorizamos los denominadores:

2x + Sx

(x+3)(x+2) (x+3){x-3)

Hallamos m.c.m. de los denominadores, que es el común denominador:

(x +3) (x -3) (x + 2)

Transformamos los numeradores y operamos como adición de homogéneos:

2x{x-3)+Sx{x+2) (x+3){x -3)(x +2)

Efectuando:

2x L 6x+Sx2+lOx

=

(xL9)(x +2)

Reduciendo términos semejantes:

= 7x2+4x

(xL9){x +2)

Para efectuar la suma o resta de fracciones algebraicas, con diferente denominador, (heterogéneas) se procede así:

Se halla el m.c.m. de los denominadores, que es el denominador común.

Se divide el m.c.m. por el denominador de cada fracción y el cociente se multiplica por el numerador correspondiente.

Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica la fracción resultante, si es posible.

Si los denominadores son iguales, se suman los numeradores y se deja el denominador común.

9b: lo Efectúa y simplifica.

a) 7m +_2_ 1) ~ ~ 2z-x+ +--

Sw Sw xy yz xzb) Sa +_1_ m) b2-e e2-a a2_b2

--+--2a2 2a2 2b 2e 2a

c) _2_ +_1_ n) 2 +

9x2y 9x2y 3(m +3)2 4(m + 3)(m -3)

d) ~ __ 2_ o) 4x +~+

8rfi3n 8nPn x2+Sx+6 x2-9 x3-27e) --.2!l.. _ 3m p) _5_- 3x

n-1 n-1 x2-9 x2+6x+9f) _5 ___ 3_ q) ~+_2 __

2x+ 1 2x+ 1 m-2 m-3 w-Sm +6g) m-3n n-m r) x2 +~ +_2_

-----8m 3n x2+2x+ 1 3x+3 x2-1

h) x+2y _ x2y-3xy2 s) 2w - 3mn + 5m3

.,2xy Sx2y 4w-9 8m -12 2m-3i) 5- a + .iL±.3.+_2_ t) 3 +~_ 2x2

2a a2 3a2b 3x(x-1) Sx-S x2-2x+ 1

j) 2x+ 1 _ x -6 +K u) 4m-7 +_2 __ ~

Sx 4x2 2 w-3m + 2 m-1 2m-4k) 3m+2 + m-1+ m+1 v) 4x +~ 2x-1

---m2n 6mn2 3 wn2 x2-2S x-S x-S

2. Aplicando la ley de los signos, coloca los paréntesis en los denominadores de los siguientes ejercicios para igualarlos.

Observa que: y - x = - (x - y), es decir, que todo paréntesis, precedido del signo negativo, afecta a los signos de las cantidades que están dentro de él.

a)_ 2 _ + _ 3_

x- 4 4-x

b)

~ + _3_

m- 1 1 -m

c)

~ + _ 1_

5- a a-S

d)-..JL + ~ __ 3_

2-x x-2 x-2

~ + _2_ +_1 _ x2-4 2 -x x-2

e)

~ __ 2_+_2_ -x+S x-S (x-S?

z-l __ 1 2 _

g) z2+z 2z-2 2z+2

f)

2y

h) -')-my 2

flr- - m +my

Multiplicación de fracciones algebraicas

Recordemos cómo se multiplican dos o más fracciones aritméticas.

Ejemplo

Hallemos el resultado de: ..1 x 2 8 7

Solución

Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:

(3)(5)

---

(8)(7)

Efectuando obtenemos el resultado: = 12

56

El proceso para multiplicar fracciones algebraicas es idéntico al de las fracciones aritméticas, teniendo muy presente la propiedad del producto de potencias de igual base. Veámoslo:

Ejemplo 1

Hallemos el resultado de: ..1 x ...i.

x2 xy

Solución

Efectuando el producto:

_ (3)(5) (x2)(xy)

=12

x3y

Ejemplo 2

5x+5 x x-l Efectuar:

x+l xLI

Solución

Factorizando, los miembros del numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda fracción, tenemos:

5(x + 1) x (x+l)

(x-l)

(x+l)(x-l)

Simplificando:

=2x_l_

1 (x+l)

=_5_

x+l

Efectuando obtenemos el resultado:

Para multiplicar dos o más fracciones algebraicas se descomponen numeradores y denominadores, en factores, hasta donde sea posible. Se simplifican o cancelan los factores comunes y luego se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores; este producto se divide por el producto de las expresiones de los denominadores.

Ejercicio 6.8 I

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) 1. x J.. 7 4

b) 1.. x lQ. x H

5 7 21

el ...J.L.. x 3a 2

21tl 14b

d) 2ab 2 x 9a 3 b

3a2b 12ab3

2. Efectúa las siguientes multiplicaciones indicadas.

a) m x 3n2 h) 3x+3 x 4x 2 2n Sm 2x x2-1

b) 2x 3 x ~ j) x2-x X X + 1

3y2 4x x -1 xel 2.. x 3tl x 4a 2 j) x2-4 x x2-9

a 4a 2b x+3 x2-4x+4d) 3x 2 y x 8wz 3 X 6xy k) x2+Sx+6 x x2-1

4wz 9xy2 2wz x-1 (x+3)2e) 1 x Sa x 2b 2 1) m3-2'7 x m2-6m +9

a b 10 m2-9 m-3

f) x+2 6x2 m) x2-2S 3 x 2

x -- x

3x x+2 9 (x-sf x3 + 125

g) ~ x --ª-- x a -2 n) _4_xx2+8x+16 x x2-2S

a-2 a-2 8 x+4 x-S 3

División de fracciones algebraicas

Recordemos cómo se efectúa la división de fracciones aritméticas.

Ejemplo 1

Efectuemos la siguiente operación: J.. + 1.. 5 4

Solución

Operación indicada:

Multiplicando la primera fracción, por el inverso multiplicativo de la segunda:

Efectuando obtenemos:

Este mismo procedimiento se utiliza para la división de fracciones algebraicas

Ejemplo 2

Efectuemos el cociente: 2x 2 + 4x

3y 9y2

Solución

Operación indicada:

Aplicando el concepto de división en fracciones aritméticas, tenemos:

= 2x 2 X 9y2

3y 4x

= (2x 2 ){9y2) (3y) (4x)

= 18x2y2 12xy = 3xy

2

Para dividir fracciones algebraicas, se multiplica el dividendo (primera fracción), por el inverso multiplicativo del divisor, efectuando las descomposiciones en factores y simplificaciones respectivas.

Ejercicio 6.9 r

Efectúa las siguientes divisiones indicadas.

a) 3m + 6fTJ12 h) .a±.1 + a + 1

4m3 n 2mn 2 6a

b)

L ... ..2L

i)

a2-4 + a+4

3if Sb3 (a+4f 5

el

Sx2y + 10m3y2

j)

x2_,r:2 + x+y

8y2z 16yz2 x2_2xy+y2 3

d)3ab 2 +6a 2 b

k)4m + 8m2

Se lSc m-4 m2-6m+8

e)

~ + 9a

1)

a2-6a+9 + a2+2a-1S

2b 8b a2_ a-6 a2+2a

f)

.s¿ ~ m)

m2-121

+

m2+11m

+

2 3 m2-64 m+8

g)--º- ~ n)

x3-27+ .K±..l.

+

5m2 Sm x -3 x2-9

Multiplicación y división combinadas, de fracciones algebraicas

Las operaciones de multiplicación y división en fracciones algebraicas. se pueden combinar. En estos ejercicios debemos tener cuidado. en el orden jerárquico de las operaciones.

Ejemplo

Resolvamos:

2m-2

-- x

nL25

m-l)+ _3_ n-5 (n +5)

m-l) ~ (2(m-l) (m-l)) (n +5) n-5 + (n+5) = (n+5)(n-5) x (n-5) x-3-

= 2(m-l)2 x (n

~n-5)2 3

2(m-l)2

=

3(n -5)2

Solución

2m-2

--x nL25

Ej ejercicio 6.10

1 . Efectúa:

a) .1xli+l f) (fu +~) x (U + _1 )

4 9 3 4yz Sx X2 9 y2

bl S + (2 x ¡-) gl (~ x ~) + (4X 3 )

Sx5 X2 yel llx .1+ª- h) 3x2+ (~ x 9K)

9 4 3 Z2 3x 8y

dl ±ab x _1 + _a_ i) (x x lb) x JL

S 3c 2hc 4g c2 Sa

e) lxyz + (-.l x 12X Y Z ) j) ~ +(~ x~)

2 4x 7 Y x5 X2

2. Efectúa:

al x 5 + (x2 L) e) X2 - x - 6 x ( 5 .•. ~ )

3y 6yX 4x3 4x+8 x2.-5x+6 (x-2fb) (~; + ~~) xL f) ( m2-Bm + 7 x m2-36 ) + (m -6)

4x3 (m-6)(m-S) m2-1 m2-1

el ( X2 - X - 6 5)...3 g) (x2- 3x x Xy2-2xY).... y

4x+ 8 X x2-5x+ 6 . (x-2f y2-2y x2-9 . y{x +3)

dl(X3-27 x X 2 -4 )+ x2+3x+9

h)(2m2+3m x mn2-2mn) .•. m

x2- x-6 . 3 x+2 n2-2n 4m2-9 2mn-3n

7 FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPLEJAS

Existen fracciones algebraicas en las que el numerador o el denominador, o ambos son fracciones algebraicas. Algunos ejemplos de esta clase de fracciones son:

_1_ ---L

x 3 x+2 4x+8

_2_ _4_ _5_ __5_

x 5x: x-I ;-5x:+6

Estas fracciones se llaman, fracciones algebraicas complejas. Con ellas podemos realizar todas las operaciones vistas. Veamos:

Ejemplo

.1+3 Resolvamos: _x_

.1-2

x

Solución

Efectuemos primero las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador:

1(¡)+3(x)= x1(1 )-2(x)

x1 +3%xI-a-xEfectuando obtenemos:

Efectuando la división indicada:

=L±k x_X_

X 1-2x

Simplificando, obtenemos:

= 1+3x1-2x

Para simplificar fracciones complejas, primero se efectúan las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador, luego se divide el numerador resultante por el denominador.

Ejercicio 6.11

Resuelve las siguientes fracciones algebraicas complejas.

x +1 a2_b2 -.L -x -º-+-º---ª---

a) x c) ab e) ~3 g) m n mnX _1 a-b -.L - 1 J!. + 2. _11.

-x b x2 m n mnJ. +2. 1_1 X -~ x2 - be - 8

b) x y d) x y f) 3~ h) x2 - 9x + 202. _1 ~ Y _-L x2 - 4x y y 3x x2 - 6x + 5

ECUACIONES RACIONALES DE PRIMER GRADO

En la unidad 5, vimos cómo se resuelve una ecuación de primer grado, o, lineal, pero eran ecuaciones enteras. Teniendo en cuenta los conceptos vistos sobre expresiones algebraicas racionales, iniciaremos ahora el estudio de ecuaciones racionales.

Ecuaciones fraccionarias

Observemo& la forma de resolver ecuaciones fraccionarias.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación: .Lx + ..3. = .L 342

Solución

Hallamos el denominador común:

Dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo:

-±- x +.-2.- = -º- 12 12 12

Transponiendo términos:

3....x = -3 12 12

1; Ui)x = (~;)(~)

x =_.3. 4

Eliminando denominadores:

Una ecuación es fraccionaria, cuando los coeficientes son números fraccionarios.

Ejercicio 6.12

Resuelve las siguientes ecuaciones .

a)

.3K_.l=l 4 4 4

3x-2 x-3 3

--+--=-

428

.l+2=L

5 6 60

g)

e)

1. y_.l = _1 3 8 24

.1 t- 6 = _1 5 10

K+.l=l

5 4 2

..9.x-l=3

5 6

b)

f)

c)

h)

j) .1.w_~=_l7 14 28

j)ls=1.+Í-

9 9 36

k) lm+.l=_l

3 5 151) la-.l=_l

6 8 12

Ecuaciones racionales

Veamos qué sucede cuando la incógnita o variable aparece en el denominador de UIU fracción algebraica.

Ejemplo

Resolvamos: ~ - 1 = _3_

x-l x+l

Solución

Ecuación dada:

~_1=_3_ x-l x+l

Hallamos el m.c.m. de los denominadores:

:-==:=~I - ~I ~~ (x-l)(x+l) (x-l)(x+1) - (x-l)(x+l)

Dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos por el numerador respectivo:

x(x+l)(x-l)(t+l)

(x - 1) (x + 1) = 3 (x - 1)

(x-l)(t+l) (x-l)(t+l)

Efectuando las operaciones indicadas:

X2+X-x2+1 3x-3

-:(x---=l:-:-) (t:--+-l::-:-) = -(x---I-) (t-+-l-)

Simplificando:

x+l = 3x-3

Transponiendo términos:

1+3 = 3x-x

Resolviendo para x:

4 = 2x

Simplificando:

~=x 2

2=x

Luego la solución es x = 2

Ecuaciones racionales son las que tienen la variable en el denominador.

Para resolver una ecuación racional, se procede asf:

Se determina el m.c.m. de los denominadores, que viene a ser el común denominador.

Se divide el m.C.m. por cada denominador y el cociente resultante en cada caso se multiplica por el numerador respectivo.

Se efectúan las operaciones indicadas, agrupando t~rminos semejantes y por último se despeja la incógnita o variable.

Determina el valor de la variable (incógnita) en cada caso.

a) x- 48 =-8 x

f) l-2=11 7y Y

f) _6_ =_8_ n-8 n+10

g) 1 - 2 + 1= 4

x x x

k) x-1 = 1- x 3

1) x-1 = 1- x-2 2

m) _2_ = _3_ x-2 x-1

n) 2- x= 1 2x-2

o) 3x -2 = O x-1

b) x-N = 3 x

c) x+ li = 8 x

d) x-2 = 1- x+3 4

e) m +5 = 1-

m-1 5

j) x-3 = _3_

x-S x-S

j) _5_ = _3_ x+ 6 x-8

2. Determina el valor de la variable en cada caso.

a) -.lL = -±z+2 z-2

1) x +2 _ 2 + L = O

3x-6 3p+6 9

b) _7_ = _2_

y-3 y+2

c) .5. = v-3

v 2

m) x + m _ x + n = m 2 + n 2 - 2

m n mn

n) 3z-2 _ 16-3z = z.±.1

15 z+6 5

d) ..L + 1l. = 1l. + 1 x t t

o) m+l - 5m-6=0 4

p) 3x+ 2 _ x -1= A.

4 3 3

e)~=~ y-4 6

f) --L+J..=L

4m m 8

q) --L = .1

z+2 z

g) ~ _ 2 = e-8

e+2 e-2

h) Se - ~ + 6 = O e+1

s) 2x+4 _ 3x-6 = l

5 4 20

j) K..±.5. _ L = í

2x 3x 12

j) d . __ 2_ = d - 1

d-3 3 - d

k) _4_ + L _1 = O 3k-2 3k k

t) Sx + 1 O = 4x + 8

(x+2) x2-4

u) 16x+3 = O 5

v) 18. - .1 = l

x x 3

RESUMEN DE LA UNIDAD

Fracciones algebraicas.

Son expresiones de la forma :' con b '#. O. y a y b son polinomios algebraicos, de una e más variables.

Valores admisibles de una variable:

Es el conjunto de todos los valores de la variable, que hacen que el denominador de un fracción algebraica, sea diferente de cero.

M.C.D. de expresiones algebraicas:

Se halla el M.C.D. de los coeficientes (pan numérica), luego se escriben a continuació de éste, las letras comunes (parte literal) cm: su menor exponente.

m.c.m. de expresiones algebraicas:

Se halla el m. c.m. de los coeficientes y se agregan a éste las partes literales comunes y n comunes con su mayor exponente.

Relación: M.C.D. m.c.m.:

Dadas dos expresiones a, b, cualesquiera, se cumple que: a x b = M.C.D. (a, b) x m.c.m. (a,b).

Reducción de fracciones algebraicas:

A. A términos mayores: Si a, b, k son polinomios, donde b'#. 0, k '#. O, se cumple que !! = axk

b b xk

Operaciones:

B. A términos menores: Sip, q, k, son polinomios, donde q '#. ° Y k '#. 0, se cumple que pxk = !!...

q xk q

Si a, b, p, q son polinomios, con b '#. 0, q '#. O entonces:

~ + e.. = (axq)+(bXp) A.

b q bxq

b q bxq

c. !!xe.. = axp

b q b xq

D. ª- + e.. = !! x !I= a xq

b q b P bxp

RC/C/OS DE REPASO

Reduce (simplifica), las siguientes expresiones racionales.

a) 5x2y2 d) 30x3y4z& g) x3-27

25xy 30x2y4zs x2+3x+9b) 3m3n s e) x2-9 h) x3-1 Ox2 + 25x

9m2n4 x2+6x+9 x2-25c) 56a4b6c f) m2-4 j) 4a2 +32a+ 64

112a4b6 m2-5m +6 a2-162. Completa la amplificación colocando en el respectivo rectángulo, la expresión correcta.

a) 13x2y3 = 30xsy6 d) m-3

---8z3 I I m+5 m2-25

b) 5~n6 I I e) a-2 ==7a4 b3 35a4b3 a2-2a+4 a3+8

~ ~=c) f)=3a+3b 6a2_6b2 m-n m2_n2

3. Determina el M.C.D. de las siguientes expresiones.

a) a2~c; 5ab¿ g) 3x2; x2 - 9; x2 - 5x + 6

b) 3m3n2·9mn3 h) 15x2y3; 5x2 - 125; x2 - 1 Ox + 25,c) 15Ky; 45xy3; 5x2y4 j) ~ - 27; x2 - 5x + 6; 3x2 - 9x

d) 3m4n3; 9m2n4; 18m3n4 j) (x + 6)2; ~ + 216; 2x + 12

e) 5a4b3c; 10a3b4¿; 15ab¿ k) x2 - 2x + 1; x2 - 1; 2x - 2

:;: f) 7p4cf, 14p3cf5l; 28~cf~ 1) 3x2 + 15x + 18; ~ + 8; 5x2 + lOx

4. Determina el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas.

a) ~y ; m4n2 g) 15x2y3; x2 - 16; x2 - 8x + 16

b) 6a3~. 10a4bc h) 25a2b3c4; x2 - 25; K + 125,

el5m4n2. 25m3n6x

j) x2 + 9x + 20; x2 - 16; (x + 5)2,

d) 4a4~; 10a3¿ j) (x+2)(x2-2x+4); x2 +4x+4; x2 + 9x+ 20

e) 2~y3; 20Ky4; 25~y4z k) (x + 3)(x - 3); x2 + 7x + 12; x2 - 16

f) 12m3n2c.t; 26m5n3; 36m4n3¿> 1) 3x + 3; x2 + 2x + 1; x2 - 1

5 Efectúa las siguientes operaciones indicadas.

al 7 -3x = 2+4x

x x

j) m-2 x m+2

m+3 m2-3m+9

bl 6-4y + 2=.x

y+l y+1

j)

3x 2 -108 x ---..5.-

15 x+6

el 7m-2 __ 6m_-_1

m-1 m-1

k)

a - 3 x 'ª--±.1 a+2 a-2

d) x2+2 _ x -2

x2-1 x-1

1)

x-9 x+1

x+9

e) 2x+1+ _x_

x2-6x+9 x2-9

m) 15x-5 x x +4

5x+20 x-1

f) _2 __ ~+x2+3x+3 x+ 5 x-1 X2 +4x-5

n) x+2 x+3

x2-3x+9

+---

x-2

g)~ 3m-1

m + 10m2+ m

3m + 1 9m2-1

m2-25

o) +

3m2-12

m-S 3m-6

2a2+12a + 3a+18

p) a 2 - a 4a 3 -4a

6 Determina el valor de la incógnita (variable) en cada uno de los siguientes casos.

a) K - í = ±

3 12 9

g)

_7_ -1. = 3

m-2 2

b) K - K = l 432

h)

x+3 _ K = 4

2 3

el m-2+1.=..1 324

i)

5m +5 = 3 m-1

d) 3b - 5 = l

4 4

2a-3-~=1

9 6

e) n+ 5 - L = í

2n 3 n 12

k) 1. -~ = _2_

3 9z2-1 3z-1

5m 2 -27m - -l = m-6

f) 60+ 1 = _5_

t2 -36 t-6

1)

5m+3 m