ConteoConteo

Profesor Hugo Araya CarascoProfesor Hugo Araya Carasco

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CONTEOCONTEO

• Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.enumerar eventos difíciles de cuantificar.

• Ejemplo : ¿Cuántas maneras tiene una persona de Ejemplo : ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?.diferentes de licuadoras?.

• Se les denomina técnicas de conteo a las: Se les denomina técnicas de conteo a las: – combinaciones, combinaciones, – permutaciones y permutaciones y – diagrama de árboldiagrama de árbol

• Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo. son el principio multiplicativo y el aditivo.

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PRINCIPIO MULTIPLICATIVOPRINCIPIO MULTIPLICATIVO • Si se desea realizar una actividad que consta de Si se desea realizar una actividad que consta de rr pasos, en pasos, en

donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de llevado a cabo de N1N1 maneras, el segundo paso de maneras, el segundo paso de N2N2 maneras y el r-ésimo paso de maneras y el r-ésimo paso de NrNr maneras, entonces esta maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: actividad puede ser llevada a efecto de:

N1 x N2 x ..........x NrN1 x N2 x ..........x Nr maneras maneras

• El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

• EjemploEjemplo : “ : “Una persona desea armar un computador, para Una persona desea armar un computador, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower). ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su (Tower). ¿Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?”PC?”

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PRINCIPIO MULTIPLICATIVOPRINCIPIO MULTIPLICATIVO• ¿Cuántas patentes para automóvil pueden ser diseñadas si ¿Cuántas patentes para automóvil pueden ser diseñadas si

deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, los dígitos del 0 al 9?,

a.a. Si es posible repetir letras y números, Si es posible repetir letras y números, b.b. No es posible repetir letras y números, No es posible repetir letras y números, c.c. Cuántas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D y Cuántas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D y

empiezan por el cero, empiezan por el cero, d.d. Cuantas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D Cuantas de las placas diseñadas en el punto b empiezan por la letra D

seguida de la G.seguida de la G.

• ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?,

a.a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, repetir dígitos,

b.b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c.c. ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b empiezan por el número ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b empiezan por el número

siete?, siete?, d.d. ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b forman un número ¿Cuántos de los números telefónicos del punto b forman un número

impar? impar?

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PRINCIPIO ADITIVOPRINCIPIO ADITIVO • Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene

formas alternativas para ser realizada, donde la primera de formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la segunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :de :

M + N + .........+ W manerasM + N + .........+ W maneras

• EJEMPLOEJEMPLO: “Se desea : “Se desea desea comprar una lavadora de ropa, desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer la marcas Whirpool, LG y Mademsa, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, semiautomática, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca M, se presenta en solo un tipo de y la lavadora de la marca M, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay carga, que es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras existen de comprar una semiautomática. ¿Cuántas maneras existen de comprar una lavadora?”lavadora?”

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PRINCIPIO ADITIVOPRINCIPIO ADITIVO• Usted desea ir a La Serena o a Viña del Mar en las Usted desea ir a La Serena o a Viña del Mar en las

próximas vacaciones de verano, para ir a La Serena próximas vacaciones de verano, para ir a La Serena él dispone de tres medios de transporte que lo él dispone de tres medios de transporte que lo llevaran desde Talca a Santiago y dos medios de llevaran desde Talca a Santiago y dos medios de transporte para ir desde Santiago a La Serena , transporte para ir desde Santiago a La Serena , mientras que para ir de Santiago a Viña del Mar mientras que para ir de Santiago a Viña del Mar tiene cuatro diferentes medios de transporte, tiene cuatro diferentes medios de transporte,

a)a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Ud. Para ir a La ¿Cuántas maneras diferentes tiene Ud. Para ir a La Serena o a Viña del Mar ?, Serena o a Viña del Mar ?,

b)b) ¿Cuántas maneras tiene Ud. Para ir a La Serena o a ¿Cuántas maneras tiene Ud. Para ir a La Serena o a Viña del Mar en un viaje redondo, si no se regresa Viña del Mar en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?. en el mismo medio de transporte en que se fue?.

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PRINCIPIO ADITIVOPRINCIPIO ADITIVO

• ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del del principio multiplicativo y cuando del aditivo?aditivo?

• Cuando se trata de una sola actividad, la cual Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del pasos, entonces haremos uso del principio principio multiplicativomultiplicativo y si la actividad a desarrollar o a y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del a cabo, haremos uso del principio aditivoprincipio aditivo..

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONPERMUTACIONES Y COMBINACION• Para entender lo que son las permutaciones es necesario Para entender lo que son las permutaciones es necesario

definir lo que es una combinación y lo que es una definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento. de querer cuantificar los elementos de algún evento.

• COMBINACIÓN:COMBINACIÓN:– Es todo arreglo de elementos en donde Es todo arreglo de elementos en donde no nosno nos interesa interesa

el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.que constituyen dicho arreglo.

•   • PERMUTACIÓN:PERMUTACIÓN:

– Es todo arreglo de elementos en donde Es todo arreglo de elementos en donde nosnos interesa el interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.que constituyen dicho arreglo.

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONPERMUTACIONES Y COMBINACION• Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una

combinación y una permutación, plantearemos cierta combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.situación.

• Suponga que un curso está constituido por 35 alumnos. Suponga que un curso está constituido por 35 alumnos. a)a) El profesor desea que tres de los alumnos lo ayuden en El profesor desea que tres de los alumnos lo ayuden en

actividades rutinarias tales como mantener el sala actividades rutinarias tales como mantener el sala limpia o entregar material a los alumnos cuando así limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. sea necesario.

b)b) El profesor desea que se nombre a los representantes El profesor desea que se nombre a los representantes del curso (Presidente, Secretario y Tesorero).del curso (Presidente, Secretario y Tesorero).

• Para a) es Para a) es ¿Es importante el orden como se selecciona a ¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?los elementos que forma el grupo de tres personas?

• Este ejemplo es una Este ejemplo es una combinacióncombinación, quiere decir esto que , quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos interesa es el contenido de los mismos

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONPERMUTACIONES Y COMBINACION

• Para b) Para b) ¿Importa el orden de los elementos en la ¿Importa el orden de los elementos en la selección? selección?

• Definitivamente sí, por lo tanto las representaciones Definitivamente sí, por lo tanto las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con tanto es este caso estamos tratando con permutacionespermutaciones. .

PRESIDENTE PRESIDENTE Daniel Daniel ArturoArturo RafaelRafael DanielDaniel

SECRETARIO SECRETARIO ArturoArturo DanielDaniel DanielDaniel RafaelRafael

TESORERO TESORERO RafaelRafael RafaelRafael ArturoArturo ArturoArturo

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PermutacionesPermutaciones• ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros

lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro universidad, si hay 14 instalaciones de nuestro universidad, si hay 14 participantes?.participantes?.

• Por el principio multiplicativo: 14x13x12x11 = 24.024 Por el principio multiplicativo: 14x13x12x11 = 24.024 maneras.maneras.

• Si Si nn es el total de participantes en el concurso y es el total de participantes en el concurso y r r es el es el número de participantes que van a ser premiados, y número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces:partiendo de la expresión anterior, entonces:14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)

= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!

= n!/ (n – r)!= n!/ (n – r)!

)!rn(

!nPrn

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PermutacionesPermutaciones• La fórmula anterior nos permitirá obtener todos aquellas La fórmula anterior nos permitirá obtener todos aquellas

selecciones en donde el orden es importante y solo se selecciones en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.diferentes.

• Para casos en donde se considere la totalidad de los Para casos en donde se considere la totalidad de los participantesparticipantes..

nPn= nPn= n!n!

EjerciciosEjercicios1.1. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles

formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.del sindicato de una pequeña empresa.

2.2. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si,

a. No es posible repetir dígitos, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.b. Es posible repetir dígitos.

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PermutacionesPermutacionesa.a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5

posiciones de juego de un equipo de baby posiciones de juego de un equipo de baby fútbol, si el equipo consta de 12 fútbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, integrantes?,

b.b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Hugo Araya (el puede ser ocupada por Hugo Araya (el goleador)?, goleador)?,

c.c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Hugo Araya y en otra una de ellas este Hugo Araya y en otra Rodrigo Cofre?Rodrigo Cofre?

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PermutacionesPermutaciones

Cuántas claves de acceso a un computador será Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. los dígitos del 0 al 9.

a.a. Considere que se pueden repetir letras y Considere que se pueden repetir letras y números, números,

b.b. Considere que no se pueden repetir letras y Considere que no se pueden repetir letras y números, números,

c.c. ¿Cuántas de las claves del punto b empiezan por ¿Cuántas de las claves del punto b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, la letra A y terminan por el número 6?,

d.d. ¿Cuántas de las claves del punto b tienen la letra ¿Cuántas de las claves del punto b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número R seguida de la L y terminan por un número impar? impar?

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Permutaciones con RepeticiónPermutaciones con Repetición

• En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes.arreglos son diferentes.

• Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.las letras de la palabra OSO.

• Suponer que todas las letras de la palabra OSO son Suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes .diferentes .

• Por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtenerPor lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:  serían:  33PP33 = 3! = 3!

• OO11SOSO22, O, O22SOSO11, SO, SO11OO22, SO, SO22OO11, O, O11OO22S, OS, O22OO11SS

• ¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, ¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen? se tienen?

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Permutaciones con RepeticiónPermutaciones con Repetición• OO11SOSO22 = O = O22SOSO11 OSOOSO• SOSO11OO22 = SO = SO22OO11 SOOSOO• OO11OO22S= OS= O22OO11S S OOSOOS• El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos El número de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos

los objetos como diferentes dividido por los cambios entre objetos iguales.los objetos como diferentes dividido por los cambios entre objetos iguales.• Caso Anterior El número de arreglos reales : 3! / 2! = 3 Caso Anterior El número de arreglos reales : 3! / 2! = 3

• nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k. objetos del tipo k. 

• n = x1 + x2 + ...... + xkn = x1 + x2 + ...... + xk

!x!.......x!x

!nx........,x,nPx

kk

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Permutaciones con RepeticiónPermutaciones con Repetición

• Obtenga todas las señales posibles que Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. verdes y uno morado.

• a.¿Cuántas claves de acceso a un a.¿Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar con los computador será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del punto a ¿cuántas de las claves del punto a empiezan por el número dos y terminan empiezan por el número dos y terminan por el número tres?por el número tres?

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#include <stdio.h>#include <stdio.h>#define true 1#define true 1#define false 0#define false 0

/* Esta función se llama cada vez que se obtiene una permutación./* Esta función se llama cada vez que se obtiene una permutación. Se ha definido que se imprima la permutación.Se ha definido que se imprima la permutación. Su contenido se puede modificar en función del problema que se desee resolver Su contenido se puede modificar en función del problema que se desee resolver */*/void process(int * P, int N) {void process(int * P, int N) {

int i;int i;

for (i = 1; i <= N; i ++) {for (i = 1; i <= N; i ++) { printf("%d ", P[i]);printf("%d ", P[i]); }} printf("\n");printf("\n");}}

/* Esta función intercambia dos posiciones del array *//* Esta función intercambia dos posiciones del array */void swap (int * x, int * y) {void swap (int * x, int * y) { int temp;int temp; temp = *x;temp = *x; *x = *y;*x = *y; *y = temp;*y = temp;}}

/* Necesario definir esta función para que el algoritmo funcione (ver artículo para detalles) *//* Necesario definir esta función para que el algoritmo funcione (ver artículo para detalles) */int B(int N, int c) {int B(int N, int c) { return ( (N % 2) != 0 ? 1 : c );return ( (N % 2) != 0 ? 1 : c );}}

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void permutations(int * P, int N) {void permutations(int * P, int N) { int c[N];int c[N]; int i;int i; for (i = N; i > 1; i --) {for (i = N; i > 1; i --) { c[i] = 1;c[i] = 1; }} process(P,N);process(P,N); do {do { if (c[i] < i) {if (c[i] < i) { swap(&P[B(N,c[i])], &P[i]);swap(&P[B(N,c[i])], &P[i]); process(P,N);process(P,N); c[i] = c[i] + 1;c[i] = c[i] + 1; i = 2;i = 2; } } else {else { c[i] = 1;c[i] = 1; i ++;i ++; }} } while (i <= N);} while (i <= N);}}

int main() {int main() {

int P[21] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}; int P[21] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}; /* El primer elemento no se utiliza por lo que/* El primer elemento no se utiliza por lo que

las permutaciones resultantes serán 123, 132, 213, 231, 312 y 321 */las permutaciones resultantes serán 123, 132, 213, 231, 312 y 321 */

permutations(P,3);permutations(P,3); return 0;return 0;}}

2020

COMBINACIONESCOMBINACIONES

• Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. de los mismos. 

• La fórmula para determinar el número de combinaciones La fórmula para determinar el número de combinaciones es:es:

!r)!rn(

!nC rn

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EjemploEjemplo

• a. Si se cuenta con 14 alumnos que a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de que consten de 5 alumnos cada uno de ellos,ellos,

• b.si entre los 14 alumnos hay 8 b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza ¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?contarán con 4 hombres por lo menos?