Teorfa de Conjuntos: Técnicas de...

CAPITUW 2

Teorfa de Conjuntos: Técnicas de Conteo

2.1 INTRODUCCION

En este capítulo se hará una breve introducción al área de las matemáticas que comúnmente se conoce como teoda de conjuntos. El conocimiento de los conjun

tos y algunas de sus propiedades serán útiles por dos razones: ( 1) para adquirir conocimiento del lenguaje matemático y de las convenciones sobre la notación

que se usará en muchos de los capítulos posteriores, y (2) para estudiar las técnicas de conteo y algunas aplicaciones a varias situaciones prácticas.

Las aplicaciones que se estudian en este capítulo pertenecen al área del análisis combinatorio, permutaciones y combinaciones. Por ejemplo, en la sección que trata las aplicaciones de las técnicas de conteo, se resuelven problemas relacio· nados con la recopilación de datos y se determinan formas para averiguar si tales

datos son correctos desde un punto de vista lógico. En las secciones referentes a permutaciones y combinaciones se contestan preguntas del tipo: lDe cuántas formas se pueden acomodar cinco personas en una camioneta de nueve pasajeros?

lCuántos resultados diferentes se obtienen cuando vota un comité de siete personas? En los capítulos subsecuentes se encuentran otros usos de las aplicaciones que se presentan en este capítulo.

2.2 DEFINICIONES PRELIMINARES

Hay muchos ejemplos de conjuntos con los cuales el estudiante ya está familiarizado. Por ejemplo, un estudiante puede ser miembro de cierta clase, digamos del grupo 101 de matemáticas. En este caso, el grupo 1 O 1 es un conjunto y cualquier estudiante que est~ inscrito en este curso es un elemento del conjunto. Un estudiante que no está inscrito, no es miembro del conjunto. Si ningún estudiante se inscribe en este curso del grupo 101, éste será un conjunto vacio, es decir, un conjunto que no tiene elementos.

Un conjunto S es una colección de objetos considerado como un todo. Los objetos de un conjunto S se llaman elementos de S, o miembros de S. Un conjunto que no tiene elementos recibe el nombre de conjunto vacio y se denota

mediante el símbolo CD. • .

47

48 lntroduccién a la teoría de conjuntos; técnicas de conteo

Supóngase que S es un conjunto y que a es un elemento del conjunto S. Entonces escribimos

a E S

que se lee: "a es un e lemento de S" o a está en S". S i a no es un elemento de

S, entonces escribimos

a f/:_ S

que se lee: "a no es un elemento de S" o "a no está en S ". Generalmente, un conjunto S se puede escribir en dos for mas. En los ejemplos

siguientes se ilustran e3tas dos formas de escribir un conjunto.

2.2.1 Ejemplo

Considérese el conjunto D cuyos e lementos son los dígitos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9.

En este caso, se escribe

O= {0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9}

que se lee : "D es el conjunto formado por los elementos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9". En realidad, lo que se está haciendo aquí es mostrar una lista de los

elementos del conju nto D. Otra forma de escribi r este mismo conjunto D formado por los dígitos es

como sigue:

O = {xlx es un dígito}

que se lee: "D es el conjunto de todas las x tales que x es un dígito". Aquí describimos el conjunto D dando una propiedad que tienen todos sus

elementos y que ningún elemento que no esté en D puede satisfacer; a saber, la propiedad de ser dígito. Esta forma de escribir un conjunto se llama notación descriptiva.

Por supuesto, cuando sea posible, se pueden usar cualesquiera de los métodos antes descritos para enuflciar un conjunto y sus elementos. Sin embargo, a me

nudo es imposible enumerar todos los elementos de un conjunto debido a la naturaleza del mismo. Ejemplos de tales casos se presentarán frecuentemente a medida que avancemos en e l estudio de las matemáticas elementales.

2.2.2 Ejemplo

Considere el conjunto S cuyos elementos son los días de la semana. Aqu í, podemos hacer una li sta de los elementos de S, escrib iendo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}.

En notación descriptiva, S se escribe:

S = {xlx es un día de la semana}

Es importante que el estudiante observe que los elementos de un conjunto no se repiten . Dado un elemento, éste se registra como miembro del conjunto una sola vez; un elemento nunca debe aparecer dos veces en el conjunto.

Así es que nunca escribiremos

{3, 2, 2}

Relaciones entre conjiJntos 49

sino

{ 3, 2}

Puesto que un conjunto es una colección de objetos considerados como un todo, e l orden en que aparecen sus elementos no tiene importancia. Entonces los tres conjuntos

{2, 3, 4}, {2,4,3}. {3, 4, 2}

son representaciones del mismo conjunto. Lo que hace diferentes a los conjuntos son los e/ementos que los forman y no el orden en que éstos aparecen.

Para represe ntar conjuntos se hará la convención de utilizar ietras mayúsculas, tales como A, 8 , etc., y letras minúsculas, como a, b, . .. x, y, para representar los elementos del conjunto dado.

Escriba cada uno de los siguientes conjuntos en dos formas .

1. El conjunto A formado por los dígitos del 6 al 9 inclusive . 2. El conjunto 8 formado por las voca les del alfabeto.

3. El conjunto C de los dígitos que representan su edad (en años).

En los problemas siguientes, substituir el asterisco por E o por ti para que la proposición sea correcta.

4.

5.

6. 7 8. 9.

3 * { 2, 3, 1} 0*{1,3}

1/2 * {xlx es un dígito} 10 * {xlx es un dígito} 4*{2, 1,6} Dar un ejemplo de un conjunto cuyos elementos' no se puedan enumerar fácilmente, pero que pueda describirse usando la notación descriptiva.

· 1 O. Dar un conjunto cuvos elementos puedan enumerarse, pero que no pueda escribirse en notación descriptiva.

2.2 Ejercicio

2.3 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Generalmente, cuando vemos dos personas podemos relacionarlas en muchas formas; por ejemplo, decimos que tienen el mismo color de ojos, que una es más alta o pesa más que la otra.

Estudiaremos cuatro formas de relacionar dos conjuntos. Si observamos los conjuntos

A={1,2}. 8={1.2,3}

notamos que los elementos de A también pertenecen a B. Esta es u na forma de compara r dos conjuntos.

Considere ahora los dos conjuntos siguientes

A={1.2}, 8={4, 5}

50 Introducción a la teoría de conjuntos; técnicas de conteo

Observando estos conjuntos, notamos que tienen e l m ismo número de e lem entos. Esto se observa fácilmente haciendo que los e lementos de los conjuntos considerados corresponden entre sí. Si u samos una doble flecha "~" para hacer ver esta

correspondencia, tenemos

1 ~ 4, 2~5 ó 1 ~ 5, 2~4

Por esto diremos que los conjuntos A y B son equivalentes. En seguida se definen más cuidadosamente estas relaciones entre conjuntos.

2.3.1 Definición

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Decimos que A es igual a B

A=8

si y sólo si A y B tienen los mismos elementos.

Si dos conjuntos A y B son iguales escrib imos A = B y si no lo son

A~8

2.3.2 Definición

Sean A -y B dos conjuntos no vacíos. Decimos que A y B son equivalentes si y sólo si existe una correspondencia biunívoca entre sus elementos. Por una correspondencia biunívoca entenderemos una relación que ,a cada uno de los ele

mentos del conjunto A lo asocia un y sólo un elemento de B, y a cada uno de los elementos de B, le asocia uno y sólo uno de los elementos de A.

Si dos conjuntos son equivalentes escribimos

A-8

Si no son equivalentes escribimos

Ai-8

Existe una relación entre los conceptos de igualdad y equivalencia de conjuntos.

Si dos conjuntos A y B son iguales, o sea, si tienen los mismos elementos, es fácil ver que son equiva lentes.

La correspondencia biunívoca necesaria para asegurarlo se observa haciendo

corresponder a cada elemento en A el elemento idéntico en B. Puesto que A y B tienen los mismos elementos resulta que ex iste una correspondencia biunívoca

entre sus elementos y por tanto, son equivalentes.

Recíprocamente considere dos conjuntos equivalentes A y B. ¿son iguales?

¿Pueden ser equivalentes dos conjuntos que no son iguales? El siguiente ejemplo nos da la respuesta.

2.3.1 Ejemplo

Sean A y B los conjuntos

A = {1,2,3}, 8= {7, 8, 9}

Relaciones entre conjuntos 51

Obviamente A no es igual a B. Sin embargo, como podemos hacer corresponder sus elementos mediante la relación

1 ~ 7, 2 ~ 8, 3~9

se observa que A es equivalente a B. Entonces se ha establecido el siguiente resultado: Si dos conjuntos A y B son iguales entonces A es equivalente a B. El recí

proco no es verdadero; es decir, los conjuntos A y B pueden ser equivalentes

pero no ser iguales.

2.3.3 Definición

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Diremos que A es un subconjunto de B, que A está contenido en B o que B contiene a A si y sólo si cada elemento de A pertenece también a B. Lo anterior se denota por

Si A no es subconjunto de B escribimos

La definición de que A es subconjunto de B se puede dar en forma equiva

lente diciendo que: "no existen elementos en el conjunto A que no pertenezcan

también al conjunto B". Por supuesto, A ~ B si y sólo si para toda x tal que

x E A, se cumple que x E B. Esta última forma de interpretar el significado de A ~ B es útil para obtener varias leyes que satisfacen los conjuntos.

2.3.4 Definición

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Decimos que A es un subconjunto propio de B, que A está contenido propiamente en B o que B contiene propiamente a A si y sólo si cualquier elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B, pero existe al menos un elemento del conjunto B que no está en el conjunto A. Esto se representa por

ACBoB::JA

E 1 estudiante debe observar que decir que A es un subconjunto propio de B significa que no hay elementos de A que no pertenezcan también a B, pero existe

al menos un elemento de B que no está en A. Si un conjunto A no es subconjunto propio de un conjunto B escribimos

El siguiente ejemplo ilustra los usos de las cuatro relaciones, que se acaban de definir.

Considere los conjuntos A, B y C dados por

A={1,2,3}, 8= {1. 2, 3, 4, 5}, e={l,2.3}

Algunas de las relaciones entre parejas de estos conjuntos son:

(a) A= e (bl A - e

, e y e.

2.3.2 Ejemplo


(e) A~ B (d) A e B (e) 8:::) e (fl A~ e (g) e ~ A

Al comparar las definici ones de "subconjunto" y "subconjunto propio" dadas

antes, el estudiante debe observar que si un conjunto A es subconjunto de otro

conjunto B entonces A es subconjunto propio de B o A es igual a B. O sea que

A ~ B si y sólo si A e B o A = B.

Si A es un subconjunto propio de B, podemos deducir que A es un subcon

junto de B pero no que son iguales. O sea que

A e 8 si y sólo si A s;:- 8 y A #- 8

La diferencia que se establece entre "subconjunto" y "subconjunto p rop io" es más bien sutil y bastante importante. En seguida trataremos de describir esta dife

rencia usando algunos ejemplos conocidos de uso común.

Con frecuencia oímos "mi peso no excede a 200 libras" . Esto signif ica que el

peso en cuestión es igual o menor que 200 libras. Si A es un subconjunt o de B, entonces A es igual a B o A es subconjunto propio de B. Si el peso de alguien es

m enor que 200 1 ibras, entonces su peso no excede a 200 1 ibras y no es igual a

200 libras. Entonces si A es subconjunto propio de B, sabemos que A es subconjunto de B pero A =F B.

Podemos pensar que la re lación C es un caso especial de la relación ~ . Por

otro lado, la re lación ~ es una extensión de e en el sentido de que ~ puede

incluir la igualdad, mientras que la igualdad no se puede incluir con C.

Debido a la forma en que se ha definido la relación s;;: (ser subconjunto de) es

fácil notar que para cualquier conjunto A ,

0~A

Esto se debe a que no ex isten elementos del conjunto ([) que no pertenezcan

también a A, pues el conjunto vac ío ([) no tiene elementos.

T ambién, si A es cualquier conjunto no vacío, es decir, un conjunto que t enga

al m enos un elem ento, entonces

0e A

La siguiente propos1c1on muestra una propiedad que satisface la relación C (ser

su bconjunto de).

Teorema 2.3.1 Ley antisimétrica

Esta ley asegura que si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B y si

el conjunto B es subconjunto del conjunto A , entonces los conjuntos A y B son

iguales. O sea que

si A ~ 8 y si 8 ~ A, entonces A = 8

Demostración

Si A s;;: B entonces cualquier elemento del conjunto A debe pertenecer al con

junto B, y, como E s;;: A , cualquier elem ento del conjunto B debe estar en el

Relaciones entre conjuntos 53

conjunto A. Esto significa que e l conjunto A y el conjunto 8 tienen los mismos elementos. O sea que

A=8

Después veremos que la ley antisimétrica es muy importante para demostrar la

igualdad de dos conjuntos. Para d emostrar que efectivamente dos conjuntos A y 8 son iguales, se demuestra primero que cualquier elemento del conjunto A está en

el conjunto 8 (de manera que A ~ 8), y después, se demuestra que cualquier

elemento en el conjunto 8, debe estar en el conjunto A (de manera que 8 S A).

Una vez que se ha hecho esto, la igualdad de A y 8 es una consecuencia de la

ley antisimétrica .

Hasta aquí hemos hablado d e la comparación de conjuntos por medio de las relaciones C y ~· Hemos dicho cuándo A es subconjunto de 8, cuándo A es igual a 8 y cuándo 8 es subconjunto de A. Para algunas parejas de conjuntos no se

puede usar ninguna de estas relaciones de comparación. En el siguiente ejemplo se

ilustra esta situación.

2.3.3 Ejemplo

Sean A y 8 dos conjuntos cuyos elementos son

A = {1,2,3 } 8 = {3,4}

Observe que no todos los elementos de A están en B. Entonces

A~ 8

Note también que no todos los elementos de 8 están en A. Entonces

Finalmente, los conjuntos A y 8 no son iguales ya que tienen elementos distin· tos. Entonces

A "" B

O sea que los conjuntos A y É3 del ejemplo 2.3.3 no son comparables.

Entonces, algunas veces no podemos decir acerca de dos conjuntos cualesquiera

C y D ya sea que ( 1) C es subconjunto de D, (2) C es igual a D, o (3) D es

subconjunto de C. Cuando dos conjuntos C y D satisfacen alguna de las tres

relaciones anteriores decimos que C y D son comparables.

2.3.5 Definición

El conjunto universal U se define como el conjunto que consta de todos los elementos tomados en consideración.

Así, si A es cualquier conjunto y si U es el con junto universa l, entonces cada elemento de A debe estar en U (ya que U consta de todos los elementos que se

consideran) . Así, pues, podemos escribir

A s;;; U

para cualquier conjunto A.


2.3 Ejercicio

Substituya el asterisco por a lguna de las relaciones=,~. C , ~. :J, ~de

tal forma que la afirmación sea verdadera o por ninguna de ellas si no se cumple ninguna de estas relaciones.

l. {1, 3 , 7} * {1 , 3} 2. {4, 9} * {9, 10, 4} 3. {5, 7} * {5, 8} 4. {0, 1, 4} * {0, 5, 8, 9} 5. 0* {1 , 3} 6 . {0}*{1,3} 7. {5, 8, 9, 15} * {9} 8. {2, 3} * {2, 3, 6, 8, O} 9. {2, 3} * {2, 3}

10. Si A ~ 8, y 8 ~ C, ¿qué se puede concluir?, ¿por qué?

11. Dé dos conjuntos que no sean comparables. 12. Escriba todos los subconjuntos posibles de (a) el conjunto {a, b,

e, d} y (b) del conjunto {a, b , e}.

13. Si el conjunto universal es el conjunto de las personas, denotemos

por A el subconjunto de las personas gordas, por 8 el subcon·

junto de las personas calvas, y por e e l subconjunto de las per· sanas gordas y calvas. Escriba algunas relaciones correctas entre los

conjuntos A, 8 y C.

2.4 OPERACIONES CON CONJUNTOS; DIAGRAMAS DE VENN

En la sección anterior estudiamos relaciones entre conjuntos. En esta sección presentaremos operaciones que se realizan con conjuntos. Ya el estudiante está

familiarizado con muchas operaciones que se realizan con números. Por ejemplo,

hablamos de "obtener la raíz cuadrada de un número" o " e levar un número al cuadrado". Estos son ejemplos de operaciones unitarias, ya que son operaciones real izadas sobre un solo número . También hablamos de "sumar dos números" o

"multiplicar dos números" . Estos son ejemplos d e operaciones binarias, llamadas

así porque aso·~ian dos nC1meros.

2.4.1 Definición

Sean A y 8 dos conjuntos cualesquiera. La unión de A y 8 se define como el conjunto que consta de aquellos elementos que están en A o están en 8 , o en ambos. Este nuevo conjunto se denota por A U B. Usando la notación descriptiva, tenemos

A U 8 = {xlx E A o x E 8}

El estud iante debe notar la semejanza que existe entre el concepto de unión

de dos conjuntos y la disyunción inclusiva de dos proposiciones que vimos en e l capítulo 1. Entonces podemos escribir

A U 8 = {xlx E A V x E 8}

Operaciones con conjuntos; diagramas de Venn 55

2.4.2 Definición

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La intersección de A y B se define como el conjunto que consta de los elementos que pertenecen a A y a B. Este conjunto se escribe como A n B. Entonces

A n 8 = { xlx E A y x E 8}

Observe que la definición de intersección de dos conjuntos se basa en la definición de conjunción de dos proposiciones. O sea que

A n 8 = {xlx E A 1\ x E B}

El estudiante debe darse cuenta que encontrar la intersección de dos conjuntos A y B significa encontrar los elementos comunes de A y B.

2.4 .3 Definición

Se dice que dos conjuntos A y B son conjuntos ajenos si no tienen elementos

en común, o sea si

AnB =0

Un diagrama de Venn es una representación gráfica de las relaciones entre conjuntos. Generalmente los conjuntos se representan mediante círculos que se intersecan, los cuales se dibujan dentro de un rectángulo que representa el conjunto universal U.

2.4. 1 Ejemplo

Use un diagrama de Venn para ilustrar (a) A n B, (b) A U B. Como A n B consta de los elementos que pertenecen a A y a B, se observa que

la región sombreada de la figura 2.1 (a) es A n B. Como A U B consta de los elementos que están en A o en B, la región sombreada de la figura 2.1 (b) es A UB.

Figura 2.1 (a) (b)

Los diagramas de Venn son muy útiles para ilustrar y motivar propiedades de los conjuntos. Sin embargo, no se pretende que substituyan a las demostraciones lógicas.

2.4.2 Ejemplo

Considere los tres conjuntos

A = {1 ,3,5 }, 8 = {3, 4, 5, 6}, e = {6, 7}


Entonces

A U 8 = {1 , 3,5} U {3,4, 5,6} = {1,3 , 4 , 5, 6} A n 8 = { 1, 3, 5} n { 3, 4, 5, 6} = {3, 5} A n C={1,3,5} n {6,7}= 0

Aquí, A y C son conjuntos ajenos.

El siguiente resultado nos da una relación entre las operaciones de unión e

intersección. Este teorema expresa que la intersección de dos conjuntos siempre es

subconjunto de la unión de los conjuntos. Es decir, todos los elementos de la

intersección son también e lementos de la unión. La figura 2.1 sirve para motivar

este resultado.

Teorema 2.4.1

Para dos conjuntos A y B cualesquiera, tenemos que

A n 8 ~ A U 8

Demostración

Si x E A n B, entonces x E A y x E B. Pero si x E A y x E B entonces x E A o

x E B. Esto dice que x E A U B. Entonces cualquier elemento en A n B está en

A U B. O sea que A n B ~ A U B.

Teorema 2.4.2

Si A y B son dos conjuntos y si

AU8= 0

entonces

A=0 y 8 =0

Demostración

Si A U B = (/) entonces no hay elementos en A ni en B. Esto significa que A no tiene elementos y B tampoco tiene elementos. Entonces A = (j) y B = (/) .

El siguiente teorema establece que la intersección de un conjunto A con cual·

quier otro conjunto es un subconjunto del conjunto A. Expresa además, que un

conjunto A siempre es subconjunto de la unión de A con cualquier otro con

junto. Entonces cualquier elemento que esté en A y en algún otro conjunto,

también pertenece a A. Por último, cualquier elemento que esté en un conjunto A ,

pertenece al conjunto A o a a lgún otro conjunto. Aunque estas afirmaciones son obvias intuitivamente, daremos una demostra·

ción formal de su validez .

Teorema 2 .4 .3

Sean A y B dos conjuntos. Entonces

A n 8 ~ A, A~ A U 8


Demostración

Sea x E A 11 B. Entonces x E A y x E B, de tal forma que x E A. Así, cualquier elemento en A 11 B debe estar en A. O sea que

La demostración de que A ~ A U B se deja al estudiante. En el teorema 2.4.4 establecemos otros hechos acerca de conjuntos : Se afirma

que si un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, entonces la intersección de A y B (aquellos elementos que están en- A y en B) es A y la unión de A y 8 es B.

Teorema 2.4.4

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Si

A <:;;; 8

A n 8 = A, A U 8 = 8 (2.4.1 )

Demostración

Por el teoreiT'a 2.4.3 sabemos que

(2.4.2)

Sea x E A, entonces x E A y x E 8 ya que cualquier elemento de A debe estar en 8, esto asegura que x E A n 8. Entonces

(2.4.3)

Si aplicamos la ley ant isimétrica a las relaciones 2.4.2 y 2.4.3 vemos que

A=A n 8

La demostración de la otra relación en (2.4. 1) es similar. En seguida definiremos una tercera operación binaria entre conjuntos. Esta

operación es similar al concepto de resta de números.

2.4.4 Definición

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El complemento relativo de A con respecto a B se define como el conjunto cuyos elementos están en B y no están en A. Esto se representa por B - A y en notación descriptiva tenemos que

8 - A = {xlx E 8 y x tf_ A} (2.4.4)

Algunas veces al complemento relativo de A con respecto a B se le llama la diferencia B - A.

Entonces para encontrar el complemento relativo de un conjunto A con res· pecto a un conjunto 8 basta escribir los elementos del conjunto 8 y eliminar aquellos elementos que están en A.

La figura 2.2 ilustra el con:::epto de complemento relativo.


u

Figura 2 .2

2.4.3 Ejemplo

Si A = {1,3, 5} y 8 = {1,2 }, entonces

8 -A= {2}

y

A- 8 = {3 , 5}

Lo anterior muestra que el complem ento re lat ivo de 8 con respecto a A no si empre es e l mismo qu e el complemento re lativo de A con respecto a B. En otras pa labras

8 - A 'i= A-8

Hasta aquí hemos int roduc ido t res operacio nes entre conjuntos. Estas t res o pe·

racionesd e unión, U, intersección , n, y d ife re ncia - , son eje mplos de operac io nes binarias.

Ahora estamos listos pa ra presentar una operación e n la que sólo se utiliza un

conjunto, es decir, una operación unitaria.

2.4 .5 Definición

Sea A un conjunto cualquiera. El complemento absoluto de A se define como

el conjunto de elementos que están en el universo U y que no están en A. Esto

se representa por A (o A', o - A l. Esto es,

A= {xlx Et. A}

La f igu ra 2.3 es una ilustració n d el co mplemento ab so luto.

o u

'

Figura 2.3

Se o bserva que tomar e l co mpleme nto absoluto de A es lo mi smo que encon

trar el com p lem ento re lativo de A con respect o a l conjunto unive rsa l U. Dicho en o tros términos,

A = U - A


A partir de la ecuación 2.4.4 y la definición 2.4.5 podemos concluir que

a-A = an;. J

Esta relación es muy importante y se usará frecuentemente en la sección 2.6. La

figura 2.4 ilustra el conjunto 8 nA. Compárela con la figura 2.2.

Figura 2.4

2.4 .4 Ejemplo

Si U = conjunto universal = {O, 1, 2, 3, 4} y A = {0, 1, 2}, entonces

A= {3, 4}

También vemos que

U -A= {O, 1, 2, 3, 4}- {0, 1, 2} = {3, 4}

2.4.5 Ejemplo

Utilice un diagrama de Venn para ilustrar que

AílB = AUB

Primero dibujemos dos diagramas como en la figura 2.5

(a) (b) Figura 2.5

El diagrama de la izquierda lo usaremos para A n 8 y el de la derecha para A U B. Entonces

(a) (b) Figura 2.6


Luego, en la figura 2 .6(a) A n B está representado por la regió-n cuadricu lada y en la figura 2.6(b) A U B está representado por la región son:2_brea_9a . Com o estas

reaiones son las mismas, esto ilustra que las dos regiones A n B y A U B son

iguales.

2.4.6 Ejemplo

Use un d iagrama de Venn para ilustrar

A u 8 = (A n B) u (A n 8 ) u (A n 8)

Primero dibujamos la figura 2 .7.

u

Figura 2.7

Después, sombreamos las regio nes A n B. A n B y A n B. Vea la f igura 2.8.

An.B Figura 2.8

A:nB

Obv ia mente la regi ó n som breada arriba es e l co njunt o A U B.

2.4.7 Ejemplo

Use un diagram a de Ve nn p ara il ustrar

(A u 8) n e

(a) (b) Figura 2.9

P r imero dÍbujamos la fi gura 2.9(a) , luego sombrea mos A U B y C como en (b)

La regi ó n cuadricul ad a es e l con junto (A U B) n C.


2.4.8 Ejemplo

Encuentre las condiciones más generales para dos conjuntos A y B de t a l

manera que

A U 8 = 8

Aquí se sabe que los elementos en los conjun tos A U B y B son los mismos. Pero, los elementos en A U B son los que están en A o en B. Ahora si exigimos

que los elementos en A o en B sean los mismos que los que están en B debemos tener todos los elementos de A también en B. Porque si hubiera elementos en A que no estuvieran en B, entonces A U B tendría elementos que no estarían en B y entonces A U B y B no serían iguales. Por lo que, si A U B "- B, entonces A <;_ B.

2.4.9 Ejemplo

Si A es un conjunto no vacío, encuentre las condiciones más generales para un conjunto X de manera que

XU A = U

Aquí queremos encontrar un conjunto X de tal forma que la unión de X

con A sea el conjunto universal. Podemos formular nuevamente la pregunta como

sigue: ¿Qué elementos debe tener el conjunto X si los elementos que están en X o en A son todos ios elementos considerados? Es claro que X debe tener por lo

menos aquellos elementos que no estén en A, porque si X no tuviera los elemen·

tos de A entonces X U A no podría ser el conjunto universal. Sin embargo no es

ningún problema que X contenga elementos además de los que se encuentran en

A. Podemos expresar estas condiciones para el conjunto X escribiendo que

A<;;; X

2.4 .10 E¡emplo

Si U= conjunto universal= { 1, 2, 3, 4} y si A y B son dos conjuntos no vacíos,

encuentre todas las posibilidades para A si

An8 = {3} y 8 = {2, 3}

Como A n B ~ A, sabemos que el elemento 3 debe estar en el conjunto A. Como B = {2, 3 }, entonces si 2 fuera un elemento de A, tendríamos que considerar al elemento 2 en su intersección. Como .2 E A n B, entonces 2 E A. En

tonces las únicas posibilidades para el conjunto A son :

A = {3}, A = {1 , 3}, A = {3,4}, A = {1,3 , 4 }

1. Dé los siguientes conjuntos si A es cualquier conjunto y U es el

conjunto universal:

(a) A U 0 (bl A n 0

(e) A U U (dl A n u

2.4 Ejercicio


2. Si U= conjunto universal= { xlx es un dígito} y A = {O, 1, 5, 7}. 8 = {2, 3, 5, 8} y e= {5, 6, 9}. encuentre

(a) A U 8 (e) A - 8 (bl 8 n e (fl A u (8 n A] (e) A - 8 (g) (e - A) 11 (A) (d) A - 8 (h) (A - 8) U (8 - C)

3. Si U= conjunto universal= {1, 2, 3, 4, 5} y si A= {3, 5}, 8 = {1,2,3} y e= {2,3,4}, encuentre

(a) A - e (e) A - e (bl (A u 8) n e (fl A u B (el A u (8 n e) (g) A n 8 (d) (A U 8) 11 (A U C)

4. Considere los conjuntos A= {xlx es un cliente de IBM} 8 = {xl x es una secretaria empleada por IBM} e= {xl X es un operador de IBM} D = {xix es un accionista de IBM} E= { xlx es un miembro del consejo de directores de 1 BM} Describa los co~juntos

(a) A n E (e) 8 n o (bl A u o (dl e n E

5. Use diagramas de Venn para ilustrar los siguientes conjuntos:

(a) A n 8 (e) (A u 8) n (A u e) (bl (A n 8) u e (fl A u (8 n o (e) A 11 (A U 8) (g) A= (A 11 8} U (A 11 8) (d) A U (A n 8) (h) 8 = (A 11 8) U (A 11 8)

6. Use diagramas de Venn para ilustrar lo siguiente (a) A 11 (8 U e) = (A 11 8) U (A 11 C) (ley distributiva)

(b) A 11 (A U 8) =A (ley de absorción) . (e) A n 8 = A u 8 (ley de De Moryan)

(d) A U A = A (ley idempotente) (e) (A U 8) U e= A U (8 U el (ley asociativa)

7. Si A = {1,2,3}, 8= {3,4,5,6}, y e= {3,5,7}, encuentre (a) A U 8 (e) A 11 e (bl A u e (fl 8 n e (el (A u 8) n e (gl (A n 8) n e. (d) A n 8 (h) (A n 8) u e

8. Si A= {1,3,5,7}. 8= {2,4}, e= {1,2,3}. y U=conjunto universal = {1 , 2, 3, 4, 5, 7}, encuentre

(a) A u 8 (fl e u 8 (b) A n 8 (gl e n A (el A n 8 (hl e - A (dl X u 8 (il A - e (e) Un 8

*9. Encuentre las condiciones más generales para que los conjuntos A y 8 satisfagan las relaciones:

(a) A- 8 = 8- A (d) A- 8 = 8 (b) A 11 8 = A U 8 (e) A 11 8 = A (e) A- 8 = A

* 10. Encuentre las condiciones más generales sobre un conjunto X de manera que, para un conjunto dado A no vacío, tengamos que

(a) A U X= X U A (d ) X= 0

(b) X = A (e) X n A = 0 (e) X = u (f) x n A = u

* 11. Si U = conjunto universal = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , C = { 1, 3} y A y B son conjuntos no vacíos, encuentre todas las posibilidades para A en cada uno de los siguientes casos (a) A U B = U y A n B = {3} y B = {2, 3, 4} (b)AnB=0 y AUB = {1 ,2,3, 4 ,5} y BUC =

{ 1' 2 , 3} * 12. Dem uestre que para cualesquiera dos conjuntos A y B se cumple

que A ~ A U B. *13. Demuestre que si A~ B, entonces A U B =B. * 14. Demuestre que si A e B, entonces 8 e A.

• Indica un problema difícil.

Conteo 63

2.5 CONTEO

Realmente, la idea de contar es una forma de comparar. Es decir, cuando alguien cuenta, de hecho lo que hace es tomar los objetos que va a contar y asocia a cada uno de ellos exactamente una vez los números 1, 2, 3, etc., hasta que no quedan objetos.

Este método se usaba aún antes de que se les asignara nombre y símbolo a los números. Los hombres primitivos usaban piedras para determinar cuántas cabezas de ganado no regresaban de pastar. En el momento en que cada vaca salía, se colocaba una piedra en un montón, y cuando regresaba, se quitaba la piedra del montón. Si cuando regresaban las vacas había piedras restantes, entonces se sabía que faltabah algunas vacas.

Es muy importante darse cuenta que los hombres de las cavernas pudieron hacer esto sin desarrollar un lenguaje o simbolismo de números. Nosotros tenemos un lenguaje bastante desarrollado y un simbolismo para los números. No hay duda de que se entiende qué significa el número 2316 o dos mil trescientos dieciséis.

2.5.1 Ejemplo

Considere el conjunto L de las letras del alfabeto

L = {a, b, c. d, e, f. . . . , x, y, z}

También, considere el conjunto

{1 , 2, 3, 4 , 5, . .. '24, 25, 26}

Es claro que estos conjuntos son equivalentes, o sea, que podemos poner los elementos de ambos conjuntos en una correspondencia biunívoca. Debido a esto podemos decir que el conjunto L tiene 26 elementos o que el número cardinal de L es 26 y escribimos c(L) = 26.

2.5.1 Definición

El conjunto vacío IJ) no tiene elementos y su número cardinal se define como cero. Esto es,

c(0 ) = O


Se dice que un conjunto A tiene n elementos, o que su número cardinal es n, si

A-{1,2, 3, .. . ,n-1,n}

y escribimos

c(A) = n

en donde n 2 1 es un entero positivo.

Los conjuntos que cumplen las condiciones de la definición 2.5 .1 se llaman conjuntos finitos y a la rama de la~ matemáticas que trata del estudio de los

conjuntos finitos se le llama matemáticas finitas. Nos ocuparemos principalmente de estos conjuntos y éstéJ es la razón del título dado al texto.

2.5.2 E1empb

El análisis de un grupo de gente indicó que había 25 personas con ojos color café y 15 con pelo negro. Si 1 O personas tenían ojos co lor café y pelo negro, y

23 d e ellos no tenían ninguna de estas características, ¿cuánt as personas fueron entrevistadas?

Si denotamos por A el conjunto de personas con ojos color café y por 8 e l conjunto de personas con pelo negro, entonces los datos nos dicen que

c(A) = 25, c(8) = 15, c(A n 8) = 1 o Por otra parte , el conjunto de pe rsonas con ojos color café o pelo negro no puede

ser c(A) + c(8), pues contaríamos dos veces a las personas con ambas caracte rísticas. Por tanto,

c(A u 8) = c(A) + c(8) - c(A n 8) = 25 + 15 - 1 O = 30

Por supuesto, la suma de la gente que est á en A o en 8 y los que no est án ni en A ni en 8 es e l total de personas entrevistadas. Entonces e l número de gente entrevistada es

Vea la figura 2.10

~ VJ.

Figura 2.10

30 + 23 = 53

u

23

Este ejemplo nos lleva a formular el siguiente resultado importante.

T eorema 2.5.1

Sean A y 8 dos conjuntos finitos. Entonces

c(A u 8) = c(A) + c(8) - c(A n 8)

Conteo 65

En la siguiente sección daremos una forma de tratar ·p roblemas en los que

se necesitan más de dos conjuntos.

1. ¿cuál es el número cardinal de los siguientes conjuntos?

(a) Conjunto O de dígitos = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (b) A= {1, 3, 5, 7} (e) A = {0, 1, 2}

2. Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5} y 8 = { 4, 6, 8 }, encuentre

el nl!mero cardinal de

(a) A (b) B (e) A n B

(d) A U 8 (el A- 8 (f) 8- A

3. Dados los conjuntos A = {1,3,6,8}, B = {8 } y C = {8, 10 } , encuentre el número cardinal de los siguientes conjuntos.

(a) A u (8 n C) (el) A u (8 u C)

(bJ A n (8 n C) (e) (A n 8) u e (e) A - (8 u C) (f) A - (8 n C)

4. Si c(A) =m y c(B) = n y c(A U B) =m+ n, ¿cuál es c(A n 8)?

5. Si c(A) =m, c(B) = n y c(A U 8) = r, en donde r es menor que

m+ n, explique cómo determinar el número cardina: de A n B. 6. Si c(A) = 10. c(A U 8) = 29 y c(A n 8) = 5, ¿cuál es c(B)?

7. Si c(A) = c(B), c(A U B) = 16 y c(A n 8) = 6, encuentre c(B) .

8. Motores Incorporados fabricó en un día 325 automóviles con

transmisión automática, 216 con dirección hidráulica y 89 con

ambas opciones. ¿cuántos automóviles se fabricaron si todos el los

tenían por lo menos una opción?

*9. Demuestre que la unión de dos conjuntos finitos es también un

tD¡, D2, ... ,Dmt. t:ntonces A UB-C, con c(C) ~ m +n).

1 O. De acuerdo a un estudio hecho por Berelsa, Lazarfeld y McPhee

en 1948, la influencia de la religión y ia edad en las votaciones

en Elmira, Nueva York, está dada por la siguiente tabla.

Edad

Menores Mayores de 35 de 54

Protestantes votando por Republicanos 82 151 111

Protestantes votando por Demócratas 42 u 15

Católicos votando por Republicanos 27 l3 7

Católicos votando por Demócratas 44 47 .U

Encuentre

(a) El número de votantes que son católicos o republicanos o

ambos.

(b) El número de votantes que son católicos o tienen más de 54

años o ambos.

(e) El número de votantes demócratas de m enos de 35 años o

más de 54.

2.5 Ejercicio


2.6 APLICACION DE LAS TECNICAS DE CONTEO AL ANALISIS DE ENCUESTAS

Los diagramas de Venn son muy útiles para representar algunos resultados prácticos. Los ejemplos siguientes ilustran cómo se pueden usar ios diagramas de Venn para resolver algunos problemas prácticos en el análisis de encuestas.

2.6.1 Ejemplo

En una entrevista a 75 consumidores, 12 indicaron que comprarían un coche nuevo, 18 dijeron que comprarían un refrigerador nuevo y 24 que comprarían

una estufa nueva. De éstos, 6 compraron un coche y un refrigerador, 4 compra· ron un coche y una estufa y 1 O compraron una estufa y un refrigerador.

Una persona indicó que compraría los tres artículos. (a) ¿cuántas personas no van a comprar ningún artículo? íb) ¿cuántas van a comprar sólo un coche?

(e) ¿cuántas van a comprar sólo una estufa? (d) ¿cuántas van a comprar sólo un refrigerador?

Denote por e, R y E los conjuntos de personas que van a comprar coches, refrigeradores y estufas respectivamente. Entonces por los datos dados sabemos que

c(C) = 12, c(R) = 18, c(E)= 24 c(C n R) = 6 , c(C n E) = 4, C(É n R) = 1 o c(C n R n EJ = 1

Usamos la información anterior en el orden inverso. Entonces empezando por el hecho que e( en R íi E) = 1, ponemos un 1 en ese conjunto. Vea la figu· ra 2.11(a). Como c(e íi R) = 6, c(C íi E)= 4 y c(E íi R) = 10, ponemos 6- 1 = 5 en ia región apropiada (dando un total de 6 en el conjunto e íi R) . En igual forma, ponemos 3 y 9 en las regiones apropiadas para los conjuntos e íi E y E íi R. Vea ia figura 2.11 (b). Ahora, c(e) = 12 y ya contamos 9 de estos 12. También, c(R) = 18, de los cuales ya contamos 15, y c(E) = 24 con 13 ya con· tados. Vea la figura 2.11 (e). Por último, el número total en e U R U E es 75 menos aquellos contados en e, R y E, a saber, 3 + 5 + 1 + 3 + 3 + 9 + 11 = 35. Entances

(a) (b)

Figura 2.11

c(C U R U El = 75 - 35 = 40

Aplicación de las técnicas de conteo al análisis de encuestas 67

40

(e) (d)

Figura 2.11 (Continuación)

Vea la figura 2.11 (d). De esta figura es fácil deducir que 40 personas no están comprando ningún artículo, 3 compran sólo coches, 3 compran sólo refrigeradores y 11 sólo compran estufas.

2.6.2 Ejemplo

En una encuesta a 10,281 personas restringido sólo a aquellos que eran negros, hombres o casados, se obtuvieron los siguientes datos:

Negros: 3490 Hombres: 5822 Casados: 4722 Hombres negros: 1745 Hombres casados: 859 Negros casados: 1341 Hombres negros casados: 239

Los datos no son válidos. ¿Por qué? Como en el ejemplo anterior, denotemos por N el conjunto de personas negras,

por C los casados y por H los hombres. Sabemos entonces que

Figura 2.12

c(N)= 3490, c(H) = 5822, c(C) = 4722 c(N n H) = 1745, c(C n H) = 859 c¡é n N)= 1341, c(c n H n N)= 239


Como C n H n N i=(]) usaremos el caso descrito en la f igura 2.12. Esto significa

que

219 + 1102 + 620 + 1506 + 3457 + 643 + 276 1 10,328

personas fueron entrevistadas. Sin embargo, se sa be que sólo se entrev ista ron

10,281. En consecuencia, los datos están equivocados.

2.6 Ejercicio

1. La sangre se clasifica de acuerdo con su t ipo en Rh positiva y Rh

negativa. Si la sangre contiene un antígeno A, es del t ipo A; si

contiene un antígeno 8, es del tipo 8, y si contiene ambos antí

genos A y 8, es del tipo A8. Si no tiene n ingún antígeno es del

tipo O. Utilice un diagrama de Venn para ilustrar estas posibili

dades. ¿Cuántas son las posibilidades d iferentes7

2. En una encuesta a 75 estudiantes d e college se encontró que de

los tres periódicos semanales "Time" "Newsweek" y "U.S. News

y World Report",

(a) 23 leían " Time"

(b) 18 leían "Newsweek"

(e) 14 leía~ "U.S. News y World Repon"

(d) 10 le ían "Time y Newsweek" (e ) 9 leían "Time y U.S. News y World Repon"

(f) 8 leían "Newsweek y U.S . News y World Report"

(g) 5 leían los tres.

(i) ¿cuántos no leen ninguno de estos tres periódicos?

(ii) ¿cuántos leen sólo "Time"?

(iii) ¿Cuántos leen sólo "Newsweek"?

l. iv) ¿Cuántos leen ;,U.S. News y World Report"?

(v) ¿cuántos no leen "Time ni Newsweek"?

(vi) ¿cuántos ieen "Time o Newsweek" o ambos?

3. Un miembro del consejo administrativo de una escuela grande de

ingeniería presentó datos para demostrar que los estudiantes reci

bían tanto educación sobre artes como sobre ciencias. "M iremos

nuestro reporte", dijo, "De una clase de 500 estudiantes del úl

timo curso, 281 estudian ingl és, 196 estudian inglés e historia, 87 estudian historia y U11 idioma extranjero, 143 estudian un idio

ma extranjero e inglés y 36 toman todos estos cursos." Lo des

pidieron. ¿Por qué?

4. De los coches que se vendieron en e l mes de ju lio, 90 tenían aire

acondicionado, 100 tenían transmisión automática y 75 tenían di

rección hidráulica. Cinco coches tenían estas tres características,

veinte coches no t enían ninguna de ellas, veinte tenían sólo aire

acondicionado, 60 tenían sólo transmisión automática y 30 tenían

sólo dirección h idráu 1 ica . O iez coches tenían transmisión auto

mática y dirección hidráulica. (a) ¿cuántos coches tenían dirección hidráulica y aire acondicio

nado7

(b) ¿cuántos tenían transmisión automática y aire acondicionado?

Permutaciones y combinaciones 69

(e) ¿cuántos no tenían dirección hidráulica ni transmisión automática?

(d) ¿Cuántos coches se vendieron en el mes de julio? (e) ¿cuántos tenían transmisión automática o aire acondicionado

o ambos?

*5. Un estudio de 52 familias del área urbana de la ciudad de Chica

go indicó que había un total de 241 niños menores de 18 años. De éstos, 109 eran varones, 132 eran menores de 11 años, 143

tanían antecedentes penales y de los cuales 69 varones eran menores de 11 años. Si 45 niñas de menos de 11 años tenían antecedentes penales y 30 varones menores de 11 tenían antecedentes penales, ¿cuántos niños mayores de 11 y menores d e 18 tenían antecedentes penales?

2.7 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Antes de estudiar la natura leza de las permutaciones y de las combinaciones introduciremos una notación útil -el s/mbolo de factorial.

2.7.1 Definición

Sea n ~O un er.tero. El símbolo n! , que se lee como "n factorial", significa

O!= 1, 1! = 1' n 1 = n(n - 1)(n- 2) · · · (3)(2)(1)

Entonces, por ejemplo,

4' = (4)(3)(2)( 1) = 24 2 1 = (2)(1) = 2

Una fórmula útil:

(n + 1) 1 = (n + 1) · n!

Ahora, considérese la siguiente situación. Al viajar de Nueva York a Los Angeles el señor Williams desea detenerse en Chicago. Si puede escoger entre 5 rutas

diferentes para ir de Nueva York a Chicago y entre 3 rutas para ir de Chicago a Los Angeles. ¿oe cuántas formas el señor Williams puede viajar de Nueva York a Los Angeles?

Para resolver este problema notamos que correspondiente a cada una de las

cinco rutas de Nueva York a Chicago hay tres rutas de Ch icago a Los Ar:~geles .

Nueva York

Figura 2.13

1 .., ..... --2 -------~ ...... Chicago A

~~~~ ----- - --Jir.:: ' -----.----... ,' ..,.--- 3 ~ .......... '• , .... B ............ f.:-----~----···.-.-- -~ ~ .... ----------+--:; ._., ... .......... ___ 1 _____ ...,..,. .. :,' '-. ......... ____ <;, ___ _, ... ""'

............... J _______ y'

los Angeles

Teorfa de Conjuntos: Técnicas de...

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