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CONTEO Y PROBABILIDAD

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si un experimento se puede

describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1

resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc.,

la cantidad total de resultados experimentales es igual a

n1*n2*....*nk. Esto es, la cantidad de resultados del experimento

es el producto de las cantidades de resultados posibles en cada

etapa.

Ej:

¿Cuántas posibles placas de carro pueden hacerse en una

ciudad?

R/ Una placa tiene 3 letras y 3 números, es decir, 6 espacios a

llenar:

__x __x __x __x __x__

Estos espacios se llenan con LAS POSIBILIDADES que se tienen

para escribir en cada uno de ellos, de esta manera en los 3

primeros espacios se pueden escribir 26 posibles letras para

cada uno y para los espacios numéricos se tienen 10 diferentes

números posibles que se pueden escribir, por eso el resultado

sería:

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10

Ejercicios:

Cuántas posibles placas de auto se podrían hacer en una ciudad si:

Las letras no se pueden repetir pero los números si

Los números no se pueden repetir pero las letras si

Tienen 3 letras iguales y 3 números iguales

El número de la placa es par y las letras no se pueden

repetir

El número de la placa es impar

Se define !n como la productoria o multiplicación

progresiva de n, factores, es decir:

! 1 2 3 ( 1)n n n

Permutaciones

Una permutación de n objetos, es una elección ordenada de

r objetos entre n donde importa el orden de los agrupados.

Con repetición: En general, si se toman r objetos

de n , la cantidad de permutaciones u ordenaciones

esta dada por : n r

rP n

Ejemplo: Sea el conjunto , , ,A a b c d , ¿cuántas

palabras de dos letras se pueden obtener?

4 2

2 4 16P

Las palabras formadas son:

, , , , , , , , , , , , , , , aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc ddSin repetición: En este caso, a diferencia del anterior, se

realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo

a la situación de cada objeto en la ordenación.

!

( )!

n

r

nP

n r

Ejemplo: Sea el mismo conjunto , , ,A a b c d , ¿cuántas

ordenaciones de dos letras sin repetición se pueden

obtener?

4!12

(4 2)!

n

rP

Lo que resulta es:

, , , , , , , , , , , ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc

Combinatoria

Una combinación de r objetos entre n , donde no importa el

orden de los agrupados.

!

( )! !

n

r

nC

n r r

Ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto , , ,A a b c d ,

¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden

obtener?

4

2

4!6

(4 2)!2!C

Los subgrupos son:

, , , , , ab ac ad bc bd cd

Ejercicios

1. ¿Cuántas señales con tres banderas pueden

obtenerse con 8 banderas diferentes?

8

3

8!336

5!P 336 señales.

2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden

elegir con ocho personas?

8

3

8!56

5!3!C

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56 comités posibles de tres personas cada una.

PROBABILIDAD

Esta se encarga de analizar cuántos casos son favorables entre los

casos posibles de suceder en una situación cualquiera y se expresa

como una razón entre los casos favorables (CF) y los casos posibles

(CP).

La probabilidad fluctúa entre los valores 0 y 1 siendo el primero la

certeza de que un evento no sucederá y el segundo el

convencimiento de que el evento ocurre, sin embargo algunas veces

se evalúa porcentualmente multiplicando el resultado obtenido por

el número 100.

Ej: ¿Cuál es la posibilidad de que al lanzar un dado una vez, caiga un

4?

R/

=

ya que de los seis números que pueden servirme al lanzar

el dado, solo me sirve uno y ese es el número 4.

Cuando en la probabilidad se habla de sucesos consecutivos, es decir

pasa uno y pasa otro y pasa otro, esas “y” se convierten en

multiplicaciones que operan la probabilidad de que cada evento

suceda por separado.

De la misma manera el conector “o” se convierte en un signo “+”

que suma las probabilidades individuales.

Ej:

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados los dos números

sean pares o los dos sean impares?

R/ Esto se da cuando: (el primer número es par y el segundo es par)

o (cuando el primero es impar y el segundo es impar).

Como la probabilidad de que salga un número par es

=

y es la misma para la salida de un número impar, entonces

tenemos que:

(

x

) + (

x

)=

+

=

=

TALLER

1. Un restaurante ofrece 3 tipos de vino, 2 tipos de ensalada, 4

tipos de carne y 5 tipos de postre. El número total de órdenes

diferentes que pueden elaborarse si se elige uno de cada uno

de los cuatro alimentos y dos órdenes se consideran distintas si

difieren al menos en uno de los alimentos seleccionados es:

A. 14

B. 32

C. 64

D. 120

2. En una isla todas las motocicletas están identificadas con placas

que contienen dos vocales y un dígito, en ese orden. Si las

vocales no pueden repetirse en una misma placa y se han usado

todas las placas, excepto aquéllas con dígitos pares, entonces el

número de motocicletas en la isla es:

A. 50

B. 80

C. 100

D. 200

3. En una fiesta hay 20 invitados. Entonces el número de sonidos

de copa que hay a la hora de brindar sabiendo que todos

brindan entre sí y nadie repite brindis es:

A. 130

B. 160

C. 190

D. 220

4. Se va a escoger un número entero X con 10 X 99. Si todas las escogencias de X son igualmente probables, la probabilidad de que al menos un dígito de X sea 8 es:

A. 18

1 B.

8

1

C. 6

1 D.

5

1

5. Una diana para tiro al blanco se ha construido con

circunferencias concéntricas de radios 1, 2 y 3 unidades respectivamente. Los ángulos centrales son iguales (45° cada uno). La probabilidad de que en un lanzamiento de un dardo, que cae en el interior de uno de los 8 sectores circulares y en ninguna de las líneas o arcos divisorios, caiga en la región sombreada es: A. 2/3 B. 1/2 C. 3/8 D. 1/4

6. Un avión está dotado de tres turbinas que funcionan independientemente. La probabilidad de que una turbina falle es de 0,01. Si al avión puede mantenerse en vuelo siempre y cuando al menos una de las tres turbinas este en pleno funcionamiento, entonces la probabilidad de que el avión pueda mantenerse en vuelo es: A. 0,999999 B. 0,777777

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C. 0,666666 D. 0,333333

7. Si se tienen seis cartas dirigidas a seis personas diferentes y se

meten al azar en seis sobres con las correspondientes

direcciones, entonces la probabilidad de que hayan 5 cartas en

sus sobres correctos y una no es:

A. 0

B. 1/6

C. 1/5

D. 1

Preguntas 8 a 10 Un equipo de futbol formado por niños de barrio, gano una copa al vencer en un campeonato regional. Para decidir quién guardaría la copa en su casa planearon algún tipo de sorteo.

- Mateo, el de la camiseta 7, hizo la siguiente propuesta: Como cada uno de nosotros tiene la camiseta enumerada del 1 al 11, podemos lanzar dos dados, el resultado obtenido al lanzar estos dos dados es un número entre 2 y 12, le restamos 1 a esa suma. Quién tenga la camiseta con ese número se lleva la copa a su casa.

- Sebastián, el de la camiseta 11, comentó: A Mateo siempre le gusta llevar ventaja. Seguramente él tiene más posibilidades que cualquiera de los del equipo si hacemos lo que él quiere.

- Camilo, el de la camiseta 1, le respondió a Sebastián: ¡Tal vez tienes razón! Mateo debe tener más posibilidades que nosotros dos juntos.

8. Si se sigue el plan de Mateo, la probabilidad de que él se

lleve la copa a su casa es: A. Igual que la de cualquier otro del equipo B. Mayor que la probabilidad de cualquiera del equipo C. Mayor que la probabilidad que tiene el de la

camiseta 1, pero menor que la que tiene el de la camiseta número 6.

D. Menor que la de cualquiera del equipo.

9. Si se lleva a cabo la propuesta de Mateo, la única

afirmación falsa es:

A. Uno de los niños del equipo tiene más probabilidad

de llevarse la copa a su casa que cualquier otro, pero

no es Mateo.

B. Camilo y Sebastián, juntos, tienen la misma

probabilidad de llevarse la copa a su casa que el niño

que tiene la camiseta 10.

C. Mateo tiene más posibilidades de llevarse la

camiseta a su casa que cualquiera otro del equipo

D. Si se suman las posibilidades de Mateo y el niño de la

camiseta 5, tendrán más posibilidad de llevarse la

copa que cualquiera del equipo individualmente

10. De los comentarios de Mateo, Sebastián y Camilo se

puede concluir con certeza que:

A. Sebastián y Camilo están equivocados, pues con la

propuesta de Mateo todos tienen la misma

posibilidad de llevarse la copa para la casa.

B. Sebastián tiene razón pero Camilo está equivocado.

Los dos juntos tienen más posibilidades que Mateo

C. Sebastián está equivocado pero Camilo hizo una

afirmación correcta. Los dos juntos tienen menos

posibilidades que Mateo de llevarse la copa a su

casa, aunque Mateo no es el jugador con más

ventaja

D. No es posible saber si Camilo o Sebastián tienen la

razón, pues es un resultado probabilístico que solo

depende del azar

Preguntas 11 a 13

Se integra una comisión de 9 miembros para una cámara

legislativa con las siguientes características:

- El partido mayoritario, M, tiene 4 miembros (M1, M2, M3 y

M4); el partido B tiene 2 miembros (B1 y B2); el partido C

tiene 2 miembros (C1 y C2) y el grupo independiente tiene un

miembro (I).

- El coordinador de la comisión es un miembro de M; uno de

los 9 integrantes que no es el coordinador ni el independiente

tiene derecho a voz pero no al voto en cualquier decisión.

Todos los demás tienen derecho a voz y voto.

- El partido M siempre votará buscando imponer su

propuesta en forma unida, cualquiera sea estrategia.

- Los partidos B y C son opositores de M; nunca realizarán

alianzas con M, pero podrán hacerlo entre ellos. Al interior de

B sus dos integrantes votarán en el mismo sentido, o si hay

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desacuerdo frente a alguna decisión uno de ellos vota a favor

o en contra y el otro vota en blanco. Lo mismo ocurre al

interior de C.

- El independiente podrá asumir cualquier posición.

11. Se ha sometido a votación el tiempo máximo de duración

de las ponencias. El partido M propuso 20 minutos y un

integrante de B o de C propuso 10 minutos. Si al efectuar

la votación todos los integrantes habilitados votaron y se

obtuvo un empate, de las afirmaciones siguientes, de la

única que se tiene certeza es:

A. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece

al partido B o al partido C

B. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece

al partido M

C. El independiente votó en contra de la propuesta del

partido M

D. Al menos tres integrantes de M votaron a favor de su

propuesta

12. Frente a las mismas propuestas anteriores, si al efectuar

la votación uno de los integrantes habilitados para votar

votó en blanco, y la propuesta del partido M ganó por un

voto, entonces de las situaciones siguientes la única que

no es posible es:

A. El integrante independiente votó en blanco

B. Uno de los integrantes de B o C votó en blanco

C. Uno de los integrantes de M no tiene derecho al

voto y uno de los integrantes de C votó en blanco

D. El independiente votó en blanco y uno de los

integrantes de M no tiene derecho al voto

13. Frente a las mismas propuestas anteriores, si al efectuar

la votación dos de los integrantes habilitados para votar

lo hicieron en blanco y se obtuvo un empate entonces,

de las afirmaciones siguientes, de la única que se tiene

certeza es:

A. Uno de los integrantes del partido M no tiene

derecho al voto

B. El independiente votó en blanco

C. Los integrantes de C votaron en blanco

D. El independiente y uno de los integrantes de B

votaron en blanco

14. La probabilidad de lanzar un dardo y que éste caiga en la parte sombreada, asumiendo que caerá al interior de la figura, es:

A. 1/4 B. 1/3 C. 3/8 D. 2/5

Preguntas 15 a 17

El diagrama muestra la distribución de un consultorio con sus tres puertas de acceso, además del número de cerraduras de cada puerta; cada cerradura tiene su propia llave, aunque todas son idénticas en apariencia. A una auxiliar de enfermería le entregan 9 llaves entre las cuales se encuentran 8 de las cerraduras.

15. El número mínimo de ensayos que se requieren para

garantizar su acceso al quirófano pasando por todas las puertas, siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. 524 B. 558 C. 600 D. 630

16. A un médico que se encuentra en el interior del quirófano la secretaria al salir le entrega 9 llaves con el mismo sistema anterior y por seguridad cierra las tres puertas con sus respectivas cerraduras con otro juego de llaves. El número mínimo de ensayos que se requieren para garantizar la salida del médico pasando por todas las puertas; siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. 600 B. 558 C. 336 D. 306

17. Aceptando como verdadera la siguiente afirmación:

Si un paciente se encuentra en el interior del quirófano, entonces pasó necesariamente por la puerta B.

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La única afirmación válida lógicamente es: A. Si un paciente ingresó por B, necesariamente se

encuentra en el quirófano B. Si un paciente no se encuentra en el quirófano,

necesariamente no ingresó por la puerta B C. Si un paciente ingresa por la puerta A y no se

encuentra en el quirófano, necesariamente ha pasado por la puerta B

D. Si un paciente no pasó por la puerta B, necesariamente no se encuentra en el quirófano