Contraste de Hipótesis

EjemploEl peso de plantines de un arbusto forrajero, almacenado a temperatura y humedad relativa ambientes, obtenido a los 20 días desde la germinación es en promedio de 50 mg.

Se supone que la ventilación forzada del ambiente de almacenamiento aumentaría el vigor de los plantines y esto se debe reflejar en un aumento del peso.

Introducción

La idea es:

establecer su veracidad

(o no).

hipótesis estadística herramientas

estadísticas

hipótesis científica

tomar una decisión

Introducción

la ventilación forzada aumentaría el vigor de los plantines

Supongamos un modelo para explicar la variación observada de la variable respuesta

i iY i iY error aleatorio

media de la distribución de la variable Y

peso seco del i-ésimo plantín observado en un experimento en el que se almacena con ventilación forzada

Introducción

Bajo condiciones ambientales de almacenaje la variable peso de

plantines tiene =50mg.

¿cómo podría ser el valor de bajo otra condición?

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

H0: 50 vs. H1: > 50

H0: 50 vs. H1: < 50

Las hipótesis a plantear dependen de lo que esperamos que ocurra bajo la nueva condición. Así:

El peso promedio será diferente a 50 mg

El peso promedio será mayor a 50 mg

El peso promedio será menor a 50 mg

H0: = 50 vs. H1: ≠ 50

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Las hipótesis:

H0: 50 vs. H1: > 50

El peso promedio será mayor a 50 mg

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Son proposiciones sobre uno o más parámetros de la distribución de la variable aleatoria en estudio.

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa H0 vs. H1

¿Cómo validar el modelo?

experimentación observación

¿lo observado tiene diferencias significativas con lo esperado según el modelo propuesto?

procedimiento de decisión

Introducción

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Planificar el experimento o el esquema muestral para obtener datos que permitan la validación (o no) de la hipótesis sometida a prueba.

Experimento:

Se registra el peso de 25 plantines obtenidos de semillas mantenidas bajo las nuevas condiciones de almacenamiento.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

De la muestra de tamaño n=25 es posible estimar la media y la varianza de la distribución de pesos.

Supongamos que la media y varianza muestral son iguales a 53 y 16, respectivamente.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Seleccionar o construir un estadístico cuya distribución queda completamente especi-ficada bajo la hipótesis nula (*)

(*) Se supone que lo que se especifica en H0 es cierto

El estadístico apropiado para el contraste debe involucrar al estimador y al valor del parámetro de interés.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

2~ (0;1)

YZ N

n

2

~ (0;1)Y

Z N

n

12

~ n

YT t

Sn

12

~ n

YT t

Sn

Queremos identificar, a partir de la distribución del estadístico, cuando la hipótesis nula es cierta, los valores usuales del mismo bajo muestreo reiterado.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

El estadístico apropiado, suponiendo que el tamaño de muestra es n=25 y que la varianza (2) desconocida es estimada desde la muestra por S2, es el estadístico T de Student:

53 50

1625

T

53 50

1625

T

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

La distribución del estadístico especificada bajo H0 permite asignar probabilidades a la

ocurrencia de valores del estadístico.

-5.22 -2.61 0.00 2.61 5.22

Variable

0.00

0.10

0.20

0.30

0.39

De

nsi

da

d

Función de densidad

Tt 24

el estadístico y su distribución bajo H0

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

¿Cómo decidir sobre la H0 en base a los valores del estadístico?

Se hace necesario establecer una regla de decisión

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

¿Cuáles son los eventos que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0?

Es necesario establecer el nivel de significación () de la prueba.

Usualmente = 0.05 o 0.01

Nivel de significación

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Región o zona de aceptación de H0

Región o zona de rechazo de H0

De acuerdo a las hipótesis planteadas y al nivel de significación elegido, se de-terminan los valores del estadístico que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0

Tomando =0.05 y dado que:

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

H0: 50 vs. H1: > 50

La zona de rechazo de H0 se encuentra en la cola derecha de la distribución del estadístico

Contraste unilateral derecho

-3.00-2.57

-2.14-1.71

-1.29-0.86

-0.430.00

0.430.86

1.291.71

2.142.57

3.00

Variable

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

De

nsi

da

d

T Student(24): p(evento)=0.0500

Distribución del estadístico bajo H0

Zona de aceptación de H0

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Contraste unilateral derecho

Punto crítico

1 -

¿Cómo decidir sobre la H0?

Comparando el valor del estadístico calculado en base a los datos de la

muestra, con el punto crítico establecido según el valor de y el

tipo de contraste.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

El valor del estadístico con los datos de la muestra es:

53 50 3 153.75

4 416525

T

53 50 3 15

3.754 416525

T

Dado que 3.75 supera al punto crítico 1.71, se rechaza la hipótesis nula.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

El rechazo de la H0 conduce a proponer el uso de ventilación forzada para el almacenamiento de las semillas

Valor p Utilizando la distribución teórica se

puede obtener la probabilidad de observar en la experiencia valores del estadístico iguales o más extremos que el resultado obtenido a partir de los datos experimentales, dado que H0 es verdadera

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Valor p Si el valor p es menor que el nivel de

significación (), se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario se concluye que los datos no contradicen la hipótesis nula.

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

La probabilidad de obtener un valor T igual o mayor al observado, si se cumple la hipótesis nula de que el peso medio es igual a 50, es:

P(T>3.75) = 0.00049 = Valor p.

Valor p en el ejemplo dado

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Como 0.00049 < 0.05, se rechaza la hipótesis nula.

Los datos contradicen H0.

Valor p en el ejemplo dado

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Planteadas las hipótesis, elegido el estadístico y fijado el nivel de significación, se determinan la

zona de no rechazo y la zona de rechazo de H0

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

H0: = 50 vs. H1: ≠ 50 Contraste bilateral

Tipos de contrastes

H0: 50 vs. H1: > 50 Contraste unilateralderecho

H0: 50 vs. H1: < 50 Contraste unilateralizquierdo

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Zona de aceptación de H0

Zona de rechazo

Punto crítico 1 Punto crítico 2

0

/2

1 -

Zona de rechazo

/2

H0: = 0

H1: ≠ 0

Distribución del estadístico bajo H0

Contraste bilateral

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Distribución del estadístico bajo H0

Contraste unilateral izquierdo

Zona de aceptación de H0

Zona de rechazo0

H0: 0

H1: < 0

Punto crítico

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

H0: 0

H1: > 0

Distribución del estadístico bajo H0

Contraste unilateral derecho

Zona de rechazoZona de aceptación de H0

0

1 -

Punto crítico

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

En resumen... Una hipótesis estadística es una

proposición sobre los parámetros de un modelo estadístico para la variable de respuesta

La hipótesis estadística que se somete a prueba se conoce como hipótesis nula y se simboliza con H0

Cuando la hipótesis nula se rechaza, se concluye a favor de la hipótesis alternativa que se simboliza con H1

Construcción de una pruebaestadística de hipótesis

Tanto cuando no se rechaza la hipótesis nula como cuando se

rechaza, es posible cometer errores

Errores en la Prueba de Hipótesis

Contraste de Hipótesis

Frente a una hipótesis nula se toma una decisión

o Aceptar H0

Es correcto si H0 es verdadera pero incorrecto si fuese

falsa

Rechazar H0

Es correcto si H0 es falsa pero

incorrecto si fuese verdadera

Errores

Contraste de Hipótesis

La hipótesis nula es cierta y se rechaza erróneamente

La probabilidad de cometer este tipo de error está bajo control del experimentador. Su máximo valor se simboliza con y recibe el nombre de nivel de significación

Error de Tipo I

Contraste de Hipótesis

En el ejemplo de los plantines el error de tipo I tiene una probabilidad máxima de 0.05

Error de Tipo I

La hipótesis nula es falsa y no se rechaza

La probabilidad de cometer este tipo de error se denomina

Contraste de HipótesisError de Tipo II:

La probabilidad de cometer este tipo de error queda determinada por:

el nivel de significación el tamaño muestral la magnitud de la discrepancia

entre la hipótesis postulada y la situación verdadera.

Contraste de HipótesisError de Tipo II:

Para calcular la probabilidad de cometer este tipo de error se debe suponer el verdadero valor para la media de la población

Contraste de HipótesisError de Tipo II:

Punto crítico 1 Punto crítico 2Zona de aceptación de H0

Zona de rechazo 0

/21 -

Zona de rechazo

/2

( -0)/(/n)

Contraste de HipótesisError Tipo II en un contraste bilateral

Potencia Se define a la potencia como:

Esta probabilidad es una medida de la potencialidad que se tiene en un experimento para detectar que la hipótesis nula es falsa.

= 1-

Contraste de Hipótesis

Potencia En la planificación de un

experimento, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra (o número de repeticiones) para tener una alta probabilidad de detectar una diferencia dada entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula?

Contraste de Hipótesis

Potencia ¿Cuál es el tamaño muestral (o

número de repeticiones) necesario para detectar una diferencia entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula, con una potencia de por ejemplo 0.8 o más?

Contraste de Hipótesis