8/13/2019 Control 2012

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CONTROL III EE625-M

Segunda Prctica Calificada Domiciliaria

SISTEMA 01:

Dado el siguiente sistema de control digital que consiste en remachar un bloque de altura variable

en una banda mvil. Este proceso se realiza mediante la accin magntica de un solenoide, el cual

es excitado mediante una corriente i(t). El ncleo del solenoide tiene una masa total M. El

bobinado del solenoide tiene una resistencia equivalente Rs y una inductancia equivalente Ls. El

voltaje inducido en el bobinado debido a la velocidad del ncleo se considera despreciable. La

fuerza magntica f(t) se considera proporcional a la corriente i(t) con constante de

proporcionalidad Ki. Se usa un amplificador de potencia a base de transistores y un potencimetro

lineal se utiliza como sensor del desplazamiento vertical h(t).

Se requiere controlar la altura h(KT) de 0 a 50cm, con una seal de referencia r(KT) de 0 a 10VDC.

El objetivo es alcanzar una respuesta ante entradas tipo escaln en r(KT), con un error estacionario

.

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Segn mi nmero de orden es N=2

Un tiempo de muestreo: Tiempo de establecimiento:

Sobre impulso mximo: a) Elabore un diagrama de bloques analtico en tiempo discreto con el (los) muestreador(es) y

retenedor(es) adecuado(s).

Del circuito con transistores:

Del circuito R-L:

Del movimiento amortiguado:

Se obtiene la ecuacin de la planta:

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DIAGRAMA DE BLOQUE ANALITICO EN TIEMPO DISCRETO

Del diagrama de bloques anterior notamos que:

r(t)-GH*h(t)=e(t), analizamos en estado estacionario:

r()-GH*h()=e(), como e()=ess=0 y GH=V/H , H=50

r()-GH*h()=0 , 10- GH*50cm=0 => GH=1/5

1/5 =V/50 => V=10

b) Disear un controlador digital apropiado Gd(z) de tal manera que la respuesta a una entrada

escaln alcance los requerimiento deseados y determinar la Funcin de Transferencia Pulso en

trminos de z incluyendo el controlador diseado.

Para disear el controlador digital se debe discretizar el sistema utilizando periodo demuestreo T=0.020seg. En el dominio de la transformada z la FTP del proceso mediante un

retenedor de orden cero es:

Usando Matlab:

num=[539.7727];den=[1 50.4545 247.2727 909.0909];[Nz,Dz]=c2dm(num,den,0.020,'zoh')Gp=tf(Nz,Dz,0.020)

Transfer function:

0.0005668 z^2 + 0.001788 z + 0.0003427

-------------------------------------------------

z^3 - 2.3 z^2 + 1.669 z - 0.3646

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Sampling time: 0.02

Como el proceso es de tercer orden y no incluye integrador, entonces el controlador debe

proporcionar un integrador para que el error en estado estacionario en lazo cerrado ante entradas

tipo escaln en la referencia sea cero , y adems posee dos polos complejos conjugadosestables y uno real tambin estable, entonces se podran cancelar o los dos polos complejos o el

polo real segn convenga.

Se puede elegir convenientemente:

(Integrador), y Reemplazando se obtiene la siguiente expresin reducida como

El polinomio caracterstico en lazo cerrado ser:

Reemplazando quedara la ecuacin caracterstica del sistema de lazo cerrado proviene de:

Haciendo:

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Entonces el polinomio caracterstico

( )

Usando las especificaciones de respuesta transitoria, se tiene:

Tambin se sabe que .Y como se sabe que los polos dominantes son:

y Reemplazando:

Y la tercera raz se puede ubicar en Entonces estas races de lazo cerrado en tiempo discreto ubicadas en el plano Z con T=0.020seg,

utilizando la formula de transformacin y se obtiene: ; ; .

Y el polinomio caracterstico de lazo cerrado queda expresado por

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Igualando los coeficientes de los polinomios caractersticos obtenidos en y se tiene:

Operando el sistema de ecuaciones se obtiene:

Reemplazando los valores obtenidos, la expresin del controlador es:

* La funcin de transferencia pulso de lazo cerrado del sistema se obtienereemplazando el controlador obtenido en la ecuacin:

Y se obtiene:

* La funcin de transferencia pulso se obtiene como:

* La funcin de transferencia pulso

se obtiene como:

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c) Mostrar en simulacin en el tiempode h(KT), e(KT), u(KT) con el controlador diseado en (b)que el sistema cumple con las especificaciones pedidas cuando la entrada r(KT) es de 5VDC. Dar

sus conclusiones.

Para h(kT):Para una entrada r(kT)=5,con T=0.020 la grafica de h(kT) puede determinarse por los

siguientes comandos:

Hz=0.02344202*[1 3.154551 0.604622];Rz=[1 -2.09248547 1.391683926 -0.27688552];r=5;y=dstep(Hz,Rz,80)*r;k=0:79;stairs(0.020*k,y)title('Respuesta de h(kT) ante un entrada r(kT)=5')grid on;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

5

10

15

20

25

30Respuesta de h(kT) ante un entrada r(kT)=5

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Para e(kT):Para una entrada r(kT)=5,con T=0.020 la grafica de e(kT) puede determinarse por los

siguientes comandos:

Ez=[1 -2.097173874 1.3768941164 -0.2797202322];Rz=[1 -2.09248547 1.391683926 -0.27688552];r=5;y=dstep(Ez,Rz,80)*r;k=0:79;stairs(0.020*k,y)title('Respuesta de e(kT) ante un entrada r(kT)=5')grid on;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-1

0

1

2

3

4

5Respuesta de e(kT) ante un entrada r(kT)=5

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Para u(kT):Para una entrada r(kT)=5,con T=0.020 la grafica de e(kT) puede determinarse por los

siguientes comandos:

Uz=41.3585524*[1 -2.3000906703 1.669164179 -0.364535478];Rz=[1 -2.09248547 1.391683926 -0.27688552];r=5;y=dstep(Uz,Rz,80)*r;k=0:79;stairs(0.020*k,y)title('Respuesta de e(kT) ante un entrada r(kT)=5')grid on;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

50

100

150

200

250

Respuesta de e(kT) ante un entrada r(kT)=5

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COMPROBACIN DE LOS REQUERIMIENTOS:

Tiempo se asentamiento: ts:

Mximo pico: MP:

.

CONCLUSIONES:De los grficos anteriores se puede observar que los datos de Mp y tsse acercan bastante

a los datos dados con un error para Mp de 3.33% y para ts de 6.66%.

El compensador diseado logra cumplir las especificaciones pedidas.

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d) Mostrar la simulacin de la fuerza f(KT) que acta sobre el solenoide para entradas de

referencia r(KT)=5VDC. Dar sus conclusiones.

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

Y con el retenedor de orden cero

Transfer function:

0.3782

----------------

z - 0.4029

Sampling time: 0.02

Se obtiene utilizando el resultado anterior:

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Se obtiene simplificando:

Para una entrada r(kT)=5,con T=0.020 la grafica de f(kT) puede determinarse por los

siguientes comandos:

Fz=15.64180451764*[1 -1.8972 0.9048];Rz=[1 -2.09248547 1.391683926 -0.27688552];r=5;y=dstep(Fz,Rz,80)*r;k=0:79;stairs(0.020*k,y)title('Respuesta de f(kT) ante un entrada

r(kT)=5'),xlabel('kT'),ylabel('f(kT)')grid on;

CONCLUSIONES

Del grfico se observa que existe inicialmente un sobreimpulso pero luego la fuerza

sobre el solenoide llega a estabilizarse.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Respuesta de f(kT) ante un entrada r(kT)=5

kT

f(kT)

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SISTEMA 02:

a) Determinar las ganancias de los controladores para que los polos en lazocerrado se ubiquen en el plano Z en y . Evaluar las funciones de transferencia pulso y dar sus conclusiones:I.- Configuracin PID:

Donde: {

( )}

Adems se sabe que la ecuacin caracterstica tambin est dada por la expresin

despejada del sistema:

(1)Donde:

()

( )Del Matlab:

wn=3.4;

ws=16*wn;T=2*pi/ws;[NGp,DGp]=c2dm(1.2*wn^2,[1 5 wn^2],T,'zoh');Gp=tf(NGp,DGp,T)

Transfer function:

0.07607 z + 0.06272

---------------------- Sampling time: 0.1155

z^2 - 1.446 z + 0.5613

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()Reemplazando () y () en (1) obtenemos:

Donde:

Reduciendo la expresin:

(2)Donde:

De las especificaciones los polos en lazo cerrado deseado son:

y La ecuacin caracterstica ser:

(3)

Igualando coeficientes de (2) y (3), se obtiene:

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Donde:

*Para esta configuracin la FTP est dada por:

Reemplazando las expresiones para y encontradas anteriormente,obtenemos:

Para realizar las graficas de y(kT), e(kT) y de u(kT) ante una entrada de escalon unitario en

r(kT) se deben obtener tambin las funciones de transferencia pulso de E(z)/R(z) y

U(z)/R(z).

Donde:

Simplificando la FTP, evaluando los valores de K y operando se obtiene

Adems:

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II.- Configuracin I-PD:

La funcin de transferencia pulso simplificado del sistema de la figura de lazo cerrado es:

Donde:

K1=KD+ KP+ KI

K2=KP+ 2KD

K3=KD

Entonces evaluando la expresin de la FTP de lazo cerrado con la funcin GP(z)desarrollada se obtiene.

La expresin del denominador de la ultima funcin de transferencia pulso es exactamente

la misma expresin del sistema PID y los polos de lazo abierto son los mismos para ambos

sistemas entonces se obtiene

Por lo tanto

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Reemplazando los valores en la funcin de transferencia pulso de lazo cerrado del sistema

se obtiene

Para realizar las graficas de y(kT), e(kT) y de u(kT) ante una entrada de escalon unitario en

r(kT) se deben obtener tambin las funciones de transferencia pulso de E(z)/R(z) y

U(z)/R(z).

Donde:

Simplificando la FTP

Adems de la grfica se obtiene la FTP:

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CONCLUSIONES

Tanto el sistema de control con PID y el sistema de control con I-PD poseen la misma

ecuacin caracterstica.

En los dos sistemas se obtuvo los mismos valores para las constantes , y b) Mostrar las graficas de: y(KT), e(KT), u(KT) para una entrada de un escalon unitario en r(kT) y

evalu Mp, td, tp, tr y ts. Dar sus conclusiones.

I.- Configuracin PID:

Para y(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:

wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Yz=[0.359165418408 -0.078071136398 -0.187234023475 0.100011381967];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Yz,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Para e(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:

wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Ez=[1 -2.4459999 2.00729999 -0.5613 0];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Ez,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de e(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta de e(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Para u(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Uz=[4.7215120074 -11.74651721473 11.35793280948 -5.06690015457

0.895031707559];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Uz,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de u(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2

3

4

5Respuesta de u(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Hallando Mp, td, tp, tr, ts:Mximo pico: MP:Tiempo Pico: tp:

Del grfico:

Tiempo de respuesta: tr:

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Tiempo de Retardo: td:

De la grafica se observa que el tiempo para alcanzar la mitad del valor final

Tiempo de Establecimiento: ts(2 ):

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II.- Configuracin I-PD:

Para y(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:

wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Yz=[0 0.1062599300591 0.08761171044 0 0];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Yz,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Para e(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Ez=[1 -2.193094511649 1.84161715316 -0.748534023475 0.100011381967];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Ez,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de e(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1Respuesta de e(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Para u(kT):Para una entrada escaln unitaria en r(kT), la grafica de la salida puede determinarse

por los siguientes comandos:

wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Uz=[1.39687038332 -2.0198745742 0.784063346157 0 0];Rz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Uz,Rz,80);k=0:79;stairs(T*k,y)title('Respuesta de u(kT) ante un entrada escaln unitaria')grid on;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Respuesta de u(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Ahora hallamos Mp, td, tp, tr, ts:Mximo pico: MP:Tiempo Pico: tp:

Del grfico:

Tiempo de respuesta: tr:

1

1.5

X= 0.5775

Y= 1.4685

Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

1

1.5

X= 0.462

Y= 1.2583

Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

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Tiempo de Retardo: td:

De la grafica se observa que el tiempo para alcanzar la mitad del valor final

Tiempo de Establecimiento: ts(2 ):

1

1.5

X= 0.3465

Y= 0.8562

Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

1

1.5

X= 4.62

Y= 1.0229

Respuesta de y(kT) ante un entrada escaln unitaria

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CONCLUSIONESDe las grficas se puede observar que la configuracin I-PD es la que posee menor

sobreimpulso y menor tiempo de asentamiento en relacin con la configuracin PID.

En cambio la configuracin PID posee mejor tiempo de respuesta que la configuracinI-PD.

c) Mostrar las graficas de: e(KT), u(KT) para una entrada rampa unitaria en r(kT) y evalu

analticamente y grficamente . Dar sus conclusiones.

* Para esto, primero partimos de la FTP E(z)/R(z) de cada uno de los sistemas diseados

anteriormente:

I.- Configuracin PID:

Para una entrada rampa, tenemos:

Entonces:

Simplificando para que tenga la forma de una respuesta escaln unitario:

Determinando el en forma analtica obtenemos: ; Donde T=0.1155

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Calculando la grafica de E(z) ante una entrada rampa:

ws=112;T=2*pi/ws;Enz=T*[1 -1.623 0.7554 0];Edz=[1 -2.26890227584 2.24966800536 -0.995053684998 0.155724096429];

y=dstep(Enz,Edz,100);k=0:99;stairs(k*T,y)grid on

Del grfico:

Se puede observar que los valores obtenidos analticamente y grficamente coinciden conun error de 0.20%

0 2 4 6 8 10 12-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

X= 9.3555

Y= 0.068843

Respuesta del error ante una rampa

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II.- Configuracin I-PD:

Para una entrada rampa, tenemos:

Entonces:

Simplificando para que tenga la forma de una respuesta escaln unitario:

*Determinando el en forma analtica obtenemos: ; T=0.1155

Calculando la grafica de E(z) ante una entrada rampa:

wn=3.4;ws=16*wn;T=2*pi/ws;Enz=T*[1 -1.1931 0.64857564 -0.100034396284];Edz=[1 -2.08683458159 1.929228863601 -0.748534023475 0.100011381967];y=dstep(Enz,Edz,100);k=0:99;stairs(T*k,y)title('Respuesta del error ante una rampa')grid on;

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Del grfico:

Los errores tanto analticos como grficos coinciden.

CONCLUSIONESEl error en estado estacionario para la configuracin I-PD es mayor que el error en estado

estacionario de la configuracin PID.

0 2 4 6 8 10 120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

X= 9.933

Y= 0.21175

Respuesta del error ante una rampa