Una sugerencia

Una solucion del Control 4Modulo Basico de Ingenierıa

Profesor Ricardo Santander Baeza

Departamento de Matematica y Ciencia de la ComputacionUniversidad de Santiago de Chile

12 de junio del 2014 a las 11.20 horas

Profesor Ricardo Santander Baeza Una solucion del Control 4

Una sugerencia

El trabajo persistentecaracteriza al “Usachino”

Este esfuerzo, representa para usted su propio mecanismo de control, no lo desaprovechey pruebese a si misma o a si mismo que es capaz, caso contrario es tiempo de enmendar,persistiendo con mas fervor en el estudio.

No se engane tratando de obtener un mejor reconocimiento de otro, pues lo unicoimportante en la vida es ser reconocido como honesta u honesto por su propia conciencia.

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Una sugerencia

1 Sea α = {(0,1,0), (3,0,1), (0,1,2)} una base de R3. Si [I]βα =

2 2 03 −2 10 1 2

entonces determine, si es posible

la base β

Solucion. Sea β = {A,B,C} la base de MR(3 × 1) pedida entonces por construccion de la matriz cambio debase tenemos que

[(0,1,0)]β =

230

⇐⇒ 2A + 3B = (0,1,0)

[(3,0,1)]β =

2−2

1

⇐⇒ 2A − 2B + C = (3,0,1)

[(0,1,2)]β =

012

⇐⇒ B + 2C = (0,1,2)

O sea que tenemos el sistema de ecuaciones

(1) 2A + 3B = (0,1,0)(2) 2A − 2B + C = (3,0,1)(3) B + 2C = (0,1,2)

Ahora, haciendo (1)− (2) obtenemos que

5B − C = (−3,1,−1) =⇒ 10B − 2C = (−6,2,−2) (4)

Haciendo (3) + (4) obtenemos que

11B = (−6,3,0) =⇒ B =

(

−611

,311

,0)

(5)

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Una sugerencia

Sustituyendo (5) en (3) tenemos que

2C = (0,1,2)−(

−611

,311

,0)

=

(

611

,811

,2)

=⇒ C =

(

311

,411

,1)

(6)

Finalmente, usando (5) y (6) en (1), tenemos que

2A = (0,1,0)− 3(

−611

,3

11,0

)

=

(

1811

,211

,0)

=⇒ A =

(

911

,111

,0)

Finalmente

β = {A,B,C} =

{(

911

,111

,0)

,

(

−611

,311

,0)

,

(

311

,4

11,1

)}

Ahora comprobamos si β es o no es una base:Si,

a1

(

911

,111

,0)

+ a2

(

−611

,311

,0)

+ a3

(

311

,411

,1)

= (0,0,0)

entonces

9a1−6a2+3a311 = 0

a1−3a2+4a311 = 0

a3 = 0=⇒

9a1 − 6a2 = 0a1 − 3a2 = 0a3 = 0

=⇒

9a1 − 6a2 = 02a1 − 6a2 = 0a3 = 0

=⇒

7a1 = 02a1 − 6a2 = 0a3 = 0

Luego, a1 = a2 = a3 = 0 y β es linealmente independiente, y como dimR(R3) = 3 entonces es una base para R

3

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2 Sea α = {(x1, y1), (x2, y2)} ⊂ (R2 − {(0,0)}). Si consideramos en R2 el producto interno canonico entonces

demuestre que

x1x2 + y1y2 = 0 =⇒ α es una base de R2

Solucion. Como dimr(R2) = 2 entonces para que α sea una base bastara que sea un conjunto linealmente

independiente. en consecuencia testeamos ese comportamiento para α.

a1(x1, y1) + a2(x2, y2) = (0,0) =⇒ 〈a1(x1, y1) + a2(x2, y2), (x1, y1)〉 = 〈(0,0), (x1, y1)〉

=⇒ a1〈(x1, y1), (x1, y1) + a2〈(x2, y2), (x1, y1)〉 = 0

=⇒ a1(x21 + y2

1 ) + a2(x1x2 + y1y2) = 0

=⇒ a1(x21 + y2

1 ) = 0

=⇒ a1 = 0 ∨ (x21 + y2

1 ) = 0

=⇒ a1 = 0 ( ya que, (x1, y1) 6= (0,0), y (x21 + y2

1 ) 6= 0)

Procediendo de la misma forma se muestra que a2 = 0, o bien observando que

a2(x2, y2) = (0,0) =⇒ a2 = 0, ( ya que (x2, y2) 6= (0,0))

Luego, α es una base.

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