CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS...Diseño de controladores por retroalimentación 5 El método de la...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

1 Octubre, 2013

Índice

Diseño de controladores por retroalimentación

Entonamiento de controladores

2

3

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS



4

2) Método: Substitución directa:

El método de substitución directa se basa en el hecho de que las raíces de la ecuación

característica varían continuamente con los parámetros del circuito; el punto en que el circuito se

vuelve inestable, al menos una, y generalmente dos, de las raíces se encuentra en el eje

imaginario del plano complejo, es decir, deben existir raíces puramente imaginarias.

Otra manera de ver esto es que, para que las raíces se muevan del plano izquierdo al derecho,

deben cruzar el eje imaginario; en este punto se dice que el circuito es “marginalmente estable” y

el término correspondiente de la salida del circuito en el dominio de Laplace es:

)(constante senoidal onda la de amplitud :b'

senoidal onda la de fase de ángulo :θ

senoidal onda la de frecuencia :w

:Donde

términosotrosθTwsenb'tc

tenemos término,esteinvertir Al

términosotrosws

bsbsC

1

n

u1

2

u

2

21

Esto significa que, en el punto de estabilidad marginal, la ecuación característica debe tener un

par de raíces puramente imaginarias:

n1,2 iw r


5

El método de la substitución directa consiste en substituir s = iwu, en la ecuación característica,

de donde resulta una ecuación compleja que se puede convertir en dos ecuaciones simultáneas:

Parte real = 0

Parte imaginaria = 0

A partir de esto se pueden resolver dos incógnitas: una es la frecuencia última wu, la otra es

cualquier parámetro del circuito, generalmente la ganancia última.

Ejemplo: Se debe determinar la ganancia y frecuencia últimas para el controlador de

temperatura del ejemplo anterior, mediante el método de substitución directa.

0K*0,801iw43iw420iw900

:KKy iw s substituye se Ahora,

0K*0,80143s420s900s

0K*0,016*5013s130s110s

CUn

2

n

3

n

Cn

C

23

C

Entonces se substituye i2 = -1 y se separan la parte real e imaginaria:

i00i w43w900K*0,801w420

0i0K*0,801420w43iw900iw

0K*80,01wi43wi420iw900i

0K*0,801iw43iw420iw900

n

3

nCU

2

n

CU

2

nn

3

n

CUn

2

n

23

n

2

CUn

2

n

3

n


6

De esta ecuación compleja se obtienen las dos siguientes, puesto que tanto la parte real como la

imaginaria deben ser cero:

2186,0 w 900

43 w 43900w

0 w 043900w*w

25,1K 0K*0,801 420

K*0,801 w K*08,01w420

oResolviend

043w900w

0K*0,801420w

nn

2

n

n

2

nn

CUCUCU

nCU

2

n

n

3

n

CU

2

n

Se tienen las siguientes posibilidades de solución para este sistema:

%/% 23,8K rad/s 0,2186 wPara

%/% -1,25K 0 wPara

CUn

CUn


7

Ejemplo: Considere el problema de control de un proceso de primer orden con un controlador

PI. Se puede demostrar fácilmente que la respuesta de lazo cerrado está dada por la siguiente

ecuación:

CP

CPP

I

CP

PI

SP22

I

K*K1K*K*τ

τ

2

1ζ

K*K

τ*ττ

:Donde

sY*1s2ζsτ

1sτsY

τ

Para la selección de los "mejores" valores de KC y τI vamos a utilizar los criterios simples de la

respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden. Seleccione el criterio de asentamiento

de un cuarto. Vamos a tomar como valores de KP = 0,1 y τP= 10. Nosotros, conocemos como

razón de asentamiento a:

2ζ1

2ππ

eA

C

Por lo tanto, para nuestro problema que tenemos:


8

4

1lnK*K1*

K*K1*τK*K*τ*4

τ2π-

: tenemoscionessimplifica unas de Después

4

1e

CP2

CPICPP

I

K*K1K*K*τ

τ

2

11

K*K1K*K*τ

τ

2

1*2-

2

CPCPP

I

CPCPP

I

La ecuación tiene dos incógnitas: KC y τI. Por lo tanto, vamos a tener varias opciones de

configuración del controlador que satisfacen la relación de asentamiento de un cuarto. Como KP

= 0.1 y τP= 10. Entonces, nos encontramos con las siguientes soluciones:

KC = 1 KC = 10 KC = 30 KC = 50 KC = 100

τI = 0,153 τI = 0,464 τI = 0,348 τI = 0,258 τI = 0,153

La pregunta es cuál elegir. Por lo general, se selecciona el primero Kc para que el controlador

tenga la "fuerza" necesaria para impulsar la respuesta de vuelta al punto de consigna deseado y

luego elegimos el valor de τI correspondiente, de manera que la razón de asentamiento de una

cuarto este satisfecha.


Ejemplo: A partir de la siguiente ecuación característica de un tanque de calentamiento con

agitación continua que se obtuvo, se deben determinar los parámetros de ajuste de razón de

asentamiento de un cuarto para el controlador PID, mediante el método de la ganancia última;

también se deben calcular las raíces de la ecuación característica cuando el controlador se ajusta

con esos parámetros.

0τ

K1,205s 1,205K0,617s τ1,205K6,0437,859s3,272s0,387s

I

CC

2

DC

345

Primeramente se utiliza el método de substitución directa para calcular la ganancia y el período

de oscilación últimos de un controlador proporcional. Con τD = 0 y 1/τI = 0, la ecuación

característica se reduce a:

01,205K0,6176,043s7,859s3,272s0,387s C

234

A continuación se substituye s = iwu y KC = KCU, para obtener, después de simplificar, el

siguiente sistema de ecuaciones:

01,205K0,6177,859w0,387w

06,043w3,272w-

CU

2

u

4

u

u

3

u

A partir de éste, se pueden obtener la frecuencia y ganancia últimas:

%/% 10,44 0,6177,859w0,387w1,205

1K

rad/min 1,3593,272

6,043w

2

u

4

uCU

u


El período último es: min 4,621,359

2π

w

2πT

u

u

De acuerdo con la tabla de ajuste de razón de asentamiento de un cuarto, los parámetros de

asentamiento para un controlador PID son:

min 0,588

4,62

8

Tτ

min 2,312

4,62

2

Tτ

%/% 6,141,7

10,44

1,7

KK

uD

uI

CUC

Con estos parámetros de ajuste la ecuación característica es:

03,208,017s10,34s7,859s3,272s0,387s 2345

Con cualquier programa de calculadora o computadora, se encuentra las raíces de esta ecuación

característica, las cuales son:

-5.5520 + 0.0000i

-0.4245 + 0.9855i

-0.4245 - 0.9855i

-1.0269 + 0.4889i

-1.0269 - 0.4889i


11

Criterios de rendimiento del tiempo integral

La forma de la respuesta de lazo cerrado completo, desde el tiempo t = 0 hasta el momento que

ha alcanzado el estado estacionario, se podría utilizar para la formulación de un criterio de

comportamiento dinámico. A diferencia de los criterios simples que sólo utilizan características

aisladas de la respuesta dinámica (por ejemplo, la relación de asentamiento), los criterios de esta

categoría se basa en la respuesta completa del proceso. Los más utilizado son los siguientes:

1.- Integral del error cuadrático (ISE), donde:

2.- Integral del valor absoluto del error (IAE), donde:

3.- Integral del error absoluto ponderado en el tiempo (ITAE), donde:

Tenga en cuenta que E(t)= Ysp(t) - Y(t) es la desviación (error) de la respuesta del valor en el

punto de consigna deseado.

dt tEISE0

2

dt tEIAE0

dt tEITAE0

t


12

Seleccionar el tipo de controlador y los valores de sus parámetros ajustados de tal manera que se

minimice el ISE, IAE, o ITAE en la respuesta del sistema.

¿Cuál de los tres criterios anteriores vamos a utilizar?

Depende de las características del sistema que queremos controlar y algunos otros requisitos que

imponemos a la respuesta de control del proceso.

Las siguientes son algunas pautas generales:

• Si queremos suprimir fuertemente grandes errores, ISE es mejor que el IAE debido a que los

errores se elevan al cuadrado y por lo tanto contribuyen más al valor de la integral.

• Para la supresión de pequeños errores, IAE es mejor que el ISE porque cuando los números

pequeños (menor que uno) al cuadrado se vuelven aún más pequeño.

• Para suprimir los errores de que persisten durante tiempos largos, el criterio ITAE sintonizará

los controladores mejores porque la presencia de grandes tiempo amplifica el efecto de

inclusive pequeños errores en el valor de la integral.

En la siguiente figura se muestra, de una manera cualitativa, la forma de las respuestas de lazo

cerrado. Cuando ajustamos los parámetros del controlador utilizando ISE, IAE, o criterios de

desempeño ITAE, debemos recordar los dos puntos siguientes:

1. Diferentes criterios conducen a diferentes diseños de controlador.

2. Por el mismo criterio de tiempo integral, los diferentes cambios de entrada conducen a

diferentes diseños.


13

López y asociados, desarrollaron formulas de ajuste para el criterio de integral mínima de error

con base en la suposición de que la función de transferencia del proceso para las entradas de

perturbaciones es idéntica a la función de transferencia para la señal de salida del controlador. En

la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques del circuito para este caso, y en la tabla

posterior se dan las fórmulas de ajuste.

En estas fórmulas se aprecia la misma tendencia que en las de razón de asentamiento de un

cuarto, con la excepción de que el tiempo de integración, depende, hasta cierto punto, de la

constante de tiempo efectiva del proceso, y menos del tiempo muerto del proceso.


Modelo del proceso:

Controlador proporcional (P): GC(s) = KC

Integral del error ICE IAE IAET

a = 1,411 0,902 0,490

b = -0,917 -0,985 -1,084

Controlador proporcional-integral (PI):


a1 = 1,305 0,984 0,859

b1 = -0,959 -0,986 -0,977

a2 = 0,492 0,608 0,674

b2 = 0,739 0,707 0,680

Controlador proporcional-integral-derivativo (PID):


a1 = 1,495 1,435 1,357

b1 = -0,945 -0,921 -0,947

a2 = 1,101 0,878 0,842

b2 = 0,771 0,749 0,738

a3 = 0,560 0,482 0,381

b3 = 1,006 1,137 0,995

Fórmulas de ajuste de integral mínima de error para entrada de perturbaciones.

1ts

KesG

st0

b

0C

τ

t

K

aK

sτ

11KsG

I

CC

2

1

b

0

2

I

b

01C

τ

t

a

ττ

τ

t

K

aK

sτ

sτ

11KsG D

I

CC

3

2

1

b

03D

b

0

2

I

b

01C

τ

tτaτ

τ

t

a

ττ

τ

t

K

aK


Modelo del proceso:

Controlador proporcional-integral (PI):

Integral del error IAE IAET

a1 = 0,758 0,586

b1 = -0,861 -0,916

a2 = 1,02 1,03

b2 = -0,323 -0,165

Controlador proporcional-integral-derivativo (PID):

Integral del error IAE IAET

a1 = 1,086 0,965

b1 = -0,869 -0,855

a2 = 0,740 0,796

b2 = -0,130 -0,147

a3 = 0,348 0,308

b3 = 0,914 0,929

Fórmulas de ajuste de integral mínima de error para cambios en el punto de control.

1ts

KesG

st0

sτ

11KsG

I

CC

/τtba

ττ

τ

t

K

aK

022

I

b

01C

1

sτ

sτ

11KsG D

I

CC

3

1

b

03D

022

I

b

01C

τ

tτaτ

/τtba

ττ

τ

t

K

aK


Ejemplo: Se deben comparar los parámetros de ajuste que se obtienen con los diferentes

criterios de integral de error para entrada de perturbaciones de un controlador de temperatura del

intercambiador de calor; el cual K= 0,80 %/%; τ=33,8 seg y t0=11,2 seg; se debe utilizar la

función de transferencia del modelo de primer orden mas tiempo muerto, que se muestra a

continuación. Se considera a) un controlador P, b) un controlador PI y c) un controlador PID.

%/% 2,033,8

11,2

0,80

0,490

τ

t

K

0,490K :IAET

%/% 3,333,8

11,2

0,80

0,902

τ

t

K

0,902K :IAE

%/% 4,933,8

11,2

0,80

1,411

τ

t

K

1,411K:ISE

1,084084,1

0C

0,9850,985

0C

0,9170,917

0C

a) un controlador P

b) un controlador PI

Al aplicar de manera semejante las fórmulas de la tabla, se obtienen los siguientes parámetros:

Criterio ICE IAE IAET

KC, %/% 4,7 3,7 3,2

τI 30,3 25,5 23,7

(min) 0,51 0,42 0,39


c) un controlador PID

Al aplicar de manera semejante las fórmulas de la tabla, se obtienen los siguientes parámetros:

Criterio ICE IAE IAET

KC, %/% 5,3 5,0 4,8

τI 13,1 16,8 17,8

(min) 0,22 0,28 0,30

τD 6,2 4,6 4,3

(min) 0,104 0,077 0,072

La primera conclusión que se obtiene al comparar estos parámetros de ajuste es que, de todas

estas fórmulas, resultan valores del mismo orden de magnitud o “encasillados”.

La segunda es que, del criterio de desempeño ICE, resultan parámetros de control más

aproximados a lo real (ganancia más alta y tiempo de integración más corto); mientras que con el

IAET generalmente se obtienen los resultados menos aproximados a lo real.


18

Seleccione el Tipo de controlador por retroalimentación

¿Cuál de los tres populares controladores de realimentación debe utilizarse para controlar un

proceso dado? La pregunta se puede responder de una manera muy sistemática de la siguiente

manera :

1 . Definir un criterio de comportamiento apropiado (por ejemplo , ISE , IAE o ITAE ) .

2 . Calcular el valor del criterio de la capacidad utilizando un controlador P, PI, o PID con los

mejores ajustes para los parámetros ajustados KC, τI, y τD.

3 . Seleccione ese controlador que proporciona el "mejor" valor para el criterio de desempeño .

Este procedimiento, aunque matemáticamente sea riguroso, tiene varios inconvenientes prácticos

graves :

Es muy tedioso .

Se basa en modelos (funciones de transferencia) para el proceso, sensor, y el elemento final de

control los cuales no se sabe muy exactamente.

Incorpora cierta ambigüedad en cuanto a cuál es el criterio más apropiado y lo que los cambios

de entrada a considerar.

Afortunadamente, podemos seleccionar el tipo de controlador de realimentación más adecuado

utilizando sólo consideraciones cualitativas generales derivadas del análisis en el capítulo.


19

En resumen, las conclusiones fueron las siguientes :

1 . El control proporcional

(a) Acelera la respuesta de un proceso controlado.

(b) Produce un offset (es decir, error de estado estacionario distinto de cero) para todos los

procesos excepto aquellos con términos 1/s (integradores) en su función de transferencia, tales

como el nivel de líquido en un tanque o la presión de gas en un recipiente.

2 . Control Integral

(a) Elimina cualquier desplazamiento.

(b) La eliminación de la compensación por lo general se produce a expensas de mayores

desviaciones máximas.

(c) Produce respuestas oscilantes lentas y largas.

(d) Si se aumenta el valor de la ganancia Kc para producir una respuesta más rápida, el sistema

se vuelve más oscilatorio y puede ser llevado a la inestabilidad.

3 . Control derivativo

(a) Se anticipa a futuros errores e introduce medidas adecuadas.

(b) Se introduce un efecto estabilizador sobre la respuesta de lazo cerrado de un proceso.

20

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS Entonamiento de controladores


21

Una vez seleccionado el tipo de controlador de retroalimentación, todavía tenemos el problema

de decidir qué valores usar para sus parámetros ajustados. Esto se conoce como el problema de

optimización del controlador. Existen tres enfoques generales que podemos utilizar para afinar un

controlador :

Usar criterios simples, tales como:

1. La razón de asentamiento de un cuarto, el tiempo mínimo de asentamiento, el mayor error

mínimo, y así sucesivamente. Tal enfoque es simple y de fácil implementación en un proceso

real. Por lo general, proporciona múltiples soluciones. Se necesitan especificaciones adicionales

sobre el funcionamiento del lazo cerrado para romper la multiplicidad y seleccionar un solo

conjunto de valores para los parámetros ajustados.

2. Utilice los desempeños de los criterios de tiempo integral como ISE , IAE o ITAE. Este

enfoque es bastante engorroso y se basa en gran medida en el modelo matemático (función de

transferencia) del proceso. Aplicando de forma experimental en un proceso real, se consume

mucho tiempo .

3. Utilice reglas semiempíricas que se han demostrado en la práctica.


22

En esta sección se discuten los más populares métodos de ajuste empírico, conocido como el

método de la curva de reacción del procedimiento, desarrollado por Cohen y Coon.

Considere el sistema de control de la siguiente figura, que ha sido "abierto", desconectando el

controlador desde el elemento de control final.

Luego, se introduce un escalón unitario de magnitud A en la variable c que acciona el elemento

de control final. En el caso de una válvula, c es la posición del vástago. Registre el valor de la

salida con respecto al tiempo. La curva ym(t) se llama la curva de reacción del proceso. Entre ym

y c tenemos la siguiente función de transferencia:

sG*sG*sGsC

sYsG mpf

MPRC


23

Cohen y Coon, observaron que la respuesta de la mayoría de las unidades de procesamiento a un

cambio de entrada, como el anterior, tenía una forma signoidal (véase la figura), que puede

aproximarse adecuadamente por la respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto

(ver la curva de trazos en la figura):

Que tiene tres parámetros: ganancia estática K, tD tiempo muerto, y la constante de tiempo τ. A

partir de la respuesta aproximada de la figura, es fácil estimar los valores de los tres parámetros.

Por lo tanto: K = B/A = salida (en estado estacionario) / entrada (en estado estacionario)

τ = B/S, donde S es la pendiente de la respuesta signoidal en el punto de inflexión

tD = tiempo transcurrido hasta que el sistema respondió

1τs

Ke

sC

sYsG

st

MPRC

D


24

Luego se derivan expresiones para los "mejores" parámetros del controlador utilizando los

cambios de load y varios criterios de desempeño, tales como:

Índice de disminución de n cuarto

Mínimo offset

Mínimo Error cuadrático integral (ISE)

Los resultados de este análisis se resumen a continuación.

1. Para los controladores proporcionales, utilice

2. Para los controladores proporcional integral, utilice

3. Para los controladores proporcional integral derivativo, utilice

3τ

t1

t

τ

K

1K D

D

C

τ20t9

τ3t30tτ

12τ

t0,9

t

τ

K

1K

D

DDI

D

D

C

τ2t11

4tτ

τ20t9

τ3t30tτ

12τ

t0,9

t

τ

K

1K

D

DD

D

DDI

D

D

C


25

Ejemplo: Procesos multicapacidad: Consideremos dos sistemas de primer orden en serie:

El aparato de medición y la válvula control (elemento de control final) tienen una dinámica de

primer orden, tales como:

1sτ1sτ

KG

21

PP

1sτ

KGy

1sτ

KG

f

ff

m

mm

A continuación, la función de transferencia entre el accionamiento de la variable control c y la

medición registrada a la salida, está dada por:

1sτ1sτ1sτ1sτ

KKKGGGsG

m21f

mpf

mpfPRC

Indica que la curva de reacción del procedimiento tiene las mismas características dinámicas

como la respuesta de un sistema compuesto de cuatro sistemas de primer orden en serie (es decir,

se trata de una curva signoidal).

La siguiente figura, muestra la curva de reacción para el siguiente proceso para los valores:

10 τ0,0 τ2,0 τ5,0τ

1,0K 1,0K 1,0K

mf21

fmP


26

Dibujando la tangente en el punto de

inflexión encontramos:

S = pendiente en el punto de inflexión = 0,05

B = última respuesta = 1,0

τ = constante de tiempo efectivo = B / S = 20

tD = tiempo muerto = 2,5

K = Ganancia = B / A = 1,0/1,0 = 1.0

Por lo tanto, la curva de reacción del proceso se puede aproximar a través de la respuesta del

siguiente sistema de primer orden con tiempo muerto:

120s

1,0eG

-2,5s

PRC

La respuesta aproximada también se muestra en la anterior figura. Nos damos cuenta de que la

aproximación es satisfactoria hasta que la respuesta se ha alcanzado el 40% de su valor final.

Usando los ajustes Cohen-Coon sugeridas, encontramos:

Para el controlador proporcional: KC = 8,3

Para que el controlador proporcional-integral: KC = 7,3

τI = 6,6

Para el controlador proporcional-integral-derivativo: KC = 10,9

τI = 5,85

τD= 0,89

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