UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

Octubre, 2013

INTRODUCCIÓN A MATLAB

2

Matlab es un programa interprete de comandos. Esto quiere

decir que es capaz de procesar de modo secuencial una serie de

comandos previamente definidos, obteniendo de forma

inmediata los resultados. Los comandos pueden estar ya

definidos en el propio Matlab y pueden también ser definidos

por el usuario.

Operadores

Hay operadores para números (reales o complejos) y para matrices.

• Para números: + - * / ^

• Números complejos: Esta definida la unidad imaginaria, √-1, que se denota indistintamente por los

símbolos i y j

• Para matrices: + - * / ^

• Para matrices elemento por elemento: .+ .- .* ./ .^

Funciones elementales

Matlab dispone de las funciones elementales mas comunes (las que tienen las calculadoras de bolsillo) y

otras especiales, propias. Realizan una operación sobre un argumento numerico dado de tipo matriz y

operan elemento por elemento. Las mas usuales son:

• Trigonometricas: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh.

• Lógicas: any, all, find, exist, isnan, finite, isempty, isstr, strcomp.

• Otras: abs, angle, sqrt, real, imag, conj, round, x, floor, ceil, sign, rem, exp, log, log10.

• Especiales: bessel, gamma, rat, ert, invertf, ellipk, ellipj. 3

4

Operaciones numéricas

>> a = 4

a =

4

>> b = 5 + a

b =

9

>> c = a^2 + b^2

c =

97

>> sin (30*pi/180)

ans =

1/2

Si el usuario no ha asignado el

resultado a una variable, Matlab lo

hace utilizando la variable \ans"

Operaciones con vectores

>> a = [1 2 3 4 6 4 3 4 5]

a =

1 2 3 4 6 4 3 4 5

>> b = a + 2

b =

3 4 5 6 8 6 5 6 7

>> c = a + b

c =

4 6 8 10 14 10 8 10 12

>> d = a .* b

c =

3 8 15 24 48 24 15 24 35

5

Operaciones con polinomios

6

Los polinomios se representan en Matlab como vectores fila. Por ejemplo, el polinomio

3s3 - 5s2 + 7s + 3 se representa por

>> p = [ 3 -5 7 3 ]

Las raíces de un polinomio se hallan mediante la función roots:

>> r = roots(p)

La función polyval sirve para hallar el valor de un polinomio. Si el parámetro que le pasamos

es un vector, calcula otro vector con los valores del polinomio para cada uno de los del vector.

Veamos como se efectúan algunas de las operaciones mas comunes con matrices:

Introducir una matriz A:

Operaciones con matrices

>> A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0]

• Calculo de la transpuesta:

>> B = A'

• Producto matricial:

>> C = A * B

• Determinante:

>> det(A)

• Matriz inversa:

>> inv(A)

7

• Valores propios y vectores propios:

>> [val,vec]=eig(A)

• Valores singulares:

>> svd(A)

• Exponenciación matricial (eA):

>> expm(A)

• Polinomio característico:

>> p = poly(A)

La librera Symbolic Math Toolbox da acceso a Matlab a algunas funciones del núcleo de Maple

que permiten operar con expresiones simbólicas. las variables simbólicas se hayan declarado

previamente con sym() o syms. Por ejemplo:

>> syms a b p x

>> a = x^3 + 3*x^2 - 2*x + 7;

>> b = x^2 + x + 3;

>> p = a * b

p =

(x^3 + 3*x^2 - 2*x + 7)*(x^2 + x + 3)

>> expand(p)

ans =

x^5 + 4*x^4 + 4*x^3 + 14*x^2 + x + 21

Operaciones simbólicas

8

La sustitución de un símbolo por otro en una expresión simbólica se puede realizar con la orden

subs. La forma de hacerlo es subs(expr, old, new)

Sustitución de variables

>> syms x a b c

>> f = a*x^2 + b*x + c;

>> g = subs(f,x,-1)

g =

a - b + c

Las ordenes poly2sym y sym2poly sirven, respectivamente, para convertir un polinomio

expresado en forma numérica (vector de coeficientes) en su expresión simbólica, y viceversa.

El siguiente ejemplo ilustrara su utilización.

>> syms x

>> p = [1 2 3 4 5]

>> px = poly2sym(p,x)

px = x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 5

>> sym2poly(px)

ans =

1 2 3 4 5

Conversión de polinomios

Se pueden también sustituir varias variables a la vez.

>> syms x a b c k

>> f = a*x^2 + b*x + c;

>> g = subs(f,[a,b,c],[1,2,k])

g =

x^2+2*x+k

9

El comando diff() de Matlab permite calcular derivadas, totales y parciales, de una expresión

algebraica, función de una o varias variables y parámetros, respecto de una de ellas (o de ellos).

Supongamos que nos dan una expresión f(x), por ejemplo el polinomio

f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x + a0

Derivadas

>> syms a3 a2 a1 a0 x

>> f=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0;

>> diff(f)

ans =

3*a3*x^2 + 2*a2*x + a1

El comando int() de Matlab permite resolver integrales, tanto indefinidas como definidas.

Integrales

>> syms a b x

>> f=log(x)/x;

>> int(f)

ans =

log(x)^2/2

Para obtener la expresión de una integral definida, pondremos

>> int(f,a,b)

ans =

1/2*log(b)^2-1/2*log(a)^2

10

En las aplicaciones interesa a veces conocer el valor numérico de una función y = f(x) para uno

o varios valores de la variable. Por ejemplo, dada la función y = 10(1-e-x/3sin(10x)), definida en

el intervalo [0; 15], una posible representación en Matlab, seguida de su representación grafica,

será:

>> x=[0:0.1:15];

>> y=10*(1-exp(-x/3).*sin(10*x));

>> plot(x,y),title('Grafica de una función')

Gráficos en 2D

11

Las funciones de dos variables, de la forma f(x;y) se pueden representar gráficamente con

Matlab en 3D. Veámoslo con un ejemplo.

Gráficos en 3D

yyyxxxxz 22623 2224

Supongamos que queremos calcular los valores de z en una región rectangular del plano (x; y)

definida en el rango -3 < x < 3 y -3 < y < 13 y representarla gráficamente. Para ello

escribiremos:

>> x1 = linspace(-3, 3);

>> y1 = linspace(-3, 13);

>> [x,y] = meshgrid(x1, y1);

>> z = x.^4+3*x.^2-2*x+6-2*y.*x.^2+y.^2-2*y;

>> mesh(z)

>> surf(z)

12

Descomposición en fracciones parciales

Considere la función de transferencia

611s6ss

63s5s2s

sA

sBsG

23

23

Para esta función:

num=[2 5 3 6]

den=[1 6 11 6]

Escribimos:

[r,p,k]=residue(num,den)

Por lo que queda expresado:

21s

3

2s

4

3s

6

sA

sBsG

13

Matlab esta dotado de un mecanismo que le permite interpretar ficheros de texto, con la

condición de que su nombre termine por .m. Se utilizan principalmente para crear funciones (en

el sentido matemático), programas y funciones (ordenes) de Matlab.

Ficheros-m

14

t=0:0.05:10;

y=sin(t);

z=cos(t);

plot(t,y,'o',t,z,'x')

grid

title('Graficas del seno y coseno')

xlabel('seg')

ylabel('y=seno(t); z=coseno(t)')

text(3,0.45,'sen(t)')

text(0.8,-0.3,'cos(t)')

15

Se desarrolla una reacción termoquímica en donde el reaccionante A se convierte en un producto B.

Velocidad de reacción: r(t)=k*CA(t)

Concentración de la entrada: CAi(t)

En la condición inicial

t=0; CAi(0)=12,5 mol/L

Demás constantes

Constante de velocidad de reacción: k=0,2 min-1

Volumen de la masa reaccionante: V=5 Litros

Flujo de entrada: Fi= 1 L/min

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Balance para el componente A (E-C+F-S=A) en estado no estacionario:

tCFV*k

FV*ktC*

FV*k

F

dt

tdC*

FV*k

V

tC*FV*kF*tCdt

tdC*V

dt

tdC*VF*tCV*tC*kF*tC

dt

tdC*V

dt

V*Cd

dt

ndF*tCV*rF*tC

AAiiA

AiAiA

AAAiAi

AAAAiAi

16

tC*KtC

dt

tdC*τ

tC*FV*k

FtC

dt

tdC*

FV*k

V

AieAA

Aii

AA

5,0

L/min 1L 5*min 0,2

L/min 1

FV*k

FK

min5,2L/min 1L 5*min 0,2

L 5 τentonces ,

FV*k

V τSea

1-e

1-

mol/L 6,25(0)C

valoresdoreemplazan

00C*F0C*V*k0C*F

iónconcentrac la de inicialCondición

A

AAAi

.m matlaben programaun en problema este Realicemos

17

18

18

Análisis de la respuesta transitoria de sistemas continuos

19

20

Respuestas transitorias: se refiriere a la que va del estado inicial al estado final, tales como respuesta a

un salto o entrada escalón, se utilizan frecuentemente para investigar las características en el dominio

temporal de los sistemas de control.

Respuesta a una entrada escalón

Sea la siguiente función de transferencia 254ss

25

sR

sC2

21

Sean los siguientes sistemas:

10.5ss

1

sN

sC2

Sistema 1

40.5ss

1

sN

sC2

Sistema 2

22

23

Sea la respuesta a un impulso unitario del sistema de segundo orden

12ζs

s

sR

sCsG

2

s

Para obtener la respuesta a un impulso unitario, realicemos el siguiente procedimiento

num=[1 0]

den=[1 2*(zeta) 1]

Consideremos cinco valores diferentes de zeta: ζ = 1, 0.7, 0.5, 0.3, y 0.1

24

Análisis de la respuesta transitoria de sistemas de lazo abierto

25

26

Sea la siguiente función de transferencia

2010ss

1

sR

sCsG

2

El objetivo de este problema es mostrar como Kp, Ki y Kd contribuyen a obtener

• Un tiempo de subida más rápido

• Un sobreimpulso mínimo

• Un error en régimen permanente nulo

Veamos, en primer lugar, la respuesta en bucle abierto del sistema ante una entrada escalón. Cree

un nuevo archivo de instrucciones con el siguiente código:

num=[1];

den=[1 10 20];

step(num,den)

27

Ahora diseños un controlador que reduzca el tiempo de subida y el tiempo de establecimiento y

elimine el error en régimen permanente.

Control Proporcional (P)

De acuerdo a lo estudiado en las clases anteriores, el controlador proporcional (Kp) reduce el

tiempo de subida, incrementa el sobreimpulso y reduce el error en régimen permanente. Por lo

que la función de transferencia de lazo cerrado del sistema anterior con un controlador

proporcional sería:

Kp20s*10s

Kp

sX

sY2

Establezcamos 300 como valor de la ganancia proporcional (Kp) y modifiquemos el archivo de

instrucciones de la siguiente manera:

Kp=300;

num=[Kp];

den=[1 10 20+Kp];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Al ejecutar este archivo en la ventana de instrucciones de matlab se deberá obtener la siguiente

figura:

28

La función de Matlab denominada cloop puede usarse para obtener directamente la función de

transferencia de lazo cerrado a partir de la función de transferencia de lazo abierto (en vez de

obtener la función de lazo cerrado a mano). El siguiente archivo de instrucciones en el que se usa

el comando cloop generará una gráfica idéntica a la mostrada anteriormente.

num=[1];

den=[1 10 20];

Kp=300;

[numCL,denCL]=cloop(Kp*num,den);

t=0:0.01:2;

step(numCL,denCL,t)

29

El gráfico anterior muestra como el controlador proporcional ha reducido tanto el tiempo de

subida como el error en régimen permanente, ha incrementado el sobreimpulso y disminuido, en

una pequeña cantidad el tiempo de establecimiento.

Control Proporcional y Derivativo (PD)

Veamos ahora el control PD. Este tipo de controlador reduce el sobreimpulso como el tiempo de

establecimiento. La función de transferencia de lazo cerrado del sistema propuesto con un

controlador PD es:

Kp20s*K10s

Kps*K

sX

sY

D

2

D

Establezcamos 300 como valor de la ganancia proporcional (Kp) y en 10 el de KD. Introduzca las

siguientes instrucciones y ejecútelo desde la ventana de Matlab:

Kp=300;

KD=10;

num=[KD Kp];

den=[1 10+KD 20+Kp];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Al ejecutar este archivo en la ventana de instrucciones de matlab se deberá obtener la siguiente

figura:

30

Esta gráfica muestra como el controlador derivativo reduce el sobreimpulso y el tiempo de

establecimiento y tiene poco efecto sobre el tiempo de subida y el error en régimen permanente

Control Proporcional e Integral (PI)

El control PI, disminuye el tiempo de subida, incrementa tanto el sobreimpulso como el tiempo

de establecimiento y elimina el error en régimen permanente. Para el sistema propuesto, la

función en lazo cerrado para el control PI es:

I

23

I

Ks*Kp20s*10s

Ks*Kp

sX

sY

Reduzcamos a 30 el valor de Kp y establezcamos en 70 el de KI. Introduzca las siguientes

instrucciones y ejecútelo desde la ventana de Matlab:

31

Kp=30;

KI=70;

num=[Kp KI];

den=[1 10 20+Kp KI];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Al ejecutar este archivo en la ventana de instrucciones de matlab se deberá obtener la siguiente

figura:

Se ha reducido el valor de la ganancia proporcional (Kp) porque el controlador integral también

reduce el tiempo de subida e incrementa el sobreimpulso tal y como hace el controlador

proporcional. La respuesta anterior muestra como el controlador integral elimina el error en

régimen permanente.

32

Control Proporcional, Integral y Derivativo (PID)

Veamos ahora el controlador PID, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema dado

con un controlador PID es:

I

2

D

3

IP

2

D

Ks*Kp20s*K10s

Ks*Ks*K

sX

sY

Tras varias pruebas se ha comprobado que los valores de las ganancias KP=350; KI=300 y

KD=50, proporcionan una respuesta adecuada. Para confirmarlo, introduzca las siguientes

instrucciones en matlab.

KP=350;

KI=300;

KD=50;

num=[KD KP KI];

den=[1 10+KD 20+KP KI];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Al ejecutar este archivo en la ventana de instrucciones de matlab se deberá obtener la siguiente

figura:

33

Consejos generales para el diseño de un controlador PID

1.- Obtenga la respuesta en lazo abierto y determine los parámetros que deben ser mejorados

2.- Añada un control proporcional para mejorar el tiempo de subida

3.- Añada un control derivativo para mejorar el sobreimpulso

4.- Añada un control integral para eliminar el error en régimen permanente

5.- Ajuste los valores de KP, KI y KD para obtener la respuesta deseada.

6.- Tenga en cuenta que, si no es necesario, no tiene porque implantar los tres controladores en un

único sistema

Lugar de las Raíces

34

35

Como el lugar de las raíces es realmente las ubicaciones de todos los posibles polos de lazo

cerrado, del lugar de las raíces se puede seleccionar una ganancia(para un controlador

proporcional puro) tal que el sistema de lazo cerrado se comporte de manera adecuada.

Trazando el lugar de las raíces de una función de transferencia

Considere un sistema en lazo abierto, cuya función de transferencia sea:

20s*15s*5s*s

7s

sX

sY

Primero, debemos desarrollar el polinomio que se encuentra en el denominador, quedando:

num=[1 7];

den=[1 40 475 1500 0];

rlocus(num,den)

Para lograr determinar el lugar de las raíces, introduzca las siguientes instrucciones en matlab.

s*1500s*475s*40s

7s

sX

sY234

36

¿Cómo se puede diseñar un controlador para este sistema usando el método del lugar de las raíces?

Ejemplo: Digamos que nuestro criterios de diseño para el controlador sea 5% de sobreimpulso y

un (1) segundo de tiempo de subida.

Usar la función del Matlab denominada sgrid sirve para hallar una región aceptable del lugar

de raíces. Esta función sgrid requiere dos argumentos: Frecuencia natural (Wn) y coeficiente

de amortiguamiento (zeta). Estos dos argumentos pueden determinarse a partir de los

requerimientos de tiempo de elevación, tiempo de establecimiento, sobrepico y las 3

ecuaciones de abajo.

2

p

2

p

r

n

s

n

π

MLn1

π

MLn

ζ

T

1,8ω

T

4,6ω*ζ

Donde:

Wn=Frecuencia natural

ζ=coeficiente de amortiguamiento

Ts=Tiempo de establecimiento

Tr=Tiempo de Subida

Mp=Máximo sobrepico

37

05,0esoSobreimpul2ζ1

*ζπ

Recordemos que existe una relación entre el sobreimpulso y la razón de amortiguamiento, la cual es:

Operando y resolviendo en la ecuación, se tiene que la razón de amortiguamiento (ζ, zeta) vale

o tiene que ser mayor a: 0,6901

Estudiando el sistema a lazo cerrado, tenemos:

num=[1 7];

den=[1 40 475 1500 0];

step(num,den)

[numCL,denCL]=cloop(num,den)

Obviamente, no todos los polos satisfacen los

criterios de diseño. Para determinar que parte del

lugar es aceptable usamos el comando:

sgrid(zeta,Wn) que traza las líneas de razón de

amortiguamiento (zeta) y frecuencia natural (Wn)

Además, de la ecuación que relaciona la frecuencia natural y la razón de amortiguamiento, se tiene:

8,11

8,1

T

1,8ω

r

n

38

Ahora, introduzca las siguientes instrucciones en matlab.

rlocus(num,den)

zeta=0.7;

Wn=1.8;

sgrid(zeta,Wn)

En la grafica anterior, las

dos líneas discontinuas

de un ángulo de

aproximadamente 45º

indican la ubicación de

los polos con zeta=0.7; el

semicírculo indica la

ubicación de los polos

con una frecuencia

natural Wn=1.8

39

Para hacer el sobreimpulso < al 5%, los polos deben estar entre las dos líneas discontinuas

Para hacer el tiempo de subida sea < al 1 seg, los polos deben estar fuera del semicírculo.

Ahora conocemos que sólo es aceptable la parte del lugar de las raíces comprendida entre las dos

líneas y fuera del semicírculo. Como todos los polos comprendidos en esta zona están en el

semiplano izquierdo, el sistema será estable en lazo cerrado.

Para ello, se puede usar el comando de matlab: rlocfind para elegir la ubicación de los polos

deseados, como se muestra a continuación:

[kd,poles]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-3.2611 - 0.0074i

kd =

298.0271

poles =

-21.7782

-12.6360

-3.2610

-2.3247

40

Continuemos y usemos la ganancia (kd) seleccionada en nuestro controlador proporcional.

Respuesta de lazo cerrado

Para obtener la respuesta ante una entrada en escalón se necesita conocer la función de

transferencia de lazo cerrado. Se puede hallar utilizando las reglas del algebra de bloques o dejar

que Matlab lo haga por nosotros, como se muestra:

[numCL,denCL]=cloop((kd)*num,den)

numCL =

1.0e+03 *

0 0 0 0.2980 2.0862

denCL =

1.0e+03 *

0.0010 0.0400 0.4750 1.7980 2.0862

Los dos argumentos de la función cloop son el numerado y el denominador del sistema en lazo

abierto. Se debe incluir la ganancia proporcional que previamente se ha elegido, obteniendo:

Comprobemos la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario.

step(numCL,denCL)

41

Como se esperaba, esta respuesta tiene un sobreimpulso menor al 5% y un tiempo de subida

menor de 1 segundo.