CONTROL DE PRÓTESIS PIE-TOBILLO PARA LA MARCHA …

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

CONTROL DE PRÓTESIS PIE-TOBILLO PARA

LA MARCHA HUMANA NORMAL DURANTE

LA FASE DE APOYO

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA:

ING. THALIA DAFFNE HERNÁNDEZ DUARTE

DIRECTORES DE TESIS:

DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA SOSA

DR. JESÚS ALBERTO MEDA CAMPAÑA

MÉXICO.D.F.

Agradecimientos

A Dios

Por permitirme llegar hasta esta instancia de mi vida, asi como haberme concedido el privilegio

de lograr una meta más, además de su infinita bondad y amor.

A mis Padres

Raúl Hernández Rodríguez y Ma. Angélica Duarte Mendoza, quienes amo profundamente, por

darme la vida, por sus consejos, su apoyo incondicional y por todo el amor que día a día me

brindan.

A mis Hermanos

Tania y Rodrigo, por brindarme siempre su amor, su apoyo y comprensión incondicional y por

todo lo que compartimos para ser mejores personas.

A mi Fiel Amigo

José Alvillar Olivan, por ser mi compañero fiel, por los consejos y el apoyo brindado, y por el

amor de todos los días.

A mis amigos

Susana, Héctor, Arafat, Que son los hermanos que he elegido y quienes me han ayudado en mi

desarrollo profesional.

A mis Directores de Tesis

Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Sosa

Por las enseñanzas, los consejos, la confianza y la oportunidad de cumplir esta meta e

impulsarme para continuar en la investigación e iniciar un nuevo sueño.

Al Dr. Jesús Alberto Meda Campaña

Por la gran atención brindada, por las valiosos consejos, por el conocimiento transmitido y por su

tiempo que invirtió en mi trabajo.

Al Instituto Politécnico Nacional

Por permitirme ser parte de su grande institución y brindarme una educación de calidad.

Al CONACyT

Por su valioso apoyo económico brindado desde el inicio de mis estudios, y dar la oportunidad de

superación a profesionistas con gran talento.

I

Control de prótesis pie-tobillo para marcha humana normal durante la fase de apoyo

Resumen

El ser humano a los largo del tiempo ha tratado de comprender los cambios que suceden a su

alrededor, por lo mismo los cambios que existen sobre su propio ser, comenzando por los

cambios que podrían ser naturales a su propio punto de vista, pero que son afecciones producidas

por su contorno o por su misma perspectiva de los eventos, así mismo, algunas circunstancias por

las cuales él ha tenido que perder alguna parte de su propio cuerpo quedando incompleto, de

manera que no pueda seguir con sus actividades, gracias a su ingenio se las ha arreglado para

compensar, con ayuda de ornamentas que serán parte del remplazo del miembro perdido. Esto

dirige al estudio de esos instrumentos que han sido de apoyo para el mismo hombre. En este

trabajo se presenta el método de regulación difusa, para el seguimiento de referencia, dirigido a

un sistema protésico de pie-tobillo, con el fin de asimilar la marcha humana durante la fase de

apoyo

En el capítulo I se presenta la evolución en los sistemas protésicos a lo largo del tiempo,

comenzando por los rudimentarios, con el fin del reemplazo de la extremidad, en algunos de los

casos con fines estéticos, llevándolos a una evaluación para los cuales eran necesario

modificaciones que pudieran auxiliar a la persona con sus actividades cotidianas, y haciéndolas

más ergonómicas, así como la implementación de nuevas tecnologías, concluyendo con los

modelos que ocupan el mercado actualmente, de la misma manera la elección del modelo

protésico a utilizar.

Capítulo II se muestra el análisis de la marcha, las fases por las cuales está compuesta, así como

las características de ella. Las patologías que pueden afectarla al efectuar dicha actividad, de

igual manera se presentan la bases por las cuales está regido el método de regulación difusa y su

base teórica, de modo que dirige a la selección de un modelo adecuado para la aplicación del

método anteriormente mencionado.

El capítulo III expone el desarrollo matemático del miembro inferior, partiendo de la descripción

cinemática de manera general hasta el punto particular que es el pie-tobillo. Del mismo modo se

obtienen los parámetros por los cuales estarán sometidos, esto llevándose a cabo por el programa

computacional OpenSim. Mientras que en el capítulo IV se presenta el método de regulación

difusa y las soluciones para éste, así como la descripción del modelo dinámico y características

II


de la prótesis que ha sido elegida, donde posteriormente es aplicado el método descrito en esta

sección.

En el capítulo V se muestran la formulación del problema de regulación difusa, tomando al

modelo dinámico como el sistema o planta difusa y definiendo a la cinemática del pie-tobillo

como el exosistema, cuál será la trayectoria a seguir, valuando al método mediante la simulación

en el programa Matlab.

III


Abstract

The human being over the years has tried to understand the changes that happens around them,

therefore changes on their own being, starting with the changes that might be natural to his own

point of view, but that are produced by his outline or by his own perception of the events, also

circumstances for which he has lost parts of his body being incomplete so he won’t be able to

continue with his normal activities, thanks to his inventiveness he has compensate, using

instruments that will be part of the replacement of the missing limb. This leads to the study of

these instruments that have been of support to the man. This paper presents fuzzy control as a

method for the reference track, led to a system of foot-ankle prosthesis, in order to assimilate the

human march during the stance phase.

Chapter I presents the evolution of prosthetic systems along the time, beginning with the

rudimentary, to achieve a correct limb replacement, in some cases for aesthetic purposes, leading

to an evaluation which modifications were necessary to could assist a person with their daily

activities, and making them more ergonomic, as well as the implementation of new technologies,

concluding with models that currently occupy the market, like the choice of prosthetic model

used.

Chapter II shows the march’s analysis, the phases which composed it, as well as the

characteristics of it also presents the pathologies that can affect this activity. Also this paper

presents the basis which fuzzy control method is ruled and its theoretical basis, so that leads to

the selection of a suitable model for implementing the method previously mentioned.

Chapter III presents the mathematical development of the lower limb, based on the kinematic

description in general, ending in the particular point which is the foot-ankle. In the same way

parameters are obtained by which they are subjected,, this being performed by the software

OpenSim. Chapter IV presents the fuzzy control method and the solutions to it also is shown the

description of the dynamic model and the features of the prosthesis that has been chosen, which is

subsequently applied the method described in this section.

IV


Chapter V shows the formulation of the problem of fuzzy control, taking the dynamic model as

the system or diffuse ground and defining the foot-ankle kinematics as the exosystem, which will

be the path to follow, valuing the method through simulation using the software Matlab.

V


Índice General

Resumen I

Abstract III

Índice General V

Índice de Figuras VIII

Índice de Tablas X

Nomenclatura XI

Objetivo XIV

Justificación XV

Introducción XVI

I.- Estado del Arte 1

I.1.-Introducción 2

I.2.- Antecedentes históricos generales 3

I.3.- Trabajos realizados en Sección de Estudios de Posgrado e Investigación sobre

Biomecánica

9

I.4.- Clasificación de los pies de respuesta dinámica 15

I.5.- Prótesis robóticas de miembro inferior 19

I.6.- Planteamiento del problema 22

I.7.- Sumario 22

I.8.- Referencias 23

II.- Marco Teórico 26

II.1.-Introducción 27

II.2.-Marcha humana 27

II.2.1.- Antecedentes del análisis de la marcha 27

II.2.2.- Factores que influyen en el análisis de la marcha 28

II.2.2.1.- Factores transitorios 28

II.2.2.2.- Factores permanentes 29

II.2.3.- Ciclo de la marcha 30

II.2.4.- Fases del ciclo de la marcha 31

II.2.5.- Biomecánica del tobillo durante la marcha 33

II.2.6.- Cinemática 35

VI


II.2.7.- Cinética 38

II.3.- Sistemas difusos 39

II.3.1.- Lógica difusa 39

II.3.1.1.- Conjuntos clásicos 39

II.3.1.2.- Conjuntos difusos 40

II.3.2.- Funciones de membresía o de pertenencia 41

II.3.3.- Control difuso 43

II.3.4.- Tipos de sistemas difusos 45

II.3.4.1.- Sistemas difusos de tipo Mamdani 46

II.3.4.2.- Sistemas difusos de tipo Takagi-Sugeno 46

II.3.5.- Operadores sobre conjuntos difusos 47

II.3.6.- Regla SI-ENTONCES (IF-THEN) 48

II.4.- Selección de prótesis 49

II.5.- Sumario 50

II.6.- Referencias 50

III.-Trayectoria de Pie-Tobillo 53

III.1.- Introducción 54

III.2.-Sub fases en la fase de apoyo de la marcha humana 54

III.3.- Modelado cinemático 58

III.4.- Cuerpo rígido y movimiento rígido 61

III.5.- Cinemática directa 65

III.6.- Transformación inversa 65

III.7.- Obtención de las ecuaciones 66

III.8.-Solución de variables 68

III.9.- Sumario 70

III.10.- Referencias 70

IV.-Modelado Dinámico Prótesis Pie-Tobillo 71

IV.1.- Introducción 72

IV.2.-Teoria de regulación difusa 72

IV.2.1.- Teoría de regulación 73

IV.2.2.- Teoría de regulación lineal 76

VII


IV.2.2.1.- Regulación con retroalimentación de estado 77

IV.2.2.2.- Regulación con retroalimentación del error 81

IV.2.3.- Teoría de regulación no lineal 84

IV.2.3.1.- Regulación con retroalimentación de estado 85

IV.2.3.2.- Regulación con retroalimentación de error 88

IV.3.- Modelo dinámico 89

IV.4.-Sumario 95

IV.5.-Referencias 95

V.-Aplicación al Modelo Protésico 96

V.1.-Introducción 97

V.2.-Formulacion de problema 97

V.3.- Aplicación del método al modelo protésico 102

V.4.- Estado estacionario de error cero 110

V.5.-Sumario 116

V.6.-Referencias 116

Conclusiones 118

Trabajo futuro 121

Anexos 123

VIII


Índice de Figuras

Capítulo I

I.1.-Evolucion protésica 2

I.2.- Estudio sobre marcha realizado por Aristóteles 2

I.3.- Pierna de Hierro de Queen Vishpla en el Rig-Veda 3

I.4.- Desarrollos protésicos egipcios 4

I.5.-Animalium motivus 5

I.6.- Prótesis de pierna desarrollada por Pieter Andriannzoom Vernduyn 5

I.7.- Prótesis de articulación y corsé 6

I.8.- Pierna de Anglesey 6

I.9.- Pierna Selphe 7

I.10.- Pierna de Douglas Bly 7

I.11.- Prótesis por debajo de la rodilla de Ysidro 9

I.12.- Pie Carbon Copy II 17

I.13.- Pie College Park True Step Foot 18

I.14.- Power Knee 19

I.15.- Proprio Foot 20

I.16.- Powered Ankle-Foot por Samuel Au., Herr Hugh 21

Capítulo II

II.1.- Marcha Humana 31

II.2.- Biomecánica de tobillo en el plano sagital a cadencia libre, a) Posición, b)

Torque articular, c) Potencia articular

35

II.3.- Intervalo I, en fase de contacto inicial a la fase de apoyo medio 36

II.4.- Intervalo II, fase de apoyo medio a fase previa de oscilación 37

II.5.- Intervalo III, fase de balanceo 37

II.6.- Descripción de un conjunto difuso 41

II.7.- Función triangular de membresía 42

II.8.- Función trapezoidal de membresía 42

II.9.- Función gaussiana de membresía 43

II.10.- Esquema general del control difuso 44

II.11.- Operaciones en los conjuntos difusos 48

IX


Capítulo III

III.1.- Fase y sub-fases del ciclo de marcha humana 54

III.2.- Obtención de modelo dinámico 56

III.3.- Ciclo de marcha 57

III.4.- Ángulos de tobillo, obtenidos de OpenSim 57

III.5.- Posición de punto P de una articulación global 59

III.6.- Modelado de pierna 62

Capítulo IV

IV.1.- Esquema general de teoría de regulación 73

IV.2.-Señales de perturbación del sistema 75

IV.3.-Esquema de regulación difusa 76

IV.4.-Sistema de retroalimentación de estados 80

IV.5.-Regulación con retroalimentación de error 83

IV.6.-Diagramas a bloques de a) Rotación nominal, b) Traslación nominal 91

Capítulo V

V.1.-Funciones de membresía al controlador 103

V.2.- Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación

de tobillo

105

V.3.- Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación

de pie

105

V.4.- Error de seguimiento para el regulador difuso no lineal 106

V.5.- Salida del controlador para el regulador difuso no lineal 106

V.6.-Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de

tobillo

108

V.7.-Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de pie 109

V.8.- Error del controlador para el regulador difuso no lineal 109

V.9.- Salida del controlador para el regulador difuso no lineal 110

V.10.- Estado con el controlador para el regulador difuso no lineal 110




X


Índice de Tablas

Capítulo I

Capítulo II

II.1.- Intervalo I, movimiento de articulación 36

II.2.- Intervalo II, movimiento de articulación 36

II.3.- Intervalo III, movimiento de articulación 37

Capítulo III

III.1.- Características del sujeto de prueba 57

Capítulo IV

IV.1.-Caracteristicas de prótesis 89

IV.2.-Parametros del modelo protésico 94

Capítulo V

V.1.-Puntos de operación 101

XI


Nomenclatura

Matriz constante de

Matriz Inversa de

Matriz transpuesta de

Matriz constante de

Matriz constante de

Error de salida

Exponente

Matriz constante de

Función de de

Matriz constante de

Función de de

Matriz constante de

Función de de

Matriz de ganancia de retroalimentación

Matriz constante de

Matriz de ganancias, a partir de y

Dimensión del sistema

Matriz de las entradas no manipulables

Vector de perturbación

Matriz de distribución de la señal de referencia

Dimensión del exosistema

Espacio de los números reales

Espacio vectorial de dimensión con componentes reales

Espacio vectorial de matrices de dimensión con elementos reales

Matriz del sistema externo o exosistema

Sistema externo que genera las señales de perturbación y referencia

Tiempo de simulación

Vector de entradas de control

Control en estado estacionario

Vector de señales de referencia y perturbación

XII


Vector de variables de estado

Mapeos

Vector de señales de salida

Vector de señales de referencia

Vector de estado estimados del sistema

Vector de dimensión

Derivada con respecto al tiempo

Derivada parcial

Pertenece a

Existe

Tiende a

Tal que

Para toda

Mínimo

Máximo

Igual

Distinto de

Idéntico

Menor que

Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Subíndice que indica que el sistema está en tiempo discreto

Tiempo de muestreo

Funciones de membresía

Alfa (Parámetro)

Theta (Parámetro)

Beta (Parámetro)

Lambda (Valores propios de las matrices del sistema)

XIII


Gamma (Entrada en estado estacionario)

Pi (Estado estacionario de error cero)

Gamma (Matriz discreta en funciones de membresía)

Pi (Matriz discreta en funciones de membresía)

XIV


Objetivo

Los avances tecnológicos en el área protésica han sido significativos comenzando por las

modificaciones mecánicas, llegando a los sistemas electrónicos para hacer de estos ergonómicos

para el usuario, lo cual lleva a que en este trabajo se tiene como objetivo principal el evaluar el

método de regulación difusa, dirigido a un modelo de prótesis de pie-tobillo, con la

determinación del modelo matemático de dicha prótesis, para poder asimilar la marcha humana

durante la fase de apoyo, a partir de la trayectoria obtenida de esta articulación, mediante una

simulación en un programa computacional Matlab.

Derivados del objetivo general los siguientes objetivos particulares:

La inquietud del hombre por saber más sobre el funcionamiento de su cuerpo y las

diferentes circunstancias en las cuales ha perdido partes del mismo, dirige a la

recopilación sobre la evolución de los sistemas protésicos.

En la búsqueda de respuestas sobre el funcionamiento del cuerpo humano se desarrolla el

área de Biomecánica, esto genera el análisis del ciclo de la marcha y las características de

esta, por lo que de esta manera se hace referencia al desarrollo teórico de la lógica difusa,

siendo esta el fundamento para la aplicación a una prótesis elegida.

Sobre el estudio de la marcha se encuentran las diferentes fases en las cuales se lleva a

cabo, lo cual coloca a la descripción en la fase de apoyo para la formulación matemática

para la misma, con el fin de la determinación de la trayectoria en la articulación.

El análisis sobre la lógica difusa conlleva a la descripción del sistema dinámico

perteneciente a la prótesis elegida anteriormente y así obtener el espacio estados, siendo

parte fundamental para el estudio realizado.

A lo largo de la investigación se presenta la importancia del sistema cinemático y

dinámico a obtener dirigiendo a la presentación del método de regulación difusa al

sistema protésico con respecto a la trayectoria obtenida.

XV


Justificación

La discapacidad motriz se refiere a la pérdida o limitación de movimiento en una persona,

desplazarse, caminar, mantener postura de todo el cuerpo o de una parte del mismo. Al año 2010

las personas que tienen algún tipo de discapacidad son 5, 739,270 en México. Lo que representa

el 5.1% de la población total, donde el total de la población con discapacidad, 45% presenta

limitación motriz, 26% visual, 16% auditiva, 16% mental, 5% lenguaje y 1% con otros tipos de

discapacidad, de acuerdo a el Instituto Nacional de Estadística Geográfica e Informática (INEGI),

considerando que algunas personas presentan más de una discapacidad.

Por lo cual a través del estudio de la Biomecánica se han desarrollado diferentes dispositivos

protésicos para la ayuda de estas personas, y hace de ello un área importante a estos por los

grandes índices de discapacidad motriz, con el objeto de proporcionar una mejor calidad de vida.

Este trabajo se enfoca en el desarrollo de un controlador difuso, para una prótesis de pie-tobillo,

donde se pretende asimilar los movimientos durante una fase en el ciclo de marcha, como una

buena alternativa sobre el desarrollo tecnológico en los sistemas protésicos, para la rehabilitación

de personas afectadas con esta discapacidad motriz, y la adaptación de un sistema protésico de

manera simple.

lo anterior, con ayuda de la caracterización de una marcha ideal con el fin de la reeducación de

una persona la cual ha perdido esta extremidad, mediante la obtención del modelo cinemático que

defina la trayectoria de la marcha, para luego pasar al modelo dinámico de una prótesis, el que

finalmente será descrito por un modelo Takagi-Sugeno, siendo este parte de la técnica de

regulación difusa en búsqueda de un controlador a partir de una simulación de estos sistemas.

XVI


Introducción

Desde el inicio de los tiempos el hombre se ha enfrentado a situaciones de supervivencia ya sea

por comida o bien por alguna batalla, debido a ello ha perdido alguna de sus extremidades, así

mismo le ha interesado el estudio sólo de su alrededor sino también de su propio cuerpo, con la

falta de extremidades perdidas durante estos sucesos, se la ingeniado para poder remplazarlas

comenzado de un artefacto fijo a la modificación y rediseño de la misma. La marcha es una

actividad que cada persona desarrolla de manera muy particular. Ésta toma una trayectoria

diferente para cada individuo, no sólo por las características del mismo, también por algunas

patologías que puedan afectarla, sin embargo los estudios de la biomecánica del cuerpo desarrolla

un patrón ideal en ducha trayectoria.

El desarrollo de las prótesis en un inicio fue el reemplazo de las extremidades perdidas, pero no

fue suficiente, hacía falta que este miembro reemplazado fuera funcional como el miembro

propio, de esta manera se han desarrollado, a través del tiempo, diferentes técnicas para que estos

elementos realicen las actividades del miembro orgánico, comenzando con las modificaciones

mecánicas simples como el implemento de resortes hasta tecnologías más complejas como los

circuitos electrónicos y técnicas de inteligencia artificial con la capacidad de asimilar las

características que el individuo impone, al utilizar estos instrumentos.

En un principio del la lógica clásica donde se evalúan variables en verdadero y falso, como

ejemplo la total extensión o flexión de un miembro respectivamente, aunque el desarrollo de la

lógica difusa destaca un punto importante donde valúa en un rango continuo, con el control

multivariable. En el seguimiento a referencia para un sistema mecatrónico como lo son ahora las

prótesis de extremidades para el ser humano o en aplicación industrial. En términos generales, se

desarrolla una marcha nominal y la obtención de una trayectoria a partir de la valuación de un

individuo de prueba, para el desarrollo en el método de regulación difusa en el caso de una

prótesis ya existente, así mismo el modelo dinámico de la misma, dado que la solución para el

problema de regulación se desarrolla el método conocido como el modelo Takagi-Sugeno. Esta

técnica permite modelar dinámicas no lineales por medio de subsistemas lineales, el modelo

difuso es participe de un papel importante durante el proceso del regulador final, dando una

salida exacta.

Capítulo I 2


I.1.- Introducción

Desde el comienzo de la humanidad, el hombre ha vivido con la necesidad de utilizar todo su

ingenio para reponerse y sustituir alguna extremidad faltante, a causa de accidentes,

enfermedades o en el campo de batalla [I.1]. En este sentido, la evolución sobre el desarrollo

protético es largo y está plagado de un sin número de historias. Desde sus comienzos primitivos,

pasando por el sofisticado presente, hasta las increíbles visiones del futuro [I.2].

Figura I.1.- Evolución protésica [I.2]

El primer análisis científico con reconocimiento registrado a nivel mundial, se le concede como

realizado por Aristóteles [I.3]. Aristóteles, realiza investigación acerca de los movimientos de los

animales y en el cual se efectúa el primer estudio de carácter científico sobre la marcha humana.

Así como, el estudio geométrico de la actividad muscular.

Figura I.2.- Estudio sobre marcha realizado por Aristóteles [I.3]

Capítulo I 3


I.2.- Antecedentes históricos generales

Se encuentra documentado que en las primeras culturas de la raza humana, las prótesis no eran

más que simples muletas, copas de madera y cuero que protegían el muñón [I.4]. Como fue

pasando el tiempo, las prótesis se fueron modificando para tener un mayor rango de movimiento

y otorgar mayor libertad al usuario.

Uno de los primeros registros escritos de la aplicación de prótesis es el Rig-Veda. Este antiguo

texto sagrado hindú escrito en sanscrito entre 3500 y 1800 A.C. cuenta la historia del guerrero

QueenVishpla quien perdió su pierna en una batalla. Esta fue remplazada por una prótesis de

Hierro y así pudo regresar a la batalla. Dicha extremidad inferior artificial fue encontrada en

Capua, Italia en 1858 [I.5].

Figura I.3.- Pierna de Hierro de Queen Vishpla en el Rig-Veda [I.5]

Herodoto escribió sobre un vidente persa, el cual se encontraba cautivo y condenado a muerte.

Esta persona logró escapar, luego de haberse amputado su propio pie y remplazarlo con una

plantilla protésica de madera. Los registros cuentan que tuvo que caminar alrededor de 30 millas

hasta encontrar un poblado próximo. Toda la hazaña data del año 424 A.C. [I.2]. Sin duda alguna,

estos son algunos de los primeros usos de miembros artificiales. Sin embargo, con el nacimiento

de las grandes civilizaciones e imperios (por ejemplo; Egipto, Grecia y Roma), comenzó el

Capítulo I 4


desarrollo científico más elaborado y encaminado a la medicina. Consecuentemente esto derivó a

un desarrollo protésico [I.2].

Asimismo, existe un mito griego en el que el nieto de Zeus, Pelops [I.6], es cocinado y dado a los

dioses para comprobar que podían diferenciar entre carne humana o animal. El mito cuenta que la

diosa de la agricultura, Remeter, se comió el brazo de Pelops y al darse cuenta de su error lo

revivió y le dio un brazo artificial hecho de marfil.

Por registros científicos, se sabe que los remplazos de extremidades inician en la quinta dinastía

egipcia (2750-2625 A.C.). Los datos arqueológicos dan referencia de una tablilla empleada como

miembro artificial durante ese periodo. Así como, muletas simples y bases esféricas hechas de

madera y cuero (Figura I.4) [I.7].

Figura I.4.- Desarrollos prostéticos egipcios

Sin embargo, científicos ingleses descubrieron en Egipto el primer dedo (dedo gordo) artificial en

el pie de una momia, parece que este tipo de prótesis le ayuda al individuo a caminar, lo que

puede hacer a esta prótesis la más antigua del mundo en existencia (Figura I.4) [I.8].

Para 1529, Ambroise Pare cirujano del ejército francés, introduce la amputación como un método

de salvación en la medicina. En 1536 elabora prótesis para amputados de extremidades superior e

inferior [I.7].

Capítulo I 5


Alrededor de 1591, se desarrolló otro de los trabajos más relevante, fue en la época

correspondiente al renacimiento y lo impulsó Galileo Galilei [I.9]. En éste trabajo se establecían

bases teóricas y experimentales para analizar el movimiento. Asimismo, publicó un tratado

titulado de animalium motivus (Figura I.5). En estas investigaciones se trataban temas

relacionados directamente con la Biomecánica del salto humano y la marcha. También, se enfocó

en caballos e insectos y la evaluación de las condiciones que hacían posible que el cuerpo

humano inmóvil flotara.

Figura I.5.- Animalium motivus

Figura I.6.- Prótesis de pierna desarrollada por Pieter Andriannszoom Vernduyn [I.10]

Capítulo I 6


Para 1600, Giovanni Borelli fue el precursor de la comprensión del funcionamiento optimizado

de palancas del sistema músculo esquelético. En el libro Motu Animalium (1865), se hace énfasis

en la ventaja mecánica de los músculos que inician el movimiento (Figura I.6) [I.9]. Pieter

Andriannszoom Venduyn, cirujano Holandés en 1696, desarrolla la primera prótesis por debajo de

la rodilla sin mecanismos de bloqueo, lo que más tarde sentaría las bases de los actuales

dispositivos de articulación y corsé (Figura I.7) [I.10].

Figura I.7.- Prótesis de articulación y corsé

El londinense James Potts diseño una prótesis para 1800, elaborada con una pierna de madera

con encaje, una articulación de rodilla de acero y un pie articulado controlado por tendones de

cuerda de tripa de gato desde la rodilla hasta el tobillo. Este tipo de prótesis se le conocía como la

pierna de Anglesey. Ya que fue implementada al marqués de Anglesey, quien pierde la pierna en

la batalla de Waterloo [I.5].

Figura I.8.- Pierna de Anglesey

Capítulo I 7


En 1839, William Selphe introduce su desarrollo de prótesis inglesa en Estados Unidos. A Selphe

se le considera como el primer prestigioso fabricante de prótesis (Figura I.9). Asimismo, por el

año de 1843 descubre un nuevo método de amputación de tobillo que no implicaba una

amputación a la altura del muslo, fue bien aceptada dentro de la comunidad de amputados, por

que presentaba una posibilidad de volver a caminar con una prótesis de pie en lugar de una

prótesis de pierna [I.6].

Figura I.9.- Pierna Selphe [I.5]

Benjamin F. Palmer mejora en 1846 la Pierna Selphe al agregarle un resorte interior, un aspecto

suave y tendones escondidos para simular el movimiento natural, quien obtiene el nombramiento

London World´s Fair [I.5]. Así como, Douglas Bly inventa y patenta la pierna automática en

1858, a la que se refiere como el invento más completo y exitoso desarrollado alguna vez en el

área de las extremidades artificiales [I.6].

Figura I.10.- Pierna de Douglas Bly [I.5]

Capítulo I 8


El desarrollo continuo con Gluck (1880-1890) quien diseñó la primera prótesis totalmente hecha

de marfil, a la que consecuentemente se le hicieron mejoras. Jules Plan (1890-1894) desarrolló su

prótesis de Platino, la cual cemento con yeso y piedra pómez. Siendo de gran aceptación por el

público, aunque la idea de sustituir una articulación por un material compatible aun no era

posible [I.5].

Vanghetti en el año de 1898, inventó un miembro artificial que se podía mover por medio de la

contracción de músculos [I.7]. Esta prótesis trabajaba por medio de una respuesta a un estímulo

nervioso. Lo que dio paso a investigaciones de prótesis mioeléctricas o electromiografías,

(prótesis desarrollada con la combinación y a mecánica, controlada muscularmente).

Es en los años 1900’s después de la Primera Guerra Mundial que se establece la Asociación

Americana de Prótesis y Ortesis, donde se realizan las contribuciones más grandes en la historia

en el desarrollo de prótesis. Pero fue hasta la Segunda Guerra Mundial que el número de

amputados aumentó lo suficiente para darse cuenta que la tecnología de prótesis en ese momento

no era la adecuada, ya que no había cambiado mucho desde 1800. Fue cuando se fomentó la

conciencia de que se necesitaban mejorar los estudios para el desarrollo de prótesis utilizando lo

último en medicina e Ingeniería [I.11].

Después de la II Guerra Mundial, los veteranos y las fuerzas armadas patrocinaron el programa

de miembros artificiales, estableciendo diversos laboratorios. Así como, las Universidades de

California, Los Ángeles y New York establecieron los medios para mejorar la investigación en la

ciencia prostética [I.10].

En los años 60’s y 70’s muchas universidades comienzan a implementar programas de desarrollo

para prótesis más avanzadas. Se introduce el soporte hidráulico, las prótesis en doesqueléticas y

la piel sintética [I.12].

En 1975, la invención de Ysidro M. Martínez, una prótesis debajo de la rodilla, la cual evitó

algunos de los problemas asociados a los miembros artificiales convencionales (Figura I.11).

Martínez se amputo así mismo, como un acercamiento teórico de su diseño. Sin embargo, él no

logró reproducir el miembro natural del tobillo o pie, el cual visto por si mismo, es la causa del

Capítulo I 9


caminar antiestético o no natural. Su prótesis tiene un alto centro de masa y es ligera en peso. Lo

anterior facilita la aceleración y la desaceleración de caminar, además de reducir la fricción que

se genera [I.7].

Figura I.11.- Prótesis por debajo de la rodilla de Ysidro [I.7]

I.3.- Trabajos realizados en Sección de Estudios de Posgrado e Investigación sobre

Biomecánica

La biomecánica es una disciplina científica que tiene por objeto el estudio de las estructuras de

carácter mecánico que se acoplan a los seres vivos, fundamentalmente del cuerpo humano [I.13].

El área del conocimiento se apoya en diversas ciencias biomédicas, utilizando los conocimientos

de la Mecánica, la Ingeniería, la Anatomía, la Fisiología y otras disciplinas para estudiar el

comportamiento humano [I.14].

Actualmente en el Departamento de Ingeniería Mecánica, de la Sección de Estudios de Posgrado

e Investigación en ESIME Zacatenco, se evalúan las patologías que aquejan al ser humano para

generar soluciones mediante la simulación, para diseñar prototipos que serán evaluados

experimentalmente y así poder manufacturarlos. A continuación se resumen los trabajos llevados

a cabo en esta línea de investigación sobre miembro inferior.

Capítulo I 10


Los trabajos realizados sobre el miembro inferior se encuentran

Biomecánica de una prótesis no convencional para cadera; se analizó en este trabajo de

investigación una prótesis no convencional para cadera, la cual se usa predominantemente para el

tratamiento de los tumores óseos que afectan la porción superior del fémur. Este implante fue

desarrollado en el servicio de tumores óseos del Instituto Nacional de Ortopedia y ha sido

empleado en un número reducido de casos. Este dispositivo cuenta con un sistema de pernos

bloqueadores, los cuales evitan los movimientos de rotación alrededor del eje longitudinal, al

tiempo que transmiten la carga al hueso en la porción que queda por debajo del corte quirúrgico.

No obstante se han obtenido buenos resultados con su uso, no se han realizado estudios

biomecánicos que aseguren que si configuración actual es la mejor. Para abortar el problema se

construyó, en primera instancia, un modelo mediante el Método del elemento finito (MEF), de un

fémur intacto, con el propósito de obtener una mejor compresión de la metodología y para que

sirva como una referencia. Es deseable, después de la aplicación de una prótesis o implante, que

el hueso reciba el mismo estimulo mecánico que se obtiene en estado normal. La geometría del

hueso se determinó por medio de 60 cortes topográficos obtenidos de un fémur perteneciente a un

voluntario masculino con 27 años de edad, de 1.74 m de estatura y 70 kg de peso. Después se

digitalizaron dichos cortes y los datos obtenidos se emplearon en un paquete de cómputo

dedicado en el desarrollo de análisis mediante el MEF. En cuanto a la prótesis esta se dibujó por

medio de un paquete de cómputo CAD. Para el primero de los dos modelos (fémur intacto) se

consideraron un total de cuatro fuerzas externas, correspondientes a la reacción de la cadera y los

tres paquetes musculares más representativos en la fase de apoyo medio del ciclo de marcha

(caminar normal). En el segundo modelo integró la parte del hueso que quedaría después de una

resección (corte) y la prótesis, después analizó diversas posibilidades variando la ubicación de los

pernos bloqueantes. Al resolver los modelos se obtienen los patrones de esfuerzos resultantes de

acuerdo a la teoría de falla de Von Mises. En el primer caso con el objeto de establecer el papel

que juegan los músculos para modificar el comportamiento del hueso cuando es sometido a las

solicitaciones que el acto que demanda el caminar. Adicionalmente, se comparó el modelo del

hueso intacto contra resultados experimentales (fotoelasticidad reflectiva), encontrándose

concordancia entre ambos métodos. En el segundo caso, se estudió el efecto de cambiar de

ubicación los pernos bloqueantes [I.15].

Capítulo I 11


Análisis fotoelástico del estado de deformaciones de un hueso humano bajo carga; en esta

disertación se analizaron los esfuerzos y deformaciones en el componente femoral de una prótesis

de Charley®

para cadera, cuando se aplican cargas fisiológicas. A partir de radiografías simples

se determinó la geometría bidimensional del fémur y se analizó la respuesta a cargas que

corresponden a la etapa de apoyo medio de la marcha. Utiliza el MEF, asimismo, elige la prótesis

adecuada según las dimensiones del fémur. De igual forma desarrollan 6 espesores de capa de

cemento las cuales varían de 1 mm a 6 mm. Como resultado del análisis numérico resuelve que

los esfuerzos para la prótesis y el cemento. Con base a estos resultados recomiendan el uso de

espesores entre 3 mm y 4 mm [I.16].

Diseño de un distractor externo para artrodiastasis de rodilla; este trabajo presenta el

desarrollo, aplicación, optimización y estudio mecánico de un distractor externo para

artrodiastasis de rodilla, siendo éste un sistema de distracción mecánica para artrodiastasis y

deflexión gradual de rodilla contracturada. El prototipo consiste de las siguientes partes

principales: una barra de distracción, dos soportes para los tornillos Schanz que con respecto a la

barra tiene rotación y angulación, y desplazamiento sólo uno. El distractor para la artrodiastasis

lo coloca en el paciente fijándose rígidamente a dos tornillos Schanz de 6 mm de diámetro

insertados en la rodilla. El distractor se colocó a la rodilla izquierda de un primer paciente de 26

años de edad con ambas rodillas contracturadas en flexión de 100º - 110º, del lado externo previo

capsulotomia posterior y durante trece semanas se da una distracción de 20 mm y una deflexión

completa con tracción esquelética, aplicando carga gradualmente (9.81 a 49 N) a un tornillo

transfictivo insertado en la parte metadiafisiaria distal de la tibia (paciente en decúbito dorsal). Se

realizó en estudio biomecánico, se optimizó el diseño y se manufacturó un distractor, que

funcionara como distractor propiamente o también como tensor, y se realizó un estudio mecánico

en una máquina universal de ensayos Instron 4502 de 10kN de capacidad, para asegurar su

estabilizada mecánica durante su aplicación en el paciente [I.17].

Estudio de un espaciador para el tratamiento de tumores de rodilla por medio de elementos

finitos y su análisis por métodos estadísticos; en esta investigación se muestra el desarrollo de

un espaciador para tumores óseos en rodilla, los resultados reportan deformación en la zona

donde se colocan los pernos tanto del fémur como de la tibia así como aflojamiento del implante.

En este trabajo se realizó un modelo de elementos finitos, pruebas de convergencia y un proceso

Capítulo I 12


robusto de implante para investigar los esfuerzos de los pernos cuando se ubica en diferentes

sitios en el hueso cortical, así como el análisis biomecánico del implante con dos diferentes

materiales (acero inoxidable 316 LVM grado médico y una aleación de titanio Ti-Al6-V4). Los

resultados muestran que la mejor ubicación de los pernos en el fémur para el perno proximal es a

10 cm y para el perno distal es a 7.4 cm del espaciador, los pernos de la tibia se colocan a 4 cm el

perno proximal y a 6.5 cm el perno distal. El material que nos ofrece el mejor comportamiento

biomecánico para el espaciador es la aleación de titanio [I.18].

Optimización del diseño del componente femoral de una prótesis no convencional bloqueada

para cadera; el objetivo del trabajo de investigación fue establecer los parámetros de diseño que

mejoren la estabilidad de un implante de cadera autobloqueado no convencional mediante MEF,

en el cual se realizaron 5 casos de estudios de los cuales se perturban los parámetros del diseño

del implante, estudiando el impacto el desempeño del sistema hueso-prótesis y con esto establece

la configuración que presenta la mayor estabilidad del conjunto. La validación experimental de

los resultados obtenidos, muestra que la distribución de los esfuerzos por ambos métodos tiene un

alto grado de similitud. Los resultados de los parámetros óptimos son los que presentaron el

perno proximal a 55 mm del sitio de la osteotomía, el perno distal a 25 mm del proximal, el

vástago de 300 mm de largo. La presencia de la camisa mejora el desempeño mecánico del

implante inmediatamente después de su colocación, sin embargo cuando el tiempo transcurre y el

hueso crece a través de las ventanas de la camisa, el comportamiento de la prótesis presenta una

disminución ligera de su estabilidad [I.19].

Estudio del aflojamiento aséptico de prótesis de cadera debido al desgaste; el estudio del

aflojamiento por desgaste de prótesis de caderas cementadas tipo Charnely®

, el análisis principal

esta orientado a la región del acetábulo y componente femoral. Se utilizaron técnicas numéricas

empleando el MEF como herramienta de análisis y las experimentales fueron llevadas a cabo con

una máquina perno sobre disco cuantificando el volumen de desprendimiento del material por

perdida de peso en condiciones secas y lubricadas, realizando pruebas para determinar el

comportamiento de los materiales de las prótesis, acero inoxidable ASTM 3161 (NMX 316). El

desarrollo de un modelo de pelvis humana con base a las características morfológicas logrando

obtener la distribución de los esfuerzos en el componente acetabular. Con la finalidad de conocer

la carga aplicada, las condiciones de carga, diámetro y espesor del acetábulo, fue realizada una

Capítulo I 13


revisión bibliográfica de literatura especializada para establecer los parámetros ya mencionados

con base a la morfología del fenotipo mexicano. Las diferentes rutinas y las condiciones de carga

que se presentan durante la marcha del paciente, asimismo el movimiento relativo entre la

prótesis y el hueso en condiciones cementadas, incrementa el proceso de aflojamiento. Los

resultados de este estudio muestran una metodología numérico-experimental, la cual permite el

estudio del comportamiento de los componentes demórales típicos de pacientes mexicanos. De la

misma manera el volumen de desgaste encontrado corresponde a una sola fase de la marcha,

finalmente concluye en términos experimentales la interpretación geométrica de la zona de

contacto que se presenta en la interface pelvis-copa acetábular-prótesis [I.20].

Análisis experimental del desgaste en polietileno de ultra alto peso molecular y acero

inoxidable 316L empleados en prótesis de coxofemorales; se realizó el análisis experimental del

desgaste de materiales empleados en prótesis coxofemorales. Los efectos conocidos como debris

son analizados experimentalmente con una máquina tribológica de configuración perno sobre

disco. Analiza la pérdida de desgaste con el método de gravimetría mediante ensayos con agua

destilada y suero bovino como lubricantes. Además, para el análisis de muestras se emplearon

métodos de interpolaciones tribológicas, donde se utilizó el método de mínimos cuadrados. Los

resultados muestran aportaciones en los materiales empleados en la manufactura de una prótesis

[I.21].

Diseño y desarrollo de una prótesis flex-foot; se diseña y desarrolla una nueva prótesis

transtibial Flex-Foot®, para lo cual aplica el MEF y posteriormente se procede a su manufactura.

La importancia del diseño de la prótesis radica en el aumento de las amputaciones transtibiales,

que actualmente se encuentra entre 30,000 y 40,000 en los últimos 15 años, de los cuales el 1.2%

las utiliza para actividades deportivas tales como carreras de velocidad. El proceso de diseño está

basado en la metodología de biomecánica con la cual es posible formar una analogía entre las

partes que conforman la pierna y elementos mecánicos básicos. Con los datos obtenidos fue

posible llevar a cabo la simulación de su manufactura mediante el uso de software ABAQUS 6.7.

Con el análisis numérico se determinaron los esfuerzos ocasionados por contacto y el

adelgazamiento del material de la prótesis. Una vez determinadas las características de la prótesis

se llevó a cabo su manufactura física, la cual consistió en un proceso de doblado, recocido, pulido

y colocación de suela. Para la evaluación de desempeño del prototipo fue necesaria la fabricación

Capítulo I 14


de socket, acorde a las dimensiones del paciente, y la sujeción de la pierna protésica al mismo.

Finalmente se observó que la prótesis presenta características tales como una robustez, tamaño y

proporción apropiada, así como bajo nivel de ruido entre otros [I.22].

Diseño mecánico de una máquina para terapia de movimiento pasivo continúo de la rodilla; el

trabajo de investigación muestra la metodología del diseño mecánico de la máquina para terapia

de movimiento pasivo continuo en la rodilla. Posteriormente se describen los procesos de

manufactura necesarios para la fabricación de cada una de las piezas de la máquina, se menciona

el proceso para formar los subensambles y el ensamble completo de la máquina. Para el análisis

del mecanismo se utilizaron métodos gráficos y analíticos utilizando tres posiciones de los

mecanismos para determinar la longitud y las coordenadas del punto de rotación de eslabón

restante. Los resultados muestran el análisis de los cálculos correspondientes a las velocidades,

aceleraciones y fuerzas que intervienen en los eslabones y las articulaciones del mecanismo los

cuales fueron necesarios para la fabricación de la máquina [I.23].

Diseño y manufactura de endoprótesis personalizadas; presenta el diseño y manufactura de una

hemiartoplastia cadera de una sola pieza, utilizando una metodología completamente asistida por

computadora, donde evalúa al paciente con un Tomógrafo Axial computarizado Helicoidal

Multicorte generador de tomografías computarizadas en formato DICOM®. Posteriormente se

realizó la construcción de modelos virtuales para su procesamiento; después procedió a suavizar

las superficies del mismo mediante la aplicación de programas especializados en construcción y

refinado de superficies para obtener un modelo sólido. Haciendo un proceso de un correcto ajuste

del sistema hueso-prótesis utilizando la técnica de estereolitografia, se construyeron modelos con

una impresora de prototipos rápidos, con la finalidad de determinar el sistema de sujeción y

evaluación de la maquinabilidad del implante. Además de la corroboración en el ensamble

biomecánico de la articulación femoral; pelvis-prótesis-fémur. Mediante la técnica de

CAD/CAM, se desarrolló la simulación del proceso de manufactura asegurando la fabricación del

prototipo. Por otro lado, fue necesario cumplir una serie de protocolos para poder procesar la

geometría del implante al centro de mecanizado CNC y generar el código NC de manera

automática. La fabricación del prototipo utilizó en prueba preliminar teflón y Acero inoxidable

grado medico, para obtener el prototipo final se empleó la aleación TiAl6V4 [I.24].

Capítulo I 15


Control inteligente de mecanismo con aplicaciones en la biomecánica- prótesis de miembro

inferior (rodilla); presenta el desarrollo de un control inteligente, para el mecanismo de la rodilla

de una prótesis transfemoral. Además de proponer un mecanismo de cuatro barras, que

corresponde al control voluntario de la estabilidad, con una nueva poloide y un sistema de

análisis de la marcha, con acelerómetros micro-electro-máquinas (MEM´S) y electro-

goniometría. Con el sistema para analizar la marcha es utilizado, para generar una base de datos,

con la finalidad de que sirvan como base de entrenamiento de la red neuronal, que se programa

en el microcontrolador, el mecanismo de cuatro barras, presenta una trayectoria de la poloide que

permite el control voluntario de la estabilidad de la prótesis, posteriormente la implementación

del control inteligente con el empleo de un microcontrolador que recibe datos de sensores

MEM´S de aceleración, los procesa y determina el ángulo adecuado para la articulación. el cual

se conforma por el control cinemático realizado con la red neuronal y un control dinámico

realizado con un sistema difuso que asegura el seguimiento del punto de consigna generado por la

red neuronal, dichos controles son capaces de identificar y reproducir todo ciclo completo de la

marcha, aun la flexión y extensión en la fase de apoyo.[I.25]

I.4.- Clasificación de los pies de respuesta dinámica

Las prótesis de pie-pierna se han desenvuelto a gran velocidad desde la simple tablilla de madera,

hasta realizar mejoras en ella utilizando una cadena sin fin, que hace la acción de resorte o la

pierna anatómica y el pie multiarticulado. Actualmente se utilizan algunos materiales que eran de

uso exclusivo en la industria aeroespacial como la fibra de Carbón [I.5].

Los pies de respuesta dinámica pueden incluir una protección acojinada en el talón y bujes en el

tobillo, lo que ayuda al control de alineación. Esta característica puede disminuir el choque con el

muñón, trayendo como consecuencia un modo de andar más natural. Sin embargo, las múltiples

partes de movimiento fácilmente requieren aumentar el mantenimiento y se dificultan con el

diseño de una funda cosmética. El cambio, estos nuevos tipos de pies proveen mucha elasticidad

al caminador lento e inseguro [I.26].

Existen diversos tipos de pie de respuesta dinámica, estos se dividen en articulados y no

articulados [I.27]. A su vez, los no articulados se dividen en pies con quilla larga y corta. Los pies

de quilla corta no articulados no se sujetan el socket pero se ajustan al pilón del tobillo. Debido a

Capítulo I 16


que tienen quilla acortada, tienen menor sensibilidad y proveen de menor dorsiflexión en

comparación con los de quilla larga. Dos ejemplos de este diseño son Seattle y Carbon Copy II.

Ernest M. Burgess inició en 1985 un estudio de como los amputados unilaterales exitosamente

podían correr. En colaboración con Doris Millar y Roger Enoka del departamento de UW

kinesiology, Burgess llevó a cabo un estudio del movimiento y las dificultades particulares que

enfrentan el tratar de correr usando un dispositivo protésico [I.28]. Como consecuencia de ese

esfuerzo surgió Seattle Foot®, una prótesis de Ingeniería especial que permite a los amputados de

extremidades inferiores correr y realizar movimientos activos.

Seattle Foot®

presentada en 1989, fue el primer paso en el desarrollo del sistema completo

Seattle limb. El pie ha sido usado por alrededor de 120 000 amputados alrededor del mundo. La

invención recibió el Presidential design Achievement Awarden 1984 y el Washington Governor`s

Awardfor New Products en 1990 [I.29]. Para mejorar el desempeño al correr el pie usa un resorte

patentado, denominado quilla monolítica, hecha de un material resistente y ligero llamado

Delrin®

(termoplástico muy cristalino con propiedades similares a los metales). El resorte ayuda

la paciente a desacertarse al dar un paso. Lo hace acumulando energía cuando el pie inicialmente

baja y después liberando esa energía en pie delantero cuando el talón deja el suelo mientras se

completa el paso [I.28]. El resultado es un paso más natural y ligero, que es posible con una

prótesis convencional. Sobre la quilla se manufactura cuidadosamente un pie plano y cosmético,

que se ajusta a la preferencia del amputado.

Seattle Foot®

es fabricado por Model & Instrument Works. El primer prototipo del pie se realizó

en fibra de vidrio en capas. En un periodo de alrededor de dos años y medio, el equipo trabajó en

refinamientos, con el apoyo del Veterans Administration Rehabilitation Research and

Development Funds, introdujeron el dispositivo en 1985 incorporado Delrinkeel. El desempeño

del pie fue evaluado en un estudio nacional coordinado por James Reswick (1986) y equipo en

The Rehabilitation Reserch and Development Section of the Veterans Administration Central

Office in Washington D.C.[I.30].

Carbon Copy II fue el primer pie cosméticamente atractivo, almacenador de energía introducido

en el mercado. La incorporación de una quilla de Nylon Kevlar®

proporciona gran durabilidad.

Capítulo I 17


Su resorte doble provee una suave transición desde el tacón hasta el dedo del pie, permitiendo

estabilidad. Esta prótesis soporta un límite de carga de 113.5 kg [I.31].

Figura I.12.- Pie Carbon Copy II [I.31]

Carbon Copy II tiene una quilla de doble fibra de Carbón compuesta y un tacón resistente

cubierto por espuma de poliuretano contorneada para parecerse a los dedos con uñas [I.32]. La

superficie plantar en ancha y plana para una estabilidad medio lateral máxima. Un segmento de

quilla, la placa de desviación primaria, se prolonga hasta el nivel de la articulación interfalángica

próxima para almacenar energía cuando el usuario camina. El otro segmento de la quilla, la placa

de desviación auxiliar, se dobla hacia arriba para finalizar el medio pie; ésta almacena energía

cuando el amputado corre. Un nylon epóxido (Kevlar®

tejido) protege los finales anteriores de

ambos segmentos de quilla para prevenirles de una perforación en el cuerpo del pie de espuma de

uretano. La sección posterior rígida de la quilla esta unida al perno bloque de Kevlar®

coronado

por una placa de fibra de vidrio epóxica para ser sujetado a la canilla de la pierna. Las

almohadillas del tacón esta manufacturadas en tres densidades, y las placas de desviación esta

disponibles en regular, bajo y muy bajos niveles de resistencia, el último nivel sugerido para el

amputado débil.

Los pies de respuesta dinámica articulados permiten la adaptación al terreno de manera más

significativa, además de flexión plantar, dorsiflexión, inversión, eversión y adsorción de torsión.

Un ejemplo de este diseño es College Park True Stepfoot [I.33].

Capítulo I 18


Figura I.13. - Pie College Park True Step Foot [I.33]

Los amortiguadores son fácilmente cambiados para acomodar diferentes pesos, de este modo

proveen la correcta resistencia al andar (Figura I.13). True Step combina virtualmente el mismo

movimiento vertical, rotación y estabilidad con el pie anatómico [I.34]. Los pies de quilla larga

no articulados se deben sujetar el socket, proporcionando un pie protésico muy sensible que

permite una excelente dorsiflexión. Dos ejemplos de estas prótesis son FlexFoot®

y Springlite.

Para 1988 la Otto Bock Healthn Care Company, manufactura la prótesis Springlite de acuerdo a

las mediciones individuales de los usuarios para que cada prótesis se ajuste a los requerimientos

personales. A diferencia de otras prótesis, Springlite no tiene un limite de peso y el tamaño del

pie puede ser superior a 0.23 m [I.35]. Esta prótesis esta diseñada para largas caminatas y

deportes de alto rendimiento. Springlite foot consiste en dos capas de filamentos de Carbón y

fibra de vidrio rodeados por una cubierta suave [I.33].

Un accidente fortuito de esquí acuático en 1976 resultó ser el catalizador de una revolución en el

campo de la elaboración de prótesis para miembros inferiores [I.36]. La pérdida de una pierna

arriba del tobillo transformó a un deportista estadounidense Van Phillips. Pronto decidió que los

pies protésicos de aquellos años 70 no eran adecuados. Así que Van Phillips se asoció con Dale

Abildskov, ingeniero de compuestos aeroespaciales, cuando trabajaba en la Universidad de Utah,

en 1982. Su plan era cortar en forma de L un material de fibra de Carbón, muy conocido en la

industria aeroespacial con su gran solidez y flexibilidad. Para después fijar por debajo una suela y

por encima un encaje protésico.

Capítulo I 19


Pie multiaxial o de eje múltiple, permite movimiento en tres planos, es decir permite

flexiónplanar, dorsiflexión, inversión y eversión. Incluso algunos diseños permiten una mínima

rotación del eje vertical. Este tipo de pies solían ser diseñados con mecanismos muy complejos,

que en la actualidad se utilizan polímeros comprensibles con una articulación esférica que

controla el movimiento multiaxial. Diseños anteriores eran muy pesados y requerían de mucho

mantenimiento, pero las nuevas tecnologías de materiales han permitido desarrollar pues muy

ligeros [I.35].

I.5.- Prótesis robóticas de miembro inferior

Power Knee es fabricada por la compañía Össur. Es la primera prótesis de rodilla que remplaza la

función muscular pérdida a través de una fuerte activa de potencia, que permite generar la

propulsión necesaria para el caminado y también en actividades como lo son levantarse de una

silla de ruedas o subir las escaleras, la cual contiene un arreglo de sensores, incluyendo

giróscopos, células de presión, celdas de carga, sensores angulares y el Modulo de

Propriocepcion Artificial en la pierna de sonido [I.37].

Figura I.14. - Power Knee [I.37]

La Proprio Foot es el primer módulo de pie inteligente del mundo. Es fabricada por la compañía

Össur. Los acelerómetros miden en tiempo real el movimiento a una velocidad de 1600 ciclos por

Capítulo I 20


segundo. Siguiendo la ruta del tobillo a través del espacio, el sistema define las características del

caminado y los eventos, incluyendo el golpe del talón y el movimiento para dejar el suelo.

Para cada paso, el dispositivo construye su ruta mediante un análisis continuo del movimiento

horizontal y vertical, haciendo un trazado del pie como se mueve a través del espacio. Este

trazado varía de acuerdo al terreno de tal forma que los algoritmos de reconocimiento del patrón

de marcha pueden detectar e identificar cuando el usuario está caminando en una superficie plana

o con inclinación o si está subiendo o bajando escaleras, también si el usuario está en posiciones

relajadas.

Una tarjeta de control recibe un flujo constante de señales del sistema de inteligencia artificial. El

controlador comanda a un actuador lineal para que las fuerzas y posiciones adecuadas del pie

durante el caminado [I.37].

Figura I.15.- Proprio Foot [I.37]

En el 2000 G. K. Klute y J. Czernieck describen un diseño de una articulación de tobillo activo

con actuadores neumáticos [I.38]. En la empresa de prótesis en el 2001, Össur también presentó

una prótesis de tobillo, llamado el Proprio Foot que no contribuye en la marcha, sino más bien

cuasisteticamente ajusta el Ángulo del tobillo para evitar tropiezos y mejor acomodamiento al

sentarse [I.39].

Capítulo I 21


Goldfarb, M., en el 2008 diseña una prótesis transfemoral que combina una rodilla y un tobillo

accionado para restablecer la movilidad. El depósito de accionamiento neumático, sirvió como

banco de pruebas de laboratorio para desarrollar las especificaciones fundamentales y de control

para una rodilla alimentado, y prótesis de tobillo. En este diseño el concepto de una impedancia

de estados finitos basada en el control de la marcha está desarrollado en base a la utilización de

las funciones de impedancia pasiva que coordina el movimiento de la prótesis con el usuario

durante la caminata [I.40].

En el mismo año Au, S., y Herr, H., construyen un motor de prótesis de tobillo-pie que incorpora

paralelo y estabilidad para recibir requisitos de par motor y para aumentar el ancho de banda en la

estabilidad de la prótesis [I.41].

Figura I.16.- Powered Ankle-Foot por Samuel Au., Herr Hugh [I.40-41]

El Powered Ankle-Foot se desarrolló con tecnología previamente desarrollada en el MIT por

Samuel Kwok Wai Au [I.41], presenta el diseño de una prótesis de tobillo-pie que soluciona de

manera satisfactoria la mayor parte de los problemas que hay en este tipo de prótesis (Figura

I.16). La arquitectura básica del diseño mecánico es un resorte, configurado en paralelo con un

actuador de alta potencia. La prótesis requiere de gran potencia mecánica como también de un

Capítulo I 22


torque de pico alto. El resorte paralelo comparte la carga con el actuador, por lo tanto la fuerza

pico del actuador del sistema es disminuida notablemente. Consecuentemente, se puede utilizar

un radio de transmisión más pequeño, y también se obtiene un ancho de banda de fuerza mayor.

La elasticidad en serie es una característica importante para este tipo de prótesis dado que puede

prevenir el daño a la transmisión debido a las cargas de choque cuando el pie choca con el suelo.

I.6.- Planteamiento del problema

La pérdida de una extremidad es una discapacidad importante. Desde muchos años atrás se han

desarrollado diferentes prótesis para poder suplir a las ya pérdidas. La realización de estas

extremidades artificiales ha sufrido muchas mejoras, hasta llegar a hoy en día donde no sólo se

trata de remplazar una extremidad sino también de asimilar el movimiento de la misma. Es por

ello que se desarrollará la simulación en una prótesis de pie-tobillo donde se creará el control

para la asimilación de la marcha humana normal. Para el desarrollo de esta simulación se

obtendrá el modelo matemático así como la cinemática de la marcha humana normal en la fase de

apoyo. Esto se realiza para poder mejorar el apoyo del ser humano que ha perdido una

extremidad inferior, y así generar prótesis personalizadas.

I.7.- Sumario

El desarrollo de diferentes prótesis que en un inicio se quería reemplazar la extremidad. Con el

paso de los años se han creado diferentes modificaciones para la comodidad del paciente. El

surgimiento de prótesis ha ido creciendo muy rápido y no sólo como reemplazo sino también para

la asimilación de marcha humana, la introducción de diferentes componentes para hacer más

cómodo el caminar, así también la estabilización al sentarse o levantarse en un asiento, todo con

la finalidad de solucionar el problema de la pérdida de un miembro inferior. Dichos componentes

ayudan a este tipo de problemas de estabilidad, por ello da un paso más a evolución de prótesis,

convirtiéndola así en una prótesis robótica, donde no sólo se trata de dar un impulso al caminar,

sino también en la fases de la marcha humana. El desarrollo de diferentes controles de

movimiento, fuerza y rapidez de reacción del humano cuando se encuentra caminando.

Actualmente las prótesis inteligentes se mueven con base a servomotores o actuadores

magnéticos, en este proyecto se pretenden crear un control sobre una prótesis ya hecha para una

fase en la marcha humana. En el siguiente capítulo se hablará sobre las diferentes técnicas de

Capítulo I 23


control para la estabilización y movimiento para un mecanismo de este tipo, así como las

diferentes fases en la marcha y las características de la prótesis a utilizar.

I.8.- Referencias

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Capítulo I 24


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19.- Domínguez, V., Optimización del Componente Femoral de una Prótesis no Convencional

Bloqueada para Cadera, Tesis de Doctorado en Ciencias, SEPI-ESIME-IPN, México, D.F.

2000.

20.- Feria, V., Estudios de Aflojamiento Aséptico de Prótesis de Cadera Debido al Desgaste,

Tesis de Doctorado en Ciencias, SEPI-ESIME-IPN, México, D.F. 2006.

21.- García, L., Análisis Experimental del Desgaste en Polietileno de Ultra Alto Peso Molecular

y Acero Inoxidable 316L Empleados en Prótesis de Coxofemorales, Tesis de Maestría en

Ciencias, SEPI-ESIME-IPN, México, D.F. 2009.

22.- Valencia, A., Diseño y Desarrollo de una Prótesis Flex-Foot, Tesis de Maestría en Ciencias,

SEPI-ESIME-IPN, México, D.F. 2009.

23.- Chávez, A., Diseño Mecánico de una Máquina para Terapia de Movimiento Pasivo

Continuo de la Rodilla, Tesis de Maestría en Ciencias, SEPI-ESIME-IPN, México, D.F. 2009.

24.- Torres, C., Diseño y Manufactura de Endoprótesis Personalizadas, Tesis de Doctorado en

Ciencias, México, D.F. 2010.

25.- Muñoz, J., Control Inteligente de Mecanismo con Aplicaciones en la Biomecánica- Prótesis

de Miembro Inferior (Rodilla), Tesis de Doctorado en Ciencias, México, D.F. 2010.

26.- Powers, M., Torburn, L., Perry, J. y Ayappa, E., Influence of prosthetic foot design on sound

limb loading in adults with unilateral below-knee amputations, Archives of Physical Medicine

Rehabilitation, Vol. 75, No.7, pp 5-9, 1994.

27.- Scheneider, K., Hart, T., Zernicke, R. F., Setoguchi, M. y Oppenheim W., Dynamics of

below-knee child amputee gait: SACH foot versus Flex Foot, Journal Biomechanics, Vol. 26,

No. 10, pp 191-204, 1993.

28.- Buegess, E., Prosthetics and Orthotics International, Vol. 9, No. 55-56, 1985.

29.- Menard, M. R., McBride, M. E., Sanderson, D. J. y Murray, D. D., Comparative

biomechanical analysis of energy-storing prosthetic feet, Archives of Physical Medicine

Rehabilitation, Vol. 73, pp 451-458, 1992.

Capítulo I 25


30.- Nielsen, D., Dhurr, D., Golden, J. y Meier K., Comparison of energy cost and gait efficiency

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35.- Otto Bock, Lower Limb Prosthetics Catalogue, sección pies, 2011.

36.- Wagner, J., Sienko, S., Supan, T. y Barth, D., Moton analysis of SACH vs Flex-Foot in

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37.- Ossur Company, www.ossur.com, 2012

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39.- Konik, W., Self-Adjusting Prothetic Ankle Aparatos, pp 443-446, 1993.

40.- Goldfarb, M., Sup, F. y Bohara, A., Design and control of a powered transfemoral prosthesis,

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41.- Au, S. y Herr, H., Powered ankle-foot prosthesis, IEEE Robotics and Automation Magazine,

Vol. 15, pp 52-59, 2008.

Capítulo II 27


II.1.- Introducción

Actualmente, el estudio de la marcha humana es una herramienta diagnóstica importante en la

evaluación de patologías neuro-músculo-esqueléticas, ya sean transitorias o permanentes, locales

o generales [II.1]. Aunque, cada individuo tiene una forma peculiar de caminar y correr e incluso

se puede identificar a una persona por su manera de andar o el sonidos de sus pasos [II.2], son

muchos los factores que pueden modificar el esquema general de la marcha; extrínsecos o

intrínsecos, fisiológicos o patológicos, físicos o psíquicos y las modificaciones que producen en

el patrón de la marcha habitual [II.3]. Definiendo la marcha humana como el modo de

locomoción bípeda con actividad alternante de los miembros inferiores y mantenimiento del

equilibrio dinámico, considerando un ciclo completo de marcha desde el talón derecho toma el

contacto con el suelo hasta que vuelve a tomar contacto con él [II.4].

II.2.-Marcha humana

II.2.1.- Antecedentes del análisis de la marcha [II.5]

Los comienzos del análisis de marcha al correr se ven representados en el arte Griego

específicamente en sus vasijas y se consideran los escritos de Aristóteles, cuya sentencia

representativa dice que las fuerzas que causan el movimiento y las que los mantienen deben ser

iguales. El interés de Leonardo Da Vinci en su precisión al pintar en los siglos XV y XVI

aumentaron el interés en el movimiento humano y fue seguido por la proclamación de las tres

leyes de Newton en el siglo XVII. En 1836, los hermanos Wilhelm y Eduard Weber delimitaron

la agenda para la investigación futura con el más detallado tratado del análisis de marcha al

caminar y correr en aquel entonces. Enumeraron 150 hipótesis incluyendo la que dice que el

miembro inferior actúa como péndulo. Por otro lado, en cuanto a la instrumentación,

herramientas más sofisticadas se necesitaron para experimentar estas hipótesis. Etienne Jules

Mayer fue un prolífico pionero de instrumentación. Él estuvo entre los primeros en emplear

fotografía y usarla como una herramienta fotogramétrica verdadera, además diseñó y construyó la

primera plataforma de fuerza seria.

La explosión por el interés en correr ha iniciado un ímpetu comparable de investigación y

cálculo. Esto ha sido potenciado por avances técnicos incluyendo cámaras rápidas y sistemas de

registro que eliminan la necesidad de digitalizar a mano cuadro por cuadro un video. El

crecimiento en este campo ha sido incitado por un aumento en la participación en carreras a

Capítulo II 28


distancias a finales de 1960 y a principios de 1970. Aproximadamente 30 millones de

Americanos corren por recreación o competencia. Además las compañías de tenis ahora poseen

un nuevo y creciente mercado, por lo que gastan parte de sus ganancias en investigación de

soporte.

II.2.2.- Factores que influyen en el análisis de la marcha

Desde tiempos remotos se ha estudiado la marcha, los métodos para su evaluación han avanzado

mucho se han perfeccionado y simplificado las técnicas para su análisis. El desarrollo de nuevos

métodos permiten valorar los distintos parámetros de la marcha de forma objetiva y eficaz, de la

misma manera apreciar los factores que pueden modificarla, diagnosticar alteraciones del patrón

de marcha en diversas patologías y lesiones traumáticas. Los diferentes factores que pueden

modificar el caminar de la persona, que como se mencionó anteriormente pueden ser extrínsecos,

intrínsecos, físicos, psicológicos, fisiológicos, patológicos y los cambios que imprimen en el

patrón de la marcha habitual pueden ser transitorios o permanentes [II.3].

Durante la marcha bípeda las extremidades inferiores están sometidas a una serie de cargas

derivadas de su interacción con el suelo. En el contacto inicial esas cargas son más bruscas e

incluso se habla de impactos [II.6]. Los pies tienen un sistema natural de amortiguamiento, pero

las características del calzado también influyen en la amortiguación de los impactos que se

producen durante la marcha o la práctica deportiva.

II.2.2.1.- Factores transitorios

El ser humano camina de forma distinta según las perturbaciones que él pueda sufrir tales como:

Naturaleza del terreno.

Calzado.

Transporte de carga.

Práctica deportiva.

Fatiga.

Edad.

Peso.

Capítulo II 29


Estado de ánimo.

El cuerpo modifica su caminar al encontrarse con irregularidades según la actividad que se

encuentre realizando. Cuando el ser humano camina de forma distinta según el tipo de terreno

sobre el que se desplace, se ha observado que los impactos del pie sobre el suelo aumentan

cuando se camina sobre pavimentos duros como asfalto o terrazo, mientras que se suavizan

cuando el sujeto camina sobre suelo naturales como madera, hierba o arena [II.7].

II.2.2.2.- Factores permanentes

La marcha bípeda se va desarrollando y personalizando, la cual depende del ámbito donde realiza

su crecimiento, los cuales son:

Personalidad.

Raza.

Género.

Capacidad de amortiguamiento.

Control de movimiento.

Patológicas.

Cabe mencionar que cuando el ser humano crece va desarrollando y perfeccionando su caminar,

así como van apareciendo diferentes características las cuales dependen mucho de la raza, género

y algunas capacidades en la marcha del individuo, al igual que factores patológicos heredados o

adquiridos durante su vida. Los cuales pueden dejar secuelas que modificarán su andar. Existen

patologías que producen un debilitamiento general; cáncer, leucemia, anemias, enfermedades

respiratorias, cardio circulatorio, etc. Con una marcha lenta y cansina, al debilitamiento general

con frecuencia se suman cuadros depresivos [II.8]. En el campo de la psiquiatría son frecuentes

los trastornos del movimiento y la marcha, en el caso de los enfermos depresivos, que presentan

un enlentecimiento general de movimientos, una disminución de la velocidad de la marcha, como

si avanzar les supusiera un gran esfuerzo. Lo contrario se observa en enfermos maniacos, en los

que la actividad y la euforia dominan el cuadro clínico [II.9].

Capítulo II 30


Se han llevado a cabo numerosos estudios de la marcha patológica en diferentes pacientes y con

distintas técnicas, tanto para la descripción de las variaciones del patrón de marcha como para la

valoración de la evolución del paciente tras un tratamiento rehabilitado o quirúrgico. Por ejemplo,

estudios en pacientes con fracturas, amputados, patología neurológica y sensorial, diabetes, etc.

[II.10].

II.2.3.- Ciclo de la marcha

El ciclo de la marcha es una secuencia de acontecimientos que tiene lugar entre dos repeticiones

consecutivas de cualquiera de los sucesos de la marcha. Por conveniencia se adopta como

principio del ciclo el instante en que uno de los pies toma contacto con el suelo, habitualmente a

través del talón. Tomando como origen el contacto del pie derecho, el ciclo terminaría en el

siguiente apoyo del mismo pie. Por otra parte, el pie izquierdo experimentaría la misma serie de

acontecimientos que el derecho, desplazados en el medio ciclo [II.11].

Durante un ciclo de marcha completo, cada pierna pasa por una fase de apoyo, durante la cual el

pie se encuentra en contacto con el suelo, y por una fase de oscilación, en la cual el pie se halla en

el aire, al tiempo que avanza, como preparación para el siguiente apoyo. La fase de apoyo

comienza con el contacto inicial y finaliza con el despegue del antepié. La fase de oscilación

transcurre desde el instante de despegue del antepié hasta el siguiente contacto con el suelo. En

relación a la duración del ciclo de marcha, la fase de apoyo constituye, en condiciones de

normalidad, a la velocidad espontáneamente adoptada por el sujeto, alrededor de un 60% del

ciclo. Por su parte, la fase de oscilación representa el 40% restante. Lo mismo sucede para el

miembro contralateral, desplazado un 50% en el tiempo, lo que revela la existencia de dos fases

de apoyo bipodal o de doble apoyo, de un 10% de duración cada una. La duración relativa de

cada una de estas fases depende fuertemente de la velocidad, aumentando la proporción de

oscilación durante el apoyo al aumentar la velocidad, acortándose progresivamente los periodos

de doble apoyo, que desaparecen en la transición entre marcha y carrera [II.12].

Se denomina período de apoyo modopodal al intervalo durante el cual tan sólo un miembro se

encuentra sobre el suelo, estando el miembro contralateral en su fase de oscilación. El tiempo de

apoyo modal izquierdo coincide, con el tiempo de oscilación derecho. El tiempo de apoyo de un

Capítulo II 31


pie equivale a la suma del tiempo de apoyo monopodal de dicho pie y de los tiempos de apoyo

bipodal.

Figura II.1.- Marcha humana [II.12]

II.2.4.- Fases del ciclo de la marcha

La subdivisión en las fases del ciclo de marcha, más extendida se considera en el apoyo

compuesto por cinco periodos elementales, y la oscilación formada por otros tres [II.13], donde

los intervalos que las definen son valores medios para cadencia libre y se aportan a título

orientativo [II.14]:

Fases de apoyo

Fases de contacto inicial (CI) 0-2%

Fase inicial de apoyo o de respuesta a la carga (AI) 0-15%

Fase media del apoyo (AM) 10-40%

Fase final del apoyo (AF) 40-45%

Fase de postura derecho Fase de balanceo derecho

Fase de balanceo izquierdo Fase de postura izquierda

Contacto

inicial derecho Pre-balanceo

izquierdo

Contacto inicial

izquierdo

Pre-balanceo

derecho Contacto

inicial derecho

Pre-balanceo

izquierdo

Soporte simple derecho Soporte simple

izquierdo Doble

contacto

Doble

contacto

Doble

contacto

0%

0%

15%

40%

45% 60%

55%

100%

85% 100%

Capítulo II 32


Fase previa a la oscilación (OP) 45-60%

Fase de oscilación

Fase inicial de la oscilación (OI) 60-75%

Fase media de la oscilación (OM) 75-90%

Fase final de la oscilación (OF) 90-100%

La fase de contacto inicial (CI) constituye la toma de contacto del pie con el suelo, el

posicionamiento del miembro para iniciar el apoyo tiene lugar a través del talón. Cuando

comienza el contacto con el suelo comienza la fase inicial de apoyo o de respuesta de carga (AI),

que se identifica con el primer periodo de doble apoyo. El cual trascurre entre el instante del

contacto inicial y el despegue del antepié del miembro contralateral, en condiciones normales. El

miembro en esta fase, absorbe el impacto inicial, manteniendo al mismo tiempo la estabilidad del

apoyo y la progresión. Durante este período la rodilla flexiona y el tobillo realiza una flexión

plantar, controlados, respectivamente, por el cuádriceps y el tibial anterior, al tiempo que

estabiliza la cadera.

El despegue del miembro contralateral marca el principio de la fase de apoyo monopodal que, a

su vez, se divide en dos mitades. La primera de ellas es la fase media del apoyo (AM), que se

prolonga hasta el instante de despegue del talón. En alteraciones donde no se produzca este

evento, puede tomarse como referencia el paso del centro de gravedad del cuerpo sobre el antepié

(articulaciones metatarso falángicas). La finalidad de esta etapa es la progresión del cuerpo sobre

el pie estacionario, manteniendo la estabilidad del miembro y del tronco. Tras el apoyo completo

del pie, se produce una dorsiflexión controlada del tobillo, la rodilla finaliza su movimiento de

flexión y comienza a extenderse, hasta estabilizar el cuerpo en el plano frontal.

La segunda mitad del apoyo monopodal se denomina fase final del apoyo (AF), comienza con el

despegue del talón y finaliza cuando el miembro contralateral contacta con el suelo. En esta fase

el cuerpo sobrepasa el pie de soporte, cayendo hacia adelante. El contacto inicial del miembro

contralateral marca el inicio del segundo periodo de doble apoyo, también denominado fase

previa a la oscilación (OP), que termina con el despegue del antepié. La función principal del

miembro es, precisamente, su preparación para realizar la oscilación o balanceo, facilitada por la

entrada en carga del miembro contralateral, hacia el que transfiere rápidamente la carga. La fase

Capítulo II 33


inicial de la oscilación (OI) corresponde, aproximadamente, al primer tercio del periodo de

oscilación, constituyen sus límites el despegue del miembro y el momento en que éste alcanza el

miembro contralateral, aunque la definición de este último instante es algo imprecisa. El avance

del miembro se produce por medio de la flexión de cadera y rodilla, asegurando una separación

deseada entre el pie y el suelo.

En la segunda parte de la oscilación, o fase media de oscilación (OM), comienza cuando ambos

miembros se cruzan y finaliza cuando la tibia oscilante alcanza una posición vertical, ya

sobrepasado el miembro de apoyo. La progresión del miembro a una distancia suficiente del

suelo se propicia por una dorsiflexión del tobillo, acompañada de una flexión adicional de la

cadera. El periodo de oscilación y, en consecuencia, el ciclo, finaliza con la fase de la oscilación

(OF), limitada por el siguiente contacto del miembro con el suelo, que da paso a una nueva

zancada. En esta etapa debe ultimarse el avance del miembro y llevarse a cabo la preparación

para el inminente contacto. El cual se produce una acción de frenado de la flexión de cadera y de

la flexión de rodilla, quedando ésta en extensión y la tibia adelantada con respecto al fémur. El

tobillo mantiene una alineación cercana a la neutra (0° anatómicos).

II.2.5.- Biomecánica del tobillo durante la marcha

La movilidad y coordinación de las grandes articulaciones del miembro inferior resulta esencial

para el desarrollo de la locomoción humana. Una de las principales peculiaridades de la unión

entre la tibia y el pie es la trasferencia de las fuerzas de soporte del cuerpo, verticales, a un

sistema de apoyo horizontal. Las articulaciones tibioastragalina y subastragalina realizan esta

función. El astrágalo, ubicado bajo el eje de la tibia, conecta las cargas verticales soportadas por

ésta función. El astrágalo, ubicado bajo el eje de la tibia, conecta las cargas verticales soportadas

por ésta con las estructuras del pie, permitiendo la movilidad relativa de ambos segmentos en tres

dimensiones a través de un mecanismo básico de dos articulaciones de ejes no paralelos. En la

Figura II.2 se presenta la evolución temporal del ángulo de flexo extensión del tobillo, del

movimiento articular y de la potencia articular en el plano sagital [II.15].

Capítulo II 34


0

10

Dorsiflexión

Flexión Plantar

Torq

ue

(N.m

/kg)

1

0

-1

20

30

40

50

60

70

80

100

90

b)

-2

20

0

10

Dorsiflexión

Flexión Plantar

Ángulo

de

gir

o (

gra

dos)

10

0

-10

20

30

40

50

60

70

80

100

90

a)

-20

Capítulo II 35


Figura II.2.- Biomecánica del tobillo en el plano sagital a cadencia libre,

a) Posición, b) Torque articular, c) Potencia articular [II.15]

II.2.6.- Cinemática

El análisis cinemático describe los movimientos del cuerpo en conjunto y los movimientos

relativos de las partes del cuerpo durante las diferentes fases de la marcha [II.16]. El tobillo

presenta dos trayectorias de flexión plantar y dos de flexión dorsal, alternativamente. Durante la

fase de apoyo se producen, sucesivamente, una flexión plantar, una dorsal y una plantar, mientras

que en la fase de oscilación tan sólo se registra una flexión dorsal [II.17]. El análisis está dividido

en tres intervalos, en los cuales se describe cómo actúa el tobillo en el plano sagital, para cada

una de las fases [II.16].

Intervalo I

Movimiento de las articulaciones en el plano sagital entre el contacto del talón con el

suelo y el punto de apoyo medio [II.16].

0

10

Dorsiflexión

Flexión Plantar

Pote

nci

a (W

/kg)

3

2

1

0

-1

20

30

40

50

60

70

80

100

90

c)

-2

AI AM AF OP OI OM OF

DP CI

T1

T2

Capítulo II 36


Tabla II.1.- Intervalo I, movimiento de articulación [II.16]

Momento de contacto del talón con

el suelo

La articulación del tobillo está en posición neutra

(0°), justo entre la dorsiflexión y la flexión plantar

Simultáneamente con el contacto

del talón

La articulación del tobillo empieza a moverse en

dirección de la flexión plantar

Momento en que la planta del pie

hace contacto con el suelo

La articulación del tobillo se mueve 15° de la

posición neutra a la flexión plantar

En la fase media La articulación del tobillo pasa rápidamente a

aproximadamente 5° de dorsiflexión

Figura II.3.- Intervalo I, en fase de contacto inicial a la fase de apoyo medio [II.16]

Intervalo II

Movimiento de las articulaciones en el plano sagital entre el apoyo medio y despegue del

pie del suelo.

Tabla II.2.- Intervalo II, movimiento de articulación [II.16]

En el apoyo medio La articulación del tobillo pasa rápidamente

a aproximadamente 5° de dorsiflexión

En el momento que el talón se despega del

suelo

La articulación del tobillo está

aproximadamente a 15° de dorsiflexión

En el intervalo de elevación del talón y el

despegue del pie

El tobillo se mueve rápidamente 35°, con lo

que al despegar el pie del suelo la

articulación está aproximadamente en 20°

de flexión plantar

Capítulo II 37


Figura II.4.- Intervalo II, fase de apoyo medio a fase previa de oscilación [II.16]

Intervalo III

Describe el movimiento de las articulaciones en el plano sagital en la etapa de balanceo.

Tabla II.3.- Intervalo III, movimiento de articulaciones [II.16]

Durante la etapa de balanceo El pie se mueve de su posición inicial de

flexión plantar al desprenderse del suelo a

una posición esencialmente neutra (0°) que

se mantiene durante toda la etapa de

balanceo

Figura II.5.- Intervalo III, fase de balanceo [II.16]

Capítulo II 38


II.2.7.- Cinética

Durante el apoyo, la demanda funcional sobre el tobillo proviene de la fuerza de reacción y del

peso del cuerpo; en la oscilación, los factores determinantes son las fuerzas de inercia actuantes

sobre el pie.

A lo largo del apoyo, el centro de presión avanza sobre la base del pie a partir del talón hasta las

articulaciones metatarsofalágicas [II.17]. En consecuencia, la fuerza de reacción pasa de ser

posterior al tobillo a una situación anterior a él. En el instante de contacto inicial la fuerza de

reacción pasa por el talón y por detrás del tobillo, dando lugar a un momento de flexión plantar,

contrarrestando por la musculatura flexora dorsal. Su magnitud es reducida, debido al escaso

brazo de palanca existente, alcanzándose su máximo alrededor del 2% CM. El avance rápido del

centro de presiones hacia el antepié invierte la evolución de este momento externo, pasando por

cero al 5% CM, y aumentando en la dirección de flexión dorsal hasta poco antes de contacto del

miembro contralateral (48% CM). El máximo valor de momento necesario por parte de la

musculatura flexora plantar se produce al localizarse el centro de presiones en las cabezas de los

metatarsianos, debido al efecto combinado del peso del cuerpo, de las fuerzas de inercia y de un

brazo de palanca importante Figura II.2.

La consideración conjunta del patrón cinemático de flexión dorsal/plantar del tobillo y del

momento resultante desarrollado por la musculatura de la articulación para contrarrestar las

fuerzas de reacción e inercia permite la obtención del diagrama de potencia articular. A nivel de

tobillo, dada la escasa relevancia de las fuerzas de inercia (la masa de pie es pequeña), el

momento ejercido por la articulación es equivalente al momento externo, cambiado de signo. En

la Figura II.2 puede observarse el patrón característico de la potencia en el tobillo, a cadencia

libre, con una fase de absorción de energía (área T1), correspondiente a la flexión plantar inicial,

controlada excéntricamente por el tibial anterior, y a la dorsiflexión subsiguiente, limitada

excéntricamente por el tríceps sural, y una fase de generación de potencia (área T2), que tiene

lugar durante la flexión plantar final del apoyo, provocada por la contracción concéntrica del

tríceps sural. En cualquier caso, las consideraciones relativas al momento articular y la potencia

articular deben entenderse al título orientativo, por dos razones fundamentales: en primer lugar,

presentan fuertes variabilidades intra e interindividuales; en segundo lugar, tanto el momento

como la potencia no son medibles directamente, sino que se calculan en base a la fuerza de

Capítulo II 39


reacción y a la cinemática de la marcha, por lo que el error en su determinación es más

importante [II.18].

II.3.- Sistemas difusos

El sistema de inferencia difusa es una estructura computacional muy popular basada en los

conceptos de la teoría difusa, en reglas del tipo SI-ENTONCES (IF-THEN) y en métodos de

inferencia difusa. Dichos sistemas actualmente han encontrado diversas aplicaciones exitosas

dentro de una gran variedad de áreas tales como el control automático, la clasificación de datos,

el análisis de decisiones, los sistemas expertos, la predicción de series de tiempo, la robótica y en

el reconocimiento de patrones.

II.3.1.- Lógica difusa

La lógica difusa surge formalmente de la mano de Lotfi Zadeh, quien describió la teoría

matemática de los conjuntos difusos en su trabajo “Fuzzy sets” de 1965 [II.19]. Aunque

anteriormente, Platón indicó que existía una tercera región entre lo Verdadero y Falso, pero fue

Lukasiewicz quien propuso un tercer valor entre los anteriores que lo llamó Posible, creando una

alternativa a la lógica bi-valuadas, cuatro-valuadas o infinitamente valuadas [II.20]. La lógica

difusa hace referencia a una lógica multi-valuada, en la que los valores de verdad no son sólo

Verdadero y Falso como en la lógica tradicional, sino que pueden definirse conjuntos con varios

valores posibles. Estas lógicas son utilizadas para modelar condiciones que no están claramente

definidas o cuyos valores de verdad no son deterministas, dada la posibilidad de aproximarse el

razonamiento humano. Es decir, que sirven para describir formalmente expresiones lingüísticas

empleadas por el razonamiento natural como lo son altos, lentos, jóvenes para operar con ellas,

dando resultados exactos a partir de datos imprecisos.

El termino difuso se refiere a que los valores de verdad tienen una connotación de incertidumbre,

ya que es posible utilizar términos como muy rápido, rápido, lento y muy lento, sin necesidad de

precisar el valor exacto [II.21].

II.3.1.1.- Conjuntos clásicos

Los conjuntos clásicos surgen por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.

Estos conjuntos pueden definirse como un conjunto bien definido de elementos o mediante una

Capítulo II 40


función de pertenencia que toma valores de 0 ó 1 de un universo en discurso para todos los

elementos que pueden o no pertenecer al conjunto [II.22], dicho conjunto se puede definir como

la función de pertenencia en la Ecuación 1.

II.1

II.3.1.2.- Conjuntos difusos

La lógica difusa trabaja con conjuntos los cuales se llaman conjuntos difusos, estos conjuntos

están definidos por sus funciones de pertenencia la cual expresa la distribución de verdad de una

variable [II.22]. Un conjunto difuso es una expresión de los conjuntos nítidos (crisp sets), de tal

forma que un elemento dado del universo discurso pertenece o no pertenece al referido conjunto.

La teoría de conjuntos difusos extiende un concepto definiendo una membresía parcial. Es decir,

que un elemento del universo discurso tendrá asociado un valor que es el grado

de pertenencia del elemento al conjunto difuso definido en el intervalo [0,1]. Un conjunto

difuso del universo puede representarse como un conjunto de pares ordenados, en el que

cada par consiste en un elemento genérico y su grado de pertenencia [II.23].

II.2

Donde es la función de pertenencia de la variable , y es un universo discurso, que es

una colección de objetivos de los que hablara una lógica determinada. Cuando más cerca este la

pertenencia del conjunto al valor 1, mayor será la pertenencia de la variable al conjunto ,

esto se puede ver en la Figura II.6.

Una variable lingüística del universo se define como:

II.3

II.4

Capítulo II 41


Donde es el conjunto de términos de , es decir, el conjunto de nombres de los valores

lingüísticos de , con cada representando un número difuso cuya función de membresía

está definida en [II.24].

Figura II.6.- Descripción de un conjunto difuso [II.23]

II.3.2.- Funciones de membresía o de pertenencia

Una función de pertenencia o membresía es una curva que define qué grado de pertenencia entre

0 y 1 le corresponde a cada punto del espacio de entrada. En la Figura II.6 se muestra una función

de membresía de un conjunto difuso y la de un conjunto difuso. Existen varios tipos de funciones

de membresía, a saber, triangular, trapezoidal, campana generalizada, Gausiana, sinodales, etc.

Justamente la diferencia entre estas es la transición en el grado de pertenencia.

Función triangular

Las curvas triangulares dependen de tres parámetros y , las cuales están definidas

por:

II.5

Bajo Mediano Alto

Valor

Lingüístico

Conjunto

difuso

Función de

pertenencia

1

0

1.5 1.7 1.9

Altura

Variable

Lingüística

Universo discurso

Capítulo II 42


Figura II.7.- Función triangular de membresía [II.25]

Fundación trapezoidal

Las curvas trapezoidales dependen de cuatro parámetros de y .

II.6

Figura II.8.- Función trapezoidal de membresía [II.25]

Función gaussiana

La curva gaussiana depende de dos parámetros, y que se representa como:

II.7

Mem

bre

sía

mf1 mf2 mf3 1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Entradas

Mem

bre

sía

mf1 mf2 mf3 1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Entradas

Capítulo II 43


Figura II.9.- Función gaussiana de membresía [II.25]

II.3.3.- Control difuso

El control difuso representa actualmente una novedosa e importante rama del campo de

regulación. Los procedimientos convencionales no se sustituyen, sino que se complementan de

forma considerable en función del campo de aplicación por esta razón se encuentran diferentes

enfoques del control difuso.

El control difuso proporciona una metodología formal para representar, manipular e implementar

un conocimiento práctico del humano acerca de cómo controlar un sistema. Fue propuesto por E.

H. Mamdani en 1974, diferentes estudios aplicados a la teoría de control difuso han mostrado que

el aprendizaje difuso y/o los algoritmos de control difuso son de las áreas más activas y

fructíferas de la investigación en los últimos años dentro del campo de la lógica difusa.

Regularmente algunas aplicaciones del control difuso a procesos industriales, han producido

resultados superiores a sus equivalentes obtenidos por el control clásico [II.26].

La finalidad del control difuso es modificar el comportamiento de la planta a controlar mediante

el cambio de una entrada o varias entradas del sistema, de acuerdo a un conjunto de reglas y un

proceso de inferencia que permita conducir las salidas deseadas. Los sistemas de control difuso se

basan en reglas difusas que representan un mecanismo de decisión de control, para ajustar los

cambios indeseables provenientes de la planta. Normalmente , lo sistemas de control difuso

sustituyen o reemplazan las habilidades de un operador humano por un sistema basado en reglas

difusas, otra característica de los sistemas difusos es que reemplazan el papel del modelo

mf1 mf2 mf3

Mem

bre

sía

1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Entradas

Capítulo II 44


matemático de ecuaciones diferenciales, por otro modelo que es construido con un número de

reglas de tipo , las cuales contienen una cuantificación lógica difusa de la

descripción lingüística del experto de cómo realizar un control adecuado, la Figura II.10 ilustra el

diagrama de bloques y los componentes básicos de un sistema difuso.

Figura II.10.- Esquema general del control difuso [II.27]

Es fácil observar que el sistema difuso utiliza conjuntos difusos, definidos por la base de reglas

difusas, para cuantificar la información en base de reglas y que el mecanismo de inferencia opera

sobre estos conjuntos difusos para producir nuevos conjuntos difusos, por tanto, es necesario

especificar cada uno de sus componentes y cómo interactúan:

Fusificador

Hace la acción de transformar una entrada numérica o un conjunto clásico en un

conjunto difuso

, el cual es definido en el universo discurso dicha transformación

se produce mediante el uso del operador del fusidicador, definido por

II.8

Los valores difusos son los niveles de pertenencia de los valores de entrada a los

diferentes conjuntos difusos, en los cuales se han dividido el universo de discurso de las

diferentes variables de entrada al sistema.

Salida

difusa en V

Entrada

difusa en U

Mecanismo

de

inferencia

Fusificador Defusificado

r

Capítulo II 45


Mecanismo de inferencia difusa

Es el núcleo de todo controlador difuso, su comportamiento dinámico es en general

caracterizado por el conjunto de reglas difusas de la forma

II.9

Donde y son valores lingüísticos definidos por un conjunto difuso en un universo de

discurso de y respectivamente. La causa , es un antecedente con una

condición en el dominio de aplicación; la causa , es una

consecuencia de una acción de control dado al proceso. Donde el conjunto de reglas

difusas y el mecanismo de inferencia generan una acción de control determinada por las

entradas observadas, las cuales representan el estado de proceso a ser controlado.

Defusificador

La salida del mecanismo de inferencia es una salida difusa, la cual no puede ser

interpretada por un elemento externo (controlador) que sólo manipule información

numérica, para lograr que la salida del sistema difuso pueda ser interpretada por

elementos que sólo procesen información numérica, hay que convertir la salida difusa del

mecanismo de inferencia, a este proceso se le llama defusificación [II.27].

II.3.4.- Tipos de sistemas difusos

Existen tres tipos de sistemas difusos empleados continuamente [II.28]:

Sistemas difusos puros, donde sus entradas y salidas son conjuntos difusos, es decir

palabras en lenguajes naturales, por el contrario los sistemas de ingeniería las entradas y

salidas son variables valuadas en la realidad.

Sistemas difusos con inferencia de entrada y una inferencia de salida

1. Mamdani.

2. Takagi-Sugeno-Kang.

Capítulo II 46


II.3.4.1.- Sistema difuso de tipo Mamdani

En el controlador de Mamdani, los consecuentes de las reglas hacen referencia a cambios en la

acción de control. Dichos cambios pueden ser expresados mediante términos lingüísticos o

términos numéricos fijos. Suele estar diseñado para dos variables de entrada. La primera variable

es la diferencia entre la señal proveniente de los sensores y la consigna deseada, por lo tanto será

una variable de error.

La segunda es la derivada del anterior error respecto del tiempo. Su funcionamiento es, por tanto,

equivalente a un controlador PD clásico pero con ganancia no constante. Las reglas utilizadas son

del tipo , anteriormente presentadas. Como ventajas y desventajas se tienen las

siguientes [II.29]:

Ventajas

Facilidad para la derivación de reglas

Interpretabilidad de las reglas difusas

Fueron puestos antes y se han utilizado con más frecuencia

Desventajas

No garantizan la continuidad de la superficie de salida

Menos eficiencia computacional

II.3.4.2.- Takagi-Sugeno

El modelo difuso de Takagi-Sugeno (también conocido como modelo TKS) fue propuesto por

Takagi, Sugeno y Kang [II.30], en un esfuerzo para formalizar un método sistemático para

generar reglas difusas a partir de un conjunto de datos de entradas y salidas. Una típica regla

difusa en el modelo de Sugeno tiene la forma

II.10

Donde y son conjuntos difusos en el antecedente, mientras es una función

clásica en la consecuencia. Usualmente es un polinomio en las variables de entrada y ,

pero éste puede ser cualquier función mientras pueda describir apropiadamente la salida del

Capítulo II 47


modelo dentro de la región difusa especificada por la regla de antecedentes. Cuando es un

polinomio de primer orden, el sistema resultante de inferencia difusa es llamado modelo difuso

de Sugeno de primer orden. Cuando es una constante, entonces tenemos un modelo difuso de

Sugeno de orden cero, el cual puede ser visto como un lado especial de la regla de inferencia

difusa de Mamdani, en la cual cada regla es específicamente por un singlentón (o una

consecuencia pre-defuzificadora), o un caso especial del modelo Tsukamoto. Sin embargo, un

modelo de Sugeno de orden cero es equivalente a una red de funciones básicas radiales. Un caso

especial del modelo difuso lingüístico se obtiene cuando la consecuencia, el conjunto , es

formado por conjuntos difusos de singlentones. Estos sistemas se representan simplemente como

números reales , obteniéndose las siguientes reglas:

II.11

Este modelo se llama modelo singlentón. Un método simplificado de inferencia-defuzificación se

utiliza generalmente con este modelo:

II.12

Este método de defuzificación se llama el medio difuso (fuzzy mean). El modelo difuso del

singlentón pertenece a una clase general de las funciones de aproximación, llamadas la extensión

de las funciones básicas [II.31] con la forma:

II.13

La mayoría de las estructuras usadas en la identificación de sistemas no lineales, tales como las

redes neuronales artificiales, las redes neuronales de funciones básicas radiales [II.31], o tiras

(splines), pertenecen a esta clase de sistemas.

II.3.5.- Operadores sobre conjuntos difusos

Las operaciones que se pueden realizar con conjuntos difusos son las mismas que se realizan con

conjuntos nítidos. Las operaciones de Unión, Intersección y Complemento, corresponden a OR,

Capítulo II 48


AND y NOT respectivamente en los conjuntos difusos [II.32]. Cuando a dos variables difusas se

les aplica una operación de unión , el resultado se obtiene tomando el valor más grande de

entre las variables de entrada, Para el caso de la intersección , el valor

resultante de la operación corresponde al mínimo valor de alguna de las entradas .

En la operación complemento , se toma el valor que complemente a 1, de la siguiente

forma [II.33]:

II.14

La Figura II.11 se incluye para aclarar cada una de las operaciones mencionadas:

Figura II.11.- Operaciones en los conjuntos difusos [II.33]

II.3.6.- Regla SI-ENTONCES (IF-THEN)

Las reglas IF-THEN ó SI-ENTONCES son la base del sistema de inferencia difuso ya que

relacionan los conjuntos difusos de entrada con los de salida. Una regla básica tiene la forma de

“ ”, donde pertenece al universo de discurso e pertenece al

conjunto de valores de verdad . Tiene además una función de membresía, cuyo valor pertenece

al intervalo [0,1].

II.15

La parte izquierda de la regla se denomina antecedente o premisa y la parte que le sigue

al entonces se conoce como conclusión o consecuente.

A B

A y B

A B

A ó B

A

Unión (OR)

Min (A,B)

Intersección

(AND)

Max (A,B)

Complemento

(NOT)

(1-A)

Ā

Lógica multivariable

Capítulo II 49


Para interpretar una regla SI-ENTONCES, primero debe evaluarse el antecedente lo que implica

la fusificación para variables de entrada y aplicar cualquier operador difuso que sea necesario si

fueran más de una variable . En otras palabras, se examina una variable lingüística

de entrada y su grado de pertenencia a un conjunto difuso. Esto produce un grado de

cumplimiento de cada regla [II.34]. Para obtener la salida de la regla que es un conjunto difuso

completo, se evalúa la implicación entre el grado de cumplimiento y la función de pertenencia. Es

decir, se aplica el resultado del antecedente al consecuente lo que consiste específicamente en

evaluar la función de membresía. Por lo tanto, el consecuente será cierto en el mismo grado en

que lo es el antecedente, ya que el conjunto difuso de salida es truncado según el método de

implicación utilizado.

Existen varias formas de evaluar una función de membresía de una regla SI-

ENTONCES, pero un caso general de una regla de implicación es:

II.16

II.4.- Selección de prótesis

Samuel K. Au, Jeff Weber, and Hugh Herr, construyen una prótesis donde el objetivo es avanzar

en una prótesis de pie-tobillo que sea capaz de imitar la dinámica humana del tobillo en marcha a

nivel de suelo, algunas de las investigaciones recientes se han centrado en el desarrollo de cuasi-

pasivos protésicos de pie-tobillo[II.35]. Al construir dicha prótesis se utiliza una amortiguación

activa o mecanismos de embrague de resorte para permitir el ajuste automático del ángulo del

tobillo de un terreno distinto en superficies, donde la razón fundamental para la elección de esta

prótesis es que mediante un sistema de lógica difusa que fue diseñado precisamente para imitar el

comportamiento del ser humano, reemplazando a la lógica clásica, se dará seguimiento a la

marcha humana normal, tomando en cuenta las características de cualquier ser humano y el tipo

de marcha que éste pueda necesitar, sin despreciar las particularidades de existentes de la

prótesis.

Capítulo II 50


II.5.- Sumario

En este capítulo, se aborda el tema de la biomecánica de la marcha normal y su descripción

general, que incluye las fases, tiempos y los factores que pueden llegar a modificarla. Además de

los rangos de movimiento que presenta en particular la articulación del tobillo para desarrollar

una caminata normal. Esto es necesario para tener una referencia de lo que se debe de reproducir

con una prótesis. Se explica la existencia de la variabilidad en los análisis de la marcha, las

cuestiones cinemáticas en la progresión directa del cuerpo. Además, se expone las bases del

control difuso y su esquema general, usado para desarrollar los controles necesarios en la prótesis

a simular. En el capítulo siguiente se enfoca a la obtención del modelo matemático y la

linealización de éste para poder desarrollar el seguimiento a la trayectoria de la marcha normal,

así como modelo gráfico y características de la prótesis en donde se aplicará el control para el

caminado normal de una persona.

II.6.- Referencias

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el Transporte de Cargas, Tesis Ph D, Universidad Complutense de Madrid, pp 7-12, 2002.

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3.- Collado, S., Pascual, F., Álvarez, A. y Rodríguez, L., Análisis de la marcha, factores

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Capítulo II 51


11.- Inman, V., Ralston, H. y Todd, F., Human walking, Williams and Wilkins, Baltimore, USA,

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Capítulo II 52


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Capítulo III 54


III.1.- Introducción

La Mecánica establece el comportamiento de los cuerpos y lo expresa por fórmulas aplicadas

para describir las condiciones del cuerpo en movimiento o sus condiciones de reposo [III.1]. Para

la obtención de la trayectoria generada por las articulaciones del pie-tobillo, se necesita la

descripción del modelo cinemático. Así como, para la descripción de los movimientos en el plano

sagital, donde interviene directamente la flexión y dorsiflexión de esta articulación. La fase de

apoyo es la parte mayoritaria que comprende el ciclo completo de marcha. Por lo anterior, este

capítulo está dedicado a la obtención del modelo cinemático del pie-tobillo.

III.2.- Sub-fases en la fase de apoyo de la marcha humana

El ciclo de marcha comienza con el golpe de un talón y termina con el golpe del talón contrario,

una de las divisiones de ella es la fase de apoyo que cubre el 60%, la cual inicia con el golpe de

un talón y finaliza con el despegue de los dedos, la fase de balanceo ocupa el 40% restante de la

marcha. La fase de apoyo se divide en tres sub-fases más, las cuales son (Figura III.1):

Figura III.1.- Fases y sub-fases del ciclo de marcha humana

Fase de apoyo

60%

Fase de balanceo

40%

Flexión

Plantar

Controlada

(CP)

Potencia Plantar

(PP)

Dorsiflexión

Controlada

(CD)

Golpe

de

talón

Pie

totalmente

en el suelo

Tobillo en

el punto

máximo de

flexión

Despegue

de los

dedos

Despegue

de los

dedos

Golpe

de

talón

Capítulo III 55


Flexión plantar controlada (CP).- Inicia con el golpe de talón y termina cuando el pie

está totalmente en el suelo. Se describe al proceso por el cual el talón y el antepié

inicialmente tienen contacto con el pie, el tobillo está considerado en esta fase como

una respuesta lineal por lo que el torque es proporcional a la posición.

Dorsiflexión controlada (CD).- Principia cuando el pie está totalmente sobre el piso y

continua hasta que el tobillo llega a su punto máximo de flexión, el torque del tobillo

contra la posición durante esta sub fase, se puede describir como no lineal cuando

incrementa la rigidez mientras aumenta la posición del tobillo.

Potencia plantar (PP).- Empieza después de CD y termina en el instante del despegue de

los dedos. El trabajo generado durante PP es más que el trabajo absorbido durante las

fases de CP y CD, por moderado o rápido que sea el caminar, la energía adicional es

suplementada a lo largo de la fase de balanceo.

Teniendo el conocimiento de estas tres sub-fases, se realiza una simulación para la obtención de

los ángulos del tobillo en el ciclo de la marcha. Con el fin de poder corroborar el modelado

matemático de dicho ciclo y específicamente la fase de apoyo éste se lleva cabo mediante el uso

de un programa computacional OpenSim. Es una plataforma de modelado y simulación dinámica

músculo-esquelético para simular el movimiento humano. Se centra en la ciencia de movimiento

y en las áreas de medicina de rehabilitación, prótesis, aparatos ortopédicos y la osteoartritis

[III.2].

Los pasos para generar una simulación basada en el movimiento muscular del sujeto, las entradas

son un modelo músculo-esquelético, cinemática experimental, los cuales son (Figura III.2):

Paso 1.- La cinemática experimental se utilizan para un modelo locomotor que pueda

coincidir escalarmente con las dimensiones del sujeto, las cuales son editadas dentro

del programa, como lo son masa, estatura, y realiza un acoplamiento.

Paso 2.- Una cinemática inversa que ayuda a encontrar los ángulos del modelo con

respecto a las que reproduce la cinemática experimental.

Capítulo III 56


Paso 3.- Un algoritmo de reducción residual se utiliza para refinar la cinemática del

modelo.

Paso 4.- Un algoritmo de control para músculo computarizado, que se utiliza para

encontrar un conjunto de estimulaciones musculares, la cual genera una simulación

dinámica hacia delante que sigue de cerca el movimiento del sujeto.

Figura III.2.- Obtención de modelo dinámico

Los pasos anteriormente mencionados, son parte del programa de OpenSim. La cinemática

experimental es parte base del proceso de simulación, dando la oportunidad de modificar la del

ciclo de marcha con respecto a las características de un sujeto de prueba, modificando algunas de

las características como lo son masa, altura y tamaño de extremidades.

El modelo dinámico reproduce el ciclo de la marcha humana, se obtiene los angulos en los cuales

se mueve el tobillo durante el ciclo completo de la marcha con respecto a una sola extremidad.

Como el programa computacional da oportunidad de modificar algunas características para la

obtención de un modelo idealizado de la marcha humana, se toma un sujeto muestra, donde sus

características físicas. Así como el modelo musculo-esquelético utilizado en la realización de esta

simulación (Tabla III.1).

Se obtiene la simulacion del la marcha (Figura III.3), y los ángulos del tobillo en los que se

mueve dependiendo las caracteristicas del sujeto muestra anteriormente mencionadas, como se

puede ver en la Figura III.4. Siendo esto la primicia en el modelado matemático de la fase de

apoyo con respecto al tobillo.

Paso 1:

Modelo

músculo-

esquelético

Paso 2:

Cinemática

Inversa

Paso 3:

Algoritmo de

Reducción

Residual

Paso 4:

Algoritmo de

control para

músculo

computarizado

Modelo

Dinámico

Capítulo III 57


Tabla III.1.-Caracteristicas del sujeto de prueba

Sujeto

muestra

Sexo Edad Peso Talla Longitud

de la

pierna

Modelo

músculo-

esquelético

1 Femenino 23 años 71 kg 1.67 m 0.56 m BothLegsWalk

Figura III.3.- Ciclo de marcha

Figura III.4.- Ángulos de tobillo, obtenidos de OpenSim

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-8

-10

-12

-14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

% Ciclo de marcha

Áng

ulo

(gra

dos)

Ángulo de tobillo

Capítulo III 58


III.3.- Modelado cinemático

La cinemática estudia el movimiento de las articulaciones con respecto a un sistema de

referencia. Así, la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial de

las articulaciones como una función del tiempo, en particular por las relaciones entre la posición

y la orientación del extremo final de la articulación con los valores que toman las coordenadas

[III.1]. En el estudio de los movimientos exclusivos de articulaciones se emplea un estudio

cinemático, que se puede realizar de dos formas:

Cinemática Directa.- la cual consiste en determinar cuál es la posición y orientación

del extremo final de la articulación, con respecto a un sistema de coordenadas.

Cinemática Inversa.- resuelve la configuración que debe adoptar la articulación para

una posición y orientación del extremo conocidas.

Se realiza un estudio dinámico con el cual se describirán las fuerzas y movimientos sobre alguna

articulación, a estos movimientos se aplican las leyes de la Mecánica. Una manera para resolver

los problemas de la cinemática directa e inversa, es mediante una transformación de matrices

homogéneas, la cual consiste en encontrar la relación que permite conocer la localización

espacial del extremo de la articulación a partir de los valores de sus coordenadas articulares

[III.1]. Por medio de una transformación homogénea se obtiene una matriz que describa los dos

movimientos lo cual simplificará la descripción matemática del sistema.

El posicionamiento de un punto de un cuerpo rígido que está unido a una articulación , se

denota por y

en diferentes posicionamientos, el vector indica la posición del origen o

de la articulación general. Entonces un movimiento general de un cuerpo rígido en

una articulación general es la combinación de la rotación y una traslación ,

(Figura III.5) se describe con la Ecuación III.1 [III.1]:

III.1

Capítulo III 59


Figura III.5.- Posición de punto P de una articulación global [III.1]

Tomando en cuenta la matriz de rotación y adicionando el vector de traslación, permite usar las

coordenadas homogéneas, para la transformación de la matriz, que mostrará el movimiento rígido

por una simple matriz de transformación.

III.2

Donde:

III.3

III.4

Para lo cual representa la rotación del sistema y representa la traslación del sistema. La

matriz de transformación homogénea es una matriz de 4x4 que mapea la posición del vector

homogéneo de una articulación a otra. Con esta expresión se presenta un movimiento rígido que

G B

Capítulo III 60


simplificará los cálculos numéricos. Algunas de las transformaciones básicas homogéneas de

traslación y rotación en los ejes (Ecuación III.5a y III.5b), (Ecuación III.6a y III.6b) y en

(Ecuación III.7a y III.7b) se muestra a continuación:

Traslación en :

III.5a

Rotación en :

III.5b

Traslación en :

III.6a

Rotación en :

III.6b

Traslación en :

III.7a

Capítulo III 61


Rotación en :

III.7b

Las transformaciones homogéneas básicas permiten ubicar a cualquier punto con respecto a

cualquier articulación, con las variables involucradas. Además de que se pueden generar

movimientos en el espacio de traslación y rotación. Para la simplificación de este análisis

cinemático, se debe considerar el tipo de análisis a realizar, dado que tiene condiciones en las

cuales se utilizan los conceptos de cuerpo rígido y movimiento rígido.

III.4.- Cuerpo rígido y movimiento rígido

A una colección de partículas se denomina cuerpo rígido si la distancia entre cualesquiera dos

partículas permanece constante. Sin importar la fuerza a las que el cuerpo haya sido sometido o el

movimiento que este efectúe. Este movimiento puede ser definido por una matriz de 4X4 [III.1].

Donde se considera un cuerpo rígido con una articulación especifica que se mueve

libremente sobre una articulación general . Por lo que el cuerpo rígido puede rotar

sobre la articulación , y la articulación se puede trasladar hasta el origen de . Considerando

, la cual describe la posición del movimiento del origen relativo al origen fijo , de las

coordenadas del cuerpo en un punto (Ecuación III.8):

III.8

Donde:

III.9

Capítulo III 62


El vector es llamado el vector de desplazamiento o traslación de con respecto a , y es

la matriz de rotación para a cuando , debido a las combinaciones de rotación y

traslación esto es llamado movimiento rígido.

Es necesario conocer los parámetros de cada eslabón, dado que esto nos llevará a la obtención de

la trayectoria que genera la extremidad inferior, para ello utilizamos el método de Denavit-

Hartenberg (DH). Para esto se debe tomar en cuenta el estudio desde una posición de reposo, en

la cual todas las variables de la articulación son cero [III.3]. Las articulaciones de la Figura III.6

permiten obtener parámetros de DH correctos y en consecuencia el estudio de cinemática directa

e inversa será correcto.

Figura III.6.- Modelado de pierna

Para el análisis matemático del sistema se debe tomar en cuenta que el control o será hacia el

tobillo, pues los modelos de caminata humana consideran que el pie debe ser paralelo al suelo,

por lo que los parámetros de DH son:

Capítulo III 63


Tabla III.2.- Parámetros de DH

i

0 0 0 0 0

1 0 0 0

2 -90 0 0

3 0 0

4 0 0

5 -90 0 0

Para la construcción de la transformada que define la articulación relativa a la articulación

. En general esta transformación será una función de los parámetros del eslabón, esta

transformación será una función de una variable solamente, y los otros parámetros serán fijos por

diseño mecánico, que en las articulaciones son revolutas en parámetros variables será . ,

definir una articulación para cada eslabón se descompone el problema de cinemática en sub-

sistemas. Para poder resolver cada uno de estos sub-sistemas, específicamente , se toman las

transformaciones, una por parámetros del eslabón solamente. Que se simplifica en la Ecuación

III.10 [III.3]:

III.10

Es decir:

III.11

Desarrollando la Ecuación III.11 se obtiene la forma

III.12

Una vez realizada la multiplicación de la Ecuación III.12, en las articulaciones se obtiene la

matriz homogénea de cada eslabón, partiendo de los parámetros ya establecidos por DH, y se

presentan las matrices homogéneas para cada eslabón:

Capítulo III 64


Transformada homogénea para abducción y aducción de la cadera:

III.13

Transformada homogénea para flexión y extensión de cadera:

III.14

Transformada homogénea para flexión y extensión de rodilla

III.15

Transformada homogénea de flexión y dorsiflexión de tobillo

III.16

Transformada homogénea para rotación de tobillo

III.17

Capítulo III 65


III.5.- Cinemática directa

Una vez encontrados los parámetros de las articulaciones, es simple el desarrollo de las

ecuaciones cinemáticas. Después se multiplican las transformaciones de cada articulación entre sí

para encontrar la transformación general:

III.18

La transformación de la Ecuación III.18 es una función de todas las variables de las

articulaciones, la concatenación da como resultado:

III.19

Representa el estado de todos los grados de libertad en una forma simplificada ya que para esto se

simplifican muchos ángulos, esto porque se encuentran en el plano sagital, y está definido por los

tres ángulos primarios:

III.20

III.21

III.22

III.6.- Transformación inversa

Técnica para encontrar sistemas de ecuaciones transcendentales que ya han sido estudiadas para

obtener las soluciones de forma analíticas, suponiendo que la matriz de transformación ,

indicada la posición general y la orientación del efector final con respecto a las articulaciones

base:

Capítulo III 66


III.23

Una vez calculado el valor numérico , se puede resolver para variables desconocidas de las

siguientes ecuaciones:

III.24

III.25

III.26

III.27

III.28

Por lo que ahora sólo depende de :

III.29

Representado matricialmente como:

III.30

III.7.- Obtención de las ecuaciones

Se toma la primera ecuación:

III.31

Capítulo III 67


Donde la posición final del tobillo es:

III.32

III.33

III.34

III.35

Se toma el siguiente análisis:

III.36

Se toma como entrada la posición final del tobillo con respecto a la rodilla (ver Anexo A):

III.37

III.38

III.39

III.40

Capítulo III 68


Para el siguiente caso se llega la conclusión que algunas de estas ecuaciones se repetirán por lo

que no es conveniente seguir con el procedimiento, pues no sólo había redundancias sino que

también el análisis se vuelve más complejo.

III.8.- Solución de variables

La descripción de los ángulos, por medio de una ecuación sustancial, se debe recodar que de

forma analítica se resolverán los tres primeros ángulos y en caso de tener la matriz de rotación

también se resolverá en primera instancia el ángulo de la Ecuación III.34.

III.41

III.42

Entonces se tienen dos respuestas y

III.43

Después se tiene la solución para el tercer ángulo, esta descripción es una síntesis de la solución,

sólo se describen los pasos fundamentales para llegar a la solución. Las Ecuaciones III.33-34-35

al cuadrado, se suman entre si y dan como resultado:

III.44

III.45

III.46

Por lo que el tercer ángulo sólo depende de las variables fijas de la extremidad, pues se tiene la

ecuación sustancial.

III.47

Capítulo III 69


Donde hay dos soluciones y –

III.48

Para la solución del segundo ángulo es necesaria la Ecuación III.33, donde se obtiene:

III.49

y como ya se conocen y , entonces se encuentra así:

III.50

III.51

También es una ecuación trascendental de la siguiente forma:

III.52

Entonces:

III.53

Donde:

III.54

III.55

III.56

De esta manera se obtienen los primeros ángulos de la extremidad inferior.

Capítulo III 70


III.9.- Sumario

En este capítulo se expone el desarrollo matemático para la extremidad inferior. Partiendo de lo

general a lo particular, donde mediante el programa de OpenSim, siendo este un punto de partida,

se obtiene una marcha idealizada con la modificación de parámetros. Los datos son tomados de

un sujeto de prueba. Así como se inicia la descripción de la cinemática de la extremidad inferior,

de un punto en general siendo esta la extremidad completa, a lo particular el pie-tobillo, con el

desarrollo de estas ecuaciones se obtiene la trayectoria de esta extremidad a la que posteriormente

se le llamara exosistema. En el siguiente capítulo se abordara la técnica de regulación difusa.

Asimismo, el desarrollo matemático de la prótesis antes elegida y se destacará la importancia de

haber realizado este estudio analítico sobre la extremidad inferior.

III.10.- Referencias

1.- Barrientos, A. Fundamentos de Robotica, Ed. McGraw Hill, Barcelona, pp 94-99, 1997.

2.- Anderson, F., Arnold, A., Loan, P., Habib, A., John, C., Guendelman, E. y Thelen, D.,

OpenSim:open-source software to create and analyze dynamic simulations of movement,

IEEE Trasnsactions on Biomedical Engineering, Vol. 54, No. 11, pp 1940-1950, 2007.

3.- Barrientos, A., Álvarez, M., Hernández, J. D., del Cerro, J. y Rossi, C., Modelado de cadenas

cinemáticas mediante matrices de desplazamiento una alternativa al método de Denavit-

Hartenberg, Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial, Vol. 9, No. 4, pp

371-382, 2012.

Capítulo IV 72


IV.1.- Introducción

El hecho de que un sistema pueda seguir señales de referencia es uno de los problemas

fundamentales en la Teoría de Control, por lo tanto, es un tema que se ha estudiado

profundamente y para el que se han diseñado diferentes métodos que dan solución a este

problema. Uno de estos métodos es la Teoría de Regulación, con la cual se puede lograr el

seguimiento asintótico de trayectorias, en capítulos anteriores se pudo conocer en qué consiste la

lógica difusa, así como las características de los tipos de sistemas con los que se pueden trabajar,

este método será utilizado para la asimilación de marcha humana en la fase de apoyo, de la

misma manera se presenta las características de la prótesis elegida y el modelo dinámico al cual

será aplicado.

IV.2.- Teoría de regulación difusa

Consiste básicamente en encontrar un controlador retroalimentado por el estado o el error, tal que

con ausencia de influencias externas el punto de equilibrio del sistema del lazo cerrado sea

asintóticamente estable y el error de seguimiento tienda a cero, cuando la planta es afectada por

una señal de referencia y/o perturbaciones ambos generados por un sistema externo llamado

exosistema. La cual es una formación matemática general aplicada a varios problemas de control

encontradas en nuestra vida diaria.

El problema de regulación fue estudiada por primea vez para los sistemas lineales, bajo varios

nombres, tal como, el problema servo mecánico robusto (Davison) o el problema de regulación

de salida estructuralmente estable (Francis y Wonham). Esto fue completamente solucionado por

el esfuerzo colectivo de varios investigadores, incluyendo, Davison, Francis, Wonham por

mencionar algunos [IV.1]. Casi al mismo tiempo, en que la investigación alcanzaba su punto

máximo sobre el problema de regulación de salida a mediados de 1970, Francis y Wonham

consideraron el problema de regulación de salida para una clase de sistemas no lineales, cuando

las señales del exosistema son constantes. Mostrando que el diseño de un regulador lineal basado

sobre la linealización de la planta puede solucionar el problema de regulación de salida robusta

para una planta aproximadamente no lineal mientras mantiene la estabilización local del sistema

de lazo cerrado.

Capítulo IV 73


Métodos de seguimiento:

Estabilización

Seguimiento de referencia (problema de regulación)

o Regulación lineal

o Regulación No lineal

El estabilizador tendrá que ser diseñado para que el estado del sistema en lazo cerrado, sea

estabilizado alrededor de un punto de equilibrio, ejemplo, control de temperatura en un

refrigerador, y donde el problema de regulación o seguimiento a referencia, tiene por objetivo el

diseño de un controlador llamado tracker, tal que la salida del sistema siga una trayectoria, la

cual sea invariable en el tiempo.

IV.2.1.-Teoría de regulación

El esquema que define a este tipo de sistemas es:

Figura IV.1.-Esquema general de teoría de regulación

Donde la planta está sujeta a una perturbación , y el controlador debe ser diseñado de

manera que el sistema de lazo cerrado sea asintóticamente estable, así como la salida de la planta

sea capaz de seguir asintóticamente a una referencia . En la mayoría de los sistemas

mecatrónicos pueden ser representados por ecuaciones dinámicas no lineales como:

IV.1

Controlador Planta

+ -

Capítulo IV 74


En el cual describe el proceso con estado y la entrada , sujeto a la

perturbación externa , así la Ecuación IV.1, describe las salidas en variables de estado.

Es posible definir el error de seguimiento de la salida como la diferencia entre la salida del

sistema y la señal de referencia representando el punto de operación seleccionado.

IV.2

Las señales de perturbación como las señales de referencia están generadas por el siguiente

exosistema:

IV.3

IV.4

IV.5

Por lo que el sistema completo se define como:

IV.6

Donde:

IV.7

IV.8

IV.9

Capítulo IV 75


Figura IV.2.- Señales de perturbación del sistema

Tomando en cuenta que tiene un punto de equilibrio es decir:

IV.10

IV.11

IV.12

Donde la aproximación lineal del sistema alrededor de toma la forma:

IV.13

En el cual se obtienen mediante

IV.14

IV.15

IV.16

IV.17

+ -

Capítulo IV 76


IV.18

IV.19

Matriz del sistema.

Matriz de distribución de las entradas manipulables.

Matriz de distribución de las entradas no manipulables (perturbaciones).

Matriz de sistema externo o exosistema.

Matriz de distribución de las salidas observables o informativas.

Matriz de distribución de la señal de referencia.

Vector de estado del sistema.

Vector de entradas manipulables al sistema.

Vector de señales de perturbación y de referencia.

Figura IV.3.- Esquema de regulación difusa

IV.2.2.-Teoría de regulación lineal

Para los sistemas lineales el problema de regulación fue completamente resuelto en los años 70’s,

en los trabajos de B.A. Francis, W. M. Wonham, E.J. Davison y otros [IV.2]. Esta investigación

resultó del conocido principio modelo interno y en observación de aquella solución del problema

de regulación lineal está relacionado con la solución de llamado “ecuaciones del regulador” que,

en el caso lineal son dos ecuaciones matriciales lineales [IV.3].

+

+

+ +

-

Capítulo IV 77


IV.2.2.1.-Regulacion con retroalimentación de estado

En la retroalimentación del estado se supone que todas las variables están disponibles como las

salidas [IV.4]. Para la selección de la señal de entrada al sistema se basa en el valor del estado, la

entrada de referencia y posiblemente en el tiempo, debido a que el estado y la entrada determinan

completamente el comportamiento futuro del sistema [IV.5].

De las ecuaciones dinámicas lineales invariantes en el tiempo, es más natural suponer que la ley

de control depende linealmente de la señal de referencia y del estado del sistema, con la forma:

IV.20

Donde:

es una matriz constante real (matriz de ganancia).

es una matriz constante real.

es matriz real

Una ley de control de este tipo se llama control por retroalimentación estática, donde el

problema del regulador con retroalimentación del estado, consiste entonces en hallar un

controlador de la forma en la Ecuación IV.20, donde debe cumplir con los siguientes requisitos:

Estabilidad.- punto de equilibrio del sistema, debe ser asintóticamente estable

IV.21

Regulación, la solución al sistema en lazo cerrado

IV.22

IV.23

Capítulo IV 78


Donde se satisface:

IV.24

Con la aplicación de las condiciones anteriores en el sistema de la Figura IV.3, y suponiendo que

las siguientes hipótesis queden satisfechas

H1.- el par es estabilizable, es decir que existe un mapeo , tal que

, es decir que existe una matriz tal que sea estable

H2.- donde ningún valor propio de se encuentre en el semiplano izquierdo abierto del

plano complejo, es decir , para cada

Supóngase que H1 y H2 están satisfechas, da aplicación de un teorema que permita la existencia

de una solución para el problema de regulador por retroalimentación de estado (State Feedback

Regulation Problem SFRP).

Teorema 1.- El problema de regulación lineal por retroalimentación del estado tiene solución si

H1 y H2 se satisfacen, y si sólo existen matrices de y , de dimensiones adecuada que resuelve

la ecuación matricial.

IV.25

IV.26

ó

IV.27

Donde se dice que tiene solución si y solo si:

Capítulo IV 79


IV.28

Satisfaciendo las hipótesis antes mencionadas, se deduce que existe una solución de la Ecuación

IV.25-26, la cual toma la siguiente forma:

IV.29

ó

IV.30

IV.31

IV.32

IV.33

Donde se establece la solución universal de la Ecuación IV.25-26, para cualquiera que sea , es

decir para la Ecuación IV.29, sobre cualquier y , con las condiciones necesarias y suficientes.

Teorema 2.- el sistema , en la incógnita matricial es resuelta para toda , si y

sólo si [IV.6].

Rango número de filas de para cada , del cual se obtiene lo siguiente.

Corolario 1.- la ecuación matricial

IV.34

Capítulo IV 80


Se admite una solución para cada par , si y sólo si

IV.35

Para cada .

La condición (Ecuación IV.35), equivale a decir que el sistema sea invertible a la derecha y

además que los ceros invariables del sistema que no coincidan con los valores de referencia

fueran no observables en la salida del sistema, pues de otra manera podría ocurrir que ciertas

señales de referencia fuera no observables en la salida y por lo tanto imposibles de seguir, en la

Figura IV.4, se muestra el regulador con retroalimentación de estado (SFRP).

Figura IV.4.- Sistema por retroalimentación de estados

P

Control B

A

C

+ +

+

Capítulo IV 81


IV.2.2.2.- Regulación con retroalimentación del error

En el regulador por retroalimentación de estado, se considera que los valores de estados están

disponibles como salidas, pero esto no es siempre real dado que pueden no estar disponibles, ya

sea por las mediciones limitadas del sistema o de los dispositivos de medición, por lo que para

controlar el sistema por regulador de estado es necesario la aplicación de un estimador de estado

llamado así por la aproximación hecha de las salidas disponibles de la ecuación dinámica.

Donde un sistema dinámico invariante en el tiempo, de n-dimensiones es controlable, entonces

se introduce la retroalimentación del estado, que puede asignar arbitrariamente los n-valores

propios de la ecuación, si esa ecuación es observable, un conjunto de estimadores con valores

propios arbitrarios que pueden construir todas las variables del estado, aplicando una matriz de

ganancia de retroalimentación de salida de los estimadores. La combinación de los estimadores

de estados junto con la matriz de ganancia de origen a un dispositivo denominado compensador

dinámico.

El diseño de un compensador consiste en un movimiento de los polos del sistema por

introducción de la retroalimentación del estado, y entonces hallar un estimador de estado

asintótico (observador) para la generación de un vector de estado. la reconstrucción del estado se

obtiene con la entrada-salida dinámica, en lugar de una retroalimentación algebraica o estática

estado-entrada, el cual es un dispositivo que no modifica la estructura del sistema si se genera

oportunamente, mientras que un estimador no modifica el comportamiento asintótico del sistema

mismo [IV.7].

En el sistema donde la cantidad medida es el error de seguimiento de la salida ,

entonces se requiere la construcción de un regulador dinámico del tipo:

IV.36

Donde

Es una matriz constante.


Capítulo IV 82



Es el vector de estados estimados del sistema.

Este regulador no es precisamente un observador (estimador de estado), ya que no se requiere que

tienda a , el cual es el estimador de estado del sistema y del exosistema (señal

de referencia) tiendan al estado y al exosistema mismo. El sistema (Ecuación IV.1) junto con el

controlador dinámico (Ecuación IV.13), se describe de la siguiente manera (Figura IV.4).

IV.37

IV.38

ó

IV.39

IV.40

El sistema está sujeto a la perturbación , esta descrito como:

IV.41

IV.42

Problema de retroalimentación de error consiste entonces en hallar las matrices , tal que

satisfagan las siguientes condiciones:

Estabilidad.- punto de equilibrio , será asintóticamente estable

Capítulo IV 83


IV.43

Regulación.- solución del sistema en lazo cerrado

IV.44

IV.45

IV.46

Debe satisfacer

IV.47

La solución queda expresada como en la siguiente figura.

Figura IV.5.-Regulación con retroalimentación de error

P

Control B

A

H

C

+ +

+

Q

-

+

G

F

+

+

Capítulo IV 84


IV.2.3.-Teoría de regulación no lineal

Para el caso lineal, es necesario y suficiente resolver las ecuaciones matriciales lineales, llamadas

ecuaciones de Francis (Ecuaciones IV.25-26), la extensión para sistemas no lineales, está basada

en la teoría de variedad central y sus soluciones se consiguen al resolver un conjunto de

ecuaciones diferenciales parciales no lineales conocidas como ecuaciones de Francis-Isidori-

Byrnes (FIB) [IV.8]. Trabajar con las ecuaciones FIB, resulta en la mayoría de los casos muy

complicado, donde la solución del problema de regulación para sistemas no lineales, se obtiene al

considerar el sistema no lineal multivariable:

IV.48

IV.49

IV.50

Donde

describe la dinámica de la planta para un estado definido en una vecindad de origen

, con entrada de , como es usual , y las columnas de se suponen

campos vectoriales suaves, es decir sobre .

describe un sistema autónomo llamado exosistema definido en una vecindad de

origen , el cual modela la clase de señales de referencia tomadas en consideración,

suponiendo que es un campo vectorial suave sobre .

define al error ´entre la salida real de la planta y una señal de referencia

la cual se de seguir, se supone que y son mapeos suaves definidos sobre

y respectivamente, con los valores en .

Se deduce por simplicidad que:

IV.51

Capítulo IV 85


IV.52

IV.53

IV.54

Para , del sistema de las Ecuaciones IV.48-50, tienen un estado de equilibrio

que produce un error igual a cero para la Ecuación IV.48-50. Como en el caso de la teoría

de regulación lineal, existe el regulador retroalimentado por el estado, y el regulador

retroalimentado por el error, en la teoría de regulación no lineal existen estos dos tipos de

reguladores.

IV.2.3.1.-Regulación con retroalimentación de estado

Consiste en encontrar un controlador de tipo , tal que cumpla con las condiciones de

estabilidad.- punto de equilibrio que sea asintóticamente estable

IV.55

regulación.- para la existencia de una vecindad de , para cada

condición inicial , la solución del sistema de lazo cerrado.

IV.56

IV.57

Satisfaciendo a

IV.58

Capítulo IV 86


Para un mejor entendimiento Isidori enuncia tres suposiciones básicas, en el que se basa el

enfoque de la teoría de regulación no lineal [IV.9], las cuales son:

S1.- es el punto de equilibrio del exosistema y existe una vecindad del

origen con la propiedad de la condición inicial es estable-

S2.- el par tiene una aproximación lineal estabilizarle en .

S3.-el par

, tiene aproximación estable en .

la solución para el regulador retroalimentado por el estado, puede obtenerse utilizando un lema

Lema 1.- suponiendo S1 se cumple par algún , las condiciones de equilibrio y regulación

quedan totalmente satisfechas si y sólo si, existen mapeos con de clase

, definidos en una vecindad de 0, satisfaciendo las condiciones

IV.59a

IV.59b

Teorema 3.- que consiste en tomar en cuenta las hipótesis S1 y S2, con respecto al regulador

retroalimentado por el estado es solucionado si y solo si existe los mapeos

con , y , con , ambos definidos con un vecindario de 0,

satisfaciendo las condiciones

IV.60a

IV.60b

Corroboración donde la necesidad inmediata del Lema 1, donde se observa que en la S2 existe

una matriz K tal que tiene eigenvalores en , suponiendo que satisface en la

Ecuación IV.60a-60b satisface para algún y y el conjunto

Capítulo IV 87


IV.61

Dado que ésta satisface la condición de punto de equilibrio, para la matriz jacobiana de

es exactamente igual , dando la construcción de

IV.62

Por lo tanto la Ecuación IV.59a se reduce y queda expresada como la Ecuación IV.60a, de tal

manera que la Ecuación IV.59b, es igual a la Ecuación IV.60a, tal que cumple la condición de

regulación.

Del Teorema 3, se deduce, que los mapeos y que satisfacen a la Ecuación IV.59a son

válidos, para un controlador que resuelve el regulador, el cual se puede obtener mediante

IV.63

Donde es una matriz cualquiera la cual coloca a los eigenvalores de en .

Tomando en cuenta el controlador definido tiene la forma , el resultado

puede ser interpretado como:

IV.64

IV.65

Siendo la retroalimentación del estado de forma

IV.66

La cual sea asintóticamente estable, para una entrada , con

, la cual impone una respuesta que converge a una respuesta en estado-estacionario

exactamente igual a

Capítulo IV 88


IV.2.3.2.-Regulación con retroalimentación de error

Para la solución de un regulador retroalimentado por el error es necesario la aplicación de:

Lema 2.- suponiendo que S1 se cumple y asumiendo que para algún y , donde la

condición de estabilidad está cumplida, así mismo la condición de regulación si y solo si existen

los mapeos con y , con , ambos definidos en

un vecindario de 0, satisfaciendo las condiciones siguientes:

IV.67a

IV.67b

IV.67c

Para el sistema en lazo cerrado se considera como prueba

IV.68

La cual tiene la forma de

IV.69

Donde y se anulan en el origen con sus derivadas de primer orden,

por lo que los valores propios de la matriz

IV.70

Capítulo IV 89


Son en , y los de la matriz , para lo cual el sistema tiene una variedad central en él origen

IV.71

IV.72

Con y , que satisfacen a la Ecuación IV.67a, para la S1, ninguna trayectoria en esta

distribución converge a 0. Entonces las condiciones de estabilidad y regulación genera un error

de . De este resultado se deduce una condición necesaria y suficiente para la

solución del problema del regulador retroalimentado por el error.

Teorema 4.- bajo las hipótesis de S1, S2 y S3, el regulador retroalimentado por el error, es

resuelto si existen mapeos de tipo , con y con

, ambos definidos en un vecindario de 0, satisfaciendo las siguientes condiciones:

IV.73

IV.74

IV.3.- Modelo dinámico

En el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), se desarrolla una prótesis de pie-tobillo por

Samuel Kwok Wai Au, llamada por ellos Powered Ankle-Foot Prosthesis, lo que es necesario

tener las características físicas de dicha prótesis, así como las especificaciones donde se toman,

las cuales son:

Tabla IV.1.- Características de prótesis [IV.10]

Peso (Kg) Tamaño

(mts)

Máxima

dorsiflexión

(grados)

Máxima flexión plantar

(grados)

2.9 0.3 30 25

Capítulo IV 90


El sistema de diagrama de bloques se obtiene de las características físicas de la prótesis, y por la

cual se encuentra la ecuación de movimiento que describe al sistema, como se muestra en la

Ecuación IV.75, donde se asume que el pie es un cuerpo rígido con poca inercia ya que es

bastante pequeña comparada con la del motor. Así, las ecuaciones de movimiento son:

IV.75

IV.76

IV.77

IV.78

IV.79

IV.80

IV.81

IV.82

IV.83

Donde:

Torque de tension.

Torsion del brazo sobre el resorte

Torque del motor

Inercia interna

Fuerza aplicada al resorte en serie

Capítulo IV 91


Desplazamiento lineal y angular del resorte

Máxima fuerza de saturación del motor

Máxima velocidad de saturación del motor

La Ecuación IV.75 representa la ecuación de movimiento, que está definida por un modelo de

bloques, para la rotación y traslación nominal, como se presenta en la siguiente figura:

Figura IV.6.- Diagramas a bloques de a) Rotación nominal, b) Traslación nominal [IV.10]

Las ecuaciones anteriormente mencionadas dependen de las velocidades, desplazamientos

angulares y lineales del mecanismo de la prótesis.

IV.84

IV.85

a)

b)

Capítulo IV 92


IV.86

IV.87

Velocidades de torque de caracterización de prótesis

IV.88

Para el torque de trayectoria definida como que representa el torque-velocidad del tobillo

humano

IV.89

Sistema instantáneo de aceleración

IV.90

Donde

Torque del motor

Velocidad del motor

Par de arranque del motor

Máxima velocidad del motor

Todas la características de la prótesis que desarrolla el MIT, son parte fundamental para el

cambio de variables en la evaluación sobre la prótesis, sobre un sujeto de prueba, las cuales

anteriormente se han mencionado (Tabla III.1), con estas características se obtiene se obtiene la

función de transferencia siendo esta la relación entrada y salida del sistema protésico, así como

las características de entrada y salida del mismo:

Función de transferencia:

Capítulo IV 93


V.91

V.92

V.93

Espacio estados

V.94

V.95

V.96

V.97

V.98

V.99

V.100

V.101

V.102

V.103

V.104

Capítulo IV 94


V.105

V.106

Las ecuaciones en forma matricial según la forma:

V.107

V.108

En donde:

V.109

V.110

Los parámetros de modelo son:

Tabla IV.2.- Parámetros del modelo protésico

Parámetros

Valores

Substituyendo los valores resulta:

V.111

V.112

Capítulo IV 95


V.113

IV.4.-Sumario

En este capítulo se presenta la descripción de los métodos de regulación difusa y los propios

métodos de solución, tanto lineal o no lineal respectivamente, de la misma manera la descripción

del modelo dinámico de la prótesis realizada por el Ph.D. Kwok Wai Au en MIT, asi mismo la

representación de espacio estados que posteriormente será retomada para la aplicación del

método descrito en este capítulo.

IV.5.-Referencias

1.- Byrnes C.I., Delli F. y Isidori, A., Output regulation of uncertain nonlinear systems,

Birkhäuser, pp 120, 1997.

2.- Alexey P., Van de Wouw N. y Nijmeijer H., Uniform output regulation of nonlinear systems,

Springer, pp 172, 2006.

3.- Francis B.A., y Wonham W.M., The internal model principle for linear multivariable

regulators, Journal Applied Mathematics and Optimization, Vol 2, No 2, pp 170, 1975.

4.- Francis B.A., Feedback control theory, Macmillan Publishing Co., 1990.

5.- Chen C.T., Introduction to linear system theory, Rinehart and Wiston, 1970.

6.- Osorio A., Control Robusto para Reactores por Medio de la Teoría de Regulación Lineal,

1994.

7.- Franco J., El Problema de Regulación Difusa Exacta para Sistemas Mecatrónicos no Lineales

en Tiempo Discreto, Tesis de Maestría, SEPI-ESIME-Zacatenco, pp 42-45, 2011.

8.-Isidori A. y Byrnes C.I., Output regulation of nonlinear systems, IEEE Transaction on

Automatic Control, Vol 35, pp 131-140, 1990.

9.- Isidori A., Nonlinear Control systems, Springer, pp 51-52, 1995.

10.- Au, S., Powered Ankle-Foot Prosthesis for the Improvement of Amputee Walking Economy,

Ph.D Thesis, MIT, pp 45, 2007.

Capítulo V 97


V.1.- Introducción

En capítulos anteriores se habla de las características de la marcha humana, así como los factores

que influyen en la ejecución de este movimiento, de la misma manera se habla de las fases que

existen en dicha marcha, como se ha centrado en la fase de apoyo y los movimientos que genera

el pie-tobillo, dando como base el desarrollo de sistema de movimiento, en el cual denomina

exosistema el problema de regulación difusa, siendo este la referencia a seguir. Así mismo la

caracterización de una prótesis que el MIT realizó, y tomando como modelo dinámico o bien

denominado aquí planta. Con el fin de llegar a la aplicación de la teoría de regulación difusa

mediante el modelo Takagi-Sugeno, donde es necesario los dos sistemas de forma matemática.

En este capítulo se presenta la simulación de los sistemas mediante un programa computacional

MATLAB, para poder realizar dicha simulación y tener certeza de que el sistema de control

funciona.

V.2.-Formulación del problema

Consiste en el sistema no lineal en tiempo discreto

V.1

V.2

V.3

Donde , es el vector de estados de la planta, , es el vector de estados de

exosistema generado por la referencia y/o la señal de perturbación, , es la señal de

entrada al sistema, la Ecuación V.3 describe el error de seguimiento , el cual es

usualmente dado por la diferencia entre las salidas del sistema medidas de la planta y la señal de

referencia, descrito de tal manera como donde es la

salida de la planta, así como es la salida del exosistema.

La discretización de , tiene como resultado , siendo está una función

de de sus argumentos considerando que la salida del sistema que depende o coincide

Capítulo V 98


exactamente con el estado , se da por hecho que , y son funciones

analíticas, con , y . La aproximación difusa puede ser

representada de la siguiente forma [V.1]

Definiendo a la planta difusa como:

Regla :

V.4

V.5

Exosistema

V.6

V.7

Donde es el número de reglas de la planta difusa, asumiendo que las matrices y se

obtienen al linealizar el sistema no lineal alrededor de los puntos predefinidos o bien puntos de

operación.

V.8

V.9

V.10

Capítulo V 99


V.11

El sistema difuso tipo Takagi-Sugeno que representa el sistema no lineal original, es:

V.12

V.13

V.14

Para el cual , es el vector de estado de la planta, , es el vector de estado

del exosistema y , es la señal de control , es la señal de control , es

el error de seguimiento y es una función de , por otra parte, las

funciones de membresía de la planta difusa y el exosistema satisfacen:

V.15

V.16

Para todo , el término es el valor de membresía para es en . El modelo

difuso Takagi-Sugeno (Ecuación V.12-14) se reescribe de la forma:

V.17

V.18

V.19

Capítulo V 100


Donde:

V.20

V.21

V.22

V.23

Esta representación se valida con el hecho de las funciones de membresía de la planta y el

exosistema dependen en última instancia del tiempo. Antes de proceder con el resultado

principal, se recuerda la teoría de regulación para sistemas no lineales de las ecuaciones V.1-3,

cuya linealización alrededor de está dada por:

V.24

V.25

V.26

El problema de Regulación No Lineal consiste en encontrar un controlador

V.27

Resultando el sistema en lazo cerrado

V.28

La solución en lazo cerrado del sistema (Ecuaciones V.24-26) satisface

Capítulo V 101


V.29

Anteriormente se menciona que es el mapeo de estado estacionario de error-cero y

es la entrada en estado estacionario, así de la misma manera se mencionan las

condiciones de la existencia para la solución del problema de regulación no lineal [V.2], en el

cual el controlador es:

V.30

Para el caso lineal, los mapeos se convierten en

y respectivamente, por lo que se reduce a las ecuaciones de Francis:

V.31

V.32

Definiendo así el problema para encontrar un controlador si es posible [V.1-2].

V.33

Tal que, el punto de equilibrio del sistema en lazo cerrado, sin ninguna señal externa o

perturbación

V.34

Sea asintóticamente estable, mientras que la solución del sistema en lazo cerrado de la ecuación

V.12-14 y V.33, satisface

V.35

Capítulo V 102


Por lo tanto la señal de control, (EcuacionV.12-14) que se diseñó para el presente trabajo, no sólo

está dada para la suma de los reguladores locales

V.36

Sino por un controlador de la forma (Ecuación V.30), en la que como se espera, la ganancia

será remplazada por un estabilizador difuso y los mapeos y son los que

solucionaran el problema para el modelo difuso total.

V.3.-Aplicación del método al sistema protésico

Se aplica el enfoque propuesto de un modelo difuso Takagi-Sugeno para un sistema no lineal el

cual es, la regla :

V.37

Con y el modelo difuso agregado no lineal proporcionado por

V.38

V.39

V.40

En el capitulo anterior se obtuvo el modelo dinámico de la prótesis, en el cual se aplicará el

sistema de regulación, de acuerdo con el modelo en espacio estados es considerado como función

de transferencia (Ecuación V.41), y la representación espacio estados (Ecuación V.42-43):

V.41

Capítulo V 103


V.42

V.43

Se linealiza en 5 puntos de operación siendo estos los puntos donde deberá operar el modelo

dinámico, los cuales son:

Tabla V.1.-Puntos de operación

Estados

85 75 70 55 60

5 15 20 35 30

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Para lo cual las matrices que definen al sistema son:

V.44

V.45

V.46

Capítulo V 104


V.47

V.48

V.49

V.50

V.51

V.52

V.53

V.54

V.55

Capítulo V 105


El exosistema empleado para generar la señal de referencia, se obtuvo en el Capítulo III siendo la

siguiente:

[V.56]

Tomando en cuenta que:

V.57

Para las cuales se consideran las funciones de membresía de forma trapezoidal y triangular, como

se muestra en la figura siguiente:

Figura V.1.- Funciones de membresía al controlador

1

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ángulo (grados)

M

e

m

b

r

e

s

í

a

MF1 MF2 MF3 MF4 MF5

Capítulo V 106


Las salidas de la planta es , mientras que la señal de referencia, donde la salida del

exosistema es . Para el cual consiste encontrar una señal de control tal que

converja hacia . Con ayuda del programa computacional MATLAB, se aplica el método para

encontrar los mapeos lineales resultantes son (Anexo B):

V.58

V.59

V.60

V.61

V.62

Y

V.63

V.64

V.65

Capítulo V 107


V.66

V.67

Por parte el estabilizador puede ser construido considerando

V.68

V.69

V.70

V.71

V.72

Por lo que el controlador puede ser obtenido a partir de

V.73

Capítulo V 108


Las siguientes figuras muestran los resultados de las simulaciones después de aplicar el

controlador (Ecuación V.73), donde se presenta un intervalo diferente en el eje de los grados, que

el seguimiento no es exacto.

Figura V.2.-Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de

tobillo

Donde es el eslabón interpretado como tobillo y el pie, mientras que es la señal de

referencia generada por la Ecuación V.56.

Figura V.3.- Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de pie

100

15

10

5

0

-5

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

Ángulo

(Gra

dos)

Ciclo de tobillo en fase de apoyo

vs

10

100

15

10

5

0

-5

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

Ángulo

(Gra

dos)


vs

10

Capítulo V 109


La figura V.4, presenta el error de seguimiento , cuando el controlador difuso es diseñado con

los reguladores no lineales, así mismo la señal de control (Figura V.5).

Figura V.4.- Error de seguimiento para el regulador difuso no lineal

Figura V.5.- Salida del controlador para el regulador difuso no lineal

100

10

12

6

4

0

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-2

Tiempo

8

2

10

Ángulo

Á

ngulo

100

0

1

0

-4

-6

-10

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-12

Tiempo

-2

-8

10

Capítulo V 110


V.4.-Estado estacionario de error cero

La matriz de debe encontrarse, tal que en estado estacionario, dado

que si la matriz no puede ser encontrada el problema de regulación difusa en tiempo discreto no

puede ser resuelto, por lo cual es necesario encontrar los siguientes mapeos:

V.74

V.75

V.76

Por lo que se deben resolver las ecuaciones de Francis (Ecuaciones V.24-26)

V.77

V.78

Por lo que se sugiere construir un controlador dinámico, capaz de generar elementos de la matriz

continúa variante en el tiempo , de acuerdo a los valores iniciales apropiados, es decir . Es

necesario mencionar que si no hay solución a las ecuaciones V.77-78, el problema de regulación

difusa no puede ser resuelto, lo que equivale a la condición de existencia en las ecuaciones de

Francis en casos lineales y FIB (Francis-Isidori-Byrnes) para el problema de regulación no

lineal. Entonces la expresión para se obtiene directamente mientras que las condiciones

iniciales puede obtenerse por la sustitución y en dependiendo de las funciones de

membresía de la planta difusa, que también son definidas por y respectivamente.

Finalmente, el problema de regulación difusa es soluble si las siguientes condiciones se cumplen:

Capítulo V 111


Existen matrices K y P tal que

V.78

Para todo

V.79

Para , son asintóticamente estables con

V.80

las ecuaciones se pueden resolver para y como función de

para todo .

V.81

V.82

Tal que se obtiene directamente y se obtiene sustituyendo y . Para el sistema

pie-tobillo se obtiene:

V.83

y

V.84

los resultados obtenidos se presentan a continuación:

Capítulo V 112


Figura V.6.-Respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de

tobillo

Figura V.7.-respuesta de la planta con el regulador difuso no lineal sobre la articulación de pie

100

15

10

5

0

-5

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

Ángulo

(G

rados)


vs

10

100

15

10

5

0

-5

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

Ángulo

(G

rados)


vs

10

Capítulo V 113


Figura V.8.- Error del controlador para el regulador difuso no lineal

Figura V.9.- Salida del controlador para el regulador difuso no lineal

100

0

1

0

-

4

-6

-10

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-12

Tiempo

0

-8

10

Ángulo

(G

rados)

Á

ngulo

(G

rados)

100

0

1

0

-

4

-6

-10

0 20 30 40 50 60 70 80 90

-12

Tiempo

0

-8

10

Capítulo V 114


En las figuras V.6-7, se muestra la trayectoria que sigue o tiende respectivamente, después de

haber considerado el estado estacionario para cada caso, de la misma manera se encuentran el

comportamiento de los estados del sistema .

Figura V.10.- Estado con el controlador para el regulador difuso no lineal


Ángulo

(G

rados)

100

10

0

-5

-10

0 20 30 40 50 60 70 80 90

Tiempo

5

10

Ángulo

(G

rados)

100

10

0

-5

-10

0 20 30 40 50 60 70 80 90

Tiempo

5

10

Capítulo V 115




Ángulo

(G

rados)

100

25

30

0 20 30 40 50 60 70 80 90

Tiempo

10

10

20

15

Ángulo

(G

rados)

100

10

0

-10

-20

-25

20 30 40 50 60 70 80 90

Tiempo

5

10 0

Capítulo V 116


V.5.-Sumario

En este capítulo se presenta la aplicación del método de regulación difusa no lineal al modelo

dinámico de la prótesis, las respuestas de las articulaciones de pie y tobillo con el regulador

difuso no lineal, así mismo la salida del controlador y el error del sistema, de la misma manera

las modificaciones mediante el cálculo del error en estado estacionario y corregir las variaciones

del tanto de los estados del sistema así como la trayectoria se acopla a la señal de referencia.

V.6.-Referencias

1.- Isidori A. y Byrnes C.I., Output regulation of nonlinear systems, IEEE Transaction on

Automatic Control, Vol 35, pp 131-140, 1990.

2.-Isidori, A., Nonlinear Control Systems, Springer, 1995.

3.-Meda, J.A., Gómez, J.C., Castillo, B., Exact output regulation for nonlinear systems described

by Takagi-Sugeno fuzzy models., IEEE Transaction on Fuzzy Systmens, Vol. 20, No. 2, pp 235-

247,2012.

4.-Franco, J., El Problema de Regulación Difusa Exacta para Sistemas Mecatrónicos No

Lineales en Tiempo Discreto, Tesis de Maestría, SEPI-ESIME Zacatenco, 2011.

5.-Rojas, C.F., Problema de Regulación Difusa Exacta para Sistemas Mecatrónicos No Lineales,

Tesis de Maestría, SEPI-ESIME Zacatenco, 2010.

Conclusiones 118


Conclusiones

El desarrollo de nuevas tecnologías sobre los dispositivos que auxilien al ser humano, en las

actividades necesarias como lo es el caminar lleva a la conclusión de este trabajo como una de

esas herramientas, donde se aplican técnicas de control en dispositivos que por sí solos ya es un

instrumento para las necesidades propias del individuo.

Esto llevo a la búsqueda evolutiva de sistemas protésicos en el tiempo, y algunas de las

situaciones en las cuales era necesario la creación de dichas prótesis, comenzando por aquellos

dispositivos que servían para el reemplazo del miembro perdido, así como las modificaciones a

los largo del tiempo que han sufrido para funcionara como un miembro orgánico, aunque aun

muy rudimentario, así hasta la llegada de los componentes eléctricos que junto con las

características mecánicas de la prótesis podrían hacer a esta funcional de manera cómoda para el

usuario como la reducción del peso de la misma, lo cual genero la delimitación de un problema

en la prótesis de miembro inferior, en especial con las de pie-tobillo.

Con la perdida de extremidades y la inquietud del hombre por saber más sobre el comportamiento

fisiológico y motriz del hombre, surgen diferentes conocimientos que llevarían al ser humano a

describir dichos comportamientos, en este caso llevo al estudio del movimiento de la extremidad

inferior en especial sobre el ciclo de marcha, llevando a este a encontrar las características, como

lo son las fases que la componen, y los movimientos generados por el tobillo y el pie uno con

respecto del otro. De la misma manera se dirigió la atención sobre la lógica difusa siendo este

fundamento para el diseño de un sistema regulador que pudiera asimilar el ciclo de marcha

humana o sobre alguna de las fases de la misma.

En el estudio de la marcha humana se muestran diferentes particularidades, como lo son las

patologías que pueden afectar al efectuar una persona, desde el estado de ánimo hasta alguna

enfermedad genética, lo cual conduce al modelado de una marcha ideal sin perturbaciones, en

una fase que se concentra en el 60% de un ciclo completo de marcha, la razón por la cual se

modela matemáticamente surge al estudio del método de control a utilizar, dado que el estudio

guía a la aplicación del modelo Takagi-Sugeno donde es necesario el conocer una trayectoria que

en este caso la que genera la extremidad al efectuar la fase de apoyo, mientras que también es

Conclusiones 119


necesario, el modelado dinámico de la prótesis a utilizar. Se lleva a cabo el estudio cinemático a

partir del método de Denavit-Hartenberg, comenzando de una manera general de la extremidad

hasta la llegada de un punto particular como lo es el pie-tobillo.

Durante la recolección sobre la evolución de sistemas protésicos y el estudio realización sobre la

cinemática de la marcha se llega a la selección de una prótesis, como desarrollo sobre teoría de

regulación difusa sobre sistemas lineales y no lineales, para poder encontrar un controlador que

ayude al seguimiento a una referencia y cuál es el que mejor se adecua a la prótesis elegida. De la

misma manera la obtención de su modelo dinámico será aplicado el método de regulación difusa

para la fase de apoyo, al igual que en el capítulo III, se muestra la cinemática de la marcha, para

partir de la representación de espacio estados del sistema dinámico.

A lo largo del desarrollo del método de control difuso se llega a la aplicación de método de

regulación difusa, donde un sistema puede seguir una referencia predeterminada, todo esto

mediante la aplicación de un modelo anteriormente mencionado. Dicha aplicación se lleva a cabo

a partir de un programa computacional Matlab, haciendo llegar a la conclusión de que la

valuación basada en el fase de apoyo a un modelado dinámico de un sistema mecatrónico, como

también demuestra que puede ser modificado el sistema cinemático de la marcha para alguna

persona que presente alguna patología.

Trabajo Futuro 121


Trabajo Futuro

Este trabajo se enfocó en el seguimiento de la trayectoria en la marcha humana durante la fase de

apoyo, mediante el método de regulación difusa en una el modelo de una prótesis de pie-tobillo,

estudio realizado a través de un estudio matemático conforme al método de Denavit-Hartenberg,

por el cual se obtiene la cinemática de la extremidad inferior, por lo que para una aplicación a

pacientes es necesario una etapa de adquisición de datos, a partir de un análisis mioeléctrico

conforme a la marcha de este, dado que es diferente para cada persona, y así poder adecuarla a las

características de la misma, a partir del modelo cinemático de su extremidad inferior.

Por otra parte la aplicación de una teoría de control más avanzada como lo puede ser las redes

neuro-difusas, donde es capaz de ser entrenada en tiempo real para poder realizar el diseño de un

sistema de micro-electro-maquinas, a partir de un micro controlador en cual se pueda llevar

sobre la prótesis. El cambio a realizar, se genera que con el paso del tiempo los ajustes podrían

ser mínimos en el sistema, y que llevan la misma base de diseño de control.

Esto lleva al diseño de una prótesis adecuada a las necesidades del controlador, tomando en

cuenta las características ergonómicas para el usuario. De esta manera se pueda adaptar la

prótesis a las adversidades que pueda presentar el individuo al momento de utilizarlo.

En la SEPI ESIME Zacatenco en el Área de Biomecánica se ofrece una variedad de sistemas a los

cuales un sistema de control es vital para el desarrollo optimo de extremidades humanas, así

mismo la caracterización de materiales biocompatibles para el ser humano, que a través de las

simulación numérica y experimental se pueda valuar los resultados.

Anexos 123


ANEXO A:

Ecuación de posición final de tobillo:

Anexos 124


ANEXO B:

1.B.- Programa de Matlab del regulador difuso para el modelo no lineal:

clear all; clc; echo off; %Datos l1=1; l2=1; m1=1; m2=1; g=-9.81; lc1=.5; lc2=.5;

Ks=380;

Me=170;

Be=8250;

Fs=7654;

Vs=0.23;

%x01=90*pi/180; %x02=0*pi/180; x1=15*pi/180; x2=75*pi/180; x3=0; x4=0; A=[0 1;-ks/Me –((Be+Fs/Vs)/Me)];

B=[0;Ks/Me];

%sistema no lineal dx1=x3; dx2=x4; dx3=; dx4=f41*f42+f44;

%%%% A(1,1)=diff(dx1,x1); A(1,2)=diff(dx1,x2); A(1,3)=diff(dx1,x3); A(1,4)=diff(dx1,x4); A(2,1)=diff(dx2,x1); A(2,2)=diff(dx2,x2); A(2,3)=diff(dx2,x3); A(2,4)=diff(dx2,x4); A(3,1)=diff(dx3,x1); A(3,2)=diff(dx3,x2); A(3,3)=diff(dx3,x3); A(3,4)=diff(dx3,x4); A(4,1)=diff(dx4,x1); A(4,2)=diff(dx4,x2); A(4,3)=diff(dx4,x3); A(4,4)=diff(dx4,x4);

B(1,1)=diff(0,u); B(2,1)=diff(0,u); B(3,1)=diff(f33,u);

Anexos 125


B(4,1)=diff(f44,u); x3=0; x4=0;

%%%%%%%%%%%% %puntos de linealización

%x1=60 x2=30 x1=60*pi/180; x2=30*pi/180; u1=eval(solve(dx3,'u')); u=u1; A1=subs(A); B1=subs(B);





%%%%%%%%%%%% %exosistema C=[1 0 0 0]; S=[cos(x2) sin(x2) 0 1;-sin(x2) cos(x2)0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; QQ=[1 0];

[unUse col]=size(A1); %LMI para el controlador A'Q+QA+N'B'+BN<0

Anexos 126


%Tamaño Q [renq unUse]=size(A1); %Tamaño R [unUse coln]=size(B1);

%Inicio de la lmi setlmis([]); %Definición de matrices incógnitas Q=lmivar(1,[renq 1]); N1=lmivar(2,[coln renq]); N2=lmivar(2,[coln renq]); N3=lmivar(2,[coln renq]); N4=lmivar(2,[coln renq]); N5=lmivar(2,[coln renq]);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%controladores %lmi_1 lmi_1=newlmi; lmiterm([lmi_1,1,1,Q],1,A1','s'); lmiterm([lmi_1,1,1,N1],B1,1,'s'); lmiterm([lmi_1,1,1,0],0*eye(4));

%lmi_2 lmi_2=newlmi; lmiterm([lmi_2,1,1,Q],1,A2','s'); lmiterm([lmi_2,1,1,N2],B2,1,'s'); lmiterm([lmi_2,1,1,0],0*eye(4));




%lmi_6 lmi_14=newlmi; lmiterm([lmi_14,1,1,Q],1,A1','s'); lmiterm([lmi_14,1,1,N2],B1,1,'s'); lmiterm([lmi_14,1,1,Q],1,A2','s'); lmiterm([lmi_14,1,1,N1],B2,1,'s'); lmiterm([lmi_14,1,1,0],0*eye(4));

Anexos 127





%lmi_10 lmi_Qpos=newlmi; lmiterm([-lmi_Qpos,1,1,Q],1,1);

%%%%%%%%%%

lmisys=getlmis; %numero Lmis disp('Número de Lmis'); disp(lminbr(lmisys));

disp('Número de matrices variables'); disp(matnbr(lmisys));

%lmiinfo(lmisys); %Solución de la LMI [tmin,xopt]=feasp(lmisys); %[copt xopt]=mincx(lmisys,[ones(1,25)]);

%Ordenar el resultado en la forma requerida de P Qf=dec2mat(lmisys,xopt,Q); disp('Matriz Obtenida Qf'); disp(Qf); disp('Valores propios de Qf'); disp(eig(Qf)); Pc=inv(Qf); disp('Matriz Obtenida P para los controladores'); disp(Pc); disp('Valores propios de P para los controladores'); disp(eig(Pc));

disp('Valores de K1');

Anexos 128


Nf1=dec2mat(lmisys,xopt,N1); Nf2=dec2mat(lmisys,xopt,N2); Nf3=dec2mat(lmisys,xopt,N3); Nf4=dec2mat(lmisys,xopt,N4); Nf5=dec2mat(lmisys,xopt,N5);

K1=Nf1*Pc; K2=Nf2*Pc; K3=Nf3*Pc; K4=Nf4*Pc; K5=Nf5*Pc;

%%%% syms p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 g1 g2

P=[p1 p2; p3 p4;p5 p6; p7 p8]; G=[g1 g2]; %PS=AP+BG %0=CP-Q sol1=solve(... A1(1,:)*P(:,1)+B1(1,:)*G(:,1)-P(1,:)*S(:,1),... A1(1,:)*P(:,2)+B1(1,:)*G(:,2)-P(1,:)*S(:,2),... A1(2,:)*P(:,1)+B1(2,:)*G(:,1)-P(2,:)*S(:,1),... A1(2,:)*P(:,2)+B1(2,:)*G(:,2)-P(2,:)*S(:,2),... A1(3,:)*P(:,1)+B1(3,:)*G(:,1)-P(3,:)*S(:,1),... A1(3,:)*P(:,2)+B1(3,:)*G(:,2)-P(3,:)*S(:,2),... A1(4,:)*P(:,1)+B1(4,:)*G(:,1)-P(4,:)*S(:,1),... A1(4,:)*P(:,2)+B1(4,:)*G(:,2)-P(4,:)*S(:,2),... 'p1=1','p2=0',... 'p1','p2','p3','p4','p5','p6','p7','p8','g1','g2'); Pi1=eval([sol1.p1 sol1.p2; sol1.p3 sol1.p4;sol1.p5 sol1.p6; sol1.p7 sol1.p8]); gamma1=eval([sol1.g1 sol1.g2]);

sol2=solve(... A2(1,:)*P(:,1)+B2(1,:)*G(:,1)-P(1,:)*S(:,1),... A2(1,:)*P(:,2)+B2(1,:)*G(:,2)-P(1,:)*S(:,2),... A2(2,:)*P(:,1)+B2(2,:)*G(:,1)-P(2,:)*S(:,1),... A2(2,:)*P(:,2)+B2(2,:)*G(:,2)-P(2,:)*S(:,2),... A2(3,:)*P(:,1)+B2(3,:)*G(:,1)-P(3,:)*S(:,1),... A2(3,:)*P(:,2)+B2(3,:)*G(:,2)-P(3,:)*S(:,2),... A2(4,:)*P(:,1)+B2(4,:)*G(:,1)-P(4,:)*S(:,1),... A2(4,:)*P(:,2)+B2(4,:)*G(:,2)-P(4,:)*S(:,2),... 'p1=1','p2=0',... 'p1','p2','p3','p4','p5','p6','p7','p8','g1','g2'); Pi2=eval([sol2.p1 sol2.p2;sol2.p3 sol2.p4;sol2.p5 sol2.p6; sol2.p7 sol2.p8]); gamma2=eval([sol2.g1 sol2.g2]);

sol3=solve(... A3(1,:)*P(:,1)+B3(1,:)*G(:,1)-P(1,:)*S(:,1),... A3(1,:)*P(:,2)+B3(1,:)*G(:,2)-P(1,:)*S(:,2),... A3(2,:)*P(:,1)+B3(2,:)*G(:,1)-P(2,:)*S(:,1),... A3(2,:)*P(:,2)+B3(2,:)*G(:,2)-P(2,:)*S(:,2),... A3(3,:)*P(:,1)+B3(3,:)*G(:,1)-P(3,:)*S(:,1),... A3(3,:)*P(:,2)+B3(3,:)*G(:,2)-P(3,:)*S(:,2),... A3(4,:)*P(:,1)+B3(4,:)*G(:,1)-P(4,:)*S(:,1),... A3(4,:)*P(:,2)+B3(4,:)*G(:,2)-P(4,:)*S(:,2),... 'p1=1','p2=0',...

Anexos 129


'p1','p2','p3','p4','p5','p6','p7','p8','g1','g2'); Pi3=eval([sol3.p1 sol3.p2;sol3.p3 sol3.p4;sol3.p5 sol3.p6;sol3.p7 sol3.p8]); gamma3=eval([sol3.g1 sol3.g2]);

sol4=solve(... A4(1,:)*P(:,1)+B4(1,:)*G(:,1)-P(1,:)*S(:,1),... A4(1,:)*P(:,2)+B4(1,:)*G(:,2)-P(1,:)*S(:,2),... A4(2,:)*P(:,1)+B4(2,:)*G(:,1)-P(2,:)*S(:,1),... A4(2,:)*P(:,2)+B4(2,:)*G(:,2)-P(2,:)*S(:,2),... A4(3,:)*P(:,1)+B4(3,:)*G(:,1)-P(3,:)*S(:,1),... A4(3,:)*P(:,2)+B4(3,:)*G(:,2)-P(3,:)*S(:,2),... A4(4,:)*P(:,1)+B4(4,:)*G(:,1)-P(4,:)*S(:,1),... A4(4,:)*P(:,2)+B4(4,:)*G(:,2)-P(4,:)*S(:,2),... 'p1=1','p2=0',... 'p1','p2','p3','p4','p5','p6','p7','p8','g1','g2'); Pi4=eval([sol4.p1 sol4.p2;sol4.p3 sol4.p4;sol4.p5 sol4.p6;sol4.p7 sol4.p8]); gamma4=eval([sol4.g1 sol4.g2]);

sol5=solve(... A5(1,:)*P(:,1)+B5(1,:)*G(:,1)-P(1,:)*S(:,1),... A5(1,:)*P(:,2)+B5(1,:)*G(:,2)-P(1,:)*S(:,2),... A5(2,:)*P(:,1)+B5(2,:)*G(:,1)-P(2,:)*S(:,1),... A5(2,:)*P(:,2)+B5(2,:)*G(:,2)-P(2,:)*S(:,2),... A5(3,:)*P(:,1)+B5(3,:)*G(:,1)-P(3,:)*S(:,1),... A5(3,:)*P(:,2)+B5(3,:)*G(:,2)-P(3,:)*S(:,2),... A5(4,:)*P(:,1)+B5(4,:)*G(:,1)-P(4,:)*S(:,1),... A5(4,:)*P(:,2)+B5(4,:)*G(:,2)-P(4,:)*S(:,2),... 'p1=1','p2=0',... 'p1','p2','p3','p4','p5','p6','p7','p8','g1','g2'); Pi5=eval([sol5.p1 sol5.p2;sol5.p3 sol5.p4;sol5.p5 sol5.p6;sol5.p7 sol5.p8]); gamma5=eval([sol5.g1 sol5.g2]);

2.B.-Funciones de Membresía.

function valores=membdoble(x01);

x01=x01*180/pi;

%h1 if(x01<=40) h11=1; else h11=0; end if(x01>40)&(x01<=50) h12=(50-x01)/10; else h12=0; end h1=max(h11,h12)

%h2 if(x01>40)&(x01<=50) h21=(x01-40)/10; else h21=0; end if(x01>50)&(x01<=60)

Anexos 130


h22=(60-x01)/10; else h22=0; end h2=max(h21,h22)

%h3 if(x01>50)&(x01<=60) h31=(x01-50)/10; else h31=0; end if(x01>60)&(x01<=70) h32=(70-x01)/10; else h32=0; end h3=max(h31,h32)



%****************************** %Salida de la funcion %***************************** valores=[h1 h2 h3 h4 h5];

Anexos 131


3.B.-Diagrama de Bloques.

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