Control en el Espacio de Estado 5. Observabilidad...4 U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio...

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U.P.M.-DISAM P. Campoy

Control en el Espacio de Estado

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Control en el Espacio de Estado 5. Observabilidad

por Pascual Campoy

[email protected]

Universidad Politécnica Madrid



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!

x

Observabilidad del estado: necesidad

u(t) y(t) r(t)

sistema

!

˜ K

!

Tc"1

!

B

!

A

∫

!

C

!

x

observador

!

xe

realimentación

2



3

Observabilidad

•  Introducción •  Definiciones •  Observabilidad en sistemas lineales •  Observabilidad en sistemas lineales e

invariantes. – Subespacio no-observable – Subsistema observable – Separación del subsistema

controlable y observable



4

Introducción

•  Concepto: "observar" el estado del sistema a partir de su relación entrada-salida.

u(t) y(t)

xe(t)

Sistema

3



5

Ejemplo 4.1

a)  ¿se puede conocer x(t) conocido y(t)=x1(t)-x2(t) ? b)  en el supuesto R1C1≠R2C2: ¿se puede conocer x(t0) conocido

y(τ)=x1(τ)-x2(τ) para t0<τ≤t? o bien ¿cada estado inicial distinto genera una salida distinta?

c)  ¿y si y(t)=3x1(t)-5x2(t)? d)  ¿y para R1C1=R2C2? ¿existen estados en los que y(t)=0?

uc1

uc2

y=x1-x2

x(t)

u C2

R2

C1

R1

R1C1 R2C2



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Observabilidad




4



7

Definiciones: (1/1) observabilidad de un punto del estado

•  x0 es observalable en [to,t1], si y sólo si partiendo de x(t0)=x0, el conocimiento de la entrada u(τ) y la salida y(τ) en el intervalo to ≤ τ ≤t1, permite asegurar que x(t0)=x0

•  x0 es observalable, si y sólo si para todo instante inicial t0 existe un intervalo finito [to,t1], tal que x0 es observable en [to,t1].



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Definiciones: (1/2) observabilidad de un sistema

•  Un sistema es observalable en [to,t1], si y sólo si todos los puntos del espacio de estado son observalables en [to,t1],

•  Un sistema es observalable si y sólo si todos los puntos del espacio de estado son observalables

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9

Observabilidad






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Observabilidad de sistemas lineales: introducción

•  En un sistema lineal:

)t(u)t(Dd)(u)(B),t()t(Cx)t,t()t(C)t(u)t(D)t(x)t(C)t(yt

t00

0

+!+!=+= " ####

agrupando términos que no dependen de x0:

!

( y (t) " y(t) # C(t)$(t,% )B(% )u(% )d%t0

t

& #D(t)u(t) = C(t)$(t, t0)x0

con lo que el objetivo de la observabilidad es el cálculo de x0 a partir de o salida del sistema ante entrada nula )t(y(

!

( y (t) " y(t) # C(t)$(t,% )B(% )u(% )d%t0

t

& #D(t)u(t) = C(t)$(t, t0)x0

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Observabilidad de sistemas lineales: teorema

•  Dado el sistema:

! ""=1

0

t

t0

T0

T01 d)t,()(C)(C)t,()t,t(V #####

es observalable en [to,t1] si y solo si el gramiano de observabilidad V(to,t1) es invertible, definido como:

)t(u)t(D)t(x)t(C)t(y)t(u)t(B)t(x)t(A)t(x

+=

+=&



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Observabilidad de sistemas lineales: demostración

∃ V-1(t1,t0) ⇔ sistema observalable en [t0,t1]

por tanto se puede calcular el estado inicial x0

0)t(y 1 =(

•  necesaria (⇐): si no existe V-1(t1,t0) entonces partiendo de x(t0) igual al

vector propio de V asociado al valor propio 0, se obtiene:

por tanto existen estados cuya salida es indistinguible con la salida desde el origen

•  suficiente (⇒) : !"= #1

0

t

t

T0

T01

10 d)(y)(C)t,()t,t(Vx $$$$ (

!"= #1

0

t

t

T0

T01

10 d)(y)(C)t,()t,t(Vx $$$$ (

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Observabilidad de sistemas lineales: estados no-observables •  definición: estados no-observables son aquellos a

partir de los cuales su salida es permanentemente nula ante entrada nula

0tt0)t(y >!=(

•  si existen estados no-observables, ningún estado del sistema es observable

•  si el sistema no es observable, existen estados no-observables



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Observabilidad

•  Introducción •  Definiciones •  Observabilidad en sistemas lineales •  Observabilidad en sistemas lineales e invariantes.

–  Subespacio no-observable –  Subsistema observable –  Separación del subsistema controlable y

observable

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Observabilidad de sistemas lineales e invariantes: teorema

•  Dado el sistema:

es observable si y solo si la matriz P es de rango máximo (n).

)t(Du)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)t(x

+=

+=&

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

=

'1n

2

CA

CACAC

PM



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Observabilidad de sistemas lineales e invariantes: demostración

•  necesario (⇐):

rango (P) = n ⇔ sistema es observable

por tanto si el rango(P)<n, existen estados iniciales x0, tales que

!

( y (t) = "0(t)C +"1(t)CA + ...+"n#1(t)CAn#1[ ] x0

0)t(y =(

•  suficiente (⇒):

por tanto si no es observable el rango(P) < n si no es observable existen vectores ⊥ a P

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Sistemas lineales invariantes: Suespacio no-observable

•  Todos los puntos no-observables forman un subespacio, denominado subespacio no-observable

•  El subespacio no-observable esta generado por el nucleo de P (vectores x/ Px=0) de dimensión n-rP, siendo rP=rango(P)



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Observabilidad



observable

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Subsistema no-observable: lema

Dado un sistema lineal e invariante con dimensión del subespacio no-observable n-rP<n, existe una matriz de cambio de base T tal que:

!"

#$%

&== '

bbba

aa1

A~A~0A~

ATTA~

!

˜ C = CT = ˜ C a 0[ ]

en el que el subsistema de dimensión rPxrP es observable siendo T=[TaTb], donde Tb es una base del subespacio no-observable del sistema

( )aaaC~A~



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Subsistema observable: representación gráfica

∫

bbA~

Observable

bB~

aB~

aaA~

∫ u(t)

aC~ax

~D

y(t)

bx~

No observable !"

#$%

&=

bbba

aa

A~A~0A~

A~

!

˜ C = ˜ C a 0[ ]

!"

#$%

&=

bbba

aa

A~A~0A~

A~

11



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Ejercicio 4.1

a)  Si y(t)=x1(t)-x2(t), calcular la dimensión del espacio no-observable y una base de éste en función de R1C1 y R2C2 (3 puntos)

b)  Idem si y(t)=3x1(t)-5x2(t) (1 puntos) c)  Si y(t)=x1(t)-x2(t), obtener un subsistema observable,

relacionando sus variables con las originales (2 puntos), obtener su modelo de estado (2 puntos) y dibujar el gráfico de su modelo de estado junto con el del subsistema no-observable (2 puntos).

u C2

R2

C1

R1

R1C1 R2C2



24

Observabilidad



observable

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25

Separación del subsistema controlable y observable: lema

Dado un sistema lineal e invariante con rango(Q)=rQ y rango(P)=rP, existe una matriz de cambio de base T tal que:

!!!!

"

#

$$$$

%

&

== '

dddc

cc

bdbcbbba

acaa

1

A~A~000A~00A~A~A~A~0A~0A~

ATTA~

!

˜ C = CT = ˜ C a 0 ˜ C c 0[ ]

•  el subsistema de dimensión rQxrQ es controlable

•  el subsistema de dimensión rPxrP es observable

•  el subsistema es controlable y observable

!!!!

"

#

$$$$

%

&

== '

00B~B~

BTB~ b

a

1

donde:

[ ]aaaa C~,B~,A~

[ ]!"

#$%

&!"

#$%

&!"

#$%

&0C~,

B~B~,

A~A~0A~

ab

a

bbba

aa

[ ]!"

#$%

&!"

#$%

&!"

#$%

&ca

a

cc

acaa C~C~,0B~,

A~0A~A~



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Separación del subsistema controlable y observable: matriz T

siendo la matriz del cambio de base: T=[TaTb Tc Td] donde: Ta Tb es una base del subespacio controlable Tb Td es una base del subespacio no-observable

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Separación del subsistema controlable y observable: gráfica

aB~

u(t) aB~ ∫ aC

~

∫ cC~

aaA~

ccA~

acA~

baA~

bcA~

bB~ ∫

bbA~

dcA~

∫

ddA~

bdA~

aB~ ax

~

bx~

cx~

dx~

y(t) Observable Controlable y observable

Con

trol

able

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

dddc

cc

bdbcbbba

acaa

A~A~000A~00A~A~A~A~0A~0A~

A~

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

00B~B~

B~ b

a

[ ]0C~0C~CTC~ ca==



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Ejercicio 4.2

u1 s+1 s+2

1 s+1

x3

+ +

2 s+1

x1

x2

a)  Obtener los distintos subespacios atendiendo a la controlabilidad y observabilidad (3,5 puntos)

b)  Obtener los distintos subsistemas atendiendo a la controlabilidad y observabilidad, indicando el modelo de estado de cada uno de ellos (3,5 puntos)

c)  Dibujar la gráfica del modelo de estado global con la variables de los mencionados subsistemas (1,5 puntos)

d)  Indicar la relación de estas variables con las originales (1,5 puntos)

dado el sistema:

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