Control PID y Modos Deslizantes

Control PID Multivariable y Modos Deslizantes de un Robot SCARA

Elena Muñoz*. Carlos A. Gaviria*

*Grupo en Automática Industrial, Departamento de Electrónica, Instrumentación y Control, Universidad del Cauca

Calle 5 No 4-50, Popayán, Cauca, Colombia e-mail: [email protected], [email protected]

Resumen: Este artículo presenta un enfoque en el cual se combinan las estrategias de diseño PID multivariable y modos deslizantes, aprovechando las ventajas de cada tipo de control, para ello se llevan ambas leyes de control a una misma estructura equivalente en lazo cerrado. Se prueban los resultados obtenidos utilizando el modelo de un robot industrial tipo SCARA en el desarrollo de una trayectoria compleja en el espacio operacional, sometido a disturbios externos.

Palabras Clave: Control PID multivariable, control por modos deslizantes, robot SCARA

1. INTRODUCCIÓN

El control de robots manipuladores ha sido un tema de investigación desde hace años y se han desarrollado diversas estrategias de control Canudas, Siciliano y Bastin, (1996), Lewis, Abdallah y Dawson (1993), Samson, Le Borgne y Espinau (1991). Debido a que los brazos manipuladores se componen de varias articulaciones unidas entre sí, poseen una dinámica altamente no lineal con un fuerte acoplamiento entre sus respectivas articulaciones, esto complica la tarea del control, sobre todo, con consignas a altas velocidades o aceleraciones.

En Tarokh y Seraji (1988) se realiza el diseño de un control PID utilizando el enfoque multivariable, este esquema incluye un lazo interno tipo PD que permite estabilizar el modelo linealizado del robot y un lazo realimentado tipo PID que logra el desacople entrada-salida y el seguimiento de la referencia. Esta técnica permite un buen desempeño a partir del conocimiento del modelo linealizado para un punto de operación del robot manipulador.

Otras técnicas han sido propuestas con controladores que tienen en cuenta el modelo, como el control por par computado Spong (1996) y Khalil y Dombre (2002). Este provee resultados satisfactorios en cuanto a errores de seguimiento y robustez. Las incertidumbres presentes en el modelo, debido a parámetros mal estimados o no modelados, dificultan el diseño de un eficaz algoritmo basado en un modelo matemático exacto. Por esto, otros tipos como el control por modos deslizantes han recibido mucha atención en los últimos años debido a que ofrece buenas posibilidades, como insensibilidad a las variaciones de parámetros y rechazo de disturbios externos. Slotine y Li (1991).

En este artículo se mostrará que es posible combinar las leyes de control PID multivariable y modos deslizantes si se hace coincidir la dinámica de lazo cerrado obtenida con la ley PID, con la dinámica de lazo cerrado en régimen deslizante del control por modos deslizantes; con lo cual se abre la posibilidad de obtener las ventajas combinadas de los dos

métodos. El esquema propuesto utiliza una ley de control por modos deslizantes, donde se remplaza el control equivalente del enfoque convencional, por la ley continua PID multivariable gracias a que el diseño garantiza que las dinámicas de lazo cerrado de ambas leyes coinciden. Se prueban los resultados obtenidos utilizando el modelo de un robot industrial tipo SCARA en el desarrollo de una trayectoria compleja en el espacio operacional, sometido a disturbios externos.

El artículo está organizado así: en la sección 2, se describe el esquema de control PID multivariable. En la sección 3, se presenta el diseño del control por modos deslizantes. En la sección 4, se ilustra la equivalencia de las dinámicas de los controles PID y modos deslizantes en lazo cerrado. En la sección 5, se detallan los resultados de la simulación del control propuesto aplicado a un robot industrial tipo SCARA. Finalmente, en la sección 6 se presentan las conclusiones y trabajos futuros.

2. CONTROL PID MULTIVARIABLE

El diseño está basado en los trabajos de Tarokh y Seraji (1988), quienes utilizan el enfoque multivariable lineal para solucionar de manera eficiente el problema de control de un brazo manipulador. El esquema de control está compuesto por dos controladores según la Fig. 1, el controlador K(s) es tipo PD, el cual se diseña mediante la técnica de asignación de polos utilizando el modelo linealizado para lograr la estabilización del robot, y el control Q(s) es tipo PID, se diseña para lograr el desacople entrada-salida y el seguimiento de la trayectoria. Las ganancias de los controles PD y PID están asociadas directamente con el modelo del robot linealizado en el punto de operación.

2.1 Linealización del modelo dinámico del robot manipulador

El modelo dinámico de un robot manipulador es representado por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales y

fuertemente acopladas, que tienen la siguiente forma general, �� , � � � �� (1)

Fig. 1. Configuración del sistema de control.

donde q es el vector de posición de las articulaciones de dimensión nx1, � es el vector del par aplicado a las articulaciones de dimensión nx1, �� es la matriz de inercia del manipulador de dimensión nxn, ��, � � � ��, � �� es el vector del fuerzas de coriolis y centrípeta de dimensión nx1, �� es el vector de fuerzas gravitatorias de dimensión nx1.

El problema de control consiste en determinar el par � que es necesario aplicar al robot para lograr que la salida del manipulador � siga la trayectoria deseada ��, haciendo el error de posición cero.

La técnica considerada es válida para modelos lineales multivariables y por ello es necesario considerar el modelo linealizado de las dinámicas del robot. La ecuación (1) puede ser linealizada alrededor del punto de operación � ��, � �, �� , �� para pequeñas perturbaciones, ��

(2)

El modelo linealizado puede ser representado por (Tarokh y Seraji (1988)),

�� (3a)

donde las matrices A, B y C están definidas por,

� � �� (3b)

Definiendo como variables de estado a ! � �� y " � �� , la representación en espacio de estado del modelo linealizado del robot es,

# " "$ � % & '(��)* ��)*�+ # ! "$ � # &�)*$� ! � �'( &� # ! "$

(4)

La función de transferencia del modelo lineal del robot se obtiene tomando la transformada de Laplace de (3a), ,!�-� � ��s" � �- � �)* ��-� � /�-��-� (5)

donde /�-� es la matriz de nxn funciones de transferencia del sistema en lazo abierto.

2.2 Diseño del esquema de control PID multivarible

Según la Fig. 1, el par que se aplica al robot manipulador esta dado por, � � �� 0 � �� 1� ! �12 " � �� 1� ! �12 " (6)

donde 1� y 12 son las matrices de realimentación de las ganancias constantes de posición y velocidad. Aplicando la transformada de Laplace a (6) se obtiene,

��-� � ��3� � 41� �12-5,!�-� Denominando 1�-� � 41� �12-5, se obtiene el control PD indicado en Fig. 1. Reemplazando (6) en (4), se obtiene la representación en espacio de estados del sistema en lazo cerrado.

# " "$ � 6 & '(��)*� � 1�� )*�� 12�7 # ! "$ � # &�)*$ �� (7)

La matriz de función de transferencia del sistema en lazo cerrado es,

,!�-� � 4�s" � �� 12�- � � 1�5)* �� /�3�� (8)

El polinomio característico del sistema en lazo cerrado es,

∆*�-� � 9'(s" � �)*�� 12�- � �)*� � 1�� 9 (9)

Para estabilizar el robot y obtener una respuesta transitoria aceptable, las ganancias 1: y 1; se pueden seleccionar por asignación de los 2n polos del sistema para una localización deseada en el semi plano izquierdo del plano complejo. También se puede realizar un diseño óptimo por realimentación de estado utilizando la técnica control óptimo cuadrático, conocida como LQR.

Colocando el sistema intermedio /�-� en cascada con el controlador PID denotado como <�-� en Fig. 1, se diseñará <�-� para obtener una función de transferencia desacoplada, así,

/�-�<�3� � 1- �10� donde 1 � ?@AB�CD� es definida positiva con CD las constantes a determinar. Remplazando (8) en (10) se obtiene,

<�3� � /)*�-�1- � 4�s" � �� 12�- � � 1�51- �11� Definiendo <� � �� 12�1, <' � � � 1��1, <2 � �1, se obtiene la expresión del PID multivariable.

<�3� � �� 12�1 � � � 1��1- � �1-<�3� � <� � <'- � <2- �12�

De acuerdo a Fig. 1, se define la siguiente ley de control,

�� <�-� �* � F<� �<'- � <2-G �* �13� donde �* � !I � * es el vector del error de seguimiento de las posiciones, siendo !I el vector de la posiciones de referencia. El término integral introduce una variable de estado adicional,

J!I J! <�-� Robot Manipulador

1�-� - K ��

�0 -

/�-�

L � M � !I � *�?NO& L � !I � * (14)

Incorporando (13) y (14) al modelo en espacio de estado dado por (7), se obtiene la representación siguiente que incluye los controladores para estabilización y para seguimiento de la trayectoria.

P 1 2 LQ � P & '( &��)*� � 1� � <�� )*�� 12�<2� ��)*<'�'( & & Q 6 1 2 L7 � P &�)*<�'( Q � � R &�)*<2'( S � �15�

1 � �'( & &� 6 1 2 L7

El polinomio característico del sistema en lazo cerrado es:

∆"�s� � 9'(sU � �)*�� 12 � <2�s" � �)*<' VV��)*� � 1� � <��-9 (16)

Sustituyendo <�, <2 y <', el polinomio característico se reduce a,

∆W�-� � 9'(s" � �)*�� 12�- � �)*� � 1�� 9|'(- � 1| � ∆*�-�∆�-� (17)

donde ∆!�s� es el polinomio característico obtenido en el diseño anterior de orden 2n y ∆�s� es un polinomio de orden n, ∆�-� � |'(- � 1| � �- � C!��- � C"�Y �- � CZ� (18) Diseñando el controlador de acuerdo a (12), el sistema total de orden 3n preserva los 2n polos diseñados por asignación de polos e introduce n polos adicionales, los cuales pueden ser asignados en cualquier ubicación deseada dado que K se definió positiva.

La selección de las matrices <:, <[ y <\ ha permitido lograr que se cumpla (10), donde /�-�<�3� es la matriz de funciones de transferencia del sistema completo en lazo abierto, que relaciona la salida ! y la señal de error � según lo indicado en la Fig. 1.

,!�-� � 1- ,]�-� �19� Así, la función de trasferencia en lazo cerrado del sistema es ,!�-� � �'(- � 1�)*1 ,I(s) (20)

Notar que la ecuación de estado del sistema en lazo cerrado dada por (15) es de orden 3n y su polinomio característico dado por (17) también tiene 3n polos. Sin embargo, la función de transferencia entrada-salida dada por (20) es de orden n como resultado de la forma como se seleccionaron <:, <[ y <\ en el controlador. Una de las razones por la cual se utilizó el control PD para estabilizar el sistema fue para garantizar que la cancelación polo-cero se realizará para polos estables.

Si se selecciona 1 � ?@AB�CD� definida positiva en (20),

J!D�-� � CD- � CD JID�-� � 11 � _D- JID�-� �21�

se verifica que la dinámica del lazo cerrado es, *�N� � �1 �*�N� W�N� � �1 �W�N� (22)

La ecuación (21) implica que el sistema en lazo cerrado es desacoplado en el sentido de que cada señal de referencia JID afectará solamente su ángulo correspondiente J!D

3. CONTROL POR MODOS DESLIZANTES

El control por modos deslizantes consiste en definir una ley de control que conmuta a alta frecuencia la cual consigue llevar el estado del sistema a una superficie denominada superficie de deslizamiento y una vez en ella mantenerlo ante posibles perturbaciones externas. Slotine y Li (1991).

Para mantener el régimen de deslizamiento ideal, la señal de control debe ser capaz de conmutar con una frecuencia infinita entre valores positivos a negativos, esto produce un efecto indeseado denominado “chattering” , así que las trayectorias, antes que deslizarse, oscilan alrededor de la superficie de deslizamiento. La presencia del chattering puede excitar dinámicas no modeladas, reducir la exactitud del control, introducir grandes pérdidas por calor en circuitos eléctricos de potencia, aparte de los problemas físicos en los dispositivos mecánicos. Es necesario por lo tanto “suavizar” la señal de control discontinua para lograr un compromiso entre la señal tolerada por los elementos físicos reales y la precisión requerida. Varios enfoques se han propuesto para reducir el efecto del chattering, entre ellos el más conocido es la aplicación de la función saturación para el control de la ganancia cuando el sistema se encuentra cerca de la región de deslizamiento, con este enfoque se logra reducir el efecto del chattering pero existirá un error finito de régimen permanente.

La metodología de diseño de un controlador por modos deslizantes, implica primero establecer la dinámica de la superficie de deslizamiento, verificar la estabilidad y la existencia del modo deslizante diseñando una ley de control que garantice un régimen de deslizamiento. Una vez que el sistema es atrapado en la superficie, la dinámica del sistema en lazo cerrado es determinada sólo por la superficie de deslizamiento. La parte nominal o equivalente del control que se diseña para que 3 � &, permite que las dinámicas del sistema permanezcan en la superficie de deslizamiento.

El modelo dinámico del robot manipulador dado por (1), expresado en función de �`, ` y ` que son los términos nominales o estimados a partir del modelo y en función de las variables de estado es, * � W W � �`)*�� b � ` W � `� (23)

donde �� es el vector de disturbios externos al manipulador, el cual está limitado c��c d ? y b representa las incertidumbres del modelo, ambos son de dimensión nx1.

Para el diseño del control por modos deslizantes se elige la siguiente superficie de deslizamiento, 3 � �W�N� � �W�0� � 1M �W�N�?N (24)

Si se considera que el sistema inicia en la trayectoria �W�0� � 0,

3 � � W �1 �W3 � "I � " �1 �W (25)

Cuando el sistema esté en régimen de deslizamiento (3 � 0 y 3 � 0), la dinámica del sistema en lazo cerrado es,

� *�N� � �1 �*�N� � W�N� � �1 �W�N� (26)

Reemplazando (23) en (25),

3 � "I ��`)*�� b � ` W � `� � 1 �W

Definiendo la ley de control como, � � �` � �! � �` ��`1*-Be�3� (27)

donde 1* � ?@AB�C!!,… , C!Z� con ki1>0 y �g es el control nominal o equivalente que hace a 3 � & en ausencia de incertidumbres y disturbios, �` � ` W � ` ��`� "I �1 �W� (28)

Para realizar la prueba de estabilidad se utiliza la siguiente función candidata de Lyapunov,

h � !" 3i3h � 3i3 (29)

Considerando que � � �` � �!, h � �3i�`)*��* � �� b�h � �3i #�1*-Be�3� ��`)*�� b�$ (30)

Teniendo en cuenta que las incertidumbres y disturbios están limitados, se puede seleccionar los componentes k1i de 1* como,

C!D j k�`)*kc��l � blc (31)

Con la cual se satisface,

m n �o C1@|-@|ZDp! (32)

Con (31) se satisface la condición de alcanzabilidad, la cual garantiza que la superficie - � 0 se alcanza en tiempo finito, con la definición del control equivalente se garantiza que una vez en ella las trayectorias permanecen en la superficie y que la dinámica del lazo cerrado sólo depende de la superficie de deslizamiento.

4. COMPARACIÓN DE LAS DINÁMICAS DE LAZO CERRADO

El diseño propuesto del control por modos deslizantes se realizó para lograr la dinámica lineal de lazo cerrado expresada por (26) en el régimen de deslizamiento. Tomando la transformada de Laplace de (26) se verifica que, ,*�-� � ,*��-�,W�-� � ,W��-� (33)

lográndose seguimiento de la referencia de posición y velocidad.

El control PID diseñado en la sección 2, permite que el sistema posea una dinámica en lazo cerrado representada por una función de transferencia de primer orden dada por (21), como se observa en Fig.2.

Fig. 2. Esquema equivalente en lazo cerrado control PID.

La dinámica en lazo cerrado del control PID está dada por (22) mientras que la dinámica en lazo cerrado con el control en modos deslizantes está dada por (26). Notando que si al esquema de Fig. 2 se agrega el término de acción precalculada indicado en Fig. 3 (lo cual no altera la estabilidad del sistema), entonces se obtiene, *��N� � 1)* *��N� � *�N� � 1)* *�N� con lo que se llega a *�N� � �1 �*�N�.

Fig. 3. Esquema de control equivalente PID.

Luego el esquema propuesto de la Fig. 3, permite que el controlador PID y el control por modos deslizantes posean un comportamiento dinámico igual en lazo cerrado. Gracias a esta propiedad, en este trabajo proponemos reemplazar el término continuo �` de (27) por la ley PID aumentada con la acción precalculada antes indicada. Esta estrategia permitiría un control equivalente robusto lo que pertimitiría usar ganancias más pequeñas para el término discontinuo �! reduciendo el efecto de chattering. En la Fig. 4 se indica el esquema de implementación utilizado,

Fig. 4. Esquema de control equivalente PID – Modos deslizantes.

5. RESULTADOS SIMULACIÓN

El algoritmo diseñado se aplica a un robot SCARA, el cual consta de tres articulaciones rotoides y una prismática. La

J!I J! r-

-r)!

1- r J!I J!

-

1)! J!I

J!I J!, J"

Robot Manipulador

-

� �g �*

-

1*-Be�3� PID

J!, J", J!I

J!

ecuación del modelo dinámico inverso del robotviene dada por l

Los parámetros dinámicos del robot términos por cada articulacióntensor de inercia momento de inerciaarticulación

Algunos de eliminados por simplicidadTabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot Calaflore, término

En el apéndice se presenta el modelo matemático completo del robot SCARA utilizado para la simulación.

Parámetros

Nota: Las unidades del tensor de inercia son Kg.m2, para el primer momento de inercia Kg.m, y para la inercia de los motores Kg.m2.

El sistema de control diseñado se de simulación Matlab/Simulink©. desempeño del controlador trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3 segundos en esistema considerando quecada articulación

donde el segundo términocon ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada por

El diseño de los parámetros utilizando el comando parámetros de desempeño([1que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y para la simulación se eligió K = diag([1,1,1,1])*1e3.

Fig.

ecuación del modelo dinámico inverso del robotviene dada por la expresión

Los parámetros dinámicos del robot términos por cada articulacióntensor de inercia momento de inerciaarticulación

Algunos de los parámetros del robot son agrupados o eliminados por simplicidadTabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot Calaflore, et al., término agrupa valores pertenecientes a otr


Tabla

Parámetros ZZR1 ZZR2 ZZR3 MXR2 MXR3 MY 2

MYR3 Nota: Las unidades del tensor de inercia son Kg.m2, para el primer momento de inercia Kg.m, y para la inercia de los motores Kg.m2.

El sistema de control diseñado se de simulación Matlab/Simulink©. desempeño del controlador trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3 egundos en el espacio operacional del robot.

sistema considerando quecada articulación

donde el segundo términocon ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada por .

El diseño de los parámetros utilizando el comando parámetros de desempeño([1,1,1,1,200,200,200,200]que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y para la simulación se eligió K = diag([1,1,1,1])*1e3.

Fig. 5. Trayectoria realizada por el robot SCARA

ecuación del modelo dinámico inverso del robota expresión (1

Los parámetros dinámicos del robot términos por cada articulacióntensor de inercia momento de inercia

y la inercia del

los parámetros del robot son agrupados o eliminados por simplicidad, Tabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot

., (2001), donde la letra “agrupa valores pertenecientes a otr


a 1. Parámetros del robot SCARA

Valores 3.38 0.063 0.1

0.242 0.2

0.001 0.1


El sistema de control diseñado se de simulación Matlab/Simulink©. desempeño del controlador trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3

l espacio operacional del robot. sistema considerando que se adiciona un disturbio al par de cada articulación el cual está dado por,

donde el segundo término representa el efecto con ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada

El diseño de los parámetros utilizando el comando lqr parámetros de desempeño

,1,1,1,200,200,200,200]) y que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y para la simulación se eligió K = diag([1,1,1,1])*1e3.

Trayectoria realizada por el robot SCARA

ecuación del modelo dinámico inverso del robot1).

Los parámetros dinámicos del robot dinámicos son oncetérminos por cada articulación, están compuestos

inercia del accionador

los parámetros del robot son agrupados o Khalil y Dombre,

Tabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot donde la letra “

agrupa valores pertenecientes a otros términos.


Parámetros del robot SCARA

Parámetros Ia2 Ia3 Ia4 M4 D2 D3 g


El sistema de control diseñado se implementó en el ambiente de simulación Matlab/Simulink©. Con el fin de ilustrar el desempeño del controlador propuesto trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3

l espacio operacional del robot. se adiciona un disturbio al par de

dado por,

epresenta el efecto con ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada

del control PD se realizó de Matlab con los siguientes

parámetros de desempeño Q) y R = 1E-1*eye(4)

que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y para la simulación se eligió K = diag([1,1,1,1])*1e3.

Trayectoria realizada por el robot SCARA

ecuación del modelo dinámico inverso del robot SCARA

dinámicos son onceestán compuestos por

, el primer la masa de la

accionador .

los parámetros del robot son agrupados o Dombre, (2002).

Tabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot donde la letra “R” indica que el

os términos.


Parámetros del robot SCARA

Valores 0 0

0.045 1.8

0.045 0.045 9.81


implementó en el ambiente on el fin de ilustrar el

propuesto se define una trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3

l espacio operacional del robot. Se prueba el se adiciona un disturbio al par de

epresenta el efecto de mediciones con ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada

el control PD se realizó con los siguientes Q = 1*eye(4). Mientras

que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y para la simulación se eligió K = diag([1,1,1,1])*1e3.

Trayectoria realizada por el robot SCARA.

SCARA

dinámicos son once por el primer

masa de la

los parámetros del robot son agrupados o 2002). La

Tabla 1 muestra los valores de los parámetros del robot ” indica que el

En el apéndice se presenta el modelo matemático completo


implementó en el ambiente on el fin de ilustrar el

se define una trayectoria circular con radio r = 20 mm y velocidad angular w = 2 rad/seg, lo cual equivale a un círculo realizado en 3

Se prueba el se adiciona un disturbio al par de

de mediciones con ruido de alta frecuencia. La señal de disturbio es limitada

el control PD se realizó con los siguientes

diag . Mientras

que los parámetros del PID se determinan a partir de (11) y

La Frobot en presencia de laun muy buen seguimiento de la referencia.

La Figcartesianodesadisturbio.

Fig.

Fig.

Fig.

De los resultados de la simulaciseguimiento de la consseñal de disturbio externo el control implementado obtiene errores articulares menores a 4x10máximo de y robustez a disturbios.

Fig. 5 ilustra la trayectoria deseada y la realizada por el robot en presencia de laun muy buen seguimiento de la referencia.

Fig. 6 muestra cartesiano y la Figdesarrollar la trayectoria circular en presencia de la señal de disturbio.

Fig. 6. Error de posición de cada articulación del

Fig. 7. Error cartesiano del robot.

Fig. 8. Par aplicado al robot

De los resultados de la simulaciseguimiento de la consseñal de disturbio externo el control implementado obtiene errores articulares menores a 4x10máximo de 6x10-5

y robustez a disturbios.

ilustra la trayectoria deseada y la realizada por el robot en presencia de la señal de disturbio.un muy buen seguimiento de la referencia.

muestra los errores articularesy la Fig. 8 el par aplicado al robot

rrollar la trayectoria circular en presencia de la señal de

de posición de cada articulación del

Error cartesiano del robot.

. Par aplicado al robot

De los resultados de la simulaciseguimiento de la consigna circular ante la presencia de una señal de disturbio externo el control implementado obtiene errores articulares menores a 4x10

5 m. Se logra un control con buena precisión

y robustez a disturbios.

ilustra la trayectoria deseada y la realizada por el señal de disturbio. Donde se aprecia

un muy buen seguimiento de la referencia.

los errores articulares, la Fig. el par aplicado al robot


de posición de cada articulación del

Error cartesiano del robot.

De los resultados de la simulación se aprecia que en el igna circular ante la presencia de una

señal de disturbio externo el control implementado obtiene errores articulares menores a 4x10-4 y un error cartesiano

Se logra un control con buena precisión

ilustra la trayectoria deseada y la realizada por el Donde se aprecia

la Fig. 7 el error el par aplicado al robot, todos


de posición de cada articulación del robot.

ón se aprecia que en el igna circular ante la presencia de una

señal de disturbio externo el control implementado obtiene y un error cartesiano


ilustra la trayectoria deseada y la realizada por el Donde se aprecia

el error todos al


ón se aprecia que en el igna circular ante la presencia de una

señal de disturbio externo el control implementado obtiene y un error cartesiano


6. CONCLUSIONES

En este artículo se ha considerado el control de movimientos complejos en el espacio de trabajo de un robot tipo SCARA. Se mostró que si se diseña un controlador PID con acción precalculada, tal que la dinámica de lazo cerrado del sistema coincida con la obtenida con un controlador en modos deslizantes, es posible obtener las ventajas combinadas de las dos leyes. Los resultados muestran que la estrategia propuesta obtiene un buen desempeño en el seguimiento de la consigna circular. Sin embargo, los detalles acerca de la estabilidad con el control propuesto, no han sido aún explorados a la fecha. Trabajos posteriores estarán encaminados hacia sacar mejor provecho de las posibilidades de la estrategia propuesta. Una opción a explorar es utilizar reglas de decisión difusas tales que lejos de la superficie de deslizamiento predomine la ley de modos deslizantes, mientras que cerca de la superficie predomine la ley PID, de modo que se garantice tanto error cero en régimen permanente sin efecto de chattering como atracción asintótica a la superficie.

REFERENCIAS

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Caraflore G., M. Indri and B. Bona (2001). Robot dynamic calibration: Optimal excitation trajectories and experimental parameter estimation. Journal of Robotic Systems. 18 (2): 55-68.

Khalil, W and Dombre, E. (2002) Modeling identification andcontrol of robots. Hermes Penton Science.

Lewis, F., Abdallah, C. and Dawson, D. (1993) Control of robot manipulators. Macmillan.

Samson, C., Le Borgne, M. and Espinau, B. (1991). Robot control. Oxford University Press.

Slotine J., and W. Li (1991). Applied nonlinear control. Prentice-Hall Inc. New Jersey.

Spong, M. (1996) Motion control of robot manipulator. Handbook Control, W. Levine Editor, 1339 –1350.

Tarokh, M. and Seraji, H. (1988) A control scheme for trajectory traking of robot manipulator. IEEE Robotics and Automation, Volume (88), 1192-1197.

APENDICE

Matriz de inercia y vector de gravedad del modelo dinámico del robot manipulador SCARA: s!! � ttu! � ttu" � 2v"wx-�y"�sJu" � 2v"-@e�y"�sz" � ttuU � 2sJuUv"wx-�y" � yU� � 2sJuUwx-�yU�vU � 2szuUv"-@e�y" � yU� � 2vU-@e�yU�szuU � v""s{ � 2vUv"wx-�y"�s{ �s{vU";

s!" � ttu" � v"wx-�y"�sJu" � v"-@e�y"�sz" � ttuU � sJuUv"wx-�y" � yU� � 2sJuUwx-�yU�vU � szuUv"-@e�y" � yU� � 2vU-@e�yU�szuU � vUv"wx-�y"�s{ �s{vU";

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s!{ � 0; s"" � ttu" � ttuU � 2sJuUwx-�yU�vU � 2vU-@e�yU�szuU � }A" �s{vU"; s"U � ttuU �sJuU wx-�yU�vU � vU-@e�yU�szuU s"{ � 0; sUU � ttuU � }AU; sU{ � 0; s{{ � s{ � }A{; ~ � �0 0 0 �Bs{�;

Control PID y Modos Deslizantes

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