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Grupo ACES 2010 Control por Modos Deslizantes de Segundo Orden de Pilas de Combustible PEM - p. 1/8

Control por Modos Deslizantes de SegundoOrden de Pilas de Combustible PEM

VIII Simposio CEA de Ingeniería de Control

Dr. Cristian Kunusch

Almerıa, 27 y 28 de abril de 2010

Advanced Control of Energy Systems (ACES)Universitat Politècnica de Catalunya y Consejo Superior de Investigaciones Científicas


Contenidos

Introducción y motivaciones

Modos deslizantes en sistemas no lineales

Modos deslizantes de segundo orden (MDSO)

Aplicación de MDSO en pilas de combustible

Modelado y validación experimental

Discusión y trabajos actuales

IntroduccionMD en SNLMDSOMDSO en PdCDiscusion



Principio de funcionamiento de una pila PEM

Una celda de combustible PEM (Proton ExchangeMembrane) funciona según el siguiente principio:

Ánodo: oxidación catalítica de hidrógeno

H2 −→ 2H+ + 2e−

Cátodo: reducción catalítica de oxígeno

1

2O2 + 2H+ + 2e− −→ H2O

TotalH2 +

1

2O2 −→ H2O

La diferencia de potencial entre electrodos puede serexplotada para realizar trabajo eléctrico.




Principio de funcionamiento de una pila PEM

Una celda de combustible PEM (Proton ExchangeMembrane) funciona según el siguiente principio:

Hidrógeno Oxígeno

Me

mb

ran

a

H

N H O

O 2

2

2

H

N O

O 2

2

2

2

H 2

H+

H+

H+

H+

Anodo Cátodo

Cargae- e-




Motivaciones

Reducción de emisiones de gases.

Dependencia energética de combustibles fósiles.

Optimización del rendimiento ⇒ control.

Modelos no lineales (EDO). Alto orden (stack > 5). Incertidumbre paramétrica. Incertidumbre estructural. Incidencia de perturbaciones dinámicas. Variables internas inaccesibles.




Motivaciones

Reducción de emisiones de gases.

Dependencia energética de combustibles fósiles.

Optimización del rendimiento ⇒ control.

Modelos no lineales (EDO). Alto orden (stack > 5). Incertidumbre paramétrica. Incertidumbre estructural. Incidencia de perturbaciones dinámicas. Variables internas inaccesibles.

⇒ control por modos deslizantes




SNL afín al control

x = f(t, x) + g(t, x).u

y = h(t, x)

x ∈ X ⊂ Rn, f : R

n → Rn y g: R

n → Rn campos

suaves, h(x): Rn → R campo suave.




SNL afín al control

x = f(t, x) + g(t, x).u

y = h(t, x)

x ∈ X ⊂ Rn, f : R

n → Rn y g: R

n → Rn campos

suaves, h(x): Rn → R campo suave.

Modo deslizante estándar

Si g(x) 6= 0 ∀x ∈ X, se define s como una función derestricción suave s : X → R, cuyo gradiente ∇s es nonulo en X.

⇒ S = x ∈ X : s(x) = 0

sub-variedad en X de dimensión n − 1, llamada varie-dad de deslizamiento o “superficie” de conmutación.




Se puede plantear una ley de control imponiendo unaacción de control discontinua u que tome un valorentre dos posibles. Por ejemplo:

u =

u+(x) si s(x) > 0

u−(x) si s(x) < 0

u+(x) 6= u−(x), funciones continuas suaves de x.





u =

u+(x) si s(x) > 0

u−(x) si s(x) < 0


El sistema alcanzará la variedad S si s(x)s(x) < 0.

s(x) = Lf+gus(x) = Lfs(x) + Lgs(x)u , Lgs(x) 6= 0

⇒

lims→+0

Lf+gu+s(x) < 0

lims→−0

Lf+gu−s(x) > 0





u =

u+(x) si s(x) > 0

u−(x) si s(x) < 0


El sistema alcanzará la variedad S si s(x)s(x) < 0.

s(x) = Lf+gus(x) = Lfs(x) + Lgs(x)u , Lgs(x) 6= 0

⇒

lims→+0

Lf+gu+s(x) < 0

lims→−0

Lf+gu−s(x) > 0

Grado relativo de s(x) debe ser uno!!! (⇔ Condición detransversalidad)




La discontinuidad en la acción de control genera ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuas .⇒ no se puede aplicar la teoría convencional de ecua-ciones diferenciales. (Ej. ——————————condición de Lipschitz)





Enfoques utilizados comúnmente:

Método de regularización (interpretación física conhistéresis en actuador).

Método de control equivalente [Utkin, 1961] (sederivan las trayectorias a partir de tomar s(x) = 0).





Enfoques utilizados comúnmente:

Método de regularización (interpretación física conhistéresis en actuador).

Método de control equivalente [Utkin, 1961] (sederivan las trayectorias a partir de tomar s(x) = 0).

Método de Filippov.

Formalismo a la continuidad de solución de ecua-ciones diferenciales de lado derecho discontinuo[Filippov, 1969].





Sea un sistema de orden arbitrario n:

x = F (t, x, u) u(t) =

u+(x) si s(x) > 0

u−(x) si s(x) < 0

F+ = F (t, x, u+), F− = F (t, x, u−), u+(x) 6= u−(x) ys(x) suaves. Si el control se implementa con algunaimperfección no especificada y los puntos de discon-tinuidad están aislados en tiempo ⇒ se puede derivarlas ecuaciones de movimiento del sistema cuandos(x) = 0.

x = µF+ + (1 − µ)F− µ = ∆t1∆t





µ debe ser tal que la velocidad del sistema seatangencial a la superficie:

s = ∇s(x)x = ∇s(x)µF+ + (1 − µ)F− = 0

µ =∇s(x)F−

∇s(x)(F− − F+)

⇒ x = ∇s(x)F−

∇s(x)(F−−F+)F+ +

(

1 − ∇s(x)F−

∇s(x)(F−−F+)

)

F−




Problema del chattering

Oscilaciones de alta frecuencia sobre la variable con-trolada, a causa de dinámica no modelada en sistema.






Soluciones:

Uso de control con saturación en lugar de u(t) dis-continua. Continuidad del control, dinámica no res-tringida a la superficie.

Enfoque basado en observación. Deterioro de ro-bustez.






Soluciones:

Uso de control con saturación en lugar de u(t) dis-continua. Continuidad del control, dinámica no re-stringida a la superficie.

Enfoque basado en observación. Deterioro de ro-bustez.

Enfoque basado en Modos Deslizantes de OrdenSuperior. Convergencia en tiempo finito, supresiónteórica del chattering (si GR=r).




Orden de deslizamiento = N de derivadas continuasde s(t, x).

Objetivo del control por MDSO:

s = s = 0

Condición 2-dimensional en la dinámica del sistema.

S = S = 0

S = 0

S = 0




Si s(t, x) es de grado relativo 1:

s(t) =∂

∂ts(t, x) + Lfs(t, x) + Lgs(t, x)u(t)

s(t) =∂

∂ts(t, x, u) +

∂

∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +

+∂

∂us(t, x, u)u(t)





s(t) =∂


s(t) =∂

∂ts(t, x, u) +

∂

∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +

+∂

∂us(t, x, u)u(t) = ϕ(t, x, u) + γ(t, x, u)u(t)





s(t) =∂


s(t) =∂

∂ts(t, x, u) +

∂

∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +

+∂


Si se encuentran Γm, ΓM y Φ tal que:

0 < Γm ≤ γ(t, x, u) ≤ ΓM

|ϕ(t, x, u)| ≤ Φ∀t, x ∈ X , u ∈ U





s(t) =∂


s(t) =∂

∂ts(t, x, u) +

∂

∂xs(t, x, u).[f(t, x) + g(t, x)u(t)] +

+∂


Si se encuentran Γm, ΓM y Φ tal que:

0 < Γm ≤ γ(t, x, u) ≤ ΓM

|ϕ(t, x, u)| ≤ Φ∀t, x ∈ X , u ∈ U

⇒ s ∈ [−Φ,Φ] + [Γm,ΓM ]u




Algoritmos: (3 ejemplos) Twisting:

u(t) = −r1sign(s) − r2sign(s)

Super Twisting:

u(t) = u1(t) + u2(t)

u1(t) = −αsign(s)

u2(t) =

−λ|s0|1

2 sign(s) si |s| > |s0|

−λ|s|1

2 sign(s) si |s| ≤ |s0|

Sub-optimal:

u(t) = a(t)Usign(s − βsM )

a(t) =

1 si (s − βsM )sM ≥ 0

a∗ si (s − βsM )sM < 0



Aplicación de MDSO a pilas de combustible

Caso de estudio

Pila PEM de laboratorio de 7 celdas, 50 W con mem-branas Nafionr 115 de 50 cm2 de área activa (GrupoACES).

Compresor de Aire

Controlador de flujo

O + N + H O22 2

Pila de

Combustible

Humidificador

de ánodo

Humidificador

de cátodo

Reguladores

manuales

de presión

Resistencia

calefactora

Línea de calentamiento

de cátodo


de ánodo

H 2H2

Carga

WcpVcp

Variable medida

Variable no medible

Sensor de flujo o presión

cpIa

Wsm smPcaP

Whum,out

hum,diffP humTWca

stT

anP

WH2

rm,caP

rm,anP




Caso de estudio

Pila PEM de laboratorio y componentes auxiliares(Grupo ACES).




Modelo no lineal del sistema

x = F (x(t)) + G · u(t)

x ∈ R7 ; u ∈ R ; F : R7 → R7

x1 = ωcp: velocidad angular del eje del motor. x2 = mhum,ca: masa de aire dentro del humidificador

de cátodo. x3 = mo2,ca: masa de oxígeno en los canales de

cátodo de la pila. x4 = mN2,ca: masa de nitrógeno en los canales de

cátodo de la pila. x5 = mv2,ca: masa de vapor en los canales de cátodo

de la pila. x6 = mH2,an: masa de hidrógeno en los canales de

ánodo de la pila. x7 = mv2,an: masa de vapor en los canales de ánodo

de la pila.




Objetivo de control : Optimización de la eficiencia deconversión

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

35

λo2

Pne

t [W

]

Ist=1 [A]Ist=2 [A]Ist=3 [A]Ist=4 [A]Ist=5 [A]Ist=6 [A]Ist=7 [A]Ist=8 [A]Ist=9 [A]Ist=10 [A]

Pnet = Pst − Pcp

λo2=

Wo2,ca

Wo2,react

Wo2,react = Go2

nIst

4F




Objetivo de control :

En el marco del control por modos deslizantes:

s(t, x) = Wcp − Wair,ref = Wcp − (1 + Ωatm)1

χo2λo2,optGo2

nIst

4F







χo2λo2,optGo2

nIst

4F

∂s(t, x)

∂u= 0

∂s(t, x)

∂u6= 0 ⇒ s(t, x) grado relativo 1







χo2λo2,optGo2

nIst

4F

∂s(t, x)

∂u= 0

∂s(t, x)

∂u6= 0 ⇒ s(t, x) grado relativo 1

s(t, x, u) = ϕ(t, x, u)︸︷︷︸

| |<Φ

+

Γm<( )<ΓM

︷︸︸︷

γ(t, x, u) u(t)

Se acotan los términos ϕ(t, x, u) y γ(t, x, u) y se resuelve laestabilización robusta de la inclusión:

s ∈ [−Φ, Φ] + [Γm, ΓM ]u




Prueba con algoritmos TW, ST y SO :

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5

0

5

10

15

20x 10

−3

tiempo [seg.]

s(x)

Super TwistingSub OptimalTwisting




Prueba con algoritmos TW, ST y SO :

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

x 10−3

−0.4

−0.2

0

0.2

s(x)

ds(

x)/

dt

Super TwistingTwistingSub Optimal




Implementación en banco de prueba

Compresor de Aire

Controlador de flujo

O + N + H O22 2

Pila de

Combustible

Humidificador

de ánodo

Humidificador

de cátodo

Sistema de

ControlActuador


de cátodo


de ánodo

H + H O2 2H2

Carga

Vcp

Ist

Wsm

Reguladores

manuales

de presión

ust(t) = u1(t) + u2(t)

u1(t) = −αsign(s)

u2(t) =

−λ|s0|12 sign(s) si |s| > |s0|

−λ|s|12 sign(s) si |s| ≤ |s0|

α > ΦΓm

λ >√

2Γ2

m

(Γmα+Φ)2

(Γmα−Φ)




Algoritmo Super Twisting

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tiempo [seg]

Wcp

[sl

pm]

Wcp,ref

[slpm]

Wcp,real

[slpm]

Wcp,sim

[slpm]




Algoritmo Super Twisting + FF

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tiempo [seg]

Wcp

[sl

pm]

Wcp,ref

[slpm]

Wcp,real

[slpm]

Wcp,sim

[slpm]




Algoritmo Super Twisting + FF

0 50 100 150 200 250 300 350

0

2

4

6

8

10

tiempo [seg]

W

cp [slpm]

Wcp,ref

[slmp]

uff

u2

u1

Vcp

260 300

0

0,3

Zoom




Algoritmo Super Twisting + FF + Anti- Windup

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

tiempo [seg]

λo2

λo2,ref

Ist

[A]




Prueba de perturbaciones

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7

8

tiempo [seg]

λo2

λo2,ref

Ist

[A]

Pca

[bar]




Prueba de perturbaciones

0 50 100 150−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo [seg]

uu

ff

u1

u2



Discusión y resultados

Se están haciendo aportes en el campo del mode-lado y control de sistemas de pilas PEM.

Se ha probado la aptitud y aplicabilidad de las es-trategias de control por MDSO para la solución delproblema de estequiometría de oxígeno.

Se ha desarrollado y validado experimentalmente unmodelo dinámico no lineal (ODE) para la pila de com-bustible y sus componentes auxiliares.

Se ha implementado exitosamente el diseño de con-trol por MDSO en el banco de pruebas.

Estabilización robusta del SNL. Reducción de chattering en la variable controlada.

Mejora en la respuesta dinámica.



Discusión y resultados

Trabajos actuales

Estudio de alternativas de control MIMO para satis-facer objetivos de control mixtos.

Comparación y análisis de estrategias de control ensistemas de pilas PEM (LQG, MPC y MDSO).

Análisis de controlabilidad y observabilidad del sis-tema a partir de enfoque geométrico.

Utilización de estrategias Super Twisting de paráme-tros variables (enfoque por Lyapunov).

Reducción dinámica del modelo de control.


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