Estudio de Los Sistemas de Control Por Modos Deslizantes

8/13/2019 Estudio de Los Sistemas de Control Por Modos Deslizantes

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ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL POR MODOS DESLIZANTESY SUS APLICACIONES

Raúl R. Roque Y.Universidad Mayor de San Andrés, Facul tad de Ingeniería

Carrera de Ingeniería Electrónica, La Paz - Bolivia

RESUMENEn el presente trabajo se expone una de las técnicas utilizadas para el diseño de algoritmosde control denominada Control por Modos Deslizantes, cuya aceptación en la comunidadcientífica se debe a su característica de robustez.Se estudia las condiciones para la existencia del modo deslizante, la convergencia hacia lasuperficie, condiciones de invarianza, el problema del chattering, finalmente se sintetiza laley de control por modos deslizantes. Además se presenta resultados de simulaciónaplicados de un ejemplo de aplicación.

INTRODUCCIÓNLos Sistemas de Control por Modos deslizantes son una generalización de los sistemas de

control de Estructura Variable (VSC) [Llanes, 1994].Los VSC tienen la característica de cambiar de estructura por medio de alguna ley, demanera de satisfacer características deseadas. Lo que puede significar en el caso desistema lineales por ejemplo, cambiar entre dos ganancias, los lazos de realimentación[DeCarlo et al,1988].Los sistema de control por modos deslizantes tienen una elevada aceptación dentro lacomunidad científica e ingenieril. Su aplicación e implementación se deben a los grandesavances en la electrónica de potencia, que permiten la implementación de dispositivos deconmutación de muy alta velocidad.Los sistemas de control por modos deslizantes, son una opción de diseño de algoritmos decontrol por sus características de insensibilidad a perturbaciones externas y su robustez.

Algunas de las aplicaciones son por ejemplo, control de seguimiento de trayectorias[Amestegui, Roque, 2001], diseño de observadores [Jezernik et al, 1992][McCann, et al,2001], control adaptivo [Rios-Bol ivar, 2002] y por ultimo se ha incluido este a los famososalgoritmos de control genetico, experto y difuso [Peña, 1998][Wong, et al, 2001].En el área de ingeniería se ha encontrado valiosos resultados aplicando esta técnica. Comoun ejemplo el control de Convertidores de potencia CC/CC [Spiazzi,1996], control deneutralización de PH [Urzua, 2002], control de nivel, [Llanes, 1994], control de procesosquímicos [Sira-Ramirez, Llanes, 1994], aislamiento de vibraciones [Cirera, 1999], etc.La desventaja en la implementación de controladores por modos deslizantes es el fenómenodenominado chattering el cual se produce por la conmutación no ideal en los elementosactuadores. Dicho fenómeno será tratado también en este reporte.

Por lo anterior es que se realiza un estudio introductorio a los sistemas de control por modosdeslizantes. La organización del reporte es como sigue, se realiza una revisión del Controlpor Modos Deslizantes, luego se hace hincapié en las condiciones de existencia y alcance.Se determina la ley de control equivalente del sistema cuando este se encuentra en régimendeslizante. Se analiza los conceptos de invarianza, para luego utilizar funciones conocidasde manera de reducir el efecto del chattering. Finalmente se da un ejemplo de aplicación, enel diseño de leyes de control para el sistema de levitación magnética [Lu, Chen, 1995];evaluando el desempeño de dicha ley de control mediante simulación computacional enSimulink de MATLAB.


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2

REVISIÓN DEL CONTROL POR MODOS DESLIZANTESConsidere el siguiente esquema general de un sistema con control escalar

),,( ut xf x = ; (1)

donde x es un vector columna y f es un vector de funciones, ambos de dimensión n y u es

un elemento externo que puede influenciar en el movimiento del sistema (entrada decontrol). Se considera que el sistema está representado en la Forma Canónica Controlable

Consideremos que el vector de funciones f es discontinuo sobre una superficie 0=t)(x,! .Por lo tanto podemos escribir:

→

→=

−−

++

0),,(

0),,(),,(

!f

!xf xf

ut x

ut ut ;

(2)

Como resultado de lo anterior se tiene un sistema de ecuaciones con el lado derecho condiscontinuidades. Luego el sistema esta en modo deslizante si los puntos representativos semueven sobre la superficie deslizante 0=t)(x,! [Spiazzi et al, 1996].

CONDICIÓN DE EXISTENCIAComo previamente se estableció, para que un modo deslizante exista, las trayectorias de

fase de las dos subestructuras correspondientes a los dos diferentes valores de la funciónvectorial f deben dirigirse directamente hacia la superficie deslizante 0=t)(x,! , es decir que

la superficie deslizante debe comportarse como un atractor .Lo que significa que proyectando la superficie deslizante de los puntos que satisfacen

0

satisfacen 0>! , para el cual el vector de velocidad correspondiente es +f .Diversos tratamientos se le ha dado a la solución de este tipo de sistemas de ecuacionescon el lado derecho discontinuo. Uno de los más utilizados es el enfoque del matemáticoruso Filipov, que dio las condiciones para la existencia del modo deslizante [Llanes, 1994].Indicando con el subíndice N a los vectores de velocidad -f y +f ortogonales a la superficiedeslizante podemos escribir:

0

0

0

0

>

<

−

−→

+

+→

N

N

Lim

Lim

f

f

σ

σ ⇒ 0

0

0

0

>⋅∇

<

−→

+→

dt

d Lim

dt

d Lim

!

!

σ

σ

⇒

00


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3

la cual es definida positiva con respecto a )(x! , luego la derivada en el tiempo es:

!!! =)(V ; (7)

y se debe cumplir que 0!! =

−

+

0)(,

0)(,

x!

x!

u

uu ;

(8)

Sea ahora [ ]+x y [ ]−x , los valores en estado estacionario de los puntos representativoscorrespondientes a las entradas +u y −u . Entonces una condición suficiente para alcanzar lasuperficie deslizante es:

[ ][ ] 0)(0)(

>∈


4/12

4

[ ] ),(1 t ,t)( ,t)( xf SxSBxBIx −−= ; (15)

Esta última ecuación describe el movimiento del sistema sobre un control por modo

deslizante. Es importante notar que la matriz SSBBI 1)( −− es de menor rango comparado

con el sistema inicial [DeCarlo, et al, 1988]. Esto es debido a que, sobre el régimendeslizante, el movimiento del sistema esta restringido a estar sobre la superficie deslizante.Como consecuencia , el sistema equivalente descrito por (13) es de orden 1−n [Spiazzi, etal, 1996].La descripción del control equivalente de un sistema de estructura variable (VSS) enrégimen deslizante es valido también para sistemas de múltiples entradas. En este caso elmovimiento del sistema esta restringido a una hiper-superficie obtenida de la intersección delas superficies conmutantes individuales [DeCarlo, et al, 1988][Zak. 2001].

Para obtener la ley de control por modos deslizantes, se debe satisfacer la condición (7);para ello se impone la dinámica de la superficie deslizante de la forma

))(()( x!x! sign⋅−= η [Urzua, 2001] [Llanes, 1994] , tal que (7) se cumpla, entonces con (19)se tiene:

ut t sign ),(),())(()( xSBxSf x!x! +=⋅−= η ; (16)

donde ))(( x!

sign es la conocida función signum definida como:

=

0)(1

0)(0

0)(1

))((

x!

x!

x!

x!sign

luego la ley de control queda definida como:

[ ] [ ]))((),(),( 1 x!xSf xSB signt t u ⋅+−= − η ; (17)

la misma que permitirá satisfacer el objetivo de control deseado [Llanes, 1994] [Sira-Ramirez, Llanes, 1994].La dinámica impuesta en (16), por supuesto no es la única que satisface la condición (5),existen variantes interesantes de esta dinámica, según las características deseadas del

sistema al cual será aplicado el control por modos deslizantes, ver por ejemplo [Mahdavi, etal, 1997], [Urzua, 2001] [DeCarlo, et al, 1988] , [Slotine, Li, 1991].

CONDICIONES DE INVARIANZALa robustez es una de las más importantes características del control por modosdeslizantes, esto es insensibilidad a ciertos errores de modelado y perturbaciones externas.Esta caracteristica requiere que la propiedad de paridad y acoplamiento sea satisfecha[Urzua, 2001], [Peña, 1998].Considere el sistema no lineal de la forma:

[ ] [ ] ),,(),,(),(),,(),( t ut t t t pxdpx"BxBpx"f xf x ++++=D ; (18)donde p es un vector de incertidumbre, ),,( t px"f y ),,( t px"B representa errores de

modelado y ),,( t pxd son las perturbaciones externas. Si existe f ~

, B~

y d~

tal que la

condición de paridad:

f xBpx"f ~

),(),,( t t = ; (19.a)

BxBpx"B ~

),(),,( t t = ; (19.b)

dxBpxd ~

),(),,( t t = ; (19.c)


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5

sea satisfecha, entonces; el modo deslizante es invariante. El sentido físico de lo anterior, esque todas las incertidumbres entran al sistema por el canal de la señal de control.Cuando el sistema está en régimen deslizante y cumple con la propiedad de paridad, setiene:

[ ] 0~),()~~)(,(),( =++++ equt t t BIxSBdf xBxf S ; (20)

asumiendo que [ ] 0~ ≠+ BI , el control equivalente es:

[ ] [ ])~~

)(,(),(),()~

(1

df xBxf SxBBIS +++−=

−

t t t u eq ; (21)y aplicando al sistema, hace que:

[ ] [ ] ),,(),,(),(),,(),( t ut t t t eq pxdpx"BxBpx"f xf x ++++= ;

[ ] ),(),(),( 1 t t t xf SxSBxBIx −+= ;el mismo resultado que (15). Lo que muestra que el sistema de lazo cerrado cuando seencuentra sobre régimen deslizante es independiente de las incertidumbres y perturbacionesexternas [Urzua, 2001], [Peña, 1998] [DeCarlo, et al, 1988] [Llanes, 1994]. Lasperturbaciones externas e incertidumbre mencionadas sólo influyen al sistema de lazocerrado cuando este no se encuentra en régimen deslizante, si se selecciona una ley decontrol apropiada que garantice en acercamiento rápido a la superficie de deslizamiento, se

disminuye su influencia y se presentará una baja sensibilidad ante éstas.

FENÓMENO DE CHATTERING Y SU REDUCCIÓNUno de los inconvenientes que se tiene a la hora de implementar las técnicas de control pormodos deslizantes es chattering. Sabemos ya que la ley de control cambiara de un valor aotro a una velocidad infinitamente alta, en los actuadotes reales se presenta fenómenos nolineales tales como saturación, histeresis, retardo de tiempo finito [Peña, 1998][DeCarlo , etal, 1988], por lo tanto será imposible conmutar a dicha frecuencia. El chattering aparece enestado estacionario como una oscilación de lata frecuencia alrededor del punto de equilibriodeseado y puede servir de fuente de excitación a dinámicas de alta frecuencia nomodeladas en el sistema [Slotine y Li, 1991], produciendo por ejemplo grandes perdidas

por calor en los circuitos eléctricos de potencia.Para prevenir esta situación se has propuesto diversas soluciones, con el fin de aproximaren forma continua el elemento discontinuo en la ley de control. Aquí se utilizará el método dellamado Capa Límite, para otras soluciones ver [DeCarlo, et al, 1988] [Peña, 1998][Urzua,2002][Kackroo, Tomizuka, 1996].El método de la Capa Límite indica que se debe establecer una delgada capa lñimite o capafrontera alrededor de la superficie deslizante, dentro de la cual se interpola la señal decontrol con lo cual se produce una aproximación continua de la misma, según se detalla en[Peña, 1998][Urzua, 2002] [Slot ine y Li, 1991][Cirera, 2000]. El ancho de la capa limite está íntimamente relacionado con los retardos de tiempo finito enlos actuadotes. Se define entonces la capa límite como:

{ }Φ≤⊥=Ω )()( x!xt ; (22)donde Φ es el espesor de la capa. En otras palabras, fuera de )(t Ω , se escoge la ley de

control propuesta en (17) que garantiza esta vecindad es una zona de atracción, entonces:todas las trayectorias dentro que parten dentro de )(t Ω se mantiene allí durante todo el

tiempo. Dentro de la vecindad, la acción de control es interpolada. Finalmente la nueva leyde control propuesta para reducir el chattering será :

[ ] [ ]))((),(),( 1 x!xSf xSB sat t t u ⋅+−= − η ; (23)

donde


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6

Φ

Φ>

=casootroen

x!

x!x!

x! )(

)())((

))((

sign

sat ;

(24)

El efecto de aproximar en forma continua el elemento discontinuo puede ser interpretadocomo la aplicación de un filtro pasa bajos a la dinámica de la variable )(x! . Claro está que

se tendrá una degradación en el control; sin embargo sigue siendo válido al pensar que aeste costo, se tiene un mayor grado de robustez.

EJEMPLO DE DISEÑOEn esta sección se presenta un ejemplo de aplicación de diseño de controladores por modosdeslizantes. Se presenta a nivel de simulación el desempeño de mismo.Suponga el sistema de levitación magnética como el de la figura 1:

)(t i

x

M

Fig. 1 Sistema de Levitación magnética.

Se desea que la esfera se ubique en una posición deseada d X , luego la dinámica de dicho

sistema esta dada por:

2

2

)(2 β

α

+−=

x M

I

g x

;

(25)

donde x es la posición de la esfera respecto al imán electromagnético, M es la masa de la

esfera, g es la aceleración de la gravedad, α , β son constantes positivas.

La representación en el espacio de estados tomando como variables de estado a x x =1 y

x x =2 está en la Forma canónica controlable:

2

2

1

2

2

1

)(2

0

u

x M g

x

x

x

+−+

=

β

α

;

(26.a)

d X x y −= 1 ; (26.b)

ahora se elige la superficie deslizante, que para nuestro caso tiene la formal:)()( 112 d X xs x −+=x! ; (27)

por otro lado:

=

g

xt

2),(xf ;

+−=

2

1 )(2

0

),(

β

α

x M

t xB ; [ ]11s=S

utilizando la relación (17) la ley de control por modos deslizantes es:

[ ]))(()(2

21

2

12 x!sign xsg x M

u η α

β ++

+= ;

(28)


7/12

7

Luego la ley de control real es:

[ ]))(()(2

21

2

1 x!sign xsg x M

u η α

β ++

+= ;

(29)

se debe tomar en cuenta en el diseño que el termino ))((21 x!sign xsg η ++ debe ser positivo.

Los datos del sistema para la simulación son presentados en la tabla 1.

Parámetro ValorMasa de la esfera 0.15

Gravedad 9.8

Constante a 5.6e-4

Constante b 5e-4

Los parámetros utilizados para el controlador son:

Parámetro Valor

Ganancia η 4

Pendiente 1s 4

Posición deseada d X 10[mm]

Condición Inicial ( )0(),0( 21 x x ) (0,0)

Los resultados de simulación se muestra en la figura 2

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0- 3

T ie m p o [ s e g ]

P o s i c i ó n [ m m ]

E r ro r d e P o s i c i ó n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1



C o m p o r t a m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1


C o r r i e n t e [ A m p ]

S e ñ a l d e c o n t ro l

0 5 1 0

x 1 0- 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X 1 : P o s i c i ó n

X 2 : V e l o c i d a d

R e t ra t o d e fa s e

Fig. 2 Resultados de la primera simulación

En la grafica superior izquierda se tiene el error de posición, el cual converge a cero. En lagráfica superior derecha se muestra el comportamiento de la posición deseada y la actual,

se ve cambios en la posición deseada de [ ]mm X d 10= a [ ]mm X d 12= . En la grafica inferiorizquierda se tiene la señal de control, la misma que cambia a una velocidad casi infinita,característica típica de los sistemas de control por modos deslizantes. En la grafica inferiorderecha se muestra el retrato de fase del sistema de lazo cerrado, la cual muestra como lastrayectorias se dirigen hacia la superficie deslizante.


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8

Ahora se tiene una segunda simulación, la misma trata de mostrar las característicasinvarianza ante incertidumbre en el modelo y perturbaciones externas, los resultados se venla figura 3. Primero se incluye una perturbación externa en segt 3= en la posición, luego la

masa de la esfera cambia en aproximadamente 30% de su valor, en segt 2.4= , finalmente

se tiene una segunda perturbación en segt 7= . La posición deseada cambia tal como se

indico en la primera simulación.

0 5 1 0

- 1 0

- 5

0

x 1 0- 3



E r r o r d e P o s i c i ó n

0 5 1 00

0 . 0 0 5

0 . 0 1



C o m p o r t a m i e n t o X d v s x 1

0 5 1 00

0 . 5

1



S e ñ a l d e c o n t r o l

0 5 1 0

x 1 0- 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6




Fig. 3 Resultados de invarianza e insensibil idad

En la grafica superior izquierda se muestra error de posición de la esfera, el cual converge acero. En la gráfica superior derecha se muestra el comportamiento de la posición deseada yla actual, claramente se observa las perturbaciones en la posición; aún así se cumple

objetivo de control. En la grafica inferior izquierda se tiene la señal de control, casi idéntica ala anterior condición. En la grafica inferior derecha se muestra el retrato de fase del sistemade lazo cerrado, la cual muestra como las trayectorias se dirigen hacia la superficiedeslizante.Se puede notar que una vez que el sistema ha alcanzado el régimen deslizante ( segt 5.1< ),

es insensible a variaciones en el modelo, pues aún cuando se ha modificado el valor de lamasa de la esfera, el sistema permanece en la superficie deslizante. La perturbacionesincluidas en el sistema, si bien sacan al sistema del modo deslizante, la dinámica de lasuperficie hace que nuevamente se dirija hacia ella, tal como se observa en la grafica inferiorderecha.

La ley de control cambia de un valor a otro a una velocidad casi infinita, por lo que serequeriría de un actuador bastante poderoso. La siguiente simulación trata de laaproximación de la función discontinua en una vecindad, de manera de suavizar la señal decontrol. El valor del espesor de la capa límite para este caso es 45.2 −=Φ e . Los resultados

se muestran en la figura 4.


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9

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0- 3




0 2 4 6 8

0

0 . 0 0 5

0 . 0 1



C o m p o r t a m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1




0 5 1 0

x 1 0- 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6




Fig. 4 Resultado de incluir una capa limite para el contro lador

En la grafica inferior izquierda se puede observar el comportamiento de la ley de control pormodos deslizante, esta ha sido efecto de incluir una capa límite, con el objetivo de aproximarel elemento discontinuo mediante una aproximación continua. Este objetivo ha sidocumplido, se debe notar que los actuadotes en este caso son casi ideales, de manera queno se presenta el efecto de chattering. La señal de control es suavizada mediante la capalímite.En la figura 5. se tiene el efecto de incluir en los actuadores retardos en la conmutación, ypese a la capa límite no se puede reducir el efecto de chattering. El retardo introducido en elactuador es de seg µ 100 y se mantiene el espesor de la capa límite.

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0- 3




0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1



C o m p o r ta m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 .5

1


C o r r i e n t e [ A m p

]

S e ñ a l d e c o n t r o l

0 5 1 0

x 1 0- 3

- 0 .0 4

- 0 .0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X1 : P o s i c i ó n


R e t r a t o d e f a s e

Fig. 5 Resultados de incluir retardos en el actuador


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10

Con el objetivo nuevamente de reducir el chattering, lo que se hace es aumentar el espesorde la capa límite a 45.3 −=Φ e . Con lo que se tiene los resultados en la figura 6

0 2 4 6 8

-1 0

-5

0

x 1 0- 3


P o s i c i ó n

[ m m ]

E rr o r d e P o s ic i ó n

0 2 4 6 80

0 . 0 0 5

0 . 0 1


P o s i c i ó n

[ m m ]

C o m p o rt a m ie n t o Xd vs x 1

0 2 4 6 80

0 . 5

1




0 5 1 0

x 1 0- 3

- 0 . 0 4

- 0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

X1 : P o s ic i ó n

X 2

: V e l o c i d a d

R e t r a t o d e f a s e

Fig. 6 Reducción del efecto chattering

Se observa que la señal de control ha sido suavizada, de manera que el actuador nopresenta oscilaciones de alta frecuencia.Los valores de Φ han sido tomados del comportamiento que tiene la superficie deslizante.

CONCLUSIONESEn este trabajo se presento el diseño del tipo mas general de controladores por modosdeslizantes.Los resultados de simulación muestran la factibilidad de dicho algoritmo de control, por surobustez e insensibilidad a variaciones del modelo, una vez que el sistema se encuentre enrégimen deslizante.Es necesario en la implementación del controlador suavizar la ley de control, esto se logramediante la capa límite. El espesor de la capa límite será elegido del comportamiento de lafunción discontinua. Se pudo observar los efectos que produce al utilizar actuadores reales,y el problema del chattering fue resuelto incrementando el espesor de la capa límite.El diseño de la superficie deslizante para el sistema de levitación magnética permitesatisfacer el objetivo de control planteado, que es la ubicación de la esfera en una posición

deseada. Esta superficie por sus características no está diseñada para cumplir conobjetivos de seguimiento de trayectoria, para ello se debe utilizar otra superficie deslizante yposiblemente otra función de conmutación, de manera de cumplir que la superficie secomporte como un atractor.Por supuesto no para todos los sistema de la forma (1) se puede hacer este diseñodirectamente, cuando los sistema no está en la forma canónica controlable, se debe utilizartransformación de coordenadas utilizando herramientas de geometría diferencial.Se ha supuesto para el ejemplo de aplicación, que el sistema no presenta ruidos demedición y que todos los estados son medibles.


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En el presente reporte se ha mostrado las características mas generales de los sistema decontrol por modos deslizantes. Queda pues pendiente por ejemplo el uso de herramientasde geometría diferencial, las propiedades para sistemas discretos, diseño de superficiesdeslizantes para sistemas multivariables, algoritmos de control para el seguimiento detrayectorias y observadores de estado.

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