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Diseño de controladores PID

Índice

1. Diseño de controladores PID utilizando reglas ya existentes 11.1. Ajuste de modelos de primer orden más tiempo muerto . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Respuesta de razón de asentamiento de un cuarto (Método de Ziegler y Nichols) . . 3

1.2.1. Método de la ganancia última . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Ajuste a través de modelo de primer orden más tiempo muerto . . . . . . . . 41.3. Ajuste mediante los criterios de error de integración mínimo . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1. Para rechazo de perturbaciones (control de regulación) . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Cambio en el punto de control (control de seguimiento) . . . . . . . . . . . . 6

2. Síntesis de controladores 6

1. Diseño de controladores PID utilizando reglas ya exis-tentes

Considere un sistema en el que la función de transferencia es G (s), el cual se desea controlarmediante retroalimentación con un controlador PID.

PID

+–

R C Gc(s) G(s)

La función de transferencia a lazo cerrado, para este sistema es

C (s)

R (s)=

Gc (s)G (s)

1 + Gc (s)G (s),

La respuesta en el tiempo para un controlador PID depende del error,

u (t) = K C e (t) + K C τ Dde (t)

dt +K C

τ I

t

Z 0

e (λ) dλ,

donde K C es la ganancia proporcional, τ D es el tiempo de derivación y τ I es el tiempo de integración.

Su función de transferencia es

GC (s) =u (s)

e (s)= K C

µ1 + τ Ds +

1

τ I s

¶.

El diseño, ajuste o sintonización del controlador consiste básicamente en calcular los valores adecua-

dos para K C , τ D y τ I de tal forma que la respuesta a lazo cerrado sea la deseada. A continuación

se presentan diversos método para el cálculo de dichos parámetros.

1



El diseño de los controladores por lo general se basa en dos técnicas, en la primera se dispone deuna función de transferencia G (s) la cual se obtiene a partir de balances o modelos teóricos, mientrasque en la segunda no se dispone de un modelo analítico por lo que se realizan pruebas al sistema(que pueden ser saltos en escalón o impulsos en las variables de entrada o en las perturbaciones)para a partir de la respuesta a justar a un modelo que puede ser de primer orden más tiempo muerto

o de segundo orden más tiempo muerto.

1.1. Ajuste de modelos de primer orden más tiempo muerto

Para un sistema en el que m (t) es una entrada y c (t) es la salida se puede efectuar una pruebaen escalón de donde se obtiene la siguiente curva de reacción:

en este caso se puede ajustar el comportamiento del sistema a un modelo de primer orden mástiempo muerto

Gm (s) =C (s)

M (s)=

Ke−st0

τ s + 1,

Si el salto en escalón para la entrada tiene la forma

m (t) = ½m0 si t ≤ 0

m∞

si t > 0

el comportamiento para c (t) para el modelo de primer orden más tiempo muerto es

c (t) = c0 + (m∞−m0) K

h1− e−(t−t0)/τ

i(1)

donde c0 es el valor inicial de c0. El valor final para c (t) es

lımt→∞

c (t) = c0 + (m∞−m0) K,

así que al definir∆m = m

∞−m0 y ∆cs = c (∞)− c0

la ganancia es igual a

K =∆cs∆

my la ecuación (1) es igual a c (t) = c0 +∆cs

£1− e−(t−t0)/τ

¤. Para encontrar los valores de τ y t0, se

puede analizar el comportamiento de c (t) en los instantes t1 y t2 en los que

t1 = t0 +1

3τ (2a)

t2 = t0 + τ (2b)

Entonces de acuerdo a (1) se tiene que

c (t1) = c0 +∆cs

³1− e−

1

3

´c (t2) = c0 +∆cs

¡1− e−1

¢

2



Figura 1: Curva de reacción para ajustar a un modelo de primer orden más tiempo muerto.

Así, se puede ver que leyendo la gráfica de la curva de reacción en los puntos

c (t1)− c0 = 0,283∆cs

c (t2)− c0 = 0,632∆cs

se encuentran t1 y t2 y mediante las ecuaciones (2) se obtiene que

τ =3

2(t2 − t1)

t0 = t2 − τ

1.2. Respuesta de razón de asentamiento de un cuarto (Método de Zieglery Nichols)

En los métodos de razón de asentamiento de un cuarto se calculan los parámetros K C , τ D y τ I

de tal forma que la razón de asentamiento a lazo cerrado para un sistema de control regulatorio ode seguimiento sea igual a un cuarto, es decir que B/C = 1/4.

y(t )

t

Respuesta de razón de asentamiento de un cuarto para regulación y seguimiento.

Respuesta de razón de asentamiento de un cuarto para regulación y seguimiento.

1.2.1. Método de la ganancia última

En este método los parámetros con los que se diseña el controlador son la ganancia última delsistema, K Cu, y el periodo último, T u, el cual es igual a

T u =2π

ωu,

3



Figura 2: Diagrama a lazo cerrado. El el control regulatorio la referencia, R (s), permanece constantemientras que existen disturbios (cambios en U (s)). En el control de seguimiento ocurren cambiosen la referencia, R (s).

donde ωu es la frecuencia última. En la siguiente tabla se presenta la forma de calcular los parámetrosdel controlador para obtener una razón de asentamiento de un cuarto.

Ganancia Tiempo de Tiempo deTipo de controlador proporcional integración derivación

K C τ I τ DProporcional P K Cu/2 – –Proporcional-Integral PI K Cu/2,2 T u/1,2 –Proporcional-Integral-Derivativo PID K Cu/1,7 T u/2 T u/8

1.2.2. Ajuste a través de modelo de primer orden más tiempo muerto

Si se realiza una prueba en escalón a la entrada de un proceso y los resultados obtenidos seajustan a un modelo de primer orden más tiempo muerto, es decir que se asume que el sistema sepuede describir por una función de transferencia de la forma

G (s) =Ke−st0

τ s + 1,

entonces a partir de los parámetros K , t0 y τ pueden servir para diseñar un controlador con unfactor de asentamiento de un cuarto. En la siguiente tabla se presenta como hacer el cálculo

Ganancia Tiempo de Tiempo deTipo de controlador proporcional integración derivación

K C τ I τ D

Proporcional P 1K

¡t0τ

¢−1

– –

Proporcional-Integral PI 0,9K

¡t0τ

¢−1

3,33t0 –

Proporcional-Integral-Derivativo PID 1,2

K ¡ t0τ ¢−1 2,0t0

1

2

t0

1.3. Ajuste mediante los criterios de error de integración mínimo

Una forma de diseñar controladores consiste en utilizan técnicas de control óptimo en donde elcálculo de los parámetros de controlador se calculan de tal forma que se minimiza una función. Porejemplo se pueden definir las funciones

Integral del valor absoluto del error (IAE)

IAE =

Z ∞

0

|e (t)| dt

4



Integral del cuadrado del error (ICE)

ICE =

Z ∞

0

e2 (t) dt

Integral del valor absoluto del error ponderado en tiempo (IAET)

IAET =

Z ∞

0

t |e (t)| dt

Integral del cuadrado del error ponderado en tiempo (ICET)

ICET =

Z ∞

0

te2 (t) dt

y el diseño del controlador se hacen de tal forma que se minimiza alguno de esto parámetros(IAE, ICE, IAET o ICET).

Para un modelo de primer orden más tiempo muerto, en los cuales t0/τ se encuentra entre elintervalo 0,1 < (t0/τ ) < 1, se han calculado los valores de los parámetros del controlador tanto para

rechazo de perturbaciones como para seguimiento.

1.3.1. Para rechazo de perturbaciones (control de regulación)

Modelo del proceso: G (s) = K τs+1e−st0

Control proporcional (P):GC (s) = K C

Integral del error ICE IAE IAET

K C = aK

¡t0τ

¢ba = 1,411 a = 0,902 a = 0,490b = −0,917 b = −0,985 b = −1,084

Control proporcional-integral (PI):

GC (s) = K C ³

1 +1τ Is

´Integral del error ICE IAE IAET

K C = a1K

¡t0τ

¢b1 a1 = 1,305 a1 = 0,984 a1 = 0,859b1 = −0,959 b1 = −0,986 b1 = −0,977

τ I = τ a2

¡t0τ

¢b2 a2 = 0,492 a2 = 0,608 a2 = 0,674

b2 = 0,739 b2 = 0,707 b2 = 0,680Control proporcional-integral-derivativo (PID):

GC (s) = K C

³1 + 1

τ Is+ τ Ds

´Integral del error ICE IAE IAET

K C = a1K

¡t0τ

¢b1 a1 = 1,495 a1 = 1,435 a1 = 1,357b1 = −0,945 b1 = −0,921 b1 = −0,947

τ I = τ a2¡t0

τ ¢b2

a2 = 1,101 a2 = 0,878 a2 = 0,842b2 = 0,771 b2 = 0,749 b2 = 0,738

τ D = a3τ ¡t0τ

¢b3 a3 = 0,560 a3 = 0,482 a3 = 0,381b3 = 1,006 b3 = 1,137 b3 = 0,995

5



1.3.2. Cambio en el punto de control (control de seguimiento)

Modelo del proceso: G (s) = K τs+1

e−st0

Control proporcional-integral (PI):

GC (s) = K C ³

1 + 1τ Is´

Integral del error IAE IAET

K C = a1K

¡t0τ

¢b1 a1 = 0,758 a1 = 0,586b1 = −0,861 b1 = −0,916

τ I = τ a2+b2(t0/τ )

a2 = 1,02 a2 = 1,03

b2 = −0,323 b2 = −0,165Control proporcional-integral-derivativo (PID):

GC (s) = K C

³1 + 1

τ Is+ τ Ds

´Integral del error IAE IAET

K C = a1K

¡t0τ

¢b1a1 = 1,086 a1 = 0,965b1 = −0,869 b1 = −0,855

τ I =τ

a2+b2(t0/τ ) a2 = 0,740 a2 = 0,796b2 = −0,130 b2 = −0,147

τ D = a3τ ¡t0τ

¢b3 a3 = 0,348 a3 = 0,308b3 = 0,914 b3 = 0,9292

2. Síntesis de controladores

Para un sistema con función de transferencia G (s), la función de transferencia a lazo cerrado es

G(s)Gc(s)+–

GLC (s) =Gc (s) G (s)

1 + Gc (s) G (s),

si se desea que la respuesta a lazo cerrado tenga una función de trasferencia Gr (s), entonces se debecumplir que

GLC (s) = Gr (s) =Gc (s) G (s)

1 + Gc (s) G (s),

por lo que el controlador se puede diseñar despejándo su función de transferencia ( Gc (s)) a partirde la función de transferencia a lazo cerrado.

Gc (s) =Gr (s)

G (s) [1−Gr

(s)]

Por ejemplo, para un sistema de segundo orden,

G (s) =K

τ 2s2 + 2τ ξs + 1,

si se desea tener una respuesta de primer orden

Gr (s) =1

τ rs + 1,

6



entonces el controlador debe tener la forma

Gc (s) =Gr (s)

G (s) [1−Gr (s)]

=

1τ rs+1

K τ 2s2+2τξs+1

³1− 1

τ rs+1

´

=τ 2s2 + 2τ ξs + 1

Kτ rs

=2τ ξ

Kτ r

µτ

2ξ s + 1 +

1

2τ ξs

¶

Dado que la función de transferencia de un controlador PID es igual a

Gc (s) = K c

µ1 + τ Ds +

1

τ I s

¶

se concluye que un controlador PID con

K c =2τ ξ

Kτ r, τ D =

τ

2ξ y τ I = 2τ ξ

produce comportamiento a lazo cerrado idéntico a Gr (s).

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