Controldigital 1
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INSTITUTO TECNOLGICO DE NUEVO LEN
CONTROL DIGITAL 1 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Introduccin
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CONTROL DIGITAL 2 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Introduccin
La figura representa un esquema clsico de control digital. La seal a controlar ty , es muestreada a travs de un convertidor analgico digital A/D y comparada con el valor de referencia (o set-point) nTr almacenado en una posicin de memoria de la computadora en la cual se implementa el controlador digital. La informacin que resulta de esta comparacin (seal de error discreta), es procesada por la
computadora, que mediante un algoritmo recursivo, genera una seal de manipulacin discreta nTu que es convertida en analgica a travs de un convertidor digital-analgico D/A. Esta secuencia de operaciones es realizada cada T segundos, siendo T el perodo de muestreo.
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CONTROL DIGITAL 3 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
La computadora en el control de procesos
COMPUTADORA COMO RECOLECTORA DE DATOS
CONTROL DIGITAL DIRECTO (DDC)
CONTROL SUPERVISORIO
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CONTROL DIGITAL 4 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
COMPUTADORA EN CONTROL JERARQUICO
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CONTROL DIGITAL 5 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Naturaleza de las seales discretas
Tipos de seales
Seal Continua Seal Cuantificada
Seal de Datos Muestreados Seal Digital Una seal analgica o Continua es una seal definida en un intervalo continuo de tiempo cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. Una seal en tiempo discreto es una seal definida slo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente t est cuantificada). Una seal de datos muestreados es aquella seal en que la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo. Una seal de datos muestreados se puede generar muestreando una seal analgica en valores discretos de tiempo. Una seal digital es una seal en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha seal se puede representar mediante una secuencia de nmeros, por ejemplo, en la forma de nmeros binarios. Tipo de seales Analgica, x(t): Amplitud y tiempo continuos Muestreada, xs[n]: Tiempo Discreto, Amplitud continua. Cuantizada xQ(t): : Tiempo Continuo, Amplitud discreta. Digital, xQ[n]: Tiempo y Amplitud discretos.
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CONTROL DIGITAL 6 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto. Los sistemas en tiempo continuo, cuyas seales son continuas en el tiempo, se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas en tiempo discreto, los cuales involucran seales de datos muestreados o seales digitales y posiblemente seales en tiempo continuo, se pueden describir mediante ecuaciones en diferencias despus de la apropiada discretizacin de las seales en tiempo continuo. Proceso de muestreo. El muestreo de seales en tiempo continuo reemplaza la seal en tiempo continuo por una secuencia de valores en puntos discretos de tiempo. El proceso de muestreo se emplea siempre que un sistema de control involucra un controlador digital, puesto que son necesarias una operacin de muestreo y una de cuantificacin para ingresar datos a ese controlador. El proceso de muestreo es seguido por un proceso de cuantificacin. En el proceso de cuantificacin, la amplitud analgica muestreada se reemplaza por una amplitud digital (representada mediante un nmero binario). Entonces la seal digital se procesa por medio de la computadora. La salida de la computadora es una seal muestreada que se alimenta a un circuito de retencin. La salida del circuito de retencin es una seal en tiempo continuo que se alimenta al actuador. Sistemas de control digital La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control digital que presenta la configuracin del esquema de control bsico. En el sistema se incluye el control realimentado y el prealimentado.
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CONTROL DIGITAL 7 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
La figura muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital. Mostrando las diferentes tipos de seales.
Diagrama de bloques de un sistema de control digital que muestra las diferentes tipos seales
La Salida de la planta es una seal en tiempo continuo. La seal de error se convierte a forma
digital mediante el circuito de muestreo y retencin y el convertidor analgico-digital. La
conversion se hace en el tiempo de muestreo. La computadora digital procesa las secuencias de
nmeros por medio de un algoritmo y produce nuevas secuencias de nmeros. En cada instante
de muestreo se debe convertir un nmero codificado (en general un nmero binario que consiste
en ocho o mas dgitos binarios) en una seal fsica de control, la cual normalmente es una seal
en tiempo continuo o analgica. El convertidor digital-analgico y el circuito de retencin
convierten la secuencia de nmeros en cdigo numrico a una seal continua por secciones. El
reloj en tiempo real de la computadora sincroniza los eventos. La salida del circuito de retencin,
una seal en tiempo continuo, se alimenta a la planta, ya sea de manera directa o a travs de un
actuador, para controlar su dinmica.
Muestreo o discretizacin es la operacin que transforma las seales en tiempo continuo en datos en tiempo discreto. Retencin de datos es la operacin que transforma datos en tiempo discreto en una seal de tiempo continuo. Muestreador retenedor es un circuito que recibe como entrada una seal analgica y mantiene dicha seal en un valor constante durante un tiempo especfico.
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CONTROL DIGITAL 8 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Convertidor analgico-digital (ADC). Un convertidor analgico-digital, tambin conocido como codificador, es un dispositivo que convierte una seal analgica en una seal digital, usualmente una seal codificada numricamente. Convertidor digital-analgico (DAC). Un convertidor digital-analgico, tambin denominado decodificador, es un dispositivo que convierte una seal digital (datos codificados numricamente) en una serial analgica. Planta o Proceso. Es cualquier objeto fsico a ser controlado Transductor. Es un dispositivo que convierte una seal de entrada en una seal de salida de naturaleza diferente. Cuantificacin. Es la transformacin de una seal continua en un conjunto de estados discretos. Codificacin de la amplitud. El proceso de representar una seal continua mediante un nmero finito de estados discretos. Codificacin. Es el proceso de representar el valor de una muestra mediante un cdigo numrico. Cuantificacin: Es el proceso de representar una seal continua mediante un nmero finito de estados discretos. Nivel de cuantificacin Q se define como el intervalo entre dos puntos adyacentes de decisin.
n
FSRQ
2
FSR es el intervalo a escala completa
n
FSRLSB
2
El bit menos significativo es el nivel de cuantificacin Puesto que el nmero de bits en la palabra digital es finito, la conversin A/D da como resultado una resolucin finita. Esto es, la salida digital puede solamente adoptar un nmero finito de niveles y por lo tanto un nmero analgico se debe redondear al nivel digital ms cercano, por consiguiente toda conversin A/D involucra un error de cuantificacin, dicho error de cuantificacin vara entre 0 y Q.
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CONTROL DIGITAL 9 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
bitsn 8 2562 n para FSR=10 25610
bitsn 10 10242 n 102410
bitsn 12 40962 n 409610
Sistemas de adquisicin, conversin y distribucin de datos
Los sistemas de adquisicin de datos como los de distribucin se han convertido en una parte importante de todo sistema de control. La conversin de seales que tiene lugar en el sistema de control digital involucra las siguientes operaciones:
1. Multiplexacin y demultiplexacin 2. Muestreo y retencin 3. Conversin analgico-digital (cuantificacin y codificacin) 4. Conversin digital-analgico (decodificacin)
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CONTROL DIGITAL 10 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Diagrama de bloques de un sistema de adquisicin de datos
Diagrama de bloques de un sistema de distribucin de datos
Tipos de convertidores analgico-digital El convertidor A/D ejecuta las operaciones de muestreo y retencin, cuantificacin y codificacin En un sistema digital un reloj genera un pulso cada perodo de muestreo T y el convertidor A/D enva una seal digital (nmero binario) al controlador digital cada vez que el pulso llega. Tipo de convertidores A/D ms comunes:
1. Tipo aproximaciones sucesivas 2. Tipo integracin 3. Tipo contador 4. Tipo paralelo
Cada tipo tiene sus ventajas y desventajas. En cualquier aplicacin particular la velocidad de conversin, precisin, longitud de palabra y el costo son las principales factores a considerar en la eleccin del tipo de convertidor A/D. El convertidor A/D tipo aproximaciones sucesivas es uno de los ms rpidos.
Diagrama esquemtico de un convertidor del tipo de aproximaciones sucesivas
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Errores en convertidores A/D Los convertidores A/D reales difieren de los convertidores ideales en que los primeros siempre tienen algunos errores tales como errores de nivel, de linealidad y de ganancia. Tambin las caractersticas entrada-salida cambian con el tiempo y con la temperatura.
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CONTROL DIGITAL 12 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Procesos de muestreo Representacin matemtica de un muestreador.
La salida del muestreador es un tren de impulsos cuyas magnitudes son numricamente iguales a los valores de la funcin continua en los respectivos instantes de muestreo.
ttXtX T*
Para representar un muestreador matemticamente es necesario representar un tren de impulsos
unitarios, tT
0k
TT kTtt
t es la funcin impulso unitario en 0t kTt es la funcin impulso unitario en kTt
Por lo tanto
0
*
k
kTttXtX
Como la funcin kTt es cero en cualquier valor de t excepto en kTt , solamente los valores de tx necesarios son los que suceden en kTt . Esto nos da
0
*
k
kTtkTXtX
Transformando en Laplace
0
**
k
kTsekTXsxtx
Entrada Continua
Salida Muestreada
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CONTROL DIGITAL 13 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Funcin de transferencia de un retenedor de orden cero La funcin del dispositivo retenedor es la de reconstruir la seal continua a partir de los datos discretos. El esquema del dispositivo retenedor es mostrado en la figura
El dispositivo retenedor convierte la seal de entrada de impulsos a una seal continua por extrapolacin de los impulsos de entrada, tal que la seal de entrada pueda ser aproximadamente reproducido. La funcin del tiempo extrapolada entre dos instantes de muestreos consecutivos kT y (k+1)T depende de los valores en los instantes de muestreo precedentes kT, (k-1)T, (k-2)T, y puede generalmente ser descrito por una expansin en series de potencia de la salida entre el intervalo t=kT y t=(k+1)T, si y(t) es la salida y yk(t) es el valor entre los instantes de muestreo kT y (k+1)T.
Esto es: tytyk TktkT 1
nn
k kTtn
kTykTt
kTykTtkTykTyty
!!2
22
1
Donde
tyk es el valor de ty en kTt
nTyn es el valor de la n-esima derivada de ty evaluada en kTt Cuando un dispositivo retenedor aproxima la funcin del tiempo entre dos instantes de muestreo consecutivos por un polinomio de orden cero, es referido como un retenedor de orden cero.
kTytyk TktkT 1 Cuando un dispositivo retenedor aproxima la funcin del tiempo entre dos instantes de muestreo consecutivos por un polinomio de primer orden, es referido como un retenedor de primer orden.
kTtkTykTytyk 1
T
TkykTykTy
11
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CONTROL DIGITAL 14 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Esquema de un retenedor de orden cero
Para el primer intervalo
Durante el primer intervalo de tiempo la salida del retenedor de orden cero puede ser expresado como
Para el segundo intervalo
Para el segundo intervalo de tiempo la salida sera
tM 0
tx
ty
0M
TtutuMty 0
tx
TtM 1
tMtx 00
TtMtx 11
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CONTROL DIGITAL 15 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Por lo que el tren de impulsos de entrada puede ser expresado por
kTtMtxk
k
0
Y la salida por
0
1k
k TktukTtuMty
Transformando en Laplace
kTsk
keMsX
0
0
1
k
TskkTs
ks
e
s
eMsY
0
11
k
TskTsk eeM
ssY
0
1
k
kTsk
Ts
eMs
esY
sXs
esY
Ts
1
ty
1M
TtuTtuMty 21
s
e Ts1
sX sY
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CONTROL DIGITAL 16 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Funcin pulso transferencia Representacin en series de Fourier complejas de un muestreador
La salida muestreada est relacionada con la entrada continua por la expresin
txttx T
k
T kTtt
Expresndola en series de Fourier complejas
k
tjkkT
seCt
Donde muestreo de frecuencias
Ts
2
Los coeficientes de Fourier estn dado por
2
2
1 T
T
s dtetT
Ctjk
Tk
2
2
1 T
T
s dtkTteT
Ck
tjkk
2
2
2
2
2
2 1
1111 T
T
s
T
T
s
T
T
s dtkTteT
dtteT
dtkTteT
Ck
tjktjk
k
tjkk
T
eT
dtteT
Ct
tjktjkk
s
T
T
s111
0
2
2
Sustituyendo en la expresin anterior
k
tjkT
seT
t
1
k
tjk setxT
tx1
Entrada contina Salida muestreada
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CONTROL DIGITAL 17 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
k
sjksXT
sX 1
Desarrollo de la funcin pulso-transferencia
sGsXsY
sss jksGjksXjksY
Por analoga
k
sjksYT
sY 1
sk
s jksXjksGT
sY
1
Pero
sjksX tjk setx
t
Tjk
etx
2
Para kTt
sjksX 22 kjetx
Pero
12sen2cos 2222
kjke kj
Entonces
sjksX sXtx
k
s
k
s jksGT
sXsXjksGT
sY 11
Por analoga
sGsXsY zGzXzY
zXzY
zG
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CONTROL DIGITAL 18 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Frecuencia de muestreo Consideraciones sobre la frecuencia de muestreo mnima en sistemas de control de datos muestreados. Si la frecuencia de muestreo se aproxima a infinito el funcionamiento del sistema de datos muestreados se aproxima a un sistema continuo. Por otro lado, si la frecuencia de muestreo es pequea el funcionamiento del lazo de control ser inaceptable. Sin embargo entre esos extremos hay un rango de muestreo mnimo requerido para recuperar la seal original. Para ilustrar la necesidad del rango mnimo, empezaremos con el diagrama esquemtico del muestreador seguido por un circuito retenedor.
La seal continua tx es muestreada cada T segundos. El circuito retenedor reconstruye la seal
continua ty del tren de impulsos tx . Considere una seal tx que tiene un espectrum de frecuencia de amplitud
Tal seal est limitada por una banda, esto significa que jG es cero para toda c y
c . El conocimiento de jx para cada valor de es equivalente al conocimiento de tx para cada valor de t .
El tren de impulsos tx puede ser expresado en el dominio de la frecuencia como
k
skjxT
jx 1
Donde Ts 2 muestreo de frecuencia
El espectrum de frecuencia de amplitud del tren de impulsos es
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CONTROL DIGITAL 19 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Note de la figura que 2sc (la frecuencia de muestreo es mayor que dos veces la frecuencia
ms alta de la seal de entrada).
El espectrum de amplitud del tren de impulsos jx consiste en un nmero infinito de
espectras cada uno idntico al de la seal jx pero reducido en amplitud por un factor T1 .
De esta figura vemos que si nosotros reconstruimos ty de tx tal que ty tiene informacin suficiente originalmente contenida en tx , entonces deberemos de eliminar las bandas secundarias.
Qu pasa cuando tx es pasado a travs de un circuito retenedor.
Si seleccionamos un circuito retenedor teniendo un espectrum de amplitud como se muestra en la
figura.
Se puede ver que este circuito actuar igual a un filtro, permite que la frecuencia contenida del
espectro pase a travs de el sin atenuacin para c pero el filtro eliminar completamente la
frecuencia contenida para c .
No es posible construir un dispositivo fsico con ese espectrum de amplitud. Los filtros prcticos
solo pueden aproximar el funcionamiento del filtro ideal.
Si la frecuencia de muestreo es menor que dos veces la frecuencia ms alta de la seal continua
cs 2 como se muestra en la figura.
jGh0
c c
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CONTROL DIGITAL 20 M.C. JOS MANUEL ROCHA NEZ
Cuando se muestrea esta seal obtenemos un nmero infinito de espectras como se muestra en la figura
En este caso, puesto que 2sc una parte del espectrum en el intervalo cs 2 traslapa
al espectrum de la banda adyacente, se puede ver que si incluso usamos el filtro ideal, no seremos
capaz de reconstruir la seal original del espectrum de salida. En este caso ser imposible
reconstruir toda la informacin contenida en la seal original.
Teorema de muestreo de Shannons
Si una seal no contiene una frecuencia ms grande que segradc / es completamente caracterizada por el valor de la seal medida en los instantes de tiempo separados por cT
jx