8/19/2019 Convergencia en Probabilidad y Casi Segura (1)

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Convergencia

Carlos Pérez

Olivia LópezCarlos González

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Relación entre los distintos tipos deconvergencia

Distribución

Probabilidad

Probabilidad 1Error MedioCuadrado

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Convergencia en probabilidad 1 o casi segura

• na sucesión de variables aleatorias !"n#$ converge con

probabilidad 1$ o de %or&a casi segura$ a una variablealeatoria " '(ue puede ser una constante C) cuando secu&ple (ue*

• Por lo (ue se interpreta (ue cuando la probabilidad de (ueen el l+&ite la sucesión de variables aleatorias , a(uella a la(ue converge sean iguales$ es uno-

•  

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Convergencia enprobabilidad

• Es a(uella (ue a &edida (ue n o el ta&a/o de la &uestraau&enta$ la variable aleatoria va to&ando valores cercanosa una constante c con &a,or probabilidad-

• na sucesión de variables aleatorias "n converge en

probabilidad a una constante c si*

• Para cual(uier $ ta&bién escrito co&o -

• 0a de tenerse en cuenta en este caso (ue la sucesión sólo

i&plica a la sucesión de las probabilidades de los sucesos ,no a las variables en sentido &ate&ático

•  

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Convergencia en &edia

cuadráticana sucesión de variables aleatorias  X 1, X 2$converge en &edia cuadrática a una variablealeatoria " '(ue puede ser una constante 2) cuandose cu&ple*

3e escribe

 4 lo interpreta&os co&o* la dispersión de lasucesión de variables aleatorias$ to&ando co&oorigen a(uella variable a la (ue converge$ es 5-

0])[(lim

  2

=−∞→  x x E  nn

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Convergencia endistribución

• na secuencia de variables aleatorias  X 1, X 2$ se diceconverge en distribución a la variable aleatoria X  si

F n  , F   son %unciones de distribución acu&ulada de lasvariables aleatorias X n , X -

Para esta convergencia solo se necesita conocer ladistribución de probabilidad$ no as+ sus variablesaleatorias-

limn→∞

F n

( x ) = F ( x )   x ∈ R

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Convergencia endistribución

• El teore&a de li&ite central$ es un teore&aacerca de la convergencia en distribución-

• Donde L X   es la le, 'distribución de probabilidad)de "- Por e6e&plo$ si " es estándar nor&alpode&os escribir*

 X n→

d 

 X    X n→D

 X X n→

L

 X 

 X n→

d 

L X 

 X n⇒ X    L X n( )→L X ( )

 X n→

d 

N(0,1)

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• La convergencia en &edia cuadrática i&plica la convergencia enprobabilidad $ no siendo cierto 'general&ente) elco&porta&iento inverso *

•   Luego

•

 •   La convergencia casi segura i&plica la convergencia en

probabilidad $ no siendo cierto 'general&ente) elplantea&iento inverso *

•   Luego

•

 •   La convergencia en probabilidad i&plica la convergencia

en distribución $ no siendo cierto 'general&ente) elplantea&iento contrario *

•   Luego

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Relación entre los distintos tipos deconvergencia

Distribución

Probabilidad

Probabilidad 1Error MedioCuadrado

Es(ue&ática&ente (uedar+a *