Convolucion

ConvoluciónConvolución

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Respuesta a ImpulsoRespuesta a Impulso

Cualquier señal puede ser Cualquier señal puede ser descompuesta en impulsosdescompuesta en impulsos

Un impulso es una señal compuesta Un impulso es una señal compuesta de ceros excepto en un punto en que de ceros excepto en un punto en que tiene un valor no cerotiene un valor no cero

Un impulso normalizado o impulso Un impulso normalizado o impulso unitario tiene el valor de uno en la unitario tiene el valor de uno en la muestra 0, se representa con muestra 0, se representa con [n]. [n].


La respuesta a impulso es como un La respuesta a impulso es como un sistema responde su entrada es sistema responde su entrada es alimentada con un impulso unitarioalimentada con un impulso unitario

SistemaLineal

ImpulsoUnitario

RespuestaImpulso


Si dos sistemas son diferentes de Si dos sistemas son diferentes de alguna manera, tendrán diferente alguna manera, tendrán diferente respuesta a impulsorespuesta a impulso

La respuesta impulso se representa La respuesta impulso se representa con h[n]con h[n]


Cualquier impulso puede ser Cualquier impulso puede ser representado por un impulso unitario representado por un impulso unitario desplazado y escaladodesplazado y escalado

44[n-5] es un impulso cuya muestra [n-5] es un impulso cuya muestra número 5 tiene un valor de 4 y el número 5 tiene un valor de 4 y el resto de muestras valen 0resto de muestras valen 0


Si sabemos que la respuesta a Si sabemos que la respuesta a impulso de un sistema lineal es h[n], impulso de un sistema lineal es h[n], ¿cual será la salida si la entrada es ¿cual será la salida si la entrada es bb[n-a]?[n-a]?

¿Porqué?¿Porqué?


La salida sería bh[n-a]La salida sería bh[n-a] Porque aplicamos las propiedades de Porque aplicamos las propiedades de

homogeneidad e invariabilidad en el homogeneidad e invariabilidad en el tiempo tiempo

b[n-a] bh[n-a]


• Si una función puede ser descompuesta en Si una función puede ser descompuesta en impulsos, impulsos,

• Si la respuesta a cualquier impulso es la Si la respuesta a cualquier impulso es la respuesta al impulso unitario desplazada y respuesta al impulso unitario desplazada y escalada yescalada y

• Si la sumando las componentes de salida Si la sumando las componentes de salida puedo obtener la salida totalpuedo obtener la salida total

Entonces si conocemos la respuesta a Entonces si conocemos la respuesta a impulso... ¡¡¡Lo conocemos todo sobre el impulso... ¡¡¡Lo conocemos todo sobre el sistema!!!sistema!!!

Porque podemos saber la repuesta del Porque podemos saber la repuesta del sistema a cualquier señalsistema a cualquier señal


Es una operación matemática en la Es una operación matemática en la cual tomamos dos señales y cual tomamos dos señales y producimos una terceraproducimos una tercera

De la misma manera que en De la misma manera que en multiplicación tomamos dos número multiplicación tomamos dos número y producimos un terceroy producimos un tercero


En sistemas lineales, la convolución En sistemas lineales, la convolución brinda una manera de relacionar 3 brinda una manera de relacionar 3 señales: la señal de entrada, la señales: la señal de entrada, la respuesta a impulso y la señal de respuesta a impulso y la señal de salidasalida

La señal de entrada convolucionada La señal de entrada convolucionada con la respuesta a impulso es igual a con la respuesta a impulso es igual a la señal de salidala señal de salida

La convolución se representa con *La convolución se representa con *


Ahora que sabemos que representa Ahora que sabemos que representa la convolución en sistemas lineales la convolución en sistemas lineales vamos a ver como se calculavamos a ver como se calcula

Hay dos formas de verlo, desde la Hay dos formas de verlo, desde la entrada o desde la salidaentrada o desde la salida

El primero nos permite ver de una El primero nos permite ver de una manera conceptual la convolución, el manera conceptual la convolución, el otro es la definición matemáticaotro es la definición matemática

Algoritmo desde la EntradaAlgoritmo desde la Entrada

Usamos el mismo concepto de Usamos el mismo concepto de descomposición en impulsosdescomposición en impulsos

Tomamos cada muestra y la vamos Tomamos cada muestra y la vamos pasando por el sistemapasando por el sistema

Al final sumamos todas las salidasAl final sumamos todas las salidas Asi obtenemos la salida total, o sea Asi obtenemos la salida total, o sea

la covolución de la entrada con la la covolución de la entrada con la respuesta a impulsorespuesta a impulso


Se puede pensar como que cada Se puede pensar como que cada punto en la entrada contribuye a punto en la entrada contribuye a varios puntos en la salidavarios puntos en la salida

Siempre vamos a tener N + M Siempre vamos a tener N + M muestras en la salidamuestras en la salida

Algoritmo desde la SalidaAlgoritmo desde la Salida

En el anterior punto de vista, vemos como En el anterior punto de vista, vemos como una muestra en la entrada contribuye a la una muestra en la entrada contribuye a la salidasalida

Ahora veremos lo contrario, veremos Ahora veremos lo contrario, veremos como cada muestra en la salida es como cada muestra en la salida es influenciada por varias muestras en la influenciada por varias muestras en la entradaentrada

Hacemos esto porque matemática y Hacemos esto porque matemática y computacionalmente es la forma computacionalmente es la forma tradicional de resolver problemastradicional de resolver problemas


Viendo el ejemplo anterior para Viendo el ejemplo anterior para saber cuanto vale y[6] tenemos que saber cuanto vale y[6] tenemos que ver muestras en la entrada producen ver muestras en la entrada producen valores no cero en y[6]valores no cero en y[6]

y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0]6]h[0]

Para verlo mejor usaremos la Para verlo mejor usaremos la “máquina de convolución”“máquina de convolución”

Alg

oritm

o de

sde

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itmo

desd

e la

Sal

ida


Vemos que para los extremos Vemos que para los extremos tenemos que rellenar la señal de tenemos que rellenar la señal de entrada con 0sentrada con 0s

Los puntos iniciales y finales Los puntos iniciales y finales contienen menos información que los contienen menos información que los puntos intermediospuntos intermedios

Se dice que la respuesta a impulso Se dice que la respuesta a impulso no esta totalmente inmersa en la no esta totalmente inmersa en la señal de entradaseñal de entrada


Es por eso que en una señal Es por eso que en una señal convolucionada generalmente convolucionada generalmente descartamos el primer y último descartamos el primer y último pedazopedazo

Definición MatemáticaDefinición Matemática

Si transladamos a una fórmula el Si transladamos a una fórmula el funcionamiento de la “maquina” funcionamiento de la “maquina” tenemostenemos

1

0

][][][M

j

jixjhiy


Esta sumatoria se conoce como Esta sumatoria se conoce como suma de convolución o simplemente suma de convolución o simplemente como convolucióncomo convolución

Cada punto en la salida puede ser Cada punto en la salida puede ser calculado independientementecalculado independientemente


En pocas palabras podemos decir En pocas palabras podemos decir que convolución en el ambito digital que convolución en el ambito digital es multiplicar cada muestra de la es multiplicar cada muestra de la primera señal por toda la segunda primera señal por toda la segunda señal y luego sumar todos esos señal y luego sumar todos esos resultados resultados

1

0

][][][M

j

jixjhiy


En el ambito continuo seguimos el En el ambito continuo seguimos el mismo razonamiento. Multiplicamos mismo razonamiento. Multiplicamos cada punto de una primera señal por cada punto de una primera señal por toda la segunda señal y luego toda la segunda señal y luego sumamos.sumamos.

En continuo cuando queremos sumar En continuo cuando queremos sumar todos los puntos usamos una integraltodos los puntos usamos una integral


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