(orreccin de la inclinadn dede suspens

Esquema del mtodo

-A. grandes rasgos, el mtodo de determinacin

de los puntos de engrape del conductor a fin de

lograr la verticalidad de las cadenas de suspen-

sin, se basa en la resolucin de las ecuaciones que

ligan los estados de equilibrio del cable sobre po-

leas y sobre grapas. El proceso se ha desarrolladoen tres etapas:

1.11: Determinacin de las tracciones horizon-

tales del conductor sobre poleas para todos los

vanos de la serie, a 150 C. Se ha elegido esta tem-

peratura por considerar que es la media anual ms

frecuente en nuestro pas, con lo cual las cadenas

permanecern verticales durante la mayor parte

del ao. Pequeas diferencias de temperatura no

descompensan sensiblemente dicha verticalidad.

2.11: Clculo de las flechas del conductor sobre

poleas, a la temperatura de regulado.

3.a: Determinacin de los puntos de engrape.

Para poder calcular los valores citados se preci-san los siguientes datos, que normalmente deben

figurar en el Proyecto de la linea:

Geometra de la lnea (vanos y desniveles).

Grfico de tensiones del conductor engrapado,

en funcin del vano regulador y la temperatura.

Para aplicar el mtodo en obra hay que regularel conductor sobre poleas, de acuerdo con las tablas

de flechas citadas. Se debe proceder luego a mar-

car sobre el conductor todos los puntos de engrape,

tras lo cual hay que efectuar el engrapado de la

serie. Debe insistirse en el hecho de que no hay que

efectuar el marcaje y engrapado simultneamente

en cada apoyo, sino que hay que realizar, en pri-

mer lugar, el marcaje completo de la serie, y des-

pus, el engrapado completo.

4. Leyes de recurrencia entre las tracciones delconductor sobre poleas

4.1. Ley gr e recurrencia.

La suma de las componentes verticales (le la

traccin en amibos extremos de un vano equivale

al peso del conductor en l contenido. , en otras

palabras, la resultante de las reacciones de los

apoyos que limitan un vano, sobre el conductor

de dicho vano, equilibra al peso del mismo. Segn

ello, el polgono funicular correspondiente al equi-

librio sobre poleas del conductor del vano i ser el

tringulo de trazo grueso de la figura, en el cual

mi es paralela al segmento bi, que une los extremos

del vano. Por tanto, se puede construir el diagrama

de tracciones de toda la serie a partir de un

valor conocido Mi, sin ms que situar ordenadasucesivamente todos los segmentos Pb, sobre kiii,i

pb

Fig. 1

recta vertical, trazar por el punto medio (le cada

uno de ellos una semirreeta paralela a bi y 11cm ^^r

sobre ella el valor de M. Con ello queda determi-

nado el polgono funicular correspondiente ii

vano i, y girando los vectores Ti y Ti -1 1, seg

se indica en la figura, hasta que corten a las senni-

rreetas paralelas a las bi _ , Y bi -1- , de los vano:

contiguos, se construyen los funiculares de dicho-

vanos. Aplicando reiteradamente el proeedimient o

indicado, se completa el diagrama de la serie.

4.2. Ley analtica de recurrencia

En virtud de que la diferencia entre los valore-

absolutos de las tracciones del cable en dos puntos

de una misma catenaria equivale al peso de una

longitud de conductor igual a la diferencia de cotas

entre dichos puntos, se cumplirn las relaciones:

==Ti = Mi -1 p2

ci

p .j -'-2 =T-,

Fig. 2

ci_1 I

2

DYNA N.' 11 - NOVIEMBRE 1968 528

Mk=M1+p

1

p=a4 b H

Si interesase la ley de recurrencia de las traccio-nes horizontales, bastara con hacer.

bimi = Hi --

a

En^rigor, ,fi deberan ser los valores de las flechasdel conductor sobre poleas a la temperatura de

j ^^gulado. Pero atendiendo a la notable simplifi-

acin y pequeo error que ello introduce, pueden

utilizarse en su lugar los valores de las flechas delunductor engrapado a 150 C.

Ecuacin que liga los valores de las traccionesdel conductor sobre poleas y engrapado

El valor de 11 y los n valores de las Mi deben

cumplir la ecuacin que expresa que la longitud

i7atural del conductor de la serie sea la misma, se

halle sobre poleas o engrapado. Se entiende por

longitud natural la que posee el cable, a una de-

1-,rminada temperatura, sin estar sometido a trae-

in, es decir, una vez deducida la deformacin

elstica debida al estado tensional en que se halle.

u expresin es, de acuerdo con la simbologauloptada,

L=b-24bH2 ES

bien, si se prefiere,

L=bp2 a2 b a M

24M2 ES

As pues, la ecuacin buscada es, suponiendo que

1 inclinarse las cadenas se producen variaciones

)reciables en los valores de

p 2

24 1-12

P2

24

n

n

ai''

ci 4- ck

H

bi ES

ai4

bi Hi2

N.' 11 - NOVIEMBRE 1968

n

ti

En el caso de existir pequeas diferencias de

tracciones entre el estado del conductor sobre po-

leas y engrapado (lneas con vanos poco desnive-

lados, o de longitudes no muy dispares), se puede

prescindir de la diferencia de deformaciones els-ticas entre ambos estados , con lo que la ecuacin se

reduce a

0i4

bi Hi2

n

H =n

bi Hi2

4o bien

que expresa que la suma de los excesos de longitud

de conductor sobre la luz del vano sea invariableal ser pasado de poleas a grapas.

Determinacin de las tracciones del conductorsobre poleas

El problema est determinado, pues para deter-

minar los n valores de las Hi, supuesto conocido

el valor de H, que debe constar en el proyecto de

la lnea, se cuenta con las n - 1 ecuaciones de

recurrencia dadas en el apartado 4, y con la ecua-

cin general indicada en el S.O. No obstante, salvo

en los casos particulares muy sencillos, no resulia

posible resolver el sistema de un modo directo,

debiendo proceder por iteracin.

Para ello se debe elegir un vano base entre todos

los de la serie, en el cual deber cumplirse que la

diferencia de tracciones del conductor sobre poleas

y engrapado sea la menor posible. Conviene tomar

como base un vano situado a una altura intermedia

entre las del ms elevado y el ms bajo de la serie

y de una longitud parecida -a la del vano medio

regulador, ya que, segn suele expresarse vulgar-

mente en el lenguaje de lneas, el vano bajo se

come al alto, y el grande se come al chico.

El proceso a seguir es el siguiente:

Se elige, segn se ha indicado, el vano base,

asignando en el mismo a la traccin horizontal del

conductor sobre poleas a 150 C un valor Hk elegido

a sentimiento (se recomienda tomar Hk = H a

150 C).

A partir del valor de Hk se determinan, por cual-

quiera de los procedimientos apuntados en el

529

apartado 4, los valores de Hl H2 ...... Ha.

Estos valores no sern los de las tracciones a 150 y

sobre poleas, ya que se ha partido de una estima-

cin del valor HI,. Puede elegirse ahora entre dos

caminos:

1.0 Mediante los Hi as calculados se determina,

con las ecuaciones del apartado 5.0, el valor H' de

la traccin horizontal que tendra el conductor de

la serie a 150, engrapado, en la hiptesis de partida

as estimada. Este valor de H' ser, en general,

distinto del real H previsto, en cuyo caso se deber

repetir todo el proceso partiendo un nuevo valor

o si se prefiere

H'k = 1-11, H - H'

H'k =H'

Se obtendr as otra traccin 1I"; si se cumple

que H" H, las tracciones reales a 150 del conduc-

tor sobre poleas sern las ya determinadas a par-

tir de H'1,. En caso contrario, debe volverse a re-

petir el proceso cuantas veces sea necesario, hasta

llegar a un valor H`m) = H, indicativo de que la

ltima serie obtenida de valores de las Ti es la

correcta.

2.0 La ecuacin general dada en el apartado 5

lnaede ser escrita en la forma

tais

bt

Irp '-t aia

24 bi Hi'1 1

i --

El valor de F depende de una sola variable in-

dependiente Hk (traccin asignada al vano base),

ya que todas las dems Hi dependen de Hl, a tra-vs de las relaciones dadas en 4.2.

El valor Hk ser correcto cuando se cumplaque F = 0.

En caso contrario, el nuevo valor buscado ser

rH = Hk dHa,

l;

cumpliendo dHk la relacin

en la cual:

dF

d H 1

aF

a I3i

dFF + --dHk=O

d 1111

y segn se deduce de 4.2.

d iii al blc

d Hk al, bi

En resumen, se calcular dHl, a partir de la sr"laein anterior, haciendo

n

bi

ES

p' aid

12 bi Hi'

ni

bi

7. Clculo de las flechas de regulado sobre polea,

Existen numerosas expresiones que dan el valordo de la flecha. Se recomiendan espe-

e, por su sencillez y precisin. las doses:

pai b

811

para vanos moderados

pai b P^ a,1

8 Hi 18 Hi-

para vanos de gran longitud.

En estas ecuaciones, sin embargo, Hi debe ser

el valor (le la traccin a la temperatura de regulados

mientras que en el captulo anterior han sido cal-

culadas las if para t = 150 C. Se puede, por un

sencillo procedimiento, hallar las Hi a cualquier

temperatura, sin necesidad de plantear la vena-

cin de cambio de condiciones para cada vano en.

que interese conocer la flecha.

En efecto, se sabe que todos los vanos de la serie

obedecen a una misma ecuacin de cambio de

condiciones, que, expresada como ecuacin di-

tensado, adopta la forma

A-- BH + C

Hr

en que solamente C depende de la traccin asignada

al conductor en las hiptesis de partida. Si el es-

tado de tense del conductor sobre poleas es otro

distinto, ello equivaldr a haber partido de otra

ecuacin de cambio de condiciones.

Y, DF dHi A=_-+BHi- C'

a Hi dHk Hi t

p2 ai4 bi cuya curva representativa sera la correspondiente

12 bi Hi' ES a los valores de H, pero desplazada paralelamente

nI1 :-1

ES1

1 DYNA N.- 11 - NOVIEMBRE 1968 530

isma en la direccin del eje de temperatura

adas) en un valor C - C.

o se conoce un punto de paso de esta nuevatiur (el correspondiente a IHi a 150), queda de-

raJnada la misma y sobre ella puede hallarse el

Por tanto, en el centro del vano i el cable se

habr elevado en la siguiente magnitud:

di- + di"+,

41

3.0 La longitud efectiva de la cadena es mayor

con polea que con grapa, exceso al que designa-

remos e.

Resumiendo :La correcin de flecha, es decir, el valor que hay

que sumar a la flecha sobre grapas para obtener la

flecha sobre poleas, es:

15CI-Ii di-;-, - di

dfi=fi 11 ----- 2FIdi2

;- di2

41

Fig. 3

calcularse para cada vano el valor

se efectuar el proceso arialiticiuiicnte,

etor engrapado, diferencia duda i

1 conductor sobre poleas menos la flecha

ha corres pondien

aalquier temperatura, coa el que se

P2

48 112-t -

'Ti

II

valor es el que debe ser sumado a la flecha

aductor engrapado para poder flechar sobre

leo obstante hay que efectuar tres corree-

ms :Al inclinarse las cadenas, el vano pasa del

ti al nuevo calor al + di _1 1 -- di (ver liga-

lo que producir un incremento de flecha

por

-fial

adamente

2 1

i + di s- , - di

2fi-- di

al

li'',l punto de apoyo del cable sobre la polea

entra a mayor altura en una cadena incli-

ne en una vertical. Este incremento de al-

aproximadamente

di2 di2unto de engrape e> igual a la diferencia entre las

longitudes naturales del conductor engrapado t-

sobre poleas desde el origen de la serie hasta el

apoyo considerado.De acuerdo con la regla de signos dada en la fi-

gura 4 se tendr:

i - 1

ES

Signos de

/3i, i y di

531

ajn

al

bj- bj 11

1 1

Fin

AB=

En primera aproximacin se puede prescindir

de la deformacin elstica, con lo cual

i-1

Como interesar hallar los valores de 8i por

recurrencia, debern aplicarse en la prctica las

expresiones

el=o ;bi=p" a{^ 1

24bi

bi_1

1 1 1

z 1-1 i -1

(11-- -ti-1)E S

o en primera aproximacin:

P2 ali-1

24bi

1

112 1-1 2 i-- 1

Interesa ahora conocer el valor de di, dado apro-

madaurente pordi=ltg;i

Segn la convencin adoptada para los signos,

se obtiene:11i---- 1ti -1

el bi - 1 - bip Al- gi--1-tti---i p

taio 2

o en su expresin ms sencilla

tgfIi

-ti - TI -

p p (yi-1 xi)

operaciones resultan muy laboriosas, por lo cpr

recomienda la utilizacin de un computador 1l

Irnico.

Se incluye seguidamente una ficha de t :ilreco3nendndosc consultar los captulos ano,de este estudio antes de obtener los valocada columna.

En los casos de series con fuertes desniv(-a,^.vanos muy desiguales , en que se observen. r!reneias entre H y las Hi superiores al 10 oviene considerar la deformacin elstica d1.i

doctor.

En la actualidad son frecuentes los problennli:- +t^

fechado, al ser efectuado en muchas oca -io1,t

sobre poleas, partiendo de las tablas de flecliat- ah

conductor engrapado, con lo que resulta impu ^},if

obtener una correcta regulacin en todos los yiuut

Por otra parte, la correccin de inclinaciones ds

cadenas, que en muchas ocasiones efecta el 1 1

sonal (le obra a sentimiento, representa una co

tosa prdida de tiempo. Con la correcta ipliciu 11

del mtodo resumido en el presente estudia,

pretende eliminar estos dos inconvenientes.

1. Datos numricos

p=_ .1...11 - .ES -- _._-...1 P == en los apoyos1 P = , en los apoyos1 P = en los apoyos

La numeracin de apoyos y vanos y los valor-

de al y et figuran en la ficha de clculo,

en que P es el peso de la polca ms la mitad del

peso (le la cadena de aisladores, dividido todo ello

por el nmero (le conductores de una fase; y las 2. Proceso de clculo

expresiones de yi_t y de xi son:

2i-tyi 1 =

2

xi =

al

2 p al

En resumen, el valor buscado es

Di - Ii - di

que resulta positivo cuando el punto de engrape

queda desplazado desde la polea hacia el final de

la serie y negativo en caso contrario.

9. Conclusin. ficha para la ordenacin del

clculo

El proceso se ha desarrollado en vistas a la reso-

lucin manual del problema; no obstante, las

2.1. Calcular los valores

'ndo

bi =

a columna

2.2. Calcular los valores de la columna (i I1,I-

cienndo

fip al bi

8 tt

2.3. Calcular los valores (le las columnas,

10 y- 11.

2.4. Hacer en la columna 9

calcular, en la 8,

4 =14

DYNA N. 11 - NOVIEMBRE 1968 532

10 % de los valores de D, por lo cual se omiti esta

simplificacin.El tiempo empleado en el clculo de cada serie

fue, en promedio , de unas cinco horas . Los resul-

tados fueron resumidos en impresos del tipo que seadjunta al final de este apndice , en donde lasflechas indican el sentido en que hay que efectuarla compensacin , tomando como origen el puntomedio de apoyo del conductor sobre la polea ycomo extremo el punto de engrape.

APENDICE

Una cuestin que merece mencin especial es la

concerniente al peso del operario, que, evidente-

mente, debe ser sumado al de la polea, habindose

comprobado en esta lnea que la omisin del mismo

alteraba los valores de las compensaciones en unos

cuatro centmetros en promedio, por lo que no se

prescindi de tal factor, adoptndose para los

clculos un peso de hombre ms herramienta de

80 kilogramos.Por otra parte, se comprob en obra que al des-

CORRECCION DE INCLINACIONES DE CADENASConductor p Kghn, N a 15' C=__-Kg.

Peso de una cadena de suspensin Q-- Kg .5-+R

ali al clculo, y aplicacin en obra, de eom-

torgtad de una Cadena con poleo t - -

Aumento de toic

tus por potep^ e=rz15

cn el cese de no cwtsiderar tos defor mcia res e{s,

cender el operario por la cadena de aisladores v

situarse cabalgando sobre el conductor para efec-

tuar las marcas, la polea abandonaba su anterior

posicin de equilibrio, en el sentido de alejarse de

dicho operario de un modo claramente apreciable,

no siendo indiferente, por tanto, que al sentarse

en los cables los hiciese a un lado o al otro de la

polea. En consecuencia, se insisti especialmente

en clac el personal, al marcar en el conductor el

punto medio de contacto en la polea, gravitase

nicamente sobre dicha polea, no apoyndose en

cable alguno.

El proceso de ejecucin de los trabajos fue el

siguiente:

a) Flechado del conductor sobre poleas.

b) Engrapado en los extremos de la serie.

e) Correccin de inclinaciones de cadenas.

d) Comprobacin de las nuevas flechas de

conductor engrapado.

Con el conductor sobre poleas, haba cadenas de

suspensin cuyo desplome, en su parte inferior,

alcanzaba hasta medio metro en algunos casos.

Mediante la aplicacin del mtodo descrito fueron

compensadas todas las inclinaciones, logrndose

resultados totalmente satisfactorios.

2. En lo sucesivo se prev emplear calculadores

electrnicos para este tipo de trabajos. A este

efecto se han confeccionado los correspond,

programas de clculo para mquinas

e IBM 1130, efectuando todo el proceso p

puramente analtica y siguiendo las consid3

nes indicadas en el apartado anterior, que la

riencia en aquella lnea ha confirmado coa n

radas.

Se han realizado nuevos clculos por est_, lf

cedimiento, notablemente ms rpido y ecofr^.+if^;

que el sistema manual, ya que el tiempo muq

es de escasos segundos por apoyo, aunque ,

efectuarse previamente la perforacin de tarr't

para la entrada de datos.

EL AUTORNaci en Barcelona

5 de julio de 1940, c^sttrr

en la Escuela de dicha

dad, perteneciendo ct

mocin 198 tle IngtIndustriales, Y trabaja

zo de M

COBRA, S. 1., en ialf.de Jefe de lssturlio.w v 1"

veetos.

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A TI IJLOS QUE

1'ratcaunlento (le las agua, z-csidu

Eduardo Deniszne, 1. 1.

l.^iuln rect, nt Jrotc'CCl&iu