Correcion cadenas

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(orrección de la inclinadón de de suspens<í^', '-- `z . , n li d ., YLa C. D.: 629.138.5 Por GUSTAV O SU B IRAT S R OD RIGUE Z Ingeniero Industrial , - COBRA, S. A. rodueción El tendido de conductores de las líneas aéreas ,1c alta tensión se efectúa, en general, disponiendo t,rta polea en el extremo inferior de cada cadena d,, suspensión y haciendo pasar el cable por la .tl1anta de aquélla. En tales circunstancias, y en 1, :, nos no horizontales o líneas con vanos des- se observa que las cadenas pierden su ver i didad, por no ser iguales los valores de compo- nentes horizontales de la tracción del conductor la entrada y a la salida de la polea. Dicha igual- id, sin embargo, sí deberá cumplirse para el con- Ehnctor engrapado y suspendido de cadenas vertí- , .líes. Esta discrepancia entre las condiciones de t ,1uilibrio del conductor sobre poleas y engrapado l,liga a resolver dos cuestiones, a fin de dejar la líu,ea perfectamente regulada: 1,a: Determinación de las flechas con el con- ductor sobre poleas. 2.a: Determinación de los puntos de engrape del ut+luctor. Hit los apartados que siguen se resumen diversos rrti iodos a seguir para el cálculo, en los que se ha tendido compaginar simplicidad y exactitud. Nomenclatura endo n el número total de vanos de la serie a liar, y dando al subíndice i los valores 1, 2, n, la convención adoptada es la siguiente: = vano horizontal en metros. apoyo i y en el i = 1, en metros. Dicho valor es posi- tivo cuando la cota d el i es inferior a la del i -,- 1 (vano ascendente en el sentido de las i crecientes ) y vice- versa. = flecha vertical en el centro del vano. = peso del conductor en hg/m. = peso de una cadena de suspensión con su polea,redu- cído al punto de sujeción de la grapa , en Kg,, dividido por el número de conductores por fase, bi = vano real (cuerda) en metros. el = diferencia de cotas entre los puntos de engrape en el h P ES = módulo erístico X sección del conductor en hgs 1 = longitud de una cadena de suspensión en metros. Conductor sobre poleas: 11i = tracción horizontal del conductor en el vano i ., en hg. tli = tracción del conductor en el punto medio del vano i, en kilogramos. Ti = tracción del conductor a la entrada o a la salida en la polea del apoyo i, en Kg. Conductor engrapado: 11 = tracción horizontal del conductor en cualquier vano de la serie, en Kg. -Nota: Se ha convenido en que el vano i sea el com- prendido entre los apoyos i e i + 1, de modo que, si la serie consta de n vanos, los amarres extremos serán los apoyos 1 y n + 1. lA. N.° 11 - NOVIEMBRE 1968 527

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  • (orreccin de la inclinadn dede suspens
  • Esquema del mtodo

    -A. grandes rasgos, el mtodo de determinacin

    de los puntos de engrape del conductor a fin de

    lograr la verticalidad de las cadenas de suspen-

    sin, se basa en la resolucin de las ecuaciones que

    ligan los estados de equilibrio del cable sobre po-

    leas y sobre grapas. El proceso se ha desarrolladoen tres etapas:

    1.11: Determinacin de las tracciones horizon-

    tales del conductor sobre poleas para todos los

    vanos de la serie, a 150 C. Se ha elegido esta tem-

    peratura por considerar que es la media anual ms

    frecuente en nuestro pas, con lo cual las cadenas

    permanecern verticales durante la mayor parte

    del ao. Pequeas diferencias de temperatura no

    descompensan sensiblemente dicha verticalidad.

    2.11: Clculo de las flechas del conductor sobre

    poleas, a la temperatura de regulado.

    3.a: Determinacin de los puntos de engrape.

    Para poder calcular los valores citados se preci-san los siguientes datos, que normalmente deben

    figurar en el Proyecto de la linea:

    Geometra de la lnea (vanos y desniveles).

    Grfico de tensiones del conductor engrapado,

    en funcin del vano regulador y la temperatura.

    Para aplicar el mtodo en obra hay que regularel conductor sobre poleas, de acuerdo con las tablas

    de flechas citadas. Se debe proceder luego a mar-

    car sobre el conductor todos los puntos de engrape,

    tras lo cual hay que efectuar el engrapado de la

    serie. Debe insistirse en el hecho de que no hay que

    efectuar el marcaje y engrapado simultneamente

    en cada apoyo, sino que hay que realizar, en pri-

    mer lugar, el marcaje completo de la serie, y des-

    pus, el engrapado completo.

    4. Leyes de recurrencia entre las tracciones delconductor sobre poleas

    4.1. Ley gr e recurrencia.

    La suma de las componentes verticales (le la

    traccin en amibos extremos de un vano equivale

    al peso del conductor en l contenido. , en otras

    palabras, la resultante de las reacciones de los

    apoyos que limitan un vano, sobre el conductor

    de dicho vano, equilibra al peso del mismo. Segn

    ello, el polgono funicular correspondiente al equi-

    librio sobre poleas del conductor del vano i ser el

    tringulo de trazo grueso de la figura, en el cual

    mi es paralela al segmento bi, que une los extremos

    del vano. Por tanto, se puede construir el diagrama

    de tracciones de toda la serie a partir de un

    valor conocido Mi, sin ms que situar ordenadasucesivamente todos los segmentos Pb, sobre kiii,i

    pb

    Fig. 1

    recta vertical, trazar por el punto medio (le cada

    uno de ellos una semirreeta paralela a bi y 11cm ^^r

    sobre ella el valor de M. Con ello queda determi-

    nado el polgono funicular correspondiente ii

    vano i, y girando los vectores Ti y Ti -1 1, seg

    se indica en la figura, hasta que corten a las senni-

    rreetas paralelas a las bi _ , Y bi -1- , de los vano:

    contiguos, se construyen los funiculares de dicho-

    vanos. Aplicando reiteradamente el proeedimient o

    indicado, se completa el diagrama de la serie.

    4.2. Ley analtica de recurrencia

    En virtud de que la diferencia entre los valore-

    absolutos de las tracciones del cable en dos puntos

    de una misma catenaria equivale al peso de una

    longitud de conductor igual a la diferencia de cotas

    entre dichos puntos, se cumplirn las relaciones:

    ==Ti = Mi -1 p2

    ci

    p .j -'-2 =T-,

    Fig. 2

    ci_1 I

    2

    DYNA N.' 11 - NOVIEMBRE 1968 528

  • Mk=M1+p

    1

    p=a4 b H

    Si interesase la ley de recurrencia de las traccio-nes horizontales, bastara con hacer.

    bimi = Hi --

    a

    En^rigor, ,fi deberan ser los valores de las flechasdel conductor sobre poleas a la temperatura de

    j ^^gulado. Pero atendiendo a la notable simplifi-

    acin y pequeo error que ello introduce, pueden

    utilizarse en su lugar los valores de las flechas delunductor engrapado a 150 C.

    Ecuacin que liga los valores de las traccionesdel conductor sobre poleas y engrapado

    El valor de 11 y los n valores de las Mi deben

    cumplir la ecuacin que expresa que la longitud

    i7atural del conductor de la serie sea la misma, se

    halle sobre poleas o engrapado. Se entiende por

    longitud natural la que posee el cable, a una de-

    1-,rminada temperatura, sin estar sometido a trae-

    in, es decir, una vez deducida la deformacin

    elstica debida al estado tensional en que se halle.

    u expresin es, de acuerdo con la simbologauloptada,

    L=b-24bH2 ES

    bien, si se prefiere,

    L=bp2 a2 b a M

    24M2 ES

    As pues, la ecuacin buscada es, suponiendo que

    1 inclinarse las cadenas se producen variaciones

    )reciables en los valores de

    p 2

    24 1-12

    P2

    24

    n

    n

    ai''

    ci 4- ck

    H

    bi ES

    ai4

    bi Hi2

    N.' 11 - NOVIEMBRE 1968

    n

    ti

    En el caso de existir pequeas diferencias de

    tracciones entre el estado del conductor sobre po-

    leas y engrapado (lneas con vanos poco desnive-

    lados, o de longitudes no muy dispares), se puede

    prescindir de la diferencia de deformaciones els-ticas entre ambos estados , con lo que la ecuacin se

    reduce a

    0i4

    bi Hi2

    n

    H =n

    bi Hi2

    4o bien

    que expresa que la suma de los excesos de longitud

    de conductor sobre la luz del vano sea invariableal ser pasado de poleas a grapas.

    Determinacin de las tracciones del conductorsobre poleas

    El problema est determinado, pues para deter-

    minar los n valores de las Hi, supuesto conocido

    el valor de H, que debe constar en el proyecto de

    la lnea, se cuenta con las n - 1 ecuaciones de

    recurrencia dadas en el apartado 4, y con la ecua-

    cin general indicada en el S.O. No obstante, salvo

    en los casos particulares muy sencillos, no resulia

    posible resolver el sistema de un modo directo,

    debiendo proceder por iteracin.

    Para ello se debe elegir un vano base entre todos

    los de la serie, en el cual deber cumplirse que la

    diferencia de tracciones del conductor sobre poleas

    y engrapado sea la menor posible. Conviene tomar

    como base un vano situado a una altura intermedia

    entre las del ms elevado y el ms bajo de la serie

    y de una longitud parecida -a la del vano medio

    regulador, ya que, segn suele expresarse vulgar-

    mente en el lenguaje de lneas, el vano bajo se

    come al alto, y el grande se come al chico.

    El proceso a seguir es el siguiente:

    Se elige, segn se ha indicado, el vano base,

    asignando en el mismo a la traccin horizontal del

    conductor sobre poleas a 150 C un valor Hk elegido

    a sentimiento (se recomienda tomar Hk = H a

    150 C).

    A partir del valor de Hk se determinan, por cual-

    quiera de los procedimientos apuntados en el

    529

  • apartado 4, los valores de Hl H2 ...... Ha.

    Estos valores no sern los de las tracciones a 150 y

    sobre poleas, ya que se ha partido de una estima-

    cin del valor HI,. Puede elegirse ahora entre dos

    caminos:

    1.0 Mediante los Hi as calculados se determina,

    con las ecuaciones del apartado 5.0, el valor H' de

    la traccin horizontal que tendra el conductor de

    la serie a 150, engrapado, en la hiptesis de partida

    as estimada. Este valor de H' ser, en general,

    distinto del real H previsto, en cuyo caso se deber

    repetir todo el proceso partiendo un nuevo valor

    o si se prefiere

    H'k = 1-11, H - H'

    H'k =H'

    Se obtendr as otra traccin 1I"; si se cumple

    que H" H, las tracciones reales a 150 del conduc-

    tor sobre poleas sern las ya determinadas a par-

    tir de H'1,. En caso contrario, debe volverse a re-

    petir el proceso cuantas veces sea necesario, hasta

    llegar a un valor H`m) = H, indicativo de que la

    ltima serie obtenida de valores de las Ti es la

    correcta.

    2.0 La ecuacin general dada en el apartado 5

    lnaede ser escrita en la forma

    tais

    bt

    Irp '-t aia

    24 bi Hi'1 1

    i --

    El valor de F depende de una sola variable in-

    dependiente Hk (traccin asignada al vano base),

    ya que todas las dems Hi dependen de Hl, a tra-vs de las relaciones dadas en 4.2.

    El valor Hk ser correcto cuando se cumplaque F = 0.

    En caso contrario, el nuevo valor buscado ser

    rH = Hk dHa,

    l;

    cumpliendo dHk la relacin

    en la cual:

    dF

    d H 1

    aF

    a I3i

    dFF + --dHk=O

    d 1111

    y segn se deduce de 4.2.

    d iii al blc

    d Hk al, bi

    En resumen, se calcular dHl, a partir de la sr"laein anterior, haciendo

    n

    bi

    ES

    p' aid

    12 bi Hi'

    ni

    bi

    7. Clculo de las flechas de regulado sobre polea,

    Existen numerosas expresiones que dan el valordo de la flecha. Se recomiendan espe-

    e, por su sencillez y precisin. las doses:

    pai b

    811

    para vanos moderados

    pai b P^ a,1

    8 Hi 18 Hi-

    para vanos de gran longitud.

    En estas ecuaciones, sin embargo, Hi debe ser

    el valor (le la traccin a la temperatura de regulados

    mientras que en el captulo anterior han sido cal-

    culadas las if para t = 150 C. Se puede, por un

    sencillo procedimiento, hallar las Hi a cualquier

    temperatura, sin necesidad de plantear la vena-

    cin de cambio de condiciones para cada vano en.

    que interese conocer la flecha.

    En efecto, se sabe que todos los vanos de la serie

    obedecen a una misma ecuacin de cambio de

    condiciones, que, expresada como ecuacin di-

    tensado, adopta la forma

    A-- BH + C

    Hr

    en que solamente C depende de la traccin asignada

    al conductor en las hiptesis de partida. Si el es-

    tado de tense del conductor sobre poleas es otro

    distinto, ello equivaldr a haber partido de otra

    ecuacin de cambio de condiciones.

    Y, DF dHi A=_-+BHi- C'

    a Hi dHk Hi t

    p2 ai4 bi cuya curva representativa sera la correspondiente

    12 bi Hi' ES a los valores de H, pero desplazada paralelamente

    nI1 :-1

    ES1

    1 DYNA N.- 11 - NOVIEMBRE 1968 530

  • isma en la direccin del eje de temperatura

    adas) en un valor C - C.

    o se conoce un punto de paso de esta nuevatiur (el correspondiente a IHi a 150), queda de-

    raJnada la misma y sobre ella puede hallarse el

    Por tanto, en el centro del vano i el cable se

    habr elevado en la siguiente magnitud:

    di- + di"+,

    41

    3.0 La longitud efectiva de la cadena es mayor

    con polea que con grapa, exceso al que designa-

    remos e.

    Resumiendo :La correcin de flecha, es decir, el valor que hay

    que sumar a la flecha sobre grapas para obtener la

    flecha sobre poleas, es:

    15CI-Ii di-;-, - di

    dfi=fi 11 ----- 2FIdi2

    ;- di2

    41

    Fig. 3

    calcularse para cada vano el valor

    se efectuar el proceso arialiticiuiicnte,

    etor engrapado, diferencia duda i

    1 conductor sobre poleas menos la flecha

    ha corres pondien

    aalquier temperatura, coa el que se

    P2

    48 112-t -

    'Ti

    II

    valor es el que debe ser sumado a la flecha

    aductor engrapado para poder flechar sobre

    leo obstante hay que efectuar tres corree-

    ms :Al inclinarse las cadenas, el vano pasa del

    ti al nuevo calor al + di _1 1 -- di (ver liga-

    lo que producir un incremento de flecha

    por

    -fial

    adamente

    2 1

    i + di s- , - di

    2fi-- di

    al

    li'',l punto de apoyo del cable sobre la polea

    entra a mayor altura en una cadena incli-

    ne en una vertical. Este incremento de al-

    aproximadamente

    di2 di2unto de engrape e> igual a la diferencia entre las

    longitudes naturales del conductor engrapado t-

    sobre poleas desde el origen de la serie hasta el

    apoyo considerado.De acuerdo con la regla de signos dada en la fi-

    gura 4 se tendr:

    i - 1

    ES

    Signos de

    /3i, i y di

    531

    ajn

    al

    bj- bj 11

    1 1

    Fin

    AB=

  • En primera aproximacin se puede prescindir

    de la deformacin elstica, con lo cual

    i-1

    Como interesar hallar los valores de 8i por

    recurrencia, debern aplicarse en la prctica las

    expresiones

    el=o ;bi=p" a{^ 1

    24bi

    bi_1

    1 1 1

    z 1-1 i -1

    (11-- -ti-1)E S

    o en primera aproximacin:

    P2 ali-1

    24bi

    1

    112 1-1 2 i-- 1

    Interesa ahora conocer el valor de di, dado apro-

    madaurente pordi=ltg;i

    Segn la convencin adoptada para los signos,

    se obtiene:11i---- 1ti -1

    el bi - 1 - bip Al- gi--1-tti---i p

    taio 2

    o en su expresin ms sencilla

    tgfIi

    -ti - TI -

    p p (yi-1 xi)

    operaciones resultan muy laboriosas, por lo cpr

    recomienda la utilizacin de un computador 1l

    Irnico.

    Se incluye seguidamente una ficha de t :ilreco3nendndosc consultar los captulos ano,de este estudio antes de obtener los valocada columna.

    En los casos de series con fuertes desniv(-a,^.vanos muy desiguales , en que se observen. r!reneias entre H y las Hi superiores al 10 oviene considerar la deformacin elstica d1.i

    doctor.

    En la actualidad son frecuentes los problennli:- +t^

    fechado, al ser efectuado en muchas oca -io1,t

    sobre poleas, partiendo de las tablas de flecliat- ah

    conductor engrapado, con lo que resulta impu ^},if

    obtener una correcta regulacin en todos los yiuut

    Por otra parte, la correccin de inclinaciones ds

    cadenas, que en muchas ocasiones efecta el 1 1

    sonal (le obra a sentimiento, representa una co

    tosa prdida de tiempo. Con la correcta ipliciu 11

    del mtodo resumido en el presente estudia,

    pretende eliminar estos dos inconvenientes.

    1. Datos numricos

    p=_ .1...11 - .ES -- _._-...1 P == en los apoyos1 P = , en los apoyos1 P = en los apoyos

    La numeracin de apoyos y vanos y los valor-

    de al y et figuran en la ficha de clculo,

    en que P es el peso de la polca ms la mitad del

    peso (le la cadena de aisladores, dividido todo ello

    por el nmero (le conductores de una fase; y las 2. Proceso de clculo

    expresiones de yi_t y de xi son:

    2i-tyi 1 =

    2

    xi =

    al

    2 p al

    En resumen, el valor buscado es

    Di - Ii - di

    que resulta positivo cuando el punto de engrape

    queda desplazado desde la polea hacia el final de

    la serie y negativo en caso contrario.

    9. Conclusin. ficha para la ordenacin del

    clculo

    El proceso se ha desarrollado en vistas a la reso-

    lucin manual del problema; no obstante, las

    2.1. Calcular los valores

    'ndo

    bi =

    a columna

    2.2. Calcular los valores de la columna (i I1,I-

    cienndo

    fip al bi

    8 tt

    2.3. Calcular los valores (le las columnas,

    10 y- 11.

    2.4. Hacer en la columna 9

    calcular, en la 8,

    4 =14

    DYNA N. 11 - NOVIEMBRE 1968 532

  • 10 % de los valores de D, por lo cual se omiti esta

    simplificacin.El tiempo empleado en el clculo de cada serie

    fue, en promedio , de unas cinco horas . Los resul-

    tados fueron resumidos en impresos del tipo que seadjunta al final de este apndice , en donde lasflechas indican el sentido en que hay que efectuarla compensacin , tomando como origen el puntomedio de apoyo del conductor sobre la polea ycomo extremo el punto de engrape.

    APENDICE

    Una cuestin que merece mencin especial es la

    concerniente al peso del operario, que, evidente-

    mente, debe ser sumado al de la polea, habindose

    comprobado en esta lnea que la omisin del mismo

    alteraba los valores de las compensaciones en unos

    cuatro centmetros en promedio, por lo que no se

    prescindi de tal factor, adoptndose para los

    clculos un peso de hombre ms herramienta de

    80 kilogramos.Por otra parte, se comprob en obra que al des-

    CORRECCION DE INCLINACIONES DE CADENASConductor p Kghn, N a 15' C=__-Kg.

    Peso de una cadena de suspensin Q-- Kg .5-+R

    ali al clculo, y aplicacin en obra, de eom-

    torgtad de una Cadena con poleo t - -

    Aumento de toic

    tus por potep^ e=rz15

    cn el cese de no cwtsiderar tos defor mcia res e{s,

  • cender el operario por la cadena de aisladores v

    situarse cabalgando sobre el conductor para efec-

    tuar las marcas, la polea abandonaba su anterior

    posicin de equilibrio, en el sentido de alejarse de

    dicho operario de un modo claramente apreciable,

    no siendo indiferente, por tanto, que al sentarse

    en los cables los hiciese a un lado o al otro de la

    polea. En consecuencia, se insisti especialmente

    en clac el personal, al marcar en el conductor el

    punto medio de contacto en la polea, gravitase

    nicamente sobre dicha polea, no apoyndose en

    cable alguno.

    El proceso de ejecucin de los trabajos fue el

    siguiente:

    a) Flechado del conductor sobre poleas.

    b) Engrapado en los extremos de la serie.

    e) Correccin de inclinaciones de cadenas.

    d) Comprobacin de las nuevas flechas de

    conductor engrapado.

    Con el conductor sobre poleas, haba cadenas de

    suspensin cuyo desplome, en su parte inferior,

    alcanzaba hasta medio metro en algunos casos.

    Mediante la aplicacin del mtodo descrito fueron

    compensadas todas las inclinaciones, logrndose

    resultados totalmente satisfactorios.

    2. En lo sucesivo se prev emplear calculadores

    electrnicos para este tipo de trabajos. A este

    efecto se han confeccionado los correspond,

    programas de clculo para mquinas

    e IBM 1130, efectuando todo el proceso p

    puramente analtica y siguiendo las consid3

    nes indicadas en el apartado anterior, que la

    riencia en aquella lnea ha confirmado coa n

    radas.

    Se han realizado nuevos clculos por est_, lf

    cedimiento, notablemente ms rpido y ecofr^.+if^;

    que el sistema manual, ya que el tiempo muq

    es de escasos segundos por apoyo, aunque ,

    efectuarse previamente la perforacin de tarr't

    para la entrada de datos.

    EL AUTORNaci en Barcelona

    5 de julio de 1940, c^sttrr

    en la Escuela de dicha

    dad, perteneciendo ct

    mocin 198 tle IngtIndustriales, Y trabaja

    zo de M

    COBRA, S. 1., en ialf.de Jefe de lssturlio.w v 1"

    veetos.

    4-^^$-4-+4.. 4-+4_*`> --0--444-$-9-0--$--$-^-+-4-$$4-4- 4- [email protected]+44-+

    A TI IJLOS QUE

    1'ratcaunlento (le las agua, z-csidu

    Eduardo Deniszne, 1. 1.

    l.^iuln rect, nt Jrotc'CCl&iu