Correlaciones en Mecánica Cuántica: Entrelazamiento y Quantum Discord como Recursos para Realizar...

Introducción.Motivación.

Hipótesis y Objetivos.Correlaciones Cuánticas.

Dissonancia y Discriminación de Estados.Conclusiones.

Correlaciones en Mecánica Cuántica:Entrelazamiento y Quantum Discord como

Recursos para Realizar Procesos en InformaciónCuántica.

Marcelo Alid Vaccarezza

Profesor Guía: Dr. Luis Roa O.

Departamento de Física, Universidad de Concepción

Chile

25 de septiembre de 2012

Marcelo Alid Vaccarezza Dissonancia y Discriminación de Estados.




1 Introducción.

2 Motivación.

3 Hipótesis y Objetivos.

4 Correlaciones Cuánticas.

5 Dissonancia y Discriminación de Estados.

6 Conclusiones.





Introducción.

Introducción.

Por mucho tiempo se creyó que el entrelazamiento era el únicotipo de correlación cuántica que podía ser utilizado para llevar acabo tareas de información cuántica.





Introducción.

Introducción.

Por mucho tiempo se creyó que el entrelazamiento era el únicotipo de correlación cuántica que podía ser utilizado para llevar acabo tareas de información cuántica.

E. Knill and R. La�amme, PRL 81 (1998); A. Datta et al, PRL100 (2008).Sin embargo, recientemente se ha demostrado que se puede ha-cer computación cuántica sin necesidad de contar con esta-dos entrelazados.





Introducción.

Introducción.

Ollivier and Zurek, PRL 88 (2001).Introducen el Quantum Discord como una medida "mas comple-ta" de la cantidad de correlaciones cuánticas, ya que contiene perono se limita solo al entrelazamiento.





Introducción.

Introducción.

Ejemplo: Werner States.

ρ =

�1� z4

�I I + z jΦ�ihΦ�j, 0 � z � 1

Entrelazamiento para 1/3 < z � 1.

Discord para 0 < z � 1 (incluye región donde es separable).Discord puede ser mayor, menor o igual al entrelazamiento.





Introducción.

Introducción.


ρ =

�1� z4

�I I + z jΦ�ihΦ�j, 0 � z � 1

Entrelazamiento para 1/3 < z � 1.Discord para 0 < z � 1 (incluye región donde es separable).

Discord puede ser mayor, menor o igual al entrelazamiento.





Introducción.

Introducción.


ρ =

�1� z4

�I I + z jΦ�ihΦ�j, 0 � z � 1

Entrelazamiento para 1/3 < z � 1.Discord para 0 < z � 1 (incluye región donde es separable).Discord puede ser mayor, menor o igual al entrelazamiento.





Por qué estudiar el Quantum Discord?

Por qué estudiar el Quantum Discord?

�Caracterizar y cuanti�car las capacidades y ventajas queofrecen los sitemas cuánticos es uno de los principales ob-jetivos de la teoría de la información cuántica.�

�A pesar de los progresos sustanciales que se han obtenido, elrol que juegan las correlaciones cuánticas en el procesamientode la información sigue siendo una pregunta abierta.�

�No se sabe si todas las tareas de procesamiento de la infor-mación que se pueden hacer de manera más e�ciente con unsistema cuántico requieren o no entrelazamiento como un re-curso.�





Hipótesis.Objetivo Principal.

Hipótesis.

Se postula que caracterizar y cuanti�car la cantidad de entrelaza-miento y quantum discord permitirá optimizar la cantidad de re-cursos necesarios para realizar protocolos en teoría cuántica de lainformación.





Hipótesis.Objetivo Principal.

Objetivo Principal.

Estudiar entrelazamiento y quantum discord como recursosnecesarios para realizar protocolos en información cuántica.

En particular, nos interesa estudiar las correlaciones cuánticasnecesarias para el proceso óptimo de discriminación asistidade estados no ortogonales.





Entrelazamiento.Quantum Discord.Información Muta Cuántica.Medida de Henderson-Vedral.Disonancia.

Entrelazamiento de Formación y Concurrencia.

W.K. Wooters, PRL 80 (1998).Se de�ne como el entrelazamiento promedio de los estadospuros jψi i de la descomposición de ρAB , minimizado sobre todaslas posibles descomposiciones:

E (ρ) = min ∑ipiE (ψi ) = E (C (ρ)) ;

C (ρ) = max f0, η1 � η2 � η3 � η4g .

Los ηi son las raices cuadradas de los valores propios, orde-nados decrecientemente, de la matríz no hermítica ρρ̃, dondeρ̃ = (σy σy ) ρ� (σy σy ) es el "Spin-�iped state".






Entrelazamiento de Formación y Concurrencia.

W.K. Wooters, PRL 80 (1998).Se de�ne como el entrelazamiento promedio de los estadospuros jψi i de la descomposición de ρAB , minimizado sobre todaslas posibles descomposiciones:

E (ρ) = min ∑ipiE (ψi ) = E (C (ρ)) ;

C (ρ) = max f0, η1 � η2 � η3 � η4g .

La Concurrencia C (ρ) es una expresión operacional quecuanti�ca el entrelazamiento de formación de un estadomixto de dos qubits.






Quantum Discord.

H. Ollivier and W.H. Zurek, PRL 88 (2001).Para dos sistemas cuánticos A y B, se de�ne mediante:

D (A,B) � I (A : B)�J (A : B) .

I (A : B) es la Información Mutua Cuántica. Cuanti�ca lascorrelaciones totales entre A y B.

J (A : B) es la medida de Henderson-Vedral. Cuanti�ca lascorrelaciones clásicas presentes entre A y B.






Quantum Discord.


D (A,B) � I (A : B)�J (A : B) .

I (A : B) es la Información Mutua Cuántica. Cuanti�ca lascorrelaciones totales entre A y B.J (A : B) es la medida de Henderson-Vedral. Cuanti�ca lascorrelaciones clásicas presentes entre A y B.






Quantum Discord.


D (A,B) � I (A : B)�J (A : B) .

I (A : B) es la Información Mutua Cuántica. Cuanti�ca lascorrelaciones totales entre A y B.J (A : B) es la medida de Henderson-Vedral. Cuanti�ca lascorrelaciones clásicas presentes entre A y B.

Entonces, D (A,B) es una medida de que tan cuánticas son lascorrelaciones entre A y B.






Información Mutua Cuántica.

M.A Nilsen and I.L Chuang, "Quantum Computation and Quan-tum Information", 2000.Para dos sistemas cuánticos A y B descritos mediante el estadoρAB , se de�ne mediante:

I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .

S (ρ) = �tr (ρ log ρ) = �∑i λi log2 λi es la entropía de vonNeumann, donde λi son los eigenvalores de ρ.

Se interpreta de dos formas diferentes (pero complemen-tarias):

1 Información obtenida cuando se mide el estado ρ.2 Ignorancia sobre el estado ρ antes de realizar la medición.








I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .

S (ρ) = �tr (ρ log ρ) = �∑i λi log2 λi es la entropía de vonNeumann, donde λi son los eigenvalores de ρ.Se interpreta de dos formas diferentes (pero complemen-tarias):









I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .


1 Información obtenida cuando se mide el estado ρ.

2 Ignorancia sobre el estado ρ antes de realizar la medición.








I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .









M.A Nilsen and I.L Chuang, "Quantum Computation and Quan-tum Information", 2000.

I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .

S (ρA), S (ρB ) cuanti�ca la falta/ganancia de información deρA y ρB por separado.

S (ρAB ) cuanti�ca la falta/ganancia de información del sis-tema compuesto ρAB .








I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .

S (ρA), S (ρB ) cuanti�ca la falta/ganancia de información deρA y ρB por separado.S (ρAB ) cuanti�ca la falta/ganancia de información del sis-tema compuesto ρAB .

Así, I (A : B) mide la información que A y B comparten, e.d.,cuánto el conocimiento de una variable reduce la incertidum-bre sobre la otra.








I (A : B) � S (ρA) + S (ρB )� S (ρAB ) .






Información Mutua (Independiente de las Mediciones).

L. Henderson and V. Vedral, JPA 34 (2001).

J (A : B) � S (ρA)� S̃ (AjB) .








J (A : B) � S (ρA)� S̃ (AjB) .

S̃ (AjB) � m«¬nfΠi g

∑i piS�

ρAji

�es la entropía condicional

(independiente de las mediciones) de A dado el conjuntocompleto de mediciones fΠig realizadas sobre B.

ρAji =TrB (Πi ρABΠi )

pies el estado del sistema A después que B

ha sido medido.








J (A : B) � S (ρA)� S̃ (AjB) .

S̃ (AjB) � m«¬nfΠi g

∑i piS�

ρAji

�es la entropía condicional

(independiente de las mediciones) de A dado el conjuntocompleto de mediciones fΠig realizadas sobre B.ρAji =

TrB (Πi ρABΠi )pi

es el estado del sistema A después que Bha sido medido.








J (A : B) � S (ρA)� m«¬nfΠi g∑ipiS

�ρAji

�.

La minimización corresponde a la búsqueda de aquella medi-ción que perturbe lo menos al estado cuántico global y que,al mismo tiempo, permita extraer el máximo de informaciónacerca A.







L. Henderson and V. Vedral, JPA 34 (2001)

J (A : B) � S (ρA)� m«¬nfΠi g∑ipiS

�ρAji

�.

La minimización corresponde a la búsqueda de aquella medi-ción que perturbe lo menos al estado cuántico global y que,al mismo tiempo, permita extraer el máximo de informaciónacerca A.

Así, la Información Mutua J (A : B) no depende de las medicio-nes realizadas sobre B y representa la falta/ganancia de informa-ción sobre A como resultado de haber medido localmente sobreB.






Disonancia.

K. Modi et al, PRL 104 (2010).Esta medida de correlación se basa en la idea de que la distanciadesde un estado dado hasta el estado más cercano sin la propiedaddeseada, es una medida de esa propiedad:

Q � m«¬nχ2C

S (σjjχ)

S (σjjχ) es la entropía relativa, y es considerada como unamedida de pseudo-distancia entre el estado separable σ y elestado clásico χ.






Disonancia.

K. Modi et al, PRL 104 (2010).Esta medida de correlación se basa en la idea de que la distanciadesde un estado dado hasta el estado más cercano sin la propiedaddeseada, es una medida de esa propiedad:

Q � m«¬nχ2C

S (σjjχ)

S (σjjχ) es la entropía relativa, y es considerada como unamedida de pseudo-distancia entre el estado separable σ y elestado clásico χ.

Así, Q mide las correlaciones cuánticas excluyendo al entrelaza-miento.






Disonancia.

K. Modi et al, PRL 104 (2010).





Discriminación Sin Ambiguedad.Entrelazamiento Requerido.Discord Requerido.Disonancia Requerida.






Discriminación Asistida.

jαj � jα+j � 1

jα+is j0iaU! jΛ+is ,a =

q1� jα+j2 j+is j0ia + α+ j0is j1ia

jα�is j0iaU! jΛ�is ,a =

s1� jαj2

jα+j2j�is j0ia +

α

α�+j0is j1ia






Probabilidad de Éxito.

Después de aplicar la transformación unitaria U, el sistema quedadescrito por el estado mixto:

ρjα+j = p� jΛ�is ,a hΛ�j+ p+ jΛ+is ,a hΛ+j

La probabilidad de discriminar sin ambiguedad el estado en el cualse preparó el sistema está dada por:

PS (jα+j) = 1� p�jαj2

jα+j2� p+ jα+j2






Optimal Discrimination.

El proceso óptimo ocurre para diferentes valores de jα+j = 4

qp�p+

pjαj,

jαj y 1.

Expresión General para la Probabilidad Máxima de Éxito.

PmaxS =

8<: 1� 2pp+p� jαj , 0 � jαj � minnq

p+p�,q

p�p+

o�1� jαj2

�max fp+, p�g , min

nqp+p�,q

p�p+

o� jαj � 1






Concurrencia.

¿Cuánto entrelazamiento es necesario en este proceso de discrimi-nación asistida?

C�

ρjα+ j

�=

8><>:20@p+q1� jα+ j2 jα+ j+ p�

vuut1� jαj2

jα+ j2jαjjα+ j

1A2 � 8p+p� jαjq1� jα+ j2vuut1� jαj2

jα+ j2cos2

θα

2

9>=>;12

El entrelazamiento depende de la fase θα donde α = jαj e iθα .

El entrelazamiento mínimo corresponde a θα = 0.

El entrelazamiento máximo corresponde a θα = �π.






Concurrencia.

Para θα = 0 existen valores de jα+j para los cuales el entre-lazamiento es cero.

En particular, para el caso p+ = p� hay un cero para el en-trelazamiento para el cual la probabilidad de discriminar esmáxima [Fig.1 (a) y (b)].






Concurrencia.

Para p+ 6= p�, todavía es posible discriminar los estados sinnecesitar entrelazamiento pero sin probabilidad óptima [Fig.1(c) y (d)].






Concurrencia.

Por lo tanto, discriminar con éxito los estados no requierenecesariamente entrelazamiento.






Concurrencia Nula.

¿Puede, en general, ser cero el entrelazamiento?

Sí, pero solo para θα = 0.

jα+j8 � jα+j6 +�p2�p2+jαj�jα+j2 �

p2�p2+jαj4 = 0






Concurrencia Nula.

En el caso particular p+ = p� los valores de jα+j que anulan elentrelazamiento son:

jα+ jC=0 =

8<:pjαj, 0 � jαj � 1r1�q1�4jαj22 , 0 � jαj � 1

2

Hay tres soluciones para C = 0, en el intervalo 0 < jαj < 12 .

Hay una solución para C = 0, en el intervalo 12 < jαj < 1.






Concurrencia para el Proceso Óptimo.

Para 0 � jαj �minnq

p+p�,q

p�p+

ose tiene:

C

0@ρ 4rp�p+pjαj

1A =

8><>:2 jαj p+ 4

rp�p+

s1� jαj

rp�p+

+ p� 4rp+p�

s1� jαj

rp+p�

!2� 8p+p� jαj

s1� jαj

rp�p+

s1� jαj

rp+p�

cos2θα

2

9>=>;12.

Para minnq

p+p�,q

p�p+

o� jαj � 1 se tiene:

C�

ρjαj,1

�=

r2 jαj2

�1� jαj2

�max fp+ , p�g .






Concurrencia para el Proceso Óptimo.

Concurrence as a function of jαjEn el caso particular p+ = p� la concurrencia se reduce a:

C�

ρpjαj�=

r2 jαj

�1� jαj2

� ��sin2 θα

2

�� .El proceso de discriminación óptimo, sin entrelazamiento, ocurrepara θα = 0.






Discord.

M. Koashi and A. Winter, PRA 69 (2004).

D�ρs ,a�= S (ρa)� S

�ρs ,a�+ E

�ρs ,c�,

donde E�ρs ,c�es el entrelazamiento entre el sistema s y el qubit

c utilizado para la puri�cación.

ρs ,c es el estado

ρs ,c = Tra�jΨis ,a,c hΨj

�,

donde

jΨis ,a,c =pp+ jΛ+is ,a j0ic +

pp+ jΛ�i j1ic

es el estado puro del sistema tripartito.Marcelo Alid Vaccarezza Dissonancia y Discriminación de Estados.





Discord para el Proceso Óptimo.

El discord también depende de la fase θα en el rango 0 � α �minnq

p+p�,q

p�p+

oen el caso p+ 6= p� [Fig.2 (c)].

En general no se puede concluir si es entrelazamiento o dis-cord la correlación necesaria para discriminar [Fig.2 (a) y (c)].Sin embargo, para el caso óptimo con p+ = p� solo estápresente la disonancia [Fig.2 (b) y (d)].








p+p�,q

p�p+


En general no se puede concluir si es entrelazamiento o dis-cord la correlación necesaria para discriminar [Fig.2 (a) y (c)].

Sin embargo, para el caso óptimo con p+ = p� solo estápresente la disonancia [Fig.2 (b) y (d)].








p+p�,q

p�p+


En general no se puede concluir si es entrelazamiento o dis-cord la correlación necesaria para discriminar [Fig.2 (a) y (c)].Sin embargo, para el caso óptimo con p+ = p� solo estápresente la disonancia [Fig.2 (b) y (d)].






Disonancia.

Así, la disonancia es la correlación que permite discriminar losestados en el caso óptimo con θα = 0 y p+ = p�.





Conclusiones.

Hemos demostrado que el protocolo para la discriminación in-equívoca de dos estados cuánticos no-ortogonales requiere engeneral correlaciones cuánticas con el �n de ser implementa-do.

En general, el esquema con probabilidad óptima requiere tan-to de entrelazamiento como de discord.

En particular, en el caso de probabilidades a priori iguales, ladiscriminación se realiza sin entrelazamiento pero requiere dediscord, es decir, solo se necesita disonancia.





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