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CORSO DI:

LABORATORIO DI FISICA TERRESTRE

TIME DOMAIN REFLECTOMETRY

Elena Pettinelli

Elisabetta Mattei

Andrea Di Matteo

Anno Accademico 2008/2009

2

1 Introduzione alla tecnica TDR

Le equazioni fondamentali nella teoria delle linee di trasmissione sono le seguenti:

E sono valide per qualunque linea di trasmissione composta da due (o più)

conduttori purché la sezione della linea rimanga invariata man mano che si procede

nella direzione di propagazione z.

Le caratteristiche generali di queste linee sono:

i. In una linea di trasmissione a due (o più) fili è sempre possibile trovare un modo

dove Eρ

e Bρ

sono completamente trasversali alla direzione di propagazione del

flusso di energia (la direzione z del nostro sistema di coordinate). Questo modo

detto principale o modo trasversale elettromagnetico (TEM) è quello per cui si

applicano le equazioni (1). Ci sono modi di ordine più elevato ma essi sono

caratterizzati dal fatto che sia Eρ

che Bρ

hanno una componente lungo z.

ii. L’onda TEM trasmette energia a tutte le frequenze fino a includere la frequenza

zero.

iii. Quando si possono trascurare le perdite nel conduttore, cioè nei limiti di un

conduttore perfetto, la velocità di fase dell’onda è indipendente dalla frequenza

(non c’è dispersione). Il suo valore è lo stesso della velocità in assenza di

conduttori ed è cv = . In termini di induttanza e capacità per unità di lunghezza è

data da ( ) 21

00−

= CLv .

0

0

(1a)

(1b)

V IL

z t

I VC

z t

∂ ∂= −

∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂

3

iv. Quando la penetrazione dei campi nei conduttori può essere trascurata, cosa che

è fattibile ad alte frequenze, la configurazione istantanea dei campi elettrici e

magnetici è la stessa che si avrebbe con delle cariche e delle correnti continue

opportunamente distribuite lungo la linea. E’ proprio questa proprietà che

permette di calcolare 0C e 0L dalle equazioni (1) come se fossero applicabili

direttamente l’elettrostatica e la magnetostatica.

Line a coassiale e linea bifilare

Linea coassiale

Il modo TEM in una linea coassiale ha il campo elettrico che è puramente radiale e un

campo magnetico che è puramente azimutale come illustrato in Figura 1

Figura 1

Per determinare le caratteristiche di una linea coassiale, o di qualsiasi linea di

trasmissione a due conduttori, è necessario determinare la capacità 0C e l’induttanza 0L

per unità di lunghezza. Nello specifico caso si ha che :

4

(Per una dimostrazione rigorosa si veda, ad esempio, il testo di Campi ed Onde

nell’elettronica per le comunicazioni di Ramo e collaboratori, 1994 – Franco Angeli

Editore)

Le sonde TDR coassiali in genere operano come linee non bilanciate. Queste

linee sono non bilanciate perché sono costituite da un conduttore interno e da un

conduttore esterno che è collegato a terra. Il conduttore centrale trasporta l’energia e

quello esterno impedisce che questa energia venga irradiata nello spazio.

Il loro vantaggio principale è la capacità di minimizzare le perdite radiative. I

campi magnetico ed elettrico sono confinati nello spazio tra il conduttore interno e

quello esterno, il “guscio” messo a massa previene l’introduzione di rumore da sorgenti

esterne.

L’impedenza caratteristica di una linea coassiale, in ohm, è data da

con d il diametro del conduttore interno e D quello del conduttore esterno.

L’impedenza caratteristica di una linea di trasmissione coassiale ideale dipende quindi

solo dalla geometria della linea.

Linea bifilare

Una linea bifilare costituita da due fili conduttori rettilinei e paralleli, a sezione

circolare di raggio d, la cui distanza è D>>d. Il modo TEM in una linea bifilare ha il

campo elettrico e il campo magnetico diretti come mostrato in Figura 2

00

00

ln (2a)2

2 (2b)

ln

aL

b

Ca

b

µ

π

πε

=

=

0 138loga

Zb

=

5

Figura 2

L’induttanza e la capacità per unità di lunghezza si ricavano dalla geometria della linea

e risultano essere approssimativamente

Si tratta di espressioni approssimate che possono comunque essere considerate valide

per usi pratici.

La linea parallela bifilare è una linea di trasmissione bilanciata; il suo limite

consiste nella presenza di perdite radiative, fenomeno che diventa tanto più importante

quanto più alta è la frequenza del segnale trasmesso.

L’impedenza caratteristica di una linea bifilare, in ohm, è data da

dove d è il diametro delle bacchette conduttrici e D è la loro distanza.

( )

00

00

2ln (3a)

(3b)ln 2

DL

d

CD d

µ

π

πε

≈

≈

d

DZ

2log13820 ×=

6

2 Generalità sulla tecnica TDR

La reflettometria nel dominio del tempo (Time Domain Reflectometry - TDR) è una

tecnica elettromagnetica ampiamente utilizzata ed affermata, originariamente usata per

localizzare e determinare i difetti su linee di trasmissione (in particolar modo sui cavi

telefonici). Il Radar, sviluppato intorno agli anni ‘30, può essere considerato un

antesignano del TDR; infatti, il suo stesso principio di funzionamento può essere

applicato al TDR (Figura 3). In questo caso, però, le onde elettromagnetiche emesse

dallo strumento sono guidate e si propagano all’interno di una linea di trasmissione.

Qualsiasi variazione delle proprietà elettriche della linea di trasmissione, lungo la quale

si propaga l’impulso elettromagnetico, produce una riflessione delle onde emesse.

Figura 3 Analogia tra GPR e TDR

La strumentazione permette di misurare il tempo che intercorre tra l’emissione delle

onde e la loro rilevazione, dopo che queste si sono propagate all’interno di una linea di

trasmissione e sono state riflesse da una discontinuità della linea. La conoscenza della

velocità di propagazione del segnale nella linea permette di ricavare la posizione della

discontinuità, mentre un’analisi dell’ampiezza del segnale riflesso permette di ricavare

7

informazioni sulla natura della discontinuità. In base a queste considerazioni intorno

agli anni ‘40 il TDR fu applicato a linee di trasmissione coassiali, e fu utilizzato per

testare i cavi telefonici, localizzando ed individuando la natura di eventuali difetti. Alla

fine degli anni ‘60 Fellner-Feldegg per primo utilizzò la tecnica TDR per misurare le

proprietà elettriche dei materiali, esaminando diversi “alcoli”, posti in cilindri coassiali.

Nel 1980 Topp e collaboratori, estesero questa tecnica ai suoli, attraverso la

determinazione del contenuto volumetrico d’acqua di terreni, posti sempre in contenitori

coassiali, mostrandone così tutte le potenzialità nelle applicazioni geofisiche.

Successivamente, gli stessi ricercatori svilupparono un sistema TDR adatto a misurare

in situ le proprietà elettriche dei terreni utilizzando una linea di trasmissione bifilare,

formata da due conduttori paralleli, immersi nel materiale investigato. Sebbene negli

ultimi venti anni la tecnica TDR, grazie al fatto di essere una tecnica non distruttiva e

priva di rischi legati all’emissione di radiazioni, abbia trovato la sua principale

applicazione nell’agricoltura, nella ricerca idrogeologica e nella ricerca ambientale,

dove viene utilizzata soprattutto per misurare il contenuto d’acqua e per identificare

eventuali rischi chimici dei terreni, questa risulta essere ancora utilizzata per valutare

semplicemente e rapidamente la permettività e la conducibilità elettrica di soluzioni o

materiali granulari.

Le misure con tecnica TDR di proprietà elettriche dei materiali vengono a tutt’oggi

effettuate utilizzando lo stesso apparato strumentale utilizzato per testare i cavi di

trasmissione, il cosiddetto “metallic cable tester”.

8

Metallic Cable Tester

Un Metallic Cable Tester (MCT) generalmente consiste in quattro parti: un generatore

d’impulso a gradino, un cavo coassiale, un campionatore ed un oscilloscopio. La

strumentazione in dotazione presso il Laboratorio di Geofisica del Dipartimento è il

Cable Tester Tektronix 1502C

Figura 4 Rappresentazione schematica degli elementi del MCT

Cable Tester Tektronix 1502C

9

Generatore di impulsi a gradino

Il generatore di impulsi a gradino produce delle onde elettromagnetiche

sinusoidali che coprono un’ampia banda in frequenza. La sovrapposizione dell’ onda

sinusoidale fondamentale con le armoniche di ordine superiore, produce un’onda quadra

periodica, detta impulso a gradino; tuttavia, quando la frequenza dell’ armonica di

ordine massimo risulta superiormente limitata, l’onda risultante sarà soltanto

approssimativamente quadra. Questo è cosa succede nel caso di generatori di impulsi a

gradino dove ci sono limiti di natura strumentale che determinano la massima frequenza

raggiungibile dall’ armoniche di ordine superiore. In Figura 5a è mostrato il tipo d’onda

quadra generata dall’apparecchio MCT Tektronix 1502C.

Figura 5a Segnale a gradino generato dal MCT

Il gradino di tensione è prodotto dalla sovrapposizione di onde sinusoidali che

vanno dalla frequenza di 5 KHz (fondamentale) a quella di 1.75 GHz. Ciascun gradino

di tensione viene trasmesso per 25 µs con una pausa di 200 µs tra un gradino ed il

successivo.

La figura 5b mostra la forma ideale e reale dell’impulso emesso dal metallic

cable tester.

10

Figura 5b

Cavo coassiale

Il generatore di impulso ed il campionatore sono collegati attraverso un cavo

coassiale di impedenza Z=50 Ω. Lo schermo (calza) del cavo coassiale è collegato a

terra. Le onde elettromagnetiche prodotte dal generatore vengono lanciate sul

conduttore del cavo coassiale con una caduta di tensione tra conduttore e schermo di

300 mV.

Il campionatore

A seconda del tipo di dielettrico, le onde elettromagnetiche viaggiano all’interno

di un cavo o di una guida a diversa velocità. Se il dielettrico è rappresentato dal vuoto

queste si propagheranno alla velocità della luce, mentre se il dielettrico è rappresentato

dal polietilene, come nel caso del coassiale da noi utilizzato, la loro velocità sarà ridotta

al 66% della velocità della luce. Ne consegue che il tempo che intercorre tra l’inizio

della trasmissione delle onde da parte del generatore e l’inizio della loro ricezione nel

11

campionatore è molto breve. Il campionatore è costituito da due parti: un sistema di

temporizzazione ed un voltmetro ad alta precisione. Quando il campionatore riceve le

onde elettromagnetiche comincia a misurare la tensione tra lo schermo ed il conduttore

a intervalli di tempo prefissati, così da ottenere un insieme di dati rappresentanti la

differenza di potenziale come funzione del tempo

L’oscilloscopio

L’oscilloscopio mostra su uno schermo a cristalli liquidi le misure simultanee di tempo

e tensione ottenute dal campionatore, tracciando una curva caratteristica del processo in

esame (la traccia TDR) (Figura 6)

Figura 6 Esempio di traccia sull’oscilloscopio del MCT

Figura 6b Segnale d’ingresso

segnale inviato

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

tempo(ns)

am

pie

zza

tdr+lineabifilare tdr+balun tdr

12

In Figura 6b è mostrato il segnale d’ingresso dello strumento.

La curva denominata tdr (in blu) corrisponde al segnale visualizzato sullo

schermo dell’oscilloscopio quando si accende lo strumento, senza averlo collegato ad

una linea di trasmissione: il gradino viene totalmente riflesso, in controfase, in

corrispondenza del connettore.

La curva tdr+ balun (in rosso) mostra la riflessione nel caso in cui al Tektronix

1502C sia stato collegato il balun: la riflessione in questo caso è in fase.

La curva tdr+ linea bifilare (in nero) è relativa alla situazione in cui al balun sia

stato collegato il cavo bifilare: la riflessione, in fase, avviene in corrispondenza

dell’estremità del cavo.

L’ampiezza del segnale dopo la riflessione finale non è pari al doppio del

segnale d’ingresso (riflessione da una linea aperta) in quanto il segnale viene in parte

attenuato dal balun.

Il balun (balanced-unbalanced) è un adattatore di impedenza, che permette di

convertire in modo appropriato un segnale che passa da una linea non bilanciata ad

una linea bilanciata e permette di ottenere un adattamento tra linee con impedenze

differenti. Se non si facesse uso del balun, il campo si modificherebbe comunque da

non bilanciato a bilanciato, ma in modo graduale.

13

3 Principio di funzionamento del TDR

Nella reflettometria nel dominio del tempo un impulso a gradino di

tensione è propagato lungo una linea di trasmissione, che a secondo della

sua configurazione, può essere riempita o immersa nel mezzo del quale si

vogliono indagare le caratteristiche elettriche. L’impulso di tensione si

propaga come un’onda elettromagnetica, viaggiando nel mezzo e guidata

dai conduttori.

Figura 7 Principio di funzionamento del TDR

14

La propagazione di un’onda elettromagnetica all’interno di una linea di

trasmissione è legata alle caratteristiche di impedenza della linea. Consideriamo una

linea di trasmissione avente un’impedenza caratteristica 0Z ; nel momento in cui

poniamo fra le superfici conduttrici un materiale uniforme, avente permettività elettrica

complessa ε e permeabilità magnetica complessa µ , la sua impedenza diverrà:

Quando la linea di trasmissione riempita è connessa al sistema TDR, avente

un’impedenza di uscita uZ , il disadattamento di impedenza tra uZ e sZ produce la

riflessione di parte del segnale TDR che arriva al campione, mentre il resto del segnale è

trasmesso all’interno del campione. Il coefficiente di riflessione è dato dalla:

e rappresenta il rapporto delle ampiezze dei segnali TDR incidente e riflesso. Il

coefficiente di trasmissione a sua volta sarà dato dalla:

Esempi di riflessione sono mostrati in Figura 8

Figura 8

0 (4)sZ Zµ

ε=

( )( )

(5)s u

s u

Z Z

Z Zρ

−=

+

1 (6)τ ρ= +

15

Consideriamo la riflessione e la trasmissione dell’impulso in un mezzo

multistratificato, come mostrato in Figura 9a:

Figura 9

Assumiamo che il potenziale in ingresso al campione sia 0V . Ad ogni superficie

di separazione tra i vari strati del campione, parte del segnale sarà riflesso indietro,

mentre parte sarà trasmesso in avanti fino alla successiva superficie di separazione. Il

potenziale riflesso tornerà indietro fino alla sorgente del segnale (all’ interno del TDR),

dove sarà rilevato. Il valore iV (vedi figura), dove il pedice i indica un intervallo di

tempo discreto, sarà determinato dalla sovrapposizione dei segnali riflessi e del

potenziale in ingresso 0V . L’intervallo di tempo it è il tempo necessario affinché il

segnale percorra, andata e ritorno, lo strato j, avente spessore JL , e, supponendo che il

mezzo sia non magnetico e verifichi la condizione εε ′<<′′ , sarà dato da

1 22 /

i J Jt L ( ) / c′= ε , dal momento che 2J J iv L / t= e 1 2/

J Jv c / ′= ε . La sequenza degli

16

( )1 0 11V V= + ρ

( )( )2 1 0 1 1 21 1V V V= + + ρ − ρ ρ

intervalli di tempo specifica la posizione sull’asse orizzontale (o asse dei tempi) della

traccia TDR, mentre l’asse verticale caratterizza l’ ampiezza del segnale.

In prima approssimazione possiamo calcolare il potenziale iV ignorando le

riflessioni secondarie o di ordine maggiore (rappresentate in figura dalle linee con le

frecce).Utilizzando questo approccio otteniamo:

dove i=1, 2, 3,…,n e n è il numero di interfacce del campione.

Includiamo ora anche le riflessioni secondarie e di ordine successivo. In figura 9b un

nodo di intersezione fra i raggi è indicato con ijV . Quattro raggi, denotati con ijkV , con

k=1, 2, 3, 4, convergono nel nodo ijV , come mostrato in Figura 9b

Figura 9

( )( )( )( )3 2 0 1 1 2 2 31 1 1 1V V V= + + ρ − ρ + ρ − ρ ρ

( )1

2

1 0

1

1i

i i i J

J

V V V−

−

=

= + ρ − ρ∏

(7)

17

Il pedice i denota l’intervallo di tempo; il pedice j denota la posizione del nodo relativa

allo strato, avente impedenza jZ e posto a destra del nodo. Ogni nodo è connesso ai

quattro nodi vicini da quattro raggi. Il pedice k=1, 2, 3, 4 è l’indice che denota i raggi

convergenti nel nodo. Dalla struttura caratterizzante la Figura 9b si evince che:

Applicando i coefficienti di riflessione e trasmissione, al tempo i e nella posizione j, si

ottengono le relazioni aggiuntive:

Risulta quindi che il segnale ricevuto dal campionatore TDR è la serie che somma le

tensioni riflesse 4,1,iV . Quindi il segnale letto al tempo i sarà dato da:

Notiamo che nel caso di strati non conduttivi e terminanti con uno strato

infinitamente resistivo (per il quale si ha 1nρ = ) il valore di iV per i >> n è uguale a

2 0V . Nel momento in cui andiamo a considerare un campione costituito da un solo

mezzo dielettrico uniforme, terminante con un circuito aperto (quindi 2ρ =1) e tenendo

conto del coefficiente di riflessione e di trasmissione, la (10) diventa:

1, 1,1 , ,4

, 1,2 , ,3

(8a)

(8b)

i j i j

i j i j

V V

V V

+ −

+

=

=

( )

( ), ,3 , ,1 , ,2

, ,4 , ,2 , ,1

1 (9a)

1 (9b)

i j j i j j i j

i j j i j j i j

V V V

V V V

ρ ρ

ρ ρ

= − + +

= + + −

0 ,1,41

(10)i

i m

m

V V V=

= +∑

( ) ( ) ( )( )220

2

1 1 (11)i

j

i

j

V V ρ ρ ρ−

=

= + + − −

∑

18

Consideriamo ora questo specifico caso, ed andiamo a vedere la forma d’onda

del segnale TDR in funzione del tempo. Per far ciò, supponiamo che il nostro apparato

strumentale abbia la configurazione mostrata nelle Fig 10 e 11.

Figura 10 Sovrapposizione delle onde trasmesse e riflesse

A B C

parallel balanced linescoaxial line

ZZ11

Z Z2 3

SamplerImpedencemismatch

matchedimpedence

Openend

Pulsegenerator

Oscilloscope

t=0 t=t

t=2t

t=2t

A

AB

AB BC+ 2t

Balun

Z Z2 3>

(a)

(b)

(c)

19

A B C

0

0 .300

V

V

V

V

V

U

U

U

U

U

U

U

+ U

2 U

2 U

r,1

r,2

r,1

r,1

r,1

t,1

t,2

t,2

t,1

t,1

+ 2 U2 U r,2t,1

0

0

0

0

0 .300

0 .300 +

0 .300 +

0.3 00 +

Linea coassia le

Z1 Z

2

BA ttt <<

BA ttt <<

CB ttt <<

Btt =

Ctt =

Z1

Z2

>

Figura 11 Esempio di riflessione lungo la linea di trasmissione

Nel punto A il cable tester è collegato ad un cavo coassiale dello stesso tipo di quello

interno (Zu=50 Ω). Nel punto B la configurazione del cavo viene modificata in modo

tale da presentare un’impedenza caratteristica diversa da 50 Ω (in questo caso

l’impedenza risulta ridotta). Nel punto C si ha la fine del cavo (aperto); quindi

(a) (b) (c) (d) (e)

20

l’impedenza a destra di C tende ad infinito. Le variazioni d’impedenza in B ed in C

inducono,come detto, delle riflessioni delle onde elettromagnetiche.

Tempo t=0

Al tempo t=0 il generatore inizia ad emettere onde elettromagnetiche, la cui

sovrapposizione origina un gradino pari a 0.300 V. Allo stesso istante il campionatore

comincia a misurare sia il tempo che la tensione creando un set di dati (t,V). Questo

viene fatto a piccoli intervalli di tempo e l’oscilloscopio mostra tali valori. Al tempo t=0

il fronte del gradino di tensione non ha ancora raggiunto il campionatore per cui questo

misura una tensione nulla.

t=tA

Quando il fronte del gradino raggiunge il campionatore questo registra una tensione tra

cavo interno e schermo di 0.300 V. Sull’oscilloscopio questo viene mostrato come un

istantaneo innalzamento del valore della tensione da 0.0 V a 0.300 V (figura 10(a)).

Allo stesso istante in cui il campionatore riceve il fronte del gradino (t=tA) il fronte entra

nel cavo.

tA<<<<t<<<<tB (figura 11(a))

Il gradino di tensione viaggia nel cavo sino a raggiungere il punto B. Durante questo

intervallo il campionatore misura sempre un gradino di tensione pari a 0.300 V.

tA<<<<t<<<<tB ad un tempo maggiore (figura 11(b))

Al punto B una parte del gradino di tensione viene riflesso indietro verso il cable tester

(Ur,1) mentre parte di esso viene trasmesso nel cavo a diversa impedenza (Ut,1). Poiché

l’impedenza del cavo che si trova oltre il punto B è minore di quella del cavo prima del

punto B, le onde elettromagnetiche verranno riflesse in controfase rispetto a quelle

trasmesse dal cable tester. Quando le onde riflesse e trasmesse si sovrappongono ne

21

risulterà una caduta di ampiezza rispetto a quella del gradino di tensione originario.

L’ampiezza del gradino di tensione trasmesso è pari a (0.300V + Ur,1)= Ut,1, poiché deve

sempre esserci la stessa tensione da una parte e dall’altra di una discontinuità.

t=tB (figura 11(c))

Il gradino di tensione trasmesso (Ut,1) continua ad avanzare verso il punto C dove viene

totalmente riflesso in fase poiché l’impedenza oltre tale punto tende ad infinito (linea

aperta). Quindi l’ampiezza nel punto C diventa 2Ut,1. Al tempo t=tB il fronte del gradino

di tensione riflesso (Ur,1) ha raggiunto il campionatore, e questo rileva una caduta di

tensione tra il cavo centrale e lo schermo.

tB<<<<t<<<<tC (figura 11(d))

Dopo un certo tempo la riflessione del gradino di tensione (Ut,1) raggiunge il punto B.

Poiché l’impedenza è minore nel cavo da cui il gradino sta provenendo, la riflessione

parziale (Ur,2) delle onde elettromagnetiche che viaggia nuovamente verso C sarà in

fase. Il gradino di tensione trasmesso (Ut,2) verso il cable tester sarà anch’esso in fase

ed avrà un valore pari a Ut,1+ Ur,2.

t=tC (figura 11(e))

Il gradino di tensione riflesso (Ur,2) raggiunge il punto C e viene totalmente riflesso in

fase come è stato per Ut,1. Al tempo t=tC il gradino di tensione trasmesso (Ut,2)

raggiunge il campionatore nel punto A. Poiché Ut,2 è in fase con le onde trasmesse dal

cable tester, il campionatore registra un aumento di tensione tra conduttore e schermo.

Dalla figura 10 (c) si osserva che il tempo necessario perché l’impulso a gradino

percorra la distanza tra B e C e torni indietro è pari a tC-tB. La riflessione totale (Ur,2) nel

punto C raggiungerà nuovamente B dove sarà parzialmente trasmessa verso il punto A e

22

parzialmente riflessa verso il punto C. Queste riflessioni multiple danno origine al

segnale a scaletta osservabile in figura 11(c), fino a completo esaurimento.

4 Misure dei parametri elettromagnetici con il TDR

Misure di velocità e permettività

La forma d’onda mostrata sull’oscilloscopio rappresenta la sovrapposizione

delle onde incidenti (il segnale a gradino emesso dal generatore) e le onde riflesse (in

fase o in controfasce) generate ad ogni disadattamento di impedenza nel sistema. In

Figura 12 (b) è mostrato l’andamento di una forma d’onda ideale TDR in relazione alle

impedenze caratteristiche iZ delle differenti sezioni.

Figura 12

23

Tutti i tempi misurati sono relativi al tempo 1t (associato al punto A dove il

gradino generato è rivelato dal campionatore). Il tempo di transito, diviso per due, di

andata e ritorno nel cavo tra i punti A e B è ABt∆ , corrispondente a 12 tt − . Il tempo di

transito di andata e ritorno, diviso per due, legato alla propagazione del segnale tra il

punto di inizio B e il punto finale C della sonda TDR è BCt∆ corrispondente a 23 tt − .

Questo valore viene utilizzato per calcolare la velocità di propagazione del segnale nel

materiale, tramite la relazione

dove L è la lunghezza fisica della sonda TDR.

Nelle applicazioni TDR, dal momento che solitamente vengono esaminati

materiali non magnetici, la misura della velocità di propagazione del segnale viene

utilizzata per calcolare la permittività elettrica dei mezzi. Come enunciato

precedentemente, la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica che viaggia

con frequenza angolare ω in una linea di trasmissione immersa in un materiale

dielettrico non magnetico, dissipativo e dispersivo, può essere espressa come

Nel caso in cui il materiale abbia poche perdite, ovvero 1tan <<eδ , la (12) si riduce

alla ben nota espressione ( ) 21

rcv ε ′= .

In questo caso la costante dielettrica rr εε =′ del mezzo può essere calcolata dall’analisi

della componente orizzontale della traccia TDR, misurando l’intervallo di tempo BCt∆ :

(11)BC

Lv

t=

∆

11 22 2

(12)

1 (1 tan )

2e

r

cv

δε

= + +

′

24

122 2 2 2

2 (14)

e

v

µ µ ε ε ε µ ε µ

= ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + −

Nel caso di materiali magnetici in cui non sia possibile trascurare le perdite (sia

dielettriche che magnetiche), l’espressione (12) assume la forma generale già introdotta:

e in questo caso risulta impossibile separare i contributi dati a v dalla parte reale e dalla

parte immaginaria della permittività dielettrica e della permeabilità magnetica. Nella

letteratura TDR si usa spesso indicare la permettività misurata con il termine di

permettività apparente εa.

Nei processi di misura le forme d’onda a gradino della traccia TDR assumono,

nel caso reale, una forma arrotondata e irregolare, dovuta alla combinazioni di vari

effetti dispersivi (Figura 13). Questa forma non ideale rende la determinazione

dell’intervallo di tempo presente nell’equazione (13) particolarmente delicata,

condizionando l’accuratezza delle misure di velocità e costante dielettrica.

Figura 13 Forma teorica della curva TDR

2

(13)BCr

c t

Lε

∆ =

25

Quindi un punto particolarmente critico nelle misure TDR di permettività e

velocità risulta essere l’identificazione di quei punti della traccia usati per determinare il

tempo di transito dell’onda elettromagnetica nel mezzo sotto indagine. Differenti

procedure sono state utilizzate da vari autori per determinare tale intervallo di tempo, ed

in alcuni casi è stato stimato anche l’errore associato a tale determinazione. E’

importante sottolineare, comunque, che tutti i metodi presenti in letteratura sono in

linea di principio equivalenti, e affetti da un errore non facilmente valutabile.

Nelle misure di laboratorio effettuate in questo corso, l’analisi della forma

d’onda TDR viene eseguita semiautomaticamente utilizzando un programma

computerizzato (Redman, 1996), tramite il quale i punti 2t e 3t vengono trovati

attraverso il cosiddetto metodo delle tangenti, illustrato schematicamente nelle Figure

14a e 14b:

Figure 14a e 14b

26

In questo programma, quattro finestre temporali vengono scelte manualmente lungo la

forma d’onda: la prima e la seconda nelle immediate vicinanze, rispettivamente subito

prima e subito dopo, del punto valutato qualitativamente come punto di discontinuità

caratterizzante l’inizio delle sonde; la terza prima del finale cambiamento di pendenza e

la quarta subito dopo tale cambiamento di pendenza, caratterizzante la fine delle sonde;

i. in ciascun intervallo, è stato effettuato automaticamente un fit lineare

(con il metodo dei minimi quadrati), ed è stata tracciata la retta ottenuta;

ii. l’intersezione fra le prime due rette è stata usata per determinare 2t e

l’intersezione fra le ultime due è stata usata per determinare 3t .

Quando una forma particolarmente critica della curva TDR può portare ad una

identificazione non del tutto corretta delle finestre temporali (per esempio nel caso di

misure con sonde bifilari di materiali in cui la velocità di propagazione risulta essere

piuttosto alta), i valori ottenuti per 1t e 2t con il metodo delle tangenti possono essere

confrontati con quelli ottenuti con il metodo delle derivate, che si basa sull’utilizzo della

derivata prima per determinare l’intervallo di tempo t∆ .

Figura 15

27

Facendo riferimento alla Figura 15, il punto iniziale di riflessione, il punto C, è

definito come l’intersezione delle tangenti alla curva, E e F, passanti rispettivamente per

i punti, in corrispondenza dei quali, la derivata prima risulta avere un massimo ed un

minimo, zona A in figura. Il punto finale di riflessione, punto D, è determinato

dall’intersezione della retta tangente al minimo globale della curva e della retta tangente

alla curva e passante per il punto, in corrispondenza del quale, la derivata prima risulta

essere massima, punto B in figura.

Sottolineiamo che questi due metodi sono concettualmente equivalenti, e

possono essere utilizzati entrambi nei casi in cui si vuole verificare che, l’arbitrarietà

della scelta delle finestre temporali nel primo metodo, non influenzi la determinazione

di t∆ .

Le Figure 16 (a,b,c) mostrano, a titolo esemplificativo, le curve relative a misure TDR

effettuate con una sonde bifilari aventi diverso diametro, con distanza costante (26 mm)

tra gli elettrodi. La Figura 17 mostra, invece, le diverse curve TDR ottenute in diverse

misture di palline di vetro.

(a)

aria; distanza sonde: 26 mm

0

200

400

600

800

1000

1200

15 15.5 16 16.5 17 17.5

tempo (ns)

am

pie

zza

s3; 26mm

s4; 26mm

s5; 26mm

28

(b)

(c)

Figura 16 Curve TDR ottenute con sonde di diverso diametro a distanza 26 mm per aria (a),

etanolo (b) e acqua demineralizzata (c)

Infine, la Figura 18 mostra la dipendenza della velocità dalla bulk density, in misture anidre di palline di vetro e magnetite.

etanolo; distanza sonde: 26 mm

-1000

-500

0

500

14 16 18 20 22

tempo (ns)

am

pie

zza s3; 26mm

s4; 26mm

s5; 26mm

H2O; distanza sonde: 26 mm

-1000

-500

0

500

14 16 18 20 22 24

tempo (ns)

am

pie

zza s3;26mm

s4;26mm

s5;26mm

29

Figura 17 Curve TDR ottenute con sonda bifilare in misture palline di vetro + aria e/o acqua

Figura 18 Andamento della velocità in funzione della densità bulk per misture di magnetite

e palline di vetro. I punti si riferiscono a i valori ottenuti dalle misure utilizzando tutte le

granulometrie, tutte le concentrazioni di magnetite e tutte le sonde a disposizione.

tutti i campioni

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

1,100 1,300 1,500 1,700 1,900 2,100

densità bulk (g/cm3)

ve

loc

ità

(m

/ns

)

30

Relazione tra permittività e contenuto volumetrico d’acqua

Topp e collaboratori hanno ottenuto un’equazione empirica che descrive

l’andamento del contenuto d’acqua in funzione della permittività, per suoli granulari:

Questa equazione è vincolata a passare per il punto (81,5;1), corrispondente all’acqua

pura a 20°C (Figura 19).

Per l’applicazione ai suoli, questa curva può essere usata come calibrazione empirica

per la determinazione del contenuto d’acqua, con un errore di stima standard pari a circa

1.3% sull’intero intervallo di contenuti d’acqua.

In pratica, però, in genere si misura la permittività εa e si vuole determinare il contenuto

volumetrico d’acqua θv. L’equazione che segue, ottenuta con gli stessi dati della (15),

assume che εa sia nota:

Figura 19 Correlazione fra permettività e contenuto volumetrico d’acqua secondo diversi modelli

2 33.03 9.3 146.0 76.7 (15)a v v vε θ θ θ= + + −

2 2 4 2 6 35.3 10 2.92 10 5.5 10 4.3 10 (16)v a a aθ ε ε ε− − − −= − × + × − × + ×

31

Misure di attenuazione e conducibilità elettrica

La misura del coefficiente di attenuazione di un mezzo è possibile attraverso la

misura dell’ ampiezza del segnale riflesso, valutabile attraverso una analisi della

componente verticale della traccia TDR.

Quando un’onda elettromagnetica trasversale (TEM) si propaga lungo le sonde del TDR

immerse in un mezzo, l’energia del segnale decresce in maniera dipendente dal

coefficiente di attenuazione caratterizzante il mezzo in cui queste sono immerse.

I primi risultati sistematicamente utilizzati per la determinazione del coefficiente

di attenuazione di un mezzo furono ottenuti da Dalton nel 1984, il quale inoltre

dimostrò che il tempo di transito e l’attenuazione del segnale lanciato in un materiale

sono sufficientemente indipendenti da poter permettere di calcolare tale tempo di

transito e l’attenuazione dell’onda simultaneamente. In accordo con la teoria dei campi

elettromagnetici, l’ampiezza di un segnale che percorre una distanza nota, nel nostro

caso pari a due volte la lunghezza “L” delle sonde TDR, in un mezzo caratterizzato da

un coefficiente di attenuazione α , diminuirà esponenzialmente e, assumendo una

riflessione totale, il segnale riflesso sarà dato da:

dove tV sarà l’ ampiezza del segnale che entra nella sonda immersa nel mezzo e rV sarà

l’ ampiezza del segnale riflesso alla terminazione aperta caratterizzante la fine delle

sonde; i valori tV e rV sono leggibili direttamente dalla traccia TDR come mostrato

nelle Figure 20a e 20b.

= −α2 (17)r tV V exp( L )

32

Figura 20a

Figura 20b

33

Quindi, dalla (17), otteniamo per il coefficiente di attenuazione l’espressione

Tuttavia il metodo di analisi utilizzato da Dalton risulta essere eccessivamente

approssimato per fornire una valutazione attendibile di α , in quanto presuppone che la

tensione rV rilevata dal campionatore coincida con quella riflessa totalmente alla fine

delle sonde, non tenendo quindi conto degli effetti di riflessione multipla, descritti nel

paragrafo precedente, a cui è soggetto il segnale.

Per superare questi limiti presenti nel metodo di Dalton, Yanuka e Topp (1988)

svilupparono un modello che tenesse conto di questi effetti. Tale metodo introdotto è

essenzialmente una modifica del metodo sopra descritto, che tiene conto delle riflessioni

multiple (Figura 21).

Figura 21

1ln (18)

2t

r

V

L Vα =

34

In un mezzo attenuante l’ampiezza del segnale EM decresce di un fattore

( )exp x−α nel momento in cui esso si propaga nella direzione delle x positive. Nel

nostro caso utilizziamo un fattore di attenuazione f definito come:

dove 2L è la distanza che il segnale EM ha percorso nel mezzo e α .

Consideriamo nuovamente un mezzo multistratificato, come precedentemente

descritto. Al fine di considerare l’attenuazione, caratterizziamo ciascun strato del

campione, di spessore JL , con una costante di attenuazione Jα e con un fattore di

attenuazione Jf . L’espressione

precedentemente ricavata, considerando sempre soltanto il primo ordine di riflessioni,

diverrà

Nel caso particolare in cui andiamo a considerare un mezzo avente un solo

strato, e terminante con un circuito aperto, otterremo

( )−

−

=

= + ρ − ρ∏1

2 2

1 0

1

1 (21)i

i i i J J

J

V V V f

( )1

21 0

1

1 (20)i

i i i j

j

V V V ρ ρ−

−

=

= + −∏

exp( 2 ) (19)f Lα= −

( ) ( ) ( )( )22 2( 1)0

2

1 1 (22)i

j j

i

j

V V fρ ρ ρ− −

=

= + + − −

∑

35

( ) ( ) ( )20 1 1fA V / V /= − + ρ − ρ

L’equazione (22) può, in linea di principio essere risolta per f se iV e ρ sono

note. In pratica, tuttavia, tale equazione può essere risolta agevolmente per f in due

casi, quando i=2 e quando i=∞

• caso i=2: Possiamo porre 1 tV V= e 2 rV V= .In questo caso

avremo

dove rV e tV sono i valori del potenziale definiti in precedenza.

• caso i= ∞ : Possiamo porre i fV V= dove fV è l’altezza del segnale TDR

preso a tempi molto lunghi (circa 10 volte il tempo impiegato dal segnale

a percorrere le sonde), quando cioè non risultano essere più apprezzabili

le differenze fra due riflessioni successive. In questo caso avremo

dove:

Combinando la (18) con la (23) e la (24), otteniamo per la costante di attenuazione del

mezzo rispettivamente le:

( ) = − ρ 1 2

1 (24)/

f A / A

( ) ( )= − − ρ20 1 (23)r tf V V / V

( )− ρα =

−

2

0 11 (25)

2 r t

Vln

L V V

36

Nel caso in cui i materiali investigati abbiano caratteristiche elettriche simili (materiali

anidri) la stima dell’attenuazione può essere fatta utilizzando la (25), poiché risultano

valutabili solo i valori di rV , mentre quelli di fV risultano essere entro l’errore

praticamente uguali.

Si noti che, nel caso particolare di materiali magnetici in cui non sia possibile

trascurare le perdite (sia dielettriche che magnetiche), l’espressione dell’attenuazione

assume la forma generale, e in questo caso risulta impossibile, così come nel caso della

velocità, separare i contributi dati a α dalla parte reale e dalla parte immaginaria della

permittività dielettrica e della permeabilità magnetica.

Per materiali non magnetici, una volta nota la costante di attenuazione, e la

permettività dielettrica del mezzo, è possibile calcolare la conducibilità elettrica

partendo dalla relazione precedentemente dimostrata:

Nel caso in cui il materiale abbia poche perdite, ovvero 1tan <<eδ , la (27) si riduce

alla espressione:

( )

+ ρ − ρ

α =

− − ρ

0

0

1

1 (26)

2 1

f

f

V

Vln

VL

V

( )

( ) 1

22

60 (27)

1 1 tan2

r DC

r

e

πω ε σ ωα

εδ

′′ +=

′ ⋅ + +

( )060 (28)r DC

r

π ωε ε σα

ε

′′+=

′

37

Come possiamo vedere le informazioni sulla conducibilità elettrica che possiamo

ricavare sono in realtà riferite ad una conducibilità elettrica efficace, che non coincide

con la conducibilità elettrica statica DCσ , ma ad essa è legata dalla relazione:

Combinando la (28) e la (29) con la (25) e la (26), otteniamo per la conducibilità

elettrica efficace del mezzo rispettivamente la:

solitamente indicata in letteratura come Tσ (conducibilità elettrica calcolata con il

metodo di Topp), che si ottiene quando consideriamo solamente la prima riflessione

(caso i=2), e la:

solitamente indicata in letteratura come Yσ (conducibilità elettrica calcolata con il

metodo di Yanuka), che si ottiene quando consideriamo il potenziale che si ha per tempi

molto lunghi, quando tutte le riflessioni sono terminate e il segnale è costante (caso

i= ∞ ).

Queste equazioni possono anche essere espresse in funzione dei soli valori del

potenziale, in modo da poter essere usate anche quando non si conosca l’impedenza

caratteristica della sonda TDR, considerando il coefficiente di riflessione nella forma

0 (29)eff DC rσ σ ωε ε ′′= +

( )20

ln (30)120 1

r r teff

V V

L V

εσ

π ρ

′ −=

−

0

0

1

ln (31)120

(1 )

f

r

efff

V

V

VL

V

ρ ρε

σπ

ρ

+ − ′

=

− +

38

In tal caso la (30) e la (31) divengono le:

In letteratura sono presentate anche altre tecniche atte a misurare la conducibilità

elettrica del mezzo nel quale sono immerse le sonde TDR. Tra queste, la tecnica

maggiormente diffusa è il metodo di Giese-Tiemann per la determinazione della

conducibilità elettrica. Giese e Tiemann sono stati i primi che hanno determinato la

resistenza di un campione utilizzando le forme d’onda del TDR. Il metodo da loro

utilizzato equivale a misurare la resistenza, a basse frequenze, del mezzo in cui sono

immerse le sonde del TDR; quindi verosimilmente ci fornisce una stima della DCσ ,

ovvero della conducibilità elettrica statica (cioè in un regime di corrente continua).

Questa procedura verrà utilizzata nel corso delle esercitazioni con il TDR.

Una misura della resistenza del mezzo presente tra le sonde del TDR, come è

dimostrabile nel caso di una linea di trasmissione terminante con un circuito puramente

resistivo, è data dalla :

−ρ = 0

0

(32)tV V

V

( )( )

0

0

2ln (33)

120t tr

T

r t

V V V

L V V V

εσ

π

′ −=

−

( )( )

0

0

ln (34)120

t f t fr

Y

t f

VV V V V

L V V V

εσ

π

− +′=

−

39

dove LR è la resistenza di carico della linea di trasmissione ( Ω ) immersa nel mezzo che

stiamo investigando, cavoZ è l’impedenza del cavo che collega l’MCT alle sonde, e ∞ρ

è il coefficiente di riflessione preso sulla forma d’ onda ad un tempo infinito, ovvero ad

un punto della traccia dove il coefficiente di riflessione si è stabilizzato ad un valore

massimo. La conducibilità elettrica del mezzo, ad una data temperatura dipenderà, oltre

che dalla resistenza del mezzo, come sopra definito, dal fattore geometrico (g (m)) della

sonda dalla quale è indagato, e sarà data da:

Tale costante di geometrica della cella (m-1), gKG /1= , presente nella (36), può

essere caratterizzata attraverso l’espressione:

dove 0Z è l’impedenza caratteristica delle sonde e L è la loro lunghezza.

L’impedenza caratteristica delle sonde può essere determinata sperimentalmente,

immergendo la sonda in acqua deionizzata, ed utilizzando la relazione:

0 (37)120G

ZK

Lπ=

1 (36)DC

LR g

σ =

0

1 (38)

1cavo M

M

Z Zρ

ερ

+=

−

1 (35)

1l cavoR Zρ

ρ∞

∞

+=

−

40

0

0

(43)fV V

Vρ∞

−=

dove Mε è la costante dielettrica del mezzo non conduttivo (acqua deionizzata) nel

quale abbiamo immerso le sonde e ρ è il coefficiente di riflessione definito

precedentemente, e caratterizzante il mezzo usato. Si noti che la (38) si ottiene

combinando la

dove MZ è l’impedenza delle sonde immerse nel mezzo di costante dielettrica Mε , con

la

ottenuta invertendo la

In conclusione la conducibilità elettrica statica del mezzo in cui sono immerse le

sonde risulta essere data dalla:

Considerando il coefficiente di riflessione nella forma

dove fV e 0V sono i valori del potenziale precedentemente definiti, possiamo esprimere

la conducibilità elettrica, una volta fissata l’impedenza del cavo e le caratteristiche

geometriche della sonda, in funzione dei soli valori del potenziale nella forma :

1 (42)

1G

GT DC

cavo

K

Z

ρσ σ

ρ∞

∞

−= =

+

1 (40)

1M cavo

M

Z Zρ

ρ

+=

−

(41)M cavo

M cavo

Z Z

Z Zρ

−=

+

0 (39)M MZ Zε=

41

L’effetto della differente conducibilità sulla forma d’onda del TDR è mostrato

schematicamente in Figura 22.

Figura 22

Misure TDR in acqua

Quando si utilizza una sonda TDR, devono essere sempre effettuate delle misure

di calibrazione su materiali aventi proprietà elettriche note. Tale calibrazione è

finalizzata a verificare la presenza di eventuali fonti di errore dovute allo strumento e/o

alle modalità di misura ed interpretazione del segnale TDR nel determinare la velocità

di propagazione e l’attenuazione (o la conducibilità) del materiale sotto indagine. Qui di

02 (44)fG

GT

cavo f

V VK

Z Vσ

−=

42

seguito vengono presentati i risultati relativi alla calabrazione di una sonda coassiale in

aria ed in acqua demonizzata (Tabella 1). In questi materiali, la velocità di propagazione

di un’onda elettromagnetica dipende unicamente dalla permettività dielettrica del

mezzo, secondo la relazione

e dal momento che, per entrambi i materiali

si ha

dove rr εε =′ è la cosiddetta costante dielettrica del mezzo.

Tabella 1

SONDA COASSIALE (20,9 cm)

MATERIALE εr+∆εr

(TDR) εr

(RIF.)

v±∆v

(m/ns)

vRIF

(m/ns)

Aria 1,1 ± 0,1 1,000 (a) 0,29 ± 0,01 0,299

Acqua 78 ± 3 78,60 (b) 0,0339 ±

0,0006 0,03381

2*

2 (45)r

c

vε =

2

2 (47)r

c

vε ′ ≅

(46)r rε ε′′ ′<<

43

Le calibrazioni per l’attenuazione o per la conducibilità sono, di solito, effettuate

utilizzando soluzioni elettrolitiche. A titolo esemplificativo vengono mostrate qui le

calibrazioni effettuate su soluzioni di acqua bidistillata e Cloruro di Potassio (KCl),

aventi molarità compresa tra 0,005M e 0,020M. La figura 24 mostra le curve ottenute in

soluzioni di KCl con una sonda coassiale da 10 cm.

Figura 23

I risultati ottenuti sono mostrati in tabella 2. Il valore di conducibilità elettrica

indicato con E.C.(DC) si riferisce al valore di conducibilità elettrica statica calc Nel

caso della sonda coassiale sono stati utilizzati per la determinazione del potenziale

riflesso, i due differenti criteri precedentemente descritti. È stato indicato con E.C.(eff.)1

il valore ottenuto attribuendo al potenziale riflesso la tensione caratterizzante il segnale

a tempi corrispondenti all’inizio della riflessione, mentre con E.C.(eff.)2 è stato indicato

SONDA COASSIALE (10,9 cm)

0

500

1000

1500

2000

2500

-1,2

3

0,6

2

2,4

6

4,3

1

6,1

6

8,0

1

9,8

6

11,7

1

13,5

6

15,4

1

17,2

5

19,1

0

20,9

5

22,8

0

24,6

5

26,5

0

28,3

5

30,1

9

32,0

4

33,8

9

35,7

4

37,5

9

Tempo (ns)

Am

pie

zza

KCl1 KCl2 KCl3 KCl4 KCl5

44

il valore ottenuto dall’aver preso il potenziale riflesso a tempi corrispondenti alla fine

della riflessione. Sono stati presi due differenti valori per il potenziale riflesso appunto

per sottolineare la dipendenza del valore di conducibilità elettrica ottenuto dalla scelta,

peraltro arbitraria e specifica della configurazione strumentale utilizzata, dei punti della

traccia TDR da considerare. calcolato tramite la (44), mentre il valore E.C.(eff.) si

riferisce alla conducibilità elettrica efficace, calcolata tramite la (33). I valori

E.C.(cond.) si riferiscono ai valori di conducibilità elettrica statica misurati con il

conduttivimetro, qui utilizzati come valori di riferimento.

Tabella 2

SONDA COASSIALE

SOLUZIONE

Conc.

KCl

(g/l)

σEFF2 ± ∆σEFF2

(S/m)

TDR

σEFF ± ∆σEFF

(S/m)

TDR

σDC ± ∆σDC

(S/m)

TDR

σRIF§.

(S/m)

Condutt.

KCl 1 0,37 0,09 ± 0,01 0,052 ± 0,007 0,065 ± 0,007

0,057

KCl 2 0,74 0,17 ± 0,01 0,118 ± 0,009 0,13 ± 0,01 0,128

KCl 3 1,11 0,23 ± 0,02 0,17 ± 0,01 0,20 ± 0,02 0,191

KCl 4 1,48 0,29 ± 0,02 0,22 ± 0,02 0,26 ± 0,02 0,255

KCl 5 1,85 0,32 ± 0,03 0,27 ± 0,02 0,32 ± 0,03 0,304

45

La Figura 24 mostra l’andamento delle misure di conducibilità effettuate con il TDR

rispetto a quelle effettuate con il conduttivimetro ed assunte come valore “vero” di

riferimento.

Figura 24

Gli errori associati ai valori di conducibilità elettrica misurati con la tecnica TDR, sono

stati ottenuti tramite la formula di propagazione dell’errore massimo.

Come si può vedere le incertezze associate ai valori misurati risultano essere

notevolmente grandi, a testimonianza della scarsa sensibilità della tecnica TDR nelle

misure di conducibilità elettrica. Si noti anche come i valori ottenuti dipendano in

maniera critica dai criteri utilizzati per la scelta dei potenziali sulla traccia TDR.

Notiamo tuttavia come, una volta fissata la configurazione strumentale e i criteri

utilizzati per l’interpretazione della curva, l’andamento dei valori misurati sia funzione

lineare della conducibilità elettrica statica del mezzo indagato. Quindi, possiamo

SONDA COASSIALE

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

conducibilità elettrica conduttivimetro (S/m)

co

nd

ucib

ilit

à e

lett

rica

(S

/m)

E.C. (eff .)2 E.C. (eff.)1 E.C. (DC) E.C. (cond.)

46

evincere che la tecnica TDR, fissata la configurazione delle sonde e i criteri

interpretativi, ci fornisce per la conducibilità elettrica valori dipendenti dalla

conducibilità elettrica statica del mezzo tramite una relazione lineare del tipo

E.C.(TDR)=aE.C.(DC)+b .

Questo comporta che, determinati sperimentalmente i coefficienti a e b, la tecnica TDR

risulti essere, anche se in un intervallo limitato, notevolmente affidabile per la misura

delle variazioni relative di conducibilità elettrica di un campione, come riportato da vari

autori in letteratura. Se ne deduce che la tecnica TDR risulta essere adatta per effettuare

misure relative di conducibilità elettrica, ma non per effettuare delle misure assolute.

Cenni sulla distribuzione del campo e sulla sensibilità spaziale

La tecnica TDR è ampiamente usata nella determinazione della permittività

relativa e quindi del contenuto volumetrico d’acqua di un suolo. Inizialmente

l’utilizzazione era limitata agli esperimenti in situ, ma si è poi affermata anche negli

esperimenti in laboratorio nei quali diventa rilevante considerare diametro e distanza

delle sonde. È quindi utile conoscere la sensibilità spaziale delle misure, cioè quale

volume di suolo è influenzato dalle misure TDR e qual è la distribuzione della

sensibilità in questo volume. Nel caso della sonda coassiale, il campo elettromagnetico

è confinato nella regione anulare compresa tra il conduttore esterno e quello interno.

Negli altri tipi di sonde, il campo non è confinato e può assumere configurazioni

diverse, come mostrato in Figura 25.

Gli studi sulla distribuzione del campo e sulla sensibilità delle sonde sono

diversi, ma non portano a risultati univoci. Nel caso di una sonda bifilare, ad esempio, si

suppone che la sezione di suolo campionata sia un cilindro con asse tra le due sonde e

diametro pari a 1.4 volte la distanza tra esse, tuttavia l’esperienza dimostra che i

47

contributi di zone più esterne non sempre sono trascurabili. Una discussione estesa su

questi argomenti esula, tuttavia, dallo scopo di queste note.

Figura 25

Analisi del segnale TDR nel dominio della frequenza.

Nei paragrafi precedenti è stato discusso come usare il TDR per misurare la

permittività apparente dal tempo di transito nella sonda e la conducibilità dall’analisi

dell’ampiezza del segnale. Questi due tipi di misura sono i più usati in letteratura e, in

alcuni casi, possono essere sufficienti a caratterizzare il mezzo sotto esame. Dal

momento che la permittività è una grandezza che dipende dalla frequenza, nel caso di

mezzi dispersivi, è necessario passare nel dominio della frequenza per analizzare

48

adeguatamente il materiale indagato. In questo modo è possibile ottenere maggiori

informazioni dalla forma d’onda TDR riguardo le proprietà del dielettrico.

La risposta r(t) ad una funzione di input impulsiva (delta di Dirac, δ(t)) è data

dalla convoluzione tra δ(t) e la cosiddetta funzione di trasferimento (o scatter function)

s(t). In regime lineare, un input generico x(t) può essere idealmente rappresentato come

una serie di δ(t) in modo che la risposta possa essere pensata come convoluzione tra x(t)

e s(t). In formule:

∫+∞

∞−

−=⊗= τττ dstxtstxtr )()()()()( . (48)

Nel caso di misure TDR, s(t) rappresenta la funzione di trasferimento della sonda

riempita con il materiale da analizzare e r(t) è la risposta TDR che contiene tutte le

informazioni sul sistema e sulle proprietà elettromagnetiche del campione. La risposta

nel dominio della frequenza può essere ottenuta applicando il teorema della

convoluzione alla (48):

)()()( fSfXfR = (49)

dove )( fR , )( fX e )( fS sono le trasformate di Fourier della risposta, dell’input e

della funzione di trasferimento, rispettivamente. Nel caso ideale in cui l’input sia un

gradino, la funzione di trasferimento è immediatamente ottenibile come )()( trts &= . In

un sistema reale, invece, la s(t) può essere ottenuta applicando la trasformata di Fourier

inversa alla S(f) data dalla (49). Poiché x(t) non tende a zero per tempi lunghi, è

opportuno usare la proprietà delle derivate secondo la quale:

)(2)( fFifF π=& (50)

con )( fF e )( fF& trasformata di Fourier di f(t) e di )(tf& , rispettivamente. In questo

modo la (49) può essere riscritta come:

49

)(

)()(

fX

fRfS

&

&= (51)

dove )( fR& e )( fX& sono le trasformate di )(tr& e )(tx& . La (51) permette di calcolare

S(f) note x(t) e r(t). Un esempio di funzioni r(t) e x(t), usate per fare prima la derivata e

poi la trasformata, è riportato in Figura 26: le tracce TDR sono prese fino al

raggiungimento del proprio valore asintotico.

La funzione di trasferimento teorica per una sonda coassiale aperta è data da:

)2exp(*1

)2exp(*)(

L

LfS

γρ

γρ

−+

−+= (52)

dove ρ* è il coefficiente di riflessione che, nel caso di materiali non magnetici, può

essere riscritto in questa forma:

*1

*1*

r

r

z

z

ε

ερ

+

−= (53)

dove

0/ ZZz c= (54)

è il rapporto tra l’impedenza del cavo coassiale (Zc=50 Ω) e Z0 è quella della sonda in

aria e, ovviamente, *rε è la permittività del materiale da analizzare. Nel caso di

materiali magnetici, il coefficiente di riflessione dipende anche dalla permeabilità

complessa *rµ e la (53) deve essere sostituita con:

*

*1

*

*1

*

r

r

r

r

z

z

µ

ε

µ

ε

ρ

+

−

= (55)

50

0 10 20 30

2

3

4

trac

cia

TD

R

t (ns)

r(t) x(t)

Figura 26 Esempio di input, x(t), e di funzione risposta, r(t), usati per il calcolo della S(f). Le funzioni sono troncate nel

tempo una volta raggiunto il proprio livello asintotico. La tensione è espressa in unità arbitrarie.

Se è nota la relazione funzionale che lega la permittività alla frequenza, è

possibile effettuare il fit della funzione di trasferimento sperimentale, calcolata dalla

(51), con quella teorica, data dalla (52). Per molti materiali, questa relazione funzionale

è fornita dalla curva di rilassamento di Debye:

02)/(1)(*

επ

σεεεε

fi

ffif DC

rel

s

r −

+

−+= ∞

∞ . (53)

il fit permette di stimare i parametri elettromagnetici, ∞ε , sε , relf , DCσ che compaiono

nella (53) e di trovare l’andamento della permittività in funzione della frequenza.

Inoltre, il fit consente la determinazione del tempo di andata e ritorno all’interno della

51

sonda: le frequenze a cui corrispondono i minimi della parte reale della funzione di

trasferimento sono date da:

∞=−

= ...,1con)(*4

)12(n

Lf

cnf n

ε (54)

e il tempo di andata e ritorno è legato alle frequenze dalla relazione:

nn fft

−=∆

+1

1. (55)

La Figura 2.11 riporta gli andamenti della parte reale ed immaginaria della

funzione di trasferimento al variare della frequenza di rilassamento e della permittività.

-1

0

1

εs=30

εs=30

εs=79

εs=4f

rel=100GHz

frel

=17GHz

frel

=2GHz

Re(

S)

0.0 0.5

-1

0

1f

rel=2GHz

frel

=17GHz

frel

=100GHz

Im(S

)

f (GHz) 0.0 0.5 f (GHz)

εs=79

εs=4

Figura 27 Andamento della parte reale e immaginaria della funzione di trasferimento al variare della frequenza di

rilassamento (sinistra) e della permittività elettrica statica (destra).