CPI1 - Clase 2

Control de procesos industriales I

Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc

CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012

FUNDAMENTACIÓN

MATEMÁTICA PARA EL

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE

CONTROL


La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es un método

operacional que puede utilizarse para resolver

ecuaciones diferenciales lineales.

Transforma ecuaciones diferenciales en

ecuaciones algebraicas de una variable

compleja s


¿Por qué se utiliza Transformada de Laplace en

el control procesos?


¿Por qué se utiliza Transformada de

Laplace en el control procesos?

En el estudio de los procesos es necesario

considerar modelos dinámicos, es decir,

modelos de comportamiento variable respecto al

tiempo.

Para esto, es necesario el uso de ecuaciones

diferenciales respecto al tiempo para

representar matemáticamente el

comportamiento de un proceso [1].


¿Por qué se utiliza Transformada de

Laplace en el control procesos?

La transformada de Laplace es una herramienta

matemática muy útil para el análisis de sistemas

dinámicos lineales.

Permite el desarrollo del útil concepto de

funciones de transferencia [3]

Permite el uso de técnicas gráficas para

predecir el desempeño del sistema, sin tener

que resolver las ecuaciones diferenciales del

sistema [2].


Variables y funciones complejas

Para trabajar con las transformadas de Laplace se

requiere cierta familiaridad con los números

complejos:

Numero complejo: Un número complejo tiene

una parte real y una parte imaginaria, ambas

son constantes.

Variable compleja: Si la parte real y/o la parte

imaginaria son variables, el número complejo se

denomina variable compleja



En la transformada de Laplace, usamos la

notación s como una variable compleja

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

donde 𝜎 es la parte real y ω es la parte imaginaria



Función compleja: tiene una parte real y una

parte imaginaria

𝐹(𝑠) = 𝐹𝑥 + 𝑗𝐹𝑦

donde𝐹𝑥 y 𝐹𝑦 son cantidades reales.

Magnitud: 𝐹(𝑠) = 𝐹𝑥2 + 𝑗𝐹𝑦

2

Ángulo: θ = 𝑡𝑎𝑛−1(𝐹𝑦/𝐹𝑥)



Ejemplo de función compleja

Considere:

remplazando 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 se obtiene:

donde


Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función del

tiempo f(t), se define mediante la siguiente

fórmula:

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

Donde

𝐹 𝑠 es una función del tiempo

𝑠 una variable compleja

ℒ 𝑓 o 𝐹 𝑠 es la transformada de Laplace de 𝑓 𝑡


Transformada de Laplace:

Función exponencial.

Considere la función exponencial

en donde A y a son constantes.

Calcule la transformada de Laplace.



Función exponencial.

SOLUCIÓN

Transformada de Laplace: ℒ 𝑓(𝑡) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

𝑓 𝑡 = 𝐴 𝑒−𝑎𝑡 0 ≤ 𝑡 < ∞

Remplazando:

ℒ 𝐴 𝑒−𝑎𝑡 = 𝐴 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0 aplicando 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑒𝑎𝑒𝑏

ℒ 𝐴 𝑒−𝑎𝑡 = 𝐴 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡𝑑𝑡∞

0

= 𝐴 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡

−(𝑎 + 𝑠) 0

∞

= 𝐴𝑒−(𝑠+𝑎)∞

−(𝑎+𝑠)− 𝐴

𝑒− 𝑠+𝑎 0

−(𝑎+𝑠) = 0 − 𝐴

1

−(𝑎+𝑠)=

𝑨

𝒂+𝒔



Función escalón.

Considere la función escalón

en donde A es una constante.




Función escalón

SOLUCIÓN


0

𝑓 𝑡 = 𝐴 0 ≤ 𝑡 < ∞

Remplazando:

ℒ 𝐴 = 𝐴 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

= 𝐴 𝑒−𝑠𝑡

−𝑠 0

∞

= 𝐴𝑒−𝑠.∞

−𝑠− 𝐴

𝑒−𝑠.0

−𝑠)= 0 − 𝐴

1

−𝑠=

𝑨

𝒔

* La función escalón es un caso especial de la función

exponencial a=0



Función rampa

Considere la función rampa

en donde A es una constante.




Función rampa

SOLUCIÓN


0

𝑓 𝑡 = 𝐴𝑡 0 ≤ 𝑡 < ∞

Remplazando:

ℒ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

= 𝐴 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

Resolviendo la integral por partes

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 sea: 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑣 =𝑒−𝑠𝑡

−𝑠



Función rampa

Integral por partes

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 sea: 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑣 =𝑒−𝑠𝑡

−𝑠

Remplazando

𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑡𝑒−𝑠𝑡

−𝑠−

𝑒−𝑠𝑡

−𝑠𝑑𝑡 = 𝑡

𝑒−𝑠𝑡

−𝑠−

𝑒−𝑠𝑡

−𝑠2 ∞

0

= ∞𝑒−𝑠∞

−𝑠−

𝑒−𝑠∞

−𝑠2 −0𝑒−𝑠∞

−𝑠+

𝑒−𝑠0

−𝑠2 =1

𝑠2

ℒ 𝐴𝑡 =𝐴

𝑠2

0 0 0

1



Función rampa

Considere la siguiente función

en donde A y 𝜔 es una constante.




Función escalón

SOLUCIÓN


0

𝑓 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 0 ≤ 𝑡 < ∞

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) se puede escribir de la siguiente forma:

sen ω𝑡 =1

2𝑗(𝑒𝑗𝑤𝑡 − 𝑒−𝑗𝑤𝑡)

Por lo tanto

ℒ 𝐴 = 𝐴 1

2𝑗(𝑒𝑗𝑤𝑡 − 𝑒−𝑗𝑤𝑡) 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0



Función escalón Por lo tanto

ℒ 𝐴 = 𝐴 1

2𝑗(𝑒𝑗𝑤𝑡 − 𝑒−𝑗𝑤𝑡) 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

ℒ 𝐴 = 𝐴

2𝑗 (𝑒𝑗𝑤𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑒−𝑠𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

ℒ 𝐴 = 𝐴

2𝑗 (𝑒(𝑗𝑤−𝑠)𝑡 − 𝑒−(𝑗𝑤+𝑠)𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

ℒ 𝐴 =𝐴

2𝑗

1

𝑠 − 𝑗𝑤−

𝐴

2𝑗

1

𝑠 + 𝑗𝑤=

𝐴

2𝑗𝑠 + 2𝑤−

𝐴

2𝑗𝑠 − 2𝑤

ℒ 𝐴 =2𝑗𝑠𝐴 − 2𝑤𝐴 − 2𝑗𝑠𝐴 − 2𝑤𝐴

(2𝑗𝑠 + 2𝑤)(2𝑗𝑠 − 2𝑤)

ℒ 𝐴 =−4𝑤𝐴

−4𝑠2 − 4𝑗𝑠𝑤 + 4𝑗𝑠𝑤 − 4𝑤2=

𝐴𝑤

𝑠2 + 𝑤2


Transformada de Laplace de funciones

más usuales


Propiedades de la Transformada de

Laplace

Linealidad: y

Diferenciación

Integración

Desplazamiento en el tiempo

Teorema del valor inicial

Teorema del valor final


TRANSFORMADA DE LAPLACE EN

MATLAB


Trasformada Inversa de Laplace

La operación de obtener la función f(t) a partir

de la transformada de Laplace F(s) se le

denomina transformada inversa de Laplace:


Propiedades de la Transformada

inversa de Laplace

Linealidad:

Traslación

Cambio de escala

Transformada inversa de Laplace de una derivada

Transformada inversa de Laplace de una integral


Método de las fracciones simples

Método para calcular transformadas inversas de Laplace

de funciones F(s) racionales de la forma [4]:

𝐹 𝑠 =𝑁(𝑠)

𝐷(𝑠)

Donde 𝑁 𝑠 𝑦 𝐷 𝑠 son polinomios en la variable s

Pasos:

1. Descomponer la fracción F(s) en fracciones simples

a) Encontrar las raíces de 𝑄 𝑠

• Raíces reales y simples

Descomponiendo en fracciones parciales

donde



• Raíces múltiples y reales

Descomponiendo en fracciones parciales

Donde



• Raíces complejas conjugadas: misma expansión que en

raíces reales y simple

Complejos conjugados de la forma

2. Calcular la trasformada inversa de Laplace

haciendo uso de la propiedad de linealidad



Ejercicio 1

Sea

Hallar f(t)



Solución

Si expandimos en fracciones parciales obtenemos

donde

Remplazando



Se obtiene:

𝐹 𝑠 =1

𝑠+

−12

(𝑠 + 1)+

−12

(𝑠 + 3)

Aplicando la transformada inversa

𝑓 𝑡 = ℒ−11

𝑠+

−12

(𝑠 + 1)+

−12

(𝑠 + 3)

Aplicando la propiedad de linealidad

𝑓 𝑡 = ℒ−1 1

𝑠+ ℒ−1

−1

2

(𝑠+1)+ ℒ−1

−1

2

(𝑠+3)

𝑓 𝑡 = 1 −1

2𝑒−𝑡 −

1

2𝑒−3𝑡



Ejercicio 2

Sea

Hallar f(t)



Solución

Si expandimos en fracciones parciales obtenemos

donde

Remplazando



Se obtiene:

𝐹 𝑠 =1

(𝑠 + 1)+

1

(𝑠 + 1)2+

−2

(𝑠 + 1)3

Aplicando la transformada inversa

𝑓 𝑡 = ℒ−11

(𝑠 + 1)+

1

(𝑠 + 1)2+

−2

(𝑠 + 1)3

Aplicando la propiedad de linealidad

𝑓 𝑡 = ℒ−1 1

(𝑠+1)+ ℒ−1 1

(𝑠+1)2+ ℒ−1 −2

(𝑠+1)3

𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡 + 𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑡2 𝑒−𝑡


Método de las fracciones simples con

Matlab

Sea

El comando

[r,p,k] = residue(b,a)

Encuentra los residuos, los polos y los términos

directamente de una expansión en fracciones

parciales del cociente de dos polinomios B(s) y A(s)


Método de las fracciones simples con

Matlab

Ejemplo

código b = [ 5 3 -2 7]

a = [-4 0 8 3]

[r, p, k] = residue(b,a)

r =

-1.4167

-0.6653

1.3320

p =

1.5737

-1.1644

-0.4093

k =

-1.2500


TRANSFORMADA INVERSA DE

LAPLACE EN MATLAB


SOLUCIÓN DE ECUACIONES

DIFERENCIALES CON LAPLACE

Considérese la siguiente ecuación diferencial de

segundo orden.

𝑎2

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑥(𝑡)

El problema de resolver esta ecuación se puede

plantear como sigue: dados los coeficientes

𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏, las condiciones iniciales apropiadas

y la función x(t), encuéntrese la función y(t) que

satisface la ecuación




𝑎2

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑥(𝑡)

La función x(t) se conoce generalmente como

función de forzamiento o variable de entrada.

y(t) como la “función de salida” o variable

dependiente

la variable t, tiempo, es la variable

independiente.




Procedimiento de solución por la transformada de

Laplace:

Paso 1. Transformación de la ecuación

diferencial en una ecuación algebraica con la

variable s de la transformada de Laplace:




Usando el teorema de diferenciación




Remplazando se obtiene la siguiente Ecuación

algebraica

Paso 2. Se despeja Y(s) de la ecuación algebraica

encontrada




Asumiendo que

=0 y

La ecuación anterior se reduce a:




Paso 3. Se aplica a Y(s) la transformada inversa

de Laplace para encontrar y(t)

Antes de invertir es necesario seleccionar una

entrada específica. Por ejemplo sea




EJERCICIO

Encuentre la solución x(t) de la siguiente ecuación

diferencial

a y b son constantes




Solución

Definiendo la transformada de Laplace para

𝑥, 𝑥 𝑦 𝑥

Remplazando




Remplazando las condiciones iniciales

Organizando los términos

Despejando X(s)




Aplicamos transformada de Laplace

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