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INTUICINYRAZNENLACONSTRUCCINDELCONOCIMIENTOMATEMTICOCeciliaCrespoCrespoInstitutoSuperiordelProfesoradoDr.JoaqunV.Gonzlez.BuenosAiresCentrodeInvestigacionesenCienciaAplicadayTecnologaAvanzada.CICATAIPN

Argentina

Mxico

crccrespo@gmail.comCampodeinvestigacin: Pensamientolgico,Socioepistemologa Nivel: Superior

Resumen.Laconstruccindelconocimientomatemticosellevasobrelabasededosmodosde comprensin y expresin: la intuicin y la razn. Ambos, aunque poseen naturalezadistinta, se complementan y resultan indispensables en la matemtica y su enseanza,combinndose en el proceso mediante el cual se describen los objetos matemticos, susrelacionesy lamaneraen laqueesposibleoperaro interactuarconellos.La intuicinporssolanodacertezaparacomprobarlasafirmacionesmatemticas;laraznactacontrolandoa la intuicin espontnea. Si bien la intuicin tambin juega un papel esencial en losrazonamientos,esimportantequelosestudiantescomprendanqueenalgunasoportunidadespuededistorsionarrepresentacionesyconduciraerrores.Lafertilidaddelaintuicindependedesurefinamientoyrelacinconlaraznylaexperiencia.Palabrasclave:intuicin,socioepistemologa,argumentaciones,construccinsociocultural

IntuicinylgicaenelaulaEl conocimientomatemtico se construye y se sustentabsicamenteendosmodosdecomprensinyexpresin:laintuicinylarazn.Estosmodosdeconocimiento,aunquedenaturalezadistinta,soncomplementariose indispensablesen lamatemtica.Elprimeroes creativo, subjetivo y directo, el segundo es analtico, objetivo y reflexivo. En laenseanza de la matemtica no se debe descartar ninguna forma de razonamiento:inductivoodeductivo.Nosepuede,nisedebepretender,sinembargo,quelosalumnos,sobre todo en los primeros niveles de la enseanza, se muevan dentro de un marcoaxiomticorigurosoyformal.Sinembargo,yadesdeedadestempranas,esnecesarioquelosniosaprendanaintuir,plantearhiptesis,hacerconjeturas,generalizarycuandoseaposible,ensayarpequeasargumentacionesydemostraciones,aunque sinexigenciade

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formalizacin.Enciertosnivelesymomentosdelaprendizaje, laformaderazonarpuedetenertantointerscomolospropioscontenidosconceptuales.Laintuicin,entendidacomolacaptacinprimeradeconceptosquepermitecomprenderloquenosrodea,surgedesdelaniezyconstituyeelpuntodepartidaenlainvestigacinyelaprendizaje.Anteunproblemamatemtico,debedespertarseelinters,basadoenlaaceptacindelaincertidumbreinicialcomopartedelprocesodeaprendizaje.Laintuicin,pormomentossalteaescalonesdelrazonamientolgico.Esciertoquepuedeconducirnosporcaminosfalsos,porelloesnecesarioextremarelcuidado,perodebeaprovecharselaintuicinparaayudaralaprendizaje.Debemosrecordarqueenlosnivelesbsicoymedio,noseestnformandomatemticos,seestenseandoausarlamatemticayeducandoen lacomprensinyelmanejodelmtododeestaciencia.Seestenseandoapensarlgicamente.Hacefaltaeducaralaintuicinyalrazonamiento(CrespoCrespo,2005).Eltrminointuicinhasidoutilizadoatravsdelahistoriadelahumanidadcondiversossignificadosyendiversoscontextos.Laintuicinsensiblehasidocaracterizadacomounafacultadprerracional;laintuicinpuraomsticaserefiriaunaaptitudsuprarracional;laintuicin intelectual,auna variedadde la razn.Paradistintos filsofos, la intuicinhaconstituido una facultadmental que caracteriza unmodo de razonamiento autnomo.Para los cientficos, el conocimiento adquirido por medio de la intuicin, ha sidoconsideradoparcialeinexactoydebesersometidoaposteriorvalidacin.Peroenamboscasos,laintuicinescomprendidacomounafuentedeprogresoquedebesersometidaaprueba. El tipo de prueba necesaria, depende de las caractersticas de la cienciacorrespondiente.LaintuicinenlahistoriadelamatemticaAristteles sienta lasbasesde lautilizacinde la intuicinen la ciencia,alafirmarquetoda ciencia tiene punto de partida en ideas y verdades absolutas, evidentes e

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indiscutibles, posteriormente se llega a nuevas verdades por medio de la razn. Laintuicin es, entonces, la fuente primaria del conocimiento. Los postulados y nocionescomunes,muestransuevidenciapormediodelaintuicin.RenDescartes entiende a la intuicin como la concepcin de un espritu atento, tanclaroydistintoquenose lequededudaalgunaacercade loqueentiende,o loquees lomismo, laconcepcindeunespritusanoyatento,unaconcepcinnacidaa la luzde lasola razn y que es tanto ms cierta cuanto ms simple que la deduccin misma(Descartes,citadoporBunge,1965,11).Sinembargo,paraDescartes,elnicomododealcanzar el conocimiento es por medio de la intuicin evidente y la demostracin. Laintuicines,comoparaAristteles,unaoperacinracional.Descarteshizoexplcitoloqueseaceptaba implcitamentede cadaactividadde razonamiento:que cadauno tiendeaaceptaralgunosargumentoscomoesencialmenteciertosmedianteuncriterio tcitodeautoevidencia.Por suparte,BaruchSpinoza, identifica como intuicin, cierto tipode inferencia rpidaque puede hacerse mentalmente que identifica como conocimiento intuitivo y quegeneralmente se realiza con el auxilio de signos que representan los conceptos mscomplicados.Nil,niGottfriedLeibnizreconocieronqueestetipodeconocimientofuerasuficienteparaestablecernuevosprincipiosdelasciencias.ImmanuelKant,reconoce,ademsdelaintuicinsensibleyelentendimiento,laintuicinpura. La intuicin sensible, est puesta de manifiesto a travs de dos formas puras:espacio y tiempo,queactandeprincipiosde conocimientoapriori. La intuicinpura,fuentedejuiciossintticosaprioripresentesengeometrayaritmtica,esunamezcladeraznyconcienciadelaexperienciainterna.Elintuicionismomatemticosebasaenideaskantianas.El tiempo, como formaaprioride la intuicin y, sostieneque los conceptosmatemticossonesencialmenteconstruibles,entendiendoporconstruiblesqueexistaunmecanismo finito para obtenerlos. Slo acepta parte de la matemtica clsica,

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descartando aquellos conceptos que no poseen esta propiedad. La nica estrategia dedemostracin de existencia admisible es la construccin efectiva. Estas ideas fueronsustentadasporLeopoldKrneckeryHenriPoincar.Porsuparte,HermannWeylsostuvoqueafirmarlaposibilidaddeunaconstruccinnosignificabaunapruebadelamisma,yaquetalconstruccinpodaserirrealizable.Deestamanera,porsuparte,LuitzenBrouwersostuvo que un teorema no expresa una verdad, sino el xito de una construccinsistemtica.JulioReyPastoryPedroPuigAdam,alreferirsealaintuicin,afirmanquesirvedeguaenlas demostraciones indicando cul es el camino a seguir para alcanzar el rigor, perosostienenquelaintuicinporsmismaesinsuficienteyconduceaconclusioneserrneas(ReyPastor&PuigAdam,1948).El ideal de la matemtica actual ha sido la creacin de una disciplina en la que losconceptosserelacionandemaneracoherenteatravsdereglasformalesexplcitas.Entrelaspropiedadesdeseablesparaestesistema,podemoscitar lacertidumbre,coherencia,consistencia, independenciaynecesidad.La intuicinaportabasesevidentes,perocabepreguntarsesitodoconocimientoseconstruyesobreevidencias.LaintuicinyevidenciaLa intuicinessubjetiva,dependedeaquesthabituadocadauno,eltipode intuicinqueposee.Laevidenciadependeasimismode laprcticay la familiaridadquese tengacon ciertos objetos y procesos. Por ejemplo, la transitividad en las relaciones deequivalenciaeraconsideradaporDescartesuna intuicin,peroparaPiageteraadquiridapormediodelaorganizacinlgicadelpensamiento.Piagetutilizalostrminosintuicinypensamiento intuitivo frecuentemente, pero no profundiza en el entendimiento delmecanismointuitivo.

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Unejemploenelqueseevidencianlosobstculosalosquepuedeconducirlaintuicinenla enseanza se relaciona con el aprendizaje del concepto de infinito. Desde tiemposremotos, se asumiunade lasnociones comunesenunciadaspor Euclides: El todo esmayor que las partes. Se trata indudablemente de un enunciado de fuerte contenidointuitivo,pareceevidenteloafirmado.Sinembargo,Galileoidentificlaexistenciadeunabiyeccinentrelosnmerosnaturalesysuscuadrados;setratadeunejemploenelqueeltodotienelamismacantidadqueunadesuspartes.Esteproblemasepresentalquererextenderpropiedadesdeconjuntos finitosaconjuntos infinitos,desdeelpuntodevistadidctico,seponeenevidenciaunobstculoepistemolgicoenelquelanaturalezadelosconceptos involucrados es radicalmente distinta y la intuicin no puede dar unarespuesta.EnelsigloXX,apartirde los trabajosdeDavidHilbert, laevidenciano fueconsideradanecesaria para sentar los puntos de partida de la matemtica. La intuicin se tornentoncesunpapelmssecundarioenlamatemtica.No significa que la intuicin sea necesariamente insegura o perjudicial, combina laexperiencia, ofrece representaciones globales compactas de datos, ayuda a inferir deinformaciones incompletasyconfierea laactividadmentalposibilidaddecontinuidadytiene gran importancia en el aula.No debe confundirse intuicin con percepcin.Unaintuicin excede lo que se percibe, va ms all de la informacin que se presenta demanera directa. La percepcin no requiere intuicin, pero de la percepcin de casos,puederealizarseunageneralizacindeunapropiedadqueseaaceptadapormediode laintuicin.Por ejemplo, luegodepercibirque varios cuerposque se sueltan caenhaciaabajo,puedeenunciarsequeTodocuerpoquesesueltecaeyestageneralizacinqueesenrealidadunainduccinserealizamediantelaintuicin.

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ConcepcionesdelaintuicinEnlaliteraturacontempornea,existendiversasidentificacionesdeusosyaparicionesdelaintuicinquelaamplituddefenmenosyactividadesquesevinculanconlaintuicin.a) Identificacin rpida de una cosa o acontecimiento: Se refiere a la intuicinsensible que unida a la percepcin, memoria, experiencia e informacin del sujetopermite aprehender el objeto de manera rpida. Tiene un papel importante en eltrabajodelcientfico,peroelconocimientocientficonoconsistesloenlapercepcin,sinoen laelaboracin.Porejemplo,puedemencionarse laafirmacin:Larectaes lalnea ms corta entre dos puntos. Se trata de una intuicin sensible basada enpercepcinyexperiencia,quepermiteconcluirenestaaseveracin,queesverdaderaenlageometraeuclidiana.

b) Comprensin del significado de un conjunto de signos: Se evidencia en lacomprensinrpidaderelaciones,comoporejemploencadenasdeductivas,aunqueescapendetallesypasos.Dependedelaexperienciapreviaydelafamiliaridadconlasestructurascorrespondientes.Serelacionacon loobvio.Unejemplodeestaactividadde la intuicin lo constituye la unicidad del cero. Este resultado resulta evidente yparecenonecesitarpruebaparalosestudiantesdelprimercursodelgebra.

c) Capacidaddeinterpretacin:Serefierenosloalaasociacindefrmulasconsussignificados,sinotambinarelacionarasuntosaparentementeinconexos.Porejemplo,la potenciacin se define inicialmente para bases y exponentes naturales no nulos.Posteriormenteseextiendeestaoperacinadiversostiposdeexponentes,comosi laintuicin fuera capazde realizaresaextensin.Esteproceso,debe ser comprendidolejos de la intuicin y asumiendo que se trata de una convencin de la comunidadmatemtica(Martnez,2005).

d) Capacidad de representacin o intuicin geomtrica: Se refiere a representar oimaginarobjetosausentes,deconstruir,imgenesodiagramas.Laintuicingeomtrica

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espacialesimportanteenlaenseanza.Lamatemticaseapoyaenlaintuicinvisualygeomtrica,apoyasurazonamientoenellas,peronopuedeserreemplazadaporellas.Por ejemplo, podemos pensar en el concepto de punto como una mancha tanpequeacomosequiera.Estonosllevaatenerunsignificadointuitivoysubjetivoquese corresponde con la representacin que se realiza de un punto, pudiendo inclusomanipularestosobjetosytrabajarconellos.

e) Capacidaddeforjarmetforasohabilidadparasealaridentidadesparcialesentreobjetosendistintosaspectos:Serefiereareconoceranalogas,comoporejemploentreladisyuncinylasumabooleana.Lametforaesunrecursodidcticoqueilustra.

f) Imaginacin creadora: Permite inventar, generar nuevas ideas. Este proceso,generalmenteesborrado al finalde la teora.No sepresentanenesemomento lasconjeturaspreviasal resultadoobtenido.La imaginacincreadoranopuedeexistirsino se sustenta en conocimientos previos en los que ya actu la razn. Enoportunidadessehacereferenciaalaintuicincomocorazonadacientfica.

g) Sentido comn: Se limita a etapas pasadas del conocimiento cientfico. Sonnumerosos los ejemplos en los que el sentido comn engaa y permite llegar aresultados incorrectos. El sentido comnno es esttico, evoluciona enriquecindoseconelestudiode laciencia.Lapropiedadtransitivade larelacinde igualdad,pareceser una revelacin del sentido comn, si bien Piaget opin que no era innata, sinoconstruida.

Estos ejemplos de la intuicin muestran que es usual referirse como intuicin ahabilidadesyusosmuydiversos, loquedificulta lograrunadefinicinde lamisma. Laintuicineselcajndesastredondecolocamostodoslosmecanismosintelectualesquenosabemosanalizaronombrarconprecisin,onotenemosintersdehacerlo(Bunge,1965,88).

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LaintuicinenelavancedelascienciasMuchosmatemticoshansostenidoysostienenel rol fundamentalde la intuicinenelavancedelrazonamientoenestaciencia,enfatizandoque lavalidezde lasafirmacionesmatemticas se sustenta en la evidencia y la intuicin. La intuicin no es una fuerzaprimariadeverdaderacognicin,peropareceserloporqueesees justamenteelrolquedesempea:crearciertaaparienciadecertidumbre(Fishbein,1987).Entreesosejemplosde matemticos en los que la intuicin jug un papel primordial (Hadamard, 1947),podemoscitaraPierreFermat,conelenunciadodelteoremaquetardmsdetressiglosenlograrserdemostrado.OtroejemploesBertrandRiemann,quemodificlaconcepcinde la distribucin de los nmeros primos, trabaj con funciones de imgenes reales ycomplejas,enunciandopropiedadesdelasmismassindemostracinhastanuestrosdas.Elprogresode las ciencias sehaapoyadoen refinar, justificaryeliminar loselementosintuitivosquefiguraneneldesarrollodelasteoraspreviamenteasuformalizacin.Comoejemplo,elsurgimientoy formalizacindelanlisismatemtico,encuyonacimiento lasideas se sustentaron en la geometra y la visualizacin, puestas de manifiesto en eltratamiento de curvas y movimientos. En sus etapas posteriores, caracterizadas por laaritmetizacin,estoselementossefueronabandonandohastallegaralaestructuraformalconlaquehoyespresentadaenlasaulasdeloscursosuniversitarios.CuandolaintuicinnecesitadelaraznExisten ejemplos en los que la intuicin lleva a dar respuestas incorrectas en nuestrasaulas. Supongamos que a alguien le decimos que a1=1, a2=1/2, a3=1/4, a4=1/8 y lepreguntamos cuntovaldr la sumade losan, lamayoraasumirque se tratade lasucesin1/2n,yresponderqueelresultadoes2.Laintuicinnosllevaainferirculeslasucesin,poranalogaaotrassucesionesvistaspreviamente.

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Losestudiantes tiendenaafirmar:Elproductodedosnmerosesmayorquecadauno de los factores. Sin embargo al multiplicar 0,25x0,5 obtienen 0,125. Estageneralizacinprovienedeextenderpropiedadesdenmerosnaturales.

Ladivisinachica,lamultiplicacinagranda.Comoenelcasoanterior,laintuicingeneralizaapartirdelaspropiedadesdelosnmerosnaturales.

Si pensamos que hay tanto nmeros en el (0,1) como nmeros reales,indudablementelaintuicinnosllevaraafirmarquenoescierto.PeroGeorgeCantordioherramientasnecesariasparacomprobar laverdaddeestapropiedadapesardequemuestrequeeltodopuedetenerelmismocardinalqueunadesuspartespropias.

Tambinpareceintuitivo,almenosinicialmente,elsignificadodelcero,sinembargo,setratadeunobjetomatemticocuyaconstruccininvolucraconcepcionesfilosficas,epistemolgicasycognitivasmuycomplejas.

Estos son ejemplos en los que la intuicin juega una mala pasada, producindose unconflicto entre lo que se responde intuitivamente y lo que la matemtica muestra.Algunos estudiantes ante estos hechos, afirman que la matemtica es difcil,contradictoria,ypuedenperdersuintersporellaalpensarquenopodrnsuperarestosobstculos.LasocioepistemologaantelaraznylaintuicinEn una visin socioepistemolgica, podramos pensar que la comunidad cientficamatemtica,comosociedad,tieneentresusatribucionescuidar lasformasdevalidacindel conocimiento de esta ciencia, determinando su legitimidad para esa sociedad. Laactividad humana correspondiente sera hacermatemtica (investigar y ensearla), suprctica de referencia, la validacin de resultados. Consideraramos, a la demostracincomounaprcticasocialdelacomunidadmatemticaquesellevaacaboparavalidarelconocimientomatemticoadquiridopor lasociedad.Lademostracines,entonces,una

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prctica social caracterstica de la comunidad matemtica (Crespo Crespo, 2007). Estaprcticasocial,esdistintadeunacomunidadaotra,sehamodificadoyevolucionadodeunaculturaaotra;lanormativanoeslamismaparadistintascomunidadesmatemticas.Estoesclaramentecomprensibledesde lasocioepistemologa,yaqueencadaescenariosociocultural, refleja las caractersticas de ste, pero su finalidad bsica ha sido lalegitimacindel sabermatemtico,aunquenoesesta sunica funcin.Sabemosenelejercicio de prcticas sociales, los actores construyen sus conocimientos comoherramientaparasuintervencin.Esaherramientaseraellenguajelgico.Pero,culeselconocimientomatemticoqueseconstruyepormediodeestaprcticasocial?En lasactividades humanas de investigar y ensear matemtica, en la prctica social dedemostrar,quhacequesedemuestrecomosedemuestra?Eslaargumentacin,laqueseconstruyeenelescenariosocioculturalyquesemanifiestaen laprcticasocialde lademostracin. La argumentacin matemtica, se refleja en la prctica social de lademostracin. Lapresenciade comunidadesmatemticas en escenariosdistintos,hacecomprender la existencia de estrategias de demostracin diversas, de acuerdo con lascaractersticas aceptadas para la argumentacin. Esto tambin permite comprender laposibilidaddeaceptarcomovlidasunasynootrassegncaractersticasbsicasde losescenariosenlosqueocurren.La intuicin por s sola no da certeza para comprobar afirmaciones matemticas. Lacaracterizan dos propiedades fundamentales: inmediatez y certidumbre. La primera seunealaevidenciaintrnsecaylasegundanoserelacionaconlacertidumbrecomoformaconvencional,sinocomounsignificadoprcticode lamisma (Fischbein,1987).La raznactacontrolandoalaintuicinespontnea.Laintuicintambinjuegaunpapelesencialen los razonamientos, pero es importante comprender que en algunas oportunidadespuede distorsionar representaciones y conducir a errores. En la intuicin tiene graninfluencia la subjetividad.Algopuede ser intuitivamente comprendidoporalguien ynopor otro. Depende de la experiencia, de conocimientos previos, pero tambin de

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cualidadespersonales.Puedendiscutirserazonamientos,peronointuiciones,compartirseresultados, pero no evidencias. No puede hablarse de la intuicin como una prcticasocial, ya que no es posible compartirla y que no existe normativa en ella. Laargumentacinseconstruyeparaconvenceralotrodequeloquedecimosescierto,parademostrarle que lo que afirmamos es verdad. La intuicin en matemtica, combina laintuicinsensibleylaraznevidenciadaatravsdelaintuicinintelectual,yparticipadeambas.Lafertilidaddelaintuicindependedesurefinamientoyrelacinconlaraznylaexperiencia.ReferenciasbibliogrficasBunge,M.(1965).Intuicinyciencia.BuenosAires:EUDEBA.Crespo Crespo, C. (2005). El papel de las argumentaciones matemticas en el discursoescolar. La estrategia de deduccin por reduccin al absurdo. Tesis de Maestra nopublicada,CICATA,IPN,Mxico.Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemticas desde la visin de lasocioepistemologa.TesisdeDoctoradosinpublicar.CICATAIPN,Mxico.Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. An educational approach.Dordrecht:Reidel.Hadamard, J. (1944).Psicologade la invencinenelcampomatemtico.BuenosAires:EspasaCalpe.Martnez, G. (2005). Los procesos de convencin matemtica como generadores deconocimiento.Revista Latinoamericanade InvestigacinenMatemticaEducativa,8(2),195218.ReyPastor,J.yPuigAdam,P. (1948).Metodologade laMatemticaElemental.BuenosAires:IberoAmericana.