Criptografía con curvas elípticas · PDF fileCC-BY-NC-ND • PID_00200952...
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Criptografa concurvas elpticasLloren Huguet Rotger
Josep Rif Coma
Juan Gabriel Tena Ayuso
PID_00200952
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CC-BY-NC-ND PID_00200952 Criptografa con curvas elpticas
ndice
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Curvas y puntos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Definiciones previas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Curvas afines y proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Puntos racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Puntos racionales de una curva de grado 1 . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Puntos racionales de una curva de grado 2 . . . . . . . . . . . 17
1.4.3. Puntos racionales de una curva de grado 3 . . . . . . . . . . . 18
1.4.4. Puntos racionales de una curva de grado 4 . . . . . . . . . . . 19
2. Geometra de las curvas elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Ecuacin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. La ley de grupo de una curva elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Ley de grupo en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Ecuacin general de P + Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Curvas elpticas sobre cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Nmero de puntos de una curva elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Extensin de una curva sobre un cuerpo a una curva sobre un
cuerpo extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. El uso de las curvas elpticas en criptografa . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1. El problema del logaritmo elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2. Eleccin de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3. Asignacin de mensajes a puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.1. Creacin de una tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.2. Mtodo de curvas entrelazadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Criptografa y protocolos criptogrficos basados en curvas
elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1. Protocolos criptogrficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1. Protocolo de Diffie-Helman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2. Protocolo de tres-pasos de Shamir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Criptosistema ElGamal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3. Criptosistema RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4. Firma digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5. Comparacin de los sistemas de clave pblica . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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5.5.1. Seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5.2. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. ECC estndares y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1. ECC estndares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1. Estndares principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.2. Estndares de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2. Aplicaciones de la ECC. Tarjetas inteligentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.1. Restricciones de las tarjetas inteligentes . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2. Ventajas de la ECC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ejercicios de autoevaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
CC-BY-NC-ND PID_00200952 5 Criptografa con curvas elpticas
Introduccin
La teora de curvas elpticas sobre cuerpos finitos encuentra aplicaciones en
diversas disciplinas, como por ejemplo la teora de nmeros o la criptografa.
Resultan sorprendentes sus relaciones con problemas tan diversos como la
realizacin de tests de primalidad, la factorizacin de nmeros enteros o la
demostracin del ltimo teorema de Fermat, entre otras.
Veamos unas pinceladas de estas relaciones para centrarnos despus en la apli-
cacin de las curvas elpticas a la criptografa. En un principio podemos pensar
en una curva elptica como el conjunto de soluciones de una ecuacin de la
forma:
y2 = x3 + ax + b.
Relacionadas con la teora de nmeros podemos destacar dos aplicaciones:
El problema de losnmeros congruentes
Fue enunciado por primeravez por el matemtico persaal-Karaji (hacia el siglo X a.C.). Actualmente, la solucindel problema depende de laconjetura deBirch-Swinnerton-Dyer sobrecurvas elpticas. El problemaes uno de los siete problemasdel milenio que el ClayMathematics Institute dot,en el ao 2000, con unpremio de un milln dedlares para quien aportara lasolucin de cualquiera deellos.
Nmeros congruentes. Un nmero racional N se dice que es congruentesi existe un tringulo con aristas racionales cuya rea es N. Durante mucho
tiempo el problema ha permanecido sin que se conociese ningn algorit-
mo capaz de resolverlo, es decir, de comprobar si un nmero dado N era
congruente o no. Actualmente, est demostrado que N es un nmero con-
gruente si y solo si la curva elptica y2 = x3 N2x = x(x N)(x + N) tiene
algn punto racional diferente de (0,0), (N,0) y del punto del infinito dela curva.
Teorema de Fermat. En 1985 Gerhard Frey observ que si An + Bn = Cn eraun contraejemplo al ltimo teorema de Fermat, entonces la curva elptica
y2 = x(xAn)(x+Bn) tena por discriminante (AnBn(An +Bn))2 = (ABC)2n.
Discriminante
El discriminante de una curvaelptica y2 = x3 + ax + b vienedado por = 4a3 + 27b2 y esnulo si y solo si la curva tienepuntos singulares (puntos enlos que las dos derivadasparciales se anulan).
Tal curva contradeca la denominada conjetura de Taniyama. Posterior-
mente, A. Wiles prob que ninguna curva poda contradecir esta conjetura
y, por lo tanto, qued probado que no existe ningn contraejemplo al l-
timo teorema de Fermat.
En el campo de la criptografa, la aplicacin de estas curvas la podemos en-
contrar en la descomposicin de un nmero en factores, en los sistemas crip-
togrficos y en los tests de primalidad, estos ltimos desarrollados por Bosma,
Goldwasser-Killian, Atkin y Lenstra entre otros.
H.W. Lenstra ha obtenido un nuevo mtodo de factorizacin que es, en mu-
chos aspectos, mejor que los conocidos anteriormente. La mejora y eficiencia
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de este nuevo mtodo todava no es significativo en la prctica (el tiempo para
factorizar contina siendo el mismo) pero, an as, el hecho de haber encon-
trado un mecanismo diferente hace que los sistemas criptogrficos basados en
el problema de la factorizacin no resulten, al fin y al cabo, tan seguros co-
mo parecan. El algoritmo de factorizacin con curvas elpticas de Lenstra es
anlogo al mtodo clsico denominado p 1 de Pollard.
Los avances en estos mtodos as como en las prestaciones de los ordenado-
res exigen nmeros cada vez mayores a fin de poder garantizar la seguridad
de los sistemas criptogrficos, lo que representa un grave inconveniente a la
hora de implementar los procesos de generacin y distribucin de las claves
secretas. Este problema se soluciona, en parte, usando sistemas de cifrado con
curvas elpticas. Estos sistemas ofrecen un nivel de seguridad equivalente al
de los mtodos tradicionales (RSA, ELGamal,...) pero ut
