CRISTALOGRAFÍACRISTALOGRAFÍA SIMETRÍA

GRUPOS PUNTUALES

GRUPOS ESPACIALES

G. Agüero

NO HAY NADA MAS OBVIO QUE LA PERFECCIÓN DE LOS CRISTALES, LO QUE MARCA UN PUNTO DE PARTIDA PARA DESENTRAÑAR E INTEPRETAR ESTA REALIDAD ESTÉTICA SOBRE LA BASE DE UNA CIENCIA FASCINANTE Y COMPLEJA:

“LA

CRISTALOGRAFÍA”

CONCEPTOS

c

b

a

PARÁMETROS DE LA REDa, b, c, , ,

CRISTAL: Sólido homogéneo anisotrópico que tiene la forma natural de un poliedro, y que está formado por átomos o grupos de átomos ordenados de forma regular y periódica en las tres dimensiones.

RED: Distribución de puntos en el espacio (puntos reticulares) donde cada punto tiene idénticos alrededores y representan átomos o grupos de átomos.

CELDA UNIDAD: Paralelepípedo generador de la red formado por la combinación de tres vectores básicos a, b y c.

SISTEMAS CRISTALINOS: Sistemas de coordenadas.

ángulo entre b y c

ángulo entre a y c

ángulo entre a y b

Redes primitivas y no primitiva

A

C

B

D

a)¿A cuál celda le corresponde 1 punto reticular?

A B C Db)¿A cuál o cuáles de las celdas le corresponden 2 puntos reticulares?

A B C D

CONTINUAR

Respuesta correcta:

La celda A es la que tiene un punto reticular, ya que tiene puntos sólo en las esquinas, y cada uno de estos puntos se comparte con 8 celdas vecinas, por lo tanto a cada celda le corresponde un punto.

⅛ 8= 1

Las celdas de este tipo se denominan PRIMITIVAS.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Respuesta correcta:

Las celdas B y la C tienen dos átomos por celda, ya que tienen puntos adicionales en el centro de la celda y en los centros de caras opuestas, respectivamente. La celda B es centrada en el cuerpo, por lo que le corresponden 2 puntos, uno por las esquinas y el del centrado. La celda C es una celda centrada en la base C (caras perpendiculares al eje z). La misma tiene dos puntos reticulares, uno por los correspondientes a las esquinas y otro por los correspondientes a las caras centradas, ya que estos se comparten con cada celda vecina: ½+½=1.

CONTINUAR

RESP.CORRECTA

¡Incorrecto!

Sobre la base de los siguientes esquemas, podría explicar el porqué:

No existen celdas cúbicas centradas en la base.

V F

No existen celdas tetragonales centradas en las caras y en las bases.

V F

Una celda cúbica centrada en las caras es equivalente a una romboédrica primitiva.

V F

Respuesta correcta:

No existen celdas cúbicas centradas en las bases, porque la existencia de este tipo de centrado no es compatible con la simetría característica del sistema cúbico, es decir, 4 ejes de orden 3 a lo largo de las diagonales del cubo. Una celda cúbica centrada en las bases no tendría esta simetría.

Sólo existen celdas cúbicas del tipo P, F e I, es decir primitiva, centrada en las caras y centrada en el cuerpo.

CONTINUAR

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Respuesta correcta:

No existen celdas tetragonales centradas en las bases ni en las caras, ya que las mismas no constituyen un nuevo tipo de red. Como puede deducirse al examinar las figuras correspondientes, en ambos casos las redes pueden ser descritas por sendas celdas unitarias P e I, también tetragonales.

CONTINUAR

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Respuesta correcta, como puede observar de la figura.

En general, toda red de Bravais no primitiva puede ser siempre descrita por una red primitiva equivalente.

CONTINUAR

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

SIMETRÍA

ELEMENTO DE SIMETRÍA: Lugar geométrico alrededor del cual actúa una operación de simetría.

OPERACIÓN DE SIMETRÍA: Transformación que al actuar sobre un cuerpo lo lleva una posición indistinguible con relación a la inicial.

Elemento Operación Símbolo

Eje propio Rotación n

Plano Reflexión m

Centro de simetría Inversión 1

Eje impropio Rotación-inversión

n

-

-

Símbolos gráficos

ELEMENTO SIMBOLO ( al plano)

1 No tiene

2

3

4

6

1 No tiene

2 Plano especular equivalente

3

4

6

-

--

-

-

ESTEREOGRAMASDiagramas en dos dimensiones utilizados para representar elementos de simetría, así como las posiciones equivalentes que se generan por la existencia de estos elementos. Se representan por un CÍRCULO.

Representación de algunos elementos de simetría.

Plano m horizontal

Plano m vertical

Eje 2 al plano de proyección

Eje 2 paralelo al plano de proyección

(Se ilustra un plano mx y otro my)

(Se ilustra un eje 2x y otro 2y)

GRUPOS PUNTUALES (CLASES CRISTALINAS)

Conjunto o combinación de elementos de simetría que se interceptan en un punto, el cual permanece fijo durante la ejecución de las operaciones de simetría.

La combinación de los elementos de simetría puntual n, n y m dan origen a:

32 grupos puntuales de simetría

-

NOTACION HERMNANN-MAUGUIN

Indica las posiciones de los elementos de simetría con relación a los ejes cristalográficos y agrupa los sistemas cristalinos según criterios de simetría.

Tipo de Simetría Sistema CristalinoBAJA Triclínico

Monoclínico

Ortorrómbico

MEDIANA Tetragonal

Trigonal

Hexagonal

ALTA Cúbico

Simetría

Posición de los elementos de simetría

1ra. 2da.. 3ra.

Baja n (si eje en “x”)

m (si plano a “x”)

n/m si eje y plano

n (si eje en “y”)

m (si plano a “y”)

n/m si eje y plano

n (si eje en “z”)

m (si plano a “z”)

n/m si eje y plano

Mediana n o n(si eje en“z”)

m (si plano a “z”)

n/m si eje y plano

2 (si ejes 2 en “x”, “y”, “u”)

m (si planos m “x”, “y”, “u”)

n/m si eje y plano

2 (si ejes 2 en las diagonales)

m (si planos m diagonales)

n/m si eje y plano

Alta n o n (si eje en “x”, “y”, “z”)

m (si plano “x”, “y”, “z”)

n/m si eje y plano

3 2 o m (si ejes 2 o planos m en las diagonales a “x”, “y”, “z”)

Simbología Hermann-Mauguin para las clases cristalinas

–

–

REPRESENTACIONES DE GRUPOS PUNTUALES

4mm Eje 4 en zPlanos m x, yPlanos m diagonales

622 Eje 6 en z Ejes 2 en x, y, zEjes 2 en las diagonales

ELEMENTOS DE MICROSIMETRIA

Planos de deslizamiento (a, b, c, n, d)

Plano a (reflexión + traslación t a= a/2)

+

+

+_

ay= m y t aa z = m z t a

+ +

t a

+ t a

t b

Plano b (reflexión + traslación t b= b/2)

+

+

b x = m x t b b z = m z t b

t b

, ,

,,_

Plano c (reflexión + traslación t c= c/2)

Plano n (reflexión + traslación de b+c/2, a+c/2 o a+b/2)

½+

½+

+ +

½+

+ +½+

+

+

+

_

ny= mx ta tcn x = my tb tc nz = mz ta tb

c y = my tc c x = mx tc

,,

,,,

EJES HELICOIDALES (np)Implican operaciones combinadas de rotación de 360/n grados y traslación p/n a lo largo del eje.

EJES OPERACIONES

21Rotación de 180º y traslación de 1/2.

31 32Rotación de 120º y

traslación de 1/3, 2/3.

41 42 43Rotación de 90º y traslación de 1/4, 1/2, 3/4.

61 62 63 64 65 Rotación de 60º y traslación

de 1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 5/6

GRUPOS ESPACIALES

Describen la simetría de los cristales y resultan de la combinación de los elementos de simetría de los grupos puntuales y las traslaciones reticulares (Redes de Bravais y elementos de microsimetría: planos de deslizamiento y ejes helicoidales).

SIMBOLOGIA

___ ___ ___ ___ (1) (2)

(1) Tipo de red de Bravais (P,A, B, C, F, I ó R) (2) Elementos de simetría paralelos y/o a las

tres direcciones cristalográficas.

TABLAS INTERNACIONALES DE CRISTALOGRAFIA

Las tablas contienen toda la información relacionada con la simetría de los 230 grupo espaciales.

Cada tabla contiene:

• Representación gráfica del grupo espacial• Posiciones equivalentes (generales y particulares)• Simetría de la posiciones• Multiplicidad• Coordenadas• Notación de Wyckoff

Grupo Espacial P 2

Es un grupo del sistema monoclínico, 1er. setting, red primitiva, el único elemento de simetría presente es el eje 2 que equivale a una rotación de 180º alrededor de z. Las coordenadas de las posiciones son: Generales: x, y, z, x, y, z (Multiplicidad 2).Particulares: 0,0,z; ½,0,z; 0,½,z; ½,½,z (todas de simetría de posición 2 no equivalentes entre sí y de multiplicidad 1).

Diagrama Posiciones Generales Diagrama Elementos Simetría

_ _

Grupos Espaciales

a) ¿Qué elemento de simetría relaciona las posiciones 1 y 2?Plano m Centro de inversión Eje 2

b) ¿Qué operación de simetría relaciona las posiciones 2 y 3?Plano m Centro de simetría Eje 2

c) ¿Cuántas posiciones de simetría “m” existen?1 con multiplicidad 4 2 con multiplicidad 21 con multiplicidad 2

1

2

3

4

Respuesta CORRECTA, las posiciones 1 y 2 se relacionan por un plano mz (plano perpendicular al eje z), la operación es una reflexión a través del plano.El signo + en la posición 1 indica que está por encima del plano “xy” y el signo – en la posición 2 indica que está por debajo del plano. La notación indica imagen especular.

, +–2 1

La posición 2 está situada inmediatamente, por debajo de la posición 1.

CONTINUAR

,

¡Incorrecto!

RESP. CORRECTA

Respuesta correcta: Un “centro de simetría”, esta operación es una inversión a través de un punto, equidistante de las posiciones que se relacionan.

Note que la posición 2 está por debajo del plano xy y la posición 3 está diametralmente opuesta pero por encima del plano.

CONTINUAR

¡Incorrecto!

RESP. CORRECTA

Respuesta correcta: 2 con multiplicidad 2.

Una posición de simetría “m” correspondiente al plano mz (z=0) de multiplicidad dos y coordenadas x,y,o y x,y,o las cuales se relacionan mediante una operación correspondiente a un eje 2 o al centro de simetría y otra en el plano mz (z=½) de multiplicidad dos y coordenadas x,y,½ y x,y, ½ las cuales se relacionan mediante una operación correspondiente a un eje 2 o al centro de simetría

CONTINUAR

ˉ

ˉˉ

ˉ

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

d) La operación de simetría que relaciona las posiciones 1

y 2 es: Centro simetría Plano deslizamiento

c) La operación de simetría que relaciona las posiciones 1 y 4 es: Eje 2 Centro simetría

b) El plano de deslizamiento es perpendicular al: eje X eje Y eje Z

Grupos Espaciales

1 2

3 4

a) En la diagrama de elementos de simetría aparece un plano de deslizamiento: a b c n

Respuesta correcta: Un plano de deslizamiento de tipo “b. En la operación de simetría relacionada con este elemento de microsimetría se combina una reflexión en el plano “xy”, seguida de una traslación en la dirección del eje “y” tal y como lo indica la saeta que se observa en la representación del mismo en el diagrama de elementos de simetría.

CONTINUAR

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

La respuesta correcta es que el plano es perpendicular al eje “z”, es decir es un plano mz y la operación consiste en una reflexión a través de este plano seguida de una traslación igual a ½ del parámetro axial “b”.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

La respuesta correcta es: “un centro de simetría”, esta operación consiste en una inversión a través de un punto, equidistante de las posiciones que se relacionan, en este caso la 1 y la 4.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

La respuesta correcta es un plano de deslizamiento del tipo bz, que consiste en una reflexión en el plano mz seguida de una traslación en la dirección del eje “y”.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Grupos Espaciales

b) ¿Qué elemento de simetría relaciona las posiciones 7 y 8?Plano b Eje 21 Eje 2y

1

2 3

4

5

6

c) Del análisis de las traslaciones presentes en el retículo se concluye que la celda es de tipo:

A C F I

7

8

a) ¿Qué elemento de simetría relaciona las posiciones 1 y 6?Plano b Eje 21 Eje 2y

CONTINUAR

La respuesta correcta es: un eje helicoidal 21 en “y”, ya que como se observa las posiciones se relacionan mediante un giro de 180° y una traslación ½ b. Observe que una posición está por encima del plano y la otra por debajo, ya que al aplicar un giro de 180° a la posición “1” (que esta por encima del plano) alrededor del eje “y” la posicion que resulta queda por debajo del plano y al aplicar la traslación correspondiente se general la “6”.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

Respuesta correcta: Un eje 2 en “y” ya que ambas posiciones se relacionan mediante una eje de rotación puro de 180°. Obsérvese que la posición 7 esta por debajo del plano y al aplicar esta operación queda por encima del plano.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

Respuesta correcta: La celda es del tipo C, ya que la traslación presente en el retículo es la ½,½,0, que es característica de este tipo de centrado. Obsérvese que las posiciones 5, 6, 7 y 8 se generan por la aplicación de esta traslación a las posiciones 1, 2, 3, y 4 y viceversa.

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Grupos Espaciales

a) En el diagrama aparecen planos de reflexión mV F

b) La traslación correspondiente al plano de deslizamiento que se relaciona con el eje z es:

b/2 (a+b)/2 (b+c)/2 a/2

c) Sabiendo que el tipo de celda es P, el grupo espacial correspondiente es:

P222 Pba2 Pban

CONTINUAR

Respuesta correcta: NO existen planos “m” de reflexión en el retículo. En el mismo aparecen planos de deslizamiento del tipo”ay”, “b”x y “nz” y ejes de orden 2 a lo largo de “x”, “y”, y “z.”

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

CONTINUAR

Respuesta correcta: La traslación que se relaciona con el plano nz es del tipo (a+b)/2, la que es la única compatible con la operación relacionada con el plano en cuestión, ya que:

En el plano de deslizamiento tipo “n” la traslación es en diagonal y no axial por lo que quedan eliminadas las opciones a/2 y b/2. La traslación diagonal (b+c)/2, no sería paralela al plano mz,

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

¡Incorrecto!

RESP.CORRECTA

Respuesta correcta: El grupo espacial es el Pban. Para analizar como se llega a esta respuesta se debe tener clara la notación Hermann-Mauguin para grupos espaciales, en la que el primer símbolo que es una letra mayúscula indica el tipo de celda y los restantes son los elementos de simetría y/o a los ejes cristalográficos.Al analizar el diagrama de posiciones generales se observa, que todas las posiciones que aparecen se repiten a un período reticular, por tanto corroboramos que la celda es de tipo P.En cuanto a la representación de los elementos de simetría se debe recordar que en esta notación cuando hay ejes y planos se explicitan los planos y se obvian los ejes. En el diagrama de elementos de simetría aparecen ejes 2 a lo largo de las 3 direcciones y planos b, a y n por tanto la selección correcta es Pban.

FIN