INTRODUCCIN AL CRITERIO DE NYQUISTEl criterio de Nyquist relaciona la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la respuesta en frecuencia en lazo abierto y con la ubicacin del polo en lazo abierto. El conocimiento de la respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto da informacin acerca de la estabilidad del sistema en lazo cerradoDeduccin del criterio de Nyquist.Considere el sistema de la figura 1. El criterio de Nyquist puede decirnos que polos en lazo cerrado estn en el semiplano derecho. Antes de deducir el criterio de Nyquist establezcamos cuatro conceptos importantes que se emplearn durante la deduccin de la relacin entre los polos de 1 + G(s)H(s) y los polos de G(s)H(s); la relacin entre los ceros de 1 + G(s)H(s) y los polos de la funcin de transferencia en lazo cerrado, T(s); el concepto de transformar (mapear) puntos, y el concepto de contornos de transformacin (mapeo).Si hacemos

Encontramos

Figura 1. Sistema de control en lazo cerrado

De las ecuaciones ( 1), concluimos que:1. Los polos de son los mismos que los polos de , el sistema en lazo abierto.2. Los ceros de son los mismos que los polos de T(s), el sistema en lazo cerrado.A continuacin, definamos el trmino mapeo. Si tomamos un nmero complejo sobre el plano s y lo sustituimos en una funcin, F(s), resulta otro nmero complejo. Este proceso se llama mapeo. Por ejemplo, el sustituir s = 4 +j3 en la funcin ( s2 + 2s +1 ) da 16 + j30. Decimos que 4 + j3 se mapea en 16 + j30 por medio de la funcin ( s2 + 2s +1 ). Finalmente, estudiamos el concepto de contornos de mapeo. Considere el conjunto de puntos, llamado contorno, que se ilustra en la figura 2 el contorno A. Tambin supngase que

Figura 2. Mapeo del contorno A por medio de la funcin F(s), al contorno BEl contorno A se puede mapear mediante F(s) en el contorno B al sustituir cada punto del contorno A en la funcin F(s) y graficar los nmeros complejos resultantes. Por ejemplo, el punto Q de la figura 2 se transforma en el punto Q por medio de la funcin F(s).Como alternativa con el mtodo vectorial se puede efectuar el clculo. En la figura 3 se ilustran algunos ejemplos de mapeo de contornos para algunas F(s) sencillas. El mapeo de cada punto se define mediante aritmtica compleja, donde el nmero complejo resultante, R, se evala desde los nmeros complejos representados por V, como se ve en la ltima columna de la figura 3. El lector debe verificar que si suponemos una direccin en el sentido horario para mapear los puntos sobre el contorno A, entonces el contorno B tambin se mapea en la direccin horaria si F(s) de la figura 3 tiene slo ceros, y en direccin contraria si F(s) tiene slo polos. Tambin el lector debe verificar que si el polo o cero de F(s) est encerrado por el contorno A, el mapeo encierra al origen. En el ltimo caso de la figura 3, la rotacin del polo y cero se cancela, y el mapeo no encierra al origen.Empecemos ahora la deduccin del criterio de Nyquist para determinar la estabilidad. Demostramos que existe una relacin nica entre el nmero de polos de F(s) contenidos dentro del contorno A, y el nmero de cercos en sentido contrario a las manecillas del reloj del origen

Figura 3. Ejemplos de mapeo de contorno

Figura 4. Representacin vectorial de un mapeopara el mapeo del contorno B. Entonces demostramos cmo se puede emplear esta relacin para determinar la estabilidad en los sistemas en lazo cerrado. ste mtodo para determinar la estabilidad se llama criterio de Nyquist.Supongamos primeramente que F(s) = 1 + G(s)H(s), con la imagen de los polos y ceros de F(s) = 1 + G(s)H(s) como se muestra en la figura 4 cerca del contorna A. Por lo tanto, . A medida que cada punto Q del contorno A es sustituido en 1 + G(s)H(s), resulta un punto mapeado en el contorno B, Suponiendo que F(s) = 1 + G(s)H(s) tenga dos ceros y tres polos, cada trmino en parntesis en la ecuacin 2 es un vector en la figura 4. Cuando nos movemos alrededor del contorno A en el sentido de las manecillas del reloj, cada vector de la ecuacin 2 que se encuentre dentro del contorno A parecer experimentar una rotacin completa, o un cambio en ngulo de 360. Por otra parte, cada vector trazado desde los polos y ceros de 1 + G(s)H(s) que existe fuera del contorno A parecer oscilar y regresar a su posicin previa, experimentando un cambio angular neto de 0.Cada factor de polo o cero de 1 + G(s)H(s), cuyo vector experimente una rotacin completa alrededor del contorno A, debe de dar un cambio de 360 en la resultante, R, o una rotacin completa del mapeo del contorno B. Si nos movemos en la direccin de las manecillas del reloj, a lo largo del contorno A, cada cero dentro del contorno A da una rotacin en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que cada polo dentro del contorno A da una rotacin en sentido contrario de las manecillas del reloj, ya que los polos estn en el denominador de la ecuacin 2.As, N = P Z, donde N es igual al nmero de rotaciones en el sentido contrario a las manecillas del reloj del contorno B alrededor del origen; P es igual al nmero de polos de 1 + G(s)H(s) dentro del contorno A, y Z es igual al nmero de ceros de 1 + G(s)H(s) dentro del contorno A.Como los polos que se ilustran en la figura 4 son polos de 1 + G(s)H(s), sabemos por las ecuaciones 1 (1a, 1b y 1c) que tambin son los polos de G(s)H(s) y se conocen. Pero como los ceros que se muestran en la figura 4 son los ceros de 1 + G(s)H(s), sabemos por las ecuaciones 1 que tambin son los polos del sistema en lazo cerrado y no se conocen. En esta forma, P es igual al nmero de polos en lazo cerrado encerrados, y Z al nmero de polos en lazo cerrado encerrados. Por lo tanto, N = P Z, o alternativamente Z = P N, nos dice que el nmero de polos en lazo cerrado dentro del contorno (que es el mismo que los ceros dentro del contorno) es igual al nmero de polos en lazo abierto de G(s)H(s) dentro del contorno, menos el nmero de rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj del mapeo alrededor del origen.Si prolongamos el contorno para incluir todo el semiplano derecho, como se ve en la figura 5, podemos contar el nmero de polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del contorno A, y determinar la estabilidad de un sistema. Como podemos conocer el nmero de polos en lazo abierto, P, dentro del contorno A, que son los mismos que los polos del semiplano derecho deG(s)H(s), el nico problema restante es cmo obtener el mapeo y hallar N.Puesto que todos los polos y ceros de G(s)H(s) se conocen, qu pasa si mapeamos por medio de G(s)H(s) en lugar de 1 + G(s)H(s)?. El contorno resultante es el mismo que un mapeo por medio de 1 + G(s)H(s), excepto que est trasladado una unidad a la izquierda; as, contamos rotaciones alrederor de -1 en lugar de rotaciones alrededor del origen. En consecuencia, el enunciado final del criterio de Nyquist para determinar la estabilidad es como sigue:Si un contorno, A, que encierrra todo el semiplano derecho se mapea por medio de G(s)H(s), entonces el nmero de polos en lazo cerrado, Z, del semiplano derecho es igual al nmero de polos en lazo abierto, P, que estn en el semiplano derecho menos el nmero de revoluciones en el sentido contrario a las manecillas del reloj, N, alrededor de -1 del mapeo; es decir Z = P N. El mapeo se llama diagrama de Nyquist o grfica de Nyquist, de G(s)H(s).

Figura 5. Contorno que encierra el semiplano derecho para determinar la estabilidadAhora podemos ver que este mtodo est clasificado como una tcnica de respuesta en frecuencia. Alrededor del contorno A de la figura 5 el mapeo de los puntos sobre el eje por medio de la funcin G(s)H(s), es la misma que sustituir en G(s)H(s) para formar la funcin de transferencia de respuesta en frecuencia . En esta forma hallamos la respuesta en frecuencia de G(s)H(s) sobre esa parte del contorno A sobre la parte positiva del eje . En otras palabras, parte del diagrama de Nyquist es la grfica polar de la respuesta en frecuencia de G(s)H(s).

Aplicacin del criterio de Nyquist para determinar la estabilidad.Antes de describir la forma de trazar un diagrama de Nyquist, veamos algunos ejemplos representativos que utilizan el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de un sistema. Estos ejemplos nos dan una perspectiva antes de entrar en los detalles de un mapeo. La figura 6a muestra un contorno A que no encierra polos en lazo cerrado, es decir, los ceros de 1 + G(s)H(s). As, el contorno se mapea por medio de G(s)H(s) en un diagrama de Nyquist que no encierra a -1. En consecuencia, P = 0, N = 0 y Z = P N = 0. Como Z es el nmero de polos en lazo cerrado dentro del contorno A, que encierra al semiplano derecho, este sistema no tiene polos en el semiplano derecho y es estable.

Figura 6. Ejemplos de mapeos; a) el contorno no encierra polos en lazo cerrado; b) el contorno encierra polos en lazo cerradoPor otra parte, la figura 6b muestra un contorno A que, si bien no encierra polos en lazo abierto, genera cercos de -1 en el sentido de las manecillas del reloj. As, P = 0, N = -2, y el sistema es inestable; tiene dos polos en lazo cerrado en el semiplano derecho puesto que Z = P N = 2. Los dos polos en lazo cerrado se muestran dentro del contorno A en la figura 6b) como ceros de 1 + G(s)H(s). El lector debe recordar que la existencia de estos polos se conoce con anterioridad.En este ejemplo, ntese que los cercos en el sentido de las manecillas del reloj implican un valor negativo para N. El nmero de cercos se puede determinar al trazar un radio de prueba de -1 en cualquier direccin conveniente y contar el nmero de veces que el diagrama de Nyquist cruza el radio de prueba. Los cruces en el sentido contrario a las manecillas del reloj, positivos, y los cruces en el sentido de las manecillas del reloj negativos. Por ejemplo, en la figura 6b, el contorno B cruza el radio de prueba dos veces en el sentido del giro de las manecillas del reloj. Por lo tanto, hay -2 encierros del punto -1.Antes de aplicar el criterio de Nyquist a otros ejemplos para determinar la estabilidad de un sistema, primero debemos ganar experiencia en el trazo de diagramas de Nyquist. La siguiente seccin comprende el perfeccionamiento de esta habilidad.Trazado del diagrama de NyquistEl contorno que encierra el semiplano derecho se puede transformar por medio de la funcin G(s)H(s) al sustituir puntos a lo largo del contorno G(s)H(s). Los puntos a lo largo de la prolongacin positiva del eje imaginario dan la respuesta en frecuencia de G(s)H(s). Es posible hacer aproximaciones a G(s)H(s) para puntos alrededor del crculo infinito si se supone que los vectores inician en el origen. Por lo tanto su magnitud es infinita y sus ngulos se evalan fcilmente.Sin embargo, en la mayor parte del tiempo, un simple trazo del diagrama de Nyquist es todo lo que se necesita. Se puede observar un trazo rpidamente si se observan los vectores de G(s)H(s) y sus movimientos a lo largo del contorno. En los ejemplos que vemos resaltamos este rpido mtodo para trazar el diagrama de Nyquist. Con todo, los ejemplos tambin incluyen expresiones analticas para G(s)H(s) para cada seccin del contorno a fin de ayudar al lector a determinar la forma del diagrama de Nyquist.Ejemplo. Trazado del diagrama de NyquistProblema. Los controles de velocidad encuentran numerosas aplicaciones en la industria y el hogar. La figura 7 a) muestra una aplicacin: el control de frecuencia de salida de energa elctrica

Figura 7. a) Turbina y generador; b) diagrama de bloques del sistema de control de velocidad para el ejemploDesde un grupo de turbina y generador. Al regular la velocidad, el sistema de control asegura que la frecuencia generada permanezca dentro de tolerancia. Las desviaciones de la velocidad deseada son detectadas, y una vlvula de vapor cambia su apertura para compensar el error en velocidad. El diagrama de bloques del sistema se muestra en la figura 7b). Trace el diagrama de Nyquist para el sistema de la figura 7.Solucin. Conceptualmente, el diagrama de Nyquist se grafica al sustituir los puntos del contorno mostrados en la figura 8(a) en . Este proceso es equivalente a efectuar aritmtica compleja usando los vectores de G(s) trazados a los puntos del contorno, como se muestra en la figura 8a) y 8b). Cada trmino de polo o cero de G(s) mostrado en la figura 8b) es un vector de la figura 8a) y 8b). El vector resultante, R. hallado en cualquier punto a lo largo del contorno es, en general, el producto de los vectores de cero divididos entre el producto de los vectores de polo (vea la figura 8(c)). As, la magnitud de la resultante es el producto de las longitudes de cero dividido entre el producto de las longitudes de polo, y el ngulo de la resultante es la suma de los ngulos de cero menos la suma de los ngulos de cero menos la suma de los ngulos de polo.

Figura 8. Ubicacin vectorial del diagrama de Nyquist para el ejemplo; a) vectores sobre el contorno a bajas frecuencias; b) vectores sobre el contorno alrededor del infinito; c) diagrama de Nyquist.Cuando nos movemos en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del contorno del punto A al punto C en la figura 8(a), el ngulo resultante pasa de 0 a -3(90) = -270 o de A a C en la figura 8(c). Como los ngulos emanan de polos en el denominador de G(s), la rotacin o aumento en ngulo es, en realidad, una reduccin en el ngulo de la funcin G(s); los polos ganan 270 en sentido contrario a las manecillas del reloj, lo cual explica por qu la funcin pierde 270.Mientras que la resultante se mueve de A a C en la figura 8(c), su magnitud cambia como el producto de las longitudes de cero divididas entre el producto de las longitudes de polo. Entonces, la resultante pasa por un valor finito a frecuencia 0 (en el punto A de la figura 8(c) hay tres longitudes finitas de polo) a magnitud cero a frecuencia infinita en el punto C (en el punto C de la figura 8(a) existen tres polos de magnitud infinita).La transformacin del punto A al punto C tambin se puede explicar analticamente. De A a C el conjunto de puntos a lo largo del contorno es imaginario. Por lo tanto de A a C, , o de la figura 7(b)

Multiplicando el numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador, obtenemos

A frecuencia cero, . As el diagrama de Nyquist inicia en 50/3 y un ngulo de 0. A medida que aumenta, la parte real permanece positiva, y la parte imaginaria, negativa. A , la parte real se convierte en negativa. A el diagrama de Nyquist cruza el eje real negativo, puesto que el trmino imaginario va a cero. El valor real en el cruce con el eje, punto Q en la figura 8(c) hallado al sustituir , en la ecuacin 5, es -0.874. Continuando hacia , la parte real es negativa, y la parte imaginaria es positiva. A frecuencia infinita, , o aproximadamente cero a 90.Alrededor del semicrculo infinito del punto C al punto D, que se muestra en la figura 8(b), los vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj, cada uno 180, en consecuencia, la resultante experimenta una rotacin en sentido contrario a las manecillas del reloj de 3 X 180, comenzando en el punto C y terminando en el punto D de la figura 8(c). Analticamente, podemos ver esto al suponer que alrededor del semicrculo infinito, los vectores se originan aproximadamente en el origen y tienen una longitud infinita. Para cualquier punto sobre el plano s, el valor de G(s) se puede hallar al representar cada nmero complejo en forma polar, como sigue

Donde es la magnitud del nmero complejo(s + i), y , el ngulo del nmero complejo (s + i). Alrededor del semicrculo infinito, todas las son infinitas y podemos usar nuestra suposicin para aproximar los ngulos como si los vectores se originaran en el origen. As, alrededor del semicrculo infinito.

En el punto C de la figura 8(b), los ngulos son todos de 90. Por lo tanto, la resultante es 0 , que se muestra como punto C en la figura 8(c). Del mismo modo, en el punto D, G(s)=0, y se transforma en el punto D. El lector puede seleccionar puntos intermedios para verificar la espiral cuyo radio vector se aproxima a cero en el origen, como se ve en la figura 8(c).El eje imaginario negativo se puede mapear al ver que la parte real de es una funcin impar mientras que la parte imaginaria de es una funcin impar. Esto es, la parte real no cambiar de signo cuando se utilicen valores negativos de , mientras que la parte imaginaria cambiar de signo. Entonces, el mapeo del eje imaginario negativo es una imagen espejo del mapeo del eje imaginario positivo. El mapeo de la seccin del contorno de los puntos D al C se traza como una imagen espejo alrededor del eje real del mapeo de los puntos A al C.En el ejemplo previo, no hubo polos en lazo abierto situados a lo largo del contorno que encierra al semiplano derecho. Si existen esos polos, entonces se hace necesaria una desviacin alrededor de los polos sobre el contorno, porque de otro modo la transformacin se ira al infinito en una funcin indeterminada, sin informacin angular. Por consiguiente, no podra hacerse un trazo completo del diagrama de Nyquist y el nmero de rodeos de -1 no podra hallarse.Supongamos una G(s)H(s) = N(s)/sD(s) donde D(s) tiene races imaginarias. El trmino s del denominador y las races imaginarias de D(s) son polos de G(s)H(s) que se encuentran sobre el contorno, como se muestra en la figura 9(a). Para trazar el diagrama de Nyquist, el contorno debe desviarse alrededor de cada polo en lazo abierto que se encuentre sobre su trayectoria. La desviacin puede ser a la derecha del polo, como se ve en la figura 9(b), que deja claro que el vector de cada polo gira +180 cuando nos movemos alrededor del contorno cerca del polo. Este conocimiento de la rotacin angular de los polos sobre el contorno nos permite contemplar el diagrama de Nyquist. Desde luego, nuestra desviacin debe llevarnos slo una distancia infinitesimal hacia el semiplano derecho, pues de otro modo quedaran excluidos algunos polos del semiplano derecho y en lazo cerrado.Tambin podemos desviarnos a la izquierda de los polos en lazo abierto. En este caso, cada polo gira un ngulo de -180 cuando nos desviamos alrededor del mismo. De nuevo, la desviacin debe ser infinitesimalmente pequea, pues de otro modo podramos incluir algunos polos del semiplano izquierdo en la cuenta. Veamos un ejemplo.

Figura . Desviacin alrededor de polos en lazo abierto: (a) polos sobre el contorno; (b) desviacin derecha (c) desviacin izquierda

EJEMPLO DIAGRAMA DE NYQUIST PARA LA FUNCIN EN LAZO ABIERTO CON POLOS SOBRE EL CONTORNOPROBLEMA. Trazar el diagrama de Nyquist del sistema con retroalimentacin unitaria, donde: .SOLUCIN TEORICA. Los dos polos del sistema en el origen estn en el contorno y debe haber una desviacin por ellos, como se ve en la figura 12(a). El mapeo se inicia en el punto A y contina en sentido de las manecillas del reloj. Los puntos A, B, C, D, E y F de la figura 13(a) se transforman respectivamente en los puntos A, B, C, D, E y F de la figura 13(b)

Figura 12. Desviacin alrededor de polos en lazo abierto: a) polos sobre el contorno; b) desviacin derecha; c) desviacin izquierda.

Figura 13. (a) Contorno para el problema 2; (b) diagrama de Nyquist para el problema 2.En el punto A, los dos polos en lazo abierto en el origen aportan 2 x 90 = 180 y el cero aporta 0. El ngulo total en el punto A es, por lo tanto, -180. Cerca del origen la funcin es infinita en magnitud debido a la cercana proximidad a los polos en lazo abierto. En consecuencia, el punto A se transforma en el punto A, ubicado en el infinito a un ngulo de -180.Moverse del punto A al punto B a lo largo del contorno produce un cambio neto de ngulo de +90. Solo desde el cero. Los ngulos de los polos permanecen iguales. Por lo tanto, el mapeo cambia en +90 en sentido contrario a las manecillas del reloj. El vector transformado pasa de -180 en A a -90 en B. Al mismo tiempo, la magnitud cambia de infinita a cero porque en el punto B hay una longitud infinita desde el cero dividido entre dos longitudes infinitas desde los polos.Alternativamente, la respuesta en frecuencia se puede determinar en forma analtica a partir de , considerando que pasa de 0 a . A bajas frecuencias, o a . A altas frecuencias, , o sea 0. Tambin las partes real e imaginaria son siempre negativas.A medida que nos desplazamos a lo largo del contorno BCD, la magnitud de la funcin permanece en cero (una longitud infinita de cero dividida entre dos longitudes infinitas de polo). Cuando los vectores se mueven por BCD, el vector de cero y los dos vectores de polo experimentan cambios de -180 cada uno. As, el vector mapeado experimenta un cambio neto de +180, que es el cambio angular del cero menos la suma de los cambios angulares de los polos [-180 [2((-180)] = +180. El mapeo se muestra como BCD, donde el vector resultante cambia en +180 con una magnitud de que se aproxima a cero.Desde el punto de vista analtico,

En cualquier parte sobre el plano s donde es el vector desde el cero en -2 a cualquier punto sobre el plano s, y es el vector desde un polo en el origen a cualquier punto sobre el plano s. Alrededor del semicrculo infinito, toda R-i = , y todos los ngulos se pueden aproximar como si los vectores se originaran en el origen. Por lo tanto, en el punto B, G(s) = , puesto que toda en la ecuacin (3). En el punto C, toda R-i = , y toda en la ecuacin (3). En consecuencia, G(s) = . En el punto D, toda R-i = , y toda en la ecuacin (3). As, G(s) = .El mapeo de la seccin del contorno D a E es una imagen de espejo del mapeo de A a B. El resultado es D a E. por ltimo, sobre la seccin EFA, la magnitud resultante se aproxima al infinito. El ngulo del cero no cambia, pero cada polo cambia en +180. Este cambio produce una modificacin en la funcin de -2(180) = -360. Por lo tanto, el mapeo de E a A se muestra como infinito en longitud y girando -360. Analticamente, podemos usar la ecuacin (3) para los puntos a lo largo del contorno EFA. En E, En F, En A, El diagrama de Nyquist est completo ahora, y un radio de prueba trazado de -1 en la figura 13(b) muestra una revolucin en sentido de las manecillas del reloj, lo que da cero cercos.

SOLUCIN CON MATLAB Se puede usar MATLAB para hacer trazas de Nyquist usando nyquist(G), donde G(s)= numg/deng y G es un objeto de funcin de transferencia LTI. La informacin acerca de las trazas obtenidas con nyquist(G) se puede obtener al hacer un clic con el botn izquierdo del ratn sobre la curva. Se puede conocer la etiqueta de la curva, as como las coordenadas del punto sobre el que se dio el clic. Al hacer clic con el botn derecho del ratn sobre la curva enfatiza e identifica la curva. Un clic con el botn derecho fuera de la curva despliega un men. A partir de este men se puede seleccionar: 1) respuesta del sistema a ser desplegada, 2) caractersticas de la respuesta a ser desplegada, 3) seleccin de ampliacin o reduccin (zoom), y 4) eleccin de activacin o desactivacin de la retcula sobre la grfica.Se pueden obtener los puntos de la grfica al usar [re,im,w] = nyquist(G), donde la parte real, la parte imaginaria y la frecuencia se almacenan en re, im, y w, respectivamente. La magnitud y fase se almacenan en arreglos 3-D. Se usa re(:,;), im(:,:) para convertir los arreglos a vectores columna, donde el apstrofo significa matriz transpuesta.Resolviendo el ejemplo con MATLAB, los estudiantes aprendern a usar MATLAB para hacer una grfica de Nyquist y una lista de puntos sobre la grfica. Tambin aprendern a especificar una gama de frecuenciaDECLARACIN EN MATLABCOMENTARIOS

Problema 2, PRACTICA 4TCI% Desplegar etiqueta

clf% Borrar grfica de la pantalla.

numg=[1 2];% Definir numerador de G(s).

deng= [1 0 0];% Definir denominador de G(s).

G(s)% Desplegar etiqueta

G=tf(numg,deng)% Crear y desplegar G(s).

grid on% Activar la retcula para la traza de Nyquist.

nyquist(G)% Hacer una traza de Nyquist.

title(Respuesta en frecuencia en lazo abierto)% Adicionar ttulo a la traza de Nyquist.

w=0:0.5:10;% Sea 0