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Apuntes de Ximo Beneyto

Criterios de Convergencia Página 1

CRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIOS DE CONVERGENCIA

1.- CRITERIO DE COMPARACIÓN ( MEDIANTE ACOTACIÓN )

Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos.

P Si œ n 0 ù y CONVERGE Y CONVERGE

P Si œ n 0 ù y DIVERGE Y DIVERGE

[ Para aplicar este criterio, mayoraremos con una Serie Convergente y minoraremos con una Serie Divergente,

pues de los contrario no obtendremos criterio para ]

DEMOSTRACIÓN

i) Si œ n 0 ù y CONVERGE

Al ser CONVERGENTE Y › Y

Y Como es monótona creciente ( es de términos positivos ) y Acotada Superiormente Sn # S'

œ n 0 ù Y Es Sucesión CONVERGENTE Y ES UNA Serie CONVERGENTE

ii) Si y DIVERGE

Al ser DIVERGENTE Y de términos positivos , así, $

Y = +4 Y DIVERGE

En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio



* Si œ n 0 ù y DIVERGE Y el criterio no decide nada acerca de

œ n 0 ù DIVERGE y también

* Si œ n 0 ù y CONVERGE Y el criterio no decide nada acerca de

œ n 0 ù DIVERGE y también

2. CRITERIO DE COMPARACIÓN ( Mediante límite )

Sea una serie de términos positivos.

Si : › k 0 ú+ # k œ n 0 ù Y Converge Y CONVERGE

Si : › k 0 ú+ $ k œ n 0 ù Y Diverge Y DIVERGE

Las demostraciones son muy sencillas:

En efecto :

Si › k 0 ú+ / # k œ n 0 ù Y an # kA bn œ n 0 ù . Como CONVERGE Y

CONVERGE Y Aplicando el primer criterio de comparación CONVERGE

Si › k 0 ú+ / $ k œ n 0 ù Y an $ kA bn œ n 0 ù . Como DIVERGE Y DIVERGE

Y Aplicando el primer criterio de comparación DIVERGE

Establezcamos el resultado con la estructura operativa del CRITERIO

Sea una serie de términos positivos y una serie auxiliar de terminos positivos

Sea



1. Si R … 0, 4 y Tienen el mismo carácter

2. Si R = 0 y CONVERGE Y CONVERGE

3. Si R = 4 y DIVERGE Y DIVERGE

Demostración.

1.- Sea R … 0 y CONVERGE

Por definición :

œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ] ]

œ n $n0 Y Y en virtud de la comparación mediante acotación CONVERGE

y por tanto CONVERGE.

Si de la desigualdad œ n $n0 elegimos y DIVERGENTE

Y an > (R - g) bn Y DIVERGE y DIVERGE

2.- = 0 y CONVERGE

Por definición :

œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y < g ]( ) < g Y en virtud del criterio de

comparación Y Como CONVERGE Y CONVERGE Y CONVERGE.

3.- = 4 y DIVERGE

Por definición :



œ k 0 ú+ 0 › n0 ( k) / si n $n0 Y > k ] Y utilizando el criterio de comparación Y

Como DIVERGE Y DIVERGE Y DIVERGE

CRITERIO DEL COCIENTE

En efecto, sea por definición,

œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

] œ n $n0 Y , en particular, tomemos un> 0 / R + g1 < 1 Y › n1 ( g1) / œ n $n1

. . Si llamamos r = R + g1 < 1 Y œ n $n1 Y

an+1 < r A an

an+2 < r A an+1 < r2 A an

...............................

an+p < rp A an

Consideremos la Serie = que es una Serie Geométrica cuya razón r < 1 y por tanto

CONVERGE Y CONVERGE Y CONVERGE Y CONVERGE

( Añadiendo un nº finito de términos )

* Si R 0 ú

Efectuamos una demostración análoga a la anterior con g1 / R - g1 > 1 y una construcción idéntica.



* Si

* Si R = 1 pero R 6 1+ Y A partir de un n0 en adelante Y an+1 $ an con lo cual es una

Sucesión monótona creciente de términos positivos Y no puede tener límite cero Y DIVERGE.

CRITERIO DE LA RAÍZ

Demostración

* R < 1

œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

En particular, sea g1 > 0 / R + g1 < 1 › n1 si n $ n1 ]

Es una Serie Geométrica CONVERGENTE ( |R + g1 | < 1 ) Y CONVERGE

Y CONVERGE

* R > 1 R 0 ú

Con el mismo razonamiento anterior Y

g2 > 0 / R - g2 >1 › n2 si n $ n2 Y

Es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( |R - g2 | = R - g2 > 1 ) Y DIVERGE Y



DIVERGE

* R > 1 R = 4

œ k > 0 › n0 ( g) / si n $ n0 Y > k ,

en particular, para un k1 > 1 › n1 ( g) / si n $ n1 Y > k ] an > kn

es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( | k | = k > 1 ) Y mediante Criterio de Comparación Y

DIVERGE Y DIVERGE

* , R = 1+, R 6 1+

Si R 61+ Y $ 1 a partir de un n0 en adelante Y an $ 1n a partir de un n0 Y Y

DIVERGE

CRITERIO DE KUMMER

Sea una Serie de términos positivos, y sea una Sucesión de números reales positivos.

Sea

si › k $ 0 / Kn $ k œ n 0 ù Y CONVERGE

si Kn # 0 œ n 0 ù Y DIVERGE Y DIVERGE

Veamos :

1. › k $ 0 / Kn $ k œ n 0 ù Si Kn $ k Y

Y kn A an - kn+1 A an+1 $ k A an+1 œ n 0 ù



Asignando a n los valores n = 1, ..., p-1

k1 A a1 - k2 A a2 $ k A a2

k2 A a2 - k3 A a3 $ k A a4

k3 A a3 - k4 A a4 $ k A a5

.............................................................

kp-1 A ap-1 - kp A ap $ k A ap+1

Sumando

k1 A a1 - kp A ap $ k A ( a2 + a3 + ... + ap ) Y k ( a2 + a3 + ... + ap ) # k1 A a1 - kp A ap # k1 A a1

œ p 0 ù

Sea a la sucesión de Sumas Parciales asociada a tendremos que

Sp # œ p 0 ù Y es una Sucesión de términos positivos y acotada

Superiormente Y CONVERGENTE Y es una Serie Convergente.

2. si Kn # 0 œ n 0 ù y DIVERGE

œ n 0 ù Y

Y Como Es DIVERGENTE y es de términos positivos

Y kn+1 A an+1 $ kn A an œ n 0 ù Y kn+1 A an+1 $ k1 A a1 Y

k1 A a1 > 0 Como DIVERGE

Y aplicando el CRITERIO DE COMPARACIÓN Y CONVERGE

Versión mas utilizada del criterio de Kummer



1. Si existe

CRITERIO DE RAABE

Demostración :

Basta con tomar kn = n en el criterio de Kummer

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [a, +4 [, =0 si

y tienen el mismo carácter.

Demostración

Sea " = [a] Y " # a < " + 1

Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1

Como f es decreciente Y œ x 0 [ m, m+1 ] f(m+1) # f(x) # f(m)

Además, f es POSITIVA Y ( Área )



Y

Si tomamos m = " + 1, " +2, ... , n

..................................................

Sumando término a término :

* Si es CONVERGENTE Y existirá y será FINITO

Y œ n 0 ù

Y

YLas Sumas parciales de la Serie están ACOTADAS superiormente

Y es una SERIE CONVERGENTE

* Si es DIVERGENTE Y = +4 y por tanto ...

CRITERIO DE COMPARACIÓN

Mediante LÍMITE. Sea una Serie de términos positivos y una Serie (Auxiliar ) de

términos positivos



CRITERIO DE PRINGSHEIM

Sea una Serie de términos positivos y

Demostración.

Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las Series y (Serie

Armónica )

TEOREMA

Dada una serie semiconvergente puede ser REORDENADA del tal modo que la serie obtenida sea :

1. CONVERGENTE y tenga por Suma un número " 0 ú

2. DIVERGENTE

3. NO SUMABLE

Demostración.

* Sea una Serie Semiconvergente y " 0 ú

Sean las Series Auxiliares [ formada por los términos positivos de ORDENADOS en la

forma en la que aparecen en ] y

( idem.. Por los términos negativos cambiados de signo y también ordenados )

Ambas series son de TÉRMINOS POSITIVOS



es SEMICONVERGENTE Y

Sea " 0 ú un número real cualquiera

Es DIVERGENTE y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales asociada

, no está acotada superiormente [ œ k 0 ú › n0 / k ]

En particular, para " 0 ú tomemos n1 0 ù / S'1 # S'2 # ... # # " <

Es la primera Suma parcial de en ser mayor que ".

" < p1.+ p2 + ... +

Es DIVERGENTE y de términos positivos Y RESTANDO de p1.+ p2 + ... + un nº suficiente

de términos q1 , q2 , ... Obtendremos una cantidad MENOR que ". Sea n2 la menor de ellas /

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - < " < p1.+ p2 + ... +

Añadamos ahora los términos positivos sucesivos hasta conseguir sobrepasar de nuevo a "

y sea n3 el menor de estos números /

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + > "

Restemos ahora el número imprescindible de términos de sucesivos a los anteriores para que el

número obtenido sea inferior a ", sea n4 /

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - < " < (I)

Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de



p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - +

+

Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie Y

= - < 1 # n # n1 + n2 -1

= - < n1+n2 # n # n1 + n2 +n3 -1

= - < n1 + n2 +n3 # n # ...

Y así sucesivamente

Si

2. Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia 4 reordenando términos ...

p1.+ p2 + ... + / p1.+ p2 + ... + > q1 + 1

Y p1.+ p2 + ... + - q1 > 1

Y p1.+ p2 + ... + - q1 + + ... + - q2 >2

Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que :

Y es tal que Y La Serie obtenida DIVERGE

Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4

Podemos descubrir una Serie reordenada como

CONVERGENCIA CONDICIONAL E INCONDICIONAL



Una Serie es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE y cualquier Serie

deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es.

es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE pero existe una reordenación

de sus términos para la cual la Serie es divergente.

Y ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE ]

SEMICONVERGENTE ] CONDICIONALMENTE CONVERGENTE

TEOREMA

Sea una Serie de términos positivos Y es incondicionalmente convergente.

La Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenat de cualquier manera los términos de

la Serie.

* Sea una Serie de términos positivos y sea la serie resultante de practicar una reordenación

cualquiera de sus términos.

Sean Y las Sucesiones de sumas parciales asociadas a y a

respectivamente.

Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n }

S'n # Sm Y

Como es CONVERGENTE Y está acotada superiormente por la Suma de la Serie, S Y œ n

0 ù › m 0 ù / S'n # Sm # S

Está acotada superiormente por S Y Es CONVERGENTE y su suma S’ # S Y Las

Series de términos positivos son incondicionalmente convergentes.

Como es una serie de términos positivos CONVERGENTE y son suma S’ podemos obtener

mediante la reordenación recíproca de F, F-1 Y S # S’ Y S = S'



TEOREMAUna Serie de términos reales cualesquiera es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE ]

ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

Y Por reducción al absurdo:

Sea , an 0 ú una serie INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si No fuese

absolutamente convergente Y sería una serie semi.convergente, para la cual existirían reordenaciones que la

harían perder el carácter de convergente, en contra de la conver. ?

Z Si es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y Las Series Asociadas y

serán convergentes.

Reordenando y Serán convergentes Y Convergente Y

incondicionalmente convergente

SERIES

Descomposición de factoriales

Se suman con esta técnica aquellas series cuyo numerador es un polinomio en “n” y el denominador es una

expresión con factorial ( n!, (n+1)!, etc )

La técnica adecuada se apoya en un resultado del cálculo infinitesimal, procedente del desarrollo en Serie para

la función f(x) = ex

Como Y tomando n = 1 Y es decir :

Planteemos pues, la técnica adecuada para sumar , , ...

* Sea p = grado P(n)

Como hemos de expresar en una SUMA de Factores propondremos como suma de p+1 factores :



........................................................................

P-términos

* Hallar los coeficientes

* A continuación, ajustar cada una de las p+1 series obtenidas al desarrollo conocida.

P Sumar los valores obtenidos

NOTA En el numerador, se empieza la factorización en sentido descendente con el elemento del

denominador que aparece con el factorial

Ejemplo :

Serie

[ Se comprueba que la Serie es Convergente ]

Suma por descomposición en factoriales

Tal como hemos propuesto :

Y

Y

Igualando coeficientes

= =

=

Desarrollando cada suma por separado :

= e ( pues )



Veamos otro ejemplo : Obtener la Suma de la serie Convergente :

* Suma por descomposición en FACTORIALES :

grado de 3n + 2 = 1

Descomposición propuesta :

Y Y

Por tanto :

Un poco mas sencillo ¿ verdad ?

SUMA CON TÉRMINOS DE LA ARMÓNICA

Recordemos que la suma de los n primeros términos de la Serie Armónica viene dada por la expresión

Hn = log n + C + gn

Donde C es la llamada constante de Euler-Masqueroni

gn es un infinitésimo ( )



Y A partir de la cual

Y

Y

Y notaremos

Y Suma n.primeros términos armónica Hn

Y Suma primeros términos pares armónica hasta 2n

Y Suma primeros términos impares armónica hasta 2n-1

El proceso de suma con ayuda de esta técnica consiste en descomponer la fracción en suma de fracciones

simples, a continuación efectuar la suma de los n primeros términos ( o los que convenga ) y, a continuación,

supuesto que los términos no se anulan, aplicar la fórmula que hemos obtenido.

Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :

i) Convergencia

Convergencia absoluta

Como =

Aplicando el criterio de Pringsheim

Sea " 0 ú / Y La Serie Converge

Y Es absolutamente Convergente Y es CONVERGENTE

ii) Suma

Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples

Si

Y 1 = A (n+2) + B (n-1) Y



falta acabar

Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :

i) Convergencia

Al ser una Serie Alternada, estudiemos la convergencia absoluta

=

Aplicando el criterio de Pringsheim

Sea " 0 ú / Y La Serie Converge

Y Es absolutamente Convergente Y es CONVERGENTE

ii) Suma

Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples

Si

Y 1 = A (n+3) + B (n+2) Y

= =

Damos valores a “n”



......................

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