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UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA

FACULTAD DE PSICOLOGA

Departamento de Psicologa Educativa, Evolutiva y Psicobiologa

rea de Psicologa Evolutiva y de la Educacin

ES RELEVANTE LA DISCREPANCIA CI-RENDIMIENTO EN EL DIAGNSTICO DELAS DA EN ARITMTICA?

Tesis Doctoral presentada por Ana Isabel Garca Espinel

Dirigida por

Dr. D. Juan E. Jimnez Gonzlez

A Juan

A mi nia

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo no hubiera sido posible sin la inestimable colaboracin de diversas

personas a las que quiero transmitir mi ms sincero agradecimiento.

En primer lugar, quiero hacer constar mi mayor agradecimiento al director de esta

Tesis, Dr. D. Juan E. Jimnez Gonzlez por sus cualidades como cientfico y como formador

que le han permitido realizar una admirable labor de direccin, en particular, agradezco su

disponibilidad y el entusiasmo con que la ha ejercido.

Deseo agradecer a Elisa Negrn, Pilar Sosvilla, Candelaria Palmero, Pilar M0

Garca, Elena Gonzlez, Nuria Armas, Margot Fontn, Elena Moreno, Elsa Cabrera,

Faustina Sosa, M0 del Carmen Cruz, Rosa Wall y Emma Deniz por su valiosa colaboracin

en la costosa recogida de datos de esta investigacin.

Quiero expresar mi mayor agradecimiento a los siguientes centros escolares: Camino

Largo, Chapatal, y Ramiro de Maeztu y a los nios y nias que participaron en esta

investigacin, sin cuya colaboracin no hubiera sido posible realizar este trabajo.

A mi compaero Gustavo M. Ramrez por la rigurosidad con que ha realizado los

anlisis estadsticos de esta investigacin, he de agradecerle tambin, su amabilidad y sentido

del humor,

que han hecho ms llevadero este trabajo.

Asimismo quiero mencionar en este apartado, a mis compaeros Sergio Hernndez,

Bernardo Bez, Saro Ortz, Gladys Ynez, Stephany Hess que han demostrado su inters por

la marcha de este trabajo y me han alentado en los momentos ms delicados. En particular

quiero expresar mi agradecimiento a Jose Toms Bethencour por la bibliografa y la relacin

de personas expertas para la recogida de los datos de este trabajo que amablementeme me

facilit.

Agradezco tambin la desinteresada colaboracin de mi cuado Guillermo Afonso y

sus colegas de G.A.P. por el esmero con que han realizado el dibujo y diseo de las figuras de

este trabajo. A Jos Chinea por su desvelo y dedicacin al maquetado a los cuales debe su

digna apariencia. A Ignace Vermaes por su participacin en la elaboracin de grficas y

tablas.

A mi querida amiga Ana Ruiz por su valiosa ayuda en la minuciosa elaboracin de las

referencias biliogrficas.

Por ltimo, debo mencionar el papel fundamental que para m ha tenido la

colaboracin, preocupacin y apoyo de mi familia. Especialmente la de mi pareja, por su

nimo e incondicional apoyo y sobre todo, por haber asumido el doble papel de padre y

madre de mi hija. Con todo mi cario, gracias, Juan.

I N D I C E

I. INTRODUCCIN GENERAL ............................................................................................1

II. MARCO TERICO............................................................................................................9

1. EL APRENDIZAJE DE LA ARITMTICA ...................................................................11

1.1. Introduccin........................................................................................................................13

1.2. Desarrollo temprano. De lo intuitivo a lo formal....................................................................13

1.3. La construccin del nmero.................................................................................................17

1.3.1. El concepto de nmero en Piaget.......................................................................... 18

1.3.1.1. Fundamentacin lgica.......................................................................... 18

1.3.1.2. Conservacin........................................................................................ 19

1.3.1.3. Coordinacin Cardinal-Ordinal.............................................................. 21

1.3.1.4. Aplicaciones del nmero ....................................................................... 23

1.3.2. La oposicin al punto de vista de Piaget................................................................23

1.4. La estimacin del nmero....................................................................................................26

1.4.1. La estimacin....................................................................................................... 27

1.4.2. La subitizacin..................................................................................................... 27

1.4.3. La cardinacin o emparejamiento ......................................................................... 29

1.5. La habilidad de contar.........................................................................................................30

1.5.1. Correspondencia uno-a uno ................................................................................. 31

1.5.2. Orden estable ...................................................................................................... 35

1.5.3. Cardinalidad ........................................................................................................ 37

1.5.4. Abstraccin ......................................................................................................... 40

1.5.5. Orden Irrelevante................................................................................................. 41

II

1.6. Operaciones aritmticas elementales ....................................................................................42

1.6.1. La operacin de sumar.........................................................................................42

1.6.1.1. Propiedades de la suma......................................................................... 43

1.6.2. La operacin de restar .........................................................................................43

1.6.2.1 Concepto formal de la resta.................................................................... 44

1.7. Problemas verbales aritmticos............................................................................................45

1.7.1. Estructura de los problemas de suma y resta .........................................................46

1.7.1.1. Variables sintcticas y lingsticas.......................................................... 46

1.7.1.2. Tipos de sentencias segn el lugar de la incgnita .................................. 48

1.7.1.3. Estructura semntica.............................................................................. 50

a) Problemas de Cambio........................................................................ 51

b) Problemas de Combinacin................................................................ 53

c) Problemas de Comparacin............................................................... 54

d) Problemas de Igualacin.................................................................... 56

1.7.1.4. Dificultad relativa de los problemas........................................................ 58

1.8. Estrategias infantiles de cuantificacin numrica....................................................................63

1.8.1. Evolucin general de las estrategias.......................................................................63

1.8.2. Taxonoma de estrategias .....................................................................................64

1.8.2.1. Estrategias aditivas ................................................................................ 66

a) Estrategias de modelado..................................................................... 66

b) Estrategias de conteo......................................................................... 66

c) Estrategias mentales o de hechos numricos........................................ 69

1.8.2.2. Estrategias sustractivas .......................................................................... 71

a) Estrategias de modelado..................................................................... 71

b) Estrategias de conteo......................................................................... 74

III

c) Estrategias mentales basadas en hechos o combinaciones numricas.... 75

1.8.3. Niveles evolutivos en la resolucin de problemas................................................... 76

1.8.3.1. Nivel 1.................................................................................................. 76

1.8.3.2. Nivel 2.................................................................................................. 77

1.8.3.3. Nivel 3.................................................................................................. 77

1.8.3.4. Nivel 4.................................................................................................. 78

1.8.4. Eleccin de estrategias .........................................................................................78

1.8.5. Modelo de eleccin de estrategias ........................................................................80

1.9. Modelos de simulacin........................................................................................................82

1.9.1. Modelos de resolucin de problemas verbales ......................................................82

1.9.2. Modelos de algoritmos.........................................................................................94

1.9.2.1. Modelos algortmicos para la adicin..................................................... 94

1.9.2.2. Modelos algortmicos para la substraccin............................................. 96

1.10. Errores en el pensamiento matemtico ...............................................................................98

1.10.1. Errores en la solucin de problemas verbales......................................................98

1.10.2. Errores en la resolucin del algoritmo................................................................ 103

1.10.2.1. Adicin............................................................................................. 104

1.10.2.2. Substraccin..................................................................................... 104

1.11. Conclusin......................................................................................................................105

2. CONCEPTO DE DISCREPANCIA EN EL DIAGNSTICO DE LAS DA.................109

2.1. Introduccin......................................................................................................................111

2.2. Concepto de discrepancia o DA........................................................................................112

2.3. Es relevante el CI en el diagnstico de las DA?................................................................121

2.4. La medida de la discrepancia es adecuada para identificar individuos con problemas

de aprendizaje de distinta etiologa?...................................................................................125

IV

2.5. Conclusin........................................................................................................................133

3. DIFICULTADES DE APRENDIZAJE EN ARITMTICA..........................................135

3.1. Introduccin......................................................................................................................137

3.2. Dificultades de aprendizaje en aritmtica............................................................................141

3.2.1. Perspectiva neurolgica y neuropsicolgica......................................................... 141

3.2.1.1. Discalculia evolutiva ............................................................................ 144

3.2.2. Perspectiva cognitiva.......................................................................................... 149

3.2.2.1. Necesidad de establecer subtipos........................................................ 151

3.2.2.2. La memoria de trabajo en las DA en aritmtica................................... 153

3.2.2.3. La memoria de trabajo en la resolucin de problemas verbales............. 161

3.2.2.4. Diferencias individuales en la resolucin de problemas verbales

aritmticos.......................................................................................... 163

3.2.2.5. Diferencias individuales en la eleccin de estrategias de

cuantificacin...................................................................................... 176

3.2.3. Perspectiva educativa y evolutiva........................................................................ 184

3.2.3.1. Factores educativos ............................................................................ 184

3.2.3.2. Factores motivacionales ...................................................................... 185

3.2.3.3. Demandas cognitivas........................................................................... 187

3.3. Conclusin........................................................................................................................189

III. TRATAMIENTO EXPERIMENTAL ..........................................................................191

4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA E HIPTESIS ..............................................193

V5. MTODO .........................................................................................................................201

5.1. Sujetos .............................................................................................................................203

5.1.1. Criterios de seleccin......................................................................................... 203

5.2. Material............................................................................................................................204

5.2.1. Aritmtica.......................................................................................................... 204

5.2.1.1. Batera de Aptitudes Diferenciales y Generales: BADYG..................... 204

5.2.1.2. Batera de Problemas Verbales Aritmticos ......................................... 206

5.2.2. Memoria de Trabajo .......................................................................................... 208

5.2.3. Inteligencia......................................................................................................... 208

5.3. Procedimiento...................................................................................................................209

5.3.1. Estrategias materiales o de modelado.................................................................. 211

5.3.1.1. Adicin............................................................................................... 211

a) Conteo total..................................................................................... 211

b) Conteo a partir del primer sumando.................................................. 212

c) Conteo a partir del sumando mayor.................................................. 212

5.3.1.2. Substraccin....................................................................................... 213

a) Separar desde. "Separar de" ............................................................ 213

c) Aadir ............................................................................................. 214

d) Emparejamiento............................................................................... 215

5.3.2. Estrategias verbales o de conteo......................................................................... 215

5.3.2.1. Adicin............................................................................................... 215

a) Conteo total..................................................................................... 215

b) Conteo parcial................................................................................. 216

5.3.2.2. Substraccin....................................................................................... 217

a) Conteo hacia atrs desde. ............................................................... 217

b) Conteo hacia atrs hasta. ................................................................ 217

VI

c) Conteo hacia delante. ...................................................................... 218

5.3.3. Estrategias mentales basadas en hechos o combinaciones numricas.................... 218

5.3.3.1. Adicin............................................................................................... 218

a) Recuerdo. (Memorizacin)............................................................... 218

b) Derivacion de hechos numricos (Reglas) ......................................... 219

5.3.3.2. Substraccin....................................................................................... 220

a) Recuerdo (Memorizacin)................................................................ 220

b) Derivacin de hechos numricos (Reglas) ......................................... 220

6. ESTUDIO 1: SELECCIN Y ANLISIS DE LA MUESTRA .................................... 223

6.1. Objetivos..........................................................................................................................225

6.2. Diseo..............................................................................................................................225

6.3. Resultados ........................................................................................................................225

6.3.1. Escala de Inteligencia de Weschler para nios (WISC)....................................... 225

6.3.2. Sexo .................................................................................................................. 228

6.3.3. Rendimiento en aritmtica................................................................................... 229

6.3.3.1. Prueba de rendimiento en aritmtica (BADYG).................................... 229

6.3.4. Prueba de Memoria de Trabajo.......................................................................... 230

6.3.5. Edad.................................................................................................................. 232

6.4. Discusin..........................................................................................................................233

7. ESTUDIO 2: DIFERENCIAS INDIVIDUALES EN LA RESOLUCIN DE

PROBLEMAS VERBALES ARITMTICOS ..............................................................239

7.1. Objetivos..........................................................................................................................241

7.2. Diseo..............................................................................................................................241

VII

7.2.1. Diseo 1................................................................................................ 241

7.2.2. Diseo 2................................................................................................ 241

7.2.3. Diseo 3................................................................................................ 242

7.2.4. Diseo 4................................................................................................ 242

7.2.5. Diseo 5................................................................................................ 242

7.3. Resultados ........................................................................................................................243

7.3.1. Diseo 1................................................................................................ 243

7.3.2. Diseo 2................................................................................................ 246

7.3.3. Diseo 3................................................................................................ 248

7.3.4. Diseo 4................................................................................................ 249

7.3.5. Diseo 5................................................................................................ 251

7.4. Anlisis de la dificultad de los problemas verbales..............................................................254

7.4.1. Anlisis de la dificultad de los problemas verbales cannicos.............................. 254

7.4.1.1. Objetivo ............................................................................................. 254

7.4.1.2. Resultados .......................................................................................... 254

7.4.2. Anlisis de la dificultad de los problemas verbales no cannicos .......................... 257

7.4.2.1. Objetivo ............................................................................................. 257

7.4.2.2.Diseo................................................................................................. 258

7.4.2.3 Resultados ........................................................................................... 258

7.5. Discusin..........................................................................................................................262

8. ESTUDIO 3: ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS EMPLEADAS EN LA

RESOLUCIN DE PROBLEMAS VERBALES ARITMTICOS.............................269

8.1. Objetivo ...........................................................................................................................271

8.2. Diseo..............................................................................................................................271

8.3. Anlisis general de las estrategias cuando se acierta............................................................271

VIII

8.3.1. Resultados ......................................................................................................... 271

8.4. Anlisis de las estrategias cuando no se tiene xito en la solucin de los problemas .............274

8.4.1. Resultados ......................................................................................................... 274

8.4.1.1. Estrategias empleadas para los problemas de Cambio.......................... 278

8.4.1.2. Estrategias empleadas para los problemas de Combinacin.................. 282

8.4.1.3. Estrategias empleadas para los problemas de Comparacin................. 283

8.4.1.4. Estrategias empleadas para los problemas de Igualacin....................... 286

8.5. Discusin..........................................................................................................................293

IV. DISCUSIN GENERAL ...............................................................................................297

V. CONCLUSIONES............................................................................................................309

VI. BIBLIOGRAFA ............................................................................................................313

VII. ANEXOS........................................................................................................................361

Anexo 1.......................................................................................................................363

Anexo 1.1. Tablas referidas al mtodo.............................................................. 365

Anexo 1.2. Tablas del Estudio 1....................................................................... 373



Anexo 2.......................................................................................................................405

Anexo 2.1. Tarea de Memoria de Trabajo........................................................ 407

Anexo 2.2. Batera de Problemas Verbales Aritmticos.................................... 415

II

I . I N T R O D U C C I N G E N E R A L

Introducin General 3

"Cada vez parece menos posible y ser imposible, para un alumno del ao 2000,

afirmar que la matemtica no le atae directamente" (Vergnaud, en D'Amore, 1997, p. 9).

Con estas palabras de Vergnaud, se enfatiza la relevancia que encierra una adecuada

adquisicin de las habilidades matemticas bsicas como instrumento indispensable en nuestra

sociedad. Contar objetos, leer y escribir nmeros, realizar clculos aritmticos y razonar con

nmeros son aspectos de muchas de las tareas ms sencillas con las que se enfrentan cada da las

personas adultas. Adems de su importancia como herramienta para adaptarnos a las exigencias

que demanda nuestro entorno, el dominio de las primeras nociones aritmticas es un primer paso

para la adquisicin de los conocimientos matemticos de nivel superior que se exigen en mbitos

laborales o acadmicos de nuestra sociedad, cada vez ms tecnificada.

Sin embargo, a pesar de su importancia, los resultados en la enseanza de esta disciplina

ponen de manifiesto la existencia de un alto ndice de fracaso escolar, convirtindose en una

asignatura poco atractiva que no se ajusta a los intereses, motivaciones y posibilidades de los nios.

Esto puede ser debido, en parte, a que las matemticas son una asignatura muy compleja que

ejerce, adems, una gran cantidad de demandas cognitivas, que no siempre son tenidas en cuenta en

la metodologa para su enseanza, o no estn presentes, en el repertorio de habilidades de los

sujetos en el momento de su aprendizaje.

Por otra parte, a esto se une el hecho de que, tradicionalmente se ha considerado, que de

los individuos que fracasan, cierto nmero de ellos, evidencian una incapacidad especfica para las

matemticas. As, diversos estudios (v.g., Badian, 1983; Kosc, 1974) coinciden en encontrar que

aproximadamente un 6,4% de los nios manifiestan dificultades especficas (DA) para las

matemticas o discalculia. Hemos de hacer un parntesis en este punto, para precisar una cuestin

relativa al trmino DA que consideramos importante hacer notar, y es que los trminos DA en

4 I. Introduccin General

matemticas y DA en aritmtica son utilizados indistintamente por los investigadores.

Los fracasos especficos en la aritmtica se deben considerar como causados por factores

de ndole muy diversa, que unidos a la amplia gama de funciones que entran en juego en el

aprendizaje de esta disciplina, nos pueden dar una idea de la complejidad del problema y de la

dificultad a la hora de encontrar una explicacin de su etiologa. Por otro lado, el mismo trmino DA

ha sido objeto de controversia por parte de los investigadores.

La cuestin ms reciente que ha suscitado la polmica, ha sido la consideracin de si el

Cociente Intelectual (CI) debe ser tenido en cuenta como criterio de seleccin de los sujetos con

DA, es decir, si stos muestran un rendimiento insatisfactorio respecto a la capacidad que tienen

para aprender, o lo que es lo mismo, si la discrepancia entre la habilidad intelectual, medida por el

CI y el rendimiento en aritmtica es el criterio decisivo para identificar a estos sujetos.

Uno de los supuestos sobre los que se sostiene este criterio consiste en afirmar que los

procesos cognitivos involucrados en la aritmtica son diferentes en los nios con DA y alto CI frente

a los nios que alcanzan un rendimiento bajo en aritmtica y tambin un bajo CI.

La validez de la discrepancia CI-rendimiento como criterio para el diagnostico de las Da ha

quedado en entredicho a travs de diversas investigaciones, en el rea de la lectura, que han

demostrado que los procesos cognitivos involucrados en la lectura son ms importantes que el CI a

la hora de identificar a nios DA en lectura.

Nuestro trabajo, pretende encontrar resultados similares en relacin con la aritmtica, ya

que hasta el momento existen escasos trabajos en este sentido. Por ello, estudiaremos si existen

diferencias en la resolucin de problemas verbales aritmticos entre nios que presentan un


rendimiento bajo en aritmtica y nios que han sido clasificados en funcin del criterio de

discrepancia CI-rendimiento.

Consideramos que este trabajo, tiene especial relevancia en la comprensin de la naturaleza

de las DA ya que nos permitira esclarecer cules son las caractersticas diferenciadoras de estos

sujetos, que debemos tener en cuenta para poder as introducir mejoras en su aprendizaje.

Asimismo, esperamos que contribuya al esclarecimiento de un trmino tan controvertido como el de

DA.

Exponemos, seguidamente, el esquema que hemos seguido en la organizacin de este

trabajo el cual consta de dos partes fundamentales: Marco terico y Tratamiento experimental.

El Marco Terico comprende tres captulos que tratan de aproximarse al problema que nos

ocupa en esta investigacin.

En el primer captulo hacemos, en primer lugar, un breve recorrido por los principales

enfoques tericos que mayor influencia han tenido en la explicacin del desarrollo del aprendizaje de

la aritmtica, para seguidamente ofrecer una panormica de las operaciones de suma y resta por su

implicacin en la resolucin de problemas verbales aritmticos. A continuacin abordaremos estos

problemas verbales aritmticos dando a conocer su estructura, variables que afectan a su resolucin

y la progresin evololutiva que manifiestan los nios en su habilidad para resolverlos.

Posteriormente, nos dedicamos a las distintas estrategias aditivas y substractivas de cuantificacin

infantil.

Otro acercamiento a los objetivos de nuestra investigacin se hace en el segundo captulo,

donde nos ocupamos de la delimitacin conceptual del trmino DA, y del concepto de discrepancia,

que como vimos ms arriba han estado ntimamente relacionados. De igual manera, planteamos aqu

6 I. Introduccin General

la cuestin de la relevancia del empleo del criterio de discrepancia en el diagnstico de las DA en

aritmtica.

El tercer captulo, nos permite adentrarnos en el campo especfico del tema objeto de

estudio, las DA en aritmtica. En una primera parte de este captulo, presentamos cual es la

situacin actual de la investigacin acerca de las DA en aritmtica. En una segunda parte, nos

centramos en las aportaciones que, desde diferentes perspectivas tericas, se han hecho al estudio

de las dificultades especficas para la aritmtica. Desde una de ellas, la perspectiva neurolgica, se

enfatizan los aspectos biolgicos, relacionando las DA con alteraciones del funcionamiento cerebral

de los sujetos. La perspectiva cognitiva, en cambio, adopta una postura ms neutral en cuanto a la

etiologa ltima de las DA y se centra fundamentalmente en cmo se adquiere la informacin y qu

procesos estn involucrados en el rendimiento matemtico. Desde este modelo, abordamos el

estudio de las diferencias individuales en la resolucin de problemas verbales aritmticos y en la

eleccin de estrategias de cuantificacin. Por ltimo, la perspectiva educativa y evolutiva, enfatiza el

papel de las variables ms directamente relacionadas con el proceso de enseanza-aprendizaje,

como aspectos instruccionales, motivacionales, y del entorno sociocultural de los nios en el

rendimiento en aritmtica.

En la parte de Tratamiento Experimental, tras el planteamiento del problema e hiptesis, se

incluyen tres estudios. El primer estudio, tiene como principal objetivo la seleccin adecuada de los

sujetos a estudiar, asignndolos a cada uno de los tres grupos que conformarn nuestra

investigacin (rendimiento normal, discrepantes y no-discrepantes), adems de analizar la influencia

de algunas variables relevantes como la edad, sexo, rendimiento en aritmtica, memoria de trabajo,

e inteligencia. Mediante el segundo estudio, analizamos las diferencias individuales en la resolucin

de problemas verbales aritmticos en funcin de la estructura semntica y del lugar que ocupa la


incgnita en los problemas. El tercer estudio, se ocupa de un anlisis cualitativo de las estrategias

de cuantificacin que emplean los nios pertenecientes a cada grupo para la resolucin de los

problemas verbales aritmticos.

Finalizamos este trabajo con una discusin general y las conclusiones ms relevantes que se

derivan de los estudios realizados.

I I . M A R C O T E R I C O

1. EL APRENDIZAJE DE LA ARITMTICA

El aprendizaje de la Aritmtica 13

1.1. INTRODUCCIN

En este captulo haremos un breve anlisis de las teoras explicativas del aprendizaje de la

aritmtica desde la perspectiva de la psicologa del desarrollo. En primer lugar, describiremos los

dos principales modelos explicativos que los investigadores suelen tomar con mayor frecuencia

como referencia en relacin a la adquisicin del concepto de nmero en el nio, sus principios

generales y adquisiciones bsicas. En una segunda parte, nos adentraremos en las operaciones

aritmticas elementales de adicin y sustraccin por estar stas implicadas en la resolucin de

problemas verbales aritmticos. Analizaremos de stos ltimos, su clasificacin, evolucin y

variables que afectan a su resolucin. Dedicndonos principalmente, a las variables semnticas y el

lugar en que se sita la incgnita en estos problemas, para posteriormente, dedicarnos a las distintas

estrategias de resolucin de tareas aditivas y sustractivas que emplean los nios encontradas a

travs de diversos trabajos mediante el mtodo de entrevistas.

1.2. DESARROLLO TEMPRANO. DE LO INTUITIVO A LO FORMAL

Los seres humanos desde muy temprana edad, parecen estar preparados biolgicamente

para percibir y diferenciar cantidades (Karmiloff-Smith, 1992). Esto que durante un perodo

bastante amplio de la psicologa del desarrollo, pareca impensable, ha venido a demostrarse en

diversos trabajos crticos surgidos como reaccin a las concepciones del modelo piagetiano desde

el que resultaba inconcebible atribuir principios relacionados con el nmero a los nios pequeos.

Diversos autores (Antel y Keating 1983; Cooper, 1984; Curtis y Strauss, 1982, 1983;

Gelman, 1982; Starkey y Cooper, 1980; Starkey, Spelke y Gelman, 1980; Starkey, Spelke y

Gelman, 1983; Strauss y Curtis, 1984) se han interesado por estudiar la adquisicin del concepto

de nmero como un proceso de dominio especfico. En sus trabajos estos autores han confirmado

14 II. Marco Terico

la existencia de ciertas predisposiciones numricas en los nios lo que denota un cierto

conocimiento intuitivo del nmero. El paradigma de habituacin-deshabituacin ha sido uno de los

ms utilizados con la finalidad de determinar la naturaleza de estas disposiciones. Starkey y Cooper

(1980) estudiaron las respuestas que ofrecan bebs de 4 a 6 meses y de 6 a 8 meses ante

imgenes proyectadas en transparencias, que eran en las primeras presentaciones de 2 y 3 objetos,

al tiempo que se emita una secuencia de golpes igual al nmero de objetos presentados

visualmente. El beb interesado por este nuevo estmulo, fijaba la mirada en las imgenes y

concentraban sistemticamente su atencin sobre la que tena el mismo nmero de elementos que

los golpes emitidos, es decir, poda hacer correspondencias intermodales basndose en la

numerosidad de las representaciones. Tras varias presentaciones seguidas de 3 objetos, la novedad

desapareca y la atencin por parte del nio disminua. En este momento, se introduca un concepto

numrico nuevo (v. g., cuatro objetos) acompaado del mismo nmero de golpes. Si el nio no se

daba cuenta de la diferencia seguira sin prestar atencin. Sin embargo, los nios prestaban de

nuevo atencin, indicando que se daban cuenta de la diferencia. Tal como observaron los autores,

parece que es la cualidad de "tres" la que dejaban de encontrar interesante. Este experimento

tambin demuestra la capacidad de los nios de detectar correspondencias numricas intermodales

entre 2 y 3 objetos. Al parecer los nios poseen un proceso de correspondencia o numeracin que

les permite distinguir entre pequeos conjuntos de objetos. Estas conclusiones son verificadas por

un estudio de seguimiento llevado a cabo por Starkey, Spelke y Gelman (1980), quienes le

presentaban a nios de 6 a 8 meses muestras heterogneas de objetos extradas del entorno familiar

del nio. La distribucin espacial se vara de ensayo a ensayo. Los resultados cumplen las

expectativas con respecto a la fase de deshabituacin al prestar los nios ms atencin hacia

muestras de diferente cantidad de objetos que en la de habituacin.

Por su parte, Antell y Keating (1983), siguiendo este mismo paradigma, presentaban a


nios recin nacidos tarjetas que contenan el mismo nmero de puntos, pero variaban en la longitud

de las lneas y la densidad de los puntos. Despus de habituarse a estos estmulos se presentaba a

los nios una tercera tarjeta con un nmero distinto de puntos y se mantena la longitud de la lnea o

la densidad de los puntos de las presentaciones a las que ya se haban habituado. Al igual que

suceda en los estudios ya descritos, los bebs mostraban atencin renovada ante los cambios de

nmero pero no cuando los cambios eran de longitud de la lnea o densidad de los puntos. Sin

embargo, esta capacidad desapareca cuando los conjuntos eran demasiado grandes. Para estos

autores la capacidad demostrada por los nios requerira alguna forma de representacin icnico-

esquemtica que parece estar muy alejada del punto de vista tradicional piagetiano sobre las

capacidades numricas de los bebs.

El conjunto de estos resultados indica que las respuestas discriminatoria de los bebs tiene

que deberse a su capacidad de atender a los cambios que afectan al nmero de elementos en las

representaciones y desechar otras caractersticas perceptivas. Parece que, aunque los bebs son

capaces de discriminar perfectamente el color y la forma, los nios en las presentaciones donde

existen cambios numricos desechan los cambios de stas caractersticas y atienden a los aspectos

numricos del estmulo (Karmiloff-Smith, 1992).

En torno a los dos aos, surgen los primeros intentos de usar los nmeros convencionales

en situaciones muy concretas o a hacer uso de un conocimiento informal de las matemticas

(Bermejo, 1994). Los nios encuentran que el conocimiento intuitivo no es suficiente para abordar

tareas cuantitativas, por lo que se apoyan cada vez ms en instrumentos ms precisos y flexibles,

como los nmeros y contar. Hacia los dos aos y medio empiezan a utilizar la palabra "dos" para

referirse a las pluralidades de dos o ms objetos (Wagner y Walter, 1982). Hacia los dos aos y

medio empiezan a utilizar la palabra "tres" para designar "muchos" (ms de dos objetos).

Posteriormente mediante el empleo de la percepcin directa junto con la actividad de contar, los

16 II. Marco Terico

nios descubren que las etiquetas numricas como "tres" no estn ligadas a la apariencia de

conjuntos y son tiles para especificar conjuntos equivalentes. Contar ofrece a los nios el vnculo

entre la percepcin directa concreta y las ideas matemticas abstractas, pero generales. Contar

coloca el nmero abstracto y la aritmtica elemental al alcance del nio pequeo (Baroody, 1988).

La actividad de contar y la aritmtica informal se hacen cada vez menos tiles a medida que

los nmeros se hacen mayores. A medida que los nmeros aumentan, los mtodos informales se

van haciendo cada vez ms propensos a error. La matemtica escrita y simblica que se imparte en

las escuelas supera las limitaciones de la aritmtica informal. La matemtica formal permite al nio

pensar de una manera ms abstracta y poderosa y abordar con eficacia los problemas en los que

intervienen nmeros grandes.

Resumiendo, la matemtica informal de los nios es el paso intermedio crucial entre su

conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y basado en su percepcin directa, y la matemtica

poderosa y precisa basada en smbolos abstractos que se aprenden en la escuela. Puesto que el

aprendizaje implica una construccin a partir de conocimientos anteriores, el conocimiento informal

es la base del aprendizaje significativo de la matemtica formal. La investigacin cognitiva indica

que, independientemente de cmo se introduzcan las tcnicas, smbolos y conceptos matemticos

en la escuela, los nios tienden a interpretar y abordar la matemtica formal en funcin de su

matemtica informal (Hierbert, 1984; Ginsburg, 1997).


1.3. LA CONSTRUCCIN DEL NMERO

Existen dos explicaciones diferentes acerca de la adquisicin del concepto de nmero en los

nios. Desde una de ellas, el modelo piagetiano (Piaget y Szeminska, 1941), la capacidad para

comprender y emplear el nmero slo es posible en la medida que se adquieren una serie de

conceptos y actividades previas, o, lo que es lo mismo; la capacidad de pensamiento lgico, por lo

que antes de esta adquisicin (hacia los siete aos de edad) los nios son incapaces de comprender

el nmero y la aritmtica (Piaget, 1965). La otra alternativa, la del modelo de integracin de

habilidades (v. g., Gelman, 1972; Gelman y Gallistel, 1978; Kintsch, 1988), considera que la

capacidad tanto para el empleo como para la comprensin del nmero se desarrolla directamente

en el nio a partir de la experiencia de contar que tienen stos. Contar desde sta perspectiva es

esencial para el desarrollo de la comprensin del nmero por parte del nio.

1.3.1. El concepto de nmero en Piaget

Durante la dcada de los sesenta cobran una gran importancia los trabajos del epistemlogo

gentico Jean Piaget sobre el desarrollo del conocimiento numrico en el nio. Piaget (Piaget y

Szeminska, 1941) demostr que los nios construyen de forma activa una serie de estructuras

necesarias para la comprensin del nmero. El concepto de nmero se basa en la sntesis de la

clasificacin de objetos equivalentes y la relacin de los mismos. Estos autores llevan a cabo

numerosos experimentos para probar como hiptesis principal que la construccin del nmero es

correlativa al desarrollo de la lgica misma. Esta es la base que sustenta el concepto de nmero y

no tiene nada que ver con los clculos que realiza el nio durante los primeros aos en el marco de

la escolaridad formal. Los resultados de sus trabajos confirman esta idea. El nmero se va

organizando etapa por etapa. As, de su teora es posible extraer las siguientes cuatro fases

esenciales para su aprendizaje: 1) Fundamentacin lgica, 2) Conservacin del nmero, 3)

18 II. Marco Terico

Coordinacin cardinal-ordinal, 4) Aplicaciones del nmero.

1.3.1.1. Fundamentacin lgica

Desde el modelo piagetiano se entiende el nmero como objeto de conocimiento construido

a partir de la sntesis de las operaciones lgicas. El nmero se va organizando en estrecha relacin

tanto con la operacin de inclusin jerrquica, como con la de relaciones asimtricas que

deben ser aprendidas antes de cualquier planteamiento sobre el nmero.

La inclusin jerrquica se apoya fundamentalmente en la propia labor de formacin de

conjuntos (tareas de clasificacin; que consisten en poder asignar una serie de objetos a un conjunto

correcto segn sus cualidades equivalentes) y en la relacin de inclusin de clases (una clase es la

suma de sus partes [subclases] y, por lo tanto, es mayor que cualquiera de ellas). Sin embargo, los

ms pequeos tienen dificultades para resolver los problemas de inclusin. La operacin de

inclusin no se completa hasta los seis o siete aos en la etapa de las operaciones concretas y, por

lo tanto, hasta esta etapa los nios son incapaces de comprender verdaderamente el nmero

(Piaget, 1965).

Las relaciones asimtricas se fundamentan en las labores de seriacin cualitativa (o

clasificacin de los elementos de un conjunto segn sus diferencias de magnitudes tanto discretas

como continuas) que aunque no se apoyan en la formacin de conjuntos, s lo hacen en una

capacidad de discriminacin de cualidades (Maza, 1989b). De esta manera, los nmeros

presentaran las siguientes propiedades: a) abstraccin de cualidades, de manera que todos los

objetos son equivalentes; b) orden, a fin de poder diferenciar entre objetos equivalentes; c)

inclusin, de forma que, por ejemplo, tres contiene como subclases uno y dos y, a su vez, es una


subclase de nmeros mayores (Bermejo, 1990).

En resumen, Piaget afirmaba que el nmero no puede ser entendido en trminos de un nico

concepto lgico, sino que es la unin de los conceptos de seriacin y clasificacin ya que

enumerar un conjunto implica tratar todos los elementos como miembros de una misma clase al

mismo tiempo que diferencia dentro del conjunto el primer elemento, el segundo etc. Adems, los

nmeros forman un orden y constituyen una jerarqua de clases (Baroody, 1988).

1.3.1.2. Conservacin

La conservacin del nmero es una adquisicin fundamental, y se consigue a travs de un

instrumento y un desarrollo cognitivo determinado. El instrumento ser la formacin de una

correspondencia uno-a-uno entre conjuntos presentes o bien entre un conjunto y l mismo en

distinta disposicin (Maza, 1989b). La correspondencia uno-a-uno es la manera ms simple de

determinar la equivalencia entre conjuntos. Dos conjuntos son equivalentes o pertenecen a una

misma clase, si se puede establecer una correspondencia biunvoca entre sus elementos respectivos.

La equivalencia y la correspondencia biunvoca son el fundamento de la matemtica formal y se

consideran el fundamento psicolgico del aprendizaje de las matemticas (Baroody, 1988). La

situacin experimental empleada por Piaget para determinar si un nio es capaz de conservar el

nmero, consiste en colocar un nmero de objetos equidistantes formando una fila. A continuacin,

se coloca otra fila de objetos formada exactamente por el mismo nmero, de manera que se

establezca una correspondencia uno a uno entre ambas. Una vez que el nio admite que ambas

hileras contienen el mismo nmero de elementos, introducimos un cambio puramente perceptivo

consistente en modificar la densidad/longitud (i.e., estirar los objetos de una fila de manera que

formen una fila ms larga) y preguntamos al nio si sigue habiendo el mismo nmero de objetos en

cada fila. Los nios menores de cinco aos siempre sostienen que una de las filas (normalmente la

20 II. Marco Terico

ms larga o segn la presentacin la ms densa) tiene ahora ms objetos que la otra (Piaget, 1968).

Para Piaget, la conservacin de la cantidad es un indicador de la comprensin del nmero

ya que slo es inteligible en la medida en que ste permanece idntico a s mismo. Los mecanismos

mentales que van a permitir la conservacin son los de compensacin e inversin, a su vez, ambos

mecanismos estn basados en la reversibilidad del pensamiento infantil. Segn Piaget y Szeminska

(1941), la conservacin de la cantidad indica la comprensin de que una vez establecida la

equivalencia entre dos conjuntos, los cambios de configuracin no modificaran la relacin de

equivalencia, es decir, las relaciones de equivalencia se conservan a travs de cualquier

transformacin no relevante en la apariencia fsica de un conjunto.

En general, se encuentra que los nios pequeos fracasan tanto en la situacin de

conservacin como de correspondencia uno-a-uno, aprecindose una evolucin para ambas

nociones en funcin de la edad, con tres etapas diferentes. La primera finaliza en torno a los cinco

aos, se caracteriza por la ausencia de ambas nociones. En esta etapa, los nios consideran que los

cambios perceptivos conllevan un cambio en la cantidad. La segunda etapa ira desde los cinco a

los seis aos y medio o siete. Se trata de una etapa de transicin caracterizada por la existencia de

respuestas intermedias de modo que estas sern errneas a medida que se acentan las diferencias

entre los dos conjuntos. Finalmente, la tercera etapa se manifiesta a partir de los seis aos y medio

o siete, cuando el nio afirma sin dudarlo tanto la conservacin como la equivalencia con

independencia de la situacin experimental. Los argumentos de los nios para justificar la

conservacin son de tres tipos: (1) de identidad, que puede ser simple (v. g., cuando el nio dice

"son las mismas fichas" , o "...los mismos caramelos" , etc.) o aditivo (v. g., cuando dice: "no se

ha aadido ni quitado nada", (2) de reversibilidad, cuando sealan que puede volverse a la

situacin inicial; (3) argumento de compensacin, cuando el nio indica, por ejemplo, que aunque la


lnea sea ms corta tambin es la ms densa y que la transformacin es meramente espacial y no

afecta al nmero.

1.3.1.3. Coordinacin Cardinal-Ordinal

El criterio de cardinalidad se refiere a que el nio sepa aplicar la regla de cardinalidad, es

decir, que sepa aplicar el proceso de recuento para llegar al tamao de una coleccin y considerar

el propio tamao del conjunto como una propiedad estable de la coleccin (Piaget y Szeminska,

1941). Pero, no basta con la aplicacin del criterio ordinal. Es necesario establecer un orden sobre

los elementos que son objeto de recuento. Si no se hiciera as podran quedar elementos sin contar

o alguno podra ser contado ms de una vez. As pues, son dos los aspectos numricos presentes

en la determinacin del nmero correspondiente a un conjunto:

1. Un aspecto cardinal, en relacin con la correspondencia construida.

2. Un aspecto ordinal, en relacin con el orden impuesto y la posicin relativa de los

elementos, unos respecto a otros (Maza, 1989b).

Por tanto, desde la concepcin piagetiana, el nmero se adquiere slo en la medida en que

los aspectos cardinal y ordinal se coordinan entre s, de forma que un elemento determinado de un

conjunto se relacione con la serie numrica definida.

Esta coordinacin entre lo cardinal y ordinal se fundamenta en la fase anterior de

correspondencia del nmero donde se consolida la clasificacin y seriacin. El nmero se construye

como una sntesis de dos actividades lgicas, siendo entonces evidente para Piaget, que esta

construccin no es de naturaleza intuitiva sino operativa puesto que se rige por una serie de

22 II. Marco Terico

operaciones matemticas anteriormente descritas.

La adquisicin de este principio pasa tambin por una evolucin en etapas. Estas son

deducidas a partir de los experimentos piagetianos en los que se le propone al nio realizar una

tarea de ordenacin y correspondencia de dos conjuntos de elementos (un conjunto de bastones y

otro de hombrecillos) en los que el tamao era creciente en ambos, en la que adems; deba ser

capaz de reconstruir el valor ordinal (espaciando o invirtiendo la serie) de los distintos elementos,

una vez que se deshaca la correspondencia inicial, y asignar un valor ordinal correspondiente al

elemento propuesto por el experimentador.

En la primera etapa el nio es, en muchos casos, incapaz de realizar la seriacin, realizando

los emparejamientos de forma arbitraria o emparejando de forma global grandes con grandes y

pequeos con pequeos. Cuando se deshace la correspondencia, el nio es incapaz de emparejar

adecuadamente los elementos.

En la etapa segunda, el nio es capaz de realizar espontneamente cualquier seriacin. Sin

embargo, al distanciarse las series, el nio se deja llevar por la percepcin para determinar la

posicin relativa del elemento sobre el que se le pregunta (v. g., un hombrecillo) inclinndose a

atribuir a ste elemento sealado un valor ordinal distinto del que atribuye al elemento del otro

conjunto (v.g., un bastn). Este problema surge de una falta de coordinacin entre lo cardinal y lo

ordinal del nmero (Piaget y Szeminska, 1941).

Por ltimo, en una tercera etapa, la seriacin se realiza sin tanteos de forma que pueden

incorporarse nuevos elementos a ambas series ordenadas, observando ya que dichos elementos no

slo pueden ser mayores que el anterior sino menores que el posterior. De igual forma es capaz de


atribuir simultneamente un valor cardinal y ordinal a un nmero determinado.

1.3.1.4. Aplicaciones del nmero

La ltima fase consiste en las diversas aplicaciones del nmero, fundamentalmente en torno

a la composicin y descomposicin de nmeros en tarea sencillas de suma y resta. Hasta esta ltima

fase la mayora de los nios han adquirido un cierto conocimiento operatorio de los nmeros

naturales pequeos que se completar hacia los siete aos aproximadamente.

1.3.2. La oposicin al punto de vista de Piaget

Los problemas a los que se enfrentan las ideas piagetianas sobre el nmero provienen,

principalmente, de los diversos trabajos que se han centrado en demostrar que la adquisicin del

nmero sera ms precoz de lo pretendido por Piaget. Para ello, los investigadores han empleado

una gran cantidad de variantes experimentales de las tareas clsicas piagetianas (Bryant, 1974;

Donalson; 1982; Kanno, 1979; Mehler y Bever, 1967).

Mehler y Bever (1967) afirman que, incluso, los nios de dos aos y medio a tres aos y

dos meses, muestran ya el esquema de conservacin aunque esta capacidad declinar de los tres

aos y dos meses a los cuatro aos y seis meses debido a la emergencia, en este perodo del

desarrollo infantil, de una estimacin de criterios perceptivos que no exista anteriormente. Esta

interpretacin ha estado sujeta a crticas ya que los criterios perceptivos no parece que estn

ausentes desde tan temprana edad (Gelman, 1972). Tambin, para Bryant (1974), los preescolares

se comportan como verdaderos conservadores siempre que la situacin experimental no presente

confictividad entre indicios perceptivos relevantes e irrelevantes para el nmero. Por ello, si el

experimento se disea camuflando aspectos perceptivos relevantes e irrelevantes de la situacin, la

24 II. Marco Terico

edad a que se resuelve la tarea puede descender. Sin embargo, en trabajos posteriores Katz y

Beilin (1976) obtienen resultados que contradicen la postura de Bryant. Adems, y como ha

subrayado Beilin (1989), la conservacin no equivale a no hacer caso de la disposicin espacial de

los elementos, sino a centrarse especficamente en las transformaciones y razonar sobre ellas. No

obstante, Gelman (1982) demostr que la disposicin espacial es uno de los problemas con los que

se encuentran los nios pequeos. Dise una tarea en la que las filas de objetos no se colocaban

unos debajo de otros sino unos junto a otros, de esta forma, al cambiar la disposicin espacial, no

se alteraba directamente la correspondencia uno a uno entre los dos grupos de objetos. En este

estudio, los nios tenan que seguir la pista de adiciones y sustracciones de objetos en cada uno de

los dos grupos cuya disposicin espacial cambiaba. Gelman demostr que siempre que se tratara de

conjuntos reducidos de elementos, los nios de edad preescolar saban que la operacin de adicin

y sustraccin alteran el tamao del grupo mientras que cambiar la disposicin espacial no tiene

efecto sobre ste.

A raz de una de sus ms importantes investigaciones, Gelman y Gallistel (1978) sostienen

que los nios pequeos tienen la capacidad de contar espontneamente, si las condiciones de la

prueba no inhiben el recuento. Sus conocidos "experimentos mgicos" consistan bsicamente en

colocar ante el nio dos platos con pequeos conjuntos de juguetes de plstico, aadiendo o

quitando subrepticiamente a uno de los platos cubiertos uno o ms elementos, observaban la

reaccin infantil al descubrirse el plato y se les peda una explicacin de la misma en caso de que

mostrasen sorpresa. Gelman demostr que aunque no eran capaces de indicar exactamente cuntos

elementos se haban modificado, los nios se daban cuenta del cambio sufrido. Adems, stos

mismos nios consideraban irrelevante las modificaciones que afectaban slo a la configuracin

espacial de los conjuntos o a atributos perceptivos tales como el color de los objetos. El nio, por

tanto, se percataba de que haba cambiado el nmero de juguetes en un plato mientras la


transformacin irrelevante no lo cambiaba. La observacin por parte del nio del cardinal del

conjunto se deduce del mismo hecho de que el nio utilice el recuento. A raz de estos resultados,

los autores deducen que existe un conocimiento a edad temprana de la regla de identidad y, por

tanto, de conservacin numrica de la cardinalidad. Sin embargo, estas conclusiones no han estado

exentas de crticas. Una de las ms importantes son las de Silverman y Briga (1981), segn ellos no

se puede afirmar que el nio sea conservador a partir de estos experimentos. Estos autores

descubren que los nios fracasan en su estimacin utilizando slo dos o tres objetos, si se ocultan

dos elementos de un conjunto en el momento de dar la respuesta, en cambio, los sujetos aciertan si

solamente se les oculta un objeto. El nio, opinan, ante el ocultamiento de una parte de los

elementos, no reacciona representando mentalmente el conjunto entero y procediendo luego a

cuantificarlo, sino contando separadamente las partes cubierta y descubierta tratando despus de

sumarlos. Esto hace suponer a los autores que el xito infantil en esta tarea se asentara sobre

pilares empricos y no tanto lgicos como afirmaran Gelman y Gallistel. Este trabajo obliga a admitir

que la conservacin numrica en el nio sobre conjuntos pequeos no es una conservacin rigurosa,

sino una aproximacin emprica a la misma. Y es emprica porque se basa en una representacin

numrica no establecida sobre apoyos lgicos (Maza, 1989b). El nio mayor, por el contrario, se

funda en la correspondencia uno-a-uno, independientemente de la numerosidad o del cardinal de

los conjuntos. Por tanto, para conservar no es necesario conocer el nmero exacto de objetos que

hay en un conjunto. Si al principio se ha establecido la correspondencia uno-a-uno se puede

trabajar con cantidades no especificadas. Lo que debe hacer el nio es centrarse en lo que ocurre

durante la transformacin, no en el producto final de sta (Piaget y Szeminska, 1941). De hecho,

como encontr Gold (1987), los tiempos de reaccin de nios de menor edad en tareas de

conservacin con nmeros pequeos son significativamente ms elevados que los de los nios

mayores en las mismas tareas con nmeros grandes.

Gelman y Gallistel (1978) y Gelman (1982) consideran la existencia de dos niveles en la

26 II. Marco Terico

conservacin:

1. En el primero, se utiliza fundamentalmente el recuento para determinar si dos cantidades

pequeas tienen igual valor numrico. Ello implica el entendimiento de que dos conjuntos

numricamente iguales s tienen el mismo valor cardinal.

2. En el segundo, el uso y entendimiento de la correspondencia uno-a-uno conlleva a la

habilidad para razonar sobre valores no especificados de grandes cantidades numricas.

1.4. LA ESTIMACIN DEL NMERO

Como acabamos de ver, han existido diversas opiniones en contra de que sea la

conservacin el fenmeno explicativo de la adquisicin del nmero en el nio. Pero en lo que se

refiere a la forma en que construimos representaciones numricas an quedan muchos interrogantes

por resolver. En relacin a la representacin de nmeros grandes, existe unanimidad en considerar

el recuento como el proceso fundamental (Maza, 1989b). Por lo que respecta a conjuntos

reducidos, que como ya hemos visto, el nio pequeo es capaz de discriminarlos sin saber contar,

existe una discusin an no resuelta sobre los procesos cognitivos responsables de esta

discriminacin. Klarh y Wallace (1976) proponen tres tipos de operadores de cuantificacin: la

estimacin, la subitizacin y el conteo. Otros aaden un cuarto operador la cardinacin o

emparejamiento (Brainnerd, 1979; Cowan, 1984; Fuson, Secada y Hall, 1983).

1.4.1. La estimacin

La estimacin sera un proceso cognitivo de alto nivel que se empleara cuando no fuese


posible la percepcin inmediata o no hubiese tiempo para el conteo (Bermejo, 1990). Sin embargo,

numerosos estudios suponen que el conteo incide en la estimacin. Piaget y Szeminska (1941)

negaran cualquier relacin entre ambos procesos, ya que el conteo, segn estos autores no jugara

ningn papel en el desarrollo del nmero. Para Newman y Berger (1984), sin embargo, el conteo o

sus diferentes estrategias son un instrumento que ayudara a la estimacin numrica a los nios de

seis a nueve aos. Estos autores encuentran que existe una evolucin de la estimacin de la

numerosidad relativa con la edad. En cambio, otros como Cowan (1987), no encuentran relacin

entre el nivel de conteo y la exactitud en la estimacin de la numerosidad relativa en nios de tres a

seis aos y observa que los errores aumentan cuando se usan conjuntos grandes (hasta diecisis

elementos) que cuando se trata de conjuntos pequeos. No obstante, Cowan en sus experimentos

encontr que los juicios cambiaban notablemente con la edad, sobre todo, cuando los nios

superaban los seis aos. Para ste autor es fundamental el papel desempeado por la combinacin

subitizacin-conteo en la estimacin de la numerosidad.

1.4.2. La subitizacin

La subitizacin, es aquel proceso rpido de apreciacin de nmeros pequeos que funciona

con gran exactitud para cantidades de hasta cinco elementos (Kaufman, 1949). Mandler y Shebo

(1882) y Gelman y Gallistel (1978) sostienen que la subitizacin es un proceso de alto nivel que es

el resultado de procesos de recuento. Mientras que von Glasersfeld (1982) considera que es una

operacin puramente perceptiva que no implica procedimientos numricos. Esta ltima postura

sostiene que la subitizacin sera la capacidad de recitar la palabra correspondiente a un nmero en

asociacin a un determinado patrn visual. Pero, para los opositores de esta postura, el nmero no

se percibe de forma similar a como, por ejemplo, se percibe el color. El nmero es algo que la

mente impone sobre la realidad y cuando no se utilizan disposiciones espaciales privilegiadas, la

subitizacin debe basarse en un rpido recuento y no slo en procesos perceptivos. En su

28 II. Marco Terico

investigacin, Mandler y Shebo (1982) constatan la existencia de dos procesos diferenciados de

cuantificacin, uno basado en la subitizacin y otro en el recuento. Estos procesos se presentan de

forma similar en los adultos y en los nios. Su trabajo va en la lnea de los de Gelman y Gallistel

(1978) quienes consideran que la subitizacin llega a travs del recuento y que consiste en la

utilizacin de los denominados modelos cannicos (agrupaciones de objetos en estructuras regulares

como, por ejemplo, las que aparecen en las caras de los dados o en las fichas del domin) que se

adquieren de forma paulatina y se utilizan para facilitar el recuento. Gelman y Gallistel defienden que

el nio prefiere el recuento a la subitizacin y suponen que dadas las dificultades para tratar con

recuento de nmeros grandes, se inclinar a contar nmeros pequeos, y con la secuencia de

adquisicin sera la siguiente: 1) recuento de nmeros pequeos, 2) subitizacin de nmeros

pequeos, 3) recuento de nmeros grandes.

1.4.3. La cardinacin o emparejamiento

Nos referiremos a los trabajos de Fuson (1988) en relacin con la estimacin del nmero

por medio de la cardinacin o el emparejamiento. Fuson encuentra un predominio de estrategias

perceptivas (emparejamiento) sobre el conteo entre los nios ms jvenes (de tres y medio a cuatro

aos), que irn descendiendo progresivamente a medida que avanza la edad. Pero, cuando se

utilizan en los experimentos criterios como la longitud, los nios de cuatro a cinco aos se

fundamentan ms en este criterio que en el conteo. Aunque, cuando se cambia la instruccin

pidindoles que sealen en qu hilera parece que hay ms o en qu hilera hay realmente ms, el nio

emplea con ms frecuencia el conteo que el emparejamiento.

Para terminar este apartado acerca de la estimacin del nmero por parte de los nios, nos

referiremos al conteo. Ya hemos mencionado que, desde la concepcin piagetiana, se le resta todo


inters al acto de contar. Piaget, no consideraba importante su conocimiento para la construccin

del nmero por parte del nio. Deca que tena un marcado origen social y que su uso apareca

conjuntamente con un aparente desconocimiento de los fundamentos lgicos del nmero. Sin

embargo, a partir de las crticas al modelo piagetiano, existe una consideracin diferente acerca de

la importancia del conteo, debido fundamentalmente a los esfuerzos realizados por diversos

investigadores por comprender los fundamentos del procedimiento de conteo. Este se entiende

actualmente como una actividad compleja y que encierra en s misma, diversos recursos lgicos y

psicolgicos (Maza, 1989b).

Desde el punto de vista cognitivo, el conteo sera anterior a la conservacin del nmero e

influir en su adquisicin posterior. As Saxe (1979) descubre que los nios de cuatro a seis aos

adquieren primero el conteo y despus la conservacin, ya que los nios que conservan saben

contar, pero no todos los que cuentan tienen adquirida la conservacin. Para Saxe esta habilidad no

est vinculada de forma directa. Y la exactitud en el conteo no sera crucial en el desarrollo de la

conservacin. Esto explicara porqu algunos nios que tienen problemas de aprendizaje cuentan de

forma incorrecta a pesar de ser buenos conservadores. Wagner y Walters (1982) afirman que el

nio no llega a la conservacin a travs del conteo. En cambio, otros como Pennington, Wallach y

Wallach (1980) sugieren que los nios de ocho a diez aos pueden realizar operaciones de suma,

resta y multiplicacin sin haber adquirido de forma completa la conservacin. Esta, sugieren, se va

completando gradualmente a lo largo de los aos. Hay autores que en sus investigaciones han

encontrado una correlacin positiva entre la conservacin del nmero y el rendimiento en

operaciones aritmticas (v.g., Hierbert y Carpenter, 1982). A pesar de ello, al igual que para la

mayor parte de los investigadores en este rea (Bermejo y Lago, 1988; Fuson, 1988; Hierbert,

Carpenter y Moser, 1982) no es considerada como un prerrequisito para la adquisicin de

habilidades numricas.

30 II. Marco Terico

1.5. LA HABILIDAD DE CONTAR

El recuento o conteo es una de las actividades ms frecuentes a que se dedican los nios en

el nivel de Educacin Infantil. A medida que aprenden la secuencia numrica, a travs de su medio

social la aplican a diversas situaciones de forma espontnea (Maza, 1989b). Existen diferentes

concepciones tericas de cmo adquiere el nio esta habilidad. Para unos sus inicios se

fundamentan en una comprensin mecnica o en un aprendizaje memorstico carente de sentido

(Baroody y Ginsburg, 1986, Briar y Siegler, 1984; von Glasersfeld, 1982). Desde este punto de

vista, los conceptos numricos y el conteo significativo se desarrollan de manera gradual, y son el

resultado de aplicar tcnicas para contar y conceptos de una sofisticacin cada vez mayor. A su

vez, esta sofisticacin creciente desemboca en una comprensin tambin mayor. As el desarrollo

de tcnicas y conceptos estara entrelazado (Baroody, 1988).

Desde una perspectiva opuesta, (Gelman y Gallistel, 1978; Gelman y Meck 1986, Greeno,

Riley y Gelman, 1984) defienden la existencia de unos principios que guiaran la adquisicin del

conocimiento cada vez ms elaborado de la habilidad de contar. El modelo de Gelman y Gallistel

(1978) es uno de los ms representativos de esta orientacin. Segn ste modelo, el conteo estara

integrado en cinco principios: (1) correspondencia uno-a-uno; (2) orden estable; (3) cardinalidad;

(4) abstraccin; (5) orden irrelevante.

Desde el esquema propuesto por los autores, estos principios no se adquiriran como un

bloque unitario. Esto permite estudiar los procesos cognitivos implicados en el procedimiento de

conteo, as como la forma en que se adquieren cada uno de ellos. Adems de determinar, en caso

de una ejecucin deficiente, en qu componentes se localizaran los problemas o si estos estn en la

integracin de los mismos (Bermejo y Lago, 1990).


1.5.1. Correspondencia uno-a-uno

Este principio consiste esencialmente en la capacidad de asignar a cada elemento de un

conjunto una sola palabra numrica y a cada palabra hacerle corresponder un slo elemento. Este

principio conlleva la coordinacin de dos procesos: el de particin y el de etiquetacin. La particin

permite establecer las diferencias entre el conjunto de elementos que han sido contados y el

conjunto de elementos que an estn sin contar. El paso de elementos de un conjunto de una

categora a otra puede realizarse mediante la separacin fsica (sealamiento) o mental cuando el

nio ha interiorizado la accin de sealar. La etiquetacin requiere la existencia de un conjunto de

etiquetas que se haran corresponder una sola vez con cada objeto. Se considera que el nio

cumple este principio si seala y asigna una etiqueta a cada uno de los objetos del conjunto. Los

nios son capaces de realizar esta asignacin desde los dos aos, pero cuando no se domina esta

habilidad se cometen una serie de errores. Los encontrados por los autores en los ya mencionados

experimentos mgicos, pertenecen principalmente al proceso de etiquetacin o al de la coordinacin

entre ambos procesos y fundamentalmente son debidos a los problemas que plantea la finalizacin

del conteo en los nios pequeos. Los errores de particin tienen lugar con ms frecuencia cuando

se cuentan conjuntos grandes. Se han identificado (Bermejo y Lago, 1990) cuatro categoras que

exponemos aqu en orden decreciente de ocurrencia: 1) omitir objetos: dejar algn elemento sin

etiquetar; 2) repeticiones de elementos: un elemento es contado ms de una vez; 3) regresar a un

tem cuando ste y los prximos a l ya haban sido contados y; 4) finalizar el conteo cuando an

no han sido contados todos los elementos del conjunto.

Con posterioridad a los trabajos de Gelman y Gallistel sobre la correspondencia uno-a-uno,

otros investigadores (Briars y Siegler, 1984; Gelman y Meck, 1986) han tratado el hecho de que,

aunque esta es esencial para que se de un recuento correcto, puede no ser la nica caracterstica

32 II. Marco Terico

fundamental para el nio a la hora de contar, lo que ha dado lugar al planteamiento de ciertas dudas

sobre su papel de principio inspirador del comportamiento infantil en el recuento. En el trabajo de

Briars y Siegler (1984) los nios deban juzgar la ejecucin de una mueca que contaba varios

elementos de un conjunto de objetos y que transgreda una serie de caractersticas tanto elementales

(v. g., omitir elementos, asignar dos numerales a un mismo elemento, etc) como irrelevante (v. g.,

comenzar a contar de derecha a izquierda) para el recuento. Entre los hallazgos ms importantes

estara el hecho de que los nios de cuatro y cinco aos, consideran esencial para el conteo

aquellas caractersticas relevantes, pero tambin consideraban que la mueca cometa errores

cuando transgreda las caractersticas irrelevantes. Concluyen, que esto es un indicador de que el

principio uno a uno no gua el pensamiento infantil, sino que el nio aprende primero a ejecutar el

recuento estndar y, despus, va discriminando de forma gradual las caractersticas relevantes de

las que no lo son. En un estudio posterior de similares caractersticas al de Briars y Siegler, Gelman

y Meck (1986) encuentran una mayor proporcin de aciertos por parte de los nios al considerar

los errores cometidos durante el recuento por parte de la mueca. Los autores atribuyen esta

diferencia a variables de tipo metodolgico, ya que en el trabajo de Briars y Siegler se les anticipaba

a los nios que la mueca saba contar. Gelman y Meck, consideran que ste y otros estudios que

han cuestionado el modelo de conteo propuesto, pueden estar realizando excesivas demandas

sobre la competencia de utilizacin y de procedimiento de los nios y, en consecuencia,

enmascararan su verdadera competencia conceptual.

Fuson (1988) ha llevado a cabo un anlisis de la correspondencia uno-a-uno en el que

destaca que el establecimiento de las correspondencias entre un conjunto de objetos y otro de

etiquetas numricas verbales, representa una actividad ms compleja de lo reflejado en la definicin

propuesta por Gelman y colaboradores. Propone la existencia de dos correspondencias; una

espacial entre el objeto y el acto de indicacin (v. g., tocar o sealar con el dedo) y otra temporal,


formada entre el acto de indicacin y la etiqueta emitida. Estableciendo la siguiente clasificacin de

errores:

a) Errores relacionados con la no correspondencia temporal numeral-sealamiento como:

(1) no etiquetar aunque se seale el objeto; (2) asignar ms de una etiqueta a un tem sealado slo

una vez; (3) asignacin incompleta de la etiqueta: se seala un objeto al mismo tiempo que se emite

la slaba de la etiqueta que se termina de pronunciar en el siguiente tem y; (4) decir una etiqueta sin

sealar ningn tem.

b) Errores relacionados con la inadecuada correspondencia espacial sealamiento-objeto

como: (1) omisin de objetos o pasar de largo un objeto que no es sealado ni etiquetado; (2)

repeticin de un objeto que se seala o etiqueta ms de una vez y; (3) contar sin que el numeral

emitido corresponda a ningn objeto sealado.

c) Errores en los que se transgreden ambas correspondencias o errores duales como: (1)

sealamientos mltiples ante una sola etiqueta; (2) sealamientos mltiples a un objeto sin que le sea

asignada etiqueta alguna; (3) etiquetar sin sealar el objeto; (4) el nio hace un movimiento rasante

con el dedo a lo largo de los tems sin realizar sealamientos especficos, del mismo modo que las

etiquetas son emitidas sin aparente conexin con los objetos y; (5) mltiples sealamientos dirigidos

hacia el conjunto de objetos y no hacia los elementos del mismo, al tiempo que se emiten diversos

numerales sin conexin con los sealamientos.

d) Errores que hacen referencia al conteo por segunda vez de un objeto despus de haber

sido contados otros elementos distintos de la muestra como: (1) invertir el conteo para volver a un

elemento que ya haba sido contado, y seguir con el recuento normal y; (2) recontar despus de

contar un objeto que haba sido omitido.

34 II. Marco Terico

La coordinacin espacial (sealamiento-objeto) resulta ms compleja para los nios

pequeos (tres y medio a seis aos) que la temporal (numeral-sealamiento). Los errores que

cometen los nios ms frecuentemente, segn el estudio de Fuson, corresponden, por tanto, a la

categora sealamiento-objeto y son: la repeticin de objetos, stos son sealados y etiquetados

dos veces, con una ocurrencia del 71% y, con un 66% la omisin de un objeto que no ha sido

sealado ni etiquetado. Por lo que se refiere a la correspondencia temporal, se da frecuentemente

(58%), el error de sealar un objeto sin asignarle etiqueta alguna.

1.5.2. Orden estable

El modelo de Gelman y Gallistel (1978) determina que la secuencia empleada para contar

debe ser repetible y estar integrada por etiquetas numricas. (i.e., los nmeros se recitan siempre en

el mismo orden). Aunque el nio pequeo tiene un conocimiento lingstico limitado de la serie

numrica completa, es capaz de utilizar este principio empleando una lista de numerales no

convencional como, por ejemplo, : "uno, dos, tres, ocho...". Esta es utilizada de forma estable en

el recuento y se presenta conjuntamente con la correspondencia uno-a-uno correcta. Este principio,

neutral con respecto al tipo de etiqueta, slo requiere que stas sean aplicadas de forma estable.

Pero, cmo es construida esta secuencia de nmeros por parte del nio?. Basados en un estudio

posterior al de Gelman y colaboradores, Fuson, Richards y Briars (1982) han elaborado una de las

principales teoras explicativas del proceso de adquisicin del recuento infantil dividindolo en dos

fases fundamentales: de adquisicin y de elaboracin. Aunque estas fases son diferentes pueden

solaparse debido a la necesidad de un largo perodo para adquirir y consolidar la secuencia estable

de numerales.


Durante la fase de adquisicin se inicia el aprendizaje de la secuencia convencional y el

nio comienza a aplicarla en el recuento. En el transcurso de este perodo, la secuencia numrica

funciona como una estructura global unidireccional que consta de tres fragmentos:

a) El primero de ellos es la parte inicial, que es estable y convencional. Suele llegar hasta

diez o catorce en los nios de tres a cuatro aos. De cuatro aos y medio a cinco, la secuencia llega

de catorce a veinte, mientras que prximo a los seis se pueden alcanzar los setenta primeros

nmeros.

b) El segundo fragmento del recuento, es una parte no convencional pero que es empleada

de forma consistente por el nio. Esta parte contiene, fundamentalmente, palabras numricas en el

orden convencional, pero presentando ocasionalmente omisiones, repeticiones o inversiones locales

del orden tradicional.

c) El tercer fragmento del recuento es la parte final que no es estable ni convencional. Se

trata de producciones aleatorias, aunque es posible registrar durante ellas ciertas regularidades junto

a palabras sin relacin alguna con el orden convencional, lo que permite suponer a los autores que

sirven de ensayo para su incorporacin posterior a la parte estable. Segn Fuson y colaboradores,

falta an una explicacin de la naturaleza lgica y cognoscitiva del principio de orden estable, as

como mayor evidencia en caso de postular su existencia.

En la segunda fase, la de elaboracin, Fuson y col. (1982) distinguen cinco niveles:

1. Nivel de secuencia. En ste las palabras numricas aparecen indiferenciadas dentro de la

secuencia de manera que aquellas slo pueden ser enunciadas dentro del recitado de la secuencia,

entendida sta como un todo. En esta etapa el nio no reflexiona sobre los numerales, resultando de

36 II. Marco Terico

ello una no correspondencia entre el recitado de la secuencia, los actos motores y las unidades a

contar. No se da, por tanto, la coordinacin que supone el principio de correspondencia uno-a-uno

(Maza, 1989b). Segn Gelman y Gallistel este nivel sera anterior a los dos aos y medio.

2. Nivel de cadena irrompible. En este nivel las palabras numricas ya son distinguibles de

las dems y permite ya establecer una correspondencia uno-a-uno en l. Aunque el recuento sigue

siendo unidireccional, Fuson y sus colaboradores plantearon a nios de tres y cuatro aos el

problema de continuar con la secuencia numrica a partir de una palabra, o bien, de dos o tres

palabras consecutivas. El nmero de aciertos aumentaba con la edad (que permita desligar en

mayor medida trozos dentro de la secuencia numrica tradicional) y con el nmero de palabras (que

facilitaba la conciencia de la direccin del recuento).

3. Nivel de cadena fragmentable. En ste nivel, aparecera entre los tres aos y medio y los

cinco aos (con nmeros menores que diez) y los seis aos (con nmeros mayores que diez). Se da

una mayor comprensin de las relaciones existentes entre las palabras numricas. Esto permite al

nio el recuento a partir de un punto cualquiera de la secuencia de numerales y el recuento desde un

nmero dado hasta otro.

4. Nivel de cadena numerable. En este nivel, los numerales adquieren un mayor grado de

abstraccin, ya que stos son tomados como objetos contables en s mismos. Este nivel posee la

caracterstica especfica de posibilitar al nio el poder numerar trozos de la secuencia numrica, lo

que hace que pueda contar desde un nmero hasta otro, averiguando el nmero de palabras entre

ambos, y contar un nmero especfico de numerales a partir de uno determinado.

5. Nivel de cadena bidireccional. Se caracteriza por la culminacin del proceso de


elaboracin. La direccin no afecta al procedimiento de recuento pudiendo emitirse cambios de

direccin en el recuento hacia delante y hacia detrs de forma rpida y flexible. Los dos ltimos

niveles se dominaran en edades posteriores a las de la Educacin Infantil (Maza, 1989b).

1.5.3. Cardinalidad

Este principio asigna un significado especial a la ltima etiqueta numrica empleada en el

recuento, al presentar no slo el ltimo objeto contado, sino tambin el nmero total o la suma de

elementos. Los tres criterios considerados por Gelman y Gallistel (1978) para detectar el principio

cardinal son tres: 1) el nio formulaba el recuento y repeta la ltima palabra numrica (v. g.,"uno-

dos-tres-tres" ); 2) marcar nfasis en el ltimo numeral y, 3) asignar el valor correcto

numricamente sin dar muestras de haber contado. Los autores consideran que, incluso los nios de

dos aos y medio pueden aplicar este principio, aunque no sean capaces de llegar a una

representacin plena del mismo.

La edad de adquisicin de este principio y los criterios de adquisicin, han sido objeto de

numerosas crticas por parte de los psiclogos del desarrollo. En lo referente a los criterios, algunos

autores (Frydman y Bryant, 1988; Fuson, 1988) los han considerado demasiado laxos,

fundamentalmente, por dos razones: a) porque consideran que su adquisicin implicara, no slo

aplicar el numeral correspondiente al cardinal del conjunto, sino tambin permitir hacer

correspondencias numricas entre conjuntos; y esto es algo que se desarrolla ms adelante en el

nio, y b) porque, como opinan otros (Fuson y Pergament, 1985), los dos primeros criterios

pueden revelar la presencia del principio cardinal o simplemente, ser fruto de un aprendizaje en el

que se asocia la pregunta "Cuntos hay?" a un tono diferente o a una repeticin de la ltima

palabra emitida en el recuento. Por otro lado, como ya hemos visto puede existir otro

procedimiento diferente para determinar el cardinal de un conjunto como la subitizacin o la

38 II. Marco Terico

estimacin (Bermejo y Lago, 1990)

En su trabajo, Fuson y Pergament (1985) examinaron la relacin entre los principios de

correspondencia uno-a-uno y orden estable con el de cardinaldad analizando las respuestas de los

nios de distintas edades al solicitarles la respuesta de cardinalidad ante conjuntos de diferente

tamao (cuatro elementos, entre cuatro y siete, y ms de siete). Consideraban nicamente como

vlido el ltimo criterio propuesto por Gelman y Gallistel. Sus resultados no parecen demostrar que

se diese el principio de cardinalidad junto con los otros dos principios por parte de los nios en

ninguna de las tres cantidades. La relacin entre los tres principios de conteo variaba segn el

tamao del conjunto empleado. Todo ello revela, segn Fuson y colaboradores que existe una

independencia entre los tres principios de modo que el principio de cardinalidad no requiere de los

dos anteriores. El hecho de que las respuestas dependan del tamao de los conjuntos y de la edad

de los nios, se debe a que stos no seguan una regla relacionada con la cardinalidad del conjunto

sino con una asociacin fruto del aprendizaje de la pregunta "Cuntos hay?".

Por lo que se refiere a la secuencia de evolutiva de adquisicin de este principio, tambin

existe desacuerdo con las propuestas de Gelman y Gallistel. Algunos autores (Bermejo y Lago,

1990; Frydmam y Bryant, 1988; Wynn, 1990) consideran que no se dara una aparicin tan

temprana de este principio en los conocimientos del nio acerca del nmero, sino que la

comprensin del mismo supone un proceso evolutivo ms o menos largo. En este sentido, Wynn

(1990) demostr que los nios menores de dos aos y medio parecen ignorar que el recuento

produce una cardinalidad determinada cada vez que se cuenta. Si se les preguntaba "Cuntos

hay?" los nios de dos aos contaban correctamente, pero despus no repetan la ltima etiqueta.

Ms an: si a los nios de dos aos que saben contar hasta cinco, les peda que cojan "cinco

objetos" de un montn, lo que hacen es coger un puado y nunca recurran espontneamente al


procedimiento de recuento para resolver la tarea. En cambio, no sucede as cuando esto mismo se

les pide a nios de tres aos. Wynn cree que la adquisicin de este principio requiere an otro ao

de desarrollo. Para otros autores, sin embargo, este principio aparecera an ms tarde. Bermejo y

Lago (1990) han sistematizado las respuestas de nios e identifican seis niveles en la adquisicin de

la cardinalidad: (1) incomprensin de la situacin y respuesta al azar; (2) repeticin de la secuencia

de conteo utilizada la cul otorgan como respuesta; (3) volver a contar. Los nios establecen

explcitamente una nueva correspondencia entre objetos y numerales para responder; (4) aplicacin

de la regla de "cuntos". El nio responde a la pregunta "Cuntos hay?" de forma mecnica con

el ltimo numeral de la secuencia numrica empleada en el conteo, independientemente del orden en

que se haya emitido dicha secuencia (v. g., en la situacin de conteo hacia atrs); (5) responder con

el numeral mayor de la secuenc

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