Cuadernillo de Apoyo al Estudiante La teoría de la...

Cuadernillos de apoyo pedagógico Microeconomía I

Cuadernillo de Apoyo al Estudiante

La teoría de la elección del consumidor.

n primer lugar debemos explicar cuáles son los objetivos de esta Teoría en términos epistemológicos, o sea nos referiremos al fenómeno económico que se espera que el

estudiante aprenda a explicar a través de ella. Es decir: nuestro objeto de estudio.

La teoría de la elección del consumidor intenta explicar, y

predecir, de manera formal, las decisiones de demanda sobre el

consumo de determinados bienes, por parte de un consumidor

racional y aislado, que intenta maximizar su bienestar o felicidad

individual. Describiendo así los patrones de comportamiento de un

consumidor representativo, y las respuestas que esperamos

observar frente a las variaciones de los precios relativos por parte

de este.

A pesar de ser bastante reduccionista, esta Teoría se utilizará posteriormente como una herramienta bastante útil, que servirá para poder estudiar distintos fenómenos económicos relacionados con la elección individual, con el fin último de construir la demanda del mercado. Es verdad que no todos los consumidores son, ni se comportan como el que describimos en el párrafo anterior, pero recordemos que el grueso de la Teoría Económica se ha construido con herramientas analíticas conocidas como Modelos; Cuyo objetivo es el de simplificar fenómenos o situaciones reales, para que podamos entender sus partes esenciales y así tener un marco de referencia para analizar los distintos escenarios asociados a un sin número de disyuntivas económicas.

E


Ejercicio Resuelto:

Desde la utilidad marginal decreciente, a la curva de

demanda del mercado.

I. Suponga 1 que un en una economía WXZ, existe un individuo representativo (Mario) que tiene preferencias por dos bienes, X e Y (�=manzanas, �=peras). Ésta relación de preferencias se puede representar de acuerdo a una función de utilidad Cobb-Douglas como la siguiente:

; Con valores para los exponentes � � 0.4; � 0.6. Además, este individuo se enfrenta a una restricción de recursos basad en unos precios de �� 4 � ��. Y en un Ingreso monetario nominal de � 55.

De acuerdo a esta información, usted se le pide lo siguiente:

a. Obtenga la utilidad marginal con respecto a cada bien, interprete

estas funciones.

b. Obtenga la Tasa Marginal de Sustitución o Relación Marginal de

Sustitución e interprétela.

c. Plantee, grafique y explique la Restricción Presupuestaria a la que

se enfrenta este individuo. ¿Qué factores desplazarían esta recta?

¿Cuál es su pendiente?

d. Resuelva el problema del consumidor de la forma que estime

conveniente. Encontrando las demandas Marshallianas del

Problema, primero algebraicamente, y luego cuantitativamente.

( �� , ��, ) ).

1 Este ejercicio es de elaboración propia, en base a la materia estudiada en el capítulo 4 de Nicholson,

2006.

��, ��


e. Encuentre todas las elasticidades de la teoría de la demanda, para

el bien X e Y.

f. Derive gráficamente la curva de demanda del bien X para este

individuo representativo.

g. Suponga que el precio del bien � baja de �� 4 a �� 3. Grafique

los efectos ingreso y sustitución para el bien �, explique.

Soluciones

Letra A

¿De qué información disponemos??

� Tenemos una función Cobb Douglas: ��, �� , que nos dice cómo el consumo de bienes ( �, � ) repercute en la utilidad del consumidor.

� Tenemos valores para los parámetros � � 0.4; � 0.6.

Si Reemplazamos estos valores podemos reescribir la función, de forma tal que nos quede una expresión que dependa solamente de las cantidades consumidas (�, �):

U � X�. Y�."

Si queremos calcular la utilidad marginal, debemos:

� Saber cómo cambia la función#, cuando el consumo del bien $

aumenta en una unidad (ceteris paribus el consumo de bien

%).

� Debemos usar la definición de utilidad marginal: &#/&$ �

#()* (y: &#/&% � #()+ para el otro bien) .

Para poder responder la primera pregunta, debemos recurrir al concepto de Utilidad marginal: que nos dice como varía la utilidad obtenida por el

consumidor cuando la cantidad consumida de algún bien se incrementa

marginalmente. ,#/,$=UMGx


Este cálculo podemos hacerlo con la derivada, ya que las expresiones siguientes son equivalentes:

Es decir, preguntarnos ¿cuánto varía la utilidad de un

consumidor, cuando consume una unidad adicional de un bien?, es

equivalente a preguntarse ¿cuál es la derivada de la función de

utilidad con respecto a ese bien?2

Calculando las derivadas.

Debemos obtener �-.� �/0

/1�

�2

�� . Aplicando el procedimiento de

derivar la expresión de la función de utilidad U � X�. Y�.", pero puesto que es una función de utilidad de 2 bienes, cada vez que obtengamos la utilidad marginal de un bien, pensaremos que el consumo del otro se mantiene constante ó ceteris paribus. Es decir, a la hora de derivar, el otro bien, la otra letra que lo simboliza se transforma en una constante, como 3,- o cualquier otra3 de las que expusimos en el apéndice matemático de este curso. De esta forma, aplicando la derivada respecto a � tendríamos la �-. �:

(Aplicando regla del exponente a X�. , y regla de la constante multiplicando a Y�."), obtenemos 2 Esto ya que si recordamos, la derivada, nos dice cómo cambia la función (en este caso �), cuando el

argumento � ó � aumenta en una variación muy pequeña. pero en economía trabajamos con

magnitudes tan grandes que tranquilamente podemos considerar o suponer que esta variación

pequeña, que antes habíamos llamado infinitesimal, puede ser considerada como una variación

marginal. 3 Esto se refiere a que son una constante como las letras 3,- que veíamos en las fórmulas 1 y 4, y

específicamente como el componente 25 del ejemplo correspondiente a la regla 4.

�-.� �ΔU

ΔX��

��

�-.� �ΔU

ΔY��

��


U � X�. Y�." 7 �-.� �82

8�� 0.4��. 9:��."

Ordenando algebraicamente7 ;. <$9;.=%;.= 7 ;. <%;.=

$;.=� #>?*.

Ahora para la �-.�:

(Aplicando regla del exponente a Y�.", y regla de la constante multiplicando a X�. ), obtenemos

U � X�. Y�." 7 �-.� �82

8�� . 0.6��."9:

Ordenando algebraicamente7 $;.<;. =%9;.< 7 ;. =$;.<

%;.<� #>?%.

De esta manera, hemos obtenido las siguientes funciones para las

dos utilidades marginales con respecto a cada bien #>?*:

Al reemplazar cualquier combinación de ��, �) en cualquiera de éstas dos funciones, el número calculado me dice en cuánto aumenta la utilidad

del consumidor cuando el bien en cuestión –en el que reemplacé los

valores- aumenta en 1 unidad.

Ejemplo: Si quiero saber qué utilidad extra reporta una unidad extra de manzanas �, cuándo estoy con sumiendo 5 manzanas y 3 peras, reemplazo esta combinación en la función de utilidad marginal de �.

5 manzanas y 3 peras: ��, �� 5,3�. Reemplazo en �-.� � �0.6

0.4�0.6.

�-.� ��@A.B�

�. �CA.B�� 0.184 . Es decir que la sexta manzana consumida, le

reporta un aumento d utilidad a este consumidor de 0,184 unidades de utilidad (útiles).

%;.=

;. <$;.=� #>?* ;

$;.<

;. =%;.<� #>?%


Letra B

Es decir, la expresión que encontraremos nos dirá a cuántas Unidades del bien � estará dispuesto a renunciar el consumidor, si quisiese aumentar su consumo del bien � en una unidad, pero siempre manteniendo el mismo bienestar que poseía anteriormente (es decir a lo largo de la misma curva de indiferencia), a esto nos referimos cuando decimos intercambio voluntario.

En la bibliografía encontramos que la fórmula para calcular a TMS, consiste en dividir la utilidad marginal de bien �(o el símbolo que represente al bien que esté en el eje horizontal), en la utilidad marginal del bien � (ídem, pero el eje vertical).

Reiteramos que si quisiéramos darle una interpretación a esta función, debemos evaluarla en algún punto en particular, esto significa que debemos reemplazar algún punto en particular, usando el mismo punto de ejemplo anterior ��, �� 5,3�. Encontraremos un número que nos dirá a

cuántas peras estará dispuesto a renunciar Mario, con el fin de obtener una

sexta manzana, y mantener su nivel de bienestar o utilidad inalterado.

FGH � 0.4�

0.6��0.4 I 3

0.6 I 5� 0.4

Esto significa que por una unidad de �-manzanas- adicional, en este punto ��, �� 5,3�, en consumidor está dispuesto a renunciar a 0.4� , es decir a 0.4 Peras.

Para poder encontrar la Tasa Marginal de Sustitución (TMS); debemos recordar que esta tasa, será una función que nos dirá el intercambio voluntario que el consumidor estaría dispuesto a realizar entre un bien y otro, en determina punto del plano, o un momento del tiempo.

#>?$

#>?% �

;. <%;.=

$;.=

;. =$;.<

%;.< �;. <%

;. =$


Letra C

� Para poder graficar esta expresión, debemos despejar � de la ecuación antes anunciada:

Gráficamente:

Ahora, si reemplazamos los valores de los parámetros del problema ( � 55; �� J � 4), el gráfico siguiente queda como sigue:

La Restricción Presupuestaria nos dice que el individuo debe gastar en los dos bienes exactamente lo mismo que lo que gana, este planteamiento podemos expresarlo matemáticamente como:

K*$L K+% � M.

% � M

K+N

K*

K+$


Esta restricción nos dice que este individuo sólo puede consumir canastas de productos situadas dentro de este conjunto limitado, o restringido por la línea recta azul, que tiene su pendiente en el cociente de precios, o Tasa Marginal de Sustitución de Mercado (O(P(). En este

caso Q�

QJ�

� 1. En el siguiente gráfico, observamos que una canasta

� � �3,8� tal como 3 manzanas, y 8 peras es asequible, mientras que una canasta � �8,8� tal como 8 manzanas y 8 peras no.


� � 3RSRTUR RTVWXYZ[V; � 3RSRTUR S\ RTVWXYZ[V

Letra D

Conocimientos requeridos:

Es decir, el problema del consumidor consiste en maximizar su nivel de utilidad (representado por su curva de indiferencia), sujeto a su restricción de presupuesto (representada por la relación entre su gasto, y su ingreso).

>]*#�$,%� � $;.<%;.=

^_`abc ] K*$L K+% � M 7 <* L <+ � dd.

El problema del consumidor formalmente es el sgte:


Recordemos que la curva de indiferencia, es una función que me

indica las diferentes combinaciones de los bienes que reportan el mismo

nivel de utilidad ��. Matemáticamente:

�0 � $;.<%;.=

Y de la restricción ya hemos hablado, Si graficamos estas dos funciones, obtenemos el siguiente mapa, donde se indican los valores de �, � más altos que pudiésemos llegar a alcanzar, dada la restricción de presupuesto, éstos valores ��I, �I� son las demandas óptimas, o demandas Marshallianas.

Gráficamente:

Como la figura lo indica, la condición para encontrar el óptimo del consumidor consiste en que la FGH , que nos indicaba la relación de intercambio voluntario que el individuo está dispuesto a hacer, según sus

preferencias por los bienes; debía igualarse a la relación de precios Qe

Qf o

FGHg.

O(P � K*

K+


De esta forma, en la pregunta b obtuvimos la TMS: �. �

�."�; y la

igualamos al cociente de precios o TMS de mercado: Qe

Qf�

� 1:

Igualamos: �. �

�."�� 1 7 0.4� � 0.6� 7 � �

�."�

�. 7 % � h. d$

Esta expresión % � h. d$ , siempre debe cumplirse, mientras los

precios no cambien.

Usamos, la expresión anterior, % � h. d$,, y la reemplazamos en la restricción de presupuesto (con los valores de os precios e ingreso reemplazados) que anteriormente en la letra c, habíamos graficado.

Restricción de presupuesto:<* L <+ � dd

Restricción luego del reemplazo: <* L <�h. d$� � dd

<* L <�h. d$� � dd 7 <* L =$ � dd 7 h;$ 7 $I �dd

h;� $I � d. d

$I � d. d

Ahora que tengo el óptimo de �, Resuelvo mediante la fórmula que hemos obtenido anteriormente de �� en función de �, y que dijimos que siempre debía cumplirse:

%I � h. d$I 7 %I � h. d I d. d � %I � i. jd

%I � i. jd

Estas serían las demandas óptimas o Marshallianas del problema.

$I � d. d; %I � i. jd


Letra E

¿Qué es la Elasticidad?

Queremos saber que tan sensible es una variable respecto de otra, entonces primero: tenemos que identificar éstas variables. Puesto que estamos estudiando la teoría del consumidor, o teoría de la demanda, nos va a interesar principalmente la sensibilidad de la demanda.

La Elasticidad: nos indica la sensibilidad de una variable económica

respecto de otra variable económica.

� Cuando nos interesa saber que tan sensible es la demanda

respecto de su precio; Debemos responder a la pregunta

¿cómo afecta a la cantidad demandada del bien que el

precio del bien suba (o baje)?. Para esto usaremos el

cálculo de la elasticidad precio de la demanda.

� También nos puede interesar, ¿cómo afecta a la cantidad

demandada del bien que el ingreso del consumidor suba (o

baje)?. En este caso usamos la elasticidad ingreso de la

demanda.

� Y finalmente, nos puede interesar ¿cómo afecta a la

cantidad demandada del bien que el precio de otro bien

suba (o baje)?. En este caso, tendremos que calcular la

elasticidad precio cruzada


Las fórmulas son las siguientes:

Elasticidad Precio de la Demanda:

Elasticidad Ingreso de la Demanda:

Elasticidad Precio cruzada de la Demanda:

k$,K*l$I

lK*IK*

$I

k%,K+l%I

lK+IK+

%I

k$,Ml$I

lMIM

$I

k%,Ml%I

lMIM

%I

k$,K*l$I

lK%IK%

$I


Calculando las elasticidades: nuevamente las derivadas.

Si expresamos las demandas óptimas como:

%I �Mm

K+

$I �nM

K*

Elasticidades precio serían:

Ambas demandas son unitarias, frente a una variación positiva de los precios en un 1%, la cantidad demandada disminuye en un 1%. O proporcionalmente, de la forma 1 es a 1.

Elasticidades Ingreso de la demanda:

:

o�,Q�p�I

pq�Iq�

�I� N

�

q�rIq��s

Qe

� N�

q�rIq�

r

� � N1

o�,QJp�I

pqJIqJ

�I� N

qJrIqJ�s

Qf

� N

qJrIqJ

r

� N1

o�,s8�I

8sI

s

�I�

�

QeI

stu

ve

��

QeIsQe

�s� 1 La elasticidad es uno

positivo. Por lo tanto el bien es un bien normal.

o�,s8�I

8sI

s

�I�

�

QfI

swu

vf

��

QfIsQf

�s� 1 La elasticidad es uno

positivo. Por lo tanto el bien es un bien normal.


Letra F

¿Qué es la Curva de demanda?

$I � x�y*�

La Curva de demanda nos dice cómo varía la cantidad demandada de

un bien, en función del precio del mismo, matemáticamente:

y* � x�$I�

Pero por convención, los economistas invierten esta relación, con el

objetivo de relacionar precio en las ordenadas (dependiente), y

cantidad en las abscisas (independiente) matemáticamente:


Primero partimos del mismo óptimo encontrado anteriormente (�I, ��), sólo que ahora enunciaremos los puntos algebraicamente, con el objetivo de tener una mayor generalidad en la explicación, y generalizar este análisis a las relaciones de demanda existentes entre los bienes.

En el gráfico, el primer óptimo es cuando se encuentra la restricción de presupuesto color azul que está construida con un precio de x igual a �� , y en la que se elige una cantidad de �I . Caso En el que el consumidor alcanza la misma curva de indiferencia mostrada anteriormente (la curva roja del medio), en el ejercicio en que mostramos cómo se encontraba este óptimo (igualando FGHg � FGHz ). ¿Qué pasa en este gráfico si varía el precio de un bien, por ejemplo �.

Para poder graficar esta relación del precio con la demanda, lo que

hacemos, es tomar dos precios, primero un ��`` mayor, este precio hace

que la restricción presupuestaria se “contraiga” o e mueva hacia la izquierda

(recta de presupuesto verde en el gráfico), y tenemos un nuevo óptimo *I``

, menor al anterior. Que además tiene como repercusión una disminución en el bienestar del individuo, puesto que la curva de indiferencia que alcanza ahora es menor que la anterior.

Luego, tomamos otro precio ��`menor al precio original, este nuevo

precio lleva ahora a nuestra restricción presupuestaria más afuera (recta de presupuesto color naranja), y tenemos un nuevo óptimo que muestra que

la cantidad demandada del bien x aumenta hasta *I`. Esto se ve reflejado

en un mayor bienestar, ya que se alcanza una curva de indiferencia más alta que originalmente.

Una vez que hemos hecho estas operaciones, tendremos un mapa en el que hay: 3 restricciones presupuestarias con cocientes de precios (pendientes) distintas, 3 curvas con niveles de utilidad distintos, y 3

demandas de � óptimas. Si debajo de este mapa, creamos uno que

��`` | ��

��` } ��


conserve a la variable � en el eje horizontal, pero que tenga a los distintos

�� en el eje vertical, obtenemos la siguiente figura.

Curva de demanda a partir del mapa del consumidor:

�

13.75

�I FGH ��e

�f

*I`` *I M/y*`` *I` M/y* M/y*

` $

��

y*``

y*


y*`

*I`` *I M/y*`` *I` M/y* M/y*

` $

Que es la curva de demanda tradicional con pendiente negativa.

Letra F

¿Qué es el efecto ingreso y el efecto sustitución?

Analicemos la situación en términos gráficos:

Cuando el precio de un bien varía, la cantidad demandada de éste

también lo hace. Este cambio que sufre la demanda del consumidor, es

descompuesto en dos efectos: uno es el efecto ingreso, y el otro es el

efecto sustitución.

Cuando el precio del bien mueve hacia la derecha, en la restricción presupuestaria de color verde y continua, lo quehace que el consumidor consuma más del bien obtenga mayor bienestar. Esto se conoce como el “Efecto total”.

Si dejamos que el ccompensamos el ingreso que necesite para comprar los bines, su demanda de aumenta hasta

representaría el efecto sustitución; puesto que al extra producto de la bajada del precio, anulamos el efecto del ingreso.

El resto es el efecto Ingreso. O sea lo que se debe efecto que la bajada del precio genera en términos de riqueza extra para este consumidor.


Cuando el precio del bien baja a , la recta presupuestaria se mueve hacia la derecha, en la restricción presupuestaria de color verde y continua, lo quehace que el consumidor consuma más del bien obtenga mayor bienestar. Esto se conoce como el “Efecto total”.

Si dejamos que el consumidor obtenga el mismo nivel de utilidad, y el ingreso que necesite para comprar los bines, su demanda

aumenta hasta esta variación desde el incial hasta el representaría el efecto sustitución; puesto que al compensar

extra producto de la bajada del precio, anulamos el efecto del ingreso.

El resto es el efecto Ingreso. O sea lo que se debe exclusivamente

efecto que la bajada del precio genera en términos de riqueza extra para


, la recta presupuestaria se mueve hacia la derecha, en la restricción presupuestaria de color verde y continua, lo quehace que el consumidor consuma más del bien y obtenga mayor bienestar. Esto se conoce como el “Efecto total”.

onsumidor obtenga el mismo nivel de utilidad, y el ingreso que necesite para comprar los bines, su demanda

incial hasta el compensar el dinero

extra producto de la bajada del precio, anulamos el efecto del ingreso.

exclusivamente al efecto que la bajada del precio genera en términos de riqueza extra para


Ejercicio dos:

Aplicación del modelo de elección sin restricción

presupuestaria, pero con restricción médica.

Omar, “El Francés” acostumbra, después de cenar, beber Vino (V) y Comer queso (Q), donde V es el número de copas de Vino, y Q el número de unidades de queso. Su función de utilidad es:

� � 20� – �r L 18� – 3�r

Como no le preocupa el costo de los bienes consumidos, consume

libremente.

a. En esas condiciones, ¿cuántas unidades de queso y copas de vino consumirá Omar después de la cena?

b. ¿Cuánto es la satisfacción de Omar?

Asumiendo que el médico le ha restringido su consumo, de modo tal que entre unidades de queso y copas de vino no puede consumir más de 5 en conjunto:

c. ¿Cuánto consume ahora de cada uno? d. ¿Cuál es la nueva satisfacción de Omar? e. Exprese los resultados de las letras a, b, c y d en un gráfico.

Solución:

a) Para saber cuál es la combinación de bienes –canasta- que elige

Omar, debemos plantear el problema del consumidor formalmente, lo que significa en términos matemáticos, que queremos optimizar la función objetivo:

Formalmente �-R�� , �� 20 � N �r L 18 � N 3�r

Donde el primer miembro nos dice que la función a optimizar, la función de utilidad, depende de dos argumentos, los bienes. Lo que buscamos es el punto en que cada uno de estos argumentos maximiza la función de utilidad.


Para maximizar la función, buscamos las condiciones de primer orden (CPO): p�

p�� 20 N 2� � 0 ��1�

p�

p�� 18 N 6� � 0 ��2�

En el óptimo debe cumplirse que la derivada de la función de utilidad

con respecto al bien en cuestión (Q ó V) es igual a cero. En términos intuitivos, esto se debe a que la derivada es la razón instantánea de cambio de la Utilidad, cuando el bien en cuestión varía infinitesimalmente. Lo que nos habla sobre la contribución marginal del bien a la utilidad total. Para encontrar las elecciones óptimas, despejamos los valores de Q y V en la función de utilidad:

20 N 2� � 0 7 � �20

2 7 �I � 10

18 N 6� � 0 7 � �18

6 7 �I � 3

Omar optimiza su consumo cuando consume 10 quesos y 3 copas de vino. b) Para saber su nivel de utilidad, reemplazamos los niveles óptimos de

consumo en la función de utilidad: �-R�� , �� 20 � N �r L 18� N 3�r � � 20 � 10 N 10r L 18 � 3 N 3 � 3r � � 127 En el óptimo Omar obtiene 127 de utilidad. c) Para saber cuánto consume de cada bien en esta nueva situación

tenemos que tener claro, que lo que el doctor hizo al restringir el consumo de bienes de Omar, se puede incorporar en nuestro modelo como una restricción al problema del consumidor de la forma:

� L � � 5 ��1�


De esta forma el problema del consumidor se transforma en:

�-R� �� , �� 20 � N �r L 18 � N 3�r

HX5VU\ R 7 � L � � 5 �5 N � N � � 0�

En estas condiciones, la técnica de encontrar las CPO y despejar algebraicamente los valores óptimos de Q y V no nos sirve; puesto que en el óptimo además de las dos condiciones de primer orden ya encontradas, existe una nueva condición, la restricción.

La técnica matemática que sirve para optimizar problemas sujetos a restricciones sobre las variables del tipo � L � � 5 , se conoce como el Método de Multiplicadores de Lagrange, que consiste en armar una nueva función objetivo que incorpora a la propia restricción en un nuevo problema

de maximización.

Esta función recibe el nombre de Lagrangeano.

� � ��, �� L � I ��1�

El Lagrangeano es la función de utilidad más el multiplicador de Lagrange por la restricción.

Armando el Lagrangeano:

Para armar el Lagrangeano, reemplazamos en la fórmula anterior:

�-R� � ��, �, �� 20 � N �r L 18 � N 3�r L � � 5 N � N ��

Y Maximizamos la función Lagrangeano con respecto a las dos variables de interés, y a la nueva variable Lambda, conocida como el multiplicador de Lagrange.

Encontrando las CPO`s:

Cpo1

p�

p�� 20 N 2� N � � 0


Cpo2

p�

p�� 18 N 6� N � � 0

Cpo3

p�

p�� 5 N � N � � 0

Entonces, tenemos un sistema con 3 ecuaciones correspondientes a cada CPO y 3 incógnitas.

Para resolver este sistema, lo primero es eliminar alguna variable, como por ejemplo el Multiplicador Lagrangeano. ¿Cómo?

Primero, despejamos λ en la CPO1, y luego en la CPO2, tenemos:

VS [R 3q\ 1 7 � � 20 N 2�

VS [R 3q\ 2 7 � � 18 N 6�

Y obviamente � � �, VSU\S3VT:

20 N 2� � 18 N 6�

2� � 20 N 18 L 6�

2� � 2 L 6�

� �2

2L6

2�

� � 1 L 3�, VS V[ óqUY-\, �VZV 3X-q[Y�TV VTUR �V[R3YóS VSU�V � � �

Reemplazamos esta relación en la CPO3:

5 N � N � � 0 7 � L � � 5, TY: � � 1 L 3�

7 1 L 3� L � � 5

4� � 5 N 1

� �4

4� �I � 1

Este es el consumo óptimo de Brandy, al reemplazarlo en la CPO3, encontraremos el valor óptimo de Q, garantizando que se cumpla la restricción impuesta por el Médico:


Reemplazando

� L � � 5 7 � L 1 � 5 7 � � 5 N 1 7 �I � 4

Con la restricción impuesta por el médico, Omar consume ahora una copa de Vino y cuatro Quesos.

d) Para obtener el nuevo nivel de utilidad, reemplazamos los valores óptimos encontrados en la función de utilidad.

��, �� 20 � N �r L 18 � N 3�r; 3\S � � 1,� � 4:

� � 20 I 4 N 4r L 18 I 1 N 3 I 1r

� � 79.

La pérdida de utilidad provocada por la restricción médica es de 127 N 79 �

48.

e) Gráfico de la situación de Omar

C

10 �. 1; � � 127

5


4 �. 2; � � 79

�VTU�Y33YóS

1 3 5 �

Tenemos que en la situación inicial, Omar consumía 10 Quesos y 3 copas de Vino; obteniendo así una utilidad de 127. Cuando el doctor le impone una restricción médica a su consumo (representada por R1); el consumo de ambos bienes disminuye; consumiendo 4 quesos y una copa de vino. La nueva utilidad que obtiene en esta situación es menor, por lo cual alcanza una curva de indiferencia menor, cuyo nivel de utilidad es 79.

Ejercicio tres:

Aplicación del modelo de elección con restricción e

impuestos.

La función de utilidad de Esteban es � � ��, donde B son hamburguesas por semana

y C son paquetes de cigarrillos por semana. Cuál es la relación marginal de sustitución si las

hamburguesas están en el eje vertical y los cigarrillos en el eje horizontal? La renta de Esteban

asciende a 120 dólares, el precio de una hamburguesa es de dos dólares, y el de un paquete de

cigarrillos de un dólar. ¿Cuántas hamburguesas y cuántos paquetes de cigarrillos consume

esteban para maximizar su utilidad? Cuando un nuevo impuesto eleva el precio de las

hamburguesas a tres dólares, ¿cuál es la nueva combinación optima? Ilustre sus respuestas en

un gráfico.


SOLUCIÓN:

Para obtener La RMS, recordemos la fórmula:

Que nos dice a cuanto de B tengo que renunciar para obtener una unidad adicional de C. 4 Dicho de otra forma, en el margen, la tasa media de B a la que estoy dispuesto a renunciar, para obtener así una unidad adicional de C; en este caso

FGH��V � � ��

82

8¢82

8£

��

�

Para obtener el consumo óptimo de B*, C*. Debemos expresar el problema formalmente, sujeto a la restricción correspondiente y usar el método de multiplicadores de Lagrange.

El problema formalmente es:

�XVTU\ WXV � 120; �Z � 2; �3 � 1, reemplazamos en la restricción, y nos queda el problema como:

4 Nota Matemática: Cuando hablamos de la variación sufrida en C por una variación en V, se conoce

como razón de cambio de C por V, y en la ecuación general de la recta esta representado por el

coeficiente de la pendiente. De esta forma, el resultado que encontramos, cuando encontramos la TMS,

es la pendiente de la curva de indiferencia.

O(P�¤a ¥ * ��

l#

l¥l#

l�

(]* #��,¥� � � I ¥

P_`abc ¦: y§ I � L y¨ I ¥ � M

(]* #��,¥� � � I ¥

P_`abc ¦: j� L ¥ � hj;


Armamos el Lagrangiano (función objetivo+multiplicador por la

restricción):

�max � ��B, c, λ� � B I C L λ � 120 N 2B N C�

Y Maximizamos la función Lagrangiano con respecto a las dos variables de interés, y a la nueva variable Lambda, conocida como el multiplicador de Lagrange.

Encontrando las CPO`s:

Entonces, tenemos un sistema con 3 ecuaciones correspondientes a cada CPO y 3 incógnitas.

Para resolver este sistema, lo primero es eliminar alguna variable, como por ejemplo el Multiplicador Lagrangiano. ¿Cómo?


VS [R 3q\ 1 7 � ��

2

VS [R 3q\ 2 7 � � �


l¬

l¥� ¥ N j � ;

l¬

l�� N � ;

l¬

l� hj; N j�N ¥ � ;

Cpo1

Cpo2

Cpo3


Reemplazando esta relación, en la Cpo3, tenemos

2� L � � 120

2 I�

2L � � 120

2� � 120 7 � �120

2 7 �I � 60

Que es el óptimo de consumo de paquetes de cigarrillos.

Reemplazando este consumo óptimo en la Cpo3, obtenemos el consumo óptimo de B.

2� L 60 � 120 7 2� � 120 N 60 7 2� � 60

� �60

2

�I � 30

Entonces, la canasta de consumo óptima es 60 paquetes de cigarrillos, y treinta hamburguesas.

�

2� � 7 � �

�

2;

�XV VT [R �V[R3YóS VSU�V � � � WXV �VZV 3X-q[Y�TV VS V[ óqUY-\.


Qué pasa cuando con el impuesto de $1; el precio de B aumenta a 3???

Lo primero, es que cambiarán las CPO´s:

p�

p�� N 3� � 0

p�

p�� N � � 0

p�

p�� 120 N 3� N � � 0

Cpo1

Cpo2

Cpo3


Entonces, tenemos un sistema con 3 ecuaciones correspondientes a cada nueva CPO y 3 incógnitas.

Para resolver este sistema, lo primero es eliminar alguna variable, como por ejemplo el Multiplicador Lagrangiano. ¿Cómo?


VS [R 3q\ 1 7 � ��

3

VS [R 3q\ 2 7 � � �


�

3� � 7 � �

�

3;

�XV VT [R �V[R3YóS VSU�V � � � WXV �VZV 3X-q[Y�TV VS V[ óqUY-\.

Reemplazando esta relación, en la Cpo3, tenemos

3� L � � 120

3 I�

3L � � 120

2� � 120 7 � �120

2 7 �I � 60

Que es el óptimo de consumo de paquetes de cigarrillos.

Reemplazando este consumo óptimo en la Cpo3, obtenemos el consumo óptimo de B.

3� L 60 � 120 7 3� � 120 N 60 7 3� � 60


� �60

3

�I � 2

Por lo tanto, con este nuevo impuesto, la canasta óptima de consumo es

�I � 60.

�I � 20.

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