Cuadernillo Matematicas 4º Eso

1

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ²(a - b) ² = a ² - 2ab + b ²(a + b)(a - b) = a ² - b ²

POLINOMIOS

012

21

1 .......)( axaxaxaxaxP nn

nn

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma y Resta Multiplicación División Sacar Factor Común

- Regla de Ruffini- Teorema del Resto- Raíces- Factorización- MCD y mcm- Fracciones algebraicas

ECUACIONES IRRACIONALES

BICUADRADASY

ECUACIONES NO LINEALES

)()()·()()·()()·(

xRxQxPxRxPxQxP

2

Mucha gente no entiende la factura quele envía su compañía eléctrica, y no esde extrañar, porque el importe que pagaes el resultado de un complicadoalgoritmo.

Por una parte, se paga el consumo dekilovatios a una tarifa que suele tener dosprecios, uno por el consumo nocturno y otropor el diurno.Por otra, se paga una cuota fija por lapotencia instalada, otra por el impuestoespecial de la electricidad (IEE), otra por elalquiler del contador y, finalmente, todo elloviene gravado por el impuesto sobre elvalor añadido (IVA),El resultado es el siguiente:ax+by+cz+d+e+f,

donde:•a, es el consumo diurno•x, es el precio de esta tarifa•b, es el consumo nocturno•y, es el precio de esta tarifa•c, es la potencia instalada•z, la tarifa por este concepto•d, el IEE = 4,8642(ax+by+cz·1,05113)/100•e, el importe de alquile del contador•f, el IVA=16(ax+by+cz+d+e)/100

En muchas películas y series televisivasde policías utilizan técnicas sofisticadaspara resolver los caos más intrincados,como determinar la hora de la muerte deuna víctima.En realidad, resolver este problema resultafácil mediante una sencilla fórmula, que lapolicía aplica habitualmente, basada en elhecho de que la temperatura de un cuerpo,al morir, tiende a igualarse con la delambiente donde se encuentra.Siendo•T la temperatura del organismo en elmomento en que se mide;•T´ la del aire circundante en ese mismomomento,•e, es el número 2,7182…..•t, es el tiempo transcurrido

Se emplea la fórmula:

De donde despejando t, se sabe cuándo seprodujo el óbito.

teTTTT ·5207,0´/´

3

1. DIVISIÓN DE POLINOMIO

2. REGLA DE RUFFINI

Paolo RUFFINI(1765–1822)

Matemático y médico italiano, nacido en Roma, desarrollando toda suactividad en Módena, donde murió.

Dedicó muchos años al estudio del problema de demostrar laimposibilidad de encontrar una expresión con radicales que resuelva unaecuación de quinto grado (problema que ocupó a generaciones dematemáticos), consiguiendo resolverlo, al igual que el matemático NielsH. Abel. Lo demostró, aunque deficientemente. El teorema sobre laimposibilidad de encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones dequinto grado fue enunciado por primera vez Ruffini en el libro Teoriagenerale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. La demostraciónde Ruffini fue, sin embargo, incompleta. Esta formulación, denominadateorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemáticonoruego Niels Henrik Abel.

Es muy conocida su regla para la división de un polinomio en x por elbinomio x - a.

Regla de Ruffini.- División de polinomios con el divisor del tipo "x-a"

El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a,siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.

4

Además de realizarse la división por el método general expuesto en el apartado anterior, se puede realizarusando la regla de Ruffini.

La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra(variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a",obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempreserá un número), disponiéndose en la forma que se muestra en la escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo. Dividir el polinomio 674 23 xx entre el polinomio 2x

“Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta elde algún grado intermedio colocar un 0.

El proceso para obtener el cociente y el resto es el siguiente:

- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.- Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente

(el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).- Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.- Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.

Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo)excepto el último número que es el valor del resto.

3. TEOREMA DEL RESTO

Se llama valor de un polinomio P(x) = a0xn + a1x

n -1 +…+ an -1x + an para x = c, y se designa P(c), el valornumérico que toma el polinomio cuando se sustituye la indeterminada, x, por el número c y se realizan lasoperaciones.

Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x–20,

para x = 2 se obtiene: P(2) = 3·24 - 5·22 + 3·2 - 20 = 14

Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el resto es,necesariamente, de grado cero (es decir, es un número):

El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomioP(x) por x - a es, precisamente, el valordel polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor ase obtiene

P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R

5

4. TEOREMA DEL RESTO

Cualquier polinomio P(x) , para x = a, puede expresarse de la forma: RxCaxxP )()·()(

Si el resto de la división es 0, se tiene que )()·()( xCaxxP ; y esta relación indica quex–a es un factor o divisor del polinomio P (x), por lo que:

5. RAÍCES Y FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

RAÍZ DE UN POLINOMIO: Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) siP(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir,también, que el polinomio P(x) se anula para x = a.

Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x - a, pues el resto

de dividir P(x) entre x - a es cero:

Por tanto, P(x) = (x - a)P1(x), y si P(x) es de grado n, entonces P1(x) es de grado n - 1. De este modo sepuede ir descomponiendo P(x) en factores.Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene encuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomioP(x) = x4 - 6x3 + 9x2 + 4x - 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) losnúmeros 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la REGRA DERUFFINIPara 1:

Puesto que el resto, -4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x - 1, o lo que es lomismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con -1:

-1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1: P(x) = (x + 1)(x3 - 7x2 + 16x - 12)

Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x–a si el valor numérico delpolinomio para x = a, es 0.

6

Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P1(x) = x3 - 7x2 + 16x - 12. Se prueba de nuevocon -1:

-1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:

2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x):

P(x) = (x + 1)(x - 2)(x2 - 5x + 6)

Probando otra vez con 2:

2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de

P(x):

P(x) = (x + 1)(x - 2)2(x - 3)

7

6. IDENTIDADES NOTABLES(Uso de áreas para demostrar las fórmulas)

El Famoso "cuadrado de un binomio"

1. SUMA

Tomamos un cuadrado de papel glacé y marcamos sus lados como b+aLuego trazamos dos líneas en tres cuadrados de colores diferentes (a elección), como se indica en elsiguiente esquema:

Recortamos estos tres cuadrados por las líneas y separamos las siguientes figuras, etiquetando sus ladoscomo se indica:

Con estas cuatro figuras armamos un cuadrado mayor, según este esquema:

que resulta ser igual a

Recapitulemos los pasos. Para construir una figura de lado b+a utilizamos:

1. un cuadrado de lado b (b2)

8

2. un cuadrado de lado a (a2)3. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)4. un rectángulo de lado a y de lado b (ab)

Nota: los pasos 3º y 4º se podrían resumir en 2 rectángulos de lado a y de lado b, o sea 2ab.

Por lo tanto:

2. DIFERENCIA

Tomamos dos pliegos de papel glacé de distintos colores, todos de lado b. Marcamos a sobre cada lado,trazamos las líneas necesarias y recortamos hasta obtener las figuras que se muestran abajo; nuestroobjetivo es a partir de estas figuras lograr el área de un cuadrado de lado (b–a).

Con las piezas así dispuestas armamos un cuadrado de lado = b

Vamos a proceder a efectuar el cálculo b2 - 2ab + a2 para comprender el porqué de cada elemento. A esefin, primero restamos ab de b2

9

Ahora deberíamos restar nuevamente ab, sin embargo, para obtener un área semejante no nos alcanza conel rectángulo naranja, al cual le falta un área representada por el pequeño cuadrado verde dentro de (b-a)2.Por eso, restaremos ambos, el rectángulo naranja y el pequeño cuadrado verde, que juntos equivalen a ab .

Es evidente que para que la figura marcada como (b-a)2 represente exactamente esa área, es imperativovolver a SUMARLE el cuadrado de lado a.

Nota: los pasos 1º y 2º se podrían resumir en dos rectángulos de lado b y de lado a.

Por lo tanto:

10

La Famosa "Diferencia de Cuadrados"

Construimos un cuadrado de lado b

Marcamos un segmento de lado a como indica la figura, y trazamos una diagonal, obteniendo lossiguientes segmentos:

Recortamos la figura según se indica:

Con las piezas azules armamos un rectángulo (será necesario "dar vuelta" una de ellas):

Observemos que quedó formado un rectángulo de lado (a + b) y de lado (a–b):

11

Al comparar las áreas de las dos figuras, notamos que son iguales:

Hemos "demostrado" geométricamente la identidad algebraica:

12

7. FRACCIONES ALGEBRAICAS

1.- FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones a estudiar en este capítulo son las fracciones racionales, es decir, fracciones que no tienenexponente fraccionario tanto en el numerador como en el denominador.

Son las mismas que las fracciones aritméticas. Destaca la regla, que el valor de una fracción NO se altera si

se multiplican o dividen, el numerador y denominador poruna misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinto de cero.

2.- REGLAS PARA EL CÁLCULODE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo: Si31

xx

se multiplica por x + 2 numerador y

denominador resulta:

Siempre que 2x

3.- SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN(Reducción)

Consiste en transformarla a otra equivalente cuyaparticularidad es ser irreducible.

Observación: Es fundamental expresar la condición 2x para simplificar la fracción.No es correcto simplificar 0/0, o dejar abierta esta posibilidad, producto de NO haber establecido lasrestricciones en una expresión algebraica a simplificar.

13

4.- SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIÓN

Operando dos de los tres signos no se altera la fracciónEjemplo:

ba

ba

ba

5.- SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Caso 1: Mismo denominador

12

1112

1)1()12(

111

112

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

xx

Puede observarse que si el denominador es común, éste se unifica. En el denominador se ubican las cantidades presentes en cada fracción.

Caso 2 : Distinto denominador

A través de mínimo común múltiplo (M.C.M.) las fracciones con distintos denominadores se transforman enfracciones equivalentes de denominador común.

Ejemplo: Expresar en una fracción común22 15

415

2

baab

Solución:22

22

22 15

4156

15

415

2

ba

abab

baab

14

6.- MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Sea a/b una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra c/d, entonces:

dbca

dc

ba

··

·

Ejemplos: a) )0,(6

5

3015

5

22222

baabba

ab

a

b

b

a

b) )1,0(6

2

21)1(4

2)(1(14

21

234

1422

2

x

xx

xx

xxx

x

xxx

x

c) )2,3(34

)3)(3)(2()4)(2)(3(

9

8223

2

2

xxx

xxxxxx

x

xxxx

7.- DIVISIÓN DE FRACCIONES

Sea a/b una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra c/d, entonces:

0,:

dbcbda

dc

ba

dcba

Ejemplos: 0627

214212

:7

4)

22

aaa

aaaa

)()(

1))((

11

:1

1

11

)2

babababa

bababa

bababab

)(111

1) ba

baba

baba

c

En los ejercicios b) y c) se ilustra la importancia de tener bien definido la línea divisoria.

)2()3)(4(

)1)(4)(2()3)(1)(4)(4(

1)(86(

)32)(16(

32

86116

)2

22

2

2

2

xxx

xxxxxxx

xxx

xxx

xx

xxx

x

d

15

8.- FRACCIONES COMPUESTAS

Una fracción compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/odenominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir lasfracciones simples que la componen.

Ejemplos:

a) xxx

xxxx

xx

xx

x

1)1(11

11

1

111

11

1

11

1

1

11

11

1

b)

32)1()32(2

11

321

2

11

11)1(2

12

11

11

2

12

11

aaa

aa

aa

a

532

533253

53)32(53

5332

1

a

aa

aaa

aaaa

c) yxxy

xyyxxyyxxy

xyxy

yxxy

yx

xy

xyxy

yx

yx

))(()(

)(

)(11

1122

22

22

22

22

22

16

1) Calcular el valor numérico de P(x) para los siguientes valores:a) x = 1b) x = -1c) x = 2/3d) x = -3

P(x) = x/2 - 3.x + 4.x ² - 5.x³ - 2.x4/3 + 5/4

2) Dados los polinomios: P(x) = 4x ² - x + 2 Q(x) = x³ + x–1 R(x) = 2x - Hallar:a) P(x) + Q(x)b) P(x) + R(x)c) Q(x).R(x)d) P(x).Q(x)e) P(x):R(x)f) Q(x):R(x)g) El resto de la división de P(x) por x–1h) P(-1)i) P(-2) + [Q(-2)] ²j) El grado de [P(x)]4

3) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:a) P(x) = 3.x³ + 2.x ² - x - ½ Q(x) = x + 2b) P(x) = x7 + x5 - x³ - x Q(x) = x - 1c) P(x) = 64.x6 + 26 Q(x) = x–1

4) Verificar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto.

5) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:a) P(x) = x4/2 + x ² - 1 Q(x) = x - 2b) P(x) = -x5 + x³ Q(x) = x + 1/2c) P(x) = -x + 3 - x³ - x5 Q(x) = x - 2d) P(x) = a.(x³ + a ²) Q(x) = x - ae) P(x) = (x - 2)³ - 3.(x - 2) Q(x) = 3.x - (1 + 2.x)f) P(x) = 2.x³ + 3.x - 1 Q(x) = 2.x - 1g) P(x) = x4 - x Q(x) = 3.x/4 - 1/4h) P(x) = 2.x³ Q(x) = -3.x + 2

6) Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.P(x) = 3.x³ - k.x ² - + 2 Q(x) = x + 2

7) Decir si:a) P(x) = 2.x ² - x - 1 es divisible por Q(x) = x - 2b) P(x) = x4 - a ².x ² + x + a es divisible por Q(x) = x + a

17

8) Calcular k para que:a) P(x) = x8 - k.x4 + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1b) P(x) = (-k.x + 4) ² sea divisible por Q(x) = x - kc) P(x) = x4 - 3.x³ + k.x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2d) P(x) = x4 - 2.x ² + 1 sea divisible por Q(x) = x - k

9) Sumar los siguientes polinomios:a) P(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 Q(x) = 0,3.x + 1 - x ² S(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4b) R(x) = 3.x ² - 4.x³ + 2 - 6.x + x5 T(x) = 7.x5 - x4 + 5/3 U(x) = -(6.x - 8.x4 + 4.x³ - 2.x ² +

1/3)c) V(x) = 0,1.x - 0,05.x ² + 0,7 M(x) = 0,3.x + 1 - x ² D(x) = 3.x ²/2 - 1/3 - x/4

10) Restar los siguientes polinomios:P(x) = x4 - x³ - x ² + 2.x + 2 Q(x) = 2.x ² + 3.x³ + 4.x4 - 5.x + 5

11) 3) Determinar el cociente y el resto de la división de P(x) por Q(x).a) P(x) = 10.x³ - 2.x ² + x - 6 Q(x) = 5.x - 2b) P(x) = x5 - 2.x³ + 3 Q(x) = 2.x³ + 1c) P(x) = 2.x³ - x + 1 Q(x) = 2.x³ + x - 1d) P(x) = x/3 Q(x) = x4 + 1

12) Dados los siguientes polinomios:P(x) = x ² - 1 Q(x) = x + 1 R(x) = (x - 1) ² S(x) = (x + 1) ²

Hallar:a) P(x)/Q(x)b) P(x) + R(x)/S(x)c) [P(x)/R(x)]d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)]e) [Q(x) ² - R(x)]:P(x)f) [P(x) - Q(x)] ² - [R(x) - S(x)] ²

13) Determinar a y b sabiendo que el polinomio (6.x ² + a.x + b) dividido por (3.x - 2) da cociente (2.x -1) y resto 0.

14) Determinar h en (-3 + 2.x ² + h.x) de tal modo que al dividirlo por (x - 5) de resto 140.

15) Si P(x) = 2.x4 - h.x + 2 y Q(x) = x + 1, calcular h para que P(x) sea divisible por Q(x).

16) ¿Para qué valores de a la división de (x ² - 3.x - 2.a) por (x + 2) da resto 7?.

17) Sin efectuar ningún tipo de división, obtener el resto de la división de:a) P(x) = 4.x4 + 6.x ² + 1 por 2.x + 3b) P(x) = (x - 3) ² - 2.(x + 1) por 2.x - (x - 1)c) P(x) = 6.x4 - 3 + 17.x - 79.x ²/4 - 5.x³/2 por x - 3/2

18) Hallar los valores de a, b y c, tal que:a) x4 + x³ + x ² + a.x + b sea divisible por (x - 1) y (x + 1)b) a.x³ - 3.x ² + b.x - 8 sea divisible por (x - 3) y (x - 5)

18

19) Dividir aplicando regla de Ruffini:a) (-2.x³ + x4 - 1):(x + 2) =b) (a.x4 - a5):(x - a) =c) [(1 + i).x4 - i.x³ + x - 9.(3 - i)]:(x + 3 - i) =d) (3.x³ - 6.x + 1):(3.x - 9) =e) (4.z³ + z ²):[z + (1 + i)] =f) (i.x4 - 2.x ² + i):(x + i) =g) (-a.x³ + a³.x - 1):(x - a) =

h) (3.x4 + x³/2 - 29.x ²/6 + 16.x/15 - 3/15):(x+ 1/3) =

i) (x5 - 2.x³ - x ² + 3):(x - 3) =j) (3.x8/2 - 7.x6/4 + 9.x4/4 + x - 3):(x - 1) =k) (2.a4 + 11.a/2 + 3 - a ²/2):(a + 3/2) =l) 3.x³ - 32.x ²/15 - 24.x/5 + 10):(x - 0,6) =m) (3.y4 + 2.y³/5 - 27.y ²/25 + 9.y/10 + 1):(y

+ 0,2) =

20) Hallar el polinomio P(x) tal que:a) P(x)/(x + a) = x³ - a.x ² + a ².x - a³b) (x5 - 32)/P(x) = x4 + 2.x³ + 4.x ² + 8.x + 16c) P(x)/(x + 3) = x³ - 3.x ² + 9.x - 27d) P(x)/(x - 3) = x³ + 3.x ² + 9.x + 27

21) Dada la expresión:S(x) = (x5 - x4 - 7.x³ + x ² + k.x)/(x ² - 1)

a) Hallar aplicando sucesivamente la regla de Ruffini el valor de k para que el cociente sea exacto.b) Decir para que valores no esta definido S(x).c) Factorizar S(x).

22) Obtener las restantes raíces y factorizar el polinomio: P(x) = x5 - 3.x4 - x³ + 11.x ² - 12.x + 4, sabiendoque 2 y -2 son raíces.

23) Factorizar los siguientes polinomios:a) 2.ax ² - xb) x ² - a.x - b.x + a.bc) x5 - 32d) y4/25e) x5 - 0,00001f) 9 - 6.x4 + x8

g) x³ + x - 2

h) -y³ - y ² + yi) (x - 2) ² - (x - 1) ²j) x ² - 2 + a.x + a.√2k) x5 - 4.x³ + x ² - 4l) 36.t ² + 9 + 36.tm) x³ - 9.x ².y + 27.x.y ² - 27.y³n) (a + b).x³ - (a + b).x ² - a - b

24) Indicar para qué valores de x las siguientes expresiones carecen de sentido:a) 8/[(x - 1).(x + 2)]b) (2.x ² - 4.x + 3)/(x ² + x)c) (4.x - 2)/[(x - 2).(x ² + 4.x + 4)]d) 2/(x ² - 2)e) (x + 2)/(x ² + 1)

25) Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes expresiones:a) a ² - x ²; a ² - 2.a.x + x ²; a + xb) 16.x4 - 1; 4.x - 2; 4.x ² - 4.x + 1c) a³/2 - b³/2; a ² - a.b; (a³ + b.a ² + b ².a)/2

26) Determinar el M.C.D. entre:

27) a) 2.x4 + 2.x³ - 3.x ² - 2.x + 1b) x³ + 2.x ² - x - 2c) 6.x5 + 7.x4 - 5.x³ - 2.x ² - x + 1

yyy

x³ + 2.x ² + 2.x + 1x4 + 2.x ² - 36.x4 - 5.x³ - 19.x ² - 13.x - 5

19

28) Efectuar:

29) El número racional 7/5 puede escribirse como 1 + 2/5; del mismo modo la fracción racional (x + 3)/(x- 2) se puede escribir como 1 + 5/(x - 2). Hacer lo mismo con las siguientes expresiones:a) (x + 8)/(x - 3)b) (x ² - 8)/(x + 4)c) (x ² - 5.x + 1)/(x + 3)

30) Escribir como suma de fracciones parciales las siguientes fracciones:

31) Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, justificar cada respuesta:

32) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no, justificar:a) 2.x + 3.x ² - 1/2b) 2.x + 3.x ² - 1/xc) 3.x - 2.(x + 4) ²d) (3.x - 4).x-2/3 + 4

33) Encontrar a y b para que los siguientes polinomios tengan una raíz con los valores indicados:a) a.x4 + a.x ² - x - 1 en x = 1b) a.x5 + 3.x³ - b.x ² + 1 en x = -1 y x = 1/2

34) Calcular a, b y c tales que 2.x -1 = a.(x ² + x + 3) +b.(x ² - 2.x +1) + c.(x ² - 3)

35) Determinar los números reales a tales que los polinomios: P(x) = (x - a) ².(x + 1) yQ(x) = x4 - a ².x ² + 2.x + 5 tengan por lo menos una raíz común.

20

36) Hallar el valor de a para que el polinomio: P(x) = a.(x + 1)4.(x - 1)6.(x - 3) ² al ser dividido por x - 2de resto 9.

37) Factorizar:a) x ² - x.y - 6.y ²b) b5.m + b ²m - b³.m - 1c) a ² - x ² + 2.a + 1

38) Efectuar las siguientes operaciones:

39) Hallar a y b para que las expresiones x4 + 1 y (x ² + a.x + b).(x ² - a.x + b) sean iguales.

40) Determinar a, b, c y d para que la expresión: a(x + c)³ + b(x + d) sea idéntica al polinomio:P(x) = x3 + 6.x ² +15.x + 14

Deducir el resultado de las raíces de P(x).

41) Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorizarlos:a) x³ + x ² - 14.x - 24 sabiendo que: -3 es raíz.b) x4 + 3.x³ - 3.x ² - 11.x - 6 sabiendo que: -1 es raíz doble.

42) Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simplea 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25

43) Dados: P(x) = x5 + a.x4 + 3.x ² - 8.x + b y Q(x) = x³ - 6.x + 2,Hallar los números reales a y b de tal forma que - 1 sea raíz del cociente y del resto de la división deP(x) por Q(x).

44) Determinar a de modo que al dividir P(x) = 2.x15 - a.x13 + 5.x8 + 2.a.x4 - 6 por x + 1, el resto sea iguala 2.

45) Al dividir P(x) por (x - 2) se obtiene de resto 3, si se lo divide por (x + 1) el resto es -8, ¿qué resto seobtendrá al dividirlo por Q(x) = (x - 2).(x + 1)?.

46) Determinar si el polinomio:P(x) = 2.x17 + 4.x4 + x–1 es divisible por:

a) x–1 b) x + 1 c) x ² - 1

47) Determinar los valores de a y b que satisfacen la ecuación:(5.x + 1)/(x ² + x - 6) = a/(x + 3) + b/(x - 2)

21

48) Factorizar:a) x4 - 7b) x ² - y ² + 2.y - 1c) (x + 1)4 - (x - 1) ²d) (x/y)6 - (x/y)3

e) P(x) = x4 + 2.x³ - 2.x - 1, sabiendo que P(-1) = 0f) (x ² + x).(x ² + x + 1/4) + (x + 1/2) ².(x ² - 1)

49) Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones y simplificar si es posible:

50) Desarrollar las siguientes igualdades notables:

a) (6x³ + 3)(6x ³ - 3) = (6x ³) ²-(3) ² = 36x6 - 9

b) (3 - x) ²c) (5 + x) ²d) (x - 3) ²e) (6x + 2) ²f) (7x - 1) ²g) (8xy - 3) ²h) (4z + 2) ²i) (9xy + 2z) ²j) (6x - 3) ²k) (5 - x/2) ²l) (3x/4 + 1) ²m) (6 - 2x/3) ²n) (7x - 2xy) ²o) (8xz - 1) ²p) (x/2 + y/3) ²q) (xy - x/2) ²r) (3x/2 - 1/5) ²s) (5x/3 + 2) ²t) (6x - 1/3) ²u) (x/3 + y/4) ²v) (3x/y - z) ²w) (4x ² - y) ²x) (x³ - x ²) ²y) (6x4 - y³) ²

z) (x³ - 1/x) ²aa) (3x + y4) ²bb) (x ²/2 - y³) ²cc) (3x4/4 - 1) ²dd) (5xy + 3z) ²ee) (5x ² - 3) ²ff) (9xy ² - z ²) ²gg) (3x/2 + y/3) ²hh) (4x - y) ²ii) (13z - 1) ²jj) (9x/z³ - 1/x ²) ²kk) (7x/3 - 2u) ²ll) (8xy/5 - 3x ²) ²mm) (2 + 0,5x) ²nn) (6x/5 - 2x³) ²oo) (7x - z4) ²pp) (x³ - 1/x) ²qq) (z4 + 1/z ²) ²rr) (9x6 - 1/2x ²) ²ss) (y8 + 2y³) ²tt) (x³y ² - 2y) ²uu) (a + b) ²vv) [ a + (b + c)] ²ww) [(a + b) - c] ²xx) [(a - b) + c] ²yy) [(a - b) - c] ²

22

51) Encuentra una identidad notable que al desarrollarla de el siguiente resultado:

a) 25 - 10x + x ²b) 9 + 12z + 4z ²c) 64z ² + 1 - 16zd) 16x ²y ² + 8xyz + z ²e) 25x ²/9 + 4 - 20x/3f) 9x ²/16 + 1/64 - 6x/32g) 9 + x ² - 6xh) 20x + 25 + 4x ²i) 9 + 16y ² + 24yj) 1 + 12x + 36x ²k) 4 + x ²/4 - 2xl) 49/4 + x ² + 7xm) 0,04 + x ² - 0,4xn) x4 + 2x ²y ² + y4

o) 49x ² + 9y 4 + 42xy ²p) 9x ²/y ² + 1 - 6x/yq) 64 + x4/9 - 16x ²/3r) x6/16 + x 4 - x5/2s) 36 + 25x ²/z 4 - 60x/z ²

t) 0,01x4 + x ² + 0,2x ³u) 36x ²/49 - 12xy ²/7 + y 4

v) 36h4 + 4 - 24h ²w) 9a6 + 6a ³b + b ²x) 64y10 + z ²x ² - 16.z.x.y5

y) 2y³/9 + 1/81 + y 6

z) z8 + 64 - 16z 4

aa) 9x12 - 6x6y ² + y 4

bb) 36 + 25x6 - 60x³cc) 16z6 + 1/9 + 8z/3dd) 9 - 18x + 9x ²ee) 64z ²/25 + 1/9 + 16z/15ff) 25x ²y ² + 9z ² - 30xyzgg) x ²/4 + y ²/9 - xy/3hh) 25x4 + 9 - 30x ²ii) 64x ²y ² + 9 + 48xyjj) -16z + 4 + 16z ²kk) 72xyz + 81x ²y ² + 16z ²ll) 5x + 25 + x ²/4

ECUACIONES IRRACIONALES1. 30 xx

2. 91 xx

3. 737 xx

4. 134 xx

5. xx 235

6. xx 25163

7. 11354 xx

8. 6412 xx

9.3

11x

x

10. xxx 23

11. 1443 xxx

12. 4542 xx

13. 5732 xx

14. 13 xx

15. 9256122 xxx

16. 33652 xx

17. 331103 xx

18. 0423 x

19. 112 xx

20.12

11212

xxx

21. xxx

321616

21

22.43

63

xx

23. xx

22

23

24. xxx 105116

25. 326159 xx

23

ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS

1. 045 24 xx

2. 032 24 xx

3. 089 36 xx

4. 0417 26 xx

5. 0826 24 xx

6. 04 24 xx

7. 04174 24 xx

8. 0439 24 xx

9. 0276 24 xx

10. 087 36 xx

11. 082 24 xx

12. 02728 36 xx

ECUACIONES NO LINEALES

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales, y comprueba con el la representación gráfica:

a)

16-2.y-3.x44.x²xy

b)

17y5.x

0y-x-²x

c)

104.y5.xy44.x-²x

d)

yx

y²x

e)

14y4.x6x²x-y

f)

4-13.y-2.x6-2016.x-²2.x

g)

12y-4.x0y-14.x²4.x

h)

x-y²x-y

i)

2y0y-25-²x

j)

8-y4.x04-y-²x

24

DESIGUALDADES

Propiedades delas desigualdades

De 1º Grado De 2º Grado

INECUACIONES

Con una incógnita Con dos incógnita

Sistemas Resolución gráfica

Resolución gráficaResolución analítica

25

1. LA LÁPIDA DE DIOFANTO

Se cuenta que en la lápida de Diofanto, el gran matemático de la Antigüedad queestudió las ecuaciones que llevan su nombre, había la siguiente inscripción:

2. EN LA FERIA

" Camino de la feria me encontré con siete equilibristas y un oso. Cada equilibrista teníatres gatos, cada gato, tres ratas, cada rata, dos ratones; todos los ratones tenían nueve pulgas.

Pulgas, ratones, ratas, gatos, siete equilibristas y un oso.

¿Cuántos eran en total los que iban a la feria?"

3. UNA DE PORCENTAJES

" El 70 % de los hombres son feos. El 70 % de los hombres son tontos. El 70 % de loshombres son malos. ¿Cuál es, como mínimo, el porcentaje de hombres feos, tontos y malos a la

vez?"

4. ¿PODRIAS AYUDARLES?

" Juan, José y Jorge van de excursión al campo. A la hora de comer deciden compartirsus provisiones para hacer un plato único. Como llevan huevos, deciden hacer una tortilla, querepartirán a partes iguales. Juan aporta cinco huevos y José, tres.

- Yo no tengo huevos (dice Jorge), así que pondré dinero. Tomad ocho monedas.

¿Cómo deben repartirse Juan y José las ocho monedas? "

5. MATEMÁTICAS HASTA EN LA POESÍA

"A un cerezo yo subídonde cerezas había

y cerezas no cogíy cerezas no dejé.

¿Cuántas cerezas hallé?"

"Larga fue la vida de Diofanto, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia; sumentón cubrióse de vello después de otro doceavo de su vida; la séptima parte de suvida transcurrió en un matrimonio estéril; pasó un quinquenio más y le nació un hijo,cuya vida sólo duró la mitad de la de su padre, que sólo sobrevivió cuatro años a la desu amado hijo."

26

DESIGUALDADES E INECUACIONES. CLASIFICACIÓN

DESIGUALDADES:

Expresiones en las que aparece un signo dedesigualdad.

SÍMBOLOS DEDESIGUALDAD

< > ≤ ≥

Vemos que hay desigualdades en las quesolamente aparecen números y otras en las queademás aparecen letras.

INECUACIONES:

Son desigualdades en las que aparecen letras ynúmeros con las operaciones usuales. Las letrasson las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Ejemplos de desigualdades:3 < 7-2 > -5x≤2x-3≥y

Ejemplos de inecuaciones:

x≤ 2,x-3≥ yx2-5x≤4xy-3 > 0

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican atendiendo alnúmero de incógnitas y al grado de la expresiónalgebraica que aparece en ellas.

INECUACIÓN TIPO2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg.

x-3≥ y 1º grado; 2 incógx2-5x≤ 4 2º grado; 1 incóg.xy-3 > 0 2º grado; 2 incóg.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cuáles son inecuaciones indicando su grado y númerode incógnitas:a) 2x≤-2 b) -3≥ 2 c) x2y > 1 d) x2-5y≤0e) 2x-2y≥ 2(x-y) f) 4(x-3) -2 <2(x-1) g) x-y2 < 2x-y h) 3x3+2y≥ x

27

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembrosde una desigualdad, resulta otra del mismo sentido.

Ejemplos

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de unadesigualdad por un mismo número positivo, resulta otra delmismo sentido.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de unadesigualdad por un mismo número negativo, resulta otra desentido contrario.


Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la columna derecha el resultado de aplicarle a losdos miembros de la desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda:

x-3 > 5 Sumar 3x+7 > 8 Restar 74x < 12 Dividir entre 4-2x≥8 Dividir entre (-2)x-9 > -2 Sumar 9-3x ≤9 Dividir entre -3

28

REPASO DE LA FUNCIÓN AFÍN

Recordamos que la función afín es la que viene dada por una expresión de la forma y = mx + n

Un caso particular es el de la función lineal, cuya expresión es: y = mxRepresenta en tu cuaderno la siguiente función afín

y = 2x–3

ACTIVIDAD 1

Contesta en tu cuaderno:1. ¿Qué valor hace que cambie la inclinación de la recta?2. ¿Cómo es la recta cuando m>0?, ¿y cuando m<0?3. ¿Qué indica el valor de “n”?4. ¿Qué representa la 1ª coordenada del punto P?, ¿y la 2ª?

ACTIVIDAD 2

Contesta en tu cuaderno:1.¿Para qué valores de “x” resulta 2x–3 = 0?2.¿Para qué valores de “x” resulta 2x–3 > 0?3. ¿Para qué valores de “x” resulta 2x–3 < 0?


1. Repite las cuestiones 1, 2 y 3 de la 2ª actividad, para las expresiones siguientes: (Observa lo que ocurre sobrela gráfica de cada una de ellas)

a) 2x + 6 b) 3x–2 c) 5x + 8 d) 7xe) –x + 4 f) –2x–5 g) –4x h) 15x–25

29

RESOLVER UNA INECUACIÓN

Consiste en buscar el valor o valores dela(s) incógnita(s) para que la desigualdadsea verdadera.

Ejemplo: Inecuación: x-3 > 2

Sumando 3 a ambos miembros, obtenemos: x > 5

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓNValores de la (s) variable (s) para los quese cumple la desigualdad.

Soluciones: Todos los números reales mayores que 5, es decir:

x ∈(5,∞)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formasbásicas:ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b≤ 0 ax + b≥ 0Resolución: Se representa la función afín y = ax + b, y se observa donde ax+b tiene el signo que sepide en cada caso.

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x - 3≤ 0

Representamos la función y = 2x–3

Contesta en tu cuaderno:

1. ¿Para qué valor de “x” resulta 2x - 3 = 0?. Expresa el resultado en forma decimal y en forma de fracción.

2. ¿Para qué valores de “x” resulta 2x - 3 < 0?

Respondiendo correctamente a las cuestiones planteadas tendremos las soluciones de la inecuación:

x≤ 1,5

O en forma de intervalo: x [−∞;1,5]

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anterior para ver las gráficas de las funcionescorrespondientes en cada caso:

a)2x + 6 < 0 b) 3x–2≥ 0 c) 5x + 8≤ 0 d) 7x < 0e)–x + 4 < 0 f)–2x–5≥ 0 g)–4x≥ 0 h) 15x–25≤ 0

30

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES

Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos inecuaciones con paréntesis y denominadores.Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión cada vez más sencilla, hastallegar a una de las formas conocidas.

El proceso a seguir es el mismo que paralas ecuaciones:

Ejemplo: Resolvamos la inecuación:

1º.- Quitar paréntesis. 1º.- Quitamos paréntesis

2º.- Quitar denominadores. 2º.- Quitamos denominadores

3º.- Reducir términos semejantes (hasta obtener

una inecuación de una de las formas básicas).

3º.- Reducimos términos semejantes

4º.- Resolver la inecuación. 4º.- Resolvemos la inecuación


Resuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado con denominadores:

a) 6x–3 > 5x–7

b) (x - 9)≤–2 (x–3) + 5

c) –2 (x–2) + 5≤4 (2x–7)–3

d) 6 (2x–1)–7≤–2 (5x–2) + 5x

e) 10x–9 (2x + 1)–3x > 5 (x–5)

f) (x–2) (x + 3)≤x (x–1)–8

g)

h)

i)

j)

k)

31

REPASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Recordamos que la FUNCIÓN CUADRÁTICA es la que viene dada por una expresión de la forma:

y = Ax2 + Bx + C

Su gráfica es una parábola.

Representa en tu cuaderno la parábola : y = x2–5x+4

Contesta en tu cuaderno:a) ¿Cómo influye en la forma de la parábola cada uno de los coeficientes? (Para ver esto varía

los valores de cada uno de ellos)b) ¿Qué ocurre cuando aumenta o disminuye C?c) ¿Qué ocurre cuando cambia el signo de A?d) ¿Qué representa la 1ª coordenada del punto P?, ¿y la 2ª?

Contesta en tu cuaderno:1. ¿Para qué valores de “x” resulta x2-5x+4 = 0? ¿Cómo podrías calcular estos valores sin utilizar esta

escena?2. ¿Para qué valores de “x” resulta y = x2–5x+4 > 0?3. ¿Para qué valores de “x” resulta y = x2–5x+4 < 0?


Repite las cuestiones 1, 2 y 3 para las expresiones siguientes:

a) y = x2–5x + 6 b) y = 2x2–x + 3 c) y = 3x2 + 4x + 1 d) y = 4x2 + 4x + 1

e) y = x2–2x + 1 f) y = 2x2 +3x–5 g) y =–x2–8x +9 h) y = 3x2 + x +2

i) y =–3x2 +5x–2 j) y = x2 + 7x

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITALas inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formasbásicas:

Ax2+Bx+C < 0 Ax2+Bx+C > 0 Ax2+Bx+C≤ 0 Ax2+Bx+C≥ 0

Resolución: Se hace la gráfica de la función cuadrática y = Ax2+Bx+C, y se observa donde y = Ax2+Bx+C tiene elsigno que se pide en cada caso.

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: 2x2–3x+1≤ 0

Representa en tu cuaderno la función y = 2x2–3x+1

32


1. ¿Para qué valor de “x” resulta 2x2–3x+1 = 0?

2. ¿Para qué valores de “x” resulta 2x2–3x+1 < 0?

Si respondemos correctamente a las cuestiones planteadas obtenemos las soluciones de la inecuación:

x ∈[0,5 ; 1]


Resuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anterior para ver las gráficas de las funcionescorrespondientes en cada caso:

a) x2–5x + 6 < 0 b) 2x2–x + 3≥0 c) 4x2 + 4x + 1≤0 d) x2 + 7x < 0

e) 2x2 +3x–5 < 0 f) x2–2x + 1≥0 g) –x2–8x +9 > 0 h) –3x2 +5x–2≤0

INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCÓGNITASRecuerda que una ecuación con dos incógnitas de la forma ax+by+c = 0 tiene infinitas soluciones, que son todos lospares de valores (x,y) que la cumplen.

Gráficamente si representamos en el plano de coordenadas esos infinitos puntos, resulta una recta.

Ejemplo: Representa en tu cuaderno la gráfica de la función 3x–2y–3 = 0.


1. ¿Qué signo tiene el valor de la expresión cuando el punto P pertenece a la recta?

2. ¿Qué signo tiene el valor de la expresión cuando el punto P está en la zona superior de la recta?¿ y en lainferior?

Observamos que toda recta divide al plano en dos zonas (semiplanos). Cualquier punto que se substituya en laexpresión dará siempre un resultado que será:

Positivo, para todos los puntos de uno de los lados Negativo, para los del otro lado 0, para los puntos de la recta.

RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Las inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas son las de alguna de las siguientes formas básicas:

ax + by + c < 0 ax + by + c > 0 ax + by + c≤ 0 ax + by + c≥ 0

Resolución: Se hace la gráfica de la recta ax + by + c = 0, y se busca cuál es la zona donde ax+by + c tiene el signoque se pide en cada caso.

Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x–2y + 3≤ 0

33

Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la recta x–2y + 3 = 0.

Buscamos la zona correspondiente probando con un punto.

El más fácil es el (0,0), resultando:

Valor = 0–2 · 0 + 3 = 3 > 0

Por tanto la zona es "la que contiene al (0,0)".


Resuelve las siguientes inecuaciones. (Utiliza la escena anterior para ver las gráficas de las rectas correspondientes encada caso, Haz también las gráficas en tu cuaderno):

a) x–2y–3 > 0 b) 2x–y≤6 c) 2x + y > 5 d) 3x–y≥ 0

e) –x + 4y < 3 f) 2x–3y≤ –1 g) 3x–2y≤ 13 h) x–5y≥ 0

SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCÓGNITASResolver un sistema de dos o más inecuaciones de 1er grado con dos incógnitas consiste simplemente en resolver cadauna de ellas y hacer la correspondiente gráfica en un mismos sistema de referencia, así observaremos más fácilmentela solución do sistema.

Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones:

0132032

yxyx

1º. Hacemos, en un mismo sistema de referencia, las gráficas de las rectas: x–2y + 3 = 0 ; 2x + 3y–1 = 0.

2º. Rayamos las zonas correspondientes a los puntos solución de cada una de las inecuaciones.

La solución del sistema será el conjunto de puntos que son al mismo tiempo solución de ambas inecuaciones (enel gráfico corresponde a la zona doblemente rayada).

ACTIVIDADES PROPUESTAS. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. (Utiliza la escena para ver lasgráficas de las funciones correspondientes y dibújalas en tu cuaderno).

a) b) c) d)

34

1. Traduce a lenguaje algebraico:a) El doble de un número más 3 unidades es menor que 10b) El cuadrado de un número es mayor que el triple de ese número menos 2c) Si tuviera 10 euros más, superaría el precio que se necesita para comprar un

libro, que es de 30 euros.

2. Resuelve la inecuación 3234

xx

3. Halla el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes:

32

5)182)12)532)

x

xdxxcxbxa

4. Resolver:

a)6

332

xxx

b) 15

23

xxx

c)15

11

52

31

xxx

d) 223

13

12

x

xx

e) 32

42

43

1

xxx

f) xxxx

322

135

2

5. Resolver:

a) 0623

252

3

xxx

b) 017

43

xxx

c)3

21

652

xx

d) 14

33

1

xx

x

e) 12

1421

3

xx

x

f) 12

324

23

1

xxx

6. Resuelve las siguientes inecuaciones:

3273)2

31

41

)32

2)

xxc

xxbx

xa

7. Halla el conjunto de soluciones de la inecuación 0322 xx

8. Representa el conjunto de soluciones de las siguientes inecuaciones:a) 04 yxb) 052 yx

c) 032 yxd) 03 yx

9. Resuelve:a) 062 xxb) 022 xxc) 0422 2 xxd) 0222 xxe) 062 xx

f) 0862 xxg) 032 xxh) 02462 xxi) 0822 xxj) 012 x

35

10. Resuelve:a) 522 xxxb) 5252 xxxc) 246 2 xxx

11. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado reduciéndolas previamente a la formageneral:

a) 653)1( xxxx

b) 222 4)1)(1()2( xxxxx

c) 89)3()1( 222 xxxx

d) 1)52( 2 x

e) 06)2(2 xx

f) 02)1( xx

12. Resuelve:

a) 013

xx

b) 0142

xx

c) 02

xx

d) 033

xx

e) 0221

xx

f) 112

xx

13. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 03

)2)(2(2

x

xx

b) 01

)42)(3(2

x

xx

c) 03

12

2

x

x

d) 02

)2(

xxx

e) 04

2

2

x

x

f) 063

62

2

xx

xx

g) 04

12

2

x

x

h) 0)3)(1(

)2(

xx

xx

i) 1212

12

xx

xx

j) 01

232

2

x

xx

k) 036

442

2

xx

xx

l) 044

12

2

xx

x

m)1

31

1

xx

n) 05

)2(2

2

x

xx

14. Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

0805

xx

b)

0102

xx

c)

0203

xx

d)

010

xx

36

15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

032

43

xx

xx

b)

123

23

22

4

xx

xx

c)

03

93

05

22

x

x

d)

03

8203

xx

e)

1)1(

123

22 xx

xx

f)

33

22

2523

xxx

x

g)

02

032 xx

x

h)

02

0)1)(2()1( 2

xx

xxx

16. Una fábrica A paga a sus viajantes 1 euro por artículo vendido más una cantidad fija de 500euros. Otra fábrica B paga 1,5 euros por artículo y 300 euros fijos. ¿Cuántos artículos debe venderel viajante de la fábrica B para ganar más dinero que el de la fábrica A?

17. ¿Cuáles son los números cuyo cuadrado excede al propio número en más de dos?

18. Un padre y su hijo se llevan 30 años. Determina en qué período de sus vidas la edad del padreexcede en más de 10 años al doble de la edad del hijo.

19. ¿Cuáles son los números cuyo cuádruplo excede a su doble en más de 10?

37

Realiza este test, y entrégalo a tu profesor

1. ¿Qué ocurre cuando en una ecuación de segundo grado el discriminante es cero?a) Que la ecuación tiene dos soluciones distintas.b) Que la ecuación tiene solución doble.c) Que la ecuación no tiene soluciones reales.d) No se puede saber que ocurre sin conocer los números.

2. ¿Sea la ecuación 3x2 - 9x + 6 = 0, ¿cuál es su discriminante?a) 9b) 3c) 81d) 6

3. ¿Cómo se representa la solución de una inecuación con dos incógnitas?a) Mediante los puntos de una semirrectab) Mediante dos puntosc) Mediante los puntos de un semiplanod) Mediante un punto

4. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es seguro que no tiene solución?a) Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitasb) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitasc) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitasd) Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

5. ¿Cuál es la solución de14

737

xx?

a) x = 3b) x = 14c) x = 0d) x = 7

6. ¿Cuál de los siguientes puntos está en la recta que determina el semiplano solución de 3 x + 2 y >5?a) (1,1)b) (-1,1)c) (0,0)d) (2,1)

7. ¿Cuál es la solución de la ecuación 234 xxa) x = 0b) x = 1/2c) x = 1d) x = 2

8. ¿ Cuál es la solución de 3x + 5 < 2x–3a) Todos los números mayores que–8.b) –8c) Todos los números menores o iguales que–8d) Todos los números menores que - 8

9. ¿Cómo se representa la solución de una inecuación don una incógnita?a) Mediante los puntos de una semirrectab) Mediante dos puntosc) Mediante los puntos de un semiplanod) Mediante un punto

10. ¿Cuales son las soluciones de x4 - 5x2 + 4?a) x1 = 1 y x2 = 4b) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2 y x4 = -2c) x1 = 1 y x2 = 2d) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 4 y x4 = -4

38

- Seno - Cosecante- Coseno - Secante- Tangente - Cotangente

xsenxecxgc

xxxtgb

xxsena

222

222

22

1coscot1)

cos

1sec1)

1cos)

ÁNGULOS

Medida de ángulos

- Rectos- Grados- Radianes

Razones trigonométrica deun ángulo

Signo de las RT RT de ángulos fundamentales Fórmulas fundamentales

Circunferencia goniométrica

39

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto:

Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbolmarcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sincruzar el río?

La forma habitual es como sigue.

1. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entreellos (la "base").

2. Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo como elque se muestra aquí ("teodolito"), contando con una placa dividida en 360 grados, marquela dirección ("azimut") a la que apunta el telescopio

Un antiguo telescopio de topógrafo (teodolito).3. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A

del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa deazimut.

4. Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ángulo B .

La longitud c de la base y los dos ángulos A y B son todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC,suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio másconveniente.

La trigonometría (de trigon = triángulo) en un principio fue el arte de calcular la información perdidamediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría lepermite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.

¿Por qué triángulos?

Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir.El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas

radiando desde un ángulo hacia los otros.

40

Recordamos la tabla:

Grados 0° 30° 45° 60° 90°

Radianes 0 π /6 π /4 π /3 π /2

Seno 0 1/2 √2/2 √3/2 1

Coseno 1 √3/2 √2/2 1/2 0

Tangente 0 1/√3 1 √3 ∞

1) Pasar los siguientes ángulos a los demás sistemas:a) 63° 21´ 24"b) 1288° 76´ 64"c) 2,1853.πd) 5.π /3

2) Calcular el valor de x :a) x = (sen 30° - sen 60°)/(sen 30° + sen 60°)b) x = [(1 - sen 45°) ² + 2.cos 45°]/cos 60°c) x = (sen 90°.sen 60° + cos 0°.cos 30°)/(sen 45°.cos 45°.tg 30°)

3) Reducción de ángulos al primer cuadrante. Calcular en cada caso el signo de las siguientes razonestrigonométricas de los ángulos

a) sen 150° =b) cos 120° =c) tg 135° =d) cotg 158° 10´ =e) sen 240° =f) cos 210° =g) tg 225° =

h) cotg 210° 50´ =i) sen 330° =j) sec 315° =k) tg 300° =l) sen 730° =m) tg 3903° 20´ =n) cosec 214° 40´ =

4) Hallar sin emplear tabla de valores las RT de los siguientes ángulos:a) sen 240° =b) tg 225° =c) tg 300° =

d) sen 390° =e) sec 135° =f) sec 660° =

5) Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos:a) 1 radb) πradc) 5.πrad/12d) 7.πrade) 90G

f) 138G15M20S

g) 370,628G

h) 135°

i) 210°02´ 40"j) 428,34°k) 44° 30´ 25"l) 1 radm) 20 radn) 32,4 rado) 5.π rad/2

41

6) Expresar en radianes los siguientes ángulos:a) 225°b) 495°c) 120° 30´ 06"d) 75° 18´

e) 50G

f) 180G19M05S

g) 500Gh) 215,28G

7) Dibujar en cada caso el ángulo correspondiente:a. Un ángulo agudo cuyo seno sea 3/4.b. Un ángulo obtuso cuyo coseno sea -1/2.c. Un ángulo cualquiera cuya tangente sea 1,5.d. Un ángulo cualquiera cuyo coseno sea 3/2.e. Un ángulo obtuso cuya secante sea -1,5.f. Los ángulos comprendidos entre 0 y 2.π,cuyo coseno sea 2/3.

8) Indicar el signo de x sin efectuar ninguna operación: x = sen 128º.cos 235º/tg 310º

9) Calcular las restantes razones trigonométricas de α sabiendo que:a) sen α = 2/3 si 90° ≤ α ≤180°b) cos α = 1/4 si 270° ≤ α ≤360°c) tg α = -2 si 180°≤ α ≤270°

d) posiblessolucioneslasasHallar tod.5/4sen

e) 0.13/5cos

f) 2;0 tgsen

g) IIItg ;4/3

h) Ise ;5/1

i) 0;13/12cos

j) 4/5cos;0 ectg

k) ;2/1tg III

10) En los siguientes casos calcular x :a. x = sen 38° 15´b. cotg x = 0,57735c. sen x = 0,0364d. x = cos 72° 05´ 15"e. sen x = -(31/2/2)f. tg x = 0,8699g. x = tg 3° 19´ 25"h. cos x = -0,68236i. sen x = 0,5466j. x = cotg 29° 19´k. sec x = 22l. cos x = 0,1175

m. x = tg 90°n. tg x = 3,25o. sen x = 0,9807p. x = cos 75°q. cosec x = -3,5r. cos x = 0,7729s. x = cos π /12t. tg x = 1,7302u. x = sen 15°v. cos x = 0,4893w. x = tg 75°x. cotg x = 0,6749

42

11) Calcular el valor de x en los siguientes casos :a) x = sen 30° +2.cos 45°.tg150°b) x = (sen ² 120° - cos³ 60°)/(tg 30°.cotg 135°)c) x = sen 3.π.cosπ/3 + tgπ/4.cos (-π/6)d) x = (a + b).tg 45° - a.cos 0° + b.sen π

12) Determinar el valor de x siendo 0≤x ≤ π:a) sen x = cos 210°.sen (-45°)b) sec x = tg 145° 18´ . cosec (-19°)c) tg x = sen 145° 15´ . tg 209°/cos 18°d) cos x = sen 910°.cos (-1000°)/tg 335°

13) Determinar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

a) xxtg 22 sec1

b)xsen

xg2

2 1cot1

c) (1 + tgα).(1 - tgα) + sec ²α= 2d) tgα+ cotgα= 1/(senα.cosα)e) sen ²α.(1 + tg ²α) = tg ²αf) cos α .cosec α .tg α = 1g) (senα+ cosα) ² + (cosα- senα) ² = 2h) (1 + cos α).(1 - cos α)/cos α = sec α - cos αi) sen4α- sen ²α= cos4α- cos ²αj) 1/(1 + tg ² α) = cos ² α

k) xsenxg

x 42

2

cot1

cos1

l)xsenxxsen

tgxgxcos

21cot

2

m)

xtg

xsenxx

2

22222

1

1cos1cos3

n) xsenxtgxsenxtg 2222

o)tgytgx

gygxgygx

cotcot

cotcot

p)tgxgxtgxgx

x

cotcot

1cos2 2

14) Dado un ángulo II y que .75

sen Calcular

a) Las restantes razones trigonométricasb) Dibuja el ángulo

c) ).2(),cos(),2

(

tgsen

d) ).7(),2

9cos(),

2(

sentg

43

15) Calcular las restantes razones trigonométricas de un ángulos , (sin hallar el ángulo), sabiendo que

a)7

34)2(

23

seny

b)92

)2

(cot

gyII

c)9

24)cos(

20

y

d)31

)( tgyIV

16) Sea x un ángulo que cumple3

3cos;0;20

xsenxx

a) senx tgx secxb) cos(90º-x) sen(360º-x) tg(x-180º)c) sen(90º+x) cos(540º+x) tg(270º+x)d) sen(60º-x) cos(x+45º) tg(45º-x)

17) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las soluciones posiblescomprendidas entre 0º y 360º, y la forma general de las infinitas soluciones:

a) cosx = 0b) senx = -1c) tg x = -1d) 2 cosx + 1 = 0e) 2 sen2x = 1

f) 3 tg x = 3

g) 4 cos2x–1 = 0

h) 2 sen x = - 3

i) tg2x=3j) 2cotg x = 3

18) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas las soluciones posiblescomprendidas entre 0º y 360º, y la forma general de las infinitas soluciones:

a) 1–sen (x / 2) = 0b) tg (x/3 + /4) = -1c) 1 + sen 3x = 0d) tg2(4x+12º) = 3

e) 2 sen (x/2 + )+ 2 =0f) cos2(2x)–1 = 0g) 2 cos(4x) = - 1h) 2 cos (4x - ) = 1

i) 1 - 3 tg ( x / 2) = 0

j) 1–4 sen2 (3x–75º) = 0

k) 0182 xsen

l) 03cos23 x

m) 0352 2 senxxsen

n) 03)33(2 2 tgxxtg

o) 03cos4cos4 2 xx

p) 03)15cos(3)15(cos2 2 xx

44

La Tarea

Tarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de un edificioTarea 2: Explicar y valorar el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las

pirámides de Egipto.Tarea 3 Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puede conducir a resultados muy

lejanos de la realidad.Tarea 4 Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar los

métodos trigonométricos que pueden utilizarse en la actualidad para realizar esa tarea.Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura por métodos fotográficos.

ProcesoTarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de un edificio.El goniómetro es un instrumento muy antiguo utilizado para medir ángulos. Sus aplicaciones llevan implícitolos conceptos matemáticos desarrollados por los antiguos griegos. Para construirlo debes consultar los sitiosrecomendados y seleccionar el material necesario y distribuir las tareas. Una vez lo construyas deberás utilizarlopara medir la altura de un edificio importante de la ciudad. Te sugerimos que midas la altura de un edificio omonumento importante de tu ciudad.En la exposición debes describir el proceso de construcción, presentar las mediciones realizadas, explicar susignificado y comentar los procedimientos actuales de medición.

Tarea 2: Valorar y explicar el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las pirámidesde Egipto.Para esta tarea debes consultar los sitios recomendados y seleccionar de allí el material necesario. En laexposición, además de presentar la experiencia realizada por el sabio griego y destacar el fundamentomatemático empleado en esa medición, debes presentar una breve biografía. Sería importante que en estaexposición hagas una breve exposición del momento histórico que se vivía en ese entonces.

Tarea 3: Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puede conducir a resultados muy lejanosa la realidad:En esta tarea debes aprovechar el trabajo realizado por Aristarco de Samos (precursor de la teoría Heliocéntrica)en el siglo III a.c. cuando estimó las dimensiones del Sol y la Luna, así como sus respectivas distancias a latierra.En la exposición usted debe desarrollar el método utilizado por Aristarco para medir las distancias relativas dela tierra y la luna al sol y explicar como una pequeña falla en la medición puede generar errores garrafales.

Tarea 4: Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar como podríautilizarse en la actualidad nuevos métodos para hallar ese radio.La primera referencia de las mediciones de la circunferencia terrestre aparecen en los obras de Aristóteles y alparecer fueron llevados a cabo a mediados del siglo III a.c. Sea como fuere de estos primeras mediciones sólose conocen sus resultados, no los método empleados para llevarlas a cabo. Sobre el trabajo de Eratóstenes es laprimera medición de la cual se posee información casi completa.Investiga el trabajo realizado por él y cómo puede enfocarse hoy por métodos trigonométricos. También debesdeterminar los procedimientos que hoy pueden utilizarse para determinar el radio y el perímetro de la Tierra.

45

Tarea 5: Utilizar el mismo edificio de la tarea 1, para medir su altura a través de una fotografía.Para esta tarea debes tomarte una fotografía en el mismo edificio usado en la tarea 1. La persona que sirve demodelo debe estar en posición erguida y el fotógrafo debe asegurarse por enfocar todo el edificio. Si bien estatécnica de medición está basada en las propiedades de las escalas, es importante que los estudiantes laconozcan.RecursosPara la tarea 1: Construir un goniómetro y usarlo para determinar la altura de un edificio

Tarea 2: Valorar y simular el trabajo realizado por Thales de Mileto para determinar la altura de las pirámidesde Egipto.

Tarea 3: Explicar cómo un pequeño error en la medición de un ángulo, puede conducir a resultados muy lejanosa la realidad.

Tarea 4: Exponer el trabajo realizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra y explicar como podríautilizarse en la actualidad nuevos métodos para hallar ese radio.

Evaluación

El trabajo en Word:

Insuficiente: Si Está incompleto, sin datos de análisis, sin resolver las preguntas.

Aceptable: Si los puntos están incompletos, con pocos datos de análisis, análisis superficial y conpreguntas mal resueltas o incompletas.

Sobresaliente: Si los puntos están completos, análisis completo, preguntas completas

Excelente: Si los puntos están completos, con información extra, análisis exhaustivo y preguntasresueltas de forma exhaustiva.

La presentación:

Insuficiente: Si es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas informáticas o mal utilizadasy Preguntas sin contestar.

Aceptable: Puntos incompletos, pocos datos de análisis, análisis superficial, preguntas mal resueltas oincompletas.

Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, bastantes herramientas, seguridad en la exposición.

Excelente: Si es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la presentación conherramientas apropiadas.

La exposición:

Insuficiente: Sin ninguna participación o callado

Aceptable: Participación escueta

Sobresaliente: Si hay participación con muestra de interés

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Excelente: Si hay participación con dominio del tema.

Cohesión del grupo:

Insuficiente: Si no hay ningún tipo de cohesión, trabajo individual

Aceptable: Si hay débil grado de cohesión y partes inconexas

Sobresaliente: Si hay buena cohesión

Excelente: Si el grupo actúa como un solo equipo, todos participan y dominan el tema.

Conclusión

Al finalizar el proyecto de webquest tendrás una visión más clara sobre los orígenes de la trigonometría,valorarás el trabajo de los antiguos sabios griegos y su aporte al campo de las matemáticas. Reconocerásademás, la importancia de los recursos tecnológicos en los procesos de enseñanza aprendizaje de lasmatemáticas y los cambios significativos que pueden producir en las prácticas pedagógicas, en las metodologíasde enseñanza y en la forma en que los estudiantes acceden e interactúan con el conocimiento matemático.

47

a) Sus ángulos internos suman 180 ºb) Teorema de Pitágorasc) Razones trigonométricas de un ángulod) Teorema del senoe) Teorema del coseno

CONOCIMIENTOSPREVIOS

Ángulos en la circunferencia Arco capaz de un ángulo

Rectángulos

Resolución de triángulos

No rectángulos

a) Sus ángulos internos suman 180 ºb) Teorema de Pitágorasc) Razones trigonométricas de un

ángulo

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CONOCIMIENTOS PREVIOS

Ángulos de la circunferencia1) Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios

de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB

2) Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de lossegmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

3) Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

49

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

4) Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser suslados, tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Arco capaz de un ángulo

En la figura vemos a unos futbolistas en posición de lanzar el balón contra la portería. El ángulo de tiro es elformado por el pié del jugador (vértice) y las trayectorias a los postes (lados). ¿Qué posiciones deberán ocupar losjugadores para que todos tengan el mismo ángulo de tiro?

50

El problema consiste en averiguar el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el ancho de laportería con el mismo ángulo.

Este problema está relacionado con la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan elmismo arco PQ (misma cuerda).

Sabemos que estos ángulos miden todos lo mismo: la mitad del ángulo central correspondiente.

Se denomina arco capaz: “ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano desde los quese ve el segmentoPQ, bajo el mismo ángulo x”.

Triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo existe siempre un ángulo recto (90º) recibiendo el lado opuesto al ángulo recto elnombre de hipotenusa y los otros lados el nombre de catetos. De una forma general, se suele usar una notación quees nombrar los ángulos con las mayúsculas A, B y C y reservan las mismas letras minúsculas a, b y c para los ladosopuestos a cada ángulo. De forma general se suele reservar la letra C para el ángulo recto y por tanto c sería lahipotenusa. Esta al menos es la notación que nosotros usaremos.

Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos (3 lados y 3 ángulos) conocidos almenos tres de ellos. En el caso de un triángulo rectángulo además del ángulo de 90º, se necesitan otrosdos datos, de modo que según cuáles se conozcan, se pueden presentar cuatro casos:

I) La hipotenusa y uno de los ángulos agudos. (c, A)

II) Un cateto y el ángulo opuesto a él. ( a, A )

III) La hipotenusa y uno de los catetos. (c, a)

IV) Los dos catetos. ( a, b)

51

TEOREMA DEL SENO

Enunciado: “Los lados de un triángulo son Proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”:

Csen

cBsen

b

Asen

a

DEMOSTRACIÓN TEOREMADEL SENO

Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:h = b·senA, y h = a·senB

luego b·senA = a·senB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual:

Se demuestra igual pues h = a·sen(B-180º), pero sen(B-180º) = senB

52

TEOREMA DEL COSENO

Enunciado: “El teorema del coseno dice que «el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de losotros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido”

DEMOSTRACIÓN TEOREMADEL COSENO

Dibujamos la altura h, perpendicular a b

Aplicamos Pitágoras a AHB y BHC

Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.

53

1) Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.

2) Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora.

3) Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, porla orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestraorilla. calcular la anchura del río.

4) Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

54

5) Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte,calcular la altura del edificio.

6) Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, porla orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestraorilla. Calcular la anchura del río.

7) Estamos separados del pie de una torre 20 m. y divisamos su parte más alta bajo un ángulo de 60º. Calcula laaltura de la torre.

8) Halla los radios de las circunferencias circunscritas e inscritas a un triángulo de lados 5, 6, y 7 cm.

9) Calcula la altura de una antena, si situándonos a 50 metros de su pie, se observa la parte más alta de la mismabajo un ángulo de 30º.

10) La sombra que proyecta una torre cuando los rayos del Sol tienen una inclinación de 22º 30´ es de 12 m.Calcula la altura de la torre y la longitud de su sombra, cuando la inclinación de los rayos sea de 33º 45´.

11) Desde la orilla de un río se observa la copa de un árbol, situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nosalijamos 8 m de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

12) Un coche sube una pendiente del 10% (10 metros de subida por cada 100 metros de recorrido horizontal) auna velocidad de 50 km/h, y tarde un minuto en recorrer toda la pendiente. Calcula la longitud y el desnivel dela misma.

13) Una motora avanza a 20 km / h al atravesar perpendicularmente un río que discurre en dirección este-oeste.La brújula indica que al avanzar la motora se desvía 30º de la dirección norte-sur. Calcula la velocidad de lacorriente.

55

14) Calcula los ángulos de un rombo cuyo perímetro es 10 metros y su diagonal mayor 4 m.

15) Desde un punto distante 25 cm del centro de una circunferencia de radio 10 cm, se trazan las dos tangentes aella. Determina el ángulo que forman esas tangentes.

16) En el ejercicio se proponen los datos de diferentes triángulos. Calcular los datos que faltan.

a b c A B C

1 37 24 61

2 57 100 57º

3 57 100 57º

4 57 100 57º

5 57 57º 62º

6 57 57º 62º

7 4'7 41º 59º

8 321 470 123º

17) Un triángulo isósceles tiene sus dos ángulos iguales de 40º y su lado desigual mide 5 cm. Resuélvelo.

18) Calcula el área del decágono regular de 8 cm de lado

19) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm, respectivamente. Al cortarse forman un ángulo de 50º.Halla el perímetro del paralelogramo.

20) Dos barcos salen de un puerto a la vez. El primero toma rumbo noroeste a 20 km / h y el segundo siguedirección

21) Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cadauna toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estaráJulia de María al cabo de una hora y media?

22) Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un ángulo de 32º. ¿Cuánto miden lasdiagonales?

23) Kepler pensaba que las órbitas de los planetas estaban relacionadas con los radios de 6 esferas concéntricasinscritas y circunscritas alternativamente en los poliedros regulares. Si el radio de la esfera inscrita en un cubomide 1 m, ¿cuánto mide la arista del cubo? ¿Y el radio de la esfera circunscrita a él?

24) Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de30º. Calcula la distancia entre sus centros.

56

25) En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara conla base es de 52º. Calcula:

a) La altura de la pirámide.b) La altura de una cara.c) La longitud de una arista.d) El ángulo que forma la arista con la base del triángulo.e) El ángulo superior de cada cara.f) El volumen de la pirámide.

26) Resolver el triángulo en el que se conoce A+B=60º, a=7, b=5

27) El perímetro de un trapecio rectángulo es 30. Si la base mayor es 10 y la altura 5, calcular el ángulo agudo.

28) En el dibujo se conocen los datos que están en él indicados. El triángulo T1 es rectángulo. Se pide:

a) Calcular los demás datos de los dos triángulos.

b) Calcular el área de cada uno de los triángulos.

29) En un triángulo se conoce a=90m b=70m y A=62º. Calcular la longitud de la mediana que parte de A.

30) Calcular AB (ver gráfico).

28

30

57

31) En un triángulo se conocen a=38m; b=52m y A=57º. Calcular la longitud del segmento bisectriz que partede C.

32) Un foco halógeno proyecta luz según el esquema indicado en el dibujo. ¿Cuál es la superficie queilumina?

33) Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1km, la segunda de la tercera 1'5km y ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichaspersonas? ¿Qué superficie tiene el lago, si ésta es los 5/3 de la superficie del triángulo que forman las 3personas?

34) Calcular la distancia d en los aparcamientos de la figura 10.

35) Calcular el área de un decágono regular que tiene de lado 8 cm

36) Hallar el mayor de los ángulos de un triángulo ABC que tiene sus lados en proporción 4:5:7.

37) Las diagonales de un romboide miden 11m y 7 m respectivamente y forman un ángulo de 50º. Calculartodos los lados del romboide.

32

30

34

58

38) Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a los puntos A y B que distan 1'5 m. La goma está situada enel segmento AB. La deformación de la goma es proporcional al peso que soporta. Del centro C de lagoma se cuelga un peso y el centro pasa a ocupar la posición D. Si se aplica el doble del peso el centro,éste pasa a ocupar la posición E. Sabiendo que el ángulo a=19º, hallar el ángulo b.

39) Un caminante avanza con velocidad constante por la carretera ABC que forma en B un ángulo de 150º.Parte de A, a media hora está en B y dos horas después está en C. Hallar el tiempo que habría tardado enir de A a C en línea recta.

36

38

59

1. Efectúa.- ( Realiza la prueba)1.1. 32´45 + 0´8 + 4 = 36 + 0´278 + 2´5 + 3´7222=1.2. 35´6–12´47 = 37´61–36´9631.3. 36´5 x 2´07 = 0´213 x 2´3=1.4. 394’75 : 12’4= 3002 : 59´678= 346 : 20´02=

3´5 : 23´789 = 11: 0,027 = 1,44 : 0,231=

2. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuántomedirá el lado de cada paño?. ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho?

3. Una plancha de madera quiere serrarse en cuadrados lo más grandes posible. ¿ Cuál será la longitud de cadacuadrado si las dimensiones de la plancha son 512 cm de largo y 192 cm de ancho? ¿ Cuántos cuadradosobtendremos?

4. Efectúa

a)

51

52

41

53

2

43

41

125

1142

b)

72

:3

55:

215

51

52

41

53

c) 431

21

52

2

43

41

125

1142

d)

37

72

71

379

75

42

2

43

41

125

1142

e)

32

91

2152

253

32

61

352

53

f)35

:41

121

41

3

3625

853

215

g) 32

3332

35

:41

121

41

3

h) 72

3245

2

51

251

552

34

i)

21

394

152

3

41

1221

315

54

j)

32

91

2152

253 )

42

342

(154

23

60

5. En la clase de Raquel hay 36 alumnos de los que 5 /6 no sacan SB en lengua, ¿ qué fracción es la que saca SB?,¿cuantos alumnos no sacan SB?. Si fuera 15 alumnos los que sacan Notable ¿qué fracción representaría?

6. Un camión transporta 15 toneladas de fruta, 1/5 de dicha carga son naranjas, 2 / 3 manzanas y el resto peras.¿Cuántas toneladas de cada fruta transporta?

7. En las elecciones municipales se presentaban dos partidos, A y B. El primero ha obtenido los 3 / 4 de los votosválidos. El partido B ha conseguido los 5/20 de los votos válidos.

a) ¿Cuál de los partidos ha ganado las elecciones? ¿Por qué?b) Miguel dice que el número de votos que ha conseguido el partido B es la mitad de los que ha

conseguido el partido A. ¿Es cierto lo que dice Miguel?¿Por qué?c) Si el número total de votos válidos ha sido de 2500, ¿cuántos votos válidos ha obtenido el

partido A y cuántos el partido B?

8. Don Miguel debía 4200 euros. Ha pagado, primero, 3/5 de la deuda y, después, la sexta parte de la deuda. Denuevo ha pedido un préstamo por el doble de euros de lo que le faltaba por pagar. ¿cuánto debe en laactualidad?

9. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden al apartado defrutas. Del dinero recaudado en la venta de frutas, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjasasciende a 43,5 euros, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?

10. Luis hace las 3/5 partes de un trabajo y José Antonio los 2/9 de lo que falta. ¿Cuánto debe hacer Carmen paraterminarlo?

11. Un depósito contiene 600 m3 de agua. Para regar una finca se extraen los lunes los 2/5 del depósito y elmiércoles 1 / 3 del agua que quedaba. ¿Qué cantidad de agua se sacó cada día? ¿Cuántos litros de agua habíael jueves?

12. Sonia ha comprado, con un quinto del dinero que tenía, un libro de aventuras. Con la tercera parte de lo que lequedaba compró una caja de pinturas y con lo que le sobró compró unos pantalones de 39 euros. ¿Cuántodinero tenía Sonia antes de comenzar las compras? ¿Cuánto le ha costado el libro y la caja de pinturas?

13. En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se hanvendido la mitad de los que han quedado.13.1. ¿Qué fracción del total de periódicos representa los vendidos por la tarde?13.2. Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta?

14. A 1/3 de las manzanas que yo tenía añadí 1/4 de las tuyas y llené un cesto de 26 manzanas. Con las que tequedaron has llenado uno de 15 y te sobraron 3. ¿Cuántas manzanas teníamos cada uno?

15. El número de alumnos de una Escuela de Aparejadores pasa de 250 y no llega a 300. En el primer curso son los19/35, en el tercero los 1/14 y en el segundo el resto. Averiguar el número de alumnos de cada curso.

16. Un viajante ha recorrido los 2/5 de la distancia que debe hacer en un día. Si hubiese recorrido 20 Km. más,habría recorrido 7/15 del total. ¿Cuál es el trayecto total que tenia que recorrer?

17. En una tienda hacen liquidación. En ella hay 1400 artículos para vender. La primera semana se venden 3/7 deltotal y la segunda semana la mitad de lo que quedaba. En la tercera y última semana se vende todo a 2.50 euroscada producto. ¿Cuál será el importe de la caja esta última semana?

18. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades, en total viajan 65. Colocados en ordendecreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 2/3 del anterior.¿Cuántos viajeros hay de cada uno de ellos?

61

19. Llevo recorridos los 7/15 de un camino y aún me falta 1/3 de kilómetros para llegar a la mitad. ¿Qué longitudtiene el camino?

20. Se han consumido 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes.Calcular la capacidad del bidón.

21. Tengo 3 barriles y 600 litros de vino que se distribuyen en tres partes iguales en los tres barriles. El primero sellena hasta sus 2/3 partes; el segundo hasta 4/5. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que su capacidades la suma de las capacidades de los dos primeros?

22. Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los 2/5 de la primera me queda lo mismo que si vacío dela botella 1/3 de su contenido. Sabiendo que la cantidad de agua que queda en una y otra es medio litro.Calcular las capacidades de la jarra y de la botella.

23. Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A, más un metro. Una tercera torre C es de alta los 4/3 de latorre B, más 2 metros. Sabiendo que la torre C es doble de alta que la A, ¿qué altura tiene cada una de las trestorres?

24. Un terreno de 4500 Mª ha sido adquirido al precio de 85 euros el m². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a 150euros el m²; y los 7710 del resto a 165 euros el m². Vendida la parte sobrante, se obtiene una ganancia de339375 euros. Halla que fracción, de todo el terreno, es la última parte vendida y a qué precio fue vendido elmetro cuadrado.

PROPORCIONALIDAD

1. Las personas con más de 60 años pueden solicitar en RENFE la tarjeta dorada. Con ella hacen un descuentodel 25% en todos los billetes de tren. Jesús tiene la tarjeta dorada. ¿Cuánto pagará por un billete cuyoprecio ordinario es de 29 Euros?

2.El 2’06 % de la superficie de España corresponde a Navarra. ¿Cuál es la superficie de Navarra si la de España es 504.7882 Km2?

3. La familia Losada ha comprado un sofá nuevo cuyo precio es de 865,45 euros. Si paga al contado el 20% yel resto a plazos, ¿qué cantidad le quedará por pagar?

a. Has comprado una impresora que cuesta 359 euros, pero como tienes que pagar el IVA, al finalpagas 416,44 euros. ¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado?

b. En el instituto hay en 3º de ESO 210 alumnos, y se espera que pasen a 4ª de ESO 170. Tambiénhay 160 alumnos en 1º de Bachillerato y se espera que pasen a 2º de Bachillerato 130. ¿En quécurso, 3º ó 1º, se espera un mejor resultado?

4. Un comerciante de electrodomésticos vende las batidoras antiguas a 33’25 euros cada una, perdiendo el 5 % del precio original. ¿Cuál era el precio original de las batidoras?

5. En una discoteca han entrado el 25 % más de las personas permitidas. Si han entrado un total de 250personas, ¿cuál es la cantidad de personas exactas permitidas?

6. Daniel ha tenido que pagar una multa de tráfico con un 10% de descuento por pronto pago. Además hatenido que pagar 50 euros por la grúa. ¿Cuál era el precio de la multa si abonó 225 euros?

7. En un cultivo de 120.000 bacterias, una enfermedad produce la muerte del 16% de la población. Tratadaslas supervivientes con un producto, se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacteriasforman la población finalmente?

62

8. Un ordenador cuesta 1172 . ¿Cuánto se deberá pagar teniendo en cuenta que en la tienda le harán un12% de descuento y posteriormente se cargará un 16 % de IVA?

9. Tengo dos billetes de 50 euros y, para comprar una cadena de música, me falta todavía 1/5 del dinero queposeo. ¿Cuánto pagaré por la cadena al contado si me rebajan un 5%?

10. Para fabricar 100 Kg. de pan se necesitan 40 Kg. de agua, 1 / 2 Kg. de levadura, 3 / 4 Kg. de sal y el restode harina. En la cocción la masa pierde el 15 % del peso. ¿Cuántos kilogramos de harina hay que emplearpara obtener 500 Kg. de pan?

11. Carmen dice que sus padres le han comprado un ordenador, una impresora, y un escáner. El ordenadorcuesta 995 euros, la impresora 186 euros y el escáner no se acuerda. Sólo se acuerda que ha pagado 1178’5 euros, 16% IVA incluido después de haberle hecho un descuento del 20%. ¿Cuánto vale el escáner?

12. Un librero ha ganado 1968 euros vendiendo 82 ejemplares de una obra, la mitad al precio marcado porcatálogo y la otra mitad con una rebaja del 10%. El editor le da una comisión por libro del 25% sobre elprecio del catálogo. Halla el precio marcado en el catálogo.

13. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles.Qué porcentaje de puntos debe ganar en las 3 / 4 partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70%de los puntos posibles.

14. En una clase, el 50% de los estudiantes lleva gafas. El 30% es rubio y el 10% es rubio y lleva gafas.¿Cuántos estudiantes no son rubios y no llevan gafas?

REGLAS DE TRES

1. Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene quellegar al colegio en 15 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto?

2. Cuatro chicos en una acampada de 10 días, han gastado en comer 150 euros. En las mismas condiciones,¿cuánto gastaran en comer 6 chicos en una acampada de 15 días?

3. En una cafetería, un camarero ha observado que por cada 100 Kg de naranjas se obtienen 40 litros de zumo.¿Cuántos Kg de naranjas hacen falta para obtener 150 litros de zumo? ¿Cuántos litros de zumo dan 750 Kgde naranjas?

4. En un campamento de refugiados hay 4500 personas y tienen víveres para 4 meses y medio. Se acuerdatrasladar a 500 personas a otro campamento cercano. ¿Para cuánto tiempo tendrán víveres los refugiados quese quedan?

5. En un comercio han hecho esta oferta:PAGUE 3 Y LLEVE 4

63

Una señora ha comprado 4 litros de aceite por 12,5 eurosa) ¿Cuánto le ha costado un litro de aceite?b) ¿Cuánto le habría costado un litro de aceite sin la oferta?c) ¿Cuánto se ha ahorrado en su compra?

6. Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54673 Km en su cuenta kilómetros. Se gasta40 euros en gasoil y continúa su viaje. Cuando vuelve a tener el depósito vacío, su cuenta kilómetros marca55273 Km. ¿Cuál es el consumo de combustible cada 100 Km recorridos, si sabemos que el litro de gasoilcuesta 0’66 euros?

7. Los ingredientes de una receta de galletas son: 1 vaso de mantequilla; 3huevos; 2’5 vasos de azúcar; 2 vasos de harina. Sólo tenemos 2 huevos. ¿Cómo debes modificar los restantes ingredientes de la receta para poderhacer galletas?

8. Para pinta una pared de 8 m de largo y 2 m de alto se han utilizado 5 latas de 5 Kg de pintura cada uno.¿Cuántas latas de 25 Kg de pintura se necesitará para pintar tres paredes de 16 m de largo por 2’5 m de ancho?

9. La habitación de un hotel cuesta por persona y noche 27 euros. ¿Cuánto ha de pagar una familia de 4personas por 3 noches si utilizan 4 habitaciones?

10. El alumbrado de una calle está compuesto por 10 farolas que, funcionando 11 horas diarias, tienen unconsumo de 1’5 Kw / h. Se estropean tres farolas y para suplir la falta de luz, se da mas potencia aumentando el consumo a 2’3 Kw / h. ¿Cuántas horas deben estar funcionando para que el gasto del Ayuntamiento en luzsea el mismo?

11. Tres grifos abiertos a la vez llenan una piscina en 24 horas. ¿Cuánto tardarían en llenarla 8 grifos iguales alos anteriores Una bañera tarda en llenarse tres horas con el grifo del agua caliente abierto y dos horas con elgrifo del agua fría, una vez llena y sin caer agua tarda en vaciarse cuatro horas. Si abrimos a la vez los dosgrifos y el desagüe, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse?

12. Tres escavadoras hacen un trabajo en 20, 24, y 15 días respectivamente. ¿Cuánto tiempo tardarán las tresjuntas?

INTERÉS

1. Un capital de 7250 euros se ingresa al 5’25% durante 3 años. ¿Qué interés se obtiene al final del periodo?

2. ¿Qué capital prestado al 5% de un interés anual de 120 euros?

3. ¿A qué porcentaje se deben depositar 4500 euros para obtener un interés anual de 90 euros?

4. ¿Por cuánto tiempo debe ser prestado un capital de 72000 euros, al 5,5% anual, para que produzca un interés de12400 euros?

5. ¿Qué es preferible, comprar una casa que cuesta 120000 euros, y luego alquilarla por 6500 euros al año, oinvertir el importe de la casa al 5,5 %?

REPARTOS PROPORCIONALES

1. En una carrera se reparte 5.000 En partes inversamente proporcional a los tiempos empleados a los tresprimeros. Si los tiempos fuero de 50, 52 y 54 segundos, ¿qué premio corresponde a cada atleta?

64

2. Un padre reparte un premio de lotería de 9300 euros en proporción inversa a las edades de sus hijos, que son:6, 8, 12 y 18. Halla lo que le corresponde a cada hijo.

3. Un empresario reparte una paga de beneficios de 990 euros entre sus tres empleados de forma inversamenteproporcional a los días que faltaron al año. El empleado A faltó 3 días; el B 4 días, y el C, 6 días. ¿Cuánto lecorresponde a cada uno?

4. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero lacomponen 40 vacas, y la del segundo, 300 ovejas. ¿cuánto ha de pagar cada uno si cada vaca come como 10ovejas?

5. Dos leñadores aceptan cortar madera por 1500 euros. Uno, con tres ayudantes, trabajó 5 días; el otro, con 4ayudantes, trabajó 6 días. ¿Qué dinero debe recibir cada leñador?

PROBLEMAS PROPORCIONALIDAD VARIOS

1. Un recién nacido aumenta en el primer mes la cuarta parte de su peso y en el segundo mes gana las dos terceraspartes del aumento del primero. Al fin del segundo mes pesa 5 Kg y 100 g. ¿Cuánto pesó al nacer?

2. Se compra un coche de 36000 euros, pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumento del 18% enmensualidades durante 2 años. ¿Cuánto corresponde pagar cada mes?

3. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero lacomponen 40 vacas y la del segundo, 300 ovejas. ¿Cuánto ha de pagar cada uno si una vaca come como 10ovejas?

4. La producción de cebollas disminuye en un 15% y la de zanahorias aumenta en un 20%, en qué relación quedala producción?

5. Tres maestros albañiles realizan una obra. Uno con dos peones, trabajó 20 días; otro, con un peón, trabajó 30días y el tercero, con cuatro peones, trabajó 10 días. ¿Qué dinero debe recibir cada maestro albañil?

6. Una excursión tiene una relación chicos-chicas de 5 a 3. Se añaden 3 chicos más y la relación pasa a ser 2 a 1.¿Cuántas personas hay en la excursión?

7. Se reparte un número N, en partes inversamente proporcionales a 4, 5 y 9. La parte correspondiente a 4 es 900.¿Qué les corresponde a los otros dos números y qué número es N?

UNIDADES

1. Efectúa:

54 Km = Dm8000 cg = Hg0’53 cg = g342 Dl = l600 cm = hm567 ml = dl7’5 m x 10 = Dm9’78 x 100 Dg = Kg0’89 m x 2000 = Km1 / 4 Hl = l3 /4 Kg = g

65

2. Efectúa:

25 Hm= cm3 l = Dl2´5Dg = cm3

12 Kg = gr250 Dm = Km.4´5Hl = dl2600 m2 = Km2

2540 cm3 = m3

65,8Hm3= Kg(H2O)9600 cm = m50000 dm = Km36 Km. = m200 gr. Kg3 Hm = Kl0´005 Tm gr.36 Ha = m

2600 cm l500 gr. = Kg.300000 Hm m367’6004 Km = cm1 / 4 Kg = g0’0545 Km x 1000 = Hm90807’9 cm = Dm1 / 4 Kl = dl56 mg = g3’56 Hm2 = Km2

1 / 4 m2 = dm2

4’56 x 105 m2 = Km2

36090’8 cm2 = m2

0’00078 Km2 = dm2

4 x 106 mm2 = dm2

3. Pasar a complejo: 1456845’0009 dm2

4. Reduce a incomplejo de Hm2: 34 Km2 22 Dm2 6 m2

5. Efectúa la siguiente resta de números complejos: (pásalo 1º a incomplejo)65 km2 8 Dm2 15 m2 45 dm2 6 mm2 -44 Hm2 6 Dm2 6 m2 67 cm2 6 mm2

6. Efectúa650 m = Hm36000 dm3 = Dm3

0´0002 Tm = g650 Ha = Km2

1000000 m2 = Áreas3’6 l = Hl4’90 dm3 = mm3

600 Hm = dm0´0005 Hm3 = Hl600000 cl = m3

76500 Kg = Kl6700 Tm = Hm3

8000 cm3 = l

56 h = min80 Ha = Km2

6 Hm3 = Tm2 Kg/m3 = gr/cm3

3’2 m/sg = Km/h70 Hm2 = Ha500 dm3 = Hm3

0’06 Kg = gr70.000 Kl = m3

134 dm2 = Km2

300 Tm = Hm3

(de agua)

7. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)10000 m3 = Hm3

500 Hm2 = Areas300 Ha = Km2

600 m3 = Hl2 x 109 gr = Tm700 Hl = m3

2 x 104 dl = Hl0´008 Hl = g

66

8. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)0´005 Hm3 = Tm23’4 Tm = m3

0´785 Hg = Dl1.980 Kg = Dm3

127 m3 = Hl

9. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)200 m2 = mm2

0376 Hm3 = dm3

5.300 Ha = Km2

600.000 cm3 = m3

7 x 107 gr = Tm700 m2 = Km2

3 x 106 cg = Kg0´008 Hl = dl

10. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)0´03 Hm3 = Tm345 Kl = m3

0´785 g = cl2.345 Hg = Dm3

127 m3 = Hl

11. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)0’376 Hm3 = dm3

5.300 Ha = Km2

7 x 107 gr = Tm700 m2 = Km2

3 x 106 cg = Kg0´008 Hl = dl

12. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)

0´03 Hm3 = Tm345 Kl = m3

0´785 g = cl2.345 Hg = Dm3

67

ECUACIONES

1. Quitar paréntesis, quitar denominadores (Cuidado si hay fracciones con signo menos delante),transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita.

a) 3 (x–3) + 4 (x + 1) = 6x + 6

b) 2 (x–6) + 5 (x + 3) = 6 (x + 5)3

c) 6 (x + 4)–4 (x + 5) = x–6

d) 5 (x + 7)–3 (x + 6) = - x + 42 3

e) 3 (2x–6 ) + 4 (x + 5) = 3 (3x + 9)3 6 2

f) 3 (x + 2) + 2 (x + 1) = 4 (x +7)5

g) x + 1 + 2 ( x–2) = 2 ( x + 1)3

h) 3 ( x–1) + 2 (x–2) = 18x + 33 15 2

i) 5 (x + 2) + x–1 = 16x + 302 3 6

2. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 2x + 3 (x–1) = 6 (x–3) + 13b) x–4 (x–8) = 3 (x–5) + 5c) 5 (x + 9)–3 (x–7) = 11 (x + 2) - 10d) 4 (5–6x) = 2 (8x + 3) + 4e) 2 (3x–8) = (6x + 4)–15 · 2xf) 8 + [3 + 2x–(3x–9)] = 0g) [x–(4 + 2x)] - 2(4x + 3) = 1h) x + 2 _ x + 3 = x + 4 _ x–5

2 3 4 5i) 3–2x _ 4–5x = 7x–5

5 3 2

j)2

352

34

x

x

k) x +32

x = 3x–61

l) 231

)5(23 xx

m)5

)1(32

113

)2(2463

x

xx

n) )3(22)103(6 xxxx

o)6

62

52

34

xxx

p) 13

1154

22

xx

q) xxxx

21

21

43

54

r) 3221036 xxxx

s)18

4512

16

32

63

xxxx

t)221

32

126

1 xxx

68

3. La base de un rectángulo es 4 veces mayor que su altura. Si el perímetro de dicho rectánguloes igual a 40 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.

4. Pedro y Juan emplean 360 euros cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos porJuan, excede en 30 euros al de los comprados por Pedro, quien ha comprado dos libros másque Juan. Averiguar el precio de los libros adquiridos por Juan y por Pedro.

5. El doble de las horas transcurridas es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir.¿Qué hora es?

6. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentrode 2 años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora?

7. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edaddel padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen cada uno?

8. La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edadde los padres nos da 6 veces la edad del hijo más 2 años, mientras que si restamos a la edaddel padre la de la madre el resultado es la décima parte de la del hijo. ¿Qué edad tiene cadauno?

9. Se tiene 2 depósitos de agua. El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º,y el contenido del 1º más 20 l es igual al contenido del 2º. ¿Cuántos litros contiene cadadepósito?

10. Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compraron 55 m. Y cada una deellas gastó la misma cantidad. Si la primera hubiera comprado los metros que compró lasegunda, habría gastado 360 euros, y si la segunda hubiera comprado lo que compró laprimera, su gasto hubiera sido 250 euros, ¿Cuántos metros compró cada una y a qué precio?

11. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº deprofesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº dechicos. Si las chicas aumentaran en 3, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay decada uno de estos grupos?

12. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple númerode niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños quehay en la fiesta si el total es de 156 personas.

13. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de lasunidades. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24.

14. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de lasdecenas. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36.

15. Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1380 euros. Como algunos de ellos no tienendinero, cada uno de los restantes han pagado 23 euros más de las que le correspondían.¿Cuántos son los amigos que no tienen dinero?

16. Un almacenista compra 11 sillas a 350 euros cada una. Se estropean un cierto nº de ellas yvende las que le quedan aumentando por silla el precio de compra tantas veces 50 euros comosillas se han estropeado. De esta manera resulta que el almacenista no gana ni pierde. Hallarel nº de sillas estropeadas.

17. Un grupo de estudiantes organiza una excursión, para lo cual alquilan un autocar cuyo costetotal es de 540 euros. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los

69

anteriores pague 3 euros menos. Se pide: el nº de estudiantes que fueron a la excursión y quécantidad pagó cada uno.

18. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños quede hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si en total hay 156?

19. Las edades de 3 hermanos, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años, respectivamente. ¿Sabríasdecir los años de cada uno?

20. Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio yJuan, Carlos sería igual de alto que Juan. Hallar las estaturas de Carlos, Antonio y Juan,sabiendo que entre los tres miden 515 cm, y que la estatura de Antonio es de los 9/8 de la deCarlos.

21. Una factura de 760 euros se ha pagado con billetes de 50, 20 y 5 euros. El nº de billetes de 50euros es doble que el de los de los de 20 euros, y el de los de 5 euros son la sexta parte de losprimeros. ¿Cuántos son los billetes de cada clase?

22. Un comerciante compra por 1620 euros una partida de saquitos de café. Una segunda partidale cuesta la misma cantidad, pero cada saquito de éstos le cuesta 27 euros más, y la partidaconsta de dos saquitos menos. Calcular el precio de un saquito de la nueva partida.

23. Para distribuir un lote de objetos, se le da igual número de ellos a cada una de las 15 personaspresentes, pero llega una persona más y hay que dar a cada una un objeto menos, sobrandoahora 11 objetos. Calcular los objetos que corresponden a cada persona, y cuántos había en ellote.

24. Se han de encuadernar 5000 libros, de lo que se encarga una casa que lo hace a razón de 140diarios. A los dos días y medio, se encarga simultáneamente a otra casa que encuaderna 170libros cada día. ¿Al cabo de cuánto tiempo terminarán el trabajo y cuántos librosencuadernará cada uno?

25. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº deprofesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº dechicos. Si las chicas aumentaran en tres, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hayde cada uno de estos grupos?

GEOMETRÍA

1. En la feria del disco hay muchos puestos que exponen CD. La cara del estuche de un CD escuadrada y su lado mide 12 cm. Todas las mesas expositoras de CD tienen 3 m de largo por 1’2 m de ancho (cada una). ¿Cuantos CD caben en cada mesa?

2. Una finca tiene forma de trapecio. La base menor tiene 5 m, la base mayor es el doble de la menory su altura es 3 m. Si el m2 de la finca cuesta 130 euros. Calcula cuanto cuesta la finca.

3. Un ganadero tiene un prado cuadrado de 24 m de lado y le quiere poner tres filas de alambrealrededor. Cada metro de alambre cuesta 1’8 euros. ¿Cuánto le cuesta el alambre?

4. Un campo de fútbol mide de largo 105 m y de ancho 65 m. Queremos reponer el césped y cobran25 euros/m². ¿Cuánto tenemos que pagar?

5. Una apisonadora arrastra un cilindro de 2’5 m de largo y su radio mide 80 cm.a) ¿Qué área pisa un una vuelta?b) ¿Cuántas vueltas tiene que dar para pasar por un tramo de carretera de

200 m de largo por 10 de ancho?

70

6. Tenemos un terreno cuya forma es la misma que la de un trapecio rectangular. Sabemos que labase mayor mide 800 m, la menor es 500 m y el lado que forma el ángulo recto es de 500 m.Calcula el área del trapecio

7. El hilo de cobre de una bobina de 3’5 cm de radio tiene 50 vueltas. Si el metro de hilo cuesta 1’7 euros, ¿cuánto cuesta el hilo?

8. Una esfera de 10 cm de radio está introducida en un cilindro de igual diámetro que altura y en elque cabe exacta. Calcula el volumen del cilindro no ocupado por la esfera.

9. Tenemos una cartulina cuadrada de 20 cm de base por 30 cm de altura. Si la enrollamos yformamos un cilindro. ¿Qué volumen tendrá dicho cilindro? Si hacemos lo mismo pero tomandode base 30cm y de altura 20 cm. ¿Tendrá el mismo volumen?

10. Una piscina de 25 m de largo, 12 m de ancho y 2’5 m de profundidad se pretende llenar con unamanguera que deja caer 23 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse?

11. Ocho esferas iguales son empaquetadas, en un cubo de arista 10 cm de manera que cada esfera estangente a tres caras del cubo y a tres esferas. (Se hará el dibujo en clase)

a) Halla el volumen de las 8 esferasb) Halla el volumen del cubo donde se encuentran las 8 esferasc) Si abrimos una cara del cubo y llenamos el recipiente de agua. ¿Cuántos

litros podremos echar?

12. Para medir el volumen de una piedra procedemos del siguiente modo: en una vasija cilíndricaechamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel 22 mm.¿Cuál es el volumen de la piedra, sabiendo que la vasija tiene 15 cm de altura y 8’4 cm de diámetro exterior y 7’8 cm de diámetro interior? ¿Necesitas todas las dimensiones de la vasijapara calcular el volumen de la piedra?

13. Al introducir una piedra en el recipiente cilíndrico, de 20 cm de diámetro la altura del agua sube 5cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

14. Una mesa tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 1’2 m, y tiene una sola pata. La altura de la pata es de 90 cm su diámetro es de 14cm. La madera de la pata cuesta 35 euros y el metrocuadrado de la madera para construir la parte hexagonal, 54 euros. ¿Cuánto cuesta la madera parahacer la mesa?

15. Halla el volumen de cemento necesario para hacer una tubería de 1m de largo, con un diámetro de20 cm y cuyo grosor es de 2 cm.

16. La apotema de un triángulo equilátero mide 8 cm. Determina el perímetro y el área de dichotriángulo.

17. Hallar la altura de un triángulo equilátero, conociendo la longitud de lado L. Obténgase acontinuación la fórmula del área de dicho triángulo en función del lado.

18. Las bases de un trapecio miden 6 cm y 18 cm y los lados no paralelos 8 cm y 10 cm. Calcular elperímetro y el área del triángulo formado por la base menor del trapecio y las prolongaciones desus lados no paralelos.

19. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 m y uno de los catetos excede al otro en 40 cm.Hallar su área y la altura correspondiente al ángulo recto.

20. Calcular el perímetro y el área de un triángulo semejante a uno dado, cuyos lados miden,respectivamente, 4 m, 6 m y 8 m, sabiendo que la razón de semejanza del triángulo desconocidoal dado es 3/2.

71

21. Hallar el área de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de su base con su altura es 10 m.

22. Una finca de forma triangular tiene superficie de 4 Ha y un lado de 180 m, se desea dividir lafinca mediante una paralela a ese lado, de modo que el triángulo parcial que resulte tenga unasuperficie de 1 Ha y 69 áreas. Calcular la longitud de la paralela que ha de trazarse.

23. El área de un rectángulo es 108 cm² y la diagonal mide 15 cm. Calcular las longitudes de loslados del rectángulo

24. Calcular las diagonales de un rombo, sabiendo que su lado mide 5 cm y su área 24 cm².

25. Se compra una alfombra rectangular de dimensiones iguales a 2’5 m por 1’6 m, a razón de cierto valor por m². Pero como sobre el importe se obtiene un descuento del 10% no hay que pagar másque 16,5 euros. ¿Cuál era aquel valor del m²?

26. Un rombo cuya área es de 42 m², tiene como suma de sus diagonales 20 m. Hallar su perímetro.

27. La base mayor de un trapecio isósceles vale 46mm, la base menor, 30 mm y los otros lados 17mm cada uno. Hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértice los puntos medios de sus cuatrolados.

28. Un solar de forma rectangular tienen la diagonal de 26 m; la diferencia entre dos lados contiguoses 14 m. Se desea saber el valor del solar al precio de 95 euros el metro cuadrado.

29. La base mayor de un trapecio rectángulo es 5/3 de la base menor y el doble del lado oblicuo.Calcular los cuatro lados del trapecio, sabiendo que el área es 96 dm²

30. En un trapecio isósceles, la altura, el área y cada uno de los lados no paralelos mide,respectivamente, 4 cm, 68 cm² y 5 cm. Calcular las bases.

31. Se da una circunferencia y el cuadrado inscrito en él. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 4m. Calcular el área de la parte que queda entre la circunferencia y el cuadrado.

32. En un jardín de forma rectangular, cuyas dimensiones son 80 m y 90 m se construye un estanquerectangular cuyos lados miden 10 m y 15 m. La tierra extraída se esparce alrededor del estanque yel nivel del terreno se eleva así 3 cm. Hallar la profundidad del estanque.

33. La base de un prisma recto es un triángulo equilátero, y la razón de la arista lateral a la arista de labase es 15/8. Hallar las longitudes de las aristas y el área lateral del prisma, sabiendo que ladiagonal de una cara lateral mide 17 cm.

34. La base de un prisma de 10 m de altura, es un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusamide 6 m. Calcular su volumen.

35. Halar el volumen de un prisma hexagonal regular, sabiendo que su área lateral es 720 cm², y quela suma de su arista básica y arista lateral es 23 cm. Se sabe además que la arista es mayor que laarista básica.

36. Las dimensiones de un estanque rectangular son 18 y 20 metros respectivamente. Un tubo arrojaen dicho estanque agua a razón de 18 litros por segundo. ¿En cuánto tiempo el nivel del agua seelevará en 80 cm?

37. Una pirámide regular de base cuadrada tiene de superficie lateral un valor triple delcorrespondiente al área de la base. Sabiendo que el área total es 72 cm², se pide calcular suvolumen.

38. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 6cm y que su área es doble del área de la base.

72

39. El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular es de 64 dm, y el área de su superficie total,de 8 metros cuadrados. Calcular el volumen de esta pirámide.

40. El área lateral de una pirámide triangular es el doble del área de la base. Hallar la apotema de lapirámide, sabiendo que el lado de la base mide 4 cm.

41. En una pirámide regular de base cuadrada, la suma de la altura, de la apotema de la base y de laapotema de la pirámide, es 36 cm, siendo la apotema de la base igual a 3/5 de la de la pirámide.Calcular el área total de la pirámide si el lado de la base mide 12 cm.

42. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 4cm y que el área lateral es doble del área de la base.

43. ¿Cuánto vale la diagonal de un cubo cuya superficie total es de 10 m²?

44. El líquido contenido en una vasija cilíndrica de 8 cm de diámetro alcanza 18 cm de altura, se echaen otra vasija cilíndrica de 6 cm de diámetro. Calcular la altura que alcanzará este líquido en lasegunda vasija

45. Una vasija cilíndrica tiene de superficie total 392’5 cm². Calcular su capacidad sabiendo que su generatriz es igual al diámetro. La vasija es sin tapa.

46. En un cono de revolución la altura mide los 15/17 del lado, y sumando 1/5 de la altura con lamitad del radio da 14 cm. Calcular el radio, el lado y el área de la superficie total.

47. Determinar el radio de la base de un cono, cuya generatriz es de 50 cm, sabiendo que susuperficie total es equivalente a la de un cilindro de 1 dm de altura y 0’6 m de diámetro.

48. Un cono cuya generatriz es igual a 5 cm, tiene por área lateral 4710 mm². Hallar el ángulo delsector circular que resulta al desarrollarlo.

49. El área de un cubo es 24 cm². Calcular el área de la superficie esférica circunscrita.50. Conociendo el área de una superficie esférica, que es 1256 m², obtener el volumen de la esfera.

POTENCIAS

1. En este apartado tienes que corregir los fallos, explicando cual es el error

a)

35 2

= (-3)-7 -4 = 22 (32 + 5)6 = 312 x 56

b)

53 3

= 59 (23x32x34)3= (23x38)3= 29x324

c) (63)3 x52 = 3018 = 1 = 1012

100003

d) 1 = 10-4 0´000001-5 = 1 0´00001 = 10-4

0’0001 1030

2. Expresa como potencias de 10.

a) 1000000= b) 0´00001= c)1

1000= d)

10 000001

=

e)1

100000000= f) 5000000000= g)

2500000000

= h) 0´0001=

73

i) 0´00000005= j)1

0 0000005= k)

15300000000

= l)1

0 1=

3. Efectúa las siguientes operaciones y elige la respuesta correcta:

a) 32 x 5 x 35 x 56 a) 1514 b) 310 x 56 c) 37 x 56 d) Ninguna

b) 38

45

3223

xx

= a) 35 x 24 b) 32 x 24 c) 4

2

23

d)

Ninguna

c) 54 53 x a) 1520 b) 320 x 5 c) 39 x 55 d) 320 x 55

4. Expresa en forma de potencia y opera en base 10:

a. 0´001 x 10.000 = a) 106 b) 102 c) 10b. 100.000 x 10.000 = a) 1011 b) 109 c) 10c. 0´000001 x 0´00001 = a) 10 - 9 b) 10 - 11 c) 1011

d. 1 / 0´00001 x 10.000 x 10 –7 = a) 102 b) 10 -8 c)Ninguna

e. (1 / 1.000) x (0´000001) x (1 / 0´0001) = a) 10-5 b) 101 c)Ninguna

5. Indica la respuesta correcta después de efectuar

a. (5 x 3)5 = a) 85 b) 15 x 5 = 75 c) 53 x 3 d) 5 x 33 d)Ninguna

b. (7 x 3 x 21)3 = a) 2115 b) 66 x 36 c) 75x 35 d)Ninguna

c. (7 / 21)4 = a) 1 / 34 b) 74 / 21 c) 34 d)Ninguna

d. (5 / 2) –5 = a) 25 / 55 b) 55 / 25 c) 1 d) 52 / 2e. - (- 3)4 x 33 x–3-6 a) No se puede b) 313 c)–3 d) 3 e) -

313

f. 53 x 52 x 5 –3 = a) -52 b) 52 c) 5-18

g. 254 / 510 = a) No se puede b) 1 / 5-2 c) 5-2

h. 0352

= a) 215 b) 22 c) 2-15 d) 1

i. 2222 = a) 28 b) 2-6 c) -28 d) 2-8

6. Ejercicios para resolver

a)25

25

7 3

4

x =

3

83

8

5 4

x =

b)

29

29

29

2 4 5

x x =1

1053

3 3

x =

74

c)

243

2 158

32

59

xx

24

310

59

425

2 6

x x x =

d)

13

2 6

=

25

7 3

=

e)

23

56

4 3

x =

38

38

4 3 3

: =

f)

3 4 9 6 8

12 2 4 2 3 3

2 3 2 3 6 4

2 2 3 2 3

x x x x

x x x x x=

2

33

2

4 3

x =

g)83

83

38

2 3 3 9

x x =

32

32

2 1

x =

h)53

53

2 4

: =

32

13

256

495

2

3 22

5

3

x x x x

i)

8154

15

4

= 4 2 3 0

=

j)

14

1 4

=45

4 212

=

k)14

14

14

2 4 3 2 2 0

x x =

49

1681

49

23

5 2

3 4

:

:=

75

ECUACIONES DE 2º GRADO

1. Indica el valor de los coeficientes a, b y c en las siguientes ecuaciones:a) 2x2 + 3x–5 = 0 b) –3x2–x +1 = 0c) 3x2–4 = 0 d) 3x2–4x = 6e) x2–x = 0 f) x2 = xg) 4x–3 = x2 h) x2 = -1

2. Escribe la ecuación de 2º grado que corresponde a este problema: “El área de un rectángulo mide 32 cm2. La altura de dicho rectángulo es la mitad de la base.”

3. Sin resolver estas ecuaciones, distribúyelas en tres conjuntos:A. Las que tienen dos soluciones distintas.B. Las que tienen dos soluciones iguales.C. Las que no tienen solución.

a) 3x2–7x + 2 = 0 d) 3x2 + 5x–2 = 0 g) 5x2–7x + 8 = 0b) x2–2x + 3 = 0 e) 4x2–4x + 1 = 0 h) x2 + x + 1 = 0c) 4x2–12 + 9 = 0 f) 4x2–5x + 3 = 0 j) 36x2 + 12x + 1 = 0

4. Ejercicios para resolver:a) 16x2 + 24x–7 = 0b) 6x2–x–2 = 0c) 4x2 + 20x + 23 = 0d) x2–2x + 1 = 0e) 4x2 + 20x + 16 = 0f) 3x2–2x + 1 = 0g) 4x2 + 20x + 9 = 0h) x2 + 3x + 2 = 0i) 2x2 + x–1 = 0j) x2 + 4x + 2 = 0k) 6x2 + 5x + 1 = 0l) 4x2–7x–2 = 0m) x2–5x + 6 = 0n) x2–7x–2 = 0o) x2–8x + 12 = 0

5. Resolver las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas1. x2 - 4 = 02. x2 - 36 = 03. 2x2 - 72 = 04. -2x2 + 6 = 05. 3x2 - 12 = 06. 3x2 - 27 = 07. 4x2 - 1 = 08. 4x2 - 16 = 09. 4x2 - 100 = 0

10. x2 - 16x = 011. x2 - 64x = 012. -x2 + x = 013. 2x2 + 4x = 014. 3x2 - 2x = 015. 3x2 - 30x = 016. 3x2 + 27x = 017. 3x2 + x = 0

6. El perímetro de un triángulo rectángulo es 14 cm y la hipotenusa es 10 cm. ¿Cuál es la longitud de suscatetos?

7. La suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos positivos es igual a 200. Averiguacuáles son esos números.

8. ¿En cuanto ha de ampliarse un cuadrado de 5 cm de lado para que el área del nuevo cuadrado sea 64cm2?

76

9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. La diferencia entre las longitudes de loscatetos es 7 cm. ¿Cuántos cm mide cada cateto?

10. Los hindúes en el siglo V conocían la solución de la ecuación de 2º grado y ya tenían este“rompecabezas” que quiero que tu resuelvas:

“Regocíjanse los monos divididos en dos bandos.Su octava parte al cuadradoEn el bosque se solaza.Con alegres gritos, doceatronando el campo están.¿Sabes cuantos monos hayen la manada, en total?”

11. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 1 cm más que el menor y la hipotenusa mide 1 cmmenos que el doble del cateto menor. Calcula el perímetro del triángulo.

12. Un jardín cuadrado tiene otro cuadrado interior plantado de césped de forma que los vértices delinterior coinciden con los puntos medios de los lados del jardín. Si el cuadrado sembrado tiene unárea de 8m2, calcula la longitud del lado del jardín.

13. Encuentra dos números racionales sabiendo que su diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es2.245.

14. En el salón de un colegio, el número de asientos en cada fila es 5 más que el número de filas. Si hay300 asientos. ¿Cuántas filas de asientos hay?

15. Dos móviles salen al encuentro uno del otro desde diferentes pueblos que distan entre sí 500km. Elprimero va a 40 km./h. , y el segundo, a 60 Km./h. ¿A qué distancia de cada punto de partida seencontrarán?

SISTEMAS DE ECUACIONES

RESOLVER POR LOS TRES MÉTODOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

1.

594232

yxyx

14245

yxyx

2.

121016352

yxyx

4241832

yxyx

3.

2076

1494yx

yx

232723

yxyx

4.

02354

yxyx

12422223

yxyx

77

5.

224

032yx

yx

732

543yx

yx

6.

3023

2

2123

yx

yx

7. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora?

8. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad delpadre era triple de la del hijo ¿Cuántos años tienen cada uno?

9. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4.280. Si disminuimos en 70 el nºde cerdos, el nº de gallinas será el triple que estos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay?

10. La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edad de lospadres nos da 6 veces la edad del hijo mas 2 años , mientras que si restamos a la edad del padre la dela madre el resultado es la décima parte de la del hijo .¿ Que edad tiene cada uno ?

11. En un aparcamiento hay coches y motos. En la 1ª planta hay 78 vehículos, y en la 2ª hay 64. ¿Cuántosvehículos de 4 ruedas hay en cada planta, si en la 1ª hay 40 ruedas más que en la 2ª y en total son 504ruedas?

12. Dos ciclistas parten de dos ciudades separadas por 256 Km. Si los dos ciclistas circulan en elmismo sentido tardan en encontrarse 16 h. , pero si circulan en sentidos opuestos tardan tan sólo 4h. ¿Que velocidad lleva cada uno de ellos ?

13. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. Usan gafas el 16 % de los chicos y el 20 % delas chicas. Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en laclase?

14. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3de la de Pedro. ¿Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro?

15. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos a un precio de 12 euros, y un nº deartículos B a 9 euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7artículos entre A y B. ¿Cuántos vendió de cada clase?

16. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace tres años la edad del padre era triple que ladel hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?

17. La edad de Pedro era doble que la de Luis hace un año. Cuando pasen 9 años la edad de Pedro será4/3 de la edad de Luis. ¿Qué edad tiene actual mente cada uno?

18. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo. Pero hace 6 años la edad del padre erasiete veces mayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos?

19. Se tiene dos depósitos de agua. El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º, yel contenido del 1º mas 20 litros es igual al contenido del 2º. ¿Cuántos litros contiene cadadepósito?

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20. Con una representación teatral se recaudan 385,13 euros. y asisten 704 personas entre hombres,mujeres y niños. Si el doble de personas mayores es menor en 20 unidades al quíntuplo de losniños y si las mujeres fueran la mitad, estarían el doble que los hombres. ¿ Cuantos hombres ,mujeres y niños asistieron ?.

21. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesoresse le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicasaumentaran en tres, su nº sería el doble que el de chicos . ¿Cuántos hay de cada uno de estosgrupos?

22. La suma de dos nº con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor.¿Cuáles son dichos nº?

23. Halla cual es el nº de dos cifras si sabemos que la suma de sus dos cifras resulta otro nº que esigual a 26 más dos veces el primer Nº.

24. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades.Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24.

25. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades menos su cifra de las decenas esigual a 3. Si se invierte el orden de sus cifras resulta otro nº que es igual a 2 más dos veces elprimer nº

26. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de lasdecenas. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36.

27. Busca una fracción equivalente a 2/3, tal que los 5/9 del denominador excedan en dos unidades alos 3 / 4 del numerador.

28. Una persona compró 2 Kg. de naranjas y 3 Kg. de limones por 3’25 Euros. Otra persona compró en la misma tienda 3 Kg. de naranjas y 2Kg. de limones por 3’07 euros. ¿Cuál es el precio de las naranjas y de los limones?

Cuadernillo Matematicas 4º Eso

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