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  • Gobierno del Estado de Mxico Secretara de Educacin, Cultura y Bienestar Social Subsecretara de Educacin Media Superior y Superior

    Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico

    Organismo Pblico Descentralizado del Gobierno del Estado de Mxico

    CUADERNILLO DE EJERCICIOS MATEMTICAS PARA COMPUTADORA

    (PRIMER SEMESTRE) INGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

    Elaboro: Lic. Telsforo Zamorano Soriano

    Enero de 2010.

  • 2

    NDICE

    NDICE .............................................................................................. 2

    UNIDAD 1.- Lgica Matemtica ...................................................... 3

    UNIDAD 2.- Relaciones. ................................................................. 14

    UNIDAD 3.- Teora de Grafos. ....................................................... 16

    UNIDAD 4.- Sistemas numricos. .................................................. 21

    PRCTICAS .................................................................................... 27

  • 3

    UNIDAD 1.- Lgica Matemtica

    Objetivo: El estudiante conocer los conceptos bsicos de la lgica matemtica, el anlisis de proposiciones y su aplicacin en el mbito computacional. Ejemplos: Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lgicas, proposiciones abiertas o expresiones indeterminadas.

    i) Mxico est en Amrica Proposicin Lgica ii) 1 < 2 Proposicin Lgica iii) Hoy es lunes Proposicin Abierta iv) x + 3 = 5 Proposicin Abierta v) Ecosistemas Proposicin Indeterminada vi) Buenos das Proposicin Indeterminada vii) El 3 de abril de 1970 fue domingo Proposicin Lgica viii) Los cocodrilos pueden volar Proposicin Lgica ix) Las matemticas son agradables Proposicin Abierta x) Esta expresin es falsa Proposicin Indeterminada

    Ejercicio: Clasifique las siguientes expresiones del idioma en proposiciones lgicas, proposiciones abiertas o expresiones indeterminadas.

    1. Coln descubri Amrica en mircoles 2. 2 + 2 = 5 3. Esprame un momento 4. Estudien mucho 5. x + 1 < 4 6. Estoy mintiendo 7. Todos los pericos son verdes 8. La mesa es de color rojo 9. Un ngulo recto mide 90 grados 10. 2 + x2 = 8 3x Ejemplo. Encuentre la negacin de las expresiones siguientes:

    Proposicin Negacin

    i) Jpiter es un planeta i) Jpiter no es un planeta

    ii) El pizarrn es verde ii) El pizarrn no es verde

    iii) El nmero real x es negativo iii) El nmero real x no es negativo o tambin El nmero real x es positivo cero

    iv) Algn elefante es de color rosa iv) Ningn elefante es de color rosa

  • 4

    v) Ningn pez respira fuera del agua v) Algn pez respira fuera del agua

    vi) Todos los leones son feroces vi) Algn len no es feroz

    Ejercicio: Niegue las expresiones siguientes. 11. Algunos peces pueden nadar 12. El agua es transparente 13. Mxico est en Amrica 14. La mesa es azul 15. Todos los das hace calor 16. Ningn oso polar tiene fro 17. Algn sabio no toma caf Ejemplo. Represente las siguientes expresiones del espaol utilizando operadores lgicos. i) Si voy al teatro me quedo estudiando en la biblioteca no llegar temprano a casa. ii) Hoy llegar temprano a casa si compro un libro estudiar ingls. iii) Si resuelvo el problema entonces ir al juego de bsquetbol o compro un libro. Solucin: Sean p: voy al teatro q: me quedo estudiando en la biblioteca r: llegar temprano a casa s: compro un libro t: estudio ingls u: resuelvo el problema w: ir al juego de bsquetbol las expresiones en forma simblica quedan: i) (p v q) r ii) r v (s t) iii) u (w v s) 1

    Escriba las siguientes expresiones en forma simblica

    18. Un nmero distinto de cero es positivo o negativo

    1 Nota: Cabe aclarar que en espaol hay expresiones que pueden tener varias interpretaciones, el ltimo ejemplo podra interpretarse tambin como (uw) v s. Las frmulas bien formadas son lo que en ingls le llamamos Well Form Formula y se abrevia: wff.

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    19. Si no llueve iremos de da de campo 20. Se pueden estacionar alumnos y maestros 21. Si encuentra un producto mejor, cmprelo 22. El no es rico ni feliz 23. Ser pobre es ser feliz 24. Hay que saber matemticas para ser feliz 25. Hoy es lunes o maana ser sbado Ejemplo. Si tenemos las siguientes proposiciones p: Hoy estudiar matemticas q: Hoy ir al juego de bsquetbol r: Maana ir al cine s: Maana tendr sesin extra de problemas Entonces podemos formar las proposiciones compuestas p ^ q: Hoy estudiar matemticas e ir al juego de bsquetbol q v r: Hoy ir al juego de bsquetbol maana ir al cine (p ^ q) r: Si hoy estudio matemticas y no voy al juego de bsquetbol entonces maana ir al cine q ^ r: Hoy no ir al juego de bsquetbol ni maana al cine Escriba con palabras las siguientes expresiones simblicas 26. p v q p: llueve q: hay nubes 27. p (q v r) p: mi carro falla q: me ir en taxi r: me ir en camin 28. (p ^ q) r p: comprar un cuaderno q: comprar un libro r: el maestro dicta la leccin 29. (p v q) r p: encuentro un cuaderno azul q: encuentro un cuaderno rojo r: compro un cuaderno 30. ( p ^ q ) (r v s) p: paso el examen q: me dejan tarea r: voy al cine s: voy de paseo Ejemplo. Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lgicas:

    i) (p q) v ( p v r)

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    1 2 3 4 5 6 7 8 p q r q p p q p v r (p q) v ( p v r) V V V F F F V V V V F F F F F F V F V V F V V V V F F V F V F V F V V F V V V V F V F F V V V V F F V V V V V V F F F V V V V V

    ii) p (q ^ r)

    1 2 3 4 5 P q r q v r p (q v r) V V V V V V V F V F V F V V V V F F V F F V V V V F V F V V F F V F V F F F F V

    iii) (p r) (q v p) 1 2 3 4 5 6 7 P q R r p r q v r (p r) (q v r) V V V F F V F V V F V V V V V F V F F V F V F F V V F V F V V F V V V F V F V V V V F F V F V V F

  • 7

    F F F V V F F

    iv) (p ^ q) r

    1 2 3 4 5 6 7 8 P q r q p ^ q (p ^ q) r (p ^ q) r V V V F F V F F V V F F F V V V V F V V V F F V V F F V V F V V F V V F F V F F F V F F F V V V F F V V F V F F F F F V F V V V

    v) (p ^ q) (q v r)

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 P q r r p q v r p ^ q (q v r) ( p ^ q) (q v r) V V V F F V F F V V V F V F V F F V V F V F F F F V V V F F V F F F V V F V V F V V V F F F V F V V V V F F F F V F V V F F V F F F V V V F F V

    Construya una tabla de verdad para cada una de las siguientes expresiones

    31. p v q v r 32. (p ^ q) p 33. (p v q) (p r) 34. ( p ^ q) (r v q) 35. ((p q) ^ p) q 36. (p v r) (q p) 37. (p ^(q r)) (p v r)

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    Ejemplo: Las dos frmulas siguientes son equivalentes: (p q) ^ ( p v r) p v q v r p Q r q p p q p v r (p q) ^ ( p v r) p v q p v q v r V V V F F F V V F V V V F F F F F F F F V F V V F V V V V V V F F V F V F V V V F V V F V V V V V V F V F F V V V V V V F F V V V V V V V V F F F V V V V V V V

    donde se puede observar que la ltima y la antepenltima columnas son iguales. Ejemplo. La expresin p q es equivalente a p v q pues

    P q p q p p v q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

    Diga si las dos frmulas dadas son equivalentes

    38. p (q v r) q v (p r)

    39. p p 40. p q p v q 41. p q q p 42. (p q) p ^ q 43. (p ^ q) p v q 44. (p v q) p ^ q 45. p v (q r) p v q v r 46. p (q v r) p v q v r 47. (p ^ q) r) p v q v r 48. (p q) v (q r) (p ^ r) v q 49. (p r) v (q p) p ^ q v r

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    Equivalencias Lgicas Y Utilizaciones Ejemplo. La expresin (p ^ q) (p v r) es una tautologa

    P q r r p ^ q p v r (p ^ q) (p v r) V V V F V V V V V F V V V V V F V F F V V V F F V F V V F V V F F F V F V F V F V V F F V F F F V F F F V F V V

    Vemos que la ltima columna tiene nicamente V por que se comprueba que es una tautologa. Compruebe que las siguientes frmulas son tautologas 1.9 Tautologias y Contradicciones

    50. ((p q) ^ p) q 51. p v p 52. p p 53. (p ^ (q v p)) q 54. ((p q) ^ q) p 55. (p ^ (p q) ^ (q v r)) r 56. ((p q) ^ (q r)) (p r) 57. Defina los trminos: Tautologa, falacia, equivalencia y argumento vlido.

    Compruebe los siguientes argumentos en forma directa 58. p, p r r 59. q, r q r 60. t, w v t w 61. p q, t q, t v r, p r 62. p, p w, r w r 63. s v t, , t q q 64. q v t, t v w, q w 65. p, p q, r q, r t t 66. t, t v s, s p, q p q

  • 10

    67. p v q, r p, r q 68. s p, t v s, t w, p w 69. p q,s v t, p v s q v t 70. p (q v r), p, q r 71. t, q ( p v t), q r, r p

    Corregir del 71 al 73

    72. p ^ s, p v t, w s t ^ w 73. p v q, q r, s r, p s 74. r ^ t, (w ^ s) t, w r s Compruebe la validez de los siguientes argumentos utilizando una tabla en forma directa abreviada

    75. p (q v r), p, q r 76. w, r (w v s), r s 77. p, q, q (p v r) r 78. (s ^ t) p, p, t s 79. (q ^ r) t, t, q r

    Convierta los siguientes argumentos a frmulas lgicas y despus demuestre aplique reglas de inferencia

    80. Un maestro dice: Si estudian aprobarn el examen. Y sabemos que Juan aprob el examen, qu podemos concluir?

    81. Armando dice: Si no llueve y hace calor el domingo ir a la playa. Supongamos que no fue a la playa y no llovi. Cul es la conclusin?

    82. Fernando dice: Si el libro cuesta menos de 200 pesos o tiene ms de 50 pginas lo comprar. Si el libro no costaba ms de 200 pesos y no lo compr, Cul es la conclusin?

    83. Si no hay clase de Ingls ir al cine o de compras. Si sabemos que no hubo clase de Ingls y no se fue de compras, Qu podemos concluir?

    84. Pedro dice: Si hoy en la noche estudio nos veremos en la fiesta. Si lo vemos en la fiesta, qu podemos concluir?

    85. Describa el algoritmo para realizar una demostracin por induccin en una igualdad que involucre enteros y donde la parte izquierda es una suma.

    Ejemplo. Demostrar por Induccin Matemtica que:

    F(n):

  • 11

    Consideremos el conjunto S de los enteros para los cuales la propiedad es cierta.

    [B] Si n=1; tenemos:

    entonces 1 est en S o sea que se cumple el caso base.

    [M] Debemos de llegar a que para n=k+1 tambin se cumple:

    [I] Induccin o [H] Suponemos que cumple para n=k;

    [H M] Sumamos (k+1) de los dos lados de la igualdad

    Por lo tanto, podemos concluir que la formula (1) es valida para todos los enteros positivos Para realizar el Paso de Induccin se debe de partir del caso n=k y llegar mediante pasos vlidos al caso n=k+1. En el ejemplo anterior para llegar a n=k+1 partiendo de n=k al lado izquierdo slo le faltaba k+1 por lo que la estrategia fue sumar k+1 en ambos lados de la igualdad. Ejemplo. Demostrar por Induccin Matemtica que:

    Es la letra griega sigma mayscula y en matemticas significa suma

  • 12

    [B] Si n=1; tenemos:

    entonces 1 est en S o sea que se cumple el caso base.

    [M] Debemos de llegar a que para n=k+1 tambin se cumpla:

    [I] Induccin o [H] Suponemos que cumple para n=k;

    [HM] Sumando (6(k+1)2) a ambos lados

    Por lo tanto, podemos concluir que la formula (2) es valida para cualquiera que sea el valor de n Demuestre por induccin matemtica

    86. 87. 88. 89. 90. 91. 92.

    93. Ejemplo. La demostracin del siguiente teorema por el mtodo de contradiccin es como se indica [ p (q ^ r) ] ^ [ (q v s) t ] ^ (p v s) t Demostracin 1.- p (q ^ r) Premisa en la Hiptesis 2.- (q v s) t Premisa en la Hiptesis 3.- p v s Premisa en la Hiptesis 4.- t Premisa Adicional, Negacin de la conclusin

  • 13

    5.- (q v s) MTT(2,4), regla 25 6.- q ^ s Ley de De Morgan(5), 6 7.- q LS(6), regla 20 8.- s LS(6), regla 20 9.- p SD(3,8), regla 21 10.- q ^ r MPP(1,9), regla 24 11.- q 12; LS, regla 29 12.- q ^ q Conjuncin(7,11), regla 23 13.- Contradiccin. Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negacin de la conclusin. Demuestre por contradiccin los siguientes teoremas

    94. Dos ngulos opuestos por el vrtice son iguales. 95. La suma de los ngulos interiores de todo tringulo es igual a 180.

  • 14

    UNIDAD 2.- Relaciones.

    Objetivo: Conocer y aplicara el conocimiento de los elementos de conjunto y la relacin comn entre ellos. Ejemplo. Determina el producto cartesiano de A= { 1, 2, 5}, B = { 2, 3} Solucin: A x B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3)} Ejemplo. Determine el dominio, rango e inversa en cada caso Si A = {a,b,c,x,y,z}, B = {1,2,3,4,5}

    = {(a,2),(c,2),(x,1),(y,5),(z,5)} = {(a,1),(a,5),(c,3),(x,2),(x,4)} = {(a,4),(b,2),(c,5),(x,1)} = {(a,3),((b,1),(b,5),(c,3),((c,5),(x,1),(y,4)}

    Solucin: = {a,c,x,y,z}

    = {1,2,5} = {a,c,x}

    = {1,2,3,4,5} = {a,b,c,x} = {1,2,4,5} = {a,c,x,y} = {1,3,4,5}

    = {(2,a),(2,c),(1,x),(5,y),(5,z)} = {(1,a),(5,a),(3,c),(2,x),(4,x)} = {(4,a),(2,b),(5,c),(1,x)} = {(3,a),(1,b),(5,b),(3,c),(5,c),(1,x),(4,y)}

    Ejemplo analiza las relaciones siguientes e indica cual es Reflexiva, Antirreflexiva, Simetrica, Antisimetrica y Transitiva, : A = {a,b,c,d,e}

    {(a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d)} {(a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e))} {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a))} {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),(d,a),(e,e)}

    {(a,c),(a,e),(e,c),(b,c)} {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a)} {(a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))}

  • 15

    Solucin:

    Reflexiva NO NO SI NO NO SI NO Antirreflexiva NO NO NO NO SI NO NO Simtrica NO NO NO NO NO SI NO Antisimtrica NO NO SI NO SI NO NO Transitiva NO NO SI SI SI SI NO

    Ejemplo. Considere el conjunto A de los divisores positivos de 40 y definimos una relacin R en A como x est relacionado con y si x divide a y; o lo que es lo mismo si y es un mltiplo de x., con A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. Entonces (2,8) est en la relacin pues 2 divide a 8, pero (4,10) no est pues 4 no divide a 10. La relacin es reflexiva, pues todo nmero es divisible por s mimo no es simtrica, pues 2 divide a 8, pero 8 no divide a 2 es antisimtrica, pues si x divide a y, siendo x distinto de y no podemos tener que y divida a x. Finalmente, vemos que es transitiva, pues si se cumple que x divide y, y y divide z entonces y/x , z/x son enteros, pero esto implica que z/x es entero, pues el producto de dos enteros es entero, por lo que obtenemos que x divide a z. Por lo tanto la relacin es una relacin de orden. Ejemplo. Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} de todos los divisores de 60. Este conjunto est ordenado parcialmente por la relacin de divisibilidad. El diagrama quedara:

  • 16

    UNIDAD 3.- Teora de Grafos.

    Objetivo: Aplicar el modelado en la representacin de estructuras de grafos. 96. Diga porque los siguientes grafos son isomorfos:

    En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.

    97. Diga porque los siguientes grafos son isomorfos.

    Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.

  • 17

    98. Diga y explique si es posible trazar ciclos y caminos de Eules en el grafo anterior del dodecaedro.

    99. Diga y explique si es posible trazar un camino de Hamilton en el grafo del dodecaedro.

    100. Escribe cinco conjuntos por extensin y cinco conjuntos por comprensin. 101. Dados los siguientes conjuntos A = {a,e,i, 6, 8, 9} B = {a, i, o, 1, 2, 3} C = {a, e,

    u, 0, 6, 7} D = {a, i, 3, 5, 6 , 7}, Siendo el Universo todas las vocales y todos los digitos. Determine las siguientes operaciones, escribiendo explcitamente los elementos del conjunto resultante:

    a) A U B b) A E c) (D U B) ( C A) d) (B C ) U ( D A) e) A B C f) (A D ) U ( A B) g) Ac h) ( A U D) C i) (B C) C U D j) ( D A) U C k) A x B l) B x A

    102. Considere el CONJUNTO de todos los divisores del 30. A={1,2,3,5,6,10,15,30}, R = D 30 la relacin divide a. Represente el diagrama de Hasse.

    103. Realice los diagramas de Hasse para los mltiplos de 4 menores de 40 y todos los divisores de 80.

    104. Anote el nombre de todos los tipos de relaciones que existen en una funcin y

    escriba un ejemplo de cada una de ellas. (Por ejemplo uno a uno).

    105. Represente los conjuntos V y A de los siguientes grafos.

    a) b)

  • 18

    106. Determine todos los ciclos del siguiente grafo:

    107. Realiza un isomorfismo de los siguientes grafos de tal forma que no se crucen las aristas.

    108. Determina un ciclo y un camino Hamiltoniano

  • 19

    109. Diga si es posible construir un ciclo euleriano en la figura anterior.

    110. Diga si es posible construir un ciclo euleriano en la figura anterior y porque.

    111. Diga que es un cdigo de Huffman.

    112. Determine un cdigo de Huffman para la siguiente tabla. A 6 B 8 C -- 12 F 15 E 9

    113. Construya los cdigos de Huffman para las siguientes tablas. SIMBOLO FRECUENCIA

    A 2 B 4 C 6 D 8 E 10 F 12 O 15

    114. Resuelva los siguientes juegos de locura instantnea.

    SIMBOLO FRECUENCIA E 22 U 15 A 16 D 6 B 11 N 8 M 5

    2

    1

    1

    1 2

    2 3

    3

    3

    4

    4

    4

    B

    A

    V

    R

  • 20

    1

    1

    1 2

    2 3

    3

    3

    4

    4

    4

    B

    A

    V

    R

    2

  • 21

    UNIDAD 4.- Sistemas numricos.

    Objetivo: Conocer los conceptos y aplicaciones bsicas de los sistemas numricos y el lgebra booleana. Ejemplo: Convertir a binario 49

    49 1 24 0 12 0 6 0 3 1 1 1 0

    Por lo tanto 49= 1100012 Ejemplo. Convertir 123 a binario:

    123 1 61 1 30 0 15 1 7 1 3 1 1 1 0

    Por lo tanto 123= 11110112 Convertir de decimal a octal. Ejemplo: Converti 381 a base 8.

    381 5 47 7 5 5 0

    Por lo tanto 381= 5758 Ejemplo: Convertir de Decimal a Hexadecimal el 4325. Similarmente para convertir un nmero en base 10, a base 16 dividimos entre 16 aplicando el algoritmo que se utiliz en

  • 22

    base 2 y en base 8, en este caso si el residuo es mayor de 9 se utilizan las letras A, B, C, D, E y F.

    4325 5 270 E 16 0 1 1 0

    Por lo tanto 4325= 10E516 Ejemplo: Binario Octal Hexadecimal Ya vimos que para cambiar de bases que no sean la decimal, podemos utilizar los algoritmos vistos y cambiar primero a base 10 y despus a la otra base. Sin embargo cuando las bases involucradas son una potencia de dos, podemos hacerlo directamente usando las siguientes tablas y los algoritmos son muy simples y directos.

    Octal Binario 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

  • 23

    Utilizando las tablas las conversiones son directas. Ejemplo: Convertir a base 2. Convertimos cada una las cifras con la tabla y concatenamos las respuestas. Resultado Ejemplo: Convertir a base 2. Convertimos cada una las cifras con la tabla y concatenamos las respuestas. Resultado Si deseamos convertir de base 2 o Octal o hexadecimal el proceso es inverso, separando en ternas para Octal y cuartetos en Hexadecimal, de derecha a izquierda. Ejemplo: Convertir a base 16. Separamos en cuartetos de derecha a izquierda

    completamos con ceros el primero convertimos utilizando la tabla y concatenamos las respuestas. Resultado Ejemplo: Convertir a base 8. Separamos en ternas

    completamos con ceros convertimos utilizandola tabla y concatenamos las respuestas. Resultado

    Hexadecimal Binaio 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

  • 24

    Si queremos convertir entre las bases 8 y 16, podemos aplicar el mismo proceso pasando primeramente por base 2. Ejemplo: Convertir a base 8 Convertimos cada una las cifras con la tabla hexadecimal y concatenamos las respuestas

    despus separamos en ternas de derecha a izquierda

    el primero se elimina porque es cero convertimos utilizando la tabla octal y concatenamos las respuestas. Resultado

    115. Ejercicios: Realice las siguientes conversiones Decimal Binario Octal Hexadecimal 23 54 0101110 111001 654 46 A5D 345E

    116. Realice las siguientes operaciones 110011 + 1010 = 10110 x 111 = 1011 + 1111= 111001 x 11010= 3458 + 7458 = 2478 x 5438= 3428 + 2358 = 4568 x 5678 = A23E + B4C = 23D4 x 64EF = AE5 + 259= 2DE3 x FCD = Aritmtica modular. Ejemplo, en Z12 slo 1, 5, 7 y 11 son primos relativos al mdulo 12, por lo tanto slo [1], [5], [7] y [11] son los enteros que tienen inverso en aritmtica mdulo 12. Si queremos, por ejemplo, hallar el inverso del [5], tenemos que mediante Euclides: 12= 5.2 + 2 5= 2.2 + 1 2= 1.2 Luego recorriendo el camino inverso: 1= 5 - 2.2 = 5 - 2(12 - 5.2)= 5 - (2.12 - 5.4)= 5.5 -2.12 [5] es el inverso mdulo 12 de [5].

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    As pues en Z11 escribiremos 7 + 5 = 1 en lugar de [7] + [5] = [1]. Tambin con la expresin 7 + 5 = 1 estaremos indicando que 7 + 5 1 (mod 11). Adems hay un mtodo que nos permite ahorrar pasos de clculo. La forma ms obvia para calcular por ejemplo, 1226 (mod 23) es multiplicar por 12 un total de 25 veces, reduciendo mdulo 23 tras cada multiplicacin. Pero un mtodo ms eficiente que solo necesita seis multiplicaciones est a nuestra mano si nos damos cuenta de lo siguiente: 122=144=6 (mod 23) 124=62=36=13 (mod23) 128=132=169=8 (mod 23) 1216=82=64=18 (mod 23) Con esto hemos hecho cuatro cuadrados, y como podemos descomponer el exponente en potencias de 2, as 26=16+8+2, y podemos reescribir el clculo anterior como: 1226=12(16+8+2) =1216*128*122 =18*8*6=864= 13 (mod 23) Nuestro algoritmo consiste pues en descomponer el exponente como potencias de 2, es decir, escribirlo en base 2 y multiplicar sucesivos cuadrados del entero base de la exponenciacin por cada dgito binario del exponente que sea un "1". En el ejemplo anterior, el exponente es 26= (11010)2 Ejercicios:

    117. Determine las siguientes potencias y escribe el resultado en el modulo indicado en cada caso.

    (45)23 = ______ (mod 5) (12)101 = ______ (mod 3) (46)75 = ______ (mod 5) (13)101 = ______ (mod 3) (47)40 = ______ (mod 23) (41)70 = ______ (mod 10) (23)25= ______ (mod 12) (5)50 = ______ (mod 6)

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    118. Resuelva los siguientes ejercicios.

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    PRCTICAS

    Para todas las unidades, se recomienda que los estudiantes participen en la resolucin de ejercicios que se realicen en el aula de clase. Unidad Prctica 1 Lgica Matemtica. Desarrollo de Tablas de verdad con proposiciones compuestas. 2 Lgica Matemtica. Utilizacin de diagramas de Venn para la determinacin de razonamiento. 3 Relaciones. Ejemplifique un modelo relacional utilizado en las bases de datos. 4 Relaciones binarias. A partir de un conjunto de datos demostrar relaciones derivadas. 5 Grafos. Demostracin de grafos que contenga o involucren los circuitos de Hamilton. 6 Grafos. Representacin de grafos utilizando diferentes tipos de matriz (adyacencia, incidencia) 7 Grafos. Desarrollar el algoritmo del camino ms corto. 8 rboles. Desarrollar un algoritmo que pueda simular un cdigo utilizando los principios del cdigo de Huffman. 9 lgebra booleana. Por medio de un algoritmo representar las tablas de verdad del lgebra booleana. 10 lgebra booleana. Resolucin matemtica de problemas prcticos de circuitos utilizando las propiedades de las leyes Asociativa, Conmutativa, distributiva, de identidad y complementacin.

    /Gobierno del Estado de MxicoNDICEUNIDAD 1.- Lgica MatemticaUNIDAD 2.- Relaciones.UNIDAD 3.- Teora de Grafos.UNIDAD 4.- Sistemas numricos.PRCTICAS