Cuadernillo5to Sj

APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO: ...............................................................PROFESOR: ........................................................................................................DIVISIN: ........................................Horario: Martes 13:30 a 14:30 hs y Jueves 9:50 a 12hs CLAVE EDMODO: 5 Ao

Para los alumnos:

El presente material te ser de gran utilidad, ya que l fue diseado para mejorar la articulacin entre el nivel bsico y superior, y est planteado para que repases los principales temas, abordados en Matemtica. El objetivo del mismo es que, tanto vos como tus compaeros, alcancen un mismo nivel de conocimientos necesarios para el inicio a esta nueva etapa educativa..

Consejos para la realizacin del presente cuadernillo: Lee atentamente cada uno de los puntos. Trabaja en forma ordenada, es decir, no pases al punto siguiente sin haber comprendido la teora y realizado la ejercitacin correspondiente. Lee con atencin las consignas de los ejercicios. La resolucin de las ejercitaciones la realizars en el cuaderno de Clases en tinta con letra clara y prolija Organiza tu tiempo de trabajo. No dejes todo para ltimo momento, ni hagas todo junto. Este cuadernillo debers traerlo todas las clases de Matemtica. xitos!Profesora Marcela A. Gmez

SMBOLOS MATEMTICOS

menor o igual que

pertenece

por lo tanto

intervalo abierto

mayor o igual que

no pertenece

para todo

intervalo cerrado

>mayor que

contenido o igual

existe

intervalo semi abierto semi cerrado

a, entonces x < -a x > a.

Ejemplos para discusin:

x 3

x - 4> 5

2x - 3> 5

2.x+4 > 5

x + 6:4 7 > 2

3-5x - 2 + 1 >13

Actividad: Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones y verifique si la respuesta dada es la correspondiente en cada caso.

a) 2x - 1 > 3R. IR - [ -1 , 2 ]

b) R. [ 2 , 10 ]

c) R. IR - ( -45/2 , 55/2 )

d) R. ( 0 , 6 )

e) x - 3 > -1R. (- , + )

f) 3 - 2x < 0R.

g) R. [ - 2/3 , 4 ]

h) 3 - 2x < x + 4R. (- 1/3 , 7 )

i) R. ( 1 , 2 ) ( 2 , 5 )

j) R. ( - , - 5 ] [-1 , 0 ) ](0 , + )

k) R. ( - 10/3 , + )

l) R. ( - 1 , -1/2 ) (-1/2 , -1/4 )

m) R. IR (-3 , -1 )

n) R. (- , 1 ) ( 1 , 11/7 ] [ 9/5 , + )

o) R. IR - [ -9/2 , 9/8 ]

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado son del tipo: ax2 + bx + c = 0 con a 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que o b = 0 o c = 0.

Ejemplo: 2x2 - 32 = 0 (ecuacin del tipo ax2 + c = 0, b = 0) Se suma 32: 2x2 = 32 Se divide por 2: x2 = 16 Se extrae la raz cuadrada: x = - 4, x = 4

Ejemplo: 2x2 + 3x = 0 (ecuacin del tipo ax2 + bx = 0, c = 0) Se extrae x como factor: x(2x + 3) = 0 Primer factor nulo: x = 0 Segundo factor nulo: 2x + 3 = 0 x = -3/2

1 Indica el valor de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones de segundo grado.abc

a) 3x2 + 2x 3 = 0

b) x2 + x = 0

c) x x2 + 5 = 0

d) 6 x2 = 0

e) 2x 3 = x2

f) 3 + 5x2 =

2 Cules de las siguientes ecuaciones de segundo grado son incompletas? Por qu?

a) 6x2 + 3x - 1 = 0 d) 2x - 4x2 = 0

b) 4x - x2 = 0 e) 3 - x = x2

c) 2x - 1 = x2 f) x2 - 3 + x = 0

3 Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:

Matemtica para 5 Ao E.S.O Colegio San Jernimo- Profesora Marcela A. Gmez

Notas:Pgina 11

a) x = 1, x = -1 de x2- 1 = 0

b) x = 4, x = -4 de 80 = 20x2

c) x = 9, x = -9 de 3x2 - 27 = 0

d) x = 1, x = -1 de -x2 + 1 = 0

e) x = 0, x = 5 de 4x2 - 100 = 0

f) x = 4, x = -2 de -16x2 = -64

4 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, explicando el proceso seguido.

a) x2 - 16 = 0

b) 3x2 - 147 = 0

c) x2 - 144 = 0

d) 7x2 = 343

e) 3x2 = 243

f) x2 - 24 = 120

g) 3x2 + 12 = 0

h) 7x2 - 28 = 0

5 Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x = 1, x = -1 de x - x2 = 0

b) x = 0, x = 1 de x2 = x

c) x = 1, x = -10 de 3x2 = 30x

d) x = 0, x = 12 de 3x2 - 39x = 0

e) x = 0, x = -5 de 4x2 + 20x = 0

f) x = 0 ,x = 1 de 6x2 - 6x = 0

6 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, explicando el proceso seguido: a) 2x2 + 7x = 0

b) x2 - 64x = 0

c) 5x2 - 40x = 0

d) 4x2 9x = 0

e) = x

f) 3x2 + 27x = 0

g) 7x2 = 3x

h) 6x2 + 2x = 0

Ecuaciones de segundo grado completas

La ecuacin ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son distintos de cero, es una ecuacin de segundo grado completa.

Las dos soluciones de la ecuacin son de la forma: x =

La expresin = b2 - 4ac se llama discriminante y nos permite conocer el nmero de soluciones de la ecuacin de segundo grado:

Si > 0: La ecuacin tiene dos soluciones distintas.

Si = 0: La ecuacin tiene dos soluciones iguales (solucin doble).

Si < 0: La ecuacin no tiene solucin.

1 Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x = 1, x = -1 de 2x2 - x - 1 = 0

b) x = 3, x = 4 de x2 - 7x + 12 = 0

c) x = -6, x = 0 de x2 + 5x - 6 = 0

d) x = -2, x = 4 de x2 - 2x - 8 = 0

e) x = 0, x = 1 de x2 - 2x - 3 = 0

2 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) x2 - 5x + 6 = 0 g) 12 = x2 + x m) x2 - 6x + 10 = 0

b) x2 + 5x + 6 = 0 h) 3x + 10 = x2 n) x2 + x + 1 = 0

c) x2 x - 6 = 0 i) x2 - 4x + 4 = 0 ) x2 + 3x + = 0

d) x2 + x - 6 = 0 j) 9x2 - 6x + 1 = 0 o) -2x2 - x - 1 = 0

e) 8x2 - 10x + 3 = 0 k) 100x2 + 20x = -1 p) -x2 + 2x - 3 = 0

f) 4x + 1 = -4x2 l) x2 + x + 1 = 0

3 Cunto vale el discriminante en las siguientes ecuaciones?

a) 3x2 + 2x - 9 = 0 = c) x - 1 = 3x2 =

b) 5x - 6x2 + 10 = 0 = d) x2 = 2x 8 =

4 Indica cules de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones distintas, cules dos soluciones iguales y las que no tienen solucin. a) x2 - 2x + 1 = 0 = d) x2 + 4x + 4 = 0 =

b) 3x2 - 2x + 1 = 0 = e) 2x2 - x + 3 = 0 =

c) x2 + 3x + 2 = 0 = f) x2 + x + 1 = 0 =

5 Calcula el valor de m para que las siguientes ecuaciones tengan raz doble:

a) 2x2 - 4x + m = 0 m =

b) mx2 + 2x + 1 = 0 m =

c) x2 - mx + 36 = 0 m =

Propiedades de las soluciones de la ecuacin de 2 grado

Suma de las soluciones de la ecuacin: ax2 + bx + c = 0

S = x1 + x2 =

Producto de las soluciones de la ecuacin : ax2 + bx + c = 0

P = x1 x2 =

Conocidas la suma y el producto de las races de una ecuacin de segundo grado podemos escribir esta ecuacin directamente.

x2 - Sx + P = 0

Ejemplo: Sabiendo que la suma de las dos races vale 7 y que el producto vale 12, la ecuacin es: x2 - 7x + 12 = 0

1 Calcula, sin resolverlas previamente, cunto vale la suma y el producto de las races de las ecuaciones siguientes:

a) 4x2 + 5x - 6 = 0 S = P =

b) x2 + x - 56 = 0 S = P =

c) 5x2 - 5x = 16 S = P =

d) 4x2 + 28x = 0 S = P =

e) -3x2 + 18 x = 0 S = P =

f) 6x2 - 12 = 0 S = P =

g) -3x2 - 30x + 27 = 0 S = P =

h) -3x2 + 3x - 6 = 0 S = P =

2 Escribe la ecuacin de segundo grado correspondiente a las races cuya suma y producto se indica.

a) S = 7, P = 0 Ecuacin: d) S = 2, P = 2/3 Ecuacin:

b) S = 6, P = 8 Ecuacin: e) S = -2 , P = -15 Ecuacin:

c) S = 1, P = -2 Ecuacin: f) S = 14, P 3/5 Ecuacin:

3 Escribe la ecuacin de segundo grado cuyas soluciones son:

a) x1 = 2, x2 = 1 S = P = Ecuacin:

b) x1 = 3, x2 = -2 S = P = Ecuacin:

c) x1 = -1, x2 = 5 S = P = Ecuacin:

Factorizacin

La ecuacin de segundo grado ax2 + bx + c = 0, de races x1 y x2, se puede expresar de la forma:

ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)

Ejemplo: Dada la ecuacin x2 - 5x + 6 = 0, al ser sus races 2 y 3 se verifica que:x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Por tanto, conocidas las races de una ecuacin de segundo grado, se puede saber cul es sta sin ms que realizar el proceso inverso.

Ejemplo: si las races son 5 y -6, la ecuacin ser:

(x - 5)(x + 6) = 0 x2 + x 30 = 0

1 Resuelve y factoriza las siguientes ecuaciones:

a) 6x2 + 3x - 3 = 0 c) 2x2 + 9x - 5 = 0 Soluciones de la ecuacin: x1 = Soluciones de la ecuacin: x1 = x2 = x2 = Ecuacin factorizada: Ecuacin factorizada:

b) 2x2 + 5x - 3 = 0 d) x2 + x - 2 = 0 Soluciones de la ecuacin: x1 = Soluciones de la ecuacin: x1 = x2 = x2 = Ecuacin factorizada: Ecuacin factorizada:

2 Completa la siguiente tabla:

x1x2aEcuacin factorizada

-5-22

-1/271

0-3/21

-113

221

1/41/22

1/3-1/61

Resolucin de problemas con ecuaciones de segundo grado

Hay problemas que se plantean y resuelven mediante una ecuacin de segundo grado.

Ejemplo: La suma de las reas de un cuadrado de lado L y de un rectngulo de lados 2 cm y 2L es 32 cm2. Cul es el lado del cuadrado?

rea del cuadrado: L2rea del rectngulo: 22L = 4LEcuacin del problema: L2 + 4L = 32

Soluciones: L = 4 cm, L = -8 cmSlo la solucin L = 4 cm verifica la condicin del problema.

1 El permetro de un rectngulo es 24 cm y su rea es 20 cm2. Cules son sus dimensiones?

2 Halla tres nmeros enteros consecutivos cuyo producto sea igual a su suma. Cul sera la solucin si se pidieran nmeros naturales?

3 Si disminuimos 3 m cada lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya rea es 63 m2 ms pequea que la del cuadrado primitivo. Cules eran las dimensiones primitivas de este cuadrado?

4 Al aadir a un nmero 3 unidades y multiplicar por s mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula dicho nmero.

5 La diferencia de dos nmeros es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. Cules son esos nmeros?

6 La suma de dos nmeros es 15 y su producto es 26. Cules son dichos nmeros?

Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1

son inecuaciones en las que la variable est elevada a un exponente mayor que la unidad. Expresin general: son todas del tipo , o bien cualquier otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra. Mtodo de resolucin: descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Ejemplos: E1.- , pasamos todos los trmino a un nico miembro, el que ms te interese, en este caso lo haremos al primero, as:

, ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este cay pasamos a la inecuacin , que podemos leer como, Cundo el producto de dos nmeros es negativo?. Digo dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios. Cmo averiguar el signo de un binomio?.

Una expresin de primer grado en x no es ms que la ecuacin de una recta, en este caso se trata de dos rectas ,. Sabemos, o deberamos saber que si la pendiente de la recta es positiva sta toma valores positivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a su izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, Porqu?. Porque el coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que y = 0, en nuestro caso son y , luego toma valores positivos a la derecha de y a la derecha de, as: Luego la solucin ser el intervalo indicado, donde el signo del producto es negativo.

Como la desigualdad es estricta, el intervalo ser abierto .

E2.- , descomponiendo factorialmente , y pasamos a la inecuacin . En este caso tenemos tres factores, y por lo tanto, tres rectas a estudio.

Haciendo lo mismo de antes:Ahora la solucin, adems de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta, debemos incluir los extremos de los mismos, as, la solucin ser

.

Inecuaciones fraccionarias

Son inecuaciones en las que tenemos una fraccin algebraica formando parte de la misma.

Expresin general: son del tipo , o todas sus equivalentes , o , etc. y de grados mayores que uno. Mtodo de resolucin: descomponer factorialmente los polinomios numerador y denominador, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nunca simplificar ya que podramos perder soluciones. Posteriormente se procede como con las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios.

Ejemplos:

++

+++

+

Producto++

No es solucinSolucinNo es solucinSolucin

E1.- , en este caso ya tenemos el numerador y el denominador descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, as:

Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los lmites o extremos de los intervalos en la misma, as pues la solucin ser .

E2.- , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaramos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuacin y compara los resultados. Para nuestro caso, operando , y todo se reduce a averiguar cul es el signo del denominador, cundo ste es negativo, y lo es en .

++

++

++

Producto++

SolucinSolucinNo es solucin

E3.- Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, fijarnos bien en la pendiente real de las rectas, as, sea la inecuacin

Recuerda, no simplificar.

Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian los signos respecto al punto de corte, as en este caso es todo al revs de antes, a la derecha negativa y a la izquierda positiva. La solucin, por tratarse de una desigualdad no estricta, es .

RADICALESDefinicin de raz n-esima de un nmero realLlamamos raz n-sima de un nmero real a, a otro nmero real b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado el radicando

En la siguiente raz los elementos que la componen reciben el nombre de

Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o simplemente radicales

Un radical es igual a una potencia de exponente fraccionario que tiene de base la base del radicando y de exponente una fraccin cuyo numerador es el exponente del radicando y cuyo denominador es el ndice del radical

Propiedad fundamental de los radicales: El valor de un radical no cambia si se multiplican o se dividen el exponente del radicando y el ndice del radical por un mismo nmero

Esta propiedad nos permite transformar radicales en otros equivalentes y se utiliza para:

1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el ndice del radical por el mismo nmero.

2) Reducir radicales a ndice comn: para ello calculamos previamente el mnimo comn mltiplo de los ndices y ste ser el ndice comn. Posteriormente multiplicaremos el exponente de cada radical por el mismo nmero que hemos multiplicado sus ndices( es el que resulta de dividir el ndice comn por el ndice que tena el radical)

Racionalizar radicales es sustituir una fraccin por otra equivalente que no tenga races en el denominador. Estudiaremos los casos siguientes:1 ) Si el denominador es un monomio con un radical de ndice dos, se multiplican numerador y denominador por el radical del denominador.

2) Si el denominador es un monomio con un radical de ndice n, multiplicaremos los dos trminos de la fraccin por la raz n-sima de una expresin cuyo producto por el radicando del denominador sea potencia n-sima perfecta

3) Si en el denominador aparecen binomios con radicales de ndice dos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominadorEl conjugado se obtiene al cambiar el signo de uno de los trminos del binomioEn el denominador queda el producto de una suma por una diferencia que es igual a la diferencia de sus cuadrados y de esta manera eliminamos sus races

Los radicales son homogneos si tienen el mismo ndice. Los radicales son semejantes si tienen el mismo ndice y el mismo radicando. Para introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente igual al ndice del radical.

Para extraer factores de un radical realizamos la divisin del exponente entre el ndice. El cociente es el exponente del factor que extraemos de la raz y el resto es el exponente del factor que se queda en el radicando. Slo se pueden extraer los factores que tienen un exponente mayor o igual que el ndice.

Operaciones con radicales.

Para sumar radicales tienen que ser semejantes. Para sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los sumandos y se deja el mismo radical.En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros equivalentes que s lo sean (Reduciendo a ndice comn, racionalizando o sacando factores) En el caso que no se pueda, la operacin se deja indicada.

Para multiplicar radicales tienen que ser homogneos. Para multiplicar radicales homogneos se multiplican los radicandos y los coeficientes dejando el mismo ndice. Si los radicales no son homogneos los transformamos reduciendo a ndice comn.

Para elevar un radical a una potencia: elevaremos su radicando a dicha potencia.

Raz de una raz es una raz que tiene por ndice el producto de los ndices y el mismo radicando.

Actividad:

1. Extraer los factores posibles:

2. Extrae los factores posibles de cada radical:

3. Reduce a comn denominador:

a) b)

c) d)

e) f)

4. Introduce los factores en el radical y simplifica:

5. Racionaliza las siguientes expresiones:

6. Calcula aplicando la propiedad distributiva:

7. - Racionaliza las siguientes expresiones:

8. - Calcula el valor de estas expresiones:

9. - Efecta las siguientes operaciones:

9. Efecta las siguientes operaciones:

CONCEPTO DE FUNCIN

Algunos trminos bsicos de una funcin son:

DOMINIO: es el conjunto de salida.CODOMINIO: es el conjunto de llegada.PREIMGENES: son todos los elementos del dominio.IMGENES: son aquellos elementos del codominio que estn asociados a una preimagen.MBITO RANGO: es el subconjunto de todas las imgenes.GRFICO ( Gf ): es el conjunto de todos los pares ordenados ( x,y ) que establece la funcin.GRFICA TRAZO: representacin de todos los pares ordenados en el plano cartesiano.

Una funcin es una relacin entre dos variables, x e y. A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un nico valor de y (variable dependiente). La funcin se represente grficamente sobre los ejes cartesianos.

La primera grfica corresponde a una funcin: a cada valor de x le corresponde un nico valor de y.La segunda grfica no es de una funcin: hay valores de x que les corresponde ms de un y.

Ejercicio 1.- Cules de las siguientes grficas representan funciones? Por qu?

a)b)c)

Si No Si No Si No

Porque:Porque:Porque:

d)e)f)

Si No Si No Si No

Porque:Porque:Porque:Las funciones describen fenmenos mediante las relaciones entre las variables que intervienen.Observando la grfica de una funcin podemos comprender cmo evoluciona el fenmeno que en ella se describe

Ejercicio 2.- Asocia cada grfica con las situaciones descritas ms abajo, y di en cada caso que representan los ejes de abscisas y los de ordenadas.

Conclusin: Una funcin es una relacin entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.

x es la variable independiente y es la variable dependiente Una funcin asocia a cada valor de x un nico valor de y.

El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definicin de la funcin

El tramo de valores y correspondiente a cada valor de x se llama recorrido.DOMINIO MXIMO DE UNA FUNCIN REAL

Recuerde que si se tiene una funcin f definida de un conjunto A en un conjunto B, entonces A se llama el dominio de esta funcin. Por otra parte, cuando se trata con funciones de variable real, usualmente el criterio se puede escribir mediante una frmula que puede asignar la imagen a cada uno de los elementos del dominio.

Adems, es una prctica usual, cuando se trabaja con funciones reales de variable real, indicar solamente el criterio de definicin de la funcin sin hacer referencia al dominio ni al codominio. Cuando se hace esto, se est suponiendo que el codominio es IR y que el dominio es el mayor conjunto de IR en el cual el criterio tiene sentido; esto es lo que se conoce como dominio mximo de la funcin.

CASO I. Funcin Racional (fraccin)

EJEMPLO 57

Determine el dominio mximo de la funcin .Solucin:

CASO 2. Funcin Polinomial

EJEMPLO 58

Determine el dominio mximo de la funcin .Solucin:R/ El dominio mximo de toda funcin polinomial SIEMPRE es IR.

CASO 3. Funcin que contiene Expresin Radical en el Numerador.

EJEMPLO 59

Determine el dominio mximo de la funcin .

Solucin:

CASO 4. Funcin que contiene Expresin Radical en el Denominador

EJEMPLO 60

Determine el dominio mximo de la funcin .

Solucin:

Actividad:

1) Calcular el dominio de las siguientes funciones.a)

b) c)

d) e) f(x) = f) g) h) i) j)

Funcin Creciente y DecrecienteUna funcin es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo aumenta tambin la variable dependiente yUna funcin es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x en ese intervalo disminuye tambin la variable dependiente y

Matemtica para 5 Ao E.S.O Colegio San Jernimo- Profesora Marcela A. Gmez

Notas:Pgina 84

1) Altura de una pelota que bota al pasar el tiempoB) x: el tiempo que transcurre en segundos y: la altura en centmetros que alcanza.

2) Nivel de ruido desde las seis de la maana hasta las seis de la tarde

x:. y:

3) Temperaturas mnimas diarias en Segovia a lo largo de un ao..

x:. y:

4) Precio de las bolsas de patatas fritas.

x:. y:

5) Nivel de agua de un pantano a lo largo de un ao.

x:. y:

6) Distancia a la Tierra de un satlite artificial, al pasar el tiempo..

x:. y:

CARACTERSTICAS DE LAS FUNCIONES

La siguiente grfica muestra la estatura media de los varones espaoles segn su edad:a) Cul es la variable dependiente? ......................... y la independiente? ...............b) Cul es la estatura media a los 10 aos? ......... c) Cul es la etapa de vida de crecimiento? .................................................................d) A partir de que edad se disminuye de altura?...............e) A que edad la altura es mxima? .................................. f) Cul es la altura mnima? ........................

12.-Esta es la grfica de la evolucin de la temperatura de un enfermo ingresado en la U.C.I. a lo largo de un da.a) Hubo algn descenso de temperatura durante la madrugada? ............. Entre que horas? .......................................b) A qu hora del da la temperatura fue mnima? ............ Y mxima? ................c) Qu pas entre las dos horas? ..............................d) Cundo tuvo el enfermo la temperatura mnima entre las 0 h y las 12 h? .................e) A qu hora entre las 8 y las 16 horas alcanza el enfermo la temperatura mxima? ............

Mximos y Mnimos RelativosUna funcin y = f(x) tiene un mximo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la funcin en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la funcin en los puntos prximos a aUna funcin y = f(x) tiene un mnimo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la funcin en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la funcin en los puntos prximos a a

Ejemplo: Una compaa de transporte pblico recogi en una grfica la informacin que tiene sobre la venta de bonos para viajar en sus lneas.

a) Durante cunto tiempo se hizo este estudio?b) En qu momento del ao 1999 se vendieron menos bonos? Y en cada uno de los aos 2000 y 2001? . c) En que momento del ao 2001 se produce la mxima venta? . A qu lo atribuyes? ..d) En qu periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos? .... En qu estacin del ao es decreciente la venta?

Funcin PeridicaUna funcin y = f(x) se dice peridica de perodo T cuando toma valores iguales (de y), a medida que x toma valores en un cierto intervalo de longitud T.Una funcin peridica queda perfectamente determinada conociendo como se comporta en un intervalo de longitud igual a un perodo (T).

Ejercicio Los cestos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representacin grfica de la funcin: tiempo-distancia al suelo de un cesto.

a) Cunto tarda en dar una vuelta completa?..............

b) Observa cual es la altura mxima y cual es el radio de la noria

c) Es esta una funcin peridica?................................ Cul es el perodo?.................................

d) Explica cmo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la grfica

Ejercicio 6.-Mercurio tarda 88 das en completar su rbita alrededor del Sol. Su distancia al Sol oscila entre 70 y 46 millones de km., segn muestra la grfica tiempo-distancia a) Es esta funcin peridica?....... Cual es el perodo?..........

b) En que momento la distancia de Mercurio al Sol es mxima? .................................................

c) Desde que inicia la rbita, durante cunto tiempo aumenta la distancia al Sol?........................................

d) Completa la grfica de la distancia de Mercurio al Sol durante 300 das.

Ejercicio 7.-Describe el comportamiento de un carrusel mediante la siguiente grfica, que relaciona el tiempo que transcurre desde que comienza a moverse hasta que empieza una nueva vuelta

a) Es una funcin peridica?.............b) Cul es el periodo?..................c) Desde que comienza a moverse Durante cunto tiempo aumenta su velocidad?.........................................d) Cunto tiempo mantiene la velocidad constante?..........................................e) Cunto tiempo est parado?..................

Funcin Continua

Una funcin y = f(x) se dice continua en su dominio cuando su grfica es de trazo continuo en el mismo. En caso contrario se dice discontinua.Las discontinuidades de una funcin pueden ser debidas a: Si la variable independiente x toma nicamente valores discretos, la grfica de la funcin consta de una serie de puntos. Si la variable x toma valores en un intervalo pero la variable Y toma valores discretos, la funcin tiene una grfica: a saltos. Decimos entonces que es discontinua en los x en que se producen los saltos.

Ejercicio 8.-

En la autoescuela Fene las tarifas son las siguientes:Precio de cada clase.15Precio matrcula carn.....150

Observando la grfica adjunta correspondiente al coste del carn segn el nmero de clases recibidas, contesta a las siguientes preguntas:a) Con 5 clases obtuve el carn, Cunto pagu en total?.......................................b) Es la funcin que relaciona n de horas-precio continua?..............c) Qu tipo de discontinuidad tiene?..... ..

Ejercicio Esta es la grfica del coste de aparcamiento, en un centro comercial, en funcin del nmero de horas que mantenga el automvil en el garaje.

a) Es la funcin: tiempo-coste continua?..........b) De que discontinuidad se trata?.......................c) Describe mediante una tabla de valores los costes del aparcamiento en ese centro comercial.

Ejercicio

1) En cada una de estas grficas indica: Dominio, Recorrido, Intervalos de crecimiento y decrecimiento, los mximos y los mnimos.Indica tambin si alguna es discontinua o si alguna es peridica.

FUNCINABCD

Dominio

CrecimientoSiempre

DecrecimientoNunca

MximosNo tiene

MnimosNo tiene

DiscontinuaS, en N

PeridicaNo

2) Completa la siguiente tabla:Los coches, una vez se compran, empiezan a perder valor a un ritmo de un 20% anual, aproximadamente.a) Haz una tabla de valores que nos d el valor de un coche que cost 15000 , en aos sucesivos.

AosValor del Coche()

015000

1

2

3

4

5

b) Representa la funcin aosvalor del coche.

c) Halla una frmula que permita calcular el precio del coche en funcin de los aos transcurridos hasta su venta.

3) Escribe en funcin de x el rea de la parte coloreada de cada una de estas figuras.

En el caso a) se obtiene as:

CLASIFICACIN DE FUNCIONES REALES

Funcin Inyectiva: es aquella en la que TODOS los elementos del mbito poseen una NICA preimagen en el dominio. (Pueden sobrar elementos en el codominio).

EJEMPLO 62Si se trazan lneas horizontales (punteadas) sobre la grfica y estas la tocan en un punto, la funcines inyectivaxCD

f

x46 5 20

2310

x

Funcin Sobreyectiva: en ella TODOS los elementos del codominio tienen AL MENOS una preimagen en el dominio. (NO sobran elementos en el codominio).

EJEMPLO 63xxCD

xxf 9 4

-33 2

Si se trazan lneas horizontales (punteadas) sobre la grfica y estas la tocan en 2 puntos,entonces la funcin es sobreyectiva.xx

Funcin Biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva a la vez, en ella el codomino es igual al mbito. (NOTA: TODA funcin LINEAL es biyectiva).

EJEMPLO 64

La funcinrepresentada es una funcin biyectiva, ya que a cada elemento del codominio le corresponde una sola preimgen en el dominio.

CD

5 6 7 12 3f

COMPOSICION DE FUNCIONES

Definicin: Dadas dos funciones f:DfIm f y g:Dg Im g y tales que Im f Dg, llamamos funcin compuesta g sobre f, a gof: Df Im g / para todo x , gof(x) = g[f(x)]

Observaciones:

*La imagen de f debe estar incluida en el dominio de g para que todos los elementos de Df tengan imagen a travs de la funcin compuesta gof.

*La imagen de g es, en general, el codominio de la compuesta y no su conjunto imagen, ya que puede haber elementos en el dominio de g que no sean imagen de ningn elemento de Df (si la inclusin es estricta)

* Si la inclusin pedida en la definicin no se verifica, pueden hacerse las restricciones necesarias para la composicin.

Ejemplo: Sean f(x) = 2x+1 y g(x)= Df=R Im f=R Dg=R-{1 } Im g=R-{0}

Para realizar la composicin gof debemos verificar que la imagen de la primer funcin a aplicar f est incluida en el dominio de la segunda funcin a aplicar (g) .

Esto no se verifica, entonces realizamos la siguiente restriccin:

Como necesitamos que 1 no pertenezca a Im f, para eliminarlo, restringimos Df. Notemos que 2x+1=1 cuando x=0. Bastar entonces tomar como Df * =R-{0}, luego la Imagen correspondiente ser Im f=R-{1} que coincide (y por lo tanto est incluida) en Dg.

A pesar de que, hechas las restricciones las funciones no son las mismas, usaremos por comodidad las mismas letras para nombrarlas.Ahora; gof:R-{0} R-{0} / gof(x) = g[f(x)] = g[2x+1]=

Para hallar fog, debemos analizar si la Im g est incluida en el Df.Como R-{0} R, podemos realizar la composicin:

Notemos que como la inclusin es estricta, el conjunto R es el codominio y no la imagen de la funcin compuesta fog

Como vemos, fog gof. La composicin de funciones no es una operacin conmutativa. Puede demostrarse que la composicin de funciones es asociativa.

Composicin de funciones inversas:

Sean las funciones biyectivas f:A B y f-1:B A a travs de f a cada x de A le corresponde un y de B a travs de f-1 a cada y de B le corresponde un x de A

O sea f-1 (f(x))= x que se denomina funcin identidad y est definida de A en A

Anlogamente, si aplicamos primero f-1, diremos:

a travs de f-1 a cada x de B le corresponde un y de A a travs de f a cada y de A le corresponde un x de B

Entonces; f(f-1(x)) = x que es la identidad, pero ahora definida de B en B.

Las grficas de funciones inversas son simtricas respecto de la recta y=x (grfica de la funcin identidad).

Ejercicios

Dados los siguientes pares de funciones f y g indicar para cada una el dominio e imagen

a) g(x) = 2x

b) g(x) = x + 3

FUNCIN INVERSASe llama funcin inversa o reciproca de f a otra funcin f1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f1(b) = a.Sea f una funcin real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la funcin recproca o inversa de f, denotada f -1, es la funcin de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicacin biyectiva, que queda determinada de modo nico por f y que cumple: , entonces:1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f. Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f. Si se cumplen simultneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f. Este ltimo punto se usa con frecuencia como definicin de funcin inversa.Si dos funciones son inversas su composicin es la funcin identidad.f o f -1 = f -1 o f = x

Hay que distinguir entre la funcin inversa, f1(x), y la inversa de una funcin, .CRITERIO DE UNA FUNCIN INVERSAEJEMPLO Determine f 1 (x) de la funcin f(x) = 2x2 + 1.

PASOS:#1. Se sustituye f(x) por y.#2. Se despeja la variable x.#3. Se hace la sustitucin:- de y por x- de x por f 1(x)

EJEMPLO Calcular la funcin inversa de:

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

Actividad:Hallar la funcin inversa

FUNCION POLINOMICA

Recordando:Definicin de funcin.Una funcin es el conjunto de pares ordenados de nmero reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer nmero. El conjunto de todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la funcin (Df ), y el conjunto de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido (Rf )de la funcin.

Si una funcin f est definida por donde son nmeros reales () y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una funcin polinomial de grado n. Por lo tanto, , es una funcin polinomial de grado 5. Una funcin lineal es una funcin polinomial de grado 1, si el grado de una funcin polinomial es 2, se llama funcin cuadrtica, y si el grado es 3 se llama funcin cbica. Una funcin que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales se llama funcin racional. Una funcin algebraica es aquella que est formada por un nmero finito de operaciones algebraicas sobre la funcin identidad y la funcin constante. Las funciones trascendentes son las trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.

COMO GRAFICAR UNA FUNCION POLINOMICA APROXIMADAMENTE

Una funcin es polinmica si es de la forma donde n es un nmero natural.El dominio de una funcin polinmica es: R.

Para graficar aproximadamente una funcin polinmica f(x) debemos:

a)Hallar la ordenada al origen.

b)Expresarla en forma factorizada . Las races indican las intersecciones con el eje x.

c)Hallar los conjuntos de positividad y negatividad.

Ejemplo: graficar f(x)=

a)Ordenada al origen: se halla haciendo: f()=.=..

b)Hallar las races(puede ser aplicando el teorema de Gauss ). Una raz es 2, entonces aplicamos Ruffini: 1 -1 -8 122 2 2 -12

1 1 -6 0 El cociente es x2 + x - 6Buscamos las races del cociente(aplicando Gauss o la frmula resolverte de la ecuacin de segundo grado):

=

Una vez que encontramos todas las races factorizamos: =Entonces obtenemos la expresin:

Marcamos en los ejes cartesianos las races:

c)Dividimos en intervalos al eje de las abscisas(eje x) tomando como extremos las races:

Calculamos el valor de la funcin en un punto de cada uno de los intervalos, para determinar si el valor es positivo o negativo:f(-4)=f(1)=f(3)=.Con estos valores unimos los puntos:

Actividad: Para las funciones a):

b)

(a) Determine el dominio de la funcin(b) Las intercepciones con los ejes(c) Elabora una tabla para algunos valores del Df (d) Traza la grfica de la funcin(e) Estima una aproximacin del Rf

Alumno:Curso:TRABAJO PRACTICOFuncin Polinmica

1) Encontrar las races reales de las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

2) Obtenga la formula de cada una de las siguientes funciones polinmicas:a) Funcin de grado 4; x=1 es raz doble; x=2 es raz doble; f (-1) = 2b) Funcin de grado5; x=1 es raz simple; x=1 es raz doble; f (0) = 4c) Puntos de interseccin con el eje x (-2;0); (-1;0) y (;0); f(-3) = 14d)

Funcin de grado 4; coeficiente principal ; f (2) =0; x=raz doble; x = 3 raz simple3) Indicar el conjunto de positividad y negatividad de las siguientes funciones:

a) b)

c) d) 4) Graficar:

a) b)

c) d) 5) Realizar el estudio analtico de las funciones del tems 5

FUNCIN RACIONAL

Llamamos funciones racionales a las funciones cuya frmula es una expresin racional:, donde P(x) y Q(x) son polinomios de una sola indeterminada x.Salvo que se indique otra cosa, el dominio de una funcin es el conjunto ms amplio de nmeros reales para el cual la frmula tiene sentido. Como la divisin por 0 no est definida, el dominio de una funcin racional es el conjunto de todos los valores de la variable que no anulan el denominador.Cuando trabajamos con funciones racionales, es muy importante que tengamos constantemente presente su dominio.El dominio de la funcin es Dom g = { 2 }El dominio de la funcin es Dom h = { 1, - 3 }Actividad:1) Hallar el dominio de las siguientes funciones:

Simplificacin de expresiones racionalesAl trabajar con funciones racionales nos resultar conveniente simplificar sus frmulas, es decir sus expresiones racionales. Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresin racional es irreducible.Consideremos la funcin j(x) del ejercicio anterior. Una vez factorizados su numerador y su denominador, podemos expresar su frmula as:

Simplificamos todos los factores comunes: Las dos expresiones racionales anteriores son equivalentes. Es ms sencillo trabajar con la irreducible, pero sin perder de vista que el dominio de la funcin es el que qued determinado a partir de la expresin original.Entonces podemos escribir con Dom j = {..................}

Actividad: 2) Indiquen el dominio de cada funcin y, si es posible, simplifiquen sus frmulas para que sean irreducibles.3) Se afirma que el dominio de la funcin es . Es cierto? Por qu?Grficos de las funciones racionalesInterseccin con el eje yLa interseccin del grfico de una funcin f(x) con el eje y se produce cuando la variable x se anula. Esto es posible nicamente si x = 0 pertenece al dominio de f(x), en caso contrario, no hay interseccin.

Consideremos la funcinDom f : ........................Nos preguntamos x = 0 pertenece al dominio de f? .................; entonces calculamos f(0) = La interseccin del grfico de f con el eje y es el punto P = (..........; ...........)CerosLas intersecciones del grfico de una funcin racional f(x) se producen para los valores de x que anulan la funcin, es decir, para aquellos que anulan el numerador y que pertenecen al dominio de f. Dom f = .................Para hallar los ceros resolvemos la ecuacin x + 1 = 0 x = ...........Como x = -1 pertenece al dominio de f, el conjunto de ceros de f(x) es C0 = {.......................}

Dom g = ................Factorizando los polinomios y simplificando obtenemos: .....................................Obtuvimos una funcin de g(x) que es igual a la de f(x). Sin embargo g(x) y f(x) no son la misma funcin, ya que sus dominios son distintos. Intentemos hallar los ceros de g(x):Planteamos .......................... = 0 x = ...........Obtuvimos un valor de x que no pertenece al dominio de g. Luego, C0 = ..............

4) Indiquen el punto de interseccin del grfico de cada una de las siguientes funciones con el eje y, si es que existe:5) Hallen los ceros del ejercicio 4, si es que existen.

6) Analicen la validez de las siguientes afirmaciones :a) Una funcin corta al eje y a lo sumo una vez.b) Una funcin corta al eje x a los sumo una vezc) Si Dom f = f(x) corta el eje y.d) Si Dom f = f(x) corta el eje x.

Asntotas verticalesEstudiaremos una caracterstica que suelen presentar algunas funciones racionales. Consideremos la funcin , cuyo dominio es; Dom f = ............................................ Como no podemos calcular f(0), analizaremos las imgenes de f(x) para valores de x muy prximos a 0.a) Si nos acercamos a 0 por la derecha ( 0+ ):

f(0,0001) = ......................f(0,00001) = ....................f(0,000001) = ........................A medida que x toma valores cada vez ms prximos a 0 por la derecha, los valores de f(x) son cada vez ........................................... Lo indicamos as: Si x tiende a 0+ f(x) tiende a + (+ se lee: ms infinito).

b) Si nos acercamos a 0 por la izquierda ( 0- ):

f(- 0,0001) = ......................f(- 0,00001) = ....................f(- 0,000001) = ........................

A medida que x toma valores cada vez ms prximos a 0 por la izquierda, los valores de f(x) son cada vez ........................................... Lo indicamos as: Si x tiende a 0- f(x) tiende a - ( - se lee: ms infinito). El grfico de tiene una rama derecha y una rama izquierda. Si x tiende a 0, cada una de las ramas se aproxima a la recta vertical cuya ecuacin es x = .......... (es el eje y).Esa recta es una asntota vertical de la funcin.Si el denominador de la frmula de una funcin racional no tiene ceros, esa funcin no tiene asntotas verticales. En cambio si a es cero del denominador y no anula al numerador, la recta de ecuacin x = a es una asntota vertical.Por ejemplo: tiene dos asntotas verticales cuyas ecuaciones son x = -1 y x = 27) Es cierta que la funcin tiene una asntota vertical de ecuacin x = 0? Por qu?8) Consideren la funcin e indiquen que sucede con las imgenes de los valores de x que tienden a 4+ y a 4-.

Asntotas horizontalesContinuaremos analizando la funcin para estudiar otra caracterstica suelen presentar algunas funciones racionales. Analizaremos las imgenes de f(x) para valores de x cada vez mayores y para valores de x cada vez menores.a) Valores de x cada vez mayores (+ ):f(10000) = ......................f(100000) = ....................f(1000000) = ........................A medida que x toma valores cada vez mayores, los valores de f(x) estn cada vez ms prximos a ........................................... Lo indicamos as: Si x tiende a + f(x) tiende a 0 .b) Valores de x cada vez menores (- ):f(- 10000) = ......................f(100000) = ....................f(1000000) = ........................A medida que x toma valores cada vez menores, los valores de f(x) estn cada vez ms prximos a ........................................... Si x tiende a - f(x) tiende a 0

Si x tiende a + o a - , cada una de las ramas del grfico de f(x) se aproxima a la recta horizontal cuya ecuacin es: y = ............ ( es el eje...............)Esa recta es una asntota horizontal de la funcin.Una fraccin racional tiene asntota horizontal si el grado del numerador de su expresin es menor o igual que el grado del denominador.E9. Es cierto que la funcin tiene una asntota horizontal de ecuacin y = 0? Por qu?E10. a) Analicen como son las imgenes de la funcin para valores de x cada vez mayores y cada vez menores.b) Indiquen si f(x) tiene asntota horizontal. En caso afirmativo, escriban su ecuacin.

Construccin del grficoPara graficar una funcin racional f(x), podemos seguir estos pasos:1) Indicamos el dominio de f(x) a partir de su frmula original.2) Nos fijamos si la expresin de f(x) es reducible. En caso de serlo, lo hacemos y obtenemos la expresin de una nueva funcin s(x). Indicamos su dominio. A partir del grfico de s(x) obtenemos el grfico de f(x). El grfico de f(x) es como el grfico de s(x), excepto para los valores de x que pertenecen al dominio de s pero no al dominio de f. En esos valores de x, el grfico de f(x) tiene agujeros.3) Analizamos si la funcin tiene asntotas verticales. En caso de que existan, escribimos sus ecuaciones y las trazamos en el grfico con lnea punteada.4) Analizamos si la funcin tiene asntotas horizontales. Para ello considerando que , podemos utilizar este esquema:GradosAsntota horizontal

gr [P(x)] < gr [Q(x)]y = 0

gr [P(x)] = gr [Q(x)]

gr [P(x)] > gr [Q(x)]No tiene

En caso de que existan, escribimos las ecuaciones de las asntotas horizontales y las trazamos en el grfico con una lnea punteada.5) Hallamos el punto de interseccin del grfico de la funcin con el eje y, si es que existe, y lo marcamos.6) Hallamos los ceros de la funcin, si es que existen, y los marcamos en el grfico.7) Si es necesario, calculamos algunas imgenes de la funcin que nos ayuden a trazar el grfico.8) Trazamos el grfico de f(x) de modo que la curva pase por los puntos que marcamos y se aproxime a las asntotas, si es que existen.

Grafiquemos la funcin , cuyo dominio es Dom f = ..........................Simplificamos la expresin s(x) = x + 2Dom s : ................ Observamos que x = 2 pertenece al dominio de ......... pero no al dominio de ........... Entonces:Graficamos s(x), que es una funcin lineal.Indicamos con un agujero en el punto que correspondera a la imagen de x = 2 y obtuvimos el grfico de f(x).

Grafiquemos la funcin Indicamos su dominio: Dom f = ................... Es reducible la expresin de la frmula de f(x)? ......................... Analizamos si tiene asntota vertical:El valor de x que anula de denominador de la frmula de f(x) es x = ........... . Nos preguntamos, anula tambin al numerador? ....................... la ecuacin de la asntota vertical es: x = ...............Trazamos una lnea punteada para marcar esa asntota. Analizamos si tiene asntota horizontal:Como los grados de los polinomios numerador y denominador si ..................., calculamos el cociente de los coeficientes ................................ Ecuacin de la asntota horizontal: y = .........................Trazamos una lnea punteada para trazar esa asntota.Hallamos la interseccin del grfico con el eje y: f(.......) = ..................... y = (...........; .......... )Marcamos ese punto. Hallamos los ceros: planteamos: .................... = 0 x = ............... C0 = {.............}Marcamos ese punto en el grfico. Calculamos algunas imgenes ms y marcamos esos puntos:f(1) = ................f(2) = ...............f(-3) = ............f(-4) = .............. Trazamos las dos ramas de la curva de f(x) hacindola pasar por los puntos que marcamos antes y aproximndola a las .....................................

9) Grafiquen las siguientes funciones

LOGARITMOS

DEFINICIN DE LOGARITMO:

Por ejemplo: * log16 = 4 * log = 2a es la base del logaritmo y debe ser real, positivo, y distinto de 1

b es el argumento del logaritmo y debe ser real positivo

(porque 2= 16 )(porque 3 )

CASOS PARTICULARES:Matemtica para 5 Ao E.S.O Colegio San Jernimo- Profesora Marcela A. Gmez

a) .......................................b) .......................c) d) .e) f) .

Ejercicio 7: Calcular:

a) log4 64 =b) log3 81 =c) log=d) log 1 =

e) log10 1000 =f) logg) logh) log

i) log100,01=j) logk) logl) log

m) loga a =n) log) logo) log125 5=LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES:

Si la base del logaritmo es 10 se llama logaritmo decimal y se puede escribir log sin indicar la base.Si la base es el nmero e (e= 2,718.), se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se escribe ln. Se denomina neperiano en honor a John Neper (1550-1617), matemtico escocs a quien se atribuye el concepto de logaritmo.Tanto los logaritmos naturales como los decimales aparecen en las calculadoras cientficas.

Ejercicio 1: utilizar las teclas log y ln de la calculadora cientfica para obtener los siguientes logaritmos (utilicen 3 decimales)a) log 9,8=.e) ln 2,5 =..b) log 98 =.f) ln 25 =c) log 980 =g) ln 250 =.d) log 9800 =.h) ln 2500 =

Ejercicio 2: Calcular mentalmente:

a) log 10 =b) log 0,001=c) log

d) ln e =e) ln f) ln Ejercicio 3: Aplicar la definicin de logaritmo para resolver las siguientes ecuaciones:

a) log x = 4b) logc) log (x+2) = 2

d) 2 . log4 x = 4e) log12 (2x6) + 3 = 3f) 3.log x 8 = 14

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

Ejercicio 4: Resolver aplicando las propiedades de logaritmos:

a) log(8 . 32) = b) logc) logd) log

Ejercicio 5: Aplicar el cambio de base conveniente para poder operar con calculadora y resolver:

a) log18 = b) log100 = c) log256 = d) log5 =

Ejercicio 6: Calcule o valor dos logaritmos:

a) b) c) d)

e) f) Ejercicio 7 Calcular las siguientes expresiones

a) d)

b) e) c)

Ejercicio 8; Resolver aplicando propiedades:

1) 2) 3)

4) 5) 6) Ejercicio 9 Escribir en un solo logaritmo:

a) b) c)

d) e) f)

Ejercicio 10: Aplicando las propiedades de los logaritmos, resuelve los siguientes ejercicios:a) logb b + loga a = b) logc1 +logbbn +logddn = c)logb1 logaa =

d) e) 3 logp p4 = f)loga a3 +logb b5 =

g) loga(ac) +logp p3 + logb b loga C = h) i)log 10= j) log 100= k) log 1000= l) log 10000= m) log 108 =n) log 0.1= ) log 0.01= o) log 0.001= p) log 0.0001=

q) log1+log10 +log100 + log1000= r) log20 + log = s) log10-4+log=

Ejercicio 11:Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones.

a) log (2ab)= b) = c) d) log (a5 b4)= e)

f) g) h) i) j)=

k) log(abc)2 = l) m) n)

) o) log (a2 b2 )= p) q) log (a2)3 =

r) s) log (x 3 - y 3)= t) log ( a 4 b 4 ) = u) log ( a8 b8 )=

Ejercicio 13 Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce a la mnima expresin logartmica los siguientes desarrollos.

a) log a +log b + log c = b) log x log y = c) 2 logx + 3 log y

d) e) log a log x log y = f)log p + log q log r log s=

g) log 2 + log 3 +log 4 = h) i) log a2 + log b log a=

j) log a + log 2a + log 6a = k) l)

m) n) )

o) p) q) log (a+b) + log (a-b)=r) log (a- b) + log (a + b ) + log (a2 +b2 )=

Ejercicio 14 aplicando las propiedades de los logaritmos, calcula el valor de las siguientes expresiones, slo sabiendo que:1) log 2 = 0.30103 log 3 = 0.47712 log 5 = 0.69897 log 7 = 0.84510

a) log 4 = b)log 32 = c) log 6 d) log 27 e) log 15= f) log 14=g) log 49= h) log 20= i) log 150= j) log 35= k) log 42= l) log 21=

m) log 75= n)log 48 = ) log 45= o) log 105= p) log 196= q)

r) s) t) u) v) w) log 3.5 =x) log 0.6 = y) log 2.8 = z) log 1.4=

2) log 16 = 1.20412 log 24= 1.38021 log 48 = 1.68124 log 6= 0.77815

a) log 2= b) log 4 = c) log 3 = d) log 8 = e) f) g) log 9 = h) log 96= i) log 144= j) log 384

3) log 6 = 0.77815 log= 0.60206 (algunos resultados te servirn para calcular otros logaritmos)

a) log 2 = b) log 3 = c) d) e) log 8 + log 9=f) log 18 log 16 =

Ejercicio 15Calcula los siguientes logaritmos. Utiliza una calculadora cientfica.(5 decimales)

a) log 35 b) log 845= c)log 12.38= d) log 1.37= e) log 0.04= f) log 51.49= g) log 9500= h) log 36.728 = i) log 0.03= j) log 834.12=k) log 1001 = l) log 5.003= m) log 41.05= n) log 9909 =

Ejercicio 16 Aplicando la propiedad cambio de base y con la ayuda de una calculadora cientfica, determinar el valor de los siguientes logaritmos.

a) log5 12 = b) log2 8 = c) log3 35 = d) log4 81 = e) log4 126 =

f) log5 23 = g) log13 45 = h) log6 3.1 = i) log15 43 = j) log2024 =

k) log 8 125= l) log9 25.3= m) log3 34.82= n) log14 45.06=

) log9 151.3= o) log25 38.41= p) log131.4= q) log4 0.2 =

ECUACIONES LOGARTMICAS

Las ecuaciones logartmicas son las que tienen la incgnita en el argumento de algn logaritmo.Para resolverlas, debemos tener presente que: Siempre que sea posible, conviene agrupar los logaritmos en uno solo, para lo cual se aplican las propiedades. Para despejar una incgnita contenida en el argumento, se aplica la definicin de logaritmo. Slo existen logaritmos de nmeros positivos, por lo cual deben descartarse como soluciones los valores que no verifiquen la ecuacin original.

Ej 1: log(x+1) = 3 Ej 2: log(x+7) log(x+1) = 4 Ej 3: 2. logx + log(8x) = 3

2 = x+1 logx + log(8x) = 3

2 1= x log ( x . 8 x ) = 3

7 = x 2( x+1) = x+7 log (8 x) = 316 x + 16 = x +7 5 = 8 x

15 x = 9 = x x = 3/5 x = 2,5Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 20 log(x 15 ) = 0b) 2. logx log(x+6) = 3.log2

c) logx + log(x+1) = .logxd) 5

e) 3f) 4

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar los resultados obtenidos:

a) log3b) log x log 3 = 2

c) log(x+5) = 2d) log(8.x) + log(4.x) = 8

e) log x log 17 = 0f) log(x+12) log(x+3) = 1

g) log(32x) = 0h) log (x8) + log (x2) = log (8x)

i) logx = 5 .log2j) 2. log x = 1 + log ( x 0,9)

k) 3. log x log 32 = log l) log (x+1) log ( x1) = log 2

m) log (x2) + log(x+3) = log 6n) log(x1) = 6 log(3x+1)

o) log(x1) = 3 log(5x+1)

Actividades extras: Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) log x + log (x+2) = log 3 b) log (x+5) = log (3x 8)

c) log (x+3) + log 7 = log (x-3) d) log 2 + log (x+3) = log 7

e) log (x-3) log (x+5) = log 8 f) log (x-3) + log 8x+2) = log (x2 -5)

g)log(3x+1) log (2x -8) = log (6x 5) log (4x -25)

h) log 4 + log (3x -5) = log 16 i) log (x-2) + log (x+4) = log (x-1) +log (x+1)

j) log 3 log 4 = log (x-1) log (x+2) k) log 2x + log(2x + 1) = 2 log (2x -3)

l) log x + log (x-3) = 1 m) log (x+4) = 2 log (x-2) n)

) log(4x + 5) log (x+2) = log(7x -1) log (5x -3) o) 2log x - log 3x = 0

p) (log x)2 2log x +1 = 0 q) r)

s) t)

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 3 x+2 2=4374 b)7x+1 2 x-1 =686 c) 3 x-2 . 2 x-1 =1.125 d) 4 x-3 :52x -7 = 0.8

e) f) 5 2x -3 6 4x =1,44 g) h) 3 4x 5 3x = 5 x+2 3

i) 5 x +1 4 = 2500 j) 2 x 3 x+1 4 x+2= 2

k) 6x : 4 x-2 =121.5 l) 2 x-3 3 x-4 = 72

m) n)

) o) 2 x -1 + 2 x+1 + 2 x +2 x-2 =6 p) 3 x-1 + 3 x+1 3 x -3 x-2 = 2

FUNCIN LOGARTMICA

Es toda funcin del tipo: y = logx ( Se lee: logaritmo en base a, de x) a es la base x es el Argumento Es un n real positivo Es un n real positivo

Definicin de Logaritmo:

logb = c a= b Ej: log8 = 3 porque 2 = 8

Encontrar el logaritmo de un n es encontrar el exponente al que se debe elevar la base, para obtener el argumento

Ej: log8 = 3 porque 2 = 8 / log9 = 2 porque 3 = 9

Observaciones: - El logaritmo, en cualquier base, de un n negativo no existe - El logaritmo, en cualquier base, de 0, no existe - El logaritmo, en cualquier base, de 1, es 0 - El logaritmo mas usado es el de base 10, y no colocamos la base cuando lo escribimos. Es el nico logaritmo que puede realizarse con calculadora. Ej: log 100 = 2 (verificalo)

Consideremos la funcin: y = logxx1248

y = log x

Dominio: R Imagen: R Ceros: Corta al eje x en (1;0) Ordenada al origen: no tiene Asntota Vertical x = 0 ( es decir el eje y)

Qu observas con respecto a la funcin exponencial y = 2?................................................

Consideremos, en un mismo grfico, las siguientes funcionesx12345

y = log x

y = log x

y = log x

y = log x

Caractersticas comunes: Dominio : .. Imagen: . Cortan el eje x en el punto (;.) No tienen ordenada al origen Tienen una asntota que es el eje.Qu diferencias observs?......................................................................................................

Consideremos ahora las siguientes funciones logartmicas:x12345

y = log x

y = log (x2)

y = log (x+1)

Imagen:.. Ceros:. Ordenada al origen: Dominio: Asntota:....

Conclusiones: La Funcin Logartmica es la inversa de la Funcin Exponencial Si a > 1, la funcin es creciente. Si a < 1, la funcin es decreciente. Si las bases son recprocas, los grficos son simtricos con respecto al eje x. Si sumamos o restamos un n al argumento, la curva se desplaza en forma horizontal

Ejercicio 15: Graficar y analizar las siguientes funciones logartmicas: f(x) = log xg(x) = log ( x3) h(x) = log( x+2) EJERCICIOS DE REPASO:

1) ln x + ln ( R: e)2) logx log(25 x) = 0(R: 5)

3) logx logx = 1 (R: )4) logx 2 logx = 8(R: )5) log(x+1) = log 10 + log (x8) (R: 9)6) log36 + log 6 = 3(R: 6)

7) 2. log x = 1 + log ( x 0,9)(R: 9 y 1) 8)5(R: 0,476)9) 3. log x log 32 = log (x/2)(R: 4) 10) log (x+1) log (x1) = log 2 (R: 3)

11) (R: 1 y 4/9 ) 12) (R: 1,693)

13) log(2x 6) + 3 = 3(R: 7/2) 14) 3 .logx 8 = 14(R: 3)

15) 4 log (x x + 4 ) = 3(R: 3 y 2) 16) log(x4) + 2(R:)

17) x = (R: 1,458)18) 10

19) logx + log(R: 9)20) ln (x1) + ln (x+3) = ln (x+5) (R:4)

21) logx + 3.logx = 2(R: 2)22) log 3 + log 6 log 2 = 2 (R: 3)

23) ln x ln+ ln x = (R: 1,221)24) log25) log(x+3) + log(2x-1) = log 2.(x+4) (R: 11/5)

POTENCIACIN:

Ejercicio 1: Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia

a) b)

c) d)

e) f)

g)

Ejercicio 2: Resolver:

a) b) c)

d)e) f)

ECUACIONES EXPONENCIALES:

Son aquellas ecuaciones que contienen la incgnita en algn exponente. Observen algunos ejemplos de cmo se pueden resolver:

Ej 1: 1024 = 8 . 2 Ej 2: 3 + 3 = Ej 3:

10 = 3 + x 2x + 4 = 6 x

x = 7 + 4 = 6 x + 2 x

x = 1

Ejercicio 3: Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar las soluciones obtenidas:

a) g) m)

b) h) n)

c) i) o)

d) j) p)

e) k) q)

f) l) r)

Ejercicio 4: Hallar x en las siguientes ecuaciones:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

FUNCIN EXPONENCIAL:

Es toda funcin del tipo:f(x) = k . a Exponente real

Coeficiente de la funcinBase de la funcin Es un n real 0Es un n real positivo

Consideremos la funcin y = 2x-3-2-10123

y = 2

Analicemos la funcin: Dominio: Todos los R Imagen: R Ceros: No tiene, porque Ordenada al origen: 1Una caracterstica evidente de esta curva es la rapidez con la que crece. A ese crecimiento vertiginoso se lo llama crecimiento exponencial.

Cuando x tiende a , la curva se aproxima cada vez ms al eje x, pero nunca llega a tocarlo. Por eso la recta de ecuacin y = 0 (es decir, el eje x) es su asntota horizontal.

Consideremos ahora, en un mismo grfico, las funciones f(x) = 2, g(x) = 3, h(x) = 4

x-3-2-10123

y = 3

x-3-2-10123

y = 4

Qu tienen en comn? Tienen Dominio = Tienen Imagen: .. No tienen ceros Cortan al eje de ordenadas en ( ; ) Tienen asntota horizontal, que es el eje.Qu diferencia observan? ...

Consideremos las funciones f(x) = 2 y t(x) = x-3-2-10123

y = ()

Dominio:.. Imagen: Ceros:.. Ordenada al origen: .. Asntota:..Qu diferencia observan?.......................................................................................................

Consideremos ahora: r(x) = 3 . 2, s(x) = 3 . 2

x-3-2-10123

y = 3. 2

x-3-2-10123

y = 3.2

Dominio:.. Imagen: Ceros:.. Ordenada al origen: .. Asntota:..Qu diferencia observan?........................................................................................................Conclusiones: A medida que la base crece, la curva se cierra cada vez ms Si a > 1, la curva es creciente. Si a < 1, la curva es decreciente. Las curvas que corresponden a funciones exponenciales de bases recprocas, son simtricas con respecto al eje y Las curvas que corresponden a funciones exponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos, son simtricas con respecto al eje x.

Ejercicio 5: Graficar y analizar las siguientes funciones exponenciales:

f(x) = 2 . 5 g(x) = . 3 h(x) = 2 . 4 j(x) = 2 k(x) = . 3

Ejercicio 6: Porqu la base debe ser un n real positivo? Qu pasa si a = 1?

EJERCICIOS DE REPASO

1) ( R: )2) ( R: 5)

3) (R: 0)4) (R: )

5) (R: 4)6) (R: 3/2)

7) (R: 4)8) (R: 2)

9) (R: 2)10) (R: 2 )

11) (R: 2)12) (R: 1/3)

13) (R: 8)14) (R: 2)

15) (R: - 1)16) (R: 2)

17) (R: )18) (R: 2/3)

POTENCIACIN:

Ejercicio 1: Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia

a) b)

c) d)

e) f)

g)

Ejercicio 2: Resolver:

a) b) c)

d)e) f)

ECUACIONES EXPONENCIALES:

Son aquellas ecuaciones que contienen la incgnita en algn exponente. Observen algunos ejemplos de cmo se pueden resolver:

Ej 1: 1024 = 8 . 2 Ej 2: 3 + 3 = Ej 3:

10 = 3 + x 2x + 4 = 6 x

x = 7 + 4 = 6 x + 2 x

x = 1

Ejercicio 3: Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar las soluciones obtenidas:

a) g) m)

b) h) n)

c) i) o)

d) j) p)

e) k) q)

f) l) r)

Ejercicio 4: Hallar x en las siguientes ecuaciones:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

FUNCIN EXPONENCIAL:

Es toda funcin del tipo:f(x) = k . a Exponente real

Coeficiente de la funcinBase de la funcin Es un n real 0Es un n real positivo

Consideremos la funcin y = 2x-3-2-10123

y = 2

Analicemos la funcin: Dominio: Todos los R Imagen: R Ceros: No tiene, porque Ordenada al origen: 1Una caracterstica evidente de esta curva es la rapidez con la que crece. A ese crecimiento vertiginoso se lo llama crecimiento exponencial.

Cuando x tiende a , la curva se aproxima cada vez ms al eje x, pero nunca llega a tocarlo. Por eso la recta de ecuacin y = 0 (es decir, el eje x) es su asntota horizontal.

Consideremos ahora, en un mismo grfico, las funciones f(x) = 2, g(x) = 3, h(x) = 4

x-3-2-10123

y = 3

x-3-2-10123

y = 4

Qu tienen en comn? Tienen Dominio = Tienen Imagen: .. No tienen ceros Cortan al eje de ordenadas en ( ; ) Tienen asntota horizontal, que es el eje.Qu diferencia observan? ...

Consideremos las funciones f(x) = 2 y t(x) = x-3-2-10123

y = ()

Dominio:.. Imagen: Ceros:.. Ordenada al origen: .. Asntota:..Qu diferencia observan?.......................................................................................................

Consideremos ahora: r(x) = 3 . 2, s(x) = 3 . 2

x-3-2-10123

y = 3. 2

x-3-2-10123

y = 3.2

Dominio:.. Imagen: Ceros:.. Ordenada al origen: .. Asntota:..Qu diferencia observan?........................................................................................................Conclusiones: A medida que la base crece, la curva se cierra cada vez ms Si a > 1, la curva es creciente. Si a < 1, la curva es decreciente. Las curvas que corresponden a funciones exponenciales de bases recprocas, son simtricas con respecto al eje y Las curvas que corresponden a funciones exponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos, son simtricas con respecto al eje x.

Ejercicio 5: Graficar y analizar las siguientes funciones exponenciales:

f(x) = 2 . 5 g(x) = . 3 h(x) = 2 . 4 j(x) = 2 k(x) = . 3

Ejercicio 6: Porqu la base debe ser un n real positivo? Qu pasa si a = 1?

EJERCICIOS DE REPASO

1) ( R: )2) ( R: 5)

3) (R: 0)4) (R: )

5) (R: 4)6) (R: 3/2)

7) (R: 4)8) (R: 2)

9) (R: 2)10) (R: 2 )

11) (R: 2)12) (R: 1/3)

13) (R: 8)14) (R: 2)

15) (R: - 1)16) (R: 2)

17) (R: )18) (R: 2/3)

Teorema del seno

Reflexionemos

Qu clases de tringulos conoces? Qu es solucionar un tringulo? Cmo solucionaras un tringulo que no sea rectngulo? Qu entiendes por directamente proporcional?

Analicemos

El teorema del seno lo utilizamos para solucionar cualquier tipo de tringulo conociendo:

Dos ngulos y cualquier lado

Dos lados y un ngulo (excepto el ngulo formado por los lados conocidos)

20cm60

20cm

30120

3050cm63

10cm

GUA DE TRABAJO

1. Cules de los siguientes tringulos los puedes solucionar por el teorema del seno? Por qu?60

30 cm60

2022cm

105cm

10 cm

2. Resuelve los siguientes ejercicios:

Un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 45 y la hipotenusa de 23cm. Cul es la medida del cateto opuesto al ngulo de 45 Soluciona el tringulo cuyas dimensiones son: La medida del ngulo A es 47; La medida del ngulo B es 28 y la medida del lado c es 30m. Calcula la longitud de los lados de un paralelogramo, si una de sus diagonales mide 123cm. y forma con ellos un ngulos de 56 y 38

3. Cada grupo de datos corresponde a un tringulo. Di en que casos puedes aplicar el teorema del seno.

a) a = 17cm b = 15cm y B = 37b) a = 24,5cm b = 34,7cm y C = 76 c) A = 120 B = 25 y a = 72,3cmd) a = 12cm c = 23cm y A = 94

4. Soluciona si es posible cada uno de los siguientes tringulos si sus dimensiones son:

a) A = 130 a = 2,56mb = 8,9mb) A = 89 a = 33mmC = 12c) A = 89 b = 8,9mB = 61d) B = 54 c = 45mC = 18

5. Inventa un problema que se solucione aplicando el teorema del seno y solucinalo

6. Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ngulo CAB igual a 79.3 y el que est en B mide un ngulo CBA igual a 43.6, a qu distancia est la bolla de la costa?

7. Un poste forma un ngulo de 79 con el piso. El ngulo de elevacin del sol desde el piso es de 69. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

8. Si medimos los ngulos de elevacin de una montaa desde lo ms alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y stos son 38.5 y 40.2 respectivamente Cul es la altura de la montaa? Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andn que se inclina hacia abajo con un ngulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrs de l proyecta una sombra de 18 pies

9. Sea ABC un tringulo rectngulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ngulo , opuesto a ese lado, mide 42. Calcula:

a) el lado AC b) el lado BC c) el ngulo

10. Si ABC es un tringulo rectngulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC b) el ngulo ABC c) el ngulo ACB

11. Si MNO es un tringulo rectngulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado MN b) el ngulo MNO c) el ngulo MON

12. La sombra que proyecta un rbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. Cul es la medida del ngulo que hace la horizontal con la lnea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del rbol?

13. Un avin sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ngulo constante de 10 hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qu distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

14. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ngulo de elevacin de 35 y la parte inferior, con un ngulo de depresin de 43. Determina la altura del edificio de enfrente.

Teorema del Coseno

Reflexionemos

Con Qu funcin trigonomtrica utilizaras este teorema? Qu tipo de tringulos crees que se pueden solucionar con este teorema? Qu conoces de este teorema? Habas odo hablar de l, alguna vez?

Analicemos

Los siguientes tringulos se pueden solucionar con este teorema

20cm20cm

7cm120cm

20

15cm10cm

40cm

1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un tringulo, mientras que a, b, g son las medidas de los ngulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el tringulo en cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35 b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c) c = 10 cm. = 40 = 70 d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43 e) = 53 = 75 c = 30,5 cm. f) = 48 = 68 c = 47,2 mm.

2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ngulo de 36 y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.

3. Dos trenes parten simultneamente de una estacin en direccin tal que forman un ngulo de 35. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qu distancia se encuentran separados despus de dos horas de viaje.

4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ngulo a entre ellos.

TALLER

1. Asigna los datos necesarios que deben tener los siguientes tringulos para que se pueda aplicar el teorema del coseno

2. Resuelve los siguientes ejercicios:

a. El Col. J.E.R va a realizar un parque triangular para patinaje cuyos lados miden. 75m, 85m y 100m respectivamente. Cules son las medidas de los ngulos del parque.b. Un barco es divisado por dos estaciones de radar, A y B, que estn en lnea Norte Sur y distantes una de la otra 6.5Km. La estacin A lo localiza en la direccin 34 E y la B en la direccin 48 E: A qu distancia est el barco de la estacin B?c. Soluciona el tringulo cuyas dimensiones son: La medida del ngulo C es 30; La medida del lado b es 7.5Km. y la medida del lado a es 5Km..

3. Soluciona los siguientes tringulos aplicando el teorema adecuado:

a) B = 49 ; b = 12cm; C = 97b) a = 67m ; B = 58 ; C = 108 c) a = 67m ; b = 43m ; c = 53md) B = 78 ; b = 102m ; a = 88m e) a = 23m ; b = 43m ; c = 53mf) A = 24 ; B = 54 ; c = 12m

4. Encuentra el valor de X36

70cm

a)b)c)15m

x50cm

25m17cm17cm

x

100cm75cm

17

d)e)137x

x x7cm

57

26

5. Inventa un problema que se solucione con el teorema del coseno

Contenidos

Unidada 0Mdulo. Definicion. Propiedades.Ecuaciones e inecuaciones.Ecuaciones de segundo grado. Ecuacin completa e incompleta- Inecuaciones de segundo grado. Inecuaciones fraccionarias. Nmeros Irracionales. Propiedades. Operaciones. Ecuaciones

Unidad 1Estudio de funcin. Dominio e Imagen. Raices. Ordenada al Origen. Intervalos de Positividad y Negatividad. Crecimiento y Decrecimiento. Funcin Peridica. Nocion de Funcin Continua.Composicin e Inversa de una funcin.

Unidad 2 Races de una Funcin Polinmicas. Conjuntos de Ceros. Ordenada al origen. Conjunto de Positividad y Negatividad. Teorema de Bolzano. Consecuencia del Teorema. Grafico aproximado. Lectura de grfico. Conjunto de Crecimiento y Decrecimiento

Unidad 3Funcin Racional. Simplificacin de expresiones racionales. Raz. Ordenada al Origen. Asntotas Horizontal y Vertical. Grfico aproximado.

Unidad 4Logaritmo. Definicin. Propiedades. Logaritmo Decimal. Logaritmo Natural o Neperiano. Uso de calculadora. Operaciones Combinadas. Ecuaciones Logartmicas y Exponenciales. Funcin Exponencial y Funcin Logartmica. Propiedades. Desplazamientos de las funciones. Grafico aproximado.

Unidad 5TrigonometraRazones trigonomtricas. Generalizacin de las relaciones trigonomtricas. Teorema del Seno. Teorema del cosenoHiprbola. Ecuacin. Grfico. Focos. Excentricidad. Elipse. Ecuacin. Grfico. Focos

Unidad 6Sucesiones. Sucesiones dadas por trmino general y por recurrencia Uso de calculadoras

Unidada 7Poblacin Muestra y variables. Grafico y distribucin de frecuencia. Medidas de centralizacin: Media, Moda y mediana. Parmetros de posicin. Parmetros de dispersin Uso de calculadoras

Evaluacin

Al iniciar cada clase, se realizara una revisin de los contenidos anteriormente adquiridos Al finalizar cada unidad, se realizar un trabajo prctico integrador que ser auto corregido en clase antes de la evaluacin escrita para tener una referencia de estudio. Las evaluaciones escritas sern avisadas con una semana de anticipacin La evaluacin de esta materia ser dada mediante un proceso continuo, no ser asociada nicamente a la calificacin obtenida en evaluaciones escritas, sino adems con actividades grupales, individuales, trabajos prcticos, exposiciones orales e investigaciones pedidas. En cada clase de matemtica se priorizar la participacin y en el trabajo en el aula para evaluar si el alumno esta en presencia del error o ausencia del conocimiento. En la evaluacin se tendr en cuenta: La claridad de las explicaciones escritas y orales Los procedimientos de resolucin de clculos y procedimientos utilizados en distintas situaciones problemticas La creatividad en la resolucin La presencia de cualquier otro signo de habilidad matemticaBibliografa Berio, Adriana y otros: Matemtica 1, Polimodal. Puerto de Palos, Madrid, 2001.Abdala, Carlos y otros. Carpeta de Matemtica II. AIQUE, Brasil 2001.Kaczor, P. y otros: Matemtica II Polimodal, Ediciones Santillana SA, Buenos Aires 1999. Graziani, E. Estruch M.: Para Resolver Matemtica, Polimodal II. Ediciones del Eclipse, Bs As, 2000. Zapico, Irene. y otros: "Matemtica 2", Puerto de Palos. Madrid, 2001.Matemtica Funciones y estadstica, Simone Irene y Turner Margarita, Ed AZ, 2005Matemtica para el aprestamiento universitario, Carnelli Gustavo, UNGS 2007Ediciones Logikamente, Pizurno, Versin 2009

LABOR PEDAGGICA CON ALUMNOS DESAPROBADOS

ALUMNO:_______________________________________________________

CURSO:_____________________ TURNO:_________________________

MATERIA:_______________________PROFESOR:.____________________

ESCUELA:______________________________________________________

PERODOCALIFICACIONES PARCIALESCompletar con instancia o tipo de evaluacinPROMEDIO

1 TRIMESTRE

2 TRIMESTRE

3 TRIMESTRE

DICIEMBRE

FEBRERO

CALIFICACIN FINAL

Razones por las cuales el alumno fue desaprobado:

Estrategias que el docente implementar para que el alumno pueda superar estas dificultades y aprender los contenidos o tareas de desempeo necesarios para aprobar.

FIRMA DEL DOCENTE: FIRMA DEL ALUMNO: FIRMA DEL PADRE:

SEGUIMIENTO DE PROCESO DE APRENDIZAJE Y ORIENTACIONES AL ALUMNO HECHOS POR EL PROFESOR: SUPERVISIN ACOMPAAMIENTO Y MONITOREO DEL E. D:MAPA DE PROGRESO DEL ALUMNO:RESULTADOS FINALES

APRECIACIN O CONCLUSIN DEL DOCENTE:.

FIRMA DEL DOCENTE: FIRMA DEL ALUMNO:FIRMA DEL PADRE: ..ULTADOS FINALES:...LUMNO:ES AL ALUMNO esarios para aprobar.

____Planilla Reunin de PadresMateria: MatemticaAlumno:Curso:Div:Profesora: Gmez Marcela Fecha: / /Establecimiento:MBBRM

InterpretacinSimblico

Coloquial

Participacin en clases

OralidadIntervencin en clases

Utilizacin de Vocabulario

Comprensin de consignas

ComprensinAtencin a las explicaciones de consignas

Resolucin de situaciones previas

Trabajo grupal

TrabajoTrabajo individual

ulicoAtencin a las explicaciones del docente

Produccin de conclusiones

Manifestacin de dudas o errores

Responsabilidad

TareaInvestigacin

DomiciliariaUso de carpeta, como herramienta de trabajo

Uso de conocimientos previos

Referencias: MB (Muy Bien) B (Bien) R (Regular) M (Mal)

Observaciones:

Planilla Reunin de PadresMateria: MatemticaAlumno:Curso:Div:Profesora: Gmez Marcela Fecha: / /Establecimiento:MBBRM


Coloquial







Trabajo grupal





Responsabilidad

TareaInvestigacin




Observaciones:

Planilla Reunin de PadresMateria: MatemticaAlumno:Curso:Div:Profesora: Gmez Marcela Fecha: / /Establecimiento:MBBRM


Coloquial







Trabajo grupal





Responsabilidad

TareaInvestigacin




Observaciones:

Cuadernillo5to Sj

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