COLEGIO DE BACHILLERESCUADERNO DE TRABAJOMatemticas VI clculo y azarCUADERNO DE TRABAJOMatemticas VI clculo y azarElaboradores:Efran Nava lvarezJulio Alberto Ontiveros RodrguezLorena Mendoza GutirrezClaudia Anglica Jimnez RamrezCoordinadores:David Simn Contreras Rivas Jos de Jess Snchez VargasRevisin del Material: Guadalupe Coello, Jefa del Departamento de Diseo Curricular.Colegio de Bachilleres, Mxico, 2012. Subdireccin de Planeacin Curricular.Coordinacin de la Academia de MatemticasElpresente materialno persigue fin alguno de lucro, toda la informacin compilada tiene slo fines educativos.Este material est sujeto a modificaciones por parte del docentequelouseypuedeser copiadoyreproducidopor cualquier forma y medio, en su totalidad o en partes,segn convenga tanto a profesores como a alumnos.2ContenidoContenido ...................................................................................................................................................3 Introduccin................................................................................................................................................5 Bloque temtico I: reas y algo ms......................................................................................................6 Cunto sabes? .....................................................................................................................................6 Ejercicio: sopa de letras .........................................................................................................................9 Ejercicios: ..............................................................................................................................................11 Problemtica: Todo por servir se acaba..............................................................................................12 rea entre dos curvas..............................................................................................................................15 Slidos de revolucin ...............................................................................................................................23 Problemtica: La forma s cuenta .........................................................................................................23 Ejercicios ...............................................................................................................................................27 Autoevaluacin Bloque I.......................................................................................................................29 Gua de observacin............................................................................................................................31 Lista de cotejo .......................................................................................................................................32 Anexo 1 Instalacin del Geogebra....................................................................................................34 Anexo 2 Uso bsico..........................................................................................................................38 Anexo 3 Tabla de derivadas e integrales........................................................................................40 Bloque temtico II: La indefinida .............................................................................................................48 Integracin por cambio de variable .........................................................................................................51 Integracin por partes..............................................................................................................................60 Integracin por descomposicin de fracciones simples (parciales) .......................................................70 Autoevaluacin bloque II: la indefinida .................................................................................................73 Gua de observacin............................................................................................................................74 Fuentes de informacin........................................................................................................................75 Cunto sabes? ...................................................................................................................................76 Eventos excluyentes................................................................................................................................78 Eventos NO excluyentes .........................................................................................................................80 Probabilidad de eventos independientes................................................................................................84 Distribucin Binomial...............................................................................................................................85 Ejercicios ...........................................................................................................................................86 Anexo 4 Uso de la Binomial con Excel.............................................................................................90 Bloque temtico IV: Estimacin y contraste............................................................................................92 Cunto sabes?................................................................................................................................92 Distribuciones muestrales: t-student y normal ........................................................................................93 Distribucin Normal ..............................................................................................................................93 Ejercicios ...........................................................................................................................................96 ProblemticaBarriga llena, corazn contento?..............................................................................100 Intervalo de confianza estimar la proporcin poblacional ..................................................................101 Ejercicios: ........................................................................................................................................103 3Intervalo de confianza estimar la media poblacional.........................................................................104 Ejercicios: ........................................................................................................................................107 Prueba de hiptesis para la proporcin .............................................................................................108 Ejercicios: ........................................................................................................................................110 Ejercicios de prueba de hiptesis para la media............................................................................112 Inferencias para muestras chicas......................................................................................................113 Ejercicio ...........................................................................................................................................113 Intervalos de confianza para la media (muestras chicas) .................................................................114 Distribucin Ji-cuadrada .....................................................................................................................116 Ejercicios: ........................................................................................................................................120 Anexo 5 Tabla de Distribucin Normal Estndar ...........................................................................123 Anexo 6. Tabla de la distribucin t de student ................................................................................125 Anexo 7Tabla de Distribucin Ji cuadrada ...................................................................................126 Fuentes de informacin......................................................................................................................128 4IntroduccinEn el marco del Proceso de implementacin de la RIEMS el Colegio se ha propuesto la elaboracin de materiales didcticos pertinentes y adecuados que te apoyen a lo largo del proceso de enseanza-aprendizaje.En este sentido, se presenta el siguiente cuaderno de trabajo para los alumnos que cursan el sexto semestre de matemticas,de manera que puedas complementar y reforzar los conocimientos que desarrollas en el saln de clase. Este material no pretende sustituir las actividades de enseanza y de aprendizajequerealizas enclase, lafinalidadbsicaescomplementar yampliar tus opciones respecto de los materiales didcticos que la institucin te ofrece.Este cuaderno de trabajo aborda los principales temas de aprendizaje sealados en cada uno de los bloquesyncleostemticosdel programaoficial deestudios, conlaideadeapoyar ymejorar tu razonamiento matemtico por medio del anlisis y solucin de problemticas, problemas y ejercicios relacionados, en la medida de lo posible, con tu contexto familiar, para lograr lo anterior a lo largo de este material vas aplicar los mtodos, procedimientos, modelos y conceptos del clculo integraly la estadsticainferencial. Por ltimo, al final decadabloquesetepresentanloselementos dela autoevaluacin y algunas sugerencias sobre los aspectos ms complejos de los temas abordados.Una de las principales actividades que vas a desarrollar en cada bloque es la elaboracin, ajuste y aplicacin de estrategias de solucin (actividades secuenciadas, en etapas o por momentos) para encontrar las respuestas alas diferentes problemticas situadas, problemas contextualizados y ejercicios que se te presentan en este material. Es muy importante que sigas las indicaciones de tu profesor yteasesoresconl todaslasvecesqueseanecesariosobrecmoelaborar yponer a prueba una estrategia para solucionar un problema matemtico. Enel bloqueI, comoparteimportantedelaelaboracindeestrategias, vasautilizar el lenguaje matemtico para construir modelos matemticos y para aplicarlo endiversos procedimientos y mtodos grficos y algebraicos, todoelloencaminado aencontrar lasolucin osoluciones de situaciones relacionadas con el clculo de reas bajo la curva, reas entre dos curvas, as como el clculo de volmenesEn el bloque II continuars con elaboracin de estrategias, en la bsqueda de solucin a problemticas donde se aplica la integralindefinida,adems conocers algunos de los mtodos y tcnicas de integracin como son: cambio de variable, en integrales algebraicas y trascendentes, por partes y fracciones parciales.En el bloque III las estrategias que vas a elaborar y los temas que vas a revisar te van a proporcionar los elementos bsicos para quepuedas tomar decisiones ms racionales y analticas, pues a profundizar tushabilidadeslgico-matemticasdesarrollandolahabilidadparaconstruir yutilizar modelos grficos y algebraicos de la probabilidad.Finalmente, se te proporciona una bibliografa bsica para consultar en fuentes originales los temas desarrollados en este cuaderno de trabajo, incluyendo pginas de internet donde podrs estudiar los temas de cada bloque.Te deseamos mucho xito Los AutoresBloque temtico I: reas y algo msPropsito: Al finalizar este bloque debers de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemticas situadas,utilizaras ellenguaje matemtico en la construccin de modelos y enlaaplicacin deprocedimientos y mtodos grficos y algebraicos para resolver situacionesrelacionadasconlaintegral definida, clculodereasentredoscuervasyslidosde revolucin. Utilizaras demanera optima las tecnologas delainformacin y lacomunicacin y trabajaras en forma colaborativa. Para abordar este bloque temtico debers conocer, manejar y aplicar los siguientes temas: Trabajo colaborativo y uso de TIC Derivadas Factorizacin y Leyes de los exponentes (potenciacin) Grfica de funciones reas y volmenesConceptos y temas que debes aprender en este bloque: rea bajo la curva e Integral definida. rea entre dos curvas y slidos de revolucin.Qu debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalen: Elaborar y elegir estrategias de solucin a las problemticas situadas. Argumentar la solucin de las problemticas haciendo uso del lenguaje matemtico. Aplicar mtodos y tcnicas de integracin en el clculo de reas y volmenes. Trabajar de manera colaborativa. Utilizar las tecnologas de la informacin y la comunicacin.Cunto sabes?Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos previos, resuelve los siguientes ejercicios y compara tus procedimientos y resultados con los de tus compaeros.I. Simplifica las siguientes expresiones aritmticas.a) ,_

,_

+74 8721b) ,_

+ 1]1

413521616c) ,_

+ 1]1

418154587d)

,_

,_

+74 8721e) 1]1

1]1

811209 85II. Aplica las leyes de los exponentes y escribe una expresin equivalente en cada uno de los siguientes ejercicios.a)54xb) ,_

8nmc)31xd)23xe)1 6a aIII. Aplica las reglas y tcnicas de derivacin y encuentra la derivada de las siguientes funciones.a)12 3) ( + + x x x x fb) t t t h 232) (c) ,_

+xxsen x g1) (d) ) cos(11) ( xxx f+e) ,_

+1) (xxLn x fIV. En una hoja de papel milimtrico elabora la grfica de cada una de las siguientes funciones. Utiliza el graficador Geogebra1 para que compares tus grficas.1 Ver instalacin del graficador Geogebra en el anexo 17a)6 ) ( x fb)1 ) ( + t t hc)2) ( x x f d)3) ( x x f e) ) 12)( 2 ( ) ( + x x x gf)xe x f ) (g)tt h1) ( h)x x g ln ) ( i)x sen x f ) ( j)x x g cos ) ( V. Investiga los siguientes conceptos y escribe con tus propias palabras en el espacio correspondiente su definicin y comntalas con tus compaeros. Cualquier duda consltala con tu profesor.Concepto InterpretacinIntegral definidaAntiderivadaConstante de integracinTeorema fundamental del clculoLmites de integracinIntegral Indefinida8Propiedades de la integralEjercicio: sopa de letrasInstrucciones:completa los siguientes enunciados y busca en la sopa de letras las palabras que anotaste. Si tienes alguna duda consulta las fuentes de informacin que se proporcionan al final del bloque.El clculo del rea bajo la curva tambin se conoce como (integracin).El smbolo de la integracin representa una (sumatoria).Es una aplicacin delclculo integral (volumen de slidos).Alasumatoriadelasreasderectngulosdebajodelacurvaseleconocecomosumatoriade (Riemann).Integral de una funcin contenida entre dos valores (definida).Integracin que se resuelve con solo aplicar la expresin del formulario (inmediata).Mtodo deintegracinbasadoen laderivadade unproductode funciones, eslaintegracinpor (partes).El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los (lmites) de integracin.El conjunto formado por todas las antiderivadasde la funcin es la integral (indefinida).La integral del (producto) de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.En la expresinla c representa a la (constante) de integracin.Z A M P R O D U C T O A L F O S IA D R O L C A R T S A R C R O A PR I U R E L O T A N N A H D B R IE L E P U V T N R C A N I M O T NS O R A V E I U S R N L V E H W TE S O R Y A X S R T O Y A I P K ET C A T R L E O S S A M S A R A GI L E E I D B I E U N N A M E I RM I L S E O F D O E J E T V S R AI N T U N E N R E U S P K E T O CL E P C T E U O A F I O N A U T IV I U P M N E W T O I N F U D A OS T Q U I E R E T E U N D I I M N9H O L M A T A I D E M N I H A U RR Y U A G I N D E F I N I D A S UV A L S R E R A A C I R E M A E SAnaliza la solucin del siguiente ejemplo. Te recomendamos consultaranexo 3 tabla de derivadas e integrales que se encuentra al final de este bloque.Ejemplo:Calculalaintegral definidadadapor lafuncin 1 9 6 ) (2 3+ + x x x x f enel intervalo cerrado[ ] 2 , 1 .Paso 1: Dada la funcin se debe buscar una antiderivada de sta, esto es:xx x x+ + 293642 3 4Si sta funcin se deriva, se obtiene la funcin original.Paso2:Sesustituye lafuncinoriginal conel signo deintegral yseescriben los lmites de integracin.( )+ + dx x x x 1 9 62 321Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.( ) + + + + dx dx x dx x dx x dx x x x21212213212 3211 9 6 1 9 621212 213 21429364xx x x+ + Paso 4: Se evalan las integrales, sustituyendo el lmite superior (2) menos el lmite inferior (1); estos valores se sustituyen por la x en la ecuacin anterior, de la siguiente manera:21212 213 21429364xx x x+ + = 1]1

+ + + + ) 1 (2) 1 ( 93) 1 ( 641) 2 (2) 2 ( 93) 2 ( 6422 3 4 2 3 42 417 12936412236348416u + + + Por lo tanto el valor de la integral es:( ) + + 2 2 321

4171 9 6 u dx x x x10Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.Calcula la integral definida, dada la funcinx x x f 2 3 ) (2+ en el intervalo cerrado[ ] 3 , 0 .Paso 1: Busca una antiderivada de la funcin.Paso 2: Representa la funcin original como una integral, sustituyendo los lmites de integracin.Paso 3: Aplica las propiedades de la integral.Paso 4: Evala la integral, sustituyendo primero el lmite superior y restando el lmite inferior.Paso 5: Simplifica y obtn el resultado.Ejercicios:Consulta la tabla de integrales y aplica las propiedades de la integral definida para que encuentres el valor de las siguientes integrales.1. dxx 2422. ( ) + dx x x 2 32313. dx x3224. dx ex 1011Problemtica: Todo por servir se acabaLa Segunda Ley de la Termodinmica es tambin conocida como ley de la disminucin de energa y puede manifestarse en diferentes formas, una de ellas es que todo sistema tiende a ir del orden al desorden cuando funciona de manera natural. Esta regla es una observacin de lo que es obvio: las cosas envejecen y pierden suestructura,Las poblaciones se extinguen, las personas mueren,los objetos se desgastan y descomponen.Qu tipodefunciones pueden describir el comportamiento deestos procesos dedeterioroy extincin? Sise conoce o estima la vida media de una persona o bien la duracin promedio de un objeto, cmosepuedecalcular el porcentajedepersonasquevivirnunperodoespecficode tiempo, o bien, la proporcin de objetos que durarn cierta cantidad de tiempo?;por ejemplo, si un cierto tipo de lmparas duran en promedio 600 horas,qu porcentaje de ellas durarn menos de 700horas?Si contamosconunlotede1200focos, cuntosdeellosdurarnaproximadamente entre 550 y 620 horas?Existen otros elementos que tambin se extinguen,tales como una lnea de espera;sieltiempo promedio paraser atendidoenuncajero automtico es de50segundos, quporcentajede personastendrnque esperar entre 1 y 2 minutos para hacer uso de este servicio? Solucin:Las funciones decrecientes pueden describir los procesos deextincin y deterioro, entre ellas encontramos:a) Lineales de pendiente negativa, por ejemplo: 25 ) (xt f b) Cuadrticas de coeficiente negativo, por ejemplo: 3 ) (2+ x t f12c) Exponenciales negativas, por ejemplo: xe t f ) (La funcin exponencial es de forma: te t f ) (En la cual (lambda) =1/valor medio de la funcin.

Siun tipo de lmparas duran en promedio 600 horas 6001 , el porcentaje de ellas que duran menos de 700 horas se obtiene al evaluar la integral6007007000600170007000700060011 1 16001) ( ) 700 ( e e e dt e dt t f t Pttt6886 . 0 3114 . 0 1 Por tanto, el 68.86% de las lmparas duran menos de 700 horas Porcentaje de lmparas que duran entre 550 y 620 horas13044 . 0 1 1 ) ( ) 620 550 (600550 620550600620 + e e dt t f t PNmero esperado de focos = 1200(0.044)=52.83Duracin de la lnea de espera501 Porcentaje de personas que esperan entre que duran entre 1 y 2 minutos (60 y 120 segundos)2105 . 0 30119 . 0 1 0971 . 0 1 1 1 1501) 120 60 (5060 120605012012060501501 + + e e e dt e t Pt tEjercicios:Anotaloqueseteindicaencadaunodelosespacios enblanco, incluyendo las operaciones necesarias para llegar al resultado.Un tipo de batera para auto dura en promedio 3 aosEl valor de es: __________La funcin que modela el desgaste de las bateras es: __________ Paraconocer el porcentajedeellaquedurarnmenosde3aosymedio, sedebeintegrar la funcin de _____ a _________El desarrollo y solucin de la integral es:Por lo tanto, el porcentaje de bateras que duran menos de 3 aos es: ______________ Paraconocer el porcentajedeellaquedurarnmsde3aosy3meses, sedebeintegrar la funcin de _____a _________El desarrollo y solucin de la integral es:14Por lo tanto el porcentaje de bateras que duran ms de 3 aos y 3 meses es: ______________ Para conocer elporcentaje de ella que duran entre de 2 aos y 4 aos, se debe integrar la funcin de _____a _________El desarrollo y solucin de la integral es:Por lo tanto, el porcentaje de bateras que duran entre de 2 aos y 4 aos es: ______________rea entre dos curvasEn diferentes fenmenos es de inters conocer el rea que delimitan dos curvas, para ello se utiliza la integral endondeel integrandosedefinecomolaresta ) ( ) ( x g x f , enlacual ) (x f delimitael contorno superior y) (x g delimita elcontorno inferior entrelas curvas y los limites los definen las abscisas de los puntos de interseccin.El rea entre dos curvas en el plano, como se muestra en la siguiente figuraSe obtiene mediante la integral definida [ ]badx x g x f ) ( ) ( , donde ayb son las abscisas de los puntos de interseccin Ay B15Ejemplo: Supervit del consumidor y del productorDadasfuncionesdedemanda ) (x f ydeoferta ) (x g deuncierto producto, el reaentre ) (x f yPo, representael ahorrodelos consumidores,se le llama supervit delconsumidor y se calcula de la siguiente manera:[ ] 00) (Xdx Po x f SCEn la cual ) , ( Po Xo Pe es el punto de interseccin entre las curvas de demanda y ofertaAhora el ahorro del productor, denominado supervit del productor, se calcula mediante la integral:[ ] 00) (Xdx x g Po SPEnlacual ) , ( Po Xo Pe esel puntodeinterseccinentrelas curvas de demanda y ofertaEjercicios: En cada uno de los siguientes casos se proporcionan las funciones de demanda y oferta de cierto producto; obtn para cada de ellas lo que se te solicita. Algraficar cada funcin utiliza una -escala adecuada que te permita ajustar los valores al cuadriculado disponible.1.x x gx x f+ 3 ) (2 15 ) (16 Dibuja la grfica de cada funcin. Calcula el punto de interseccin) , ( Po Xo Pe entre las curvasSe igualan las ecuacionesx x + 3 2 15y resuelve la ecuacin resultante.El valor de la abscisa del punto de interseccin es:Xo = ___________Sustituye este valor en) (x f o en) (x g , para determinar PoPo= ___________ Calcula el supervit del consumidor mediante la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx Po x f SC17 Calcula el supervit del productor la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx x g Po SP Verifica la solucin de las integrales con apoyo de Geogebra. (ver anexo 2)2.x x gx x f3 . 0 5 ) (5 . 0 17 ) (+ Dibuja la grfica de cada funcin. Calcula el punto de interseccin) , ( Po Xo Pe entre las curvasSe igualan las ecuacionesx x 3 . 0 5 5 . 0 17 + y resuelve la ecuacin resultante.Resuelve esta ecuacin El valor de la abscisa del punto de interseccin es:Xo = ___________18Sustituye este valor en) (x f o en) (x g , para determinar PoPo= ___________ Calcula el supervit del consumidor mediante la solucin de la integral: [ ] 00) (Xdx Po x f SC Calcula el supervit del productor la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx x g Po SP Verifica la solucin de las integrales con apoyo de Geogebra. (ver anexo 2)3.22200 ) (5 . 1 1200 ) (x x gx x f+ Dibuja las grficas de las funciones. Calcula el punto de interseccin) , ( Po Xo Pe entre las curvas19Iguala las ecuacionesResuelve la ecuacin resultante.El valor de la abscisa del punto de interseccin es:Xo = ___________Sustituye este valor en) (x f o en) (x g , para determinar PoPo= ___________ Calcula el supervit del consumidor mediante la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx Po x f SC Calcula el supervit del productor la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx x g Po SP Verifica la solucin de las integrales con apoyo de Geogebra. (ver anexo 2)4.x x gx x f3 32 ) (120 ) (2+ 20 Dibuja las grficas de las funciones (utiliza una escala adecuada que te permita ajustar los valores al cuadriculado disponible). Calcula el punto de interseccin) , ( Po Xo Pe entre las curvasIguala las ecuacionesResuelve la ecuacin resultanteEl valor de la abscisa del punto de interseccin es:Xo = ___________Sustituye este valor en) (x f o en) (x g , para determinar PoPo= ___________ Calcula el supervit del consumidor mediante la solucin de la integral: [ ] 00) (Xdx Po x f SC21 Calcula el supervit del productor la solucin de la integral:[ ] 00) (Xdx x g Po SP Verifica la solucin de las integrales con apoyo de Geogebra. (ver anexo 2)22Slidos de revolucinProblemtica: La forma s cuentaElolfato se ha considerado siempre el msbajodelossentidos, del quese puede prescindir ms tranquilamente porque altera nuestra percepcin en menor medida que la vista o el tacto.Esto es debido a que, de todos los sentidos, el olfato se caracteriza por ser el ms rpido en poner a funcionar nuestro cerebro, transportndonos a un mundo de emociones y de sentimientos distintosymsprofundos, queel que nos sugiere la visin de una imagen o la percepcin de un objeto. Por tanto, el perfume existe desde que existe el sentido del olfato.Los estudios realizados indican que las personas que se perfuman tienen un mejor concepto de s mismas que las que no lo hacen.Asimismo,estos mismos estudios revelan que las personas que pretenden destacar socialmente consumen varios perfumes diferentes,y,en cambio,las personas que quieren pasar desapercibidas, utilizan siempre el mismo.La aparicin delprimer envase coincidi con la aparicin delprimer perfume,alser una sustancia voltil sedebaevitar dealgnmodosunatural yrpidaevaporacin. Peromuchoantesdela aparicin del cristal, hacia el s. l. A. C., los egipcios ya fabricaban recipientes de diorita y de alabastro que, adems de aislar el producto, conservaban fro su contenido para que no perdiera ni una de sus propiedades odorferas.Hoy en da el diseo de un envase es primordial para la comercializacin de un perfume. Las tcnicas de marketing demuestranquestesevendemssi el diseoesatractivoy revolucionario, pero principalmente ha de ser nico, como el perfume que contiene.Eresunlder deproyectoencargadodedisear losenvasesdeuna determinadalneadeperfumera, paraelegir losposibles envases debes argumentar sobrelos diseos propuestos, as que junto con tu equipo analizaras las propuestas emitidas hasta el momento. Suerte!Las siguientes cuestiones te ayudaran a tener ms argumentos sobre tu mejor eleccin.Qu son los slidos de revolucin?Anota las expresiones que nos permiten calcular el volumen de un slido de revolucin, si el eje de revolucin esta en el eje de las abscisas Y si se encuentra en el eje de las ordenadas es:23La primer propuesta que tiene tu equipo es quex x f ) (rea bajo la curvaPrimera propuesta de solucin:El rea est girando sobre el eje x, entonces el volumen en revolucin esta dado por la expresin:( )1102dx x V Siaplicas las propiedades de la integral,la constante puede escribirse antes delsmbolo de la integral y al elevar al cuadrado la funcin obtenemos:110 dx x V Eureka, sta integral se resuelve de forma inmediata, es decir:32 2 2 5 . 602121202112uxV 1]1

1]1

,_

Segunda propuesta de solucin:Esta es la funcin y el volumen en revolucin.12) ( + xx f24Realiza un bosquejo de la grfica del rea bajo la curva y verifica la solucin en geogebra Al calcular el volumen del slido en revolucin recuerda que los limites son [0, 11] y el resultado es 3182 u V Si tienes alguna duda sobre cmo resolver la integral consulta las fuentes de informacinpropuestasal final delaactividad, estudialosbinomiosal cuadradoyconsultaatu mediador.Tercer propuesta de solucinEsta es la funcin que analizaremos.53 2) (+xx fRealiza las grficas del rea y del volumen del slido en revolucin. Calcula el volumen generado.El volumen generado es de 398 . 103 u V La cuarta y ltima propuesta de solucin25Esta es la funcin que analizaremos.3x y y el eje de revolucin es el eje vertical. Realiza un bosquejo de la curva y comprala con apoyo del graficador Geogebra.El rea bajo la curva gira alrededor del eje y, de acuerdo a la expresin que encontraste para este caso, debemos despejar a x3 y x Sustituimos en la expresin

,_

110231dy y V Realiza los clculos correspondientes a la integral anterior.Qu otras formas geomtricas se te ocurren para tu envase?Identificas alguna funcin que describa estas formas?, cules?Discute en forma colaborativa, cul de las funcin propuestas genera mayor volumen en el intervalo sugerido?26EjerciciosEncuentra el volumen del siguiente slido si el eje de revolucin est sobre el eje y, en el intervalo [1, 12]. Grfica el slido generado.1. 2 ) (2+ x x f272.- Determina el volumen que se obtiene al girar sobre el eje x, en un intervalo [0, 6] para una elipse que en su forma generalest definida por 900 36 252 2 + x y .Realiza un bosquejo y compara con Geogebra.28Autoevaluacin Bloque IInstrucciones: Esta evaluacin tiene la finalidad de valorar tus conocimientos adquiridos en el bloque, verifica tus resultados y consulta la rbrica de evaluacin.Coloca dentro del parntesis un uno si la expresin es verdadera y un cero si es falsa.( ) El clculo integral es el proceso para obtener el rea bajo la curva.( ) Si integramos una funcin cuadrtica, obtenemos una funcin constante.( )( ) Cuando se establecen los limites de integracin se trata de una integral definida.( ) Argumenta tu respuesta en las siguientes preguntasa) Qu representa geomtricamente?b) En el teorema fundamental del clculo, qu se establece sobre la integral definida?Calcula el rea bajo la curva en los lmites establecidos de las siguientes funcionesa) b)En hojas milimtricas grafica las siguientes funciones, determina los puntos de interseccin (lmites de la integral) y calcula el rea entre las curvas.a)y b)29El juicio finalInstrucciones:Lee cuidadosamente cada una de las siguientes oraciones y respondelo que sete pide.1.-Grafica la funcin que genera este slido en revolucin girando sobre el eje x2.-Cul es la funcin que genera a este slido de revolucin?3.- A esteslido de revolucinse le conoce como Trompeta de Gabriel o de Torricelli. Determina la cantidad de oronecesario para llenarla,si x toma los valores de 1 a 10 u.30Gua de observacinNombre del alumno(a): ______________________________________________ Grupo: ________Instrucciones:Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa tu mejor desempeo en este bloque, anota tus observaciones y comentarios.Gua de observacinMatemticas VIBloque I: reas y algo msIndicador2DESEMPEO SI NOObservaciones y comentariosTermine las actividades en tiempo y formaEntregu los productosRealice las actividades con orden y limpiezaRealice los ajustes en el resultado(s)Reforc conceptosACTITUDAsist puntual a las sesionesParticipe con buena disposicinReconoc la importancia del trabajo colaborativoRespete las opinionesAporte ideasMostr inters en los problemas propuestosEscuche respetuosamente al resto del grupoExpuse mis propias ideasManifieste motivacin en forma adecuadaRespete el orden de intervencin.Respondadecuadamente a las preguntas, objeciones o crticas que me formularon.COGNITIVOInterprete el concepto del rea bajo la curvaReconoc la diferencia entre integral definida e indefinidaAplique los mtodos de integracin vistos Argument cuando aplicar cada uno de los mtodos de integracinManeje adecuadamente las aplicaciones de la integralElabore estrategias de solucin de problemasUtilic las TIC en forma adecuada y eficiente2Capacidades actitudinales (Muoz y Noriega, 1996, pp.24-25).31Lista de cotejoLee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa mejor tu desempeo en este bloqueAtributo si noArgumenta lasolucinal problemacon mtodos matemticosAplica adecuadamente los mtodos de integracinConoce la diferencia entre rea y volumenComunica correctamente sus ideas empleando lenguaje matemtico.Interpreta graficas y smbolos matemticosDesarrolla innovaciones para solucionar un problemaObtiene el resultado correcto32Fuentes de informacinGonzlez Cabrera, Vctor Clculo fundamental, Editorial Progreso. Mxico, 2003Salazar/Bahena/ Vega, Clculo integral, Grupo Editorial Patria, Mxico, 2007http://www.mitecnologico.com/Main/SegundaLeyTermodinamicahttp://www.expocenter.com/perfume/envases.htm Historia dl perfumehttp://envases.elenaibarreche.com/index.php/Tipos_de_EnvasesImgenes de envaseshttp://www.vitro.com/envases/espanol/Famindex.htm Envases de vidriohttp://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdfhttp://www.julioprofe.net/p/calculo.htmlMtodo de sustitucin o cambio de variable, Integral trigonomtrica, Integral definidahttp://integralcalculus.galeon.com Clculo integral, Teorema fundamental del clculohttp://dieumsnh.qfb.umich.mx Ejercicios y teorahttp://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF Ejercicios resueltos de clculo diferencialhttp://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm Conceptoshttp://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm Integrales resueltas33Anexo 1 Instalacin del GeogebraLos pasos que debes seguir para instalar Geogebra en tu computadora son lo siguientes:1. Teclear Geogebra desde algn buscador. 2. Identificar la versin en espaol, para descarga343. Dar clic en el icono de Descarga4. Elegir la opcin Webstart, con lo cual se procedera a la instalacin y creacin de icono de acceso directo.355. Una vez instalado Geogebra, aparece el icono de acceso directo en el escritorio6. Para comenzar a usar Geogebra damos clic sobre el icono de acceso directo, con ello, automticamente se reinstala o actualiza la versin de Java367. Una vez descargada la aplicacin de Java, aparece la ventana para comenzar a utilizar Geogebra.37Anexo 2 Uso bsicoA continuacin se describen los elementos bsicos para ingresar funciones en Geogebra, calcular el punto de interseccin entre 2 funciones e integrar una funcina. INGRESARUNAFUNCIN: Observa queal dar clic oenter despus de teclearla, automticamente se dibuja la grfica de la funcin.b. INGRESAR UNA SEGUNDA FUNCIN:Necesaria para generar un punto de interseccin.38c. CLCULO DEL PUNTO DE INTERSECCINSe teclea Interseca,en la opcin , que es una de las varias alternativas que nos presenta este comandoSe teclea la letra con la que Geogebra identific a estas funciones, que en este caso corresponde a f y g. Damos clic y aparece el punto de interseccin y sus coordenadas.d. INTEGRAR LA FUNCIN: En el caso de las aplicaciones que se presentan, se inetgra de 0 a la abscisa del punto de interseccin39Anexo 3 Tabla de derivadas e integrales Tabla de derivadas1. u D nu u Dxn nx1) (2.v D u D v u Dx x x+ + ) (3.u vD v uD uv Dx x x+ ) (4.2vv uD u vDvuDx xx ,_

5. u D e e Dxu ux ) (6. u D a a a Dxu uxln ) ( 7. u Duu Dx x1) (ln 8.u D u u sen Dx xcos ) ( 9.u D u sen u Dx x ) (cos10. u D u u Dx x2sec ) (tan 11. u D u u Dx x2csc ) (cot 12.u D u u u Dx xtan sec ) (sec 13.u D u u u Dx xcot csc ) (csc 14.u Duu arcsen Dx x211) (15.u Duu Dx x211) (arccos16.u Duu Dx x211) (arctan+17.u Duu arc Dx x211) cot (+18.u Du uu arc Dx x11) sec (219.u Du uu arc Dx x11) csc (220.u D u u senh Dx xcosh ) ( 21.u D u senh u Dx x ) (cosh22. u D u h u Dx x2sec ) (tanh 23. u D u h u Dx x2csc ) (coth 24.u D u u h u h Dx xtanh sec ) (sec 25.u D u u h u h Dx xcoth csc ) (csc 40Tabla de integralesFormas elementales1.+ c u du2.+ c au du a3. + + du u g du u f du u g u f ) ( ) ( )] ( ) ( [4.) 1 (11 +++n cnudu unn5. c uudu+ lnFormas racionales que contienen bu a +6.[ ]+ + + +c bu a a bu ab bu a du uln127. ( ) c bu a a bu a a bu ab bu adu u+1]1

+ + + + +ln ) ( 221 12 2328.( )+1]1

+ +++c bu abu a ab bu adu uln12 29.( )+1]1

+ + + +c bu a abu a abu ab bu adu uln 2123 2210.( ) ( )cbu abu a ab bu adu u+1]1

+++1212 2 311.( )+++cbu a ua bu a uduln112.( )+++ +cubu aabau bu a uduln12 213.( ) ( )cbu a ua bu a a bu a udu+++++ln1 12 2Formas que contienenbu a +14.( ) ( ) c bu a a bubdu bu a u + + +2332 315215. ( )( ) c bu a a abu u bbdu bu a u + + + +232 2 2328 12 1510524116.( )( ) ( ) ++++ +du bu a un bann bbu a udu bu a unnn 1233 223 2217.( )+ + +c bu a a bub bu a du u232218.( ) c bu a a abu u bb bu a du u+ + + +2 2 2328 4 315219.( ) ( ) + ++++bu adu un bann bbu a ubu a du un n n 11 221 2220. + bu a udu

0 arctan20 ln1< ++> ++ + +a si cabu aaa si ca bu aa bu aa21.( )( )( ) + + + bu a udun a n bu n abu abu a udun n n 1 11 23 2122. ++ + +bu a udua bu audu bu a223.( )( )( )( ) ++ +1 1231 25 21n n nudu bu an a n bu n abu audu bu aFormas que contienen 2 2u a t24.caua u a du+ +arctan12 225. ++ca ua ua u a duln212 2

a u si cauarcaa u si cauha> +< +coth1arctan1 26. ++ca ua ua a u duln212 2

a u si cauarcaa u si cauha> + < + coth1arctan1Formas que contienen 2 2a u t42En las frmulas 27 a 38 se puede sustituir( )2 2ln a u u + + porauarcsenh2 2ln a u u +porauh arccosua u a2 2ln+ +poruaarcsenh27.c a u ua u du+ t + t2 22 2ln28. c a u uaa uudu a u + t + t t t2 222 2 2 2ln2 229. ( ) c a u uaa u a uudu a u u + t + t t t2 242 2 2 2 2 2 2ln82830.cua u aa a uudu a u++ + + +2 22 22 2ln31.cauarc a a uudu a u+ sec2 22 232.c a u uu a uudu a u+ t + +t t2 22 222 2ln33.c a u uaa uua u du u+ t +t t t2 222 22 22ln2 234.cua u aaa u udu++ + +2 22 2ln135.caarcaa u udu+ 1sec12 236.cu a a ua u udu+tt t 22 22 2 237. ( ) ( ) c a u uaa u a uudu a u + t + + t t t2 242 2 2 2232 2ln835 2838.( )ca u aua udu+t tt2 2 2232 2Formas que contienen 2 2u a 39.cauarcsenu a du+ 2 24340. cauarcsenau audu u a + + 2 222 2 2 241. ( ) cauarcsenau a a uudu u a u + + 82842 2 2 2 2 2 242.cuah a u a cuu a aa u audu u a+ + + arccos ln2 22 22 22 243.cauarcsenu u audu u a+ 2 222 244.cauarcsenau auu adu u+ + 2 222 22 2245.cuahacuu a aau a udu+ + + arccos1ln12 22 246.cu au au a udu+ 22 22 2 247. ( ) ( ) cauarcsenau a a uudu u a + + 835 2842 2 2 2232 248.( )cu a auu adu+2 2 2232 2Formas que contienen 22 u au 49. ca uau aua udu u au + ,_

+ 11 arccos 22222 250. cau au aua au udu u au u + ,_

+ 1 arccos2263 22322 2251. caua u auudu u au+ ,_

+ 1 arccos 222252. cauuu auudu u au+ ,_

1 arccos2 2 222253.cauu audu+ ,_

1 arccos2254.caua u auu audu u+ ,_

+ 1 arccos 222255.( )cau au aua uu audu u+ ,_

+ + 1 arccos23223222224456.cau u auu au udu+ 222257.( )cu au aa uu audu+2 22322258.( )cu au auu audu u+223222Formas que contienen funciones trigonomtricas59.c u du u sen + cos60.c u sen du u + cos61.c u du u + sec ln tan62.c u sen du u + ln cot63.( ) c u c u u du u + + + + 2141tan ln tan sec ln sec 64.c u c u u du u + + 21tan ln cot csc ln csc65.+ c u du u tan sec266.+ c u du u cot csc267.+ c u du u u sec tan sec68.c u du u u + csc cot csc69.+ c u sen u du u sen 24121270. c u sen u du u + + 24121cos271.+ c u u du u tan tan272.+ c u u du u cot cot273. + du u sennnu u senndu u senn n n 2 11cos174. + du unnu sen undu un n n 2 1cos1cos1cos75. du u undu un n n 2 1tan tan11tan76. du u undu un n n 2 1cot cot11cot77. + du unnu undu un n n 2 2sec12tan sec11sec4578. + du unnu undu un n n 2 2csc12cot csc11csc79.( )( )( )( )cn mu n m senn mu n m sendu nu sen mu sen ++++ 2 280.( )( )( )( )++++ cn mu n m senn mu n m sendu nu mu2 2cos cos81.( )( )( )( )cn mu n mn mu n mdu nu mu sen +++ 2cos2coscos82.c u u u sen du u sen u + cos83.c u sen u u du u u + + cos cos84.( ) c u u u sen u du u sen u + + cos 2 22 285.( ) c u sen u u u du u u + + 2 cos 2 cos2 286. + du u u n u u du u sen un n ncos cos187. du u sen u n u sen u du u un n n 1cos88. + +++ du u u senn mmn mu u sendu u u senn mn mn mcos1 coscos21 1 ++++ du u u senn mnn mu u senn mn m21 1cos1 cosFormas que contienen funciones trigonomtricas inversas89. c u u arcsen u du u arcsen + + 2190. c u u u du u + 21 arccos arccos91. c u u u du u + + 21 ln arctan arctan92. c u u arc u du u arc + + + 21 ln cot cot93.c u u u arc u du u arc + 1 ln sec sec2

c u h u arc u + arccos sec94.c u u u arc u du u arc + + + 1 ln csc csc2

c u h u arc u + + arccos cscFormas que contienen funciones exponenciales y logartmicas95.c e du eu u+ 4696.caadu auu+ ln97.( ) c u e du ueu u+ 198. du e u n e u du e uu n u n u n 199. du a uanaa udu a uu nu nu n 1ln ln100. ( ) + 1 1111nununuu du en u neudu e101. ( ) + 1 11ln1nununuu du an au naudu a102. c u u u du u + ln ln103. ( )( ) [ ] c u nnudu u unn+ +++1 ln 11ln21104. c uu udu+ ln lnln105. ( ) c nu n nu sen an a edu nu sen eauau+ +cos2 2106. ( ) c nu sen n nu an a edu nu eauau+ ++cos cos2 2Formas que contienen funciones hiperblicas107. c u du u senh + cosh108. c u senh du u + cosh109. c u du u + cosh ln tanh110. c u senh du u + ln coth111. ( ) c u senh du u h + arctan sec

112. c u du u h + 21tanh ln csc113. c u du u h + tanh sec2114. c u du u h + coth csc2115. c u h du u u h + sec tanh sec116. c u h du u u h + csc coth csc117.c u u senh du u senh + 21241247118.c u u senh du u + + 21241cosh2119. + c u u du u tanh tanh2120. c u u du u + coth coth2121. c u senh u u du u senh u + cosh122. c u u senh u du u u + cosh cosh123. ( ) c nu n nu senh an a edu nu senh eauau+ cosh2 2124. ( ) c nu senh n nu an a edu nu eauau+ cosh cosh2 2Bloque temtico II: La indefinida48Propsito: Al finalizar este bloque debers de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemticas situadas,utilizaras ellenguaje matemtico en la construccin de modelos y enlaaplicacin deprocedimientos y mtodos grficos y algebraicos para resolver situaciones relacionadas con la integral indefinida, adems de los mtodos de integracin, como son: cambiodevariable, enintegralesalgebraicasytrascendentes, por partesyfraccionesparciales. Utilizaras de manera optima las tecnologas de la informacin y la comunicacin y trabajaras en forma colaborativa. Conceptos y temas que debes manejar: Integral definida. Mtodos de Integracin: cambio de variable (algebraicas y trascendentes), por partes y fracciones parciales.Qu debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalen: Elaborar y elegir estrategias de solucin a las problemticas situadas. Argumentar la solucin de las problemticas haciendo uso del lenguaje matemtico. Aplicar mtodos y tcnicas de integracin en el clculo de la integral indefinida. Trabajar de manera colaborativa. Utilizar las tecnologas de la informacin y la comunicacin.Para abordar este bloque temtico debers conocer, manejar y aplicar los siguientes temas: Trabajo colaborativo y uso de TIC Propiedades de la integral definida Integral definida. Factorizacin y Leyes de los exponentes (potenciacin) Grfica de funcionesCunto sabes?1.- Simplifica las expresionesa) -7b)c)2.- Factoriza las siguientes expresionesa) =b) =c) =49d) =3.- Resuelve las integrales que se encuentran a continuacina)d)e)50Integracin por cambio de variablePara resolver la integral indefinida dx x f ) (es necesario encontrar la funcin g(x) que cumple con el hecho de que) () (x fdxx dgPararesolver unaintegral por el mtododecambiodevariableesrecomendablecontar conun formulario de integrales bsica y seguir los pasos que se indican a continuacin: Identificar la posible frmula que resuelva la integral. Seleccionar" "u de acuerdo con la frmula elegida. Calcular la diferencial de x," "dx Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser as, ajustarla. Resolver la integral para la variable" "u Reescribir la solucin obtenida en trminos de" "xEjemplo: Mediante cambio de variable, resolver la integraldx e x3Solucin: De las frmulas bsicas de integracin identificamos dos de ellas como posibles opciones para resolver la integral.+ c e du eu u+++cnudu unn11Enestecasoveremosqueesposibleresolverlamediantelasdos, aunquelaidentificacinvisual hace aparecer la primera como la ms apropiada o directa.Se procede a aplicar los pasos recomendados para cada una de estas dos frmulas.Primera frmula Identificar la posible frmula que resuelva la integral+ c e du eu u Seleccionar" "u de acuerdo con la frmula elegidaEn este caso,x u 3 Calcular la diferencial de x," "dxdx du 3 Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser as, ajustarla.51Elajuste de la diferencialimplica que a la hora de reescribir la integralde x a u, la integralquede exactamente como aparece en las frmulas bsicas de integracin, salvo quiz por alguna constante, la cual, por las propiedades de la integral se expresa fuera de la integral y con ello se permite que la solucin sea inmediata.Como puedes observar, el 3 que aparece juntodxno forma parte de la integral original, por lo tanto hay que ajustar la diferencial, es decir, despejar el 3, queda por tantodxdu3 Resolver la integral para la variable" "uc e du edue dx eu uux+ 313133 Reescribir la solucin obtenida en trminos de" "xDado que inicialmente realizamos el cambio de variablex u 3 , entoncesc e c e dx ex u x+ + 3 33131Segunda frmula Identificar la posible frmula que resuelva la integral+++cnudu unn11 Seleccionar" "u de acuerdo con la frmula elegidaEn este caso es necesario acomodar el integrando para seleccionar de manera correctaudx e e dx e e dx e dx ex x x x x x x + 2 2 2 3) (Aqu no se han aplicado otro elemento ms que las leyes de los exponentes. De acuerdo con esta expresin y dada la frmula elegida, " "u debe ser todo lo que aparece debajo de la potencia, por tantoxe u Calcular la diferencial de x," "dxdx e dux Verificar que la diferencial este completa en la integral, de no ser as, ajustarla.Como puedes observar en este caso la diferencial est completa, no requiere ningn ajuste.52 Resolver la integral para la variable" "ucudu u dx e e dx ex x x+ 3) (32 2 3 Reescribir la solucin obtenida en trminos de" "xDado que inicialmente realizamos el cambio de variable xe u , entoncescececudx ex xx+ + + 3 3) (33 3 33Como puedes observar se llega a la misma solucin con ambas frmulas, quiz con la primera fue msdirectoqueconlasegunda, peroacambiodeello, conestaltimanoserequiriajustar la diferencial.Quizlaprimer dificultaddedebessortear el elegir lafrmuladeintegracinapropiada, queno siempre es inmediato, posteriormente debes elegir correctamente" "uEjercicio:Mediante un cambio de variable resuelve las siguientes integrales indefinidas. Es conveniente que utilices los pasos que se indican en cada caso.1.dx ex 2 Al utilizar la frmula + c e du eu u, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u53 Reescribe la solucin obtenida en trminos de x2. dx x sen ) 2 1 ( Al utilizar la frmula + c u du u sen cos , u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x3. dxxx sen) 3 cos( 1) 3 (De las frmulas: + + + c uuduc u sen du uc u du u senlncoscos La que se debe utilizar es:______________, Con ella, u___________ La diferencial es: ________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala54 Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x4.+ dxx 21 Al utilizar la frmula, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x555. xdx1 De las frmulas+ +++c uuducnudu unnln11 La frmula apropiada es ________________ Por tanto, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x6. xdx1 De las frmulas+ +++c uuducnudu unnln11 La frmula apropiada es ________________ Por tanto, u___________ La diferencial es: ________ du56Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x7. +dxeexx1 Escribe la frmula que debes utilizar: __________________ Por tanto, u___________ La diferencial es:________ duEst completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x578. dx x x sen ) 2 ( cos ) 2 ( Escribe la frmula que debes utilizar: __________________ Por tanto, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x9.dx x x sen ) 2 ( cos ) 2 ( Escribe la frmula que debes utilizar: __________________ Por tanto, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala58 Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x10.dxx senx) 2 () 2 ( cos Escribe la frmula que debes utilizar: __________________ Por tanto, u___________ La diferencial es:________ du Est completa la diferencial de x o necesita ajustarse?, en caso afirmativo, ajstala Resuelve la integral en trminos de u Reescribe la solucin obtenida en trminos de x59Integracin por partesEl mtodo de integracin por partes permite resolver integrales en las que en el integrando aparezca un producto de funciones, aunque en muchos de los casos, uno de los factores sea la diferencial de x. La frmula de la integracin por partes es: du v v u dv uEjemplo:xdx x ln2Se selecciona uydvx u ln , de la cual se obtiene su diferencialxdxdu dx x dv2 , la cual se integra para obtener 332xdx x v Una vez hechos estos clculos, es conveniente que verifiques que son correctos mediante el apoyo de Geogebra.60Verificacin del clculo de la diferencial: xdxdu Observaqueal ir escribiendolapalabra derivada,automticamente aparecenvariasopciones, en este caso, debemos dar clic en la primera opcin.En se escribe) ( ln x .Verificacin del clculo de v: dx x v2Observa que al ir escribiendo la palabra integral, automticamente aparecen varias opciones, en este caso, debemos dar clic en la primera opcin.Despus de dar clic el comando est a la espera de que se indique la funcin a integrar.En este caso en se ingresa 2x que debe ser tecleada como x^261Una vez que has verificado que los clculos de du y v son correctos contina con la aplicacin de la frmula de la integracin por partes: du v v u dv u

,_

,_

xdx x xx xdx x3 3ln ln3 32, se acomoda el primer trmino y se simplifica el trmino a integrardx x xx 2331ln3, finalmente se integra esta ltima funcincxxx xxx+

,_

9ln3 3 31ln33 3 3 3, que en forma equivalente se puede expresar comoc xxx x +

,_

31ln3ln32Verificacin final en Geogebra:Se teclea integral y la funcinx x ln2Se teclea enter y aparece la integral y la grfica de la funcin.62Observacin: Debesnotar quelaintegral obtenida cxxxI + 9ln33 3eslamismaquedespliega Geogebra: ( )91 ) ln( 33x xI , para ello encxxxI + 9ln33 3 el primer trmino se multiplica y divide por 3:9 9ln 39ln3333 3 3 3x x x xxxI

,_

,despus se factoriza3x y se obtiene la expresin9) 1 ln 3 (3x xIEjercicios:Resuelve por el mtodo de integracin por partes cada una de las siguientes integrales, incluyendo lo que se te solicita en cada una de ellas.1. xdx x ln4Selecciona:u: _______ dv: _______________Calcula:du: __________v: _______________Comprueba en Geogebra que estos clculos son correctosCoinciden tus resultados parciales?Contina con el procedimientoRevisa los clculos que realizasteAplica la frmula: du v v u dv u63SINO64Resuelve la integral du v Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:Comprueba tu solucin con GeogebraCoincide tu resultado final?Terminar Revisar los procedimientos2. dx e xx 2 Selecciona:u: _______ dv: _______________Calcula:du: __________v: _______________Comprueba en Geogebra que estos clculos son correctosCoinciden mis resultados parciales?Continuar con el procedimientoRevisar clculos realizadosAplica la frmula: du v v u dv u65NOSISINOResuelve la integral du v Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:Comprueba tu solucin con GeogebraCoincide mi resultado final?Terminar Revisar los procedimientos3.dx x sen xSelecciona:u: _______ dv: _______________Calcula:du: __________v: _______________Comprueba en Geogebra que estos clculos son correctosCoinciden mis resultados parciales?Continuar con el procedimientoRevisar clculos realizadosAplica la frmula: du v v u dv u66NOSISINOResuelve la integral du v Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:Comprueba tu solucin con GeogebraCoincide mi resultado final?Terminar Revisar los procedimientos4. dx x ex) ( cosSelecciona:u: _______ dv: _______________Calcula:du: __________v: _______________Comprueba en Geogebra que estos clculos son correctosCoinciden mis resultados parciales?Continuar con el procedimientoRevisar clculos realizadosAplica la frmula: du v v u dv u67NOSISINOResuelve laintegraldu v(aqu ser necesario queapliques denueva cuenta el mtodo de integracin por partes) Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:Comprueba tu solucin con GeogebraCoincide mi resultado final?Terminar Revisar los procedimientos5. dx xx2Selecciona:u: _______ dv: _______________Calcula:du: __________v: _______________Comprueba en Geogebra que estos clculos son correctosCoinciden mis resultados parciales?Continuar con el procedimientoRevisar clculos realizadosAplica la frmula: du v v u dv u68NOSISINOResuelve la integral du v Sustituye, simplifica y proporciona tu resultado final:Comprueba tu solucin con GeogebraCoincide mi resultado final?Terminar Revisar los procedimientos69NOSIIntegracin por descomposicin de fracciones simples (parciales)Completa las siguientes afirmaciones seleccionado la o las palabras que se encuentran alfinaldel ejercicio. Compara tus respuestas con tus compaeros de equipoTodopolinomio concoeficientes reales puedeexpresarsecomoel productodefactores reales lineales de la forma y de factorescuadrticos irreducibles de la forma .Uncocienteentredosfuncionespolinomialestambinseconocecomounafuncinracional. Por ejemplo si f(x) y g(x) son polinomios entonces:Siel grado de f(x) es menor que g(x) entonces F(x) se denomina funcin racionalpropia, en caso contrario se denomina funcin racional impropia.Todafuncinracional impropiapuedeexpresarsecomolasumadeunpolinomioyunafuncin racional propia. Ejemplo:se puede expresar de la formaEsto se obtiene al efectuar la divisin, si tienes algunaduda consulta a tu asesor.Para integrar funciones racionales debemos tener que f(x) menor a g(x), de lo contrario primero se debe realizar una divisin.Polinomio, propia, impropia, funcin racional, Veamos los siguientes casos.a)Como puedes observar, es la integral de una funcin racional propia.Al factorizarel denominador tenemos:Igualamos a cero y encontramos las races x1=0 y x2=-2Escribimos el cociente original en la formaMultiplicamos a cada lado de la igualdad por los factores encontrados Sustituimos a x=0 y despejamosA70Ahora sustituimos a x= -2 y encontramos el valor de BCon estos datos podemos reescribir nuestra integral de la siguiente formaAl integrar tenemos: b)Se trata de una funcin: _________________ por lo que no es necesario realizar la divisin.Factoriza el denominadorLas races de la ecuacin son:Al sustituir tenemos que los valores de las constantes A y B son respectivamente:Reescribe la integral y resuelvelaEjercicios: resuelve las siguientes integrales, si tienes alguna duda consulta a tu asesor.a)Es una funcin : ________________Factoriza al denominadorLas races de esta expresin son:Los valores de los coeficientes son:Reescribe la integral71b)c)=d) e) 72Autoevaluacin bloque II: la indefinidaInstrucciones: el propsito de esta evaluacin es valorar tus conocimientos adquiridos en el bloque.1.- Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados, relaciona ambas columnas colocando dentro del parntesisla letra que le corresponde.( ) Mtodo empleado cuando se tiene un producto de funciones, incluyendo a su derivadaA.Integracin por partes( ) Mtodo empleado cuando se tiene un cociente de funcionesB.Cambio de variable() Funcin en donde el denominador es mayor al numeradorC.Funcin propia() Funcin en donde el denominador es menor al numeradorD.() Es la constante de integracin y puede tomar cualquier valorrealE.Fracciones parciales() Mtodo en donde identificamos a uy a su derivada (du), para resolver la integral inicial.F.Funcin impropiaG.C o K2.- Argumenta turespuesta en la solucin de las siguientes integralesa)b)73c)d)ln |(2x -5)(2x-1)| + CGua de observacinInstrucciones:Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y marca con una X la celda que describa tu mejor desempeo en este bloque, anota tus observaciones y comentarios.Gua de observacinMatemticas VIBloque II: La indefinidaIndicador3DESEMPEO SI NOObservaciones y comentariosTermine las actividades en tiempo y formaEntregu los productosRealice las actividades con orden y limpiezaRealice los ajustes en el resultado(s)Reforc conceptosACTITUDAsist puntual a las sesionesParticipe con buena disposicinReconoc la importancia del trabajo colaborativoRespete las opinionesAporte ideasMostr inters en los problemas propuestosEscuche respetuosamente al resto del grupoExpuse mis propias ideasManifieste motivacin en forma adecuadaRespete el orden de intervencin.Respond adecuadamente a las preguntas, objeciones o 3Capacidades actitudinales (Muoz y Noriega, 1996, pp.24-25).74crticas que me formularon.COGNITIVOInterprete el concepto de integral indefinidaComprendo el significado de C en la integral indefinidaReconoc la diferencia entre los diferentes mtodos de integracinAplique los mtodos de integracin vistos Argument cuando aplicar cada uno de los mtodos de integracinElabore estrategias de solucin de problemasUtilic las TIC en forma adecuada y eficienteFuentes de informacinGnzalez, Vctor, Clculo Fundamental, Editorial Progreso, Mxico 2003Prez Navejas, Jess, Problemas resueltos de clculo integral, Grupo editorial xodo, Mxico 2002Salazar,Bahena y Vega, Clculo integral, Grupo editorial Patria.http://www.julioprofe.net/p/calculo.htmlMtodo de sustitucin o cambio de variable, Integral trigonomtrica, Integral definidahttp://integralcalculus.galeon.com Clculo integral, Teorema fundamental del clculohttp://dieumsnh.qfb.umich.mx Ejercicios y teorahttp://dieumsnh.qfb.umich.mx/PROBLEMARIO_DIF Ejercicios resueltos de clculo diferencialhttp://148.216.10.84/INTEGRAL/defclasica.htm Conceptoshttp://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema108.htm Integrales resueltas75BLOQUE III: Caminando en la incertidumbrePropsito:Al finalizar este bloque debers de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategiasparasolucionar lasproblemticassituadas, utilizarasel lenguajematemticoenla construccin de modelos y en la aplicacin de procedimientos y mtodos grficos y algebraicos de probabilidad relacionados con situaciones o fenmenos que no pueden predecirse con exactitud (aleatorios), profundizars tus habilidades lgico-matemticas ycontars conel conocimiento bsico para poder tomar mejores decisiones en tu vida cotidiana. Utilizars de manera ptima las tecnologas de la informacin y la comunicacin y trabajaras en forma colaborativaNcleo temtico: las diferentes caras del azar Interpretaciones de la probabilidad: clsica, frecuentista y subjetiva. Probabilidades de eventos excluyentes y no excluyentes. Probabilidad de eventos independientes. Probabilidad condicional. Probabilidad de seleccin con y sin reemplazo. Distribucin binomial.Qu debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalen: Elaborar y elegir estrategias de solucin a las problemticas situadas. Argumentar la solucin de las problemticas haciendo uso del lenguaje matemtico. Aplicar mtodos y tcnicas de integracin en el clculo de reas y volmenes. Trabajar de manera colaborativa. Utilizar las tecnologas de la informacin y la comunicacin.Aprendizajes mnimos necesarios para abordar el bloque Trabajo colaborativo y uso de TIC. Operaciones con racionales y Leyes de los exponentes (potenciacin). Clculo de probabilidades. Tablas de frecuencias Diagramas de rbol, histogramas.Cunto sabes?Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos sobre el clculo de las probabilidades de eventos, resuelve los siguientes ejercicios en forma colaborativa.I. Resuelve lassiguientes operaciones bsicasdelaaritmtica ycompara tus resultados con tus compaeros.76a) ( ) ,_

+ ,_

+ 2074 8721) 30 (b) ,_

+ 1]1

,_

4135216153c) ,_

,_

+ ,_

+ 1]1

5938418154587d) Se pueden realizar las siguientes operaciones tal como se muestran? Explica porque; y de acuerdo a tu respuesta plantea como se resolveran.e) ,_

233 % 40f) [ ] [ ] +1]1

45 . 0 % 25811209% 35Interpretaciones de la probabilidad: clsica, frecuentista y subjetivaInvestiga contus compaeros, en internet oen libros detexto deprobabilidad los siguientes conceptos:a) Enfoque clsico de la probabilidad.b)Interpretacin frecuentista de la probabilidad.c)Enfoque subjetivo de la probabilidad.77Eventos excluyentesInvestiga cmo se representan grficamente las operaciones entre conjuntos mediante los diagramas de Venn.Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultneamente,esdecir, laocurrenciadeuneventoimpideautomticamente laocurrenciadel otroevento(o eventos).1. Representa grficamente dos eventos excluyentes2. Investigalafrmulaparaencontrar laprobabilidaddequeocurrandoseventosexcluyentesy escrbela en el recuadro siguiente3. En una encuesta a alumnos del Colegio se encontr que el 40% tiene sangre tipo O+y el 25% tipo A (es conveniente que utilices diagramas de Venn). a) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga sangre tipo O+?b) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga de alguno de estos dos tipos de sangre?4. Unestudiorevelaqueel 50%delospadresdelosalumnosdeunaescuelasoncasados mientras que el 30% son divorciados.a) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga padres divorciados? 78Ub) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado en forma aleatoria no tenga padres casados ni divorciados (separados, fallecidos, etc.)?5. En un grupo de personas, algunas estn a favor del matrimonio homosexual (F) y otras en contra (C). Se pregunta a tres personas de este grupo y se registra su opinin, a favor o en contra.a) Escribe el espacio muestral de las posibles respuestas (puedes utilizar un diagrama de rbol o un listado).b) Escribe el evento A: "a lo ms una persona est en contra de este tipo de matrimonios"c) Escribe el evento B: "exactamente dos personas estn a favor este tipo de matrimonios"6. El profesor de matemticas selecciono a 5 de sus mejores promedios de la clase de probabilidad, con elfin de darle a uno de ellos un incentivo como motivacin y reconocimiento por su buen aprovechamiento, Sin embargo resulta imposible darle el incentivo a los 5, los nombres de cada unodelosalumnos: Alma, Javier, Estrella, AimyJuve, motivopor el cual el profesor ha decidido realizar un sorteo para seleccionar al azar a uno de ellos. El profesor ha colocado en una urna cinco papelitos idnticos con las iniciales de cada uno de los alumnos.a) Qu probabilidad tiene Alma de ser la afortunada?b) Qu probabilidad tiene Juve de ser el afortunado?c) Qu probabilidad tendrn Estrella o Aim o Javier de ser los afortunados?d) Qu probabilidad tendrn Alma o Juve de ser los afortunados?79Eventos NO excluyentesDos o ms eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultnea.1. Ivn y Ariadna tienen hambre, salen a la tienda que esta frente alColegio de Bachilleres,para comprarse una torta, la seora de la tienda ya sabe qu tortas son ms vendidas, por lo que cierta tarde solo dispone de las siguientes existencias:Tortas Jamn MilanesaCon quesillo14 8Sin quesillo 10 18a) Cul es la probabilidad de que la torta que compren sea de milanesa con quesillo?b) Si compran una torta de milanesa,cul ser la probabilidad de que no tenga quesillo?c) Si compran una torta que tenga quesillo, cul ser la probabilidad de que sea de jamn?Para encontrar estas probabilidades, es necesario que completes la tabla, es decir debes obtener los totales por rengln y columna y aplicar las frmulas bsicas de probabilidad para dar las respuestas correctas. Tortas Jamn Milanesa TotalesCon quesillo Sin quesilloTotales2. En un planteldel Colegio de Bachilleres 80 alumnos cursan Filosofa en dos grupos; el primero atiende al 60% de y el otro grupo al resto. En el primer grupo aprueba el 50% los alumnos y en elsegundo grupo el porcentaje de aprobados es del 25%.Con estos datos completa la tabla de frecuencias y con ella responde las siguientes preguntas.a) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar apruebe el curso de filosofa?80Grupo Aprobados Reprobados TotalesUnoDosTotalesb) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea del grupo Uno?c) Cul es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no apruebe y sea del grupo Dos?3. Dado el siguiente espacio muestral y eventos= {Usuarios de telefona celular en la ciudad de Mxico}A= {Usuarios de la compaa Telcel en la ciudad de Mxico}B= {Usuarios de la compaa Movistar en la ciudad de Mxico }Relaciona los eventos con su representacin correcta en los diagramas de Venn.a) Usuarios que no prefieren a ninguna de las dos compaasb) Usuarios solo prefieren a Telcelc) Usuarios que prefieren a Movistar pero noa Telceld) Usuarios que gustan de ambas compaase) Usuarios que prefieren a Telcel o a Movistar (o bien a ambas)814. En una escuela de idiomas, el 60% de los alumnos estudia ingls, el 30% francs, el 15% ambos idiomas y el resto algn otro idioma.a) Define los eventos y sus probabilidades.Eventos Probabilidades__________________ _____________________________ _____________________________ ___________b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.c) Cul es laprobabilidad de que un alumno de dicha escuela, seleccionado al azar estudie francs pero no ingls?d) Cules la probabilidad de que un alumno de dicha escuela,seleccionado alazar estudie ingls o francs?825. Una encuestaa los profesores delColegio revela que el25% se informan de las noticias por medio de Internet, el 40% a travs de los diarios y el 8% utiliza tanto Internet como los diarios a) Define los eventos y sus probabilidades.Eventos Probabilidades__________________ _____________________________ _____________________________ ___________b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.c) Cul eslaprobabilidaddequeunprofesor del Colegio, seleccionadoal azar noutilice Internet para enterarse de las noticias?d) Cul es la probabilidad de que un profesor del Colegio, seleccionado al azar utilice solo uno de estos dos medios para enterarse de las noticias?83Probabilidad de eventos independientesDos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).Un caso tpico de eventos independientes es el muestreo con reposicin, es decir, una vez tomado elelemento de la muestra, se regresa de nuevo a la poblacin donde se obtuvo.Existen tres tipos de probabilidad independiente: Marginal, Conjunta, Condicional Probabilidad marginal o incondicional es la representacin simple de un evento. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadstica es la probabilidad de dos o ms eventos independientes que se presentan juntos y es el producto de sus probabilidades marginales. Probabilidad Condicional P(A/B) representa el caso en que el segundo evento B ocurre luego que el evento A, ya ha tenido lugar, es decir, nos dice cul ser la probabilidad del evento B una vez que el evento A ya ocurri. Tipo de Probabilidad Smbolo FrmulaMarginal P(A) P(A)Conjunta P(AB) P(A) P(B)Condicional P(A/B) P(B)6. Alanesunalumnodel ColegiodeBachilleresyesjugador deBsquetbol, casi siemprele comenten falta por lo que en cada partido tiene dos tiros libres por cada falta que le cometen. Si la probabilidad de que Alan enceste es de 0.8,independientemente deltiro que haga.Calcula la probabilidad de que el tirador: a) Enceste en ambos tirosb) Enceste slo uno de los dos tirosc) Enceste por lo menos un tirod) No enceste ninguno de los dos tiros847. UnProfesor queseencargadedarasesorasdecontenidosabequeenpromedioacudena solicitarle asesoras: en el turno matutino 3 alumnos con problemas de lgebra, 8 con problemas declculointegral y3conproblemas degeometraanaltica. Enel turnovespertino2con problemasdelgebra, 3conproblemasdeclculointegral y1conproblemasdegeometra analtica.En la tabla se muestran las frecuencias absolutas tomados los datos del enunciado.Asesoras lgebraClculo IntegralGeometra Analtica TOTAL T.M383 T.V.231 TOTAL Con base en ella calcula la probabilidad de los siguientes eventos:a) Queunalumnoseleccionadoal azar acudaasolicitar asesorasdecontenidoenel turno vespertino.b) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesoras de clculo integral.c) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesoras de contenido de lgebra por la maana.Distribucin BinomialDistribucin de probabilidad que muestra las probabilidades relacionadas con valores posibles de una variable aleatoria discreta que se genera por un proceso de Bernoulli.ProcesoBernoulli: secuenciadenensayosidnticosdeunexperimentoaleatoriotal quecada ensayo, (a) produce uno de dos resultados posibles complementarios que convencionalmente reciben el nombredexitoyfracaso, y(b) esindependientedecualquier otroensayo, demodoquela probabilidad de xito o fracaso es constante de ensayo en ensayo. Slo tiene dos resultados, que llamaremos E (de xito) y F (de fracaso) La probabilidad de que el resultado del suceso sea E es p y la de F es q, y adems se cumple que 1 + q p , o lo que es lo mismo,q p 1 .85Si el suceso se repite n veces y queremos estudiar el nmero de veces que se tiene como resultado E, la probabilidad de que, repitiendo el experimento n veces aparezca x veces E ser: x n xx nq p C x p ) (Se dice que este tipo de sucesos sigue una distribucin Binomial.Ejercicios1. Un alumno resuelve un examen de 10 preguntas de falso o verdadero y contesta al azar. Las probabilidades asociadas al nmero de aciertos se muestran en la siguiente tabla:Aciertos Probabilidad0 0.00101 0.00982 0.04393 0.11724 0.20515 0.24616 0.20517 0.11728 0.04399 0.009810 0.0010Comprueba estos resultados con ayuda de Excel. Ver anexo 4Cul es la probabilidad de acreditar el examen? ________________Cuntos aciertos tendr en promedio? __________________2. Calcula ahora, con ayuda de Excel, la probabilidad de cada respuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro opciones de respuestas y solo una es correcta. El alumno responde al azar.x x n xx nrq p C x p ) (0861345678910Cul es la probabilidad de acreditar el examen? ________________Cuntos aciertos tendr en promedio? __________________3. Finalmente,de nuevoutiliza Excel paraobtenerla probabilidad asociada acadarespuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas abiertas y ahora el alumno estudia, por lo que la probabilidad de que conteste correctamente cada pregunta es de 0.9x x n xx nrq p C x p ) (0134568778910Cul es la probabilidad de acreditar el examen? ________________Cuntos aciertos tendr en promedio? __________________4. Calcula con ayuda de Excel las probabilidades asociadas al nmero de resultados acertados en una quiniela sencilla de futbolLa quiniela consta de 14 juegos, por lo que el nmero de ensayo es _______Cada juego tiene 3 posibles resultados, local, empate o visita y slo uno de ellos ocurre, por lo tantop = _______x x n xx nrq p C x p ) (01348856789101112131489Anexo 4 Uso de la Binomial con ExcelDa clic en Insertar funcin en la barra de herramientasDespus busca y da clicenEstadsticas que es el tipo de funcin al que pertenece la distribucin Binomial90A continuacin, busca y da clic en DISTR.BINOM.N que es la que proporciona las probabilidades del los experimentos aleatorios del tipo binomialPor ltimo aparece la ventana donde debes indicar los valores para el clculo de probabilidades del tipo binomial, puedes teclearlos directamente o indicar la celda, dentro de la hoja de clculo, donde se encuentra el dato. En el espacio de Acumulado, se coloca falso para la probabilidad de un solo valor de x y verdadero para la probabilidad acumulada91Bloque temtico IV: Estimacin y contrastePROPSITO:Al finalizar este bloque debers de ser capaz de elaborar y aplicar diferentes estrategias para solucionar las problemticas situadas, utilizaras el lenguaje matemtico en la construccin de modelos y en la aplicacin de procedimientos y mtodos grficos y algebraicos, para comprender y aplicar las diferentes tcnicas de muestreo estadstico y los procedimientos esenciales delainferenciaestadstica. Loquetepermitirprofundizar turazonamientolgico-matemticode manera importante. As mismo debers utilizar de manera optima las tecnologas de la informacin y la comunicacin y trabajar eficientemente en forma colaborativa.Para abordar este bloque temtico debers conocer, manejar y aplicar los siguientes temas: Clculo de la media. Conceptos bsicos de estadstica.Conceptos y temas que debes aprender en este bloque: Distribuciones muestrales: t-student y normal. Intervalos de confianza para la media y la proporcin. Prueba de hiptesis para la media y la proporcin. Distribucin Ji-cuadrada. Pruebas de hiptesis para tablas de contingencia.Qu debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalen: Elaborar y elegir estrategias de solucin a las problemticas situadas. Argumentar la solucin de las problemticas haciendo uso del lenguaje matemtico. Aplicar mtodos y tcnicas de estadstica inferencial. Trabajar de manera colaborativa. Utilizar las tecnologas de la informacin y la comunicacin.Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos sobre Estadstica Descriptiva y Probabilidad, resuelve los siguientes ejercicios en forma colaborativa.Cunto sabes?1. Calcula la media con los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 92. Si a todos los datos anteriores los multiplicamos por 4, cul ser la nueva media.3. A un conjunto de 8 nmeros cuya media es 8.57 se le aaden los nmeros 4.49 y 9.15. Cul es la media del nuevo conjunto de nmeros?924. Investiga los siguientes conceptos yescribeenel espacio correspondientesudefinicin anotando almenos un ejemplo de cada concepto. Posteriormente,en equipos, compara tus definiciones y ejemplos con las de tus compaeros.Concepto DefinicinVariable discretaVariable continuaMuestraVarianzaDesviacin estndarMediaDistribuciones muestrales: t-student y normalDistribucin NormalLa distribucin normal constituye el modelo probabilstico ms importante, ya que constituye la base de la estadstica inferencial; muchas tcnicas estadstica para la estimacin y el pronstico descansan en ella y an en tcnicas especficas,donde se estudian otros modelos probabilsticos, tales como la distribucin t de Student, la distribucin Ji-cuadrada o la distribucin F de Fischer, descansan en la distribucin normaly las relaciones matemticas que mantienen con la distribucin normal son importantes.Al observar el comportamiento de muchas variables aleatorias, por ejemplo respecto al ingreso de las personas, encontramos lo siguiente:Sea x = ingreso de las personas, entonces, resulta y es natural que: Pocas personas tienen ingresos elevados.93 Un bajo porcentaje de personas perciben un ingreso muy bajo. Lamayora delas personas tienen uningreso que seconcentra alrededor del ingreso promedio.Alahoradeconstruir el histogramaasociado, invariablementesellegaallegaalassiguientes grficas.94Ejemplo 1:Si suponemos un ingreso una medio de 10 mil pesos con una desviacin estndar de 3 mil, cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga en ingreso entre los 7 mil y los 15 mil pesos?. Esta probabilidad se expresa en forma simblica de la siguiente manera:) 15 7 ( < < x PSe ubican los valores bajo la curva y se sombrean el rea que se pideSe estandariza el valor de cada variable1310 71 xz67 . 1310 152 xzSe dibuja la curva con los valores estandarizados.Se busca en la tabla de distribucin normal (anexo 5) cada uno de estos valoresComo las reas se encuentran al centro de la curva, se suman, por lo que el rea es:7938 . 0 4525 . 0 3413 . 0 + AInterpretacin:Existe un 79.38% de probabilidad de que elingreso de la persona seleccionada al azar, se encuentre entre $7 000 y $15 000.95Ejemplo 2:Elpeso de las manzanas muestra una distribucin normalcon media de 180 gramos y desviacin estndar de 11 gramos. Cul es la probabilidad de que al estudiante que sigue en la fila le toque una manzana con peso mayor a 195 gramos?Como z > 1.244 para calcular el rea bajo la curva es 1, cuando (z > 1,24) = 1 p (z 1,24) =1 0.9131 = 0.0869z 0,000,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,060,07 0,080,090,00,50000,50400,50800,51200,5160 0,51990,5239 0,52790,53190,5359 0,10,5398 0,5438 0,54780,55170,55570,55960,56360,5675 0,57140,5753 1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,8962 0,8980 0,89970,9015 1,30,9032 0,90490,9066 0,9082 0,90990,91150,9131 0,91470,91620,9177 Ver anexo 5Es decir, hay una probabilidad del 8.69% de que al siguiente alumno le toque una manzana que pese ms de 195 gramos.Ejercicios1. Con ayuda de la tabla de la distribucin normal(Anexo 5 ) determina las probabilidades asociadas al rea sombreada de siguientes representaciones grficas4 http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm 96972. Los egresados del Colegio suelen presentar examen de admisin en una universidad. El puntaje promedio del examen, en aos pasados ha sido de 75 aciertos con una desviacin estndar de 15 puntos. a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= puntaje obtenido en el examen, sea de tipo normal.b) Calculalaprobabilidaddequeunalumnoseleccionadoal azar, quepresenteel examen de admisin, obtenga ms de 90 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el rea apropiada)98c) Calculalaprobabilidaddequeunalumnoseleccionadoal azar, quepresenteel examen de admisin,obtenga menos de 100 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar lavariable, buscar el valor enlatablaydar el rea apropiada)3. Ciertos paquetes de azcar contienen en promedio 1000 gr. con una desviacin estndar de 15 gr. Si la cantidad de azcar en las bolsas es una variable aleatoria de tipo normal:a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= cantidad de azcar en la bolsa, sea de tipo normal.b) Calcula la probabilidad de que una bolsa seleccionada al azar, tenga ms de 1020 gr. de azcar(debes ubicarlos valores en la curva,sombrear,estandarizarla variable, buscar el valor en la tabla y dar el rea apropiada)99c) En un lote de 80 bolsas aproximadamente cuntas de ellas se esperaque tengan menos de 1010 gramos de azcar?, (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar elvalor en la tabla y dar elrea apropiada y alfinal multiplicar esta rea por 80)4. Identifica un fenmeno aleatorio de la vida real:a) Descrbelo a travs de una variable aleatoria de tipo normalb) Identifica una media y una desviacin estndar, plausibles al fenmenoc) Evala dos probabilidades con la media y la desviacin estndar asignadas.ProblemticaBarriga llena, corazn contento?El Instituto Mexicano del Seguro Socialy la Confederacin Nacionalde Pediatra de Mxico venan advirtiendo desde hace diez aos del crecimiento de esta epidemia. El IMSS lanz una campaa en los medios para la que la gente cuidara su dieta, hiciera ejercicio y acudiera al mdico.La comida rpida desplaza a la tradicionalTodaladietatradicional enMxico, queeramuynutritiva(el mazyel frijol dabanunaprotena excelente), se est perdiendo con la urbanizacin y la comercializacin Lo que gana mayor presencia son todos los productos procesados industrialmente. Hubo un desplazamiento y en catorce aos cay un 30% el consumo de frutas y verduras, en veinte aos cay un 50% el consumo de frijol que era elpilar de la alimentacin junto con el maz y en catorce aos aument 40% el consumo de refrescos. Entre la poblacin ms pobre, elconsumo de refresco en catorce aos creci 60%.Esto tena que impactar en algo y lo hizo en la salud.Se aplic una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual revel que 150 de ellos acostumbran acompaar sus alimentos con refrescos como bebida principal, cul es el 100intervaloqueestimalaproporcindealumnosdelaescuelaqueacompaanconrefrescossus alimentos?Los profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentacin esdel 40%. Es crebleestaafirmacinsi enunamuestrade80alumnos 22afirmancomer regularmente frutas y verduras?Seaplicunaencuestaaunamuestrade100alumnosdel ColegiodeBachilleresrevelqueen promediopasan30horasalasemanafrentealatelevisin, unvideojuegoolacomputadora. El mnimodehorases14yel mximode42, Cul serel promediodehorasdelapoblacinde alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrnicos?Para bajar la panza y no caer en la diabetesYaarranclacampaadeloscincopasosyestosson: Muvete parahacer ejercicio(correr, caminar,andar en bicicleta,nadar o bailar media hora diaria), Mdete tanto en elpeso como en el consumodealimentosybebidas. Bebeaguayquesetevuelvaunhbito. El cuartopasoes incorporar o aumentar el consumo de frutas y verduras a la dieta, y el quinto socializar el problema y la estrategia.Se llev a cabo una encuesta con una muestra de 200 miembros de la comunidad escolar (alumnos, profesores y autoridades) para determinar la accin principal que deba llevarse a cabo para enfrentar el problema de la obesidad. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:Acciones contra la obesidadIncrementar actividades deportivas en la curriculaConstruir comedores con venta de alimentos nutritivosCampaas de difusin sobre la obesidadRestringir la venta de comida basura en la periferia de la escuela30 45 70 55Indicanestos datosquelas campaas dedifusinsobre laobesidades laaccin prioritaria que llevara a cabo la poblacin escolar?Solucin:Se aplic una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual revel que 150 de ellos acostumbran acompaar sus alimentos con refrescos como bebida principal, cul es el intervaloqueestimalaproporcindealumnosdelaescuelaqueacompaanconrefrescossus alimentos?Intervalo de confianza estimar la proporcin poblacionalEl intervalo es de la forma:

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+ nq pz pnq pz p ,Los elementos incluidos son los siguientes: nxp 101Es la proporcin de elementos de la muestra con la caracterstica de inters. Es la proporcin de elementos de la muestra que no tienen la caracterstica de inters.Valor de la tabla asociado al nivel de confianza, por ejemplo, si se desea una estimacin a un 95% de confianza, se ubica al centro de la curva un rea de 95%.Para calcular el valor de z que delimita esta rea, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla de distribucin normal estndar (ANEXO 5)el rea exacta o ms cercana a 0.475.En la tabla normal se busca el rea exacta o ms cercana a 0.475102p q 1La proporcin muestral es8 . 0200160 nxp2 . 0 8 . 0 1 1 p qPor lo que el intervalo es:( ) ) 8554 . 0 , 7445 . 0 ( 0554 . 0 8 . 0 , 0554 . 0 8 . 0200) 2 . 0 ( 8 . 096 . 1 8 . 0 ,200) 2 . 0 ( 8 . 096 . 1 8 . 0 +

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+ Seestimaconunaprobabilidadde95%yunerror de5.54%quelaproporcinpoblacional de alumnos que acompaan sus alimentos con refresco est entre un 74.45% y un 85.54%.Ejercicios:Anota en el espacio en blanco la respuesta apropiada para realizar la inferencia estadstica pertinente.1. Unaencuestaa 120 alumnosdel turno matutino de un plantel delColegiorevelaquesolo 30 acostumbran desayunar en sus hogares antes de ir a clases. La proporcin muestral de alumnos que desayunan en casa es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 94%, los valores del rea que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son: Por tanto, el intervalodeconfianzaqueestimalaproporcindealumnosdel plantel que desayunan en casa es _________________.1032. Unaencuestaa 150 alumnosdel turno matutino de un plantel delColegiorevelaquesolo 20 practican deporte con regularidad. La proporcin muestral de alumnos que practican deporte con regularidad es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 95%, los valores del rea que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son: Por tanto, el intervalodeconfianzaqueestimalaproporcindealumnosdel plantel que practican deporte regularmente es_________________.Intervalo de confianza estimar la media poblacionalEjemploSeaplicunaencuestaaunamuestrade100alumnosdel ColegiodeBachilleresrevelqueen promediopasan30horasalasemanafrentealatelevisin, unvideojuegoolacomputadora. El mnimodehorases14yel mximode42, cul serel promediodehorasdelapoblacinde alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrnicos? El intervalo es de la forma:

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+ nz xnz x ,cual la cualx = media muestral= desviacin estndar poblacionaln = tamao de muestraz= valor de la tabla asociado al nivel de confianza o rea centralLos elementos incluidos son los siguientes: 30 xSiladesviacinestndarpoblacionalsedesconocesepuedeusarladesviacinestndar deuna muestra, o bien, se estima de la siguiente forma: 1047414 424mnimo mximoEn este caso, para el nivel de confianza si se desea una estimacin a un 90% de confianza, se ubica al centro de la curva un rea de 90%.Para calcular el valor de z que delimita esta rea, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla el rea exacta o ms cercana a 0.45En la tabla normal se busca el rea exacta o ms cercana a 0.45105En este caso,existen 2 valores cuya diferencia es la misma,por lo cualelvalor de z es elpunto medio entre ellos, es decir:645 . 1265 . 1 64 . 1+ zPor lo tanto, el intervalo de confianza es:( ) ( ) 15 . 31 , 85 . 28 15 . 1 30 , 15 . 1 301007645 . 1 30 ,1007645 . 1 30 , +

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+ ,_

+ nz xnz x Se estima con una probabilidad de 90% y un error de 1.15 horas que la poblacin de alumnos de la escuela pasan en promedio entre 28.85 y 31.15 horas a la semana, en los medios de entretenimiento electrnicos.106Ejercicios:Anota en el espacio en blanco la respuesta apropiada para realizar la inferencia estadstica pertinente.1. Una encuesta a 300 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio indica en promedio gastan a la semana $ 120 en antojitos y botanas. El gasto mnimo que revela la encuesta es de $25 y elmximo es de $300. La media muestral del gasto en antojitos es _____________. Si se desea un nivel de confianza de 96%, los valores del rea que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son: El valor que estima a la desviacin estndar poblacional es _____________. Por tanto, elintervalo de confianza que estima elgasto promedio poblacionalsemanal,que realizan los alumnos, en botanas es_________________.2. Uncuestionarioaplicadoa100padresdefamiliadealumnosnuevoingresocontienela pregunta cuntas horas a la semana pasa su hijo frente a algn medio de entretenimiento (tv, internet o videojuego)? Las respuestas obtenidas son las siguientes:15 10 23 20 30 30 15 12 10 2035 45 40 50 30 20 10 10 20 2540 30 25 30 25 30 25 30 40 2015 12 15 20 25 25 30 35 30 2013 15 25 20 20 30 20 15 8 105 10 25 30 25 30 25 30 20 1015 20 25 20 35 30 25 30 30 2010 15 15 25 20 22 30 33 35 4025 45 10 15 20 30 20 10 30 1520 35 40 25 25 30 15 30 20 10107Copiaestos datosenExcel ycalculalamediayladesviacinestndar, losresultados obtenidos son: Media _________________. Desviacin estndar: ______________. Si se desea un nivel de confianza de 99%, los valores del rea que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son: Por tanto, el intervalo de confianza que estima el tiempo promedio poblacional semanal, que pasan alumnos frente a un medio de entretenimiento electrnico es___________________.Prueba de hiptesis para la proporcinEjemploLos profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentacin esdel 40%. Es crebleestaafirmacinsi enunamuestrade80alumnos 22afirmancomer regularmente frutas y verduras?Hiptesis nula:La afirmacin de los profesores constituye la hiptesis nula, representada por HoHo: La proporcin de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentacin es del 40%Numricamente:40 . 0 : p HoPor lo tanto6 . 0 4 . 0 1 1 p qEstadstica de pruebanpqp pz108El numerador compara la proporcin muestralcon la proporcin poblacionaly el denominador es el error estndar que permite la estandarizacin de este indicador y en consecuencia su comparacin con un valor de la tabla.275 . 08022 nxp28 . 280) 6 . 0 ( 4 . 04 . 0 275 . 0 npqp pzValor crticoCon un nivel de significancia de 2.5% (probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera) se busca en tablas elvalor crtico de z. Como la estadstica de prueba es negativa, la regin de rechazo se ubica del lado izquierdo de la distribucin.Se busca el valor en la tabla normal y resulta el valor critico z=-1.96Decisin: Se compara la estadstica de prueba con el valor crtico109Laestadsticadepruebaseubicaenlareginderechazo, por lotantolaevidenciamuestralcontradicelahiptesisnula, esdecir, noescreblequeel 40%delosalumnosincluyanfrutasy verduras en su alimentacin, de hecho, el porcentaje de alumno que lo hacen es significativamente menor.Ejercicios:Anota en el espacio en blanco la respuesta apropiada para re