Cuaderno de Trabajo en Funciones

8/10/2019 Cuaderno de Trabajo en Funciones

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Prof. Ing. (Esp.) Jocabed M Pulido T Unidad Curricular: Matemtica I

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CONSIDERACIONES PRELIMINARES

Sistemas de coordenadas cartesianas:

Es un sistema de representacin de puntos en el plano bidimensional. Consiste en dos

ejes perpendiculares entre si, conocidos como eje horizontal (eje x) y eje vertical (eje

y), quienes se interceptan en un punto llamado origen.

Cada punto de este plano representa una pareja de nmeros llamada coordenada

cartesiana o par ordenado.

Consideremos de forma general las siguientes coordenadas , siendo tanto acomo b dos nmeros reales cualesquiera.

1) El nmero arepresenta la coordenada situada en el eje x y siempre aparecer

de primero en el par ordenado.

2) El nmero b representa la coordenada situada en el eje y, siempre aparecer

de segundo en el par ordenado.

(a,b)

y

xa

b


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Es importante destacar que este punto se obtiene sealando sobre el eje x el nmero a

y sobre el eje y el nmero b, luego se trazan las lneas punteadas hasta lograr la

interseccin de stas que es lo que constituye el punto (a,b)

Ejemplo N1:

Represente los siguientes puntos:

, ,,

ACTIVIDAD EN CLASE N1

Indica los pares ordenados que se muestran en el siguiente sistema de coordenadas

cartesianas

A ( , )

B ( , )

C ( , )

D ( , )


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Estimacin numrica y uso de la Calculadora

En cualquier problema aritmtico es esencial que el estudiante tenga habilidades en el

uso de la calculadora para obtener buenos resultados. Veamos Cmo usas tu

calculadora para realizar los siguientes clculos?

ACTIVIDAD EN CLASE N2

Empleando tu calculadora indica los siguientes resultados

Clculo Respuesta( ) ( )

()Recomendaciones:

El uso de los parntesis es importante en cada caso para asegurar una

respuesta correcta.

Cuando obtengas decimales, puedes aproximarlos hasta un mnimo de una

cifra decimal


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FUNCIONES REALES

Una funcin puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de

nmeros reales a un conjunto Y de nmeros reales, donde para cada valor de x existe

un nico valor de y.

Esta correspondencia a la que hace referencia la definicin de funcin tiene muchas

aplicaciones en la vida cotidiana donde una variable depende de otra, por ejemplo: el

salario de un trabajador depende de las horas que trabaja, la produccin de una

fbrica puede depender del nmero de mquinas que se utilicen, entre otros.

Es importante pensar en una funcin como una maquina, cuya materia prima esta

conformada por el conjunto X de nmeros reales y el producto de dicha maquina seria

el conjunto Y de nmeros reales, es decir los valores de la funcin f(x).

As, como para cada maquina existe siempre un tipo especfico de material, para cada

funcin existe un tipo especfico de valores de x, aceptables para la misma a travs de

la cual generan los resultados respectivos. De acuerdo a lo anterior, se llama dominio aal conjunto de valores de x que acepta una determinada funcin y se representa como

Domf. El conjunto de valores resultantes de la funcin recibe el nombre de rango.

Ejemplo N2:

Indica el dominio de la funcin Condicin:

Domf: * +Ejemplo N3:

Encuentra el dominio de la siguiente funcin Condicin:

Domf:* +

Valores de X Valores de Y


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Tipos de Funciones:

1)Funcin Constante: Sea c un nmero real fijo, la funcin es una funcinconstante. Un ejemplo de este tipo de funciones es

2) Funcin Potencia: Esta funcin es de la forma , donde n es nmero real.Si tendremos la funcin , llamada funcin identidad. La cual presenta lasiguiente grfica:

Si tendremos la funcin , llamada funcin cuadrtica, cuya grfica esuna parbola, tal como se muestra


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Si tendremos la funcin , llamada funcin cbica cuya grfica es lasiguiente

3) Funcin Raz Ensima: Cuando , siendo n un nmero real se presentanlos siguientes casos.

Si , entonces , y la grfica de esta funcin es como se muestra

Nota: El dominio de esta funcin esta conformado por todos los nmeros positivos y

comprende el intervalo ,Si

, entonces

, y la grfica de esta funcin es como se muestra


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Nota: El dominio de esta funcin esta conformada por todos los nmeros reales.

4)Funcin Inversa: En este tipo de funcin se presentan los siguientes casos. a)La

funcin , la cual es simtrica con respecto al origen tal como se muestra

b) La funcin , la cual se caracteriza por ser simtrica con respecto al eje ytal como se observa en la grfica

Grfica de funciones:

El uso de coordenadas para puntos en el plano nos permite descubrir curvas por medio

de una ecuacin.

En este sentido la grfica de una ecuacin consiste en aquellos puntos en el plano

cuyas coordenadas (x,y) satisfacen la ecuacin, es decir; hacen verdadera la igualdad.

Procedimiento para graficar:

Cuando vamos a trazar la grfica de una funcin debemos seguir los siguientes pasos

Paso 1: Obtener las coordenadas de algunos puntos que satisfagan la ecuacin.


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Paso 2: Graficar los puntos en el plano

Paso 3: Unir los puntos graficados

ACTIVIDAD EN CLASE:

Traza la grfica de la funcin Paso 1: Obtener las coordenadas de algunos puntos que satisfagan la ecuacin

x y


Paso 3: Unir los puntos grficados


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ACTIVIDAD EN CLASE:


x y




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ACTIVIDAD EN CLASE


x y



Fjate que la funcin que acabamos de graficar tiene la misma estructura , pero seencuentra ubicada en una posicin diferente en el plano cartesiano, debido a que sta

representa la traslacin de la grfica original.

Ahora Cmo podemos obtener grficas nuevas, partiendo de las grficas conocidas?

De acuerdo a lo anterior conociendo el grfico de una funcin podemos obtener,mediante simples transformaciones geomtricas , , , entre otros.Para entender mejor veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo N4:

Utilizando la grfica de la funcin

||, graficar las funciones

|| ,

||


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Fjate que en la parte a) la grfica se traslada una (1) unidad hacia arriba y en b) se traslada

cuatro (4) unidades hacia abajo.

Entonces como regla general podemos seguir que si conocemos la grfica de la funcin y deseamos graficar debemos de trasladar la grfica de la funcin cunidades hacia arriba. De la misma forma si necesitamos graficar , trasladamos lagrfica de la funcin conocida c unidades hacia abajo.

Ejemplo N5:

Utilizando la grfica de ||, graficar ||

a)

b)


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En todos los ejemplos anteriores pudimos observar como haba puntos de interseccin con el

eje x , lo cual es muy frecuentemente en la mayora de funciones y constituye una parte

esencial del comportamiento de su grfica. Las intersecciones pueden ocurrir con el eje x y conel eje y.

Interseccin con el eje x:

Son coordenadas de la variable x mediante las cuales la grfica cruza el eje x.

Forma de obtener la interseccin con el eje x:En la funcin dada haga y=0 y resuelva para la

otra variable, es decirx.

Ejemplo de la grfica:

Interseccin con el eje y:

Son coordenadas de la variable y mediante las cuales la grfica cruza dicho eje.

Forma de obtener la interseccin con el eje y:En la funcin dada haga x=0 y resuelva para la

otra variable, es decir y.

Ejemplo de la grfica:


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Ejemplo N6:

Traza la grfica de

y determina los puntos de interseccin con los ejes

coordenados

Interseccin con el eje y x = 0 Interseccin con el eje x y = 0

Punto de interseccin: Punto de interseccin:

ACTIVIDAD EN CLASE:

Traza la grfica de la funcin y encuentra los puntos de interseccin con los ejes

Tabla de Valores

x y

0 -2

1 -1

2 0


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Funciones Compuestas:

Dadas dos funciones fy gse llama funcin compuesta de f y ga la funcin representada por

f o gy definida por

()Es importante destacar que la composicin de funciones no es conmutativa esto es

Ejemplo N8: Si y

. Hallar

Fjate que la funcin inicial siempre nos generara la estructura; en cambio la funcin

secundaria estar siempre en el lugar de la variable x.

Ejemplo N9:Dadas las funciones y . Hallar() ()


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Trace la grfica de la funcin dado y determine su dominio.

a)

b)

c)

d) e) e) f) g) h)

2) Dada la grfica de la funcin a)

Trace su grfica.

b) Indique su simetra y si la funcin es par o impar. Justifique su respuesta.

3) Considerando la funcin . Dibuje por traslacin la grfica de las funcionesa) b) c)

4)

Usando la grfica de . Dibuje por traslacin las siguientes funcionesa) b) c)

5)

Grafique las funciones dadas y encuentre los puntos de intersecciones con el eje x ycon el eje y

6) b) c) 7) Dadas las funciones , . Encontrarf o g, g o f, f o f, g o g

8) Dada

. Encuentre y simplifique

()

9)

Hallar para las funciones dadas

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