3.° grado: Matemática

SEMANA 6

DÍA 3

Hallamos precios justos empleando funciones cuadráticas

INAS

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 3_día 3, páginas 32 y 33.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Los recursos que utilizaremos serán:

Días 3 y 4:

Resolvamos…

Leemos y observamos la siguiente situación

Un vendedor de frutas tiene 100 kg de naranjapara la venta a S/ 2 por kilogramo; además, cadadía que pasa se estropea 1 kg. Cuando baja laoferta de la fruta, el precio se incrementa en S/0,10 por kilogramo. Entonces, la función querepresenta el ingreso por la venta de todas lasnaranjas en relación con el número de días quetranscurren está dada por el producto de lacantidad por el precio:

F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x), donde: x representa losdías transcurridos hasta que se efectúa la venta detodas las naranjas que quedan.

A partir de la situación responde:

¿En cuántos días debe vender las naranjas para obtener el máximo ingreso?¿Cuánto es el máximo ingreso que obtiene?

Vendiendo naranjas

¿Qué datos se presentan en la situación?

Los datos que presenta la situación son:

• Cantidad de naranjas

• Precio por kilogramo

• Incremento de precio

Estos datos son expresados en la función que representa el ingreso por la venta de todas las naranjas: F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x).

Comprendemos la situación

Organizo en una tabla los resultados obtenidos con la función que representa el ingreso.

Resolución

Tiempo

(días)

Ingreso

(S/)0 200

20 320

40 360

60 320

80 200

100 0

De la situación tenemos la función que representa el ingreso:

F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x)

Si x es número de días y

F(x): ingreso

En la función hallamos el valor de los ingresos para los siguientes días:

Para x = 20 días:F(x) = (100 – 20)(2 + 0,1 ! 20)

F(x) = 320

Para x = 40 días:F(x) = (100 – 40)(2 + 0,1 ! 40)

F(x) = 360

Para x = 60 días:F(x) = (100 – 60)(2 + 0,1 ! 60)

F(x) = 320

Para x = 80 días:F(x) = (100 – 80)(2 + 0,1 ! 80)

F(x) = 200

Respondiendo las preguntas de la situación

En una hoja cuadriculada, programa Geogebra o Excel, represento gráficamente los valores de ingreso en el eje de las

ordenadas (F(x)) y los días en el eje de la abscisa (x) .

En la gráfica mostrada la función que representa el ingreso se abre hacia abajo:

F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)El mayor ingreso, se ubica en el punto (40; 360), que viene a ser el vértice de la función.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100 120

(40; 360)

F(x

): i

ng

reso

(S

/)

X: días

(100; 0)

(0; 200)

Respuesta: Las naranjas se deben vender todas el día 40 para obtener el máximo ingreso, que será S/ 360.

Tiempo

(días)

Ingreso

(S/)0 200

20 320

40 360

60 320

80 200

100 0

Recuerda: El vértice es el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo

!

Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas de la situación.

Estrategia :

• Lee la situación y los datos principales que se nos brinda en la situación.

• Reemplaza varios valores de días en la función para obtener los ingresos.

• Organiza los valores para la cantidad de días e ingreso de dinero, en una tabla.

• Con la información de la tabla, representa gráficamente la función en un plano cartesiano.

• A partir de la información brindada en la tabla y la gráfica, responde las preguntas de la situación.

Diseñamos una estrategia o plan

La función cuadrática es una función

polinomial de la forma: y = ax2 + bx + c, a≠0.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyas ramas se abren hacia arriba, si

a > 0 o hacia abajo, si a < 0.

La función cuadrática toma su valor máximo

o mínimo en el punto(−#

$%,'%()#*

'%), el cual se

llama vértice de la parábola.

El eje de ordenadas o eje Y es la recta

vertical, representada habitualmente

por la letra Y, que forma parte de unsistema de coordenadas cartesianas.

El eje de abscisas o eje X esel eje horizontal, representada

habitualmente por la letra X, de unsistema de coordenadas cartesianas.

Algunas nociones básicas

1. ¿Qué estrategias se emplearon en el desarrollo?

Respuesta:

Se utilizaron las estrategias:

• Diagramas tabulares (tablas)

• Diagramas cartesianos (plano cartesiano).

Diagramas tabulares: se emplean cuando se brinda información sobre características que relacionan dos grupos. También en problemas sobre la búsqueda de algún patrón o regla de formación.

Diagramas cartesianos: son de gran utilidad cuando se requiere representar funciones o si tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables.

Ejecutamos la estrategia o plan

2. ¿De qué otra manera se puede expresar la función ingreso: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)?

De la situación, tenemos que la función ingreso

es: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x).

Efectuamos la multiplicación de los términos:

F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)

F(x) = 200 + 100 ! 0,1x ─ 2x ─ 0,1· x · x

F(x) = 200 + 10x ─ 2x ─ 0,1· x2

F(x) = 200 + 8x ─ 0,1x2

Organizamos los términos de forma

descendente:

F(x) = ─ 0,1x2 + 8x + 200

Respuesta: La otra manera que podemos

expresar es: F(x) = ─ 0,1x2 + 8x + 200.

Recuerda:La expresión (a + b)(c + d),

representa la multiplicación de dos binomios, la cual podemos

desarrollar así:(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ten en cuenta los signos que preceden a cada término del binomio.

Sigamos respondiendo

!

3. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta se realiza en 20 días?

Para responder esta pregunta:1.° Utilizaremos la tabla elaborada en la resolución.

2.° Seleccionamos en la tabla el ingreso que corresponde a 20 días.

Respuesta: Si la venta realiza en 20 días logra un ingreso de S/ 320, no se llega al ingreso máximo.

3.° Reemplazamos en la función:

Si x = 20 días:

F(x) = (100 – 20)(2 + 0,1·20)

F(x) = (80)(2 + 2)

F(x) = (80)(4)

F(x) = 320

Tiempo

(días)

Ingreso

(S/)0 200

20 320

40 360

60 320

80 200

100 0

Sigamos respondiendo

4. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta excede los 40 días?

1.° Para responder esta pregunta utilizaremos la tabla elaborada en resolución.

2.° Seleccionamos 60 días en la tabla, es un valor que exceda a 40 días.

3.° Remplazamos el valor en la función:

Si x = 60 días:

F(x) = (100 – 60)(2 + 0,1 · 60)

F(x) = (40)(2+6)

F(x) = (40)(8)

F(x) = 320

Respuesta: Si la venta excede a 40 días, el valor de ingreso empieza a disminuir.

Exceder: sobrepasar cierto límite, cantidad o valor.

Toma nota:

Tiempo

(días)

Ingreso

(S/)0 200

20 320

40 360

60 320

80 200

100 0

Sigamos respondiendo

5. ¿Qué partes de la gráfica obtenida no corresponden a la resolución de la situación? Argumenta tu respuesta.

1.° Para responder utilizaremos la gráfica de la función: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100 120

(40; 360)

F(x

): i

ng

reso

(S

/)

X: días(100;0)

(0;200)

Tiempo(días)

Ingreso(S/)

0 200100 0Recuerda esta gráfica y la tabla que

elaboramos en la resolución de la situación.

El ingreso es bajo porque el precio es bajo.

El ingreso es muy bajo porque ya quedan pocas naranjas para vender

aunque el precio sea alto.

Para el día 100, quedan 0 naranjas por vender, se

malograron todas o no puedes vender.

Finalizamos con esta pregunta

!

2.° Tomaremos un valor que está fuera de la región sombreada: 120 díasPara x = 120 días:

F(x) = (100 – 120)(2 + 0,1 · 120)

F(x) = (–20)(2 + 12)

F(x) = (–20)(14)

F(x) = –280

El ingreso es – 280 soles, lo que quiere decir que hay pérdida.

Respuesta: No corresponden tomar los valores fuera de la región sombreada,porque el ingreso es negativo, es decir, pagarás por que se las lleven.

Seguimos con esta pregunta

¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la situación? Justifica tu respuesta.

Si F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x) se representada en la forma: F(x) = ! "#

$%+ 8( + 200.

Tenemos los valores de: a = !$

$%, b = 8 y c = 200.

El punto más alto o más bajo se llama vértice de la parábola: V (x; F(x)) = [(!,

-.); F(

!,

-.)].

Entonces x = !,

-.=

!0

-(!2

23)=

56

25#

23

=(!0)($%)

($)(!-)=

0%

-=40

Remplazamos el valor de x en:

F(x) = ! 7%#

$%+ 8 · 40 + 200

F(x) = –160 + 320 + 200

F(x) = 160 + 200 = 360

Entonces el vértice de la función está representado por el par ordenado:

V(x; F(x)) = V(40; 360)

Respuesta: Las naranjas se deben vender en 40 días para obtener el máximo ingreso, que será S/ 360.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

Estimada/o estudiante, con la finalidad de afianzar tus aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar el desafío de la actividad del día 4, donde encontrarás otras situaciones similares que deberás resolver.

Disponible en la sección Guía de actividades Día 4.

Días 3 y 4

Para seguir aprendiendo en casa

Gracias