Funciones lineales y Funciones lineales y cuadráticascuadráticas

2ºESO IES EL ÁLAMO 2011-2012

Funciones de Proporcionalidad Funciones de Proporcionalidad DirectaDirecta

El grifo: Un grifo vierte 15 litros por minuto.

Es evidente que el tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica obtendremos:

Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15, que es la razón de proporcionalidad.

V=15.t

Características

Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón m, dan lugar a gráficas del tipo anterior que son rectas que:

1)Pasan por el origen de coordenadas2)Su ecuación es

f(x) = m · x.

Al número m se le llama pendiente.

La pendiente de una recta nos proporciona la inclinación de la misma respecto del eje X (ángulo que forma la rectacon dicho eje).

Pendiente de una rectaPendiente de una recta

En la función lineal y = mx, al coeficiente m se halla dividiendo el valor de la variable dependiente por el correspondiente valor de la variable independiente.

Su valor es la medida del crecimiento o decrecimiento de la recta

2

1

100

50m

Calculemos la pendiente de las siguientes rectas:

m=+2 m=+3 m=+4

Determina la expresión de las funciones cuya representación gráfica es la siguiente.

xy3

2 xy 2 xy

3

2

Funciones constantesFunciones constantes

Funciones constantesFunciones constantes

La función constante es del tipo: F(x) = n

Donde n es cualquier número.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones afinesFunciones afines

Hemos medido la temperatura de un líquido a medida que se calentaba. Los resultados aparecen en la siguiente tabla de valores.

La expresión algebraica de dicha función es y = 5x + 15

cuya representación gráfica se muestra a continuación.

Esta no es una función de proporcionalidad directa.

A este tipo de funciones se les llama funciones afines.

1)Su gráfica es también una recta

2) No pasa por el origen de coordenadas

3) Su expresión algebraica es: y = mx + n

En la expresión anterior:· m es la pendiente de la recta.· n es la ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenadas en el punto (0, n).

Rectas con la misma Rectas con la misma pendientependiente

Representamos las rectas correspondientes a las siguientes funciones afines y lineales:

Construimos una tabla de valores para cada una de ellas:

Puede observarse que todas las funciones tienen la misma pendiente, m = 2, Las rectas correspondientes son rectas paralelas.

Las gráficas de las funciones afines y lineales que tienen igual pendiente m son rectas paralelas.

Si tienen distinta pendiente, serán entonces rectas secantes.

ParábolasParábolas

El tiro que ha de realizar un futbolista para meter gol sin que tenga posibilidad el portero de pararlo es:

ParábolasParábolas

Estas funciones se llaman parábolas y tienen por ecuación:

Donde a, b y c son números.

Si a>0, la parábola es

Si a<0, la parábola es

cbxaxy 2

Vértice de una parábolaVértice de una parábola

El primer punto que debemos calcular es el vértice de la parábola.

Éste es un máximo o un mínimo, dependiendo de cómo sea la parábola:

Mínimo

Máximo

Vértice de una parábola

Para calcularlo, empezamos por la abscisa, es decir, por la primer coordenada de dicho punto:

Luego obtenemos la ordenada, es decir, la segunda coordenada del punto, utilizando la tabla de valores

a

bx

2

Hallemos el vértice en la siguiente parábola:

El Vértice es (-1,2) y será un mínimo

322 xxy

12

2

12

2

2

a

bxv

Cortes con el eje OXCortes con el eje OX

Una vez estudiado el vértice, lo siguiente que se hace es calcular los cortes con los ejes:

Para saber dónde corta al eje X, se resuelve la ecuación de segundo grado

Estos puntos tienen la ordenada cero

02 cbxax

Calculemos los cortes con el eje OX de la siguiente parábola:

Resolvamos la ecuación

Así, los puntos buscados son (2,0) y (-2,0)

42 xy

2

244404 222

x

xxxxx

Puntos de corte con el eje OYPuntos de corte con el eje OY

Para calcular dónde corta al eje OY, utilizamos la tabla de valores y damos a x el valor cero.

La abscisa de dicho punto es cero siempre.

El punto buscado es el (0,4)

42 xy