Funcion cuadráticas

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Lic: Evaristo Huamani Velásquez

FUNCIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADOSon aquellos que tienen la forma

donde son números reales con

2f x ax bx c ,a by c 0a

Ejemplos

2

2

2 4 63 52 4

f x x x

g x x x

2

2

72 3

f x x xh x x x

2

2

12

33 1

h x x

g x x

El dominio de una función cuadrática es el Conjunto de números reales y son las primeras componentes de los pares ordenados de la función.

1.DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Df

Ejemplo 0;0 ; 1;2 ; 3;4Sea la funcion F

Entonces el dominio de la función es

0 ;1;3Df

Primeras componentes

El rango o imagen de una función cuadrática es un subconjunto de números reales y son las segundas componentes de los pares ordenados de la función .

Ejemplo

2. RANGO O IMAGEN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Rf

0;0 ; 1;2 ; 3;4Sea la funcion F

,Entonces el rangooimagen de la función es 0 ;2 ;4Rf

Segundas componentes

GRÁFICOS DE UNA FUNCION CUADRÁTICA O DE 2DO GRADO

CASOS PARA GRAFICAR DE UNA FUNCION 1.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA 2f x a x

La grafica de una función de segundo grado o cuadrática es una figura parabólica con dominio del conjunto de números reales

Recuerda que del dominio se toman algunos valores para “x” y remplazar en la función .

Df

y f x

En este caso la grafica, así sea con su vértice siempre pasa por el origen de las coordenadas

a ó a

2 Si f x ax con a

La parábola se abre hacia arriba

0

x

y

0;0VéV

rtice

Vértice

Df

0 ; R f

0

x

y

2 Si f x ax con a

La parábola se abre hacia abajo

0;0VéV

rticeVértice

Df

0 ; R f

24. 2 .Gráficar f x x y hallar R fSolución

) .i En este caso el vértice pasa por el origen

0,0V y Df -2 -

1 0 1

2

Valores a tomar para x

) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 22f x x

22 2 2

2.4 8 2, 8Si x y

y

21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y

21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y 22 2 2 2.4Si x y 8 2; 8y

0 1-2

-8

2-1

-2

Vértice

:Haciendo la gráfica se tiene

0;R f

0,0VéV

rtice 2, 8pto 1, 2pto 1, 2pto 2, 8pto

212. .

2Gráficar f x x y hallar R f

Solución) .i En este caso el vértice pasa por el origen

0,0V y Df -2 -

1 0 1

2


) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 21

2f x x

21 1 42 2 .4 2

2 2 22 2,2

Si x y

y

21 1 1 11 1 .1 1

2 2 2 2Si x y

21 1 1 11 1 .1 1

2 2 2 2Si x y

21 1 42 2 .4 2

2 2 2Si x y

2 2; 2y :Haciendo la gráfica se tiene

0;R f

0 1-2

1

2-1

2

3

1

2 x

y

11

2Pto 0,0VéV

rtice

Vértice

2 2Pto

11

2Pto

2 2Pto

2.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA 22 .f x ax f xb axyx cEn este caso la grafica, así sea con su vértice no pasa por el origen de las coordenadas

a ó aEjemplo

21. 4 .Gráficar f x x x y hallar R f Solución

) 1, 4 0.i Hallando el vértice a b y c Df

24 4 0 16; ; 2 ; 4

2 4 2 4

4 1 0 4

1 1V

0 1 2 3

4


) 0;1;3 4ii Hallando puntoscon y en 2 4f x x x

20 0 4 0Si x y 0 0 0 0; 0y

21 1 4 1Si x y

1 4 3 1; 3y 2

3 3 4 3Si x y 9 12 3; 3y

24 4 4 4Si x y

16 16 0 4; 0y

1 2 3 40

-1

-2

-3

-4

Vértice


4;R f

x

y

2, 4Vé

Vrtice

0,0pto 1, 3pto 3, 3pto 4,0pto

22 . 3 .Gráficar f x x y hallar R f Solución

) 1, 0 3. i Hallando el vértice a b y c Df

24 0 12 0; ; 0 ;3

2 4 2 4

0 1 3 0

1 1

V -2

-1 0 1 2


) 2; 1;1 2ii Hallando puntoscon y en 2 3 f x x 22 2 3 Si x y

4 3 1 2; 1 y

21 1 3 Si x y

1 3 2 1; 2 y

21 1 3 Si x y

1 3 2 1; 2 y

22 2 3 Si x y

4 3 1 2; 1 y


0 1-2

3

2-1

2

1

-1

0;3VéV

rticeVértice

2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto

3; R f

3.GRAFICO DE FUNCIONES DE LA FORMA

2f x ax bx cEn este caso la grafica, así sea con su vértice no pasa por el origen de las coordenadas

a ó aEjemplo

21. 4 3Graficar y hallar Rf en f x x x

Solución


24 4 12 16

; ; 2 ; 12 4 2 4

1 3 44

1 1V

2) lg - 4, -3, -1 0 f 4 3ii Hallamos a unos puntoscon y en x y x x

2Si x=-4 4 4 4 3y

2-3 -3 4 -3 3Si x y

16 16 3 3 4;3 y

2Si x=-1 1 4 1 3y

9 12 3 0 3;0 y

2Si x=0 0 4 0 3 y

1 4 3 0 1;0y

0 0 3 0 0;3y

- 4 - 3 - 2 - 1

1

2

3

0

- 1

4) ,1 3i Hallamos el vértice a b y c

Vértice

- 4 - 3 - 2 - 1 0


2; 1Vér

Vtice

4;3pto 3;0pto 1;0pto 0;3pto

1R f

22. 2 2 1Graficar y hallar Rf en f x x x Solución

1) 2, 2i Hallamos el vértice a b y c

2)Hallamos algunospuntoscon -1;0;1 y2 en f 2 2 1ii x y x x

2Si x=-1 2 1 2 1 1y

2.1 2 1 3 1; 3y 2

Si x=0 2 0 2 0 1y 2.0 0 1 1 0;1y

2Si x=1 2 1 2 1 1y

2.1 2 1 1 1;1y 2

Si x=2 2 2 2 2 1y 2.4 4 1 3 2; 3y


- 1 0 1/2

1

2


24 2 1 22 2 8 4 1 3

; ; ;2 2 4 2 4 8 2 2

V

Vértice

1

2

3

2

-10

1 2

-3

1

2

1 3,

2 3Vértice

V

1, 3pto 0;1pto 1;1pto 2; 3pto

3

2R f

23. 2 8 9Gráficar f x x x y hallar R f

) 2 , 8 9i Hallamos el vértice a b y c Solución

24 8 72 64 8; ; 2; 2;1

2 4 4 8 8

8 2 9 8

2 2V

0 1 2 3 4


) Hallandopuntoscon0;1;3 y4enii 22 8 9f x x x

20 2 0 8 0 9Si x y

0 0 9 9 0;9y 2

1 2 1 8 1 9Si x y 2 8 9 3 1; 3y

23 2 3 8 3 9Si x y

18 24 9 3 3; 3y

24 2 4 8 4 9Si x y

32 32 9 9 4; 9y Vértice

1 2

3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

:Haciendo la gráfica se tiene 1;R f

0,0VéV

rtice 0,9pto 1,3pto 3,3pto

4,9pto

24. 2 .Gráficar f x x y hallar R fSolución

) .i En este caso el vértice pasa por el origen

0,0V y Df -2 -

1 0 1

2


) Hallandopuntoscon 2; 1; 1y2enii 22f x x

22 2 2

2.4 8 2, 8Si x y

y

21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y

21 2 1 2.1Si x y 2 1; 2y 22 2 2 2.4Si x y 8 2; 8y

0 1-2

-8

2-1

-2

Vértice


0;R f

0,0VéV

rtice 2, 8pto 1, 2pto 1, 2pto 2, 8pto

25. 4 .Gráficar f x x x y hallar R f Solución

) 1, 4 0.i Hallando el vértice a b y c Df

24 4 0 16; ; 2 ; 4

2 4 2 4

4 1 0 4

1 1V

0 1 2 3 4


) 0;1;3 4ii Hallando puntoscon y en 2 4f x x x

20 0 4 0Si x y 0 0 0 0; 0y

21 1 4 1Si x y

1 4 3 1; 3y 2

3 3 4 3Si x y 9 12 3; 3y

24 4 4 4Si x y

16 16 0 4; 0y

1 2 3 40

-1

-2

-3

-4Vértice

:Haciendo la gráfica se tiene 4;R f

x

y

2, 4Vé

Vrtice

0,0pto 1, 3pto 3, 3pto 4,0pto

26 . 3 . Gráficar f x x y hallar R fSolución

) 1, 0 3. i Hallando el vértice a b y c Df

24 0 12 0; ; 0 ;3

2 4 2 4

0 1 3 0

1 1

V -2

-1 0 1 2


) 2; 1;1 2ii Hallando puntoscon y en 2 3 f x x 22 2 3 Si x y

4 3 1 2; 1 y

21 1 3 Si x y

1 3 2 1; 2 y

21 1 3 Si x y

1 3 2 1; 2 y

22 2 3 Si x y

4 3 1 2; 1 y


0 1-2

3

2-1

2

1

-1

0;3VéV

rtice

Vértice 2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto

3; R f

1 2 3 40

-1

-2

-3

-4Vértice

Vértice

1 2

3 40

123456789

0 1-2

3

2-1

21

-1

0;3VéV

rtice

Vértice 2; 1Pto 1;2Pto 1;2Pto 2; 1Pto

1 2 3 40

-1-2-3-4 Vértice 0 1-

2

1

2-1

2

3

1

2 x

y

11

2Pto 0,0VéV

rtice

Vértice

2 2Pto

11

2Pto 2 2Pto

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