Funciones cuadráticas

Lcdo. Jorge Sánchez

Docente de matemática

Objetivo:

• Operar con las funciones cuadráticas ; a través de la utilización de tablas, gráficas, leyes de asignación, conceptos, comparaciones y características esenciales; y aplicarlas en la resolución deproblemas prácticos. 

Aplicaciones en la vida real de la función Cuadrática

¿ Qué entienden por función?

FUNCIÓN

Se denomina función a la

relación entre dos

conjuntos de números reales de

forma que a cada

elemento x del conjunto

inicial A

le corresponda

un único elemento y

del conjunto final B.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

1.-MEDIANTE UN TEXTO

2.-ALGEBRÁICA

3.-TABULAR

4.- GRÁFICA

¿ Qué Tipos de Funciones Conocen?

Ejemplo de representación algebráica: y+x=2, A cada valor de x le corresponde

un valor de y

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN CONSTANTELa función constante es del tipo:

y = nEl criterio viene dado por un número real.La pendiente es 0.La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de

abscisas.

GRAFICACIÓN

Rectas verticalesLas rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del

tipo:x = K

GRAFICACIÓN

x 0 1 2 3 4y = 2x

0 2 4 6 8

Función linealLa función lineal es del tipo:y = mxSu gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.y = 2x

GRAFICACIÓN

Función RacionalEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

Función a trozosSon funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Función TrigonométricasFunción senof(x) = sen x

Dominio:

• Recorrido: [−1, 1]

• Período:

Definición

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Representación gráfica de la parábolaPodemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

       

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vérticexv = − (−4) / 2 = 2     yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1        V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY(0, 3)

Resumen Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

Gracias