Funciones Cuadráticas

Son las funciones que pueden llevarse a la forma:

Donde , y son constantes y .

Ejemplo: Graficar la función cuadrática

Generando una tabulación se tiene:

X Y-4 6-3 0-2 -4-1 -60 -61 -42 03 6

Graficando estos puntos en un plano cartesiano, obtenemos la gráfica de la función cuadrática, la cual se muestra en la Figura 6

Figura 1 Gráfica de la función

UNIDAD I ECUACIONES CUADRÁTICAS

1.1 Introducción

Ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente es el dos.

Así por ejemplo:

Es una ecuación de segundo grado.

1.2 Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado

Método gráfico

Consiste en hacer una gráfica de la función cuadrática y ver en que lugares la gráfica de la función cruza el eje ; estos puntos serán las raíces o ceros de nuestra ecuación.

Ejemplo 1:

Sea la ecuación cuadrática:

Encontrar sus raíces:

Solución:

Primeramente convertiremos la ecuación en función sustituyendo el 0 por la y.

Procediendo a graficarla por el método de tabulación tenemos:

x y

-3 0

-2 -4

-1 -6

0 -6

1 -4

2 0

3 6

De la gráfica se puede apreciar que los puntos de intersección con el eje son y , los cuales por lo tanto serán los valores de las raíces o ceros de nuestra ecuación.

Comprobación:

Sustituyendo la primera solución

Realizando operaciones

Ejemplo 2:

Sea la ecuación cuadrática:

Encontrar sus raíces:

Solución:

Procediendo a graficarla por el método de tabulación tenemos:

x Y

-3 0

-2 -4

-1 -6

0 -6

1 -4

2 0

3 6

De la gráfica se puede apreciar que los puntos de intersección con el eje son y , los cuales por lo tanto serán los valores de las raíces o ceros de nuestra ecuación.

Método de la formula general

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general:

La solución de la ecuación anterior consiste en encontrar el o los valores de . Tratemos de despejar a la .

Dividiendo entre a

Llevando al primer miembro todos los términos que contengan x.

Formando un trinomio cuadrado perfecto

Factorizando:

Pasando el exponente al miembro derecho en forma de raíz

Despejando a

Realizando la operación indicada dentro del radical

Simplificando

Factorizando

Donde , y , son los coeficientes de la función cuadrática

Ejemplo: sea la ecuación cuadrática determinar el valor de sus raíces.

Solución.

Se tiene que: ; y

Sustituyendo los valores de , y en la ecuación tenemos:

Simplificando tenemos:

Como se puede apreciar en la formula aparece el símbolo ±, el cual indica que vamos a tener dos soluciones, la primera utilizando el signo +, y la segundo utilizando el signo -. Por lo que tenemos:

Por lo que las soluciones de nuestra ecuación cuadrática son y .

Ejemplo: Sea la ecuación cuadrática determinar el valor de sus raíces.

Solución.

Reordenando la ecuación tenemos que:

Se tiene que: ; y

Sustituyendo los valores de , y en la ecuación tenemos:

Simplificando tenemos:

Como se puede apreciar en la formula aparece el símbolo ±, el cual indica que se tienen dos soluciones, la primera utilizando el signo +, y la segunda utilizando el signo - por lo que tenemos:

Por lo que las soluciones de nuestra ecuación cuadrática son: y

Ejemplo: Sea la ecuación cuadrática determinar el valor de sus raíces.

Solución.

Reordenando la ecuación tenemos que:

Se tiene que: ; y

Sustituyendo los valores de , y en la ecuación tenemos:

Simplificando tenemos:

Por lo que tenemos:

Por lo que las soluciones de nuestra ecuación cuadrática son: y .

Ejercicios: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la formula general:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Método de factorización.

Este método consiste en factorizar la expresión de nuestra ecuación cuadrática, la cual es un trinomio, en un producto de binomios.

Una vez que se tiene el producto de binomios, se procede a igualar cada factor con cero y así encontrar el valor de cada una de las raíces.

Ejemplo: Sea la ecuación: , determinar el valor de sus raíces por el método de factorización.

Solución.

Este trinomio lo podemos factorizar como:

Igualando cada factor a cero tenemos que:

Lo cual nos lleva a las soluciones de nuestra ecuación, o sea que y .

Ejemplo: Sea la ecuación: , determinar el valor de sus raíces por medio del método de factorización.

Este trinomio lo podemos factorizar como:

Igualando cada factor a cero tenemos que:

Lo cual nos lleva a las soluciones de nuestra ecuación, o sea que y .

Ejemplo: Sea la ecuación determinar el valor de sus raíces por medio del método de factorización.

Este trinomio lo podemos factorizar como:

Igualando cada factor a cero tenemos que:

Lo cual nos lleva a las soluciones de nuestra ecuación, o sea que y .

Ejercicios: Resuelva mediante factorización:

a) b) c)

d) e) f)

Ecuaciones que se llevan a la forma

Ejemplo: resolver

Desarrollando las operaciones:

Simplificando:

Resolviendo por factorización:

Por lo que se tiene que las soluciones son:

Ejemplo: resolver

Desarrollando las operaciones se tiene que:

Simplificando:

Resolviendo por medio de la formula general:

Resolver

Realizando las operaciones expresadas:

Simplificando la expresión:

Resolviendo por factorización:

Por lo que las soluciones son:

Resolver

Realizando la suma de fracciones algebraicas:

Simplificando:

Resolviendo por factorización:

Por lo que las soluciones son:

Ejemplo: resolver

Realizando la suma de fracciones en el primer miembro de la ecuación se tiene:

Simplificando se llega a:

Resolviendo por medio de la formula general se tiene:

Por lo que las soluciones son:

Resolver

Realizando la suma de fracciones:

Simplificando se llega a:

Solucionando por medio de la formula general:

Ejemplo: resolver:

Despejando a

Por lo que las soluciones son:

Resolver

Despejando a

Por lo que las soluciones son:

Ejemplo: resolver

Despejando a

Por lo que las soluciones son:

Ejemplo: resolver

Desarrollando las operaciones expresadas:

Despejando a

Por lo que las soluciones son:

1.3 Problemas que se resuelve con ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo: Juan es dos años mayor que Pedro y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130. Hallar la edad de Juan y la de Pedro.

Sol.

Sea la edad de Juan en tanto que la edad de Pedro.

Como la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 se tiene que:

Desarrollando la ecuación anterior:

Resolviendo la ecuación anterior se tiene que:

Debido a que no existen edades negativas, se considera como solución a , por lo que podemos concluir que la edad de Juan es de 9 años en tanto que la edad de Pedro es de 7 años.

Ejemplo: El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace el doble. Hallar las dimensiones del terreno:

Sol.

Sea el ancho del terrenoel largo del terreno.

Si se aumenta tanto la anchura como la longitud se tendrá que:

ancho del terreno largo del terreno

Como al aumentar las dimensiones el área se hace el doble de la original se puede plantear que:

Desarrollando la ecuación anterior se llega a:

Resolviendo la ecuación anterior se tiene que:

Debido a que no existen longitudes negativas, se toma como solución , por lo que podemos afirmar que la longitud original del terreno es 60m, en tanto que la anchura original es 30m.

Ejercicios: Resuelva los siguientes problemas:

1) Halle un número positivo que sea 56 menos que su cuadrado

2) La suma de un número y su reciproco es 10/3. Hallar el (los) número (s).

3) Dos botes navegan formando un ángulo recto después de dejar el mismo muelle al mismo tiempo; una hora más tarde la distancia que los separa son 13 km. Si uno de ellos viaja 7 km/h más rápido que el otro, ¿cuál es la velocidad de cada uno de los botes?

4) La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los dos números. Resp. 7 y 2

5) El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Hallar el número. Resp. 7

6) La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto es 102. Hallar ambas edades. Resp. 17 y 6

7) La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números. Resp. 15 y 8

8) Una persona compró cierto número de libros por $ 180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado $ 1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costo cada uno? Resp. 36 libros a $ 5

9) Entre cierto número de personas compran un auto que vale $ 1200. El dinero que paga cada persona excede en $ 194 al número de personas. ¿cuántas personas compraron el auto? Resp. 6

10) Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a 3/10 del número intermedio. Resp. 4,5,6.

11) La edad de A hace seis años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual. Resp. 10

12) Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10 km por hora más. Hallar la velocidad del tren. Resp. 40 Km/Hr.

Ejercicios complementarios:

1. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado mediante el uso de la formula general.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado por medio del método de factorización.

a.

b.

c.

d.

3. Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado resolverlas utilizando factorización o despeje.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

4. Resolver las siguientes ecuaciones llevándolas a la forma

a.

b.

c.

d.

5. Resolver las siguientes ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

6. Resolver las ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

e.

7. Resolver por medio del método gráfico las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a.

b.

c.

8. Resolver las siguientes ecuaciones llevándolas a la forma

a.

b.

c.

9. Resolver los siguientes problemas.

a. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53, encontrar estos números.

b. La longitud de una habitación excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión aumenta en 4 m. el área será el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

c. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el menor de estos números equivale a 184. Hallar los números.

d. El producto de dos números es 180 y su cociente es .Hallar los números.