SEMANA 6

DÍA 4

Resolvemos situaciones utilizando funciones cuadráticas

3.° grado: Matemática

Medidas de un terreno

Jorge decidió cercar una parte de su terreno,para lo cual compró en oferta 300 m de malla.El deseo de Jorge es abarcar el máximoterreno rectangular posible.

Situación 1

1. ¿Cuáles serían las dimensiones del terreno cercado y cuál es su área?

Resolución

Representamos el terreno mediante un rectángulo y planteamos una ecuación a partir de los datos.

a) 75 m y 5625 m² b) 70 m y 5526 m² c) 75 m y 5635 m² d) 57 m y 5625 m²

Del gráfico: Ancho: y, largo: xPerímetro (P): P = 2x + 2y

Entonces: 2x + 2y = 300 Simplificamos: x + y = 150 ⟶y = 150 ─ x

Largo (x)

Ancho (y)

Relacionamos los lados del terreno para representar el perímetro y el área.

Área ▄ = largo · ancho Remplazamos valores del esquema en la fórmula: Área ▄ = x · yExpresamos como función y reemplazamos el valor de y:A(x) = x(150 ─ x)A(x) = ─ x2 + 150x

Recuerda:

El vértice de la parábola es el punto máximo o

mínimo de la función

f(x) = ax2 + bx + c

Se expresa V(x; f(x)),

donde: x = !"

#$.

De A(x) = ─ x2 + 150x, se tiene los coeficientes: a = ─ 1 y b = 150.

Hallamos el valor de x, que representa el largo del terreno:

x = !"

#$= !&'(

#(!&)= 75 m

Remplazamos valor de x en área:

A(x) = ─ x2 + 150x

A(x) = ─ 752 + 150 · 75

A(x) = 5625 m2

Hallamos y que representa el ancho del terreno:

y = 150 – x

y = 150 – 75 y = 75

Por tanto, el ancho deberá medir 75 m y el área, 5625 m². Para que Jorge pueda abarcar la máxima parte de su terreno con 300 m de malla, deberá cercar un cuadrado de lado de 75 m que tendría un

área de 5625 m2.

Respuesta: 75 m y 5625 m2. Alternativa a).

!

2. Describe el procedimiento utilizado para dar respuesta a la pregunta de la situación.

Respuesta libre:

• Comprende la situación y los datos principales.

• Usa un diagrama rectangular que representa el terreno de Jorge.

• Relaciona lados, perímetro y área del rectángulo.

• Expresa el área del rectángulo como función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c.

• Halla el vértice de la función, reemplazando el valor de x en A(x) y determina el área máxima del terreno para cerca.

• Halla el valor de uno de los lados del rectángulo. V(x, f(x)), donde x = !"

#$.

Continuamos con la situación 1

3. ¿Por qué el vértice se considera punto máximo? ¿En qué situación el vértice seríael punto mínimo?

a) La parábola se abre hacia abajo, entoncesel vértice es el máximo de la función;cuando la parábola se abre hacia arriba, elvértice es el mínimo.

b) La parábola se abre hacia arriba, entoncesel vértice toma el valor cero; cuando laparábola se abre hacia abajo, el vérticetoma un valor negativo.

c) La parábola se abre hacia arriba, entoncesel vértice es el máximo; cuando la parábolase abre hacia abajo, el vértice es el mínimo.

d) La parábola se abre hacia abajo, entoncesel vértice es un mínimo; cuando laparábola se abre hacia arriba, el vértice esun máximo.

ResoluciónPara responder utilizo dos gráficos que muestran punto mínimo y máximo.

Por lo tanto:

El vértice es máximo, cuando la parábola se abre hacia abajo.

El vértice es mínimo, cuando la parábola se abre hacia arriba.

Respuestas: Alternativa a).

El vértice, se encuentra en el

punto máximo de la función.

El vértice, se encuentra en el

punto mínimo de la función.

Continuamos con la situación 1

4. Escribe las diferencias entre área y perímetro de una figura geométrica.

a) El área es la medida de la superficie

plana de la figura geométrica y elperímetro es la medida de todo elcontorno de la figura geométrica.

b) El área es la medida de la figurageométrica y el perímetro es la

medida de dos lados de la figurageométrica.

c) El área es la medida de los lados dela figura geométrica y el perímetroes la medida de la superficie de la

figura geométrica.

d) El área es la medida de la superficieplana de la figura geométrica y elperímetro es la medida de las dosdiagonales de la figura geométrica.

Resolución

Respuesta: Alternativa a).

Área Perímetro

§ Medida de la superficie plana de la figura geométrica.

§ A = largo x ancho

§ Medida de todo el contorno de una figura geométrica.

Utilizaremos una tabla para presentar las diferencias entre área y perímetro

Continuamos con la situación 1

5. ¿A qué corresponden los valores a, b y c en la fórmula del vértice? V= ("#

$%;"#'( )%*

)%)

a) Coeficientes de los términos que se reemplazan en la fórmula.

b) Coeficientes de los términos de la ecuación de tercer grado que se reemplazan en la fórmula.

c) Valores de la ecuación canónica que se reemplazan en toda ecuación.

d) Coeficientes del vértice que se reemplazan en la fórmula.

ResoluciónPor lo tanto los

valores a, b y c son

coeficientes de la

ecuación general de la función cuadrática que se remplazan en la fórmula del vértice.

Respuesta: Alternativa a).

Recordemos que la forma general de una función cuadrática está representada por:

f(x) = a x2 + b x + c

Coeficiente del término cuadrático

de la forma: a > 0; a < 0, a≠0

Coeficiente término lineal

Coeficiente del término independiente

Continuamos con la situación 1

Medidas de un terreno

El siguiente gráfico ilustra la trayectoriade un balón de fútbol. La altitud máximadel recorrido del balón respecto al sueloes de 10 m.

Durante su ascenso, ¿a qué distanciahorizontal de su punto de partida elbalón alcanzó una altura de 6 m?

Durante el descenso, ¿a qué distanciahorizontal del punto de partida vuelve aestar a esa altura?

Situación 2

De la situación tenemos los datos:

• Altura máxima = 10 m

• Altura 6 m

Entonces el vértice es (X; 10).

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40

Representación estándar de la función cuadrática:

f(x) = a (x + h)2 + k

§ El eje de simetría siempre pasa a través del vérticede la parábola .

Factor de la forma: a > 0; a < 0;

a≠0

Abscisa del vértice (valor x)

Ordenada del vértice (valor de y)

Toma nota

(X; 10)

(40;0)

(x; 6) (x; 6) Considerando la nota:

Deducimos los valores de h y k en: f(x) = a(x ─ 20)2 + 10,

a > 0.

Ordenada y = k, entonces k = 10.

En el gráfico se observa que el eje de simetría pasa por el

vértice (X; 10), entonces el valor de X = 20.

Abscisa es x = h, entonces h = 20.Eje de simetría

Continuamos con la resolución de la situación 2

1.° Remplazamos los valores de h y k en, hallamos valor de a:

f(x) = a(x ─ 20)2 + 10

Para hallar a, tomaremos un punto (0; 0).

Reemplazamos x = 0, y = 0; además f(x) = y:

y = a(x ─ 20)2 + 10

0 = a(0 ─ 20)2 + 10

a =!"

#$

2.° Remplazamos el valor de a en:

y = ─a(x ─ 20)2 + 10

y =!"

#$(x2 ─ 40x + 400) + 10

y =!"

#$x2 + x

3.° Del dato de la situación la altura del recorrido del balón es 6. Entonces: y = 6.

Remplazamos valor de y en: y =!"

#$x2 + x.

6 =!"

#$x2 + x

x2 ─ 40x + 240 = 0

Continuamos con la resolución de la situación 2

4.° En la ecuación x2 ─ 40x + 240 = 0 hallamos el valor de x por la fórmula general de la ecuación cuadrática:

X =!"± "$!%&'

(&=

!(!%*)± (!%*)$!%(,)((%*)

((,)

X = 20± 12,64, así tenemos las siguientes soluciones

X1 ≈ 7,36

X2 ≈ 32, 64

De los valores obtenidos afirmamos que:

§ Durante su ascenso la altura de 6 m, alcanzó 7, 36 m de distancia horizontaldel punto de partida.

§ Durante el descenso la altura de 6 m, se alcanzó 32,64 m de distancia.

Continuamos con la resolución de la situación 2

Gracias