11/5/2014 Ecuaciones Cuadrticas - Matematicas Puerto Rico |L2DJ Temas de Matemticas, Inchttp://matematicaspr.com/l2dj/blog/ecuacion-cuadratica 1/6Inicio Quines Somos Servicios Productos Comunidad L2DJ Contctenos Blog Mi CuentaBSQUEDAItems: 0 Total: $0.00CARRITO DE COMPRAS 0Ecuaciones CuadrticasCreado por: l2djDa: February 21, 2013Vistas: 4532Una ecuacin cuadrtica en una variable es de la forma: Lamximacantidaddesolucionesrealesodiferentesvaloresrealesquepuedeasumirlavariablexenunaecuacincuadrticaesdoscomoloindicasugrado.Haydistintosmtodosquepuedenserutilizadosparahallarsussoluciones,losmismossonaplicadosdeacuerdoalacomposicinquetengalaecuacin cuadrtica que se est trabajado. Discutiremos tres distintos mtodos: Mtodo de la raz, Mtodode Completar el cuadrado y la Frmula Cuadrtica.I. Mtodo de la raz El mtodo de la raz se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadrticas que tan slo tenganuntrminoconvariableyseaelcuadrtico,dehabervariostrminoscuadrticostienenquesersemejantes. Si al simplificar la ecuacin, quedan trminos lineales entonces no es aplicable el mtodo.Ejemplo 1:A cules de las siguientes ecuaciones cuadrticas le podemos aplicar elMtodo de la raz.1. 3X 7X2 =92. (X-1)2 + 6 =93. (3X+1)2- 6 = -5+(X-4)2 4. (3X+1)2= 4 - 9(3X+1)2 Respuestas:1.No, porque tiene trmino con variable lineal.2.S, porque tiene un slo trmino con variable cuadrtico (elevado a la dos).3.No, porque los trminos cuadrticos no son semejantes.4.S, porque los trminos cuadrticos son semejantes. Pasos para resolver una ecuacin cuadrtica por el Mtodo de la raz1. Rescribir la ecuacin con el trmino cuadrtico de un lado de la igualdad, del otro, las constantes.2. Verificar cul de los tres siguientes casos aplica:Caso 1: Dos soluciones complejas reales: (X-h)2 = k,k > 0Caso 2: Una nica solucin real:(X-h)2 = k,k = 0 Caso 3: Ninguna solucin real:(X-h)2 = k,k < 0ARCHIVO DEL BLOGNoviembre 2013 (1)Mayo 2013 (1)Febrero 2013 (1)Enero 2013 (1)Octubre 2012 (3)Agosto 2012 (1)Julio 2012 (3)Junio 2012 (2)Diciembre 2011 (1)Julio 2011 (1)Share Share Share Share Share11/5/2014 Ecuaciones Cuadrticas - Matematicas Puerto Rico |L2DJ Temas de Matemticas, Inchttp://matematicaspr.com/l2dj/blog/ecuacion-cuadratica 2/63.Verificarqueelcoeficientenumricodelavariablesea1,denoserlodividatodoslostrminosdelaecuacin entre tal coeficiente.*4.Aplique la raz cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde aadir el signo + y - dellado de las constantes).5.Dividasuresultadoendosdiferentescasos,unousandolasuma(+)yelotrousandolaresta(-),siaplica, y resuelva cada ecuacin hasta dejar la variable sola.6. Verifique sus soluciones en la ecuacin original y concluya su conjunto solucin. ( opcional)Veamos los siguientes ejemplos...Ejemplo 2: Determine las soluciones para 3(x+5)2-4=8. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin:

Escribir la ecuacin a resolver y verificar que el coeficiente del trminocuadrtico sea uno.Despejarparaeltrminocuadrticoutilizandolaspropiedadesdelaigualdad.Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.Ejemplo 3: Determine las soluciones para 4(2x-1)2+6=9. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin:

Escribirlaecuacinaresolveryverificarqueelcoeficientedeltrmino cuadrtico sea uno.Despejar para el trmino cuadrtico utilizando las propiedades dela igualdad.Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separarendosecuacioneslinealesydespejarencadaunadeellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.Ejemplo 4: Determine las soluciones para [(x+5)/3]2+12=12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin: Escribirlaecuacinaresolveryverificarqueelcoeficientedeltrminocuadrtico sea uno.Despejarparaeltrminocuadrticoutilizandolaspropiedadesdelaigualdad.Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separar en dos ecuaciones lineales y despejar en cada una de ellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.11/5/2014 Ecuaciones Cuadrticas - Matematicas Puerto Rico |L2DJ Temas de Matemticas, Inchttp://matematicaspr.com/l2dj/blog/ecuacion-cuadratica 3/6 Ejemplo 5: Determine las soluciones para 2x2+6x+8=3(x2+2x)+12. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin:

Escribirlaecuacinaresolveryverificarqueelcoeficientedeltrmino cuadrtico sea uno.Despejarparaeltrminocuadrticoutilizandolaspropiedadesdela igualdad.Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separarendosecuacioneslinealesydespejarencadaunadeellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.Elconjuntosolucindelaecuacinenlosnmerosrealesesnulo,bajoelconjuntodelosnmeros complejos esx = -2iy x = 2i. II. Mtodo de Completar el CuadradoParapoderutilizarelMtododeCompletarelCuadradolaecuacincuadrticadebetenertrminolineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar.Ejemplo 6: Determine cul de las siguientes ecuaciones puede ser trabajada Completando el Cuadrado:1) X2 +7=3 Si / No 2) X(X-2)-4=9Si / No 3) X +7=3 Si / No Respuestas: 1)No, porque no tiene el trmino con variable lineal.2)S, porque tiene el trmino con variable cuadrtico y el trmino con variable lineal.3)No, porque no tiene el trmino cuadrtico.Este mtodo tiene el objetivo de obtener una ecuacin equivalente que contenga un trinomio cuadradoperfecto (trinomio cuya factorizacin tiene dos parntesis idnticos). La ecuacin es de la forma: (x-h)2= ...,luego se resuelve por el mtodo de la raz.11/5/2014 Ecuaciones Cuadrticas - Matematicas Puerto Rico |L2DJ Temas de Matemticas, Inchttp://matematicaspr.com/l2dj/blog/ecuacion-cuadratica 4/6Pasos para aplicar el Mtodo de Completar el Cuadrado1) Rescribalaecuacinconlostrminosconvariablesdeunlado,simplificadosyordenados,delotro la constante.2) Asegrese que asea 1, de no serlodivida todos los trminos entre a y simplifique.3) Determine b y con el calcule (b/2)2 y sume tal resultado en ambos lados de la ecuacin.4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado Perfecto de la forma: [x+(b/2)]25) Resuelva la ecuacin por el mtodo de la raz6) Verifique y concluya su conjunto solucin.Veamos los siguientes ejemplos...Ejemplo 7: Determine las soluciones para x2-8x+14=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin:

Escribir la ecuacin a resolver despejar para la constante.Buscarelnmeroquecompletaelcuadradoysumarloenamboslados de la ecuacin.Factorizar un lado de la ecuacin y simplificar en el otro. Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separarendosecuacioneslinealesydespejarencadaunadeellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.Ejemplo 8: Determine las soluciones para 3x2-12x-15=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin:

Escribir la ecuacin a resolver despejar para la constante.Buscarelnmeroquecompletaelcuadradoysumarloenamboslados de la ecuacin.Factorizar un lado de la ecuacin y simplificar en el otro. Buscar la raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin.Separarendosecuacioneslinealesydespejarencadaunadeellas.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.III. Frmula CuadrticaLa Frmula Cuadrtica puede ser aplicada a toda ecuacin cuadrtica.Esteeselnicomtodoquenotienerestriccionesensuaplicacin,contrarioalosmtodosyadiscutidos. Al igual que el mtodo de factorizacin este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otrocero,ax2+bx+c=0paraaspoderdeterminarconprecisina,b,c,loscorrespondientesvaloresdeloscoeficientesnumricosencadatrminodelpolinomioparaluegosustituirlosenlaestructuradelaFrmula Cuadrtica:11/5/2014 Ecuaciones Cuadrticas - Matematicas Puerto Rico |L2DJ Temas de Matemticas, Inchttp://matematicaspr.com/l2dj/blog/ecuacion-cuadratica 5/6

Es importante apreciar que en la frmula se sustituyen solo los coeficientes numricos(no las variables).La variable es precisamente la desconocida que estamos buscando, que asumir los valores obtenidos dela sustitucin y simplificacin en la frmula cuadrtica.Pasospara resolver la ecuacin usando la Frmula Cuadrtica1)Rescribalaecuacincontodoslostrminosdeunladodelaigualdad,simplificadosyordenados,del otro cero as: ax2+bx+c=0. 2)Determinelosvaloresdeloscoeficientesnumricos.Parafacilitarlosclculosenlasustitucin en caso de estos ser fracciones o decimales puede rescribir la ecuacin por unaequivalente ms simple.3)Sustituir los valores de a, b, c(sin la variable) en la Frmula Cuadrtica: Y simplifique (recuerde separar en dosecuaciones, si aplica,una usando la operacin restay otra la operacin suma).4) Verifique los valores obtenidos en la ecuacin original y concluya su conjunto solucin.Ejemplo 9: Determine las soluciones para 4x2-12x+9=0. (oprime aqui para verlo en forma interactiva)Solucin: Escribir la ecuacin a resolver en forma general.Identificar los valores de a, b y c.Buscareldiscriminanteparaidentificarcuantassolucionestienelaecuacin.Escribirlaformulacuadrtica,sustituirlosvaloresdea,byeldiscriminante.Evaluar y simplificar la expression.Verificar que es opcional. Establecer el conjunto solucin.Cantidad soluciones reales de una ecuacin cuadrtica:Para determinar la cantidad de soluciones reales o races que ha de tener una ecuacin cuadrticaseutilizalosresultadosqueseobtienendelaevaluacindelradicandob2-4acdelafrmulacuadrtica, este se conoce como discriminante. Lasraicesdelaecuacincuadraticadependendelvalordeldiscriminante,podemossabersitendrdosraicesreales,dosraicescomplejas(imaginarias) o una nica solucin real.Conclusiones:1. Sib2-4ac=0entonces la ecuain cuadrtica tiene una nica solucin real.2. Si b2-4ac>0entonces la ecuacin cuadrtica tiene dos soluciones reales.3. Si b2-4ac