Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Resolver ecuaciones cuadráticas –

fórmula cuadrática y casos especiales

Ecuación cuadrática en forma

general

Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue

ax2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a≠0

a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).

b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)

c es la constante.

Resolver ecuaciones

cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Método de factorización • Método de raíz cuadrada • Método utilizando la fórmula cuadrática

Ecuación cuadrática en forma

general

Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son trinomios, o sea no todas tienen 3 términos.

En una ecuación cuadrática (en su forma general), ax2 + bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser igual a 0.

Ejemplos: 9x2 – 16 = 0 4x2 = 8 5x2 – 15x = 0

9x = 𝟏

𝟐𝒙𝟐

(El coeficiente lineal, b, es 0.

( 4x2 – 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0.

(El término constante, c, es 0.

(𝟏

𝟐𝒙𝟐 − 9x = 0, el término constante, c, es 0.

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

5x2 – 15x = 0

Solución: Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c) es 0, el factor común mayor de los términos que quedan contiene al menos, alguna potencia de la variable. Cuando c = 0, podemos resolver la ecuación mediante factorización por factor común.

Ejemplo-continuación

Solución: (continuación)

Podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar.

5x2 – 15x = 0

5x(x – 3) = 0

Ahora aplicamos el principio del factor cero:

5x = 0 5𝑥

5=

0

5

x = 0

x – 3 = 0 x = 3

El conjunto solución es: {0, 3}

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

18x3 + 9x2 = 0

Solución: No hay constante. No es una ecuación cuadrática. Podemos remover de los dos términos el factor común mayor de 9x2

Ejemplo – continuación

Solución: (continuación) 18x3 + 9x2 = 0 9x2 (2x + 1) = 0 Por el principio del factor cero 9x2 = 0

𝟗𝒙𝟐

𝟗=

𝟎

𝟗

x2 = 0 x = 0

2x + 1 = 0 2x = – 1 𝟐𝒙

𝟐=

−𝟏

𝟐

𝒙 = −𝟏

𝟐

El conjunto

solución

es: {0, −𝟏

𝟐}

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,

empleamos el método de la raíz cuadrada

para resolverlo.

Ejemplos:

2x2 – 7 = 0

36 = 9x2

(3x - 5)2 = 5

Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un

término cuadrático y uno constante

• Dejamos a un lado de la ecuación el

término cuadrático y al otro lado el término

constante.

• Luego extraemos la raíz cuadrada de

ambos lados, tomando en cuenta que

existen dos soluciones para una ecuación

de la forma x2 = k

• 𝑥 = ± 𝑘

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Ejemplo: Resolver x2 + 2 = 10

Solución:

x2 + 2 – 2 = 10 – 2

x2 = 8

x2 = ± 8

𝑥 = ± 8

𝑥 = ± 2 2

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Las soluciones son: x = −𝟐 2, y x = 𝟐 2

Ejemplo: Determinar las soluciones de

3x2 – 5 = 7

Solución:

3x2 – 5 + 5 = 7 + 5

3x2 = 12

3𝑥2

3=

12

3

x2 = 4

𝑥2 = ± 4

𝑥 = ±2

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Las soluciones son

x = – 2 y x= 2.

Ejemplo

Resolver: (2x – 7)2 – 16 = 0

Solución:

(2x – 7)2 – 16 + 16= 16

(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 = ± 𝟏𝟔 𝟐𝒙 − 𝟕 = ±𝟒

2x – 7 = 4 2x – 7 = - 4

Ejemplo – continuación

2x – 7 = 4 2x – 7 = - 4

2x – 7 + 7= 4 + 7 2x = 11 𝟐𝒙

𝟐=

𝟏𝟏

𝟐

x = 5.5

2x – 7 + 7= - 4 + 7 2x = 3 𝟐𝒙

𝟐=

𝟑

𝟐

x = 1.5

El conjunto solución es

{1.5, 5.5}

Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8

7(x – 3)2 + 5 – 5 = 8 – 5 7(x – 3)2 = 3 7(𝑥 – 3)2

7=

3

7

(𝑥 – 3)2 = 3

7

(𝑥 − 3)2= ±3

7

x – 3 = ±3

7

Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8

x – 3 + 3 = 3 ±3

7

x = 3±3

7

x = 3 +3

7 ó x = 3−

3

7

Las soluciones son x = 3 +𝟑

𝟕 y x= 3 –

𝟑

𝟕.

Fórmula cuadrática

Dada una ecuación cuadrática en su forma

general:

ax2 + bx + c = 0,

donde a, b,c son valores reales y a≠0,

la fórmula cuadrática establece que sus

soluciones están dadas por:

x b b2 4ac

2a

Resolver: 6x2 + x = 2

Primeramente debemos escribir la ecuación en

forma general:

6x2 + x - 2 = 0

Debemos identificar los coeficientes a, b y c:

a = 6

b = 1

c = - 2

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

Con a = 6, b = 1, y c = -2

)(

))((x

62

26411 2

12

4811 x

12

491x

x b b2 4ac

2a

Ejemplo-continuación

El conjunto solución de

6x2 + x - 2 = 0 es: 12

491x

2

1

3

2,12

71x

12

71x

12

6x

2

1x

12

71x

12

8x

3

2x

ó Las soluciones son

racionales.

Esto implica que la

ecuación original se pudo

haber resuelto usando la

factorización por binomios.

Resolver: x2 - 5x = 8

Primeramente debemos escribir la ecuación en

forma general:

x2 - 5x - 8 = 0

Notemos que no existen factores de -8 que

sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el

producto de 2 binomio lineales.

Identificar los coeficientes a, b y c:

a = 1

b = -5

c = -8

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

El conjunto solución de

la ecuación es:

Con a = 1, b = - 5, y c = - 8

)(

))(()()(x

12

81455 2

2

32255 x

2

575x

2

575

2

575,

x b b2 4ac

2a

Cuidado

Es común equivocarse con el signo de

“-b”.

Puede ser de ayuda si interpretamos “-

b” como el opuesto de b. De esta

forma:

• si b es positivo, -b será negativo

• si b es negativo, -b será positivo.

El discriminante

Llamamos discriminante al radicando de

la fórmula cuadrática

b2 - 4ac

Podemos utilizar el discriminante para

determinar cuántas soluciones tiene

una ecuación cuadrática y si éstas son

reales o no.

x b b2 4ac

2a

Discriminante

b2 - 4ac

• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2

soluciones reales.

• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene

soluciones reales.

• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1

solución real.

¿Cuántas soluciones reales?

Determine cuántas soluciones reales tienen las

siguientes ecuaciones cuadráticas:

2x2 - 5x + 3 = 0

Identificar los coeficientes a, b y c:

(-5)2 - 4(2)(3)

= 25-24

= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales

b2 - 4ac =

a=2, b= -5, c= 3,

¿Cuántas soluciones reales?

3x2 + 4x + 5 = 0

42 - 4(3)(5) =16 -60

= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales

-9 + 6x - x2 = 0

62 - 4(-1)(-9)

= 36-36

= 0 --> tiene 1 solución real

a=3, b= 4, c= 5,

a= -1, b= 6, c= -9,

b2 - 4ac =

b2 - 4ac =

Ejercicios

Resuelva:

1) x2 - 5x + 4 = 0

2) 2y2 + 7y = 3

3) 3w2 + 4w - 3 = 0

4) 4y + 5y2 = 4

5) (x+2)2 = 10

6) 3(y-4)2 + 4 = 6

Soluciones

1) {4, 1}

2)

3)

7 73

4,7 73

4

2 13

3,2 13

3

2 2 6

5,22 6

5

{ 10 2, 10 2}

2

3 4,

2

3 4

4)

5)

6)

Ejemplos adicionales

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando c = 0

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

3x2 = 7x

Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0.

3x2 – 7x = 0

Factorizamos mediante factor común:

Ejemplo – continuación

Solución: (continuación) 3x2 – 7x = 0 x (3x – 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x – 7 = 0

3x = 7 𝟑𝒙

𝟑=

𝟕

𝟑

𝒙 =𝟕

𝟑

El conjunto

solución

es: {0, 𝟕

𝟑}

Ejemplo

Resolver: (2x – 7)2 = 9

2x – 7 = 9

2x = 3+7

Aquí hay dos ecuaciones lineales para

resolver:

2x = 3+7

2x = 10

x = 5 El conjunto solución de la

ecuación es: {2, 5}

2x = – 3+7

2x = 4

x = 2

Ejercicios

Resuelva:

1) y2 = 7

2) 3w2 = 15

3) 5y2 = 4

4) (x + 2)2 = 10

5) 3(y - 4)2 + 4 = 6

6) 3p2 + 4p + 1 = 0

Soluciones

1)

2)

3)

4)

5)

6) {−1

3, −1}

{ 7, 7}

{ 5, 5}

}5

4,

5

4{

}102,102{

}3

24,

3

24{