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Matemáticas 3º SECUNDARIA 1.- Ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones de segundo grado y una incógnita Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación −1=0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1– 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: 2 + + =0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. • Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c. • Si b y c son distintos que cero, se dice que la ecuación es completa. • Si b o c son iguales a cero la ecuación es incompleta. Qué vamos a aprender: Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Materiales: libreta, libro de texto, calculadora. Te explico 1 SEMANA
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IA 1.- Ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación 𝑥 − 1 = 0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1– 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
• Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c.
• Si b y c son distintos que cero, se dice que la ecuación es completa.
• Si b o c son iguales a cero la ecuación es incompleta.
Qué vamos a aprender: Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Materiales: libreta, libro de texto, calculadora.
Te explico
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Ecuaciones completas:
𝑥2 + 4𝑥 − 12 = 0 𝒂 = 𝟏 𝒃 = 𝟒 𝐜 = −𝟏𝟐
3𝑥2 − 5𝑥 + 18 = 0 𝒂 = 𝟑 𝒃 = −𝟓 𝐜 = 𝟏𝟖
7𝑥2 − 2𝑥 = 100 𝒂 = 𝟕 𝒃 = −𝟐 𝐜 = −𝟏𝟎𝟎
−2𝑥2 + 10 = −3𝑥 𝒂 = −𝟐 𝒃 = 𝟑 𝐜 = 𝟏𝟎
NOTA: Para obtener los valores de a, b y c en las ecuaciones 7𝑥2 − 2𝑥 = 100 y
−2𝑥2 + 10 = −3𝑥 estos se tuvieron que reescribir a la forma general, es decir, ordenarlos, empleando transposición y cambios de lugar para que queden expresados de la siguiente manera:
7𝑥2 − 2𝑥 = 100 7𝑥2 − 2𝑥 − 100 = 0
−2𝑥2 + 10 = −3𝑥 −2𝑥2 + 3𝑥 + 10 = 0 Ecuaciones incompletas:
𝑥2 + 3𝑥 = 0 𝒂 = 𝟏 𝒃 = 𝟑 𝐜 = 𝟎
4𝑥2 − 8 = 0 𝒂 = 𝟒 𝒃 = 𝟎 𝐜 = −𝟖
𝑥2 = 2𝑥 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟐 𝐜 = 𝟎
−6𝑥2 = −15 𝒂 = −𝟔 𝒃 = 𝟎 𝐜 = 𝟏𝟓 Observa que los valores de b y c pueden ser cero, sin embargo, los valores de a nunca deben ser cero, para que la ecuación sea considerada de segundo grado.
Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Resolución de ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, puede no tener
solución ó tener dos soluciones distintas de la forma 𝑥 = ±√−𝑐
𝑎.
Dicha posible solución se obtiene al momento de realizar las operaciones necesarias para despejar la variable 𝒙, en la ecuación, tal como se puede observar en la siguiente imagen:
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 Aplicamos transposición al termino independiente c: 𝑎𝑥2 = −𝑐
Al transponer el coeficiente 𝒂 obtenemos: 𝑥2 =−𝑐
𝑎
Finalmente calculamos la raíz cuadrada, obteniendo: 𝑥 = ±√−𝑐
𝑎
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Recuerda que el signo ± nos indica que la raíz cuadrada de un numero positivo puede ser negativo o positivo.
Ejemplo: El triple del cuadrado de un número menos 48 es igual a cero, ¿Qué número es? Ecuación: 3𝑥2 − 48 = 0. Obtenemos los valores de a, b y c: 𝑎 = 3, 𝑏 = 0 y 𝑐 = −48
Sustituimos en la fórmula 𝑥 = ±√−𝑐
𝑎
𝑥 = ±√−(−48)
3
Aplicamos leyes de los signos menos por menos, más, resolvemos la división y calculamos la raíz cuadrada:
𝑥 = ±√48
3 𝑥 = ±√16 𝑥 = ±4
Concluimos que 𝑥1 = 4 y 𝑥2 = −4 Comprobando:
Cuando 𝑥 = 4
3(4)2 − 48 = 0 3(16) − 48 = 0
48 − 48 = 0 0 = 0
Cuando 𝑥 = −4
3(−4)2 − 48 = 0 3(16) − 48 = 0
48 − 48 = 0 0 = 0
Resolución de ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
En estas ecuaciones tendremos dos soluciones: 𝑥 = 0 y 𝑥 = −𝑏
𝑎, dicha solución se
obtiene de un método de resolución conocido como factorización por factor común. La factorización consiste en reescribir una expresión que contiene sumas y restas en una expresión en la que se involucre multiplicaciones.
Ejemplo: Encuentra la solución de la siguiente ecuación 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 Observemos que ambos términos de la ecuación tienen una variable en común, la “𝒙”. Ese será nuestro factor común.
𝒙(4𝑥 + 3) = 0 La expresión localizada dentro del paréntesis se multiplica por el factor común para obtener la ecuación cuadrática principal. Por lo que 𝑥(4𝑥) = 4𝑥2 y 𝑥(3) = 3𝑥
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Igualamos a cero ambos términos de la factorización: 𝑥 = 0 y 4𝑥 + 3 = 0 Resolvemos la ecuación lineal 4𝑥 + 3 = 0
4𝑥 = −3 𝑥 = −3
4
Comprobando nuestros posibles resultados:
Cuando 𝑥 = 0
4(0)2 + 3(0) = 0
4(0) + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −3
4
4 (−3
4)
2
+ 3 (−3
4) = 0
4 (9
16) −
9
4= 0
36
16−
9
4= 0
Reducimos a su mínima expresión 36
16=
9
4
9
4−
9
4= 0
0 = 0
Concluimos que la ecuación tiene las siguientes soluciones 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −3
4
Ejemplo 2: Encuentra la solución de la siguiente ecuación 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 = 𝟎 Observamos que la variable común en ambos términos de la ecuación es “x” y también podemos notar que ambos coeficientes se pueden dividir entre 3, por lo que el factor común que podemos emplear es “3x”
𝟑𝒙(𝑥 + 6) = 0 Igualamos ambos términos de la factorización: 3𝑥 = 0 y 𝑥 + 6 = 0, ambos son ecuaciones de primer grado que se deben de resolver:
3𝑥 = 0
𝑥 =0
3
𝑥 = 0
𝑥 + 6 = 0
𝑥 = −6
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Comprobamos nuestros posibles resultados:
Cuando 𝑥 = 0
3(0)2 + 18(0) = 0 3(0) + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −6
3(−6)2 + 18(−6) = 0 3(36) − 108 = 0 108 − 108 = 0
0 = 0
Concluimos que 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −6
Resolviendo ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 En este apartado veremos cómo resolver ecuaciones completas mediante la factorización. Y al resolverla encontraremos dos soluciones reales.
Ejemplo 1: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 1.- Abrimos dos pares de paréntesis.
2.- Calculamos √𝑥2 = 𝑥 3.- Colocamos dentro de cada paréntesis la raíz que se calculó anteriormente, “x”.
(𝑥 )(𝑥 ) = 0 4.- En el primer par de paréntesis mantenemos el signo del término bx.
(𝑥 − )(𝑥 ) = 0 5.- Para determinar el signo en el segundo paréntesis usamos la ley de los signos con los signos de los términos bx y c, menos por menos, más
(𝑥 − )(𝑥 + ) = 0 6.- Ahora buscamos dos números que al multiplicarse den el termino c, 6, y al restarse den el termino bx,1.
NOTA: los signos dentro de los paréntesis nos indicarán si debemos sumar o restar:
• Si ambos signos son iguales nos indican que debemos sumar.
• Si los signos son diferentes debemos restar.
Puedes enlistar los números a multiplicar y de ahí seleccionar: 6x1 y 3x2, puedes percatarte que los números 3 y 2 cumplen con lo solicitado anteriormente, multiplicados dan 6 y al restarse dan 1 Colocamos el mayor de estos dos números en el primer paréntesis y el menor en el segundo paréntesis.
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 7.- Igualamos a cero las expresiones dentro del paréntesis y resolvemos las ecuaciones de primer grado:
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𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2 Comprobamos nuestros posibles resultados:
Cuando 𝑥 = 3
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 (3)2 − 3 − 6 = 0
9 − 3 − 6 = 0 9 − 9 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −2
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 (−2)2 − (−2) − 6 = 0
4 + 2 − 6 = 0 6 − 6 = 0
0 = 0
Concluimos que 𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −2
Ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 1.- Abrimos dos pares de paréntesis.
2.- Calculamos √𝑥2 = 𝑥 3.- Colocamos dentro de cada paréntesis la raíz que se calculó anteriormente, “x”.
(𝑥 )(𝑥 ) = 0 4.- En el primer par de paréntesis mantenemos el signo del término bx.
(𝑥 + )(𝑥 ) = 0 5.- Para determinar el signo en el segundo paréntesis usamos la ley de los signos con los signos de los términos bx y c, más por menos, menos
(𝑥 + )(𝑥 − ) = 0 6.- Ahora buscamos dos números que al multiplicarse den el termino c, 40, y al restarse den el termino bx,3.
NOTA: los signos dentro de los paréntesis nos indicarán si debemos sumar o restar:
• Si ambos signos son iguales nos indican que debemos sumar.
• Si los signos son diferentes debemos restar.
Enlistamos los números a multiplicar y de ahí seleccionamos: 40x1, 2x20, 4x10, 5x8, los demás pares de números se repiten y no es necesario tenerlos en cuenta, puedes percatarte que los números 8 y 5 cumplen con lo solicitado anteriormente, multiplicados dan 40 y al restarse dan 3 Colocamos el mayor de estos dos números en el primer paréntesis y el menor en el segundo paréntesis.
(𝑥 + 8)(𝑥 − 5) = 0
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7.- Igualamos a cero las expresiones dentro del paréntesis y resolvemos las ecuaciones de primer grado:
𝑥 + 8 = 0
𝑥 = −8
𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 5 Comprobamos nuestros posibles resultados:
Cuando 𝑥 = −8
𝑥2 + 3𝑥 − 40 = 0 (−8)2 + 3(−8) − 40 = 0
64 − 24 − 40 = 0 64 − 64 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = 5
𝑥2 + 3𝑥 − 40 = 0 (5)2 + 3(5) − 40 = 0
25 + 15 − 40 = 0 40 − 40 = 0
0 = 0
Concluimos que 𝑥1 = −8 y 𝑥2 = 5
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:untitled-1082/v/simple-quadratic-equation
Se sugiere ver los siguientes videos: “ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS - Ecuaciones de segundo grado incompletas”, https://www.youtube.com/watch?v=qBEigKQhmXI “Ecuación cuadrática por factorización | Ejemplo 1” https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbE&vl=es-419
1.- En cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas determina el valor de los coeficientes a, b y c.
Ecuaciones a b c
𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 1
9𝑥2 − 5𝑥 − 20 = 0 −𝟐𝟎
−5𝑥2 + 12𝑥 + 15 = 0
−𝑥2 + 5𝑥 − 14 = 0 5
−3𝑥2 − 6𝑥 − 18 = 0
Para aprender más
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2.- Las siguientes ecuaciones cuadráticas se encuentran desordenadas, reescríbelas para que estén en forma general y determina los valores de a, b y c en cada caso.
Ecuaciones desordenadas
Ecuaciones ordenadas
a b c
𝟓𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟓 −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 −𝟑 5 −𝟏𝟓
23 − 6𝑥 + 𝑥2 = 0
8𝑥 − 4𝑥2 = 18
2𝑥2 − 22 = −5𝑥
16 − 8𝑥 = −4𝑥2
𝑥2 − 10𝑥 + 16 = 0
3.- Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.
a) 4𝑥2 − 144 = 0 b) 7𝑥2 − 448 = 0 c) 5𝑥2 = 500
d) 3𝑥2 = 147 e) 8𝑥2 − 1352 = 0
4.- Resuelve en tu libreta las siguientes ecuaciones mediante factorización por factor común.
a) 5𝑥2 − 10𝑥 = 0 b) 3𝑥2 − 21𝑥 = 0 c) 7𝑥2 = −63𝑥
d) 2𝑥2 = 22𝑥 e) 8𝑥2 = −40𝑥
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas mediante factorización.
a) 𝑥2 + 11𝑥 + 28 = 0 b) 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0 c) 𝑥2 − 9𝑥 + 18 = 0
6.- Reescribe en forma general las siguientes ecuaciones cuadráticas y resuélvelas mediante factorización. a) 𝑥2 − 5𝑥 = 36 b) 𝑥2 − 8 = −7𝑥
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
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• Problema 5 ubicado en la página 19.
• Problema 1 ubicado en la página 20.
• Problema 4 ubicado en la página 21.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró identificar los valores a, b y c de una ecuación cuadrática. o Logró reescribir en forma general una ecuación cuadrática. o Logró resolver ecuaciones cuadráticas mediante despejes. o Logró resolver ecuaciones cuadráticas mediante factor común. o Logró resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización o Realizó los problemas de manera autónoma.
Lo que aprendí
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IA 2.- Construcción de figuras congruentes
o semejantes.
Figuras congruentes
Las figuras congruentes son figuras geométricas que tienen la misma forma y tamaño. Esto es, si puede transformar una figura en otra figura por una secuencia de traslaciones, rotaciones, y/o reflexiones, entonces las dos figuras son congruentes.
En la imagen de la izquierda se puede observar un personaje al que se le aplico el movimiento de traslación, se puede percibir que mantiene todas sus características, lo único que cambia es su posición. Si las figuras son polígonos, entonces estas son congruentes si todos los lados correspondientes y los ángulos correspondientes son congruentes.
Considera el siguiente polígono mostrado en el plano cartesiano.
El polígono P1 será reflejado con respecto del eje de las ordenadas para obtener el polígono P2
Qué vamos a aprender: Determinar y analizar las propiedades de las figuras
congruentes y semejantes.
Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.
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Con base a los dos polígonos, podemos decir que P1 y P2 son congruentes, puesto que tienen las mismas medidas y la misma forma solo que en distinta posición dentro del plano cartesiano. El símbolo empleado para denotar congruencia es el siguiente:
P1 ≅ P2
Siguiendo con los polígonos anteriores, ahora al polígono 2 se le aplicará una rotación de 270° con respecto al origen.
Podemos decir que P1≅ P2 ≅ P3. Puesto que la figura original aún mantiene sus
medidas originales y la forma, lo único que ha cambiado es su posición dentro del plano cartesiano.
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Semejanza de figuras.
Dos o más figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño. Matemáticamente, eso quiere decir que sus lados son proporcionales entre sí. De hecho, cuando vemos copias (ampliaciones o reducciones) que no reproducen exactamente al original, decimos que "están desproporcionadas". Cuando dos figuras son semejantes, la razón entre los lados homólogos es una constante que se denomina razón de proporcionalidad.
Para avanzar en la comprensión del concepto de semejanza es preciso definir y entender qué son lados homólogos (correspondientes) y qué es proporcionalidad.
Tenemos la figura siguiente:
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Los lados homólogos (correspondientes) son, respectivamente:
• a y a' (de color rojo, lado pequeño y lado pequeño)
• b y b' (de color verde, lado grande y lado grande)
• c y c' (de color azul, lado mediano y lado mediano)
Si hacemos la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado es 2 (10 dividido entre 5, 8 dividido entre 4 y 6 dividido entre 3); este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados homólogos (correspondientes), se dice que los lados son proporcionales. Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen teoremas o criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos. Importante Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:
Δ ABC ~ Δ DEF
Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los lados y los ángulos homólogos. En el ejemplo anterior, se tiene que:
• El vértice A es homólogo con el vértice D
• El vértice B es homólogo con el vértice E
• El vértice C es homólogo con el vértice F
• El lado AB es homólogo con el lado DE
• El lado BC es homólogo con el lado EF
• El lado AC es homólogo con el lado DF
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-transformations-congruence Se sugiere ver los siguientes videos:
Para aprender más
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“CONGRUENCIA Super fácil Congruencia para principiantes”, https://www.youtube.com/watch?v=Y37rNwZ_aGc “FIGURAS SEMEJANTES Super fácil - Semejanza Para principiantes” https://www.youtube.com/watch?v=4MxChkgm370
1.- Observa las siguientes figuras, analiza sus lados y ángulos para determinar qué pares de figuras son congruentes y semejantes, puedes usar tu regla para realizar las mediciones que consideres necesarios.
2.- En la siguiente cuadricula dibuja dos figuras que sean congruentes al trapecio original y escribe debajo de tu dibujo el movimiento que se realizó (Rotación, Traslación o Reflexión)
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3.- Selecciona una de las siguientes imágenes y trázala en tu libreta con escala 2, es decir, 2 veces más grande.
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas: Problema 2 ubicado en la página 25. Problema 1 ubicado en la página 28.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró identificar las características de figuras congruentes. o Logró identificar las características de figuras semejantes. o Logró trazar figuras congruentes. o Logró trazar figuras semejantes. o Realizó los problemas de manera autónoma.
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IA 3.- Criterios de congruencia y semejanza
de triángulos.
En la ficha anterior se habló acerca de la congruencia y semejanza, en esta nos enfocaremos en las características que tendrán dos o más triángulos para que puedan ser semejantes o congruentes.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados y sus ángulos correspondientes iguales. Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos (3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos. Primer criterio de congruencia de triángulos Dos triángulos que tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos iguales, son congruentes. A este criterio de congruencia se le llama lado-ángulo-lado. (LAL)
Qué vamos a aprender: Determinar los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.
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Segundo criterio de congruencia de triángulos Dos triángulos con tres lados correspondientes iguales, son congruentes. A este criterio se le conoce como lado-lado-lado. (LLL)
Se puede observar en la imagen superior que los tres lados correspondientes de los
dos triángulos son iguales: 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ , por lo que se puede concluir que los dos triángulos son congruentes por el criterio LLL. “Es la misma figura solo que en diferente posición”. Tercer criterio de congruencia de triángulos. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.
En la imagen anterior se puede observar el criterio ALA, se aprecia que los dos triángulos tienen dos pares de ángulos que son iguales (𝐴 = 𝐴´ y 𝐵 = 𝐵´) y el lado que se ubica entre esos dos ángulos mide lo mismo.
Criterios de semejanza de triángulos.
Debido a las propiedades de todo triángulo, las condiciones de semejanza impuestas pueden ser reducidas al estudio de los siguientes criterios de semejanza.
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Llamaremos criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Primer criterio: Criterio Ángulo – Ángulo (AA), dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.
El ángulo A mide lo mismo que el ángulo A´ y el ángulo B mide lo mismo que el ángulo B´, por lo que se tienen dos pares de ángulos iguales, de manera que se puede decir que el triángulo ABC es semejante al triangulo A´B´C´ por el criterio AA
Segundo criterio: Lado – Lado – Lado (LLL), dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.
En este caso podemos observar que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es
proporcional a 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es proporcional a 𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es proporcional a 𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ , expresado como una relación quedaría de la siguiente manera:
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅=
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅=
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
12
4=
21
7=
24.18
8.06= 3
La razón de proporcionalidad del ∆ABC y el ∆A´B´C´ es 3
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Tercer criterio: Lado – Ángulo – Lado (LAL), dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
Los pares de segmentos AB y A´B´, BC y B´C´ son proporcionales y el ángulo que forman mide lo mismo en ambos triángulos, por lo tanto, el ∆ABC y el ∆A´B´C´, son semejantes por el criterio LAL La razón de semejanza de ambos triángulos es 4:
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅=
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
23.32
5.83=
28
7= 4
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Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/geometria-pe-pre-u/x4fe83c80dc7ebb02:semejanza-de-triangulos Se sugiere ver los siguientes videos: “CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Super facil”, https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4 “Criterios de Semejanza de Triángulos” https://www.youtube.com/watch?v=g_c0c1b4rlA
1.- Usa tu juego de geometría para dibujar en tu cuaderno, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas. a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe? b) Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por qué. 2.- Construye en tu libreta un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°.
¿Qué criterio se puede enunciar con la información que se te proporcionó para construir el triángulo? _________________ 3.- Construye en tu libreta un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, contesta la siguiente pregunta: ¿Qué criterio se puede enunciar con la información que se te proporciona? ________________________________
A_______________________C A = 40° C = 70°
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Resuelve los siguientes problemas en tu libro de texto gratuito:
• El inciso a) del problema 3 de la página 33.
• La tabla de la página 36.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró construir los triángulos solicitados. o Logró identificar los criterios de semejanza y congruencia. o Realizó los problemas de manera autónoma.
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IA 4.- Gráficas, tablas y expresiones de
proporcionalidad.
En segundo grado hablamos acerca de las relaciones de proporcionalidad y concluimos que existen dos tipos:
Proporcionalidad Directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción. Ejemplo: En la frutería de la esquina se tiene el siguiente letrero:
Con base a ese letrero ayudaremos a Marcos a completar la siguiente tabla que le servirá para conocer cuanto pagará por ciertos kilogramos de producto:
Tomates
Kilogramos (x)
Precio (y)
1 $13
3 $39
5 $65
7 $91
Se puede observar en la tabla que mientras más kilogramos de tomates se compre, más se tendrá que pagar, por tal motivo esa tabla es una tabla de proporcionalidad directa, porque las magnitudes, kilogramos y el precio, aumentan en la misma proporción. Con base a esa tabla podemos calcular la constante de proporcionalidad, la cual es un valor que se mantiene fijo, de ahí el nombre de constante, esta se calcula de la siguiente manera:
2 kilogramos de tomate por $26
Qué vamos a aprender: Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas),
que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
Materiales: libreta, libro de texto, juego de geometría.
Te explico
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Dividir el precio entre los kilogramos, es decir, “y entre x” (𝑦
𝑥)
13
1=
39
3=
65
5=
91
7= 13
Puedes notar que al dividir cualquier valor de “y” entre su correspondiente valor en “x”, obtendremos el mismo resultado. Por lo tanto, la constante de proporcionalidad (k) es 13. Con base a la constante podemos obtener la expresión algebraica de la proporcionalidad directa, la cual es de la forma 𝒚 = 𝒌𝒙, de manera que, la expresión algebraica de la tabla anterior es: 𝑦 = 13𝑥. Usando esa tabla podemos realizar una gráfica, la cual representara a la proporcionalidad directa.
En el eje de las abscisas, eje x, podemos observar los kilogramos comprados, y en el eje de las ordenadas, eje y, el precio que hay que pagar por cada kilo comprado. NOTA: la gráfica de una relación de proporcionalidad directa siempre es una línea recta que pasa por el origen, es decir, pasa por las coordenadas (0,0).
Proporcionalidad Inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, y viceversa. Ejemplo: Dos pintores tardan 8 días en pintar la fachada de una mansión, ¿en cuanto tiempo pintaran la fachada si fueran 4 pintores? En este caso como la cantidad de pintores se duplica el tiempo se reducirá a la mitad, porque habrá más hombres trabajando. Por lo tanto, tardarán 4 días en pintar la fachada.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
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Esta es la proporcionalidad inversa, ya que cuando una magnitud aumenta la otra magnitud disminuye, es decir, cuando aumentan los trabajadores el tiempo que trabajarán disminuirá. Con base a esa información completaremos la siguiente tabla:
Pintores (x) Tiempo (y)
1 16 días
2 8 días
3 5.3 días
4 4 días
5 3.2 días
Para determinar el tiempo que trabajarán 3 pintores podemos usar una regla de 3 inversa:
𝑦 =8𝑥2
3 𝑦 =
16
3 𝑦 = 5.3
Lo mismo aplica para determinar el tiempo de trabajo de 5 pintores.
𝑦 =4𝑥4
5 𝑦 =
16
5 𝑦 = 3.2
En este tipo de proporcionalidad la constante NO se puede determinar dividiendo “y
entre x (𝒚
𝒙)”. Puesto que, si dividimos los valores de “y” con sus correspondientes
valore de “x”, no obtendremos resultados iguales:
16
1= 16
8
2= 4
5.3
3= 1.76
4
4= 1
3.2
5= 0.64
En la proporcionalidad inversa la constante se calcula multiplicando los valores de x por los valores de y, es decir, 𝒌 = 𝒙𝒚
16𝑥1 = 16 2𝑥8 = 16 5.3𝑥3 = 16 4𝑥4 = 16 3.2𝑥5 = 16 Por lo tanto, la constante de esta situación sería 𝒌 = 𝟏𝟔 La expresión algebraica que modela a las relaciones de proporcionalidad inversa
son la forma 𝒚 =𝒌
𝒙. De manera que, la expresión del ejemplo será 𝑦 =
16
𝑥, donde
“y” son los días de trabajo y “x” los pintores. Ahora la gráfica que representa a una relación de proporcionalidad inversa es de la siguiente forma:
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NOTA: Todas las relaciones de proporcionalidad inversa al graficarse dan como resultado una hipérbola. Se puede notar en la gráfica que la curva jamás pasará por el origen y tampoco tocará en ningún punto al eje x y al eje y.
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/e/analyzing-and-identifying-proportional-relationships Se sugiere ver los siguientes videos: “PROPORCIONALIDAD DIRECTA Super facil”, https://www.youtube.com/watch?v=nP9SwAqhVTI “Proporcionalidad inversa” https://web.facebook.com/SoyDanielCarreon/videos/702821723793848
1.- La señora María realizó tres uniformes de la misma talla para unas alumnas de tercer grado. Empleó 7.5 metros de tela guinda, 3 metros de tela blanca y 1.5 carretes de hilo. a) Responde: ¿Cuánto material necesitará María para hacer la siguiente cantidad de uniformes de la misma talla? Completa la tabla.
Para aprender más
Manos a la obra
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Número de uniformes
Metros de tela guinda
Metros de tela blanca
Carretes de hilo.
3 7.5 3 1.5
6
9 22.5
12 6
20
¿Qué tipo de relación de proporcionalidad está presente en la tabla? ____________ b) Emplea una escala adecuada y representa de forma gráfica la cantidad de metros de tela guinda respecto a la cantidad de uniformes realizados.
c) Escribe una ecuación que describa la cantidad de metros de tela guinda necesaria para realizar una cantidad determinada de uniformes. __________________________________________ d) Escribe una ecuación que describa la cantidad de carretes de hilo necesarios para realizar una cantidad determinada de uniformes. __________________________________________
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2. El costo en pesos de un taxi está representado mediante la siguiente ecuación: 𝑦 = 10 + 8𝑥, donde x representa el número de kilómetros recorridos y y es el costo total por el viaje.
a) Completa los costos en la siguiente tabla y traza la gráfica correspondiente:
Kilómetros recorridos
Costo del viaje
2
4
6
8
10
b) ¿Es ésta una relación de proporcionalidad? ______________________. ¿Por qué? ___________________________________________________
Revisa tus apuntes de segundo grado para que recuerdes como se llama este tipo de relación.
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problemas 1 y 2 ubicados en la página 38.
• Problemas 3 y 4 ubicados en la página 39.
• Problema 1 ubicado en la página 40.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró identificar el tipo de relación de proporcionalidad de una tabla. o Logró determinar la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad
directa. o Logró trazar a grafica de una relación de proporcionalidad directa. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
Lo que aprendí
Co
sto
del
via
je
kilómetros
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IA 5.- Tablas y expresiones algebraicas de
variación cuadrática.
En la ficha 1 tuviste un acercamiento a las ecuaciones cuadráticas, en la presente ficha hablaremos acerca de la variación cuadrática, cómo tabularla y determinar la expresión cuadrática de una tabla de variación. En algunas situaciones, la relación entre dos cantidades x, y puede ser escrita de
la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐, donde a es un número fijo llamado coeficiente. A esta relación se le conoce como relación cuadrática, pues la variable y depende del cuadrado de la
variable x, es decir, de 𝒙𝟐. En toda relación cuadrática habrá una variable dependiente y y una variable independiente x, se llama variable dependiente porque el valor que tomará dependerá de lo que valga x, es decir, lo que valga la variable independiente. Ejemplo: La siguiente tabla representa los m3 de agua que contiene una piscina al llenarse durante 5 horas:
Horas (x)
Capacidad en m3 (y)
1 5
2 8
3 13
4 20
5 29
a) ¿Cuántos metros cúbicos tendrá al cabo de 20 horas?
Si eres observador podrás darte cuenta que de las capacidades se puede obtener una sucesión:
5, 8, 13, 20, 29, …
Para responder la pregunta podemos continuar con la sucesión hasta llegar al término 20, sin embargo, es algo tedioso.
Qué vamos a aprender: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación
cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
Materiales: libreta, libro de texto.
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Podemos determinar la expresión algebraica de la variación para poder determinar cuantos metros cúbicos de agua tendrá la piscina con el paso del tiempo:
Sucesión: 5, 8, 13, 20, 29, … Primera diferencia:
Segunda diferencia:
Se puede observar que la diferencia común se logra obtener después de dos restas. Por lo que la variación es cuadrática. Para determinar la expresión algebraica se emplearán las siguientes expresiones, las cuales estarán igualadas con los primeros valores de cada fila:
Expresiones algebraicas Resultado
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 5
𝟑𝒂 + 𝒃 = 3
𝟐𝒂 = 2
De manera que tendríamos tres ecuaciones a resolver, comenzando por el más fácil de los tres, el que está en color verde, para posteriormente resolver la ecuación en color rojo y por último la ecuación color azul:
PRIMERO SEGUNDO TERCERO
El doble de un número es igual a 2, ¿Qué número es?
𝟐𝒂 = 𝟐
Aplicando transposición tenemos:
𝒂 = 𝟐 ÷ 𝟐 𝒂 = 𝟏
Sustituimos el valor de a en la ecuación roja:
𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟑
𝟑(𝟏) + 𝒃 = 𝟑 𝟑 + 𝒃 = 𝟑
Aplicando transposición tenemos:
𝒃 = 𝟑 − 𝟑 𝒃 = 𝟎
Sustituimos los valores de a y b en la ecuación azul:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟓
𝟏 + 𝟎 + 𝒄 = 𝟓 𝟏 + 𝒄 = 𝟓
Aplicando transposición tenemos que:
𝒄 = 𝟓 − 𝟏 𝒄 = 𝟒
Una vez determinados los valores de a, b y c, procedemos a sustituirlos en la expresión general de una ecuación cuadrática para obtener expresión algebraica de la tabla de variación: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, recuerda que x es el tiempo en horas. De manera que obtendríamos lo siguiente:
𝑥2 + 0𝑥 + 4
3 5 7 9
2 2 2
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Como 0n es igual a cero, no es necesario mantenerlo, de manera que como
resultado final tendríamos lo siguiente: 𝒙𝟐 + 𝟒 Los valores de la variable dependiente y, metros cúbicos de agua, se pueden calcular con la expresión anterior por lo que
𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒 Ahora podemos responder la pregunta:
a) ¿Cuántos metros cúbicos tendrá al cabo de 20 horas? La variable x valdría 20, entonces sustituimos en la expresión 𝑦 = 𝑥2 + 4 obteniendo:
𝑦 = (20)2 + 4
𝑦 = 400 + 4 𝑦 = 404
La piscina tendría 404 m3 de agua al cabo de 20 horas.
Tabla de variación de una expresión cuadrática. Una forma eficaz y sencilla de observar el comportamiento de una relación de variación cuadrática que modela una situación particular es hacer una representación tabular. Es decir, dar diferentes valores, aceptables de acuerdo con el contexto, a la variable independiente (representada por x), evaluarlos en la expresión cuadrática y obtener los valores de la variable dependiente (representada por y). Ejemplo: El ciclo de reproducción de una bacteria está dado por la siguiente expresión
algebraica 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒, donde y son las bacterias y x es el tiempo en horas. Completaremos la tabla para determinar las bacterias que habrá en 1, 2, 3, 4, 5 y 13 horas.
Tiempo en horas
(x)
Bacterias (y)
1
2
3
4
5
13
Para completar la tabla debemos de evaluar la expresión 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒, con cada uno de los valores de la variable independiente x, las horas.
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Cuando 𝑥 = 1
𝒚 = (𝟏)𝟐 + 𝟓(𝟏) − 𝟒 𝒚 = 𝟏 + 𝟓 − 𝟒
𝒚 = 𝟔 − 𝟒 𝒚 = 𝟐
Cuando 𝑥 = 2
𝒚 = (𝟐)𝟐 + 𝟓(𝟐) − 𝟒 𝒚 = 𝟒 + 𝟏𝟎 − 𝟒
𝒚 = 𝟏𝟒 − 𝟒 𝒚 = 𝟏𝟎
Cuando 𝑥 = 3
𝒚 = (𝟑)𝟐 + 𝟓(𝟑) − 𝟒 𝒚 = 𝟗 + 𝟏𝟓 − 𝟒
𝒚 = 𝟐𝟒 − 𝟒 𝒚 = 𝟐𝟎
Cuando 𝑥 = 4
𝒚 = (𝟒)𝟐 + 𝟓(𝟒) − 𝟒 𝒚 = 𝟏𝟔 + 𝟐𝟎 − 𝟒
𝒚 = 𝟑𝟔 − 𝟒
𝒚 = 𝟑𝟐
Cuando 𝑥 = 5
𝒚 = (𝟓)𝟐 + 𝟓(𝟓) − 𝟒 𝒚 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 − 𝟒
𝒚 = 𝟓𝟎 − 𝟒
𝒚 = 𝟒𝟔
Cuando 𝑥 = 13
𝒚 = (𝟏𝟑)𝟐 + 𝟓(𝟏𝟑) − 𝟒 𝒚 = 𝟏𝟔𝟗 + 𝟔𝟓 − 𝟒
𝒚 = 𝟐𝟑𝟒 − 𝟒
𝒚 = 𝟐𝟑𝟎
Al concluir con todos los cálculos la tabla queda de esta manera:
Tiempo en horas (x)
Bacterias (y)
1 2
2 10
3 20
4 32
5 46
13 230
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/4-secundaria-pe/x2e479127ce193f05:algebra-ecuacion-y-funcion-cuadratica/x2e479127ce193f05:formas-y-caracteristicas-de-la-funcion-cuadratica/v/funcin-cuadrtica-cmo-la-reconozco-matemticas-khan-academy-en-espaol Se sugiere ver los siguientes videos: “Función cuadrática ¿Cómo la reconozco?”, https://youtu.be/IRWdBV5L5Pc “Función Cuadrática con tabla” https://www.youtube.com/watch?v=rvO9tsIIdNY
Para aprender más
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1.- Si un automóvil mantiene una velocidad constante de 80 km por hora, completa la siguiente tabla con las distancias que avanzará en 1, 2, 3, 4 y 5 horas.
Tiempo en horas (x)
Distancia en km (y)
1
2
3
4
5
a) Escribe una expresión algebraica que represente la distancia recorrida en “x” horas. __________________________
b) ¿Cuántas horas de viaje debe de hacer para recorrer 1200 km? __________________________
2.- Desde un helicóptero que se encuentra a 500 metros de altura se deja caer un contenedor. De acuerdo con la física, la distancia que recorre un objeto que es dejado caer desde el reposo después de “t” segundos está dada por la expresión
𝒅 = 𝟓𝒕𝟐, donde “d” se expresa en metros. Con base a lo anterior completa las siguientes tablas: a)
Tiempo transcurrido en segundos
(x)
0 1 2 3 4 5 6
Distancia de caída en metros
(y)
0
b)
Tiempo Distancia
de la caída
Altura sobre el
suelo
0 0 500
1 5 495
2 20
3
4
5
6
7
8
9
10
c) Escribe una expresión
algebraica que permita determinar la altura sobre el suelo con base al tiempo. _________________________
d) ¿Cuánto tiempo tardó el contenedor en llegar al suelo? _________________________
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3.- Un grupo de biólogos estudia el efecto nutricional de una dieta alta en grasas en ratones de laboratorio. Al variar el porcentaje de grasa en el alimento, de 0 a 100%, la masa de un ratón en gramos, está dada por la siguiente expresión:
𝑴 =𝒑𝟐
𝟓𝟎+ 𝟐𝟎
a) Completa la siguiente tabla de
valores.
Porcentaje de grasa
Masa del ratón
0
10
20
30
40
70
92
b) ¿Cuál es la masa del ratón al inicio de la dieta? _________________________
c) ¿Cuántos gramos aumenta el ratón al administrar una dieta a 10% en grasa? _________________________
d) ¿Qué porcentaje de grasa se necesita administrar a la dieta para que el ratón alcance una masa de 70 gramos? _________________________
e) ¿Cuál será la masa máxima que alcance el ratón? _________________________
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problemas 1 y 2 ubicados en las páginas 48 y 49
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró determinar la expresión algebraica de una tabla de variación lineal. o Logró completar las tablas de variación con base a la expresión algebraica. o Logró determinar la expresión algebraica de las tablas de variación. o Realizó los problemas de manera autónoma.
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IA 6.- Escala de probabilidad, eventos
complementarios, eventos mutuamente excluyentes e independientes.
La probabilidad se define como el grado de certeza de que ocurra un evento, y se calcula, para un evento simple, por medio de la razón de los casos favorables entre el total de casos. La probabilidad mide numéricamente la posibilidad de que ocurra un evento. La escala de magnitud es entre 0 y 1.
• El 0 indica que NO hay posibilidad alguna de que ocurra ese evento.
• El 1 apunta que hay completa seguridad de que ocurrirá el evento. Por ejemplo, en una rifa donde no hayas comprado boleto, tu probabilidad de ganar es nula, es decir, 0; en tanto que, si compras todos los boletos, tu posibilidad de ser el ganador es 1, o 100%, es decir, es seguro que serás el ganador, puesto que te pertenecen todos los boletos que participarán. La probabilidad de que ocurra cierto evento se calcula dividiendo los casos favorables entre el total de casos:
𝑷 =𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔
La probabilidad comúnmente se expresa en forma de razón (o fracción); sin embargo, también se utilizan los porcentajes y los números decimales. Por ejemplo: el grupo de 2° A está compuesto por 13 niñas y 12 niños, si el Maestro Juan debe de seleccionar a un alumno, ¿Cuál es la probabilidad que sea un niño?
Qué vamos a aprender: Explicar la diferencia entre eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e independientes.
Materiales: libreta, libro de texto.
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La probabilidad de que el maestro Juan elija a un niño puede ser expresada como: 12
25, o 0.48, o 48 %.
Eventos complementarios.
Definición: “Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos los dos únicos resultados posibles” Veamos un ejemplo: Julio está indeciso en comprar un boleto para la rifa de un teléfono celular nuevo. Sabe que para la rifa se imprimieron 60 boletos numerados y que hasta el momento se han vendido 18 boletos.
• ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un número de boleto al azar aun esté disponible?
Se han vendido 18 boletos, por lo que Julio puede seleccionar entre 42 boletos
restantes, de manera que la probabilidad sería 42
60, o 0.7 o 70 %.
• ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un número de asiento al azar esté vendido?
Como se mencionó anteriormente se han vendido 18 boletos por lo que la
probabilidad de seleccionar uno vendido es de 18
60, o 0.3 0 30 %.
• ¿Qué es más probable, que el asiento esté vendido o disponible? Es mas probable que seleccione un número disponible.
• ¿Puede suceder que un asiento esté disponible y ocupado al mismo tiempo? NO
Se dice que el evento de elegir boletos disponibles y el de elegir boletos vendidos son eventos complementarios puesto que cumplen con las características de ser: 1) mutuamente excluyentes, es decir, que los boletos vendidos nunca serán boletos disponibles y, viceversa; 2) la unión de ambos eventos conforma el total de posibilidades, es decir, la suma de las probabilidades de elegir boletos disponibles y elegir boletos vendidos, es igual a 1, o al 100% de los casos.
Eventos mutuamente excluyentes.
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de estos eventos puede ocurrir cuando se realiza una prueba o experimento.
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Por ejemplo, los eventos:
• La probabilidad de obtener un número par menor o igual a 4, al lanzar un dado. (que caiga 2 o 4)
• La probabilidad de obtener un múltiplo de 3, al lanzar un dado. (que caiga 3 o 6)
Al realizar la prueba de lanzar un dado, es posible que ocurra uno de estos dos, o ninguno (en el caso que caiga, 1 o 5), pero nunca ocurrirá que sea par menor que 4 y que sea múltiplo de 3. Ocurre uno o el otro. Ahora, si se tiene dos eventos mutuamente excluyentes y, que además su unión es igual al total de casos, entonces se dice que son eventos complementarios. Por ejemplo, al lanzar un dado y tener los eventos siguientes:
• La probabilidad de obtener un número par. (2, 4 o 6)
• La probabilidad de obtener un número impar. (1, 3, o 5) Sólo se puede tener como resultado uno u otro, y no más. Dos eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de que ocurra uno no influye en la posibilidad de ocurrencia o no del otro.
Eventos independientes. Se dice que dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no se ve alterada por la ocurrencia o no del otro, y viceversa. Estos eventos los vives diariamente en la manera en la que te vistes, la forma de elegir un pantalón y un par de zapatos al azar, son eventos independientes, puesto que la probabilidad de elegir un pantalón es la misma aún después de haber elegido ya un par de zapatos. Es decir, si seleccionas unos pantalones negros, eso no afecta que selecciones unos zapatos color blanco, o que selecciones unos zapatos color café no afecta en tu decisión de ponerte unos pantalones azules.
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/estadistica-y-probabilidad-pe-pre-u/x82899e311ce16938:probabilidad/x82899e311ce16938:probabilidad-teorica/v/basic-probability Se sugiere ver el siguiente video: “SUCESOS EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES.”, https://youtu.be/KJjQVIGbdc0
Para aprender más
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1.- Obtén la probabilidad de los eventos relacionados con una urna que contiene 12 canicas azules y 8 blancas.
A: Sacar sin ver, una canica azul 𝑃(𝐴) =
B: Sacar sin ver, una canica blanca 𝑃(𝐵) =
C: Sacar sin ver, una canica negra 𝑃(𝐶) =
D: Sacar sin ver, una canica blanca o azul 𝑃(𝐷) =
2.- Encuentra la probabilidad de los eventos relacionados con una caja que contiene 4 fichas rojas, 3 blancas, 2 verdes y una azul.
A: Extraer sin ver una ficha roja 𝑃(𝐴) =
B: Extraer sin ver una ficha verde 𝑃(𝐵) =
C: Extraer sin ver una ficha roja, blanca o azul 𝑃(𝐶) =
D: Extraer sin ver una ficha amarilla 𝑃(𝐷) =
3.- Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la escala de probabilidad? _______
b) ¿Cuál es el menor valor que puede tener la escala de probabilidad? _______
c) ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir?
________________________________________________________________
d) ¿Y que significa que la probabilidad sea uno?
________________________________________________________________
Manos a la obra
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4.- Una bolsa contiene 10 canicas rojas, 8 negras y 2 verdes. Al extraer una canica aleatoriamente de la bolsa: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja o verde?
____________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra o
verde? ___________ c) ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea verde?
______________
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problema 1 ubicado en la página 52.
• Problemas 2 y 3 ubicados en la página 53.
• Problema 1ubicado en la página 54.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró determinar la probabilidad de los eventos en los problemas. o Logró diferenciar los problemas con eventos mutuamente excluyentes. o Logró diferenciar los problemas con eventos complementarios. o Logró diferenciar los problemas con eventos independientes. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
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IA 7.- Ecuaciones cuadráticas y
factorización.
En la Ficha 1, tuviste un acercamiento a la resolución de ecuaciones cuadráticas, en esta Ficha nos enfocaremos en el método de factorización. Comencemos recordando que una ecuación cuadrática puede ser:
Completa Incompleta
Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
3𝑥2 + 16𝑥 + 5 = 0
𝑥2 + 4𝑥 − 32 = 0
2𝑥2 − 7𝑥 − 15 = 0
𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0
4𝑥2 − 8𝑥 = 0
𝑥2 + 3𝑥 = 0
10𝑥2 − 25𝑥 = 0
𝑥2 − 16𝑥 = 0
8𝑥2 + 64𝑥 = 0
𝑥2 + 9 = 0
6𝑥2 − 18 = 0
𝑥2 + 12 = 0
7𝑥2 − 63 = 0
𝑥2 + 22 = 0
Como se mencionó en la Ficha 1 factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión. Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Así, por ejemplo, si multiplicamos 𝒂 por 𝒂 + 𝒃 podemos ver qué;
𝒂 (𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃
Qué vamos a aprender: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
Materiales: libreta, libro de texto.
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Dan como producto 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃, entonces, los factores o divisores de esta expresión
algebraica son 𝒂 y 𝒂 + 𝒃. El ejemplo anterior hace referencia al factor común monomio, el cual se explicará en la siguiente sección:
Factorización de ecuaciones incompletas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Factor común monomio: para aplicar este tipo de factorización debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común. Ejemplo 1: Resolver mediante factor común la ecuación 𝑥2 + 5𝑥 = 0 Determinamos el factor común, en este caso es la variable “x”. 𝑥( ) = 0 Como indica el texto anterior el factor común se escribe como coeficiente de un paréntesis.
Ese factor común dividirá a cada uno de los términos de la ecuación 𝑥2 + 5𝑥 = 0
𝑥2
𝑥= 𝑥
5𝑥
𝑥= 5
Los resultados de las divisiones son los que irán dentro del paréntesis y el signo + se mantiene. Obtenemos:
𝒙(𝒙 + 𝟓) = 𝟎 Procedemos a resolver la expresión igualando a cero ambos términos
𝑥 = 0 primera solución 𝑥 + 5 = 0 Es una ecuación de primer grado que resolvemos mediante transposición obteniendo: 𝑥 = −5 segunda solución
Ahora solo falta comprobar las soluciones en la ecuación principal (𝑥2 + 5𝑥 = 0):
Comprobación
Cuando 𝑥 = 0 tenemos que:
(0)2 + 5(0) = 0 0 + 0 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −5 tenemos que:
(−5)2 + 5(−5) = 0 25 − 25 = 0
0 = 0
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Ambas soluciones son correctas puesto que al sustituirlas en la ecuación principal dan como resultado cero, es decir, la expresión se vuelve verdadera.
Ejemplo 2: Resolver mediante factor común la siguiente 𝟖𝒙𝟐 + 𝟗𝟔𝒙 = 𝟎 En este caso debemos de observar detalladamente la ecuación para determinar el factor común más adecuado, nos fijamos que ambos términos tienen la misma variable “x”, sin embargo, los coeficientes de ambos términos se pueden dividir entre 2, entre 4 y entre 8, de manera que elegimos el mayor de los divisores, que es el 8, de manera que nuestro factor común es 𝟖𝒙
8𝑥( ) = 0 Dividimos los términos de la ecuación entre 𝟖𝒙
8𝑥2
8𝑥= 𝑥
96𝑥
8𝑥= 12
Dentro del paréntesis irán x y 12, el signo + se mantiene.
𝟖𝒙(𝒙 + 𝟏𝟐) = 𝟎 Igualamos ambos términos de la expresión a cero y resolvemos:
8𝑥 = 0
𝑥 =0
8
𝑥 = 0 primera solución
𝑥 + 12 = 0 𝑥 = −12 segunda solución
Comprobamos nuestras soluciones en la ecuación principal (8𝑥2 + 96𝑥 = 0)
Comprobación
Cuando 𝑥 = 0 tenemos que:
8(0)2 + 96(0) = 0 0 + 0 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −12 tenemos que:
8(−12)2 + 96(−12) = 0 8(144) − 1152 = 0 1152 − 1152 = 0
0 = 0
¡Ambas soluciones son CORRECTAS!
Resolviendo ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 mediante despejes. En este tipo de ecuaciones basta con hacer los despejes necesarios para determinar el valor de “x”.
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Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝟔 = 𝟎 Realizamos todas las operaciones necesarias para despejar la variable “x”.
6𝑥2 = 96 𝑥2 =
96
6
𝑥2 = 16
Calculamos la raíz cuadrada en ambos términos de la expresión:
√𝑥22= √16
2
𝑥 = ±4 solución de la ecuación
Comprobamos la solución en la ecuación principal (𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝟔 = 𝟎):
Comprobación
Cuando 𝑥 = 4 tenemos que:
6(4)2 − 96 = 0 6(16) − 96 = 0
96 − 96 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = −4 tenemos que:
6(−4)2 − 64 = 0 6(16) − 64 = 0
96 − 96 = 0
0 = 0
¡La solución es CORRECTA!
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝟏 = 𝟎 Realizamos todas las operaciones para despejar la variable “x”:
9𝑥2 = −441 𝑥2 = −
441
9
𝑥2 = −49
Obtenemos la raíz cuadrada en ambos miembros de la expresión
√𝑥22= √−49
2
Al encontrarse en una situación como la anterior concluimos que la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN REAL, debido a que la raíz cuadrada de un numero negativo no existe, es decir, no hay un número que elevado al cuadrado de como resultado −49:
72 = 7(7) = 49
−72 = −7(−7) = 49 Por lo que la ecuación tiene solución, pero es imaginaria.
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Factorización de ecuaciones completas (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎) Cuando se trabaja con ECUACIONES COMPLETAS ORDENADAS tendremos que seguir una serie de pasos, que se describen a continuación: 1. Se abren dos pares de paréntesis y se igualan a cero ( ) ( ) = 0
2. Se obtiene la raíz del primer término, es decir la raíz de 𝑥2, la cual es “x”. 3. Se escribe esa raíz en ambos paréntesis ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) = 0 4. En el primer par de paréntesis se mantiene el signo del segundo término, es decir, el signo de 𝒃𝒙. Recuerda que puede ser positivo o negativo. 5. En el segundo par de paréntesis, se anotará el signo que se obtiene al aplicar las leyes de los signos a los términos 𝒃𝒙 y 𝒄 6.- Busca parejas de números que multiplicados den como resultado el tercer término, es decir, el término c. PUEDES HACER UNA LISTA 7. Los signos que obtuviste en los pasos 4 y 5 te indicarán la operación a realizar para obtener el término bx empleando los números que obtuviste en el paso 6:
• Si obtienes signos iguales tendrás que sumar.
• Si obtienes signos diferentes tendrás que restar.
8. El mayor de los números que usaste para encontrar bx se escribe en el primer par de paréntesis y el menor en el segundo par de paréntesis. 9. Igualas a cero las expresiones ubicadas en los paréntesis y resuelves. Apliquemos lo anterior en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Resolver por factorización la siguiente ecuación 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
Pasos Operación Comentarios
1 ( ) ( ) = 0
2 √𝑥22= 𝑥
3 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) = 0
4 ( 𝑥 + ) ( 𝑥 ) = 0
5 ( 𝑥 + ) ( 𝑥 − ) = 0
Observamos que 𝑏𝑥 = +2𝑥 y 𝑐 = −15, al aplicar leyes de los signos tendremos que más por menos es menos, por lo que el signo en el segundo par de paréntesis es −.
6
Pares de números que multiplicados den 15:
1 y 15 3 y 5
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7
15 − 1 = 14
5 − 3 = 2
Los signos obtenidos en el paso 5 nos indican que debemos de restar para obtener el termino bx, es decir, 2x, los números que cumplen esta condición son el 5 y 3.
8 ( 𝑥 + 5 ) ( 𝑥 − 3 ) = 0
9
𝑥 + 5 = 0
𝑥 = −5 Primera solución
𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3 Segunda solución
Igualamos a cero ambas expresiones y resolvemos
Comprobación
Cuando 𝑥 = −5 tenemos que:
(−5)2 + 2(−5) − 15 = 0
25 − 10 − 15 = 0 25 − 25 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = 3 tenemos que:
(3)2 + 2(3) − 15 = 0
9 + 6 − 15 = 0 15 − 15 = 0
0 = 0
¡Las soluciones son CORRECTAS!
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎
Pasos Operación Comentarios
1 ( ) ( ) = 0
2 √𝑥22= 𝑥
3 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) = 0
4 ( 𝑥 − ) ( 𝑥 ) = 0
5 ( 𝑥 − ) ( 𝑥 − ) = 0
Observamos que 𝑏𝑥 = −10𝑥 y
𝑐 = +24, al aplicar leyes de los signos tendremos que menos por más es menos, por lo que el signo en el segundo par de paréntesis es −.
6
Pares de números que multiplicados den 24:
1 y 24 3 y 8 2 y 12 4 y 6
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7
1 + 24 = 25
2 + 12 = 14
3 + 8 = 11
4 + 6 = 10
Los signos obtenidos en el paso 5 nos indican que debemos de sumar para obtener el termino bx, es decir, 10x, los números que cumplen esta condición son el 4 y 6.
8 ( 𝑥 − 6 ) ( 𝑥 − 4 ) = 0
9
𝑥 − 6 = 0
𝑥 = 6
Primera solución
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
Segunda solución
Igualamos a cero ambas expresiones y resolvemos
Comprobación
Cuando 𝑥 = 6 tenemos que:
(6)2 − 10(6) + 24 = 0
36 − 60 + 24 = 0 60 − 60 = 0
0 = 0
Cuando 𝑥 = 4 tenemos que:
(4)2 − 10(4) + 24 = 0
16 − 40 + 24 = 0 40 − 40 = 0
0 = 0
¡Las soluciones son CORRECTAS!
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratics-solve-factoring/v/example-1-solving-a-quadratic-equation-by-factoring Se sugiere ver el siguiente video: “Ecuaciones cuadráticas por factorización │ compilado” ubicado en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=FTAyKcvWFnY
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:
a) 𝑥2 − 7𝑥 = 0 b) 3𝑥2 − 36𝑥 = 0 c) 7𝑥2 + 91𝑥 = 0
d) 4𝑥2 − 56𝑥 = 0 e) 𝑥2 + 11𝑥 = 0
Para aprender más
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2.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas:
a) 2𝑥2 − 50 = 0 b) 3𝑥2 − 27 = 0 c) 4𝑥2 − 64 = 0
d) 5𝑥2 + 405 = 0 e) 2𝑥2 + 512 = 0
3.- Reescribe las siguientes ecuaciones a su forma general, tal como los siguientes ejemplos:
Ecuación Desordenada: Ecuación Ordenada:
𝑥2 + 7𝑥 = −10 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0
4𝑥 + 𝑥2 = 12 𝑥2 + 4𝑥 − 12 = 0
𝑥2 + 36 = 12𝑥 𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 0
𝑥2 + 3𝑥 = 10
𝑥2 − 2𝑥 = 15
𝑥2 − 10𝑥 = 24
𝑥2 − 40 = 3𝑥
𝑥2 = 42 + 𝑥
𝑥2 = 5𝑥 + 24
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, reescribe aquellas que estén desordenadas y no olvides comprobar tus resultados.
a) 𝑥2 + 9𝑥 − 36 = 0 b) 𝑥2 − 3𝑥 = 28 c) 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0
d) 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 e) 𝑥2 + 27 = 12𝑥
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problemas 5 y 7 ubicados en la página 81.
• Problema 2 ubicado en la página 82.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró resolver ecuaciones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0.
o Logró resolver ecuaciones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 o Logró reescribir ecuaciones desordenadas a su forma general. o Logró resolver las ecuaciones cuadráticas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
Lo que aprendí
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IA 8.- Análisis de las propiedades de la
rotación y de la traslación de figuras.
En esta ficha hablaremos acerca de los movimientos que puede tener una figura en un plano, sin que sufra deformación, son de dos clases: de TRASLACION y de ROTACION.
Traslación Una traslación es un movimiento sin un cambio de orientación. La traslación está definida por una directriz de movimiento, el cual es un vector. Un vector es una herramienta que nos dice el sentido, la magnitud y la dirección con la que se desplazan los objetos geométricos. La siguiente figura representa la traslación del cuadrilátero ABCD hasta la posición 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. A los puntos en que coinciden las figuras se les llama puntos homólogos.
Son homólogos los puntos 𝐴 𝑦 𝐴′, 𝐵 𝑌 𝐵′, 𝐶 𝑦 𝐶′, 𝐷 𝑌𝐷′. También son homólogos los lados 𝐴𝐵 𝑦 𝐴′𝐵′; 𝑦 𝐵𝐶 𝑌 𝐵′𝐶′; 𝐶𝐷 𝑦 𝐶′𝐷′; 𝐷𝐴 𝑦 𝐷′𝐴′; y análogamente son homólogos los ángulos 𝐴 𝑦 𝐴′, 𝐵 𝑌 𝐵′, 𝐶 𝑌 𝐶′, 𝐷 𝑌 𝐷′.
La longitud del segmento que une dos puntos homólogos en la traslación se le llama AMPLITUD del movimiento.
Qué vamos a aprender: Explicar el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación)
que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identificar las propiedades que se conservan.
Materiales: libreta, libro de texto.
Te explico
1 SEMANA
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En la traslación todos los puntos del cuadrilátero ABCD describen trayectorias que son segmentos iguales y paralelos entre sí. En la traslación de figuras se mantiene la forma, el tamaño y la orientación con respecto a la figura original.
Rotación
La rotación de una figura es el movimiento de ésta alrededor de un punto fijo llamado centro. La rotación requiere de la magnitud de un ángulo (ø) y el sentido del movimiento.
Si se hace girar un segmento cualquiera OA en torno de uno de sus extremos una vuelta completa, el segmento determinará en el plano un círculo.
EI segmento es el radio del circulo. EI extremo fijo es el centro del circulo. EI extremo libre del segmento genera una circunferencia. La figura siguiente representa la rotación del triángulo ABC hasta la posición 𝐴′𝐵′𝐶′.
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En la rotación de 180° los puntos homólogos se encuentran a igual distancia del centro O y alineados en una recta que pasa por dicho centro.
Son homólogos los puntos 𝐴 𝑦 𝐴′, 𝐵 𝑌 𝐵′, 𝐶 𝑌 𝐶′. También son homólogos los lados 𝐴𝐵 𝑦 𝐴′𝐵′; 𝐵𝐶 𝑦 𝐵′𝐶′; 𝐶𝐴 𝑦 𝐶′𝐴′. Análogamente son homólogos los ángulos 𝐴 𝑦 𝐴′, 𝐵𝑦 𝐵′, 𝐶 𝑌 𝐶′.
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:geometria-plano-coordenado-dibujos-y-transformaciones#xc734090530553e83:transformaciones-de-una-figura-reflexion-rotacion-traslacion Se sugiere ver los siguientes videos: “TRASLACIÓN Super fácil” ubicado en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=QW602kH52Ec “ROTACIÓN Super fácil” disponible en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=kXwJOefEjJs
1.- Realiza la traslación del triangulo ABC de acuerdo a las indicaciones y anota lo que se solicita.
Para aprender más
Manos a la obra
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a) ¿Cuánto mide la amplitud del movimiento? ________________________
b) ¿Cuánto mide la directriz del movimiento? ________________________
c) Son homólogos los
puntos:
• A y ________
• B y ________
• C y ________
d) Son homólogos los
lados:
• AB y ________
• BC y ________
• CA y ________
e) Son homólogos los
ángulos:
f) ¿Cómo son entre si las posiciones de cada par de lados homólogos?
_____________________
2.- Escribe dentro del paréntesis una V si el enunciado es verdadero, o una F si enunciado es falso.
( ) En una traslación todos los puntos de la figura móvil describen trayectorias que son segmentos rectilíneos iguales, paralelos entre sí y paralelos a la directriz.
( ) Cualquiera de las trayectorias puede servir como directriz del movimiento.
( ) Si dos figuras, EFG y E'F'G', coinciden mediante una traslación, a los puntos en que coinciden se les llama puntos homólogos 0 correspondientes.
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IA ( )
En una traslación, toda recta no paralela a la directriz se conserva paralela a su posición primitiva.
( ) Dos rectas, situadas en su mismo plano, son paralelas si pueden hacerse coincidir mediante un movimiento de traslación.
3.- Completa el trazo de la rotación del cuadrilátero EFGH y contesta lo que se pide.
a) ¿De cuántos grados es la rotación del cuadrilátero? ________________
b) ¿Cómo es la distancia de los puntos homólogos al centro O? _____________
c) Son homólogos los puntos:
E y ____ F y ____ G y ____ H y ____
d) Son homólogos los lados:
EF y ____ FG y ____ GH y ____ HE y ____
e) Son homólogos los ángulos:
f) ¿Cómo son entre si las posiciones de cada par de lados homólogos?
______________________
4.- Escribe dentro del paréntesis una V si el enunciado es verdadero, o una F si enunciado es falso.
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IA ( )
AI movimiento que se ejecuta en el plano, alrededor de un punto fijo, se le llama movimiento de rotación central, el punto fijo es el centro de rotación.
( ) Los puntos de la figura móvil recorren arcos de circunferencia cuyo centro es el mismo centro de rotación.
( ) Si un rectángulo realiza una rotación de 360° tomando como eje uno de sus lados genera un cilindro.
( ) Los elementos de ambas posiciones, inicial y final, que coinciden mediante el movimiento, se llaman homólogos o correspondientes.
( ) Si un triángulo rectángulo realiza una rotaci6n de 360° tomando como eje uno de sus catetos, genera un cono.
( ) Dos puntos homólogos cualesquiera están a igual distancia del centro de rotación.
( ) Si un círculo realiza una rotación de 360° tomando como eje un diámetro, genera una esfera.
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problemas 1 y 2 ubicados en la página 84.
• Problema 4 ubicado en la página 85.
• Problema 3 y 4 ubicados en la página 87.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró realizar los movimientos de traslación y rotación encomendados. o Logró identificar las características del movimiento de traslación. o Logró identificar las características del movimiento de rotación. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
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IA 9.- Construcción de diseños empleando
simetría y otros movimientos.
En la ficha anterior hablamos acerca de dos tipos de movimientos que se pueden aplicar a figuras geométricas: la rotación y la traslación, en esta ficha abordaremos lo referente a la simetría axial y la simetría central, posteriormente emplearán los movimientos tratados para construir diseños con figuras planas.
Simetría axial. El eje de simetría es una línea imaginaria que sirve de referencia para relacionar los puntos de una figura con los puntos de otra, de manera que las distancias (perpendiculares) desde este eje a los puntos de la figura original y a los puntos homólogos de la figura simétrica sean iguales. A esta transformación se le llama simetría axial.
Qué vamos a aprender: Construir de diseños que combinan la simetría axial y central, la
rotación y la traslación de figuras.
Materiales: libreta, libro de texto.
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La siguiente figura se ve reflejada en el lago, la imagen es simétrica al objeto real, respecto a la superficie del lago.
Si se tienen dos figuras simétricas con respecto a un eje, dos puntos simétricos cualesquiera quedarán a igual distancia del eje y sabre una perpendicular a él.
Son simétricos los puntos 𝐴 𝑦 𝐴′; 𝐵 𝑦 𝐵′; 𝐶 𝑦 𝐶′; 𝐷 𝑦 𝐷′. También son simétricos los lados 𝐴𝐵 𝑦 𝐴′𝐵′; 𝐵𝐶 𝑦 𝐵′𝐶′; 𝐶𝐷 𝑦 𝐶′𝐷′; 𝐷𝐴 𝑦 𝐷′𝐴′. Análogamente son simétricos los ángulos 𝐴 𝑦 𝐴′; 𝐵 𝑦 𝐵′; 𝐶 𝑦 𝐶′; 𝐷 𝑦 𝐷′.
En la simetría axial (relativo a un eje) cada uno de dos elementos (puntas, segmentos a ángulos) simétricos es la reflexi6n a imagen del otro respecto a una recta llamada eje de simetría.
Doble simetría axial con ejes paralelos
En la siguiente imagen se puede apreciar la aplicación de la simetría axial en ejes paralelos.
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Simetría central La simetría respecto al punto 0 es una simetría central cuyo par de puntos correspondientes (𝐴, 𝐴’) equidistan de 0 (centro de simetría).
Son simétricos los puntos 𝐴 𝑦 𝐴′; 𝐵 𝑦 𝐵′; 𝐶 𝑦 𝐶′; 𝐷 𝑦 𝐷′. También son simétricos los lados 𝐴𝐵 𝑦 𝐴′𝐵′; 𝐵𝐶 𝑦 𝐵′𝐶′; 𝐶𝐷 𝑦 𝐶′𝐷′; 𝐷𝐴 𝑦 𝐷′𝐴′. Análogamente son simétricos los ángulos 𝐴 𝑦 𝐴′; 𝐵𝑦 𝐵′; 𝐶 𝑦 𝐶′; 𝐷 𝑦 𝐷′.
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Dos figuras son simétricas con respecto a un centro de simetría, cuando a cada uno de los puntos de la primera le corresponde, en la segunda figura, otro punto simétrico can respecto a dicho centro.
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-transformations-congruence/line-of-symmetry/v/axis-of-symmetry Se sugiere ver los siguientes videos: “SIMETRÍA AXIAL Y CENTRAL Para Principiantes” ubicado en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=RaongOgoEvg “SIMETRIA AXIAL Super fácil” ubicado en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=Z8FWFvfNcsY “SIMETRÍA CENTRAL Super fácil” disponible en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=W1jYhe3z_Mc
1.- En los siguientes planos cartesianos, ubica con color rojo los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, y K respecto a la recta MN.
2.- Construye las figuras simétricas respecto a la recta RS
Para aprender más
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3.- Usa tu compás y regla para completar la cancha de futbol.
4.- Subrayara qué características del triángulo original ABC se conserva al trasladarse en el triángulo A'B'C'
a) Su área
b) Su rotación
c) Su volumen
d) Su perímetro
e) Su traslación
f) Su forma.
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5.- Traza la imagen del triángulo ABC, considerando a "y" como eje de simetría y obtén el triángulo 𝐴′𝐵′𝐶′; enseguida refleja esta figura tomando la recta "x" como
eje de simetría, para obtener la figura 𝐴"𝐵"𝐶".
¿Qué tipo de movimiento se le debe de aplicar al ∆ABC para obtener el triángulo
∆ A"B"C"? ________________________________
6.- Usa el punto 0 como centro de simetría y traza un triángulo simétrico al ∆ABC.
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Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problema 1 ubicado en la página 88.
• Problema 3 ubicado en la página 89.
• Problema 1 ubicado en la página 90.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró realizar trazos empleando la simetría axial. o Logró realizar trazos usando la simetría central. o Logró identificar las características que se mantienen en una figura
transformada. o Logró identificar los movimientos necesarios para formar una figura. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
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IA 10.- Relaciones entre triángulos
rectángulos y cuadrados.
En esta ficha descubrirás la relación que existe entre los cuadrados que se construyen en los lados de un triángulo rectángulo, esta información te será de gran utilidad para que puedas comprender el Teorema de Pitágoras, del que hablaremos en la siguiente ficha.
Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos. Según la amplitud de sus ángulos, podemos clasificar los triángulos de la siguiente manera:
Rectángulos: son triángulos que tienen un ángulo recto (90º).
Acutángulos: son triángulos que tienen los tres ángulos agudos (miden menos de 90º).
Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90º).
Qué vamos a aprender: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que
se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.
Materiales: libreta, libro de texto.
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En el triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos, y al lado opuesto a dicho ángulo se le denomina hipotenusa. En los siguientes triángulos rectángulos, a y b son los catetos y c la hipotenusa (es el lado de mayor longitud).
Para señalar un ángulo recto en una figura, se utiliza, a veces, un cuadrito colocado en el vértice de ese ángulo, como se ve en los triángulos anteriores. Al conocer esta información podrás realizar las actividades encomendadas, te facilito algunos links que puedes consultar en caso de tener dudas.
Se sugiere revisar el siguiente link: https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/geo-pythagorean-theorem/e/use-area-of-squares-to-visualize-pythagorean-theorem Se sugiere ver el siguiente video: “Partes De Un Triángulo” ubicado en la siguiente dirección https://www.youtube.com/watch?v=HXh8PdOqfcA
1.- Escribe en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos el nombre de cada lado.
Para aprender más
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2.- Para cada uno de los siguientes triángulos escribe el tipo de triángulo, calcula el área de los cuadrados ubicados en sus lados y la suma de las áreas de los cuadrados ubicados en los catetos.
Tipo de triángulo:
____________________
Área del cuadrado 1: ______________
Área del cuadrado 2: ______________
Área del cuadrado 3: ______________
Suma de áreas 1 y 2: ______________
Tipo de triángulo:
____________________
Área del cuadrado 1: ______________
Área del cuadrado 2: ______________
Área del cuadrado 3: ______________
Suma de áreas 1 y 2: ______________
Tipo de triángulo:
____________________
Tipo de triángulo:
____________________
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Área del cuadrado 1: ______________
Área del cuadrado 2: ______________
Área del cuadrado 3: ______________
Suma de áreas 1 y 2: ______________
Área del cuadrado 1: ______________
Área del cuadrado 2: ______________
Área del cuadrado 3: ______________
Suma de áreas 1 y 2: ______________
Tipo de triángulo:
____________________
Área del cuadrado 1: ______________
Área del cuadrado 2: ______________
Área del cuadrado 3: ______________
Suma de áreas 1 y 2: ______________
En cada uno de los triángulos COMPARA LA SUMA DE LAS ÁREAS 1 Y 2 con el ÁREA DEL TERCER CUADRADO y completa la siguiente frase empleando las palabras del recuadro:
Áreas Perímetros Catetos
Hipotenusa Obtusángulo Área
Volumen Rectángulo Altura
CONCLUSIÓN: En todo triángulo ______________________ la suma de las ___________ de los cuadrados ubicados en los ______________________ es igual al ___________ del cuadrado ubicado en la ____________________.
3.- A continuación, se muestran cinco figuras. En cada una se incluyen los valores de las áreas de dos de los cuadrados asociados a los lados. Calcula el área del tercer cuadrado para cada triángulo rectángulo, ten en cuenta que debes de identificar a qué lado corresponde (cateto o hipotenusa) para que puedas determinar de manera adecuada el área solicitada.
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Color del cuadrado Área
Verde
Amarillo
Rojo
Morado
Azul
Resuelve en tu libro de texto gratuito los siguientes problemas:
• Problemas 3 y 4 ubicado en la página 95.
Rellene los círculos si observa que su hijo logro lo siguiente:
o Logró identificar los elementos de cualquier triángulo rectángulo. o Logró identificar la relación que existe entre los cuadrados de los catetos y el
cuadrado de la hipotenusa. o Logró determinar las áreas de los cuadrados ubicados en los lados del
triángulo rectángulo. o Realizó los problemas de manera autónoma.
Repaso y practico
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