Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

1.-ECUACIONES LINEALES:

Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Una forma común de ecuaciones lineales es:

y = m cdot x + b ;

Método para Resolver Ecuaciones Lineales:

1. Método de Suma y Resta (adición)

El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

> left {> begin{matrix}> 2x & + 3y & = 5 > 5x & + 6y & = 4> end{matrix}> right .>

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por

-2 ,

para poder cancelar la incógnita

y ,

. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

> -2(2x + 3y = 5)> quad> longrightarrow> quad> -4x - 6y = -10>

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita

y ,

ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita

x ,

:

> begin{array}{rrcr}> -4x & -6y & = & -10 > 5x & +6y & = & 4 > hline> x & & = & -6> end{array}>

> x = -6 ,>

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita

x ,

en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de

y ,

es igual a:

> y = frac{17}{3}>

1. Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

> left {> begin{matrix}> 3x & + y & = & 22 > 4x & - 3y & = & -1> end{matrix}> right .>

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita

y ,

por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

> y = 22 - 3x ,>

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita

y ,

en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la

x ,

.

> 4x - 3(22 - 3x) = -1> qquad Rightarrow> 13x -66 = -1,> qquad Rightarrow> 13x = 65 ,>

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado

x = 5 ,

, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos

y = 7 ,

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

1. Método de igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita

y,

en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

> left {> begin{matrix}> y = & 22 - 3x > y = & cfrac{4x + 1}{3}> end{matrix}> right .>

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

> 22 - 3x = frac{4x + 1}{3}Rightarrow quad 3(22-3x)=4x+1 Rightarrow quad > 65 = 13x Rightarrow

quad x = 5

Una vez obtenido el valor de la incógnita

x,

, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la

y,

. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

1. Método de Determinantes

1. Método Gráfico

2.-ECUACIONES CUADRÁTICAS:

=====Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o

incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.Es una ecuaciónde la forma ax2 + bx + c = 0 donde a , b , y , c son números reales y a es un número diferente de cero.======

======Ejemplos

: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

== == La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende

del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.

== 2.ECUACIONES CUADRÁTICAS

Tambien llamadas ecuaciones de segundo grado, es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

ax^2 + bx + c = 0,

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en

x^n,

es de la forma:

ax^{2n}+bx+c=0 ,

con n un número natural y a distinto de cero. La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente: El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente. La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente. Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

x = frac{-b pm sqrt {b^2-4ac}}{2a}

, donde el símbolo "±" indica que los dos valores Reales e imaginarias: Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones:

Dos raíces reales distintas

Una raíz real (o dos raíces iguales)

Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:

b^2 - 4ac ,

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o compleja

INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.

INECUACIONES LINEALES.

Concepto.- Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de

las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones

tienen infinitas soluciones.

PROPIEDADES CON DESIGUALDADES.

· Si a los dos miembros de una desigualdad les sumamos o restamos un mismo número la

desigualdad se mantiene.

· Si a los dos miembros de una desigualdad les multiplicamos o dividimos por un

mismo número, la desigualdad:

1. si el nº es positivo se mantiene:

3 <>

3(2)<5(2)>

6 <10>

2. si el nùmero es negativo, se invierte :

3<5

3(-2)>5(-2)

-6>-10

· Si elevamos los dos miembros de una desigualdad a un mismo

- Exponente impar la desigualdad se mantiene.

- Exponente par

· Si los términos son positivos la desigualdad se mantiene.

· Si los términos son negativos la desigualdad se invierte.

· Si uno es positivo y otro negativo depende de los valores

absolutos.

(Exponente impar):

(Exponente par):

términos positivos:

términos negativos:

términos de distinto signo:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Son de la forma a x + b <0>

Ejemplo:

Interpretación geométrica.

La solución de una inecuación de primer grado representa aquellos valores de x

que hacen que la función y = ax + b quede por encima del eje x (o por encima y sobre el propio

eje x, o por debajo del eje x, o por debajo y sobre el propio eje x).

Como podemos observar en las siguientes graficas:

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Presentan la forma ( ó £0 ó <0>

Para resolverlas se obtienen las raíces del trinomio de 2º grado , y se estudía

que intervalo/s de los obtenidos cumplen la inecuación, teniendo en cuenta que los intervalos

externos tienen el signo de a y el intervalo interno signo contrario al de a. También se pueden

resolver por factorización, obteniendo la solución de cada factor, calculando posteriormente la

intersección de las soluciones.

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR.

Se descomponen en factores de primer o segundo grado.

Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.

Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.

En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.

Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

INECUACIONES FRACCIONARIAS.

Se obtienen por separado los ceros del numerador y denominador.

Se representan en sendas rectas.

En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.

Se ve cuales de los intervalos formados son solución.

Los ceros del denominador nunca forman parte de la solución, al no estar

definida la división entre cero.

INECUACIONES CUADRATICAS.

Definición.- Sean a, b, c constantes reales tales que a ≠ 0. Sea x una variable real. Llamaremos

inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la

forma y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadráticas:

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común

denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de

segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no

valen.

Sistemas de ecuaciones lineales

1. Interpretación gráfica

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto

es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación,

sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método

de reducción.

Ejemplo:

Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:

Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene:

7x = 21 x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda,

tenemos:

4 · 3 + 2y = 16 y = 2

Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).

2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones

Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma

Podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:

i. Infinitas soluciones

Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y.

Se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales:

ii. Sin solución

Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre

sí, pero no proporcionales a los términos libres:

iii. Solución única Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales:

Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que

las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que:

Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene

infinitas soluciones.

Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son

paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.

Ejemplo:

Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:

Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe

ocurrir que:

Y como evidentemente , entonces podemos determinar p de la primera proporción:

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

El conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita se llama sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución suele expresarse en forma de intervalo llevando cuidado de expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado.

Ejemplo:Resuelve el sistema

De la primera inecuación se obtiene que:

De la segunda:

De la tercera:

La solución del sistema es la intersección de los tres intervalos obtenidos:

ya que no existe ningún número real que pueda ser al mismo tiempo menor o igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4. Veámoslo en el siguiente dibujo, donde aparece pintado en rojo la solución de la 1*, en verde la de la 2* y en azul la de la 3*:

Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que

corresponden a la solución de cada inecuación.

Tomemos como ejemplo la inecuación:

1º Representamos la región solución de la primera

inecuación.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo

que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta .

Tomamos un punto , por ejemplo el (0, 0), los sustituimos

en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el

semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución

será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2º Representamos la región solución de la segunda

inecuación.

x + y = 1

x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)

x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)

;

x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1 No

3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.