5.° grado: Matemática

SEMANA 6

Resolvemos situaciones cotidianas usando sistemas de ecuaciones

DÍA 4

Estimada(o) estudiante, iniciaremos el desarrollo de varias actividades con el propósito

de que refuerces lo trabajado en el día 3

Situación 1Daniela y sus amigas pagaron 72 soles por 4 empanadas de pollo y 8 refrescos de chicha morada en una

cafetería ubicada en un parque; pero la semana anterior consumieron 2 empanadas de pollo y 2 refrescos de

chicha morada, en el mismo lugar, y la cuenta fue de 26 soles. ¿Cuál es el costo de una empanada y un vaso

de refresco?

Resolución

• Representamos los datos de la situación y formulamos las ecuaciones:

Consideremos que:

x: precio de una empanada.

y: precio de un vaso de chicha

morada .

4x

Costo de las

empanadas

8y

Costo de

las chichas

Costo: 72 soles

2x

Costo de las

empanadas

2y

Costo de

las chichas

Costo: 26 soles

2.a ecuación:

2x + 2y = 26

Recuerda:Es importante identificar los datos, entender

las preguntas, establecer relaciones entre ellos

y expresarlos en ecuaciones, antes de resolver

la situación. Por ello, es conveniente elaborar

dibujos, gráficos o esquemas. 1.a ecuación: 4x + 8y = 72

7284 =+ yx

Resolvemos el sistema de ecuaciones con el

método de reducción:

….(2)….(1)

2622 =+ yx

• Calculamos el costo de la empanada y del refresco:

Elegimos eliminar del sistema la incógnita y:

Los coeficientes de la incógnita y son diferentes,

multiplicamos por 4 a la ecuación (2):

4)26()22(4 =+ yx

10488 =+ yx

Restamos las ecuaciones (3) y (1) para obtener

el valor de x:

….(3)

10488 =+ yx

7284 =+ yx

324 =x8=x

Reemplazamos el valor de la incógnita x en la

ecuación (2) para obtener el valor de y:

Restamos

2622 =+ yx

262)8(2 =+ y

26216 =+ y

5=y

Recuerda:El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del

sistema para eliminar una de las incógnitas. Es aconsejable que la

incógnita a eliminar, en ambas ecuaciones tenga el mismo coeficiente

(restamos) o sean iguales pero con signo opuesto (sumamos las

ecuaciones).

Respuesta: El costo de una empanada es de S/ 8 y el vaso de chicha morada, S/ 5.

Clara, sabe que el consumo de frutas en las mañanas y entre comidas es saludable y una vez a la

semana se aprovisiona de ellas en la feria de productores más cercana. Ahí encuentra ofertas

interesantes como las siguientes: 2 kg de mango más tres kg de manzana cuestan 12 soles o 3 kg

de mango más 2 kg de manzana cuestan 13 soles. Si el precio normal del kilogramo de mango es

3,50 soles y el precio normal del kilogramo de manzana es 2, 60 soles, ¿cuánto de rebaja por

kilogramo ofrece la oferta a Clara?

Situación 2

Resolución

• Representamos los datos de la situación y formulamos las ecuaciones:

Costo de 3 kg de

mango

Costo: S/ 13

2y

Costo de 2

kg de

manzana

3x

2.a ecuación: 3x + 2y = 13

Costo

de 2 kg de

mango

Costo: S/ 12

3y

Costo de 3 kg de

manzana

2x

1.a ecuación: 2x + 3y = 12

FrutaPrecio

Normal

Precio

OfertaRebaja

Mango 3,50 x ¿?

Manzana 2,60 y ¿?

Resolvemos el sistema de ecuaciones con el método

de igualación:

• Calculamos la rebaja por kilogramo:

Despejamos la incógnita x en ambas ecuaciones:

1232 =+ yx

….(2)….(1)

1323 =+ yx

De la situación formulamos el siguiente sistema de

ecuaciones:

1232 =+ yx2

312 yx

−=

1323 =+ yx3

213 yx

−=

….(3)

….(4)

Igualamos las ecuaciones (3) y (4) para obtener el

valor de la incógnita y:

3

213

2

312 yy −=−

yy 426936 −=− y=2

Reemplazamos el valor de la incógnita y en la ecuación

(1) para obtener el valor de x:

1232 =+ yx

12)2(32 =+x 3=x

FrutaPrecio

NormalPrecio Oferta

Rebaja

Mango 3,50 3,00 0,50

Manzana 2,60 2,00 0,60

Respuesta:El mango tiene una rebaja de S/ 0,50 y la manzana, de S/ 0,60.

Completamos los datos de la tabla:

Recuerda:El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita

de ambas ecuaciones y luego igualar sus expresiones. Este

método es aconsejable cuando la incógnita es fácil de despejar

en las dos ecuaciones.

Juan y Natalia, estudiantes de quinto grado de secundaria, preparan paletas de chocolate con

el fin de venderlas y así juntar dinero para su viaje de promoción. La materia prima necesaria

para hacer una paleta grande les cuesta 3 soles y, para una paleta chica, 2 soles. Ellos

invierten en su proyecto la suma de 50 soles. Con la información dada, responde las

siguientes preguntas:

1. ¿Qué dato le adicionarías a esta situación para que la cantidad de paletas grandes

sea igual a la cantidad de paletas chicas?

2. ¿Cuántas paletas serán de cada tamaño?

Situación 3

¿Qué dato le adicionarías a esta situación para que la cantidad de paletas grandes seaigual a la cantidad de paletas chicas? ¿Cuántas paletas serán de cada tamaño?

Resolución• Representamos los datos de la situación

y formulamos la ecuación:

Obtenemos la siguiente información:

- Costo unitario paleta grande: 3 soles

- Costo unitario paleta chica: 2 soles

- Inversión total: 50 soles

- Cantidad de paletas grandes: x

- Cantidad de paletas chicas: y

Representamos y formulamos la ecuación:

3 x + 2 y = 50

3 (2) + 2 (22) = 50

3 (4) + 2 (19) = 50

3 (6) + 2 (16) = 50

3 (8) + 2 (13) = 50

3 (10) + 2 (10) = 50

3 (12) + 2 (7) = 50

3 (14) + 2 (4) = 50

3 (16) + 2 (1) = 50

• Averiguamos el dato que falta para que las cantidades

de paletas sean iguales:

Cantidad total de paletas elaboradas

x + y = 24 paletas

x + y = 23 paletas

x + y = 22 paletas

x + y = 21 paletas

x + y = 20 paletas

x + y = 19 paletas

x + y = 18 paletas

x + y = 17 paletas

Costo paletas grandes

Inversión total: S/ 50

2y

Costo paletas

chicas

3x Ecuación:

3x + 2y = 50 Respuesta: El dato que falta es: la cantidad total de paletas elaboradas es igual a 20. Entonces, la cantidad de paletas de cada tamaño sería 10.

En este juego pueden participar una, dos o más personas. Cada jugador de manera personal debe

encontrar los números que representan los cuadrados, los triángulos, los círculos, las estrellas y las

incógnitas (¿?), teniendo en cuenta las siete condiciones numéricas del desafío: la suma en

horizontal o vertical de los valores de las figuras dan un resultado numérico. Gana el juego el

primero que logra explicar su solución utilizando sistemas de ecuaciones lineales. Ahí tienes dos

desafíos ¡Diviértete!

Desafío 1: Desafío 2:

26 22 24 ¿?

31

22

30

33

2534 31 ¿?

22

24

24

34

Situación 4

1. Solucionamos el primer desafío.

Resolución

26 22 24 ¿?

22

24

24

34

• Establecemos las equivalencias para cada símbolo del tablero:

x= y=

z= w=

• Formulamos las ecuaciones:

222 =++ zyx

2422 =+ yz

24=+++ zywx

343 =+ zw

….(2)….(1)

….(4)….(3)

De la ecuación (1) obtenemos:

Reemplazamos el valor de (z + y)

en la ecuación (2):

22)(2 =++ zyx

22122 =+x5=x

Reemplazamos el valor de x con

(y+z) en la ecuación (3):

24125 =++w24)( =+++ zywx

7=w

Reemplazamos el valor de w en la

ecuación (4):

343 =+ zw

3437 =+ z

9=z

Consideramos las incógnitas (x, y, z, w)de cada figura y las sumamos en horizontal

o vertical para obtener los números

correspondientes. Necesitamos plantear

cuatro ecuaciones independientes porque

tenemos cuatro incógnitas.

2422 =+ yz

12=+ yz

• Calculamos los valores de las incógnitas:

Respuesta: Los números que representan las figuras y la incógnita son:

Reemplazamos el valor

de z en la ecuación (1)

2422 =+ yz

24218 =+ y

3=y

Utilizamos los valores

de x y z para obtener

el valor numérico de

la incógnita (¿?):

¿?3 =+ zx

¿?)9(35 =+

¿?32 =

5= 3=

9= 7=

• Verificamos los valores de las incógnitas en el tablero:

¿?= 32

26 22 24 ¿?

22

24

24

34

26 22 24 ¿?= 32

22

24

24

34

5 3 9 5

9 3 3 9

5 7 3 9

7 9 9 9

2. Solucionamos el segundo desafío.

• Establecemos las equivalencias para cada símbolo del tablero:

x= y=

z= w=

• Formulamos las ecuaciones con las incógnitas y condiciones numéricas del desafío 2, planteamos algunas ecuaciones:

312 =++ xzx

3422 =+ zx

332 =++ wxz

2222 =+ yx

• Calculamos los valores de las incógnitas:

De la ecuación (1) obtenemos:

17=+ zx

Reemplazamos el valor de (x + z)

en la ecuación (2):

31217 =+ x

7=x

Reemplazamos el valor de x en la

ecuación (4):

22214 =+ y

4=y

Reemplazamos el valor de x en la

ecuación (1):

10=z

3422 =+ zx

312)( =++ xzx

2222 =+ yx

3422 =+ zx

34214 =+ z

Resolución:

31

22

30

33

2534 31 ¿?

….(2)

….(1)

….(4)….(3)

Respuesta: El valor de las figuras y la incógnita es:

¿?= 26

Reemplazamos el

valor de z y x en

la ecuación (3):

6=w

Utilizamos los valores de x y

w para obtener el valor

numérico de

la incógnita (¿?):

¿?22 =+ wx

¿?26 =

7= 4=

10= 6=

• Verificamos los valores de las incógnitas en el tablero:

332 =++ wxz

33720 =++ w

¿?1214 =+

31

22

30

33

2534 31 ¿?

31

22

30

33

2534 31 ¿?=26

Gracias