cuaderno matemáticas guadiel

2Matemáticas

Carpeta de recursos

ÍndiceProyecto edebé de Matemáticas 7Programación, orientaciones y recursos 21Otros recursos para la evaluación 155La materia de Matemáticas y las TIC 169Solucionario 187

00 CREDITOS CARPETA 2(C) 5/8/08 06:18 Página 3

Materia de Matemáticas 2

Proyecto y edición: guadiel-grupo edebé

Dirección general: Antonio Garrido GonzálezDirección editorial: José Luis Gómez CutillasDirección de edición de guadiel: Laura Fernández EnríquezDirección de edición de Educación Secundaria: José Francisco Vílchez RománDirección pedagógica: Santiago Centelles CerveraDirección de producción: Juan López Navarro

Equipo de edición de guadiel:Edición: Fernando Monsó Ferré, Pau Barberá Fábregas, Nuria Lorente Pla, Carlos Prósper Gisbert y Mario Suárez GarcíaPedagogía: Elsa Escolano Lumbreras y Juan Carlos Ledesma GonzálezCorrección: Yolanda Rodríguez Ortega y Marcos Fco. Poquet MartínezIlustración: Robert Maas OlivesCubierta: Luis Vilardell Panicot

Colaboradores:Texto: Montserrat Doménech Tomasa y Ramón Masiá FornosDibujos: Luis Bogajo PeñarroyaPreimpresión: Anglofort, S.A.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública otransformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autorizaciónde sus titulares, salvo excepción prevista por la Ley. Diríjase a CEDRO(Centro Español de Derechos Reprográficos – www.cedro.org) si necesitafotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

Es propiedad de guadiel-grupo edebé© guadiel-grupo edebé, 2008 Parque Industrial y de Servicios del Aljarafe (P.I.S.A.)Artesanía, 3-541927 Mairena del Aljarafe (Sevilla)www.edebe.com

ISBN 978-84-8379-088-5

Impreso en EspañaPrinted in Spain

Educación Secundaria Obligatoria

Carpeta de recursos

Este libro forma parte del proyecto editorial guadiel y ha sido elaborado según las disposicionesy normas curriculares que desarrollan la Ley Orgánica de Educación (LOE) de 3 de mayo de 2006.

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Depósito Legal. B. 41.674-2008

Tecfoto S.L. - Ciutat de Granada, 55 - Barcelona

3

© grupo edebé

Relación de los contenidos del libro del alumno

Aritmética y álgebra

1. Números enteros

1. El conjunto de los números enteros. 2. Operaciones básicas 2.1. Suma. 2.2. Resta.2.3. Multiplicación. 2.4. División. 2.5. Operaciones com-binadas. 3. Potenciación y radicación 3.1. Poten-cias de base entera y exponente natural. 3.2. Potenciasde base entera y exponente entero. 3.3. Raíces cuadra-das. 3.4. Operaciones combinadas

2. Fracciones y números decimales

1. Fracciones positivas y negativas 1.1. Frac-ciones con signo. 1.2. Fracciones equivalentes. 1.3. Representación de fracciones sobre la recta. 1.4. Ordenación de fracciones. 2. Operacionescon fracciones 2.1. Suma, resta, multiplicación y di-visión. 2.2. Operaciones combinadas. 2.3. Potencias yraíces cuadradas. 3. Relación entre las fraccio-nes y los decimales 3.1. Expresión decimal de unafracción. 3.2. Fracción generatriz de un número deci-mal. 3.3. Operaciones con decimales. 4. Aproxi-mación, redondeo y error

3. Ecuaciones con una incógnita

1. Lenguaje algebraico 1.1. Expresiones algebrai-cas. 1.2. Operaciones con expresiones algebraicas. 2. Igualdad y ecuación. 3. Resolución deecuaciones 3.1. Método general de resolución deecuaciones. 4. Aplicación a la resolución deproblemas

4. Ecuaciones con dos incógnitas.Sistemas

1. Ecuaciones de primer grado con dos in-cógnitas. 2. Sistemas de ecuaciones 2.1. Re-solución gráfica. 2.2. Métodos algebraicos. 2.3. Tiposde sistemas. 3. Aplicación a la resolución deproblemas

5. Proporcionalidad aritmética

1. Razones y proporciones 1.1. Propiedades de una proporción. 1.2. Obtención de los términos de una proporción. 2. Magnitudes proporcionales2.1. Magnitudes directamente proporcionales. 2.2. Mag-nitudes inversamente proporcionales. 3. Porcentajes3.1. Aumentos y disminuciones porcentuales. 3.2. Interéssimple

Geometría

6. Proporcionalidad geométrica

1. Razón y proporcionalidad de segmentos.2. Rectas secantes cortadas por paralelas2.1. Secantes cortadas en segmentos iguales. 2.2. Teo-rema de Tales. 2.3. Aplicaciones del Teorema de Tales.3. Triángulos en posición de Tales. 4. Cons-trucciones geométricas con ordenador

4.1. División de un segmento en partes iguales. 4.2. Divi-sión de un segmento en partes proporcionales a dossegmentos dados

7. Semejanza

1. Triángulos semejantes 1.1. Semejanza detriángulos en posición de Tales. 1.2. Criterios de seme-janza de triángulos. 2. Polígonos semejantes2.1. Construcción de polígonos semejantes. 2.2. Perímetros y áreas de polígonos semejantes.3. Figuras semejantes 3.1. Construcción de figu-ras semejantes. 3.2. Escalas. 4. Construccionesgeométricas con ordenador 4.1. Construcciónde triángulos semejantes. 4.2. Construcción de figurassemejantes

8. Cuerpos geométricos

1. Elementos geométricos del espacio 1.1. Punto, recta y plano. 1.2. Posiciones relativas derectas y planos. 1.3. Ángulo diedro. 1.4. Ángulo po-liedro. 2. Poliedros 2.1. Poliedros regulares. 2.2. Polie-dros no regulares. 3. Cuerpos de revolución 3.1. Cilindro. 3.2. Cono. 3.3. Esfera

9. Áreas y volúmenes

1. Áreas de cuerpos geométricos 1.1. Áreas depoliedros. 1.2. Áreas de cuerpos de revolución. 1.3. Áreasde cuerpos compuestos. 2. Volúmenes de cuer-pos geométricos 2.1. Volúmenes de poliedros. 2.2. Volúmenes de cuerpos de revolución. 2.3. Volúme-nes de cuerpos compuestos. 2.4. Estimación de volú-menes

Tratamiento de la información y del azar

10. Funciones

1. Dependencia entre magnitudes. 2. Con-cepto de función 2.1. Imágenes y antiimágenes.2.2. Expresión algebraica de una función. 2.3. Gráficade una función. 3. Características de las fun-ciones 3.1. Puntos de corte con los ejes. 3.2. In-tervalos de crecimiento y decrecimiento. 3.3. Máximosy mínimos. 3.4. Continuidad y discontinuidad. 4. Fun-ciones de proporcionalidad directa e inver-sa 4.1. Función lineal o de proporcionalidad directa.4.2. Función de proporcionalidad inversa

11. Estadística

1. Conceptos generales 1.1. Variables estadísti-cas. 1.2. Recogida de datos. 2. Presentación dedatos 2.1. Tablas de distribución de frecuencias. 2.2. Gráficos estadísticos. 3. Parámetros estadís-ticos 3.1. Media aritmética. 3.2. Moda. 3.3. Mediana.4. Ordenador y calculadora en estadística

Competencias básicas. Evaluación de compe-tencias

00 Pag iniciales.qxp 4/8/08 11:43 Página 3

4

© grupo edebé

Estructura de la Carpeta de recursosEsta Carpeta consta de cinco partes bien diferenciadas:

Proyecto edebé de Matemáticas, que contiene:

• El proyecto educativo de Edebé e, integrado dentro de éste, el proyecto de la materia de Matemáticas.

Programación, orientaciones y recursos, que contienen:

• El tiempo aproximado que hay que dedicar a la unidad, la interdisciplinariedad con otras áreas, los ob-jetivos didácticos, las competencias básicas, los criterios de evaluación, las enseñanzas transversalesy la preparación de la unidad.

• El recorrido de la unidad. Se presentan los apartados y los contenidos de la unidad, las actividades di-señadas para trabajar cada contenido, las orientaciones didácticas para llevar a cabo estas activida-des y una descripción de la evaluación de la unidad.

• Una descripción de las actividades del libro del alumno que trabajan las TIC acompañadas general-mente de otras nuevas. También se presentan otras propuestas de actividades, que sirven para com-plementar y ampliar el trabajo con el libro del alumno.

• Fichas de refuerzo fotocopiables, que tienen la finalidad de trabajar el aprendizaje de los contenidosbásicos. En su reverso se incluye la resolución de las actividades propuestas.

• Fichas de profundización que sirven para completar y ampliar el trabajo con el libro del alumno.

• Fichas de evaluación de las unidades. Son fotocopiables y se hallan resueltas en su reverso.

132

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

Ficha de evaluación5

1.

2. a. Prisma cuadrangular rectoAprisma = P × h + 2 × Abase

Aprisma = (2 × 7 + 2 × 5) × 12 + 2 × (7 × 5)Aprisma = 358 cm2

b. Cilindro

Acilindro = 2 π × r (g + r) = 2 π × 5 × (8 + 5)Acilindro = 408,2 cm2

c. Pirámide cuadrangular regular.

Cálculo de la apotema Ap:

Apirámide = 184,8 cm2

3.

Abase cilindro = π × r2 = π × 32 = 28,26A lateral cilindro = 2 π × r × g = 2 π × 3 × 3 = 56,52A lateral cono = π × r × g

Cálculo de la generatriz g del cono:

El área del cuerpo es 118,78 cm2.

4. El radio de la esfera es 2,5 cm. Por lo tanto:A = 4 π × r2 = 4 π × 2,52 = 78,5

El área de la esfera es 78,5 cm2.

5. La longitud máxima quecabe en la caja es la de ladiagonal del ortoedro. Lla-mamos D a esta diagonal.

d 2 = 82 − 42 ⇒d = 8,9

D 2 = 8,92 − 62 ⇒D = 10,7

Por lo tanto, sí que cabe.

6.

7. 49 000 000 cm3 = 49 m3

6 100 000 000 mm3 = 6,1 m3

0,005 8 dam3 = 5,8 m3

Por lo tanto:

49000000 cm3 > 6100000000 mm3 > 0,0058 dam3

8.

9. Descomponemos la figura en un cilindro, un cubo yuna pirámide. Calculamos el volumen de cada unode estos cuerpos y los sumamos.

Vcilindro = Abase × h = π × 33 × 8 = 226,08

Vcubo = l3 = 63 = 216

Calculamos la altura:

Vpirámide = 226,08 + 216 + 96 = 538,08

El volumen del cuerpo es 538,08 cm3.

h h

Vpirámide

2 23 8 54 8

6 8

396

+ = ⇒ ⇒

= × =

,

VA h

pirámidebase=

×3

a.

b.

V A h cm

VA h

base

base

= × = × × =

=×

=

× ×

5 7 12 420

3

10 5

3

66 88

218

31032

5 8

3

2 2

, ×=

= × = × × = × ×

cm

V A h r hbasec. π π ==

=×

+ × × =

628

3

6 8

3301 44

3

23

cm

VA h

cmbased.π

,

351000

135000

0 051

1000 000

33

3

3

33

mdm

mdm

mhm

m

× =

×,33

3

33

3

0 000 000 05

51000 000

1500000

=

× =

, hm

kmdam

km00

38 241

1000 0000 00003824

3

33

3

3

dam

cmm

cmm, ,× =

g g

Alateral co

2 2 22 3 13= + ⇒ =

nno

totalA

= × × =

= + + =

π 3 13 34

28 26 56 52 34 118 78, , ,

Ap Ap

Apirámide

2 2 212 3 12 4

24 12 4

2

24 3

2

= + ⇒ =

= × + × =

,

,1184 8,

AAp ap

pirámide =×

+×

2 2

Solucionario

�

�Ficha

3

Ap12

Tetraedro

Dodecaedro

3 cm

3 cm

2 cm

84d

D 6

3

h8,54

115

8. C

uerp

os

geo

métr

ico

s

© grupo edebé

Profundización

1. ¿Cuántas rectas determinan cuatro puntos no alineados? ¿Y cinco puntos? Di cuántos planos quedan deter-

minados en los dos casos anteriores.

2. Traza una recta y dibuja un punto exterior a ella. ¿Cuántos planos quedan determinados? ¿Y si el punto per-

tenece a la recta?

3. Dado un segmento cualquiera, ¿cuántos planos lo contienen? ¿Y si son dos segmentos, tales que las rectas

que los contienen se cruzan?

4. Dado un ángulo poliedro cualquiera. ¿Pueden ser paralelas dos de las rectas que contienen las aristas?

¿Y perpendiculares?

5. 1) La sierpe progresiva, de Javier Santos, es un puzle formado por 6 piezas policúbicas. El número de cubos

unitarios de las piezas es 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

a) ¿Cuántos cubos unitarios componen un cubo de lado 3?

b) ¿Cuántos cubos unitarios forman todas las figuras de la imagen?

Aprovechando esta coincidencia, debes formar con todas las piezas de la sierpe progresiva un cubo de lado 3.

2) El cubo DiaWolicO, ideado por Javier Santos, es un puzle que está formado por las piezas policúbicas pla-

nas que se ven en la figura.

El número de cubos unitarios de cada fila de piezas es 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Tienes que seleccionar 6 piezas, una

de cada tipo. El objetivo es construir un cubo de lado 3.

El puzle puede contener todos los tricubos y tetracubos (excepto el alargado, de 4 cubos, que no aparece en

la figura, porque obviamente no puede encajarse en un cubo de lado 3).

En la figura vemos una posible solución:

¿Sabrías hallar otra solución?

Nombre: ..................................................................................................... Curso: ...................................... Fecha: .....................................

3Ficha

��

�

26

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

• Actividad 82. Consultar una página web que contiene información sobre los números perfectos. Definirestos números y citar algunos ejemplos.

• Actividad 83. Consultar una página web sobre la historia de las matemáticas y recopilar información so-bre algunos matemáticos griegos.

Tecnologías de la información y la comunicación�

Otras propuestas de actividades• Al empezar la unidad es interesante que los alumnos adviertan la presencia de los números enteros en

la vida cotidiana. Para ello, el profesor/a puede proponer que busquen ejemplos de frases, situacio-nes o noticias en las que se transmita información utilizando números enteros.

• Los alumnos pueden reforzar el aprendizaje de la notación científica si elaboran murales en grupo enlos que se aprecie el uso de esta notación en datos referidos a la vida cotidiana o al mundo científico.

�

• Evaluación (LA)

• Evaluación. Ficha 4 (CR).

— Efectuar diversas operaciones (simples y combinadas) con números enteros.

— Expresar diferentes situaciones utilizando números enteros y operaciones con ellos.

— Expresar en forma de potencia algunas situaciones descritas.

— Expresar en forma de potencia el resultado de diversas operaciones con potencias.

— Expresar diversas magnitudes en notación científica.

— Calcular diversas raíces cuadradas.

— Efectuar una operación combinada en la cual intervienen potencias y raíces cuadradas.

— Resolver un problema y expresar la solución en forma de potencia.

— Hallar varios números congruentes a un número dado.

• Calcular una serie de operaciones con potencias y raíces, por escrito y con la calculadora. En caso dediscrepancia entre los resultados, averiguar en qué momento se ha producido el error.

• Expresar, por medio de potencias y raíces, situaciones de la vida cotidiana, especialmente las quepueden aparecer en los medios de comunicación.

• Establecer un coloquio en el que se reflexione sobre la necesidad de la notación científica para com-probar si el alumno/a valora su utilidad en la resolución de problemas numéricos con magnitudes físi-cas.

Evaluación de la unidad�

100

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Refuerzo1Ficha

��

1. a) 60o; Son iguales.

b) 3 cm y 1,8 cm, 0,6; Son proporcionales.

c) ...iguales..., ...proporcionales

2. a) 1,7

b) 1,7

c)Â� =

Â = 60o ,

^B� =

^B = 122o ,

^C� =

^C = 112o ,

^D� =

^D = 105o

d) ...lados..., ...ángulos..., ...semejantes

e) 1,7, 3,1 � 2,9

f) ...semejanza..., ...cuadrado...

Solucionario

�

25

1.

Núm

ero

s ente

ros

© grupo edebé

Actividades Orientaciones didácticas• Identificar los números enteros con los

naturales precedidos de un signo y re-

presentarlos sobre una recta. Utilizar es-

ta representación para entender el orden

de los números enteros.

• Recordar el concepto de valor absoluto

de un número entero y la notación para

expresarlo.

• Aplicar los algoritmos de suma, resta,

multiplicación y división.

• Observar las propiedades de la suma, la

resta, la multiplicación y la división de nú-

meros enteros.

• Determinar la divisibilidad de un número

entero aplicando los criterios de divisibili-

dad.

• Resolver operaciones combinadas con

paréntesis de prioridad y corchetes.

• Observar la definición de potencia de ba-

se entera y exponente entero, y sus pro-

piedades.

• Reconocer la expresión de un número en

notación científica.

• Entender el concepto de raíz cuadrada

exacta de un número entero positivo.

Es necesario que los alumnos se den cuenta de la necesidad de los números

enteros en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Para ello, se han de in-

troducir situaciones en las que se utilicen, así como también pedirles que

enumeren otras en las que aparezcan este tipo de números.

Después de esta fase práctica, se han de destacar las propiedades esencia-

les de los enteros, comenzando por el hecho de que no existe un primer nú-

mero entero. Es muy importante que sepan establecer de forma rápida el or-

den de diversos números, en primer lugar con la ayuda de una recta y, pos-

teriormente, sin ayuda de ésta. Para ello, el alumno/a tiene que entender per-

fectamente la noción de valor absoluto de un número.

Antes de comenzar las operaciones con enteros, se han de repasar las ope-

raciones con números naturales, especialmente en el caso de la división.

También es recomendable proponer ejemplos prácticos de situaciones en las

que se utilizan estas operaciones (el cálculo de ingresos y deudas; la varia-

ción de la temperatura, etc.); de esta manera se apela a la intuición del alum-

no/a con tal de reforzar su comprensión de las reglas para efectuar operacio-

nes. En el caso de la división, deben subrayarse los criterios de divisibilidad

ligados a la división exacta y su uso en ejemplos concretos.

Una vez consolidadas las operaciones entre números enteros y sus propie-

dades básicas, tiene que recordarse la prioridad que se establece en las ope-

raciones combinadas con números naturales, e insistir que esta prioridad se

mantiene con los números enteros. En un principio, utilizar expresiones sin

paréntesis; posteriormente se introducirán los paréntesis, explicando la re-

percusión que tienen en el orden de las operaciones. En este sentido, prime-

ramente se han de introducir los paréntesis ortográficos, ya que no tienen

ningún efecto sobre el orden; posteriormente se indicarán las modificaciones

que produce la introducción de paréntesis de prioridad.

Atención a la diversidad

Refuerzo: Ficha 1. Actividades 1 a 3 (CR)

Profundización: Ficha 3. Actividades 1 a 10 y de 14 a 17 (CR)

Es necesario que los alumnos sean capaces de aplicar el concepto de poten-

cia a la descripción de situaciones de la vida real. Por este motivo, sería inte-

resante plantearles actividades operativamente sencillas en un contexto real

(por ejemplo, describir en forma de potencia situaciones del tipo: Un instituto

tiene seis aulas, en cada aula hay seis alumnos y cada alumno tiene seis lápi-

ces de colores. ¿Cuántos lápices tienen entre todos?). También es muy impor-

tante que relacionen las propiedades de las potencias con las propiedades de

la multiplicación. Así mismo, puede ser útil utilizar ejemplos de aplicación inco-

rrecta de las propiedades de la potenciación (por ejemplo, (2 + 3)2 ≠ 22 + 32).

Cabe destacar que la radicación es la operación contraria de la potenciación.

Hay que insistir en el uso razonable de la calculadora, la cual ha de ser una

herramienta utilizada sólo cuando sea necesaria; se tiene que prestar mucha

atención, en este caso, a los pasos que hay que seguir para introducir una

expresión numérica. Insistir, de nuevo, en la necesidad de efectuar todas las

operaciones sencillas o inmediatas sin el recurso de la calculadora. En cual-

quier caso, hay que poner énfasis en el proceso de introducir paréntesis con

el fin de modificar el orden en que se efectuarán las operaciones.




Profundización: Ficha 3. Actividades 11 a 13 (CR)

ContenidosApartados

24

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

• Potencias de base entera y exponente natural. C

• Signo de una potencia de base entera y exponente natural. C

• Operaciones con potencias de base entera y exponente natural. C

• Potencias de base entera y exponente entero. C

• Operaciones con potencias de base entera y exponente entero. C

• Potencias de 10. C

• Notación científica. C

• Raíz cuadrada de un número entero. C

• Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas. C

• Resolución de operaciones con potencias de base entera y exponente natural y entero. P

• Utilización de la notación científica. P

• Cálculo de raíces cuadradas. P

• Cálculo de operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas. P

• Uso racional de la calculadora para efectuar operaciones con números enteros. P

• Obtención de información de diversas fuentes utilizando las tecnologías de la informacióny la comunicación. P

• Valoración de las tecnologías de la información y la comunicación como recursos de ob-tención de datos y como instrumentos para consolidar procesos matemáticos. V

3. Potenciacióny radicación(págs. 16-23)

• Conjunto de los números enteros. C

• Valor absoluto de un número entero. C

• Orden en el conjunto de los números enteros. C

• Utilización del lenguaje propio de la aritmética para recibir y transmitir información. P

• Identificación de números enteros. P

• Cálculo del valor absoluto de un número entero. P

• Representación de números enteros sobre la recta. P

• Comparación y ordenación de números enteros. P

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje numérico para represen-tar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana. V

• Valoración del cálculo mental como herramienta para agilizar las operaciones aritméticas. V

• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso de la calculadora. V

1. El conjunto de losnúmeros enteros(pág. 8)

2. Operacionesbásicas(págs. 9-15)


• Operaciones con números enteros (suma, resta, multiplicación, división). C

• Criterios de divisibilidad. C

• Números primos y números compuestos. C

• Reglas de prioridad en las operaciones combinadas de números enteros. C

• Aplicación de los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división de númerosenteros. P

• Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 y 100. P

• Identificación de números primos. P

• Descomposición de un número en factores primos. P

• Uso de los paréntesis y reglas de prioridad en las operaciones combinadas con númerosenteros. P

• Aplicación de los números enteros para resolver situaciones de la vida cotidiana. P

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones con númerosenteros. P

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. V

Criterios de evaluación• Reconocer situaciones de la vida cotidiana relativas a las operaciones con números enteros y a núme-

ros expresados en notación científica.

• Reconocer, identificar y representar números enteros sobre la recta. Comparar y ordenar números enteros.

• Aplicar correctamente los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división de números en-

teros. Conocer y aplicar las propiedades de la suma y de la multiplicación de números enteros.

• Calcular potencias de base entera y de exponente natural y entero, y operar con ellas.

• Interpretar números expresados en notación científica y escribir números en dicha notación.

• Resolver raíces cuadradas exactas y enteras, y efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces.

• Identificar y relacionar múltiplos y divisores de números naturales.

• Descomponer un número en factores primos y aplicar correctamente los criterios de divisibilidad.

• Utilizar la calculadora para efectuar potencias, raíces y operaciones combinadas.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles en el proceso de

aprendizaje.

• Mostrar una disposición favorable para utilizar los números enteros en diferentes situaciones de la vi-

da cotidiana.

1Números enterosUnidad

Tecnologías; Ciencias de la Naturaleza

23

1.

Núm

ero

s ente

ros

• Conocer las características del

conjunto de números enteros y

efectuar con soltura operaciones

con ellos.

• Calcular potencias de base entera

y de exponente natural y entero, y

efectuar operaciones con ellas y

calcular la raíz cuadrada de un nú-

mero.

• Reconocer y valorar la utilidad de

los números enteros para resolver

situaciones de la vida cotidiana.

• Utilizar la notación científica para

expresar números grandes y pe-

queños.

Objetivos didácticos�

Tiempo aproximado3 semanas

� Interdisciplinariedad�

�

© grupo edebé

• Interpretar y utilizar el lenguaje matemático en si-

tuaciones cotidianas en las que intervienen núme-

ros enteros.

• Efectuar potencias, raíces cuadradas y diversas

operaciones combinadas con números enteros.

• Operar con números enteros utilizando la calcula-

dora científica.

• Usar la notación científica para representar núme-

ros grandes y pequeños.

• Utilizar las estrategias y las herramientas matemáti-

cas adecuadas para resolver problemas mostrando

seguridad y confianza en sus capacidades.

Competencias básicas

Preparación de la unidad

�

Contenidos necesarios antes de empezar la unidad:

• Números naturales. Operaciones combinadas.

• Definición de los números enteros.

• Potencias de base natural y exponente natural.

• Raíz cuadrada.

Educación cívica. Algunas actividades

que se realizan en grupo pueden servir

para fomentar actitudes solidarias y tole-

rantes, reconociendo y valorando las di-

ferencias entre las personas.

Enseñanzas transversales��

CBCB

�131

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

Ficha de evaluación

1. Dibuja los desarrollos planos del tetraedro y del dodecaedro.

2. Clasifica estos cuerpos geométricos y calcula sus áreas.

3. Halla el área del cuerpo geométrico que se obtiene al girar al-rededor de un eje la figura plana de la derecha.

4. Calcula el área de una esfera inscrita en un cubo de 5 cm de arista.

5. Averigua si un lápiz de 10,5 cm cabe en esta caja

6. Haz las transformaciones siguientes utilizando factores de conversión.

35 m3 = .................... dm3 0,05 m3 = .................... hm3 5 km3 = .................... dam3 38,24 cm3 = .................... m3

7. Ordena de mayor a menor estas cantidades: 49 000 000 cm3, 6 100 000 000 mm3 y 0,0058 dam3.

8. Calcula los volúmenes de los siguientes cuerpos geométricos.

9. Descompón esta figura en otros cuerpos geométricos más sencillos y calcula sus volúmenes.


5�Ficha

7 cm 6 cm5 cm

12 cm8 cm

12cm

5 cm

a bc

Eje de revolución

8 cm

6 cm

4 cm

12 cm

19,27 cm

6,88 cm

18 cm

10 cm

b7 cm

8 cm

8 cm10 cm

6 cm5 cm

5 cm

a c d

8,54 cm

6 cm8 cm

99

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Refuerzo

Recuerda que dos triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

1. Observa los triángulos ABC y A�B�C� de la figura de la derecha.

Resuelve:

a) Mide sus ángulos. ¿Qué observas?

b) Mide sus lados, calcula los cocientes indicados y explica qué observas.

c) Completa:

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos .............................. y los lados ..............................

2. Observa los cuadriláteros ABCD y A�B�C�D� de la figura de la derecha.

a) Calcula estos cocientes.

b) Calcula estos cocientes.

c) Calcula los siguientes ángulos.Â�

^B� C� D�

Â

^B C

^D

d) Completa:

Los dos polígonos tienen los .............................. proporcionales y los .............................. iguales; por lo tanto, son polígo-nos ...............................

e) Calcula las razones siguientes.

f) Completa:

La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de ..........................., y la razón de susáreas es igual al ............................. de la razón de semejanza.

P

P

A B B C C D D A

AB BC CD DA

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ++ + +

A

AA

ABCD

′ ′ ′ ′B C D

A B

AB

B C

BC

C A

CA

D A

DA

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′, , ,

OA

OA

OB

OB

OC

OC

OD

OD

′ ′ ′ ′, , ,

A B

AB

B C

BC

C A

CA

′ ′ ′ ′ ′ ′, ,


1Triángulos y polígonos semejantes

Ficha

��

�

C

A B

B ′

C ′

A ′

C

BD

A

O

C ′

B ′

A ′

D ′


5

© grupo edebé

Otros recursos para la evaluación, que incluyen:

• Evaluación inicial, ficha fotocopiable para evaluar los conocimientos previos del alumnado. En el re-verso se incluye su solución.

• Indicadores para la evaluación continua de las capacidades que han de alcanzar los alumnos y lasalumnas, estructurados por trimestres.

• Prueba final de competencias básicas, con la solución en su reverso.

La materia de Matemáticas y las TIC, con una descripción de las tecnologías de la información y la comunicación y su tratamiento en la materia de Matemáticas.

Solucionario de las actividades del libro del alumno.

287

Eva

luació

n d

e c

om

pete

ncia

s

© grupo edebé

Evaluación de competencias

1. a)

El jugador 2 es el que llega antes a recoger la

caja.

b) El otro jugador se encuentra a 13 pasos de la

caja.

2. —

La masa de la Tierra es 81 224,5 veces mayor

que la de la Luna.

—

La masa de la Luna es un 0,00123 % de la

masa de la Tierra.

3. Tejanos: 40 − 0,15 · 40 = 34 ∑

Camisas: 50 − 0,2 · 50 = 40 ∑

Los tejanos valen 34 ∑ y las camisas, 40 ∑.

Unos pantalones y dos camisas costarán 114 ∑.

4. Podemos sumar los euros enteros y después

añadirle aproximadamente el importe de los cén-

timos.

5. a)

b)

c)

El mejor precio es el del agricultor c).

6. b) y c) son necesariamente ciertas y d) es necesa-

riamente falsa.

7. El joven va a una velocidad de 2 m/s y la cinta

transportadora va a 1 m/s. Cuando la cinta fun-

ciona, el joven avanza a 3 m/s. Por lo tanto, tarda-

rá 10 segundos en recorrer los 30 m.

8. Hallamos la fracción de chicos que hay:

Llamamos x a los alumnos de clase:

El grupo está formado por 30 alumnos.

9. Calculamos la parte que le queda por recorrer

para llegar a la tercera parte del trayecto:

Llamamos x a la distancia buscada:

La distancia entre la escuela y la biblioteca es

300 m.

10. a) 2 + 10 · 0,3 + 10 · 0,5 =

= 2 + 3 + 5 = 10

La puntuación de una persona que ha acerta-

do todas las preguntas es 10 puntos.

b) 2 + 10 · (− 0,05) + 10 · (− 0,15) =

= 2 − 0,5 − 1,5 = 0

La puntuación de una persona que se ha equi-

vocado en todas las preguntas es 0 puntos.

c) 2 + 6 · 0,3 + 4 · (− 0,05) + 7 · 0,5 + 3 · (− 0,15) =

= 2 + 1,8 − 0,2 + 3,5 − 0,45 = 6,65

Ana ha obtenido 6,65 puntos.

2

1540

40 15

2300· x x= ⇒ =

⋅=

1

3

1

5

5

15

3

15

2

15− = − =

3

518

18 5

330· x x= ⇒ =

⋅=

12

5

5

5

2

5

3

5− = − =

3 75

250 15

,, /= ∑ kg

3

100 3= , /∑ kg

0 5

250 2

,, /= ∑ kg

7 35 10

5 97 10100 0 00123

22

27

,

,, %

⋅⋅

⋅ =

5 97 10

7 35 1081224 5

27

22

,

,,

⋅⋅

=

�Solucionario

Instrucciones

Jugador 1

Posicióninicial

Posiciónfinal

Avanza 8 pasos −25 −17

Retrocede 6 pasos −17 −23




Retrocede 1 paso −11 −12

Instrucciones

Jugador 2

Posicióninicial

Posiciónfinal

Retrocede 8 pasos 25 17

Avanza 2 pasos 17 19


Avanza 1 paso 0 1

Retrocede 6 pasos 1 −5


164

© grupo edebé

T erc

er t

rim

estr

e

Reconoce los elementos básicos de la geometría, punto, recta y plano,así como los de segmento, semirrecta y semiplano.

Determina rectas y planos en el espacio.

Determina la posición relativa de dos rectas.

Determina la posición relativa de una recta y un plano.

Determina la posición relativa de dos planos.

Expresa la medida de los ángulos en forma compleja e incompleja.

Clasifica los ángulos diedros.

Calcula la medida de ángulos diedros.

Conoce el concepto de ángulo poliedro.

Conoce todos los poliedros regulares.

Identifica los poliedros regulares, los no regulares (prismas y pirámides)y los cuerpos de revolución.

Entiende los conceptos de área y de volumen.

Conoce las unidades de área y volumen y las equivalencias entre ellas.

Utiliza factores de conversión para transformar unas unidades de áreay de volumen en otras.

Sabe hallar la forma compleja de una medida de área o de volumenexpresada en forma incompleja, y viceversa.

Compara y opera con medidas de área y de volumen expresadas endiferentes unidades.

Calcula áreas de figuras planas (polígonos, figuras circulares y figurascombinadas).

Calcula el área y el volumen de cuerpos geométricos (poliedros regulares,prismas regulares rectos y pirámides regulares).

Calcula el área y el volumen de cuerpos de revolución (cilindros, conosy esferas).

Expresa los resultados numéricos de las mediciones acompañados dela unidad correspondiente.

Calcula áreas y volúmenes de forma aproximada, cuando es necesario.

Reconoce la dependencia de magnitudes y la expresa mediante unenunciado verbal, una tabla, una gráfica o una fórmula.

Distingue entre variable dependiente y variable independiente.

Obtiene imágenes y antiimágenes gráfica y analíticamente.

Confecciona tablas de valores de funciones y construye la gráfica.

Interpreta las características de una función a partir de su gráfica.

Identifica una función lineal asociada a una proporcionalidad directa ycalcula su pendiente.

Identifica una función de proporcionalidad inversa y calcula la constantede proporcionalidad inversa.

Maneja los conceptos básicos de estadística: población, muestra yvariable estadística.

Distingue las variables cualitativas de las cuantitativas.

Maneja de forma correcta las diferentes formas de presentar los datos,en tablas y gráficas.

Realiza estudios estadísticos mediante la elaboración de una encuestay la selección de una muestra.

Calcula los parámetros de centralización de una muestra de una variablecuantitativa.

Interpreta correctamente los resultados, gráficos y numéricos, deltratamiento de un problema estadístico.

Utiliza calculadoras y programas informáticos para construir tablasy gráficos.

Reconoce la importancia del trabajo colectivo en la realizacion detrabajos y estudios.

Utiliza distintas estrategias en la resolución de problemas.

Geo

met

ríaTr

atam

ient

o d

e la

info

rmac

ión

y d

el a

zar

Indi

cado

res

rela

cion

a-do

s co

n lo

s ob

jetiv

osde

la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otr

os

Valoración global

201

2. F

raccio

nes

y n

úm

ero

s d

ecim

ale

s

© grupo edebé

82.

El primer móvil recorre 20 m en 1 s.

El segundo móvil recorre 25 m en 1 s.

Demuestra tu ingenio

Llena y vacía recipientes

Hay varias soluciones posibles. Una de ellas es la que

se presenta a continuación, indicando con tres valo-

res la cantidad de agua que va quedando en cada re-

cipiente:

Así, podemos obtener un volumen de agua de 6 litros.

Las monedas

Cualquier número entero del 20 al 100 puede expre-

sarse como la suma de un múltiplo de 20 más un nú-

mero entero entre el 1 y el 20. Necesitaremos, por lo

tanto, 4 monedas de 20 céntimos, más las monedas

necesarias para expresar cualquier cantidad entre el

1 y el 20. Cualquier número entero del 10 al 20 puede

expresarse como la suma de 10 más un número me-

nor o igual que 10. Cogemos, por ello, una moneda

de 10 céntimos, y formamos los otros 10 cts. con una

moneda de 5 céntimos, dos de 2 cts. y una de 1 cén-

timo.

Por lo tanto, tomaremos 4 monedas de 20 cts., una

de 10 cts., una de 5 cts., dos de 2 cts. y una de

1 céntimo.

Un regalo en una caja

Se trata de hallar dos números que sumados den 8 y

cuya diferencia sea 7. Procederemos por tanteo, dado

que en este curso aún no se han estudiado las ecua-

ciones.

Los valores buscados son 0,5 y 7,5, que cumplen las

condiciones del enunciado.

Divide y vencerás

El «truco» consiste en escribir las cifras en numera-

ción romana y «partirlas» por la mitad, a modo de frac-

ción, quedándonos con el numerador. Así, de IX se

pasa a IV y de XII se pasa a VII.

Puede ser el 8 (insertando una raya por su mitad).

Cuadriatlón

La suma de todas las fracciones de la duración de la

sesión de entrenamiento tiene que ser igual a la uni-

dad. Todos los intervalos de tiempo se nos dan en

fracciones, excepto el intervalo de la carrera a pie.

Buscamos la fracción correspondiente a la carrera a

pie. Es igual a la unidad menos la suma de las fraccio-

nes restantes:

Esta fracción es igual a 45 minutos; por tanto, el tiem-

po total es justo 10/3 de 45 minutos:

minutos, que es igual a 2 horas y media.

Evaluación

1.

10

345 150⋅ =

11

6

1

3

1

51

5 10 6

30

3

10− + +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − + + =

5

81000 625

5

1260 25

625

2525

de

de

=

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

3

51000 600

1

260 30

600

3020

de

de

=

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

Recipiente 1.º 2.º 3.º

Capacidad 7,5 2 5,5

Situación inicial 7,5 0 0

Se llena el 3.er recipiente 2 0 5,5

Se llena el 2.º con el 3.º 2 2 3,5

Se llena el 2.º en el 1.º 4 0 3,5


Se vacía el 2.º en el 1.º 6 0 1,5

–2 61

17

342–36

18752

13

28572

143

==

=

–

–

–1 0 1 2

a b c) ; ) ; )− −1

2

6

5

17

13

163

© grupo edebé

Seg

und

o t

rim

estr

e

Utiliza las propiedades de las proporciones para calcular nuevas proporciones.

Calcula el cuarto, el tercero y el medio proporcional.

Identifica relaciones de proporcionalidad directa.

Aplica la regla de tres simple en problemas de proporcionalidad directa.

Resuelve problemas de proporcionalidad utilizando el método dereducción a la unidad.

Resuelve problemas que implican un reparto directamente proporcional.

Identifica relaciones de proporcionalidad inversa.

Aplica la regla de tres simple en problemas de proporcionalidad inversa.

Utiliza conceptos matemáticos como proporcionalidad, porcentajese interés para interpretar y transmitir información.

Aplica la proporcionalidad en problemas de porcentajes, intereses y descuentos.

Identifica segmentos proporcionales.

Utiliza el teorema de Tales.

Halla los segmentos cuarto proporcional a tres dados y terceroproporcional a dos dados aplicando el teorema de Tales.

Reconoce triángulos en posición de Tales.

Reconoce los triángulos rectángulos y la relación que se establece entresus lados.

Realiza construcciones geométricas con programas informáticos.

Reconoce figuras geométricas semejantes y calcula la razón desemejanza.

Construye polígonos semejantes por triangulación y por radiación.

Calcula y aplica la razón de semejanza entre dos figuras para hallar la medida de sus segmentos o ángulos.

Establece relaciones numéricas entre las razones de perímetros y áreas de figuras semejantes y la razón de semejanza.

Construye figuras semejantes por el método de la cuadrícula.

Conoce el concepto de escala y calcula longitudes y superficies a partirde representaciones hechas a escala.

Calcula la equivalencia entre las formas simples y complejas de lasmedidas de tiempo y ángulo.

Utiliza correctamente los términos propios de la geometría.

Confía en sus capacidades para percibir el espacio y resolver problemasgeométricos.

Reconoce y valora la utilidad de la geometría para expresar situacionesrelativas al entorno.

Persevera en la búsqueda de soluciones en los problemas geométricos.

Presenta de forma clara y ordenada las construcciones y los trabajosgeométricos.

Geo

met

ríaAr

itmét

ica

y ál

gebr

aIn

dica

dore

s re

laci

ona-

dos

con

los

obje

tivos

de la

mat

eria

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global

162

© grupo edebé

Pri

mer

tri

mes

tre

Utiliza los números enteros para expresar situaciones cotidianas.

Interpreta y utiliza la notación de potencias.

Efectúa correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones connúmeros enteros.

Opera con potencias de base y exponente enteros.

Calcula raíces cuadradas enteras.

Conoce la jerarquía de las operaciones y las reglas de uso de losparéntesis y corchetes en �.

Utiliza la notación científica para expresar números muy grandes o muypequeños.

Utiliza los números fraccionarios con signo para expresar situacionescotidianas.

Reconoce y obtiene fracciones equivalentes.

Halla la fracción irreducible equivalente a una dada.

Representa fracciones sobre la recta y las ordena.

Opera correctamente con fracciones.

Aplica correctamente la jerarquía de las operaciones al realizar cálculoscon fracciones.

Halla la expresión decimal correspondiente a una fracción.

Clasifica los números decimales.

Efectúa operaciones con números decimales.

Calcula la fracción generatriz de un número decimal.

Aproxima los números decimales por redondeo.

Calcula el error cometido en una aproximación.

Traduce al lenguaje algebraico enunciados verbales sencillos.

Conoce y utiliza la nomenclatura propia del lenguaje algebraico.

Realiza operaciones con expresiones algebraicas sencillas.

Resuelve ecuaciones sencillas por tanteo, razonamiento inverso...

Resuelve ecuaciones de primer grado por métodos algebraicos.

Justifica matemáticamente todos los pasos realizados en la resoluciónde una ecuación de primer grado.

Obtiene las soluciones de una ecuación de primer grado con dosincógnitas y las representa gráficamente.

Resuelve gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones deprimer grado con dos incógnitas.

Clasifica los sistemas según el número de soluciones.

Resuelve problemas utilizando ecuaciones de primer grado o sistemasde ecuaciones.

Valora la utilidad del lenguaje numérico y algebraico en los distintosámbitos.

Es constante en la búsqueda de soluciones correctas.

Selecciona la estrategia de resolución más adecuada para solucionar unproblema determinado.

Revisa el resultado de cualquier cálculo o problema numérico.

Utiliza las nuevas tecnologías de la información en la resolución deproblemas, en particular para comprobar los resultados.

Aritm

étic

a y

álge

bra

Indi

cado

res

rela

cion

a-do

s co

n lo

s ob

jetiv

osde

la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global

203

3. E

cu

acio

nes

co

n u

na in

có

gn

ita

© grupo edebé


Actividad inicial

Sin plantear todavía una ecuación podemos razonar

de la siguiente manera: Si el lado desigual del triángu-

lo es una parte del total del perímetro, cada uno de los

dos lados iguales serán tres partes de ese total. Por lo

tanto, hemos dividido el perímetro en 7 partes iguales

(1 + 3 + 3), cada una de ellas de 210/7 = 30 m. Así, el

jardín tendrá un lado de 30 m y dos lados de 90 m

(30 · 3) cada uno.


• El doble de 6 es 6 · 2 = 12.

El triple de 12 es 12 · 3 = 36.

La quinta parte de 25 es 25 : 5 = 5.

— Doble: 2 · a

Triple: 3 · a

Quinta parte:

• La expresión general del área de un círculo de radio

r es S = π · r 2. Por lo tanto, la superficie de un círculo

de 5 cm de radio es S = π · 52 = 78,54 cm2.

• a) Alumnos de Secundaria = 336 − 15 = 321

b) Alumnos de Secundaria = a − 15

•

Actividades

1.

2. a) El doble de a menos el doble del cuadrado

de b.

b) Menos a más tres b.

c) El cuadrado de la suma de a más b.

d) La suma de los cuadrados de a y b es igual

a 25.

e) a más la mitad de b es igual a 18 más a.

f) El doble del cuadrado de a más su cubo es

igual a 96.

3. a) −4; b) 7

4. a) 3 a − 2b + b2; b) 2x + 2xy + 6y;

c) −2x + xy + 3y ; d) 7x2 − xy

5. a) 15x3y; b) 2 a3+ 6 a2b ; c) 2x2+ 5x + 3

6. a) a (2b + 5c − a) ; b) 5x (1 + 2y + xy)

7. a) x2+ 8x + 16 ; b) a2 − 10a + 25;

c) a2 − 4 ; d) x2 − y2

8. a) 4 + 12x + 9x2; b) 4 a2b2 + 12 a2b + 9 a2;

c) 4 a2 − 4ab + b2; d) 4 x2y 2z2 − 4xyz + 1

9. a) (1 + x)2; b) (3 + x)2; c) (2 − x)2; d) (y − 3x)2

10. a) x2 − 4y2; b) a2b2 − 4c2

11. a) (2 + xy) � (2 − xy) = 4 − x2y2;

b) (ab + 3) � (ab − 3) = a2b2 − 9

12. La incógnita de la ecuación es x, el primer miem-

bro es 5 (x + 2) y el segundo miembro es 3x + 14.

La solución a la ecuación es x = 2.

13. a) Son equivalentes: x = 2

b) No son equivalentes.

14. a) La solución es x = 2.

b) La solución es x = 8

15. a) Llamamos x al número que buscamos y aplica-

mos el método de razonamiento inverso:

3 x + 5 = 17 ⇒ x = (17 − 5) : 3 = 4

Por lo tanto, el número buscado es x = 4.

b) Llamamos x al número que buscamos y aplica-

mos el método de razonamiento inverso:


16. a) 4 ; b) ; c) −1 ; d) 4

17. Transposición de términos: 13 − 7 = 2x +x

Reducción de términos semejantes: 6 = 3x

Despeje de la incógnita: x = 2

18. a b c d e f) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )2725

13

11

4

4

54 8

3

5

xx

33 11 11 3 3 42− = ⇒ = + ⋅ =( )

a ab

b x y

c a a da

) ; ) ( ) ;

) ; )

22

2

3 4 5315

10090

3 2+ ⋅ +

+ = − =

2 3 4 31

22 9 6

18 6 24

2⋅ − − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − =

= + =

( ) ( ) ( )

a

5

�Solucionario

193

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

78. 10 segundos son la sexta parte de 1 minuto. Cal-culamos los metros que se desplaza el ascensoren 10 segundos:

30 : 6 = 5

En 10 segundos el ascensor se desplaza 5 m.

Calculamos la nueva altura a la que se halla:

20 – 5 = 15

El ascensor se halla a 15 m de altura.

79. m.c.m. (2, 7, 11) = 154

4 m = 400 cm

5 m = 500 cm

La longitud de la cinta es un múltiplo de 154 com-prendido entre 400 y 500.

154 · 3 = 462

La longitud de la cinta es 462 cm.

80. a) M.C.D. (15, 20, 35) = 5

Podrá preparar 5 bolsas.

b) 15 : 5 = 3

20 : 5 = 4

35 : 5 = 7

En cada bolsa habrán 3 caramelos de menta, 4 de fresa y 7 de naranja.

81. a) 85 = 5 · 17

51 = 3 · 17

El precio del libro de lectura es 17 ∑.

b) El primer grupo está formado por 5 compañe-ros y el segundo por 3 compañeros.

84. a) La raíz cuadrada entera de 59 es 7.

Habrán 7 bolas en cada fila y 7 bolas en cadacolumna.

Calculamos el número de bolas que sobrarán:

72 = 49

59 − 49 = 10

Sobrarán 10 bolas.

b) 82 = 64

64 − 59 = 5

Faltan 5 bolas para formar un cuadrado con 8 bolas en cada fila y 8 bolas en cada colum-na.

85. 152 + 20 = 245

86. 1 444 = 382


Un truco de magia

Se da a cada una de las cuatro cartas secundarias elvalor que figura en la casilla superior izquierda. Sesuma este valor de aquellas cartas en las que se digaque sí aparece la figura escogida. El valor de estasuma corresponde al número de la figura escogida enla carta principal.

Mensajes cifrados

17 es S; 04 es I; −2 es B; −3 es E; 05 es L; 04 es I; −8 es U; 17 es S. Por tanto, resulta: SIBELIUS.

Consigue un gran número

Será una potencia, utilizando como base el númeromayor, es decir el 9, y como exponente el número másgrande que se pueda obtener, que será otra potenciade base 9 y exponente también 9.

La expresión del número sería:

Con cuatro 4

¿Qué números son?

Que el producto de tres números distintos sea 16,sólo es posible con el 1, el 2 y el 8, o bien los númerosque resulten de poner dos de ellos con signo negativodejando el otro positivo. Para que la suma sea −7, seha de considerar esta segunda opción, y esto sucedecon los números −1, 2 y −8.

Evaluación

1. a) −20; b) −112; c) −1 202

2. a) 311; b) −27; c) (−5)7; d) −4−13

3. 2,34 � 108; 4,3 � 10−2; −3,245 � 108;9 � 1010; 1,2 � 1013

4. El número buscado es 2 � 3 = 6.

4 4 4 4 4 54 4 4

4

64 4

44 7

44

44

8 4 44

= − ⋅ + = ⋅ +

= + + = −

= + ⋅

( ) ;

;

449 4 4

4

4

1044 4

411

44

4 4

12 4 4 4 4

;

;

= + +

= − =+

= ⋅ + +( )

9 99( )

189

1. N

úm

ero

s en

tero

s

© grupo edebé

1. Números enteros

Actividad inicial

Masa de la Tierra:

5980 000000000000000 000000 kg

Masa de un electrón:

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000000 91095 kg

La notación científica nos permite escribir y leer nú-

meros muy grandes o muy pequeños con mayor faci-

lidad.


• Primero se efectúan las operaciones indicadas den-

tro del paréntesis, a continuación, las multiplicacio-

nes y las divisiones en el orden en que aparecen y,

por último, solucionamos las sumas y las restas.

• a) 9 ×�� (12 + 8) + 6 : 2 = 9 ×�� 20 + 3 = 183

b) 425 − 12 × 28 + 4 × (28 − 7) =

= 425 − 12 × 28 + 4 × 21 = 425 − 336 + 84 =

= 173

•

−12 < −8 < −5 < −3 < +2 < +6 < +7 < +9

• a) 35; b) 94

• a) 45; b) 54; c) 610

•

Actividades

1. Enteros positivos: +9, +12, +5, +10

Enteros negativos: −6,−4,−9,−14,−15,−13,−8

−15 � −14 � −13 � −9 � −8 �� −6 � −4 � +5 � +9 � +10 � +12

−15 tiene el valor absoluto mayor, �−15 � = 15, y

−4 el menor, �−4 � = 4.

2. −9, +6, +4, −12, +9, −5, −10, +14, +15, +13, +8

3. a) (−7) + (−9) + (−3) = (−16) + (−3) = −19

b) (−14) + (+8) + (+5) = (−6) + (+5) = −1

c) (+23) + (−17) = +6

d) (−9) + (−16) = −25

4. a) +3 + (−7) + 12 + (−8) + 4 = −4 + 12 + (−8) + 4 =

= 8 + (−8) + 4 = 0 + 4 = 4

+3 + 12 + 4 = +19

(−7) + (−8) = (−15)

+19 + (−15) = +4

b) −6 + 25 + (−14) + (−7) + 4 + (−3) =

= +19 + (−14) + (−7) + 4 + (−3) =

= +5 + (−7) + 4 + (−3) = −2 + 4 + (−3) =

= 2 + (−3) = −1

+ 25 + 4 = 29

−6 + (−14) + (−7) + (−3) = −30

29 + (−30) = −1

5. a) 9 − 12 = −3

b) −25 + 25 = 0

c) 95 + 22 = 117

d) 12 − 34 = −22

6. (+4) − (−7) = 4 + 7 = 11

(−7) − (+4) = −7 − 4 = −11

La resta no cumple la propiedad conmutativa.

7. a) 5 − 8 − 13 − 4 = −20

b) −9 − 3 − 11 − 1 = −24

c) −3 + 9 + 8 + 4 = 18

d) 12 + 6 + 7 − 5 = 20

e) −6 − 15 + 4 − 4 = −21

f) −2 − 9 + 6 + 1 = −4

g) 23 + 12 − 7 − 6 = 22

h) −12 + 6 + 2 + 1 = −3

8. a) 5 · (−8) = −40; (−8) · 5 = −40

b) −12 · (−5) = 60; (−5) · (−12) = 60

c) −6 · 9 = −54; 9 · (−6) = −54

d) 15 · 3 = 45; 3 · 15 = 45

9. a) −4 · (8 − 5) = −4 · 3 = −12

−4 · 8 − (−4) · 5 = −32 + 20 = −12

b) 5 · (4 + 3) = 5 · 7 = 35

5 · (4 + 3) = 5 · 4 + 5 · 3 = 20 + 15 = 35

c) −9 · (−2 − 7) = −9 · (−2) − (−9) · 7 = 18 + 63 = 81

−9 · (−2 − 7) = −9 · (−9) = 81

a b

c

) , ...; ) , ...;

)

351 18 73 1549 39 35

24 680 15

= =

= 77 09, ...

�Solucionario

0 +2 +6 +7 +9–5–8–12 –3

0–8–14

+5 +9 +12

+10...

–4–6–9–13–15

...

160

© grupo edebé

10. a) Sí. Porque al dividir cada valor de y por elcorrespondiente valor de x, se obtiene siempreel mismo resultado.

b) y = 38 · 35 = 1330

11.

Las rectas BD y CD son perpendiculares.

12. El ángulo complementario es 51° 44 ′ 13 ′′.

El ángulo suplementario es 141° 44 ′ 13 ′′.

13. 360° : 72º = 5 lados. Se trata de un pentágono regular.

Calculamos el perímetro del pentágono:

P = 12 · 5 = 60 cm

Calculamos el área:

14. Descomponemos la figura en un triángulo y dosrectángulos. El área total de la figura será la sumade las áreas de estas tres figuras.

— Calculamos el área del triángulo (A1):

b1 =36 − 18 − 6 = 12 cm

— Calculamos el área del rectángulo menor (A2):

b2 = 36 − 18 = 18 cm

h2 = 18 − 12 = 6 cm

A2 = b2 · h2 = 18 · 6 = 108 cm2

— Calculamos el área del rectángulo mayor (A3):

b3 = 36 − 18 = 18 cm

A3 = b3 · h3 = 18 · 12 = 216 cm2

— El área total es:

A1 + A2 + A3 = 72 + 108 + 216 = 396 cm2

15. A = π ·r2 = 3,14 · (3,5 m)2 = 38,47 m2

16.

(−3, 4): pertenece al segundo cuadrante.

(−2, −2): pertenece al tercer cuadrante.

(5, −1): pertenece al cuarto cuadrante.

(3, 4): pertenece al primer cuadrante.

Los puntos (0, 4) y (−3, 0) pertenecen a los ejes decoordenadas.

17. a) La velocidad máxima es de 45 km/h. El movi-miento dura 75 s.

b) A los 15 s su velocidad es de 35 km/h. La velo-cidad es de 40 km/h en los instantes t = 18 s yt = 62 s.

c) La velocidad aumenta en el intervalo de 0 a 20 s.

Ab h

11 1 2

2

12 12

272=

⋅= ⋅ = cm

AP ap

=⋅

= ⋅ =2

60 10

2300 2cm

y k x ky

x= ⋅ ⇒ = = =95

2 538

,

Evaluación inicial (segunda parte)

Solucionario�

AB

C

D

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

–1 1 2 3 4 5 6–2–3–4

159

© grupo edebé


10. Esta tabla muestra la dependencia entre dos magnitudes.

a) ¿Se trata de magnitudes directamente proporcionales? Razona la respuesta. En caso afirmativo, calcula

la constante de proporcionalidad.

b) ¿Qué valor de y corresponde a un valor de x igual a 35?

11. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los puntos de la figura siguiente e indica si hay dos

rectas perpendiculares.

12. Calcula el ángulo complementario y el suplementario del ángulo ^A = 38°15 ′47′′ .

13. Calcula el área del polígono regular de 12 cm de lado, 10 cm de apotema y cuyo ángulo central mide 72°.

14. Halla el área de esta figura.

15. ¿Qué área ocupa un estanque circular cuyo diámetro mide 7 m?

16. Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos e indica en qué cuadrante está cada situado

cada uno.

(−3, 4) , (0, 4) , (−2, −2) , (−3, 0) , (5, −1) , (3, 4)

17. La gráfica de la derecha representa la variación de la velocidad de una motocicleta en función del tiempo para

un trayecto entre dos calles de una ciudad.

a) ¿Qué velocidad máxima alcanza la motocicleta? ¿Cuán-

to tiempo dura este trayecto?

b) ¿Qué velocidad lleva a los 15 segundos? ¿En qué instan-

te la velocidad es de 40 km/h?

c) ¿Durante qué intervalo de tiempo la velocidad aumenta?


�

x 0 2,5 5 7,5 10 12,5

y 0 95 190 285 380 475

A B

C D

18 cm 6 cm

36 cm

12

cm

12

cm

18

cm

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80

V (km/h)

t (s)

168

© grupo edebé

8. La torre y la señal de tráfico, y sus respectivassombras, forman dos triángulos semejantes. Sillamamos h a la altura de la torre, por semejanzade triangulos, deberá cumplirse:

La torre mide 8 m de altura.

9.

Calculamos la apotema delhexágono que forma labase del prisma aplicandoel teorema de Pitágoras.

El perímetro del hexágono es:

P = 6 · 2 = 12 cm

Calculamos el área del hexágono que forma labase del prisma.

Calculamos el área lateral del prisma.

Alateral = P · h = 12 · 6 = 72 cm2

Finalmente, calculamos el área total del prisma.

AT = Alateral + 2 · Abase = 72 + 2 · 13,44 = 98,88 cm2

Necesitaremos un mínimo de 98,88 cm2 de cartulina.

10. — Calculamos el volumen de la piscina.

V = 15 · 6 · 2 = 180 m3

Aplicamos factores de conversión para expre-sar el volumen en litros.

Se necesitan 180 000 litros para llenar la pisci-na hasta 10 cm del borde.

— Aplicamos factores de conversión.

Se tardan 4,16 días en llenar la piscina.

— Aplicamos, de nuevo, factores de conversión.

Llenar la piscina nos costará 153 ∑.

11. a) s = v · t ; s = 40 t

b)

c)

En 20 minutos habremos recorrido 13,33 km.

12. a)

b) moda = 6 ; media aritmética = 6,16

13. —

— El porcentaje de socios que votaron a Clara es:100 − 11 − 3 − 33 − 21 = 32 %que corresponde a: 400 · 0,32 = 128Votaron a Clara 128 socios.

21

100

84 84 100

21400= ⇒ = ⋅ =

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201

600 33

40 0 33 13 33

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1

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= ⋅ =2

12 2 24

213 44 2,

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2 2

2

2 2

2

2 1 5

5 2 24

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⎝⎜⎞

⎠⎟=

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hh

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12 2

38= ⇒ = ⋅ = m

Prueba final de competencias básicas (segunda parte)�Solucionario

2 cm

6 cm

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2

20 40 60 80 t (min)

10

20

30

40

50

s (km)

NotaFrecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frec.relativaacumul.

2 1 1 0,042 0,042

4 2 3 0,083 0,125

5 5 8 0,208 0,333

6 6 14 0,25 0,583

7 5 19 0,208 0,791

8 3 22 0,125 0,916

9 2 24 0,083 1

167

© grupo edebé

Prueba final de competencias básicas (segunda parte)

8. Calcula la altura de una torre que proyecta una sombra de 12 m sabiendo que, a la misma hora, una señal detráfico de 2 m de altura proyecta una sombra de 3 m.

9. Calcula la cantidad de cartulina necesaria para construir un prisma hexagonal de 2 cm de arista de la base y 6 cm de altura.

10. Una piscina rectangular mide 15 m × 6 m y 2,10 m de profundidad.

— ¿Cuántos litros son necesarios para llenarla dejando un margen de 10 cm desde el borde?

— Si el caudal del grifo de llenado es de 30 litros por minuto, ¿cuánto tiempo necesitaremos para llenarla?

— Si cada m3 cuesta aproximadamente 0,85 ∑, ¿cuánto nos costará llenar la piscina?

11. Nos desplazamos en bicicleta a una velocidad de 40 km/h.

a) Escribe la expresión que nos da la distancia recorrida enfunción del tiempo.

b) Representa gráficamente el movimiento: en el eje de abs-cisas el tiempo y en el eje de ordenadas la distancia re-corrida.

c) ¿Qué distancia habremos recorrido en 20 minutos?

12. Un estudiante ha obtenido las siguientes notas en las pruebas de matemáticas realizadas durante el curso:

5, 7, 9, 7, 6, 2, 5, 6, 6, 4, 7, 6, 7, 8, 8, 5, 6, 8, 4, 5, 7, 9, 5, 6

a) Construye la tabla de distribución de frecuencias.

b) Indica el valor de la moda y calcula la media aritmética.

13. Los resultados de las elecciones para elegir al presidente de la junta de un club recreativo son los siguientes:

— Si a Daniel le han votado 84 socios, ¿cuál es el número total de socios del centro?

— ¿Cuántos socios del centro votaron a Clara?


�

12 m

2 m

3 m

h

40 km/h

Daniel21%

Víctor32%

Clara

Abstención11%

Nulos3%


6

© grupo edebé

Secciones generales de las unidades del libro del alumno

Las páginas de las unidades del libro del alumno contienen unas secciones cuya estructura y finalidadse mantienen:

• Actividad inicial

Plantea una actividad en la que se aplican los contenidos de la unidad en una situación cotidiana. Elalumno/a puede intentar resolverla antes de comenzar el estudio de la unidad, utilizando las estrategiasque conoce en ese momento, para tener conciencia de sus capacidades y sus limitaciones. Fomenta deesta manera la motivación de los alumnos por los nuevos contenidos de la unidad.

• Preparación de la unidad

Se trabajan los conceptos y los procedimientos necesarios para el estudio de la unidad.

• Resolución de problemas

Muestra una estrategia de resolución de problemas. La estrategia mostrada es distinta en cada unidad.

• En resumen

Ofrece un resumen de los principales contenidos de la unidad y un esquema que muestra la relaciónentre éstos. Los alumnos y las alumnas deberán analizar o completar dicho esquema.

Es importante que el profesor/a muestre la relación entre el esquema que aparece en esta página y elíndice de la unidad.

• Ejercicios y problemas

Pueden proponerse una vez finalizado el trabajo sobre la unidad; no obstante, a juicio del profesor/a,también pueden proponerse al finalizar alguno de los apartados, para consolidar su aprendizaje.

• Demuestra tu ingenio

Plantea actividades en las que el alumno/a pondrá a prueba su ingenio aplicando diferentes procedi-mientos y estrategias para resolver acertijos, enigmas, juegos, problemas…

• Evaluación

Permite comprobar la adquisición de los contenidos básicos propuestos y, en consecuencia, la asimi-lación de los objetivos previstos al comienzo de la unidad.

• Sección de historia

Permite a los alumnos conocer la evolución histórica de algunos de los conceptos que se estudian enla unidad.

• Crónica matemática

Presenta un conjunto de noticias, curiosidades, anécdotas, hechos históricos… relacionados con te-mas estudiados en la unidad.


Proyecto edebé deMatemáticas

I. El proyecto educativo de Edebé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II. El proyecto de la materia de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

01 proyecto mates 2.qxp 1/8/08 16:42 Página 7

9

© grupo edebé

I. El proyecto educativo de Edebé�1. PREÁMBULO-PRESENTACIÓN

Edebé, con una larga tradición editorial en el ámbito de la educación, quiere dar a conocer a la comu-nidad educativa el proyecto educativo que orienta su trabajo y rige la creación de sus libros y otros ma-teriales formativos.

La editorial se abre a la nueva sociedad y quiere contribuir a dar respuesta a las demandas y los retosque ésta tiene planteados en relación con:

— Calidad y equidad de educación, en una nueva sociedad del conocimiento.

— Formación de ciudadanos comprometidos con valores sociales y éticos, capaces de convivir demanera positiva en la realidad multicultural actual.

— Capacitación profesional de la juventud y formación continuada a lo largo de toda la vida.

— Enriquecimiento cultural de la juventud en los espacios de ocio y tiempo libre.

En su proyecto educativo, Edebé expone sus finalidades formativas, los principios que inspiran su pro-ducción y cómo estos principios se han concretado en sus materiales didácticos para las diversas eta-pas educativas.

El proyecto educativo Edebé:

— Razón de ser:

• Orienta y rige el trabajo editorial.• Da respuesta a las demandas de la socie-

dad.

— Apunta a unas finalidades: la educación in-tegral de la persona.

— Se apoya sobre unos principios educativos:educación como proceso de construcciónpersonal, educación personalizada…

— Se concreta en una vocación de servicio ala educación:

• De los jóvenes: en las diversas etapas, condiversidad de materiales y variedad de so-portes.

• De los educadores: profesores, padres…

— Culmina en la elaboración de un proyectode vida personal vinculado a valores, quemueve a la acción en la sociedad.

�

�

Proyecto educativo Edebé— Orienta y rige el trabajo editorial.— Respuesta a las demandas de la sociedad.

Finalidades Principios

Al servicio de la educación

De los jóvenes De los educadores

Proyecto de vida

Acción en la sociedad


10

© grupo edebé �

2. F

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11

© grupo edebé �

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4. LA CONCRECIÓN DEL PROYECTO EDUCATIVO DE EDEBÉ;EDEBÉ AL SERVICIO DE LA EDUCACIÓN

A través de los libros de texto

Fiel a sus principios educativos, Edebé planifica y elabora sus libros de texto siguiendo un riguroso plan que:

— Define en un Proyecto para cada etapa del sistema educativo.

— Se concreta y despliega en las Programaciones de los diferentes ciclos y cursos de cada etapa.

— Presenta estos proyectos y programaciones completos, pero a la vez abiertos, para que los centros ylos equipos educativos los puedan acomodar, personalizar y dinamizar teniendo en cuenta las espe-cificaciones de su proyecto educativo.

— Cuida la unidad y continuidad dentro de cada etapa y en la transición entre ellas.

— Concreta para cada ciclo y curso una adaptación didáctica de los principios educativos de la edito-rial, teniendo en consideración el desarrollo evolutivo y las necesidades del alumnado y las finalida-des establecidas en el currículo.

Metodología

— Mantiene siempre un enfoque globalizador y una relación interdisciplinar entre los contenidos de losdiversos dominios de aprendizaje.

— Promueve el aprender a aprender y la realización de aprendizajes con sentido.

— Invita al trabajo en equipo y al aprender con los demás.

Contenidos

— Desarrolla los contenidos de cada materia atendiendo a su didáctica específica, enlazándolos con elentorno de los estudiantes y tratando que descubran su funcionalidad.

— Integra oportunamente en las diferentes áreas los contenidos transversales (educación moral, para lapaz, ambiental, etc.).


— Busca siempre adaptarse a la mayoría de los alumnos y ofrece recursos para atender a la diversidad.

Evaluación

— Proporciona criterios y propuestas prácticas para las distintas modalidades de evaluación.

Las características propias de los estudiantes de cada etapa exigen una aplicación diferenciada de esteplan en cada una de ellas:

Criterios didácticos

Los criterios didácticos que Edebé sigue en la preparación de los materiales curriculares para cada eta-pa son los siguientes:

— Aumentar de manera progresiva el nivel de exigencia, generando situaciones de enseñanza-aprendi-zaje que plantean un reto que exige cada vez un mayor grado de conocimientos y estrategias.

— Iniciar los nuevos aprendizajes asegurando la base de los anteriores.

— Insistir en la globalización y en la funcionalidad de los aprendizajes para que resulten cada vez mássignificativos.

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— Desarrollar en el alumnado modos de razonamiento adecuados a cada momento evolutivo e introdu-cirlo progresivamente en el método y el pensamiento científicos.

— Privilegiar actividades que promuevan la reflexión crítica sobre lo que se aprende y cómo se aprende.

— Introducir y propiciar el tratamiento formativo de los contenidos transversales.

— Promover acciones en grupo y con otros grupos para ahondar en las experiencias de socialización.

— Favorecer la expresión clara y precisa del pensamiento, a través del lenguaje oral y escrito.

— Proponer suficientes actividades de refuerzo y de ampliación.

— Dar a la evaluación un marcado carácter formativo, que favorezca la toma de conciencia del propioproceso de aprendizaje y que facilite al profesorado la toma de decisiones que favorezcan el mayorcrecimiento de sus alumnos. En la ESO la evaluación incorpora el carácter orientador, a fin de que losalumnos puedan ir preparando las decisiones sobre sus itinerarios futuros.

Para adaptar estos criterios a las características de los alumnos en cada momento evolutivo, Edebé ela-bora proyectos coordinados entre las distintas áreas en los que contempla la distribución de los conte-nidos que se van a trabajar en cada etapa, su concreción y su organización en unidades didácticas.

En la Educación Secundaria Obligatoria

Desde el punto de vista evolutivo, el período que abarca la ESO va ligado a cambios significativos en lapersona (en el desarrollo corporal, pubertad), en el ámbito cognitivo, en su desarrollo afectivo (interés ynuevas relaciones con el otro sexo), en sus relaciones sociales (integración en grupos y progresivaemancipación de la familia) y en el terreno moral (formación de los propios valores que configurarán elestilo de vida como adulto y fortalecerán la autonomía del sujeto).

En esta etapa, el desarrollo cognitivo puede progresar hacia formas de pensamiento más complejas, loque le abre la posibilidad de acceder a conocimientos que exigen una mayor conceptualización y abs-tracción. Asimismo, una mayor posibilidad de aplicación de esquemas más centrados en la disciplinacientífica y en la multicausalidad le van a permitir resolver problemas cada vez más complejos.

Teniendo en cuenta esta evolución del sujeto y respetando la estructura curricular de la etapa, la edito-rial propone una metodología centrada en la interdisciplinariedad, desde una perspectiva globalizadora,que interrelaciona objetivos y contenidos en todas las áreas de conocimiento.

En esta etapa se manifiesta con mayor intensidad la diversidad entre el alumnado. Ello pone de mani-fiesto la especial necesidad de materiales y propuestas de refuerzo y profundización, así como de la di-versificación curricular.

Los años de la ESO acostumbran a ser claves para la apertura a la relación social y a la implicación eniniciativas de carácter social. Y a través del conocimiento social y de los rasgos de la propia personali-dad, el alumno va madurando y perfilando su proyecto de vida, elemento esencial de la autonomía per-sonal.

Edebé lo aplica en la elaboración de sus libros y materiales didácticos para introducir una mayor flexibi-lidad en el aula y asegurar la equidad en la educación garantizando una adecuada atención a la diversi-dad.

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II. El proyecto de la materia de Matemáticas�1. La materia de Matemáticas

Históricamente las matemáticas han constituido una herramienta esencial de todas las civilizaciones ensu afán por comprender el mundo y crear aplicaciones útiles en la sociedad. Las matemáticas se handesarrollado y perfeccionado como rama del saber, se han integrado en nuestra cultura y forman partede nuestro bagaje intelectual.

En la sociedad actual se hace especialmente necesaria la comprensión y utilización de los procedimientosmatemáticos, tanto en el ámbito profesional como en la vida diaria. En la organización del trabajo o en la in-formación que aparece en los medios de comunicación es frecuente encontrar los datos en forma de tablas,gráficos y fórmulas que requieren ciertos conocimientos matemáticos básicos para su correcta interpreta-ción. De este modo, las matemáticas preparan a los ciudadanos para afrontar con éxito los retos que se lesplantean en su día a día y les ayudan a adaptarse con eficacia a los continuos cambios que se generan.

Finalidad de la materia

La enseñanza de las matemáticas en la Educación Secundaria Obligatoria desempeña un triple papel:

a) Formativo: contribuye al desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamien-to, deducción, simetría y análisis, y que permiten construir una visión alternativa de la realidad a tra-vés del desarrollo de modelos matemáticos.

b) Funcional: comprende un conjunto de procedimientos, estrategias de resolución de problemas y téc-nicas de cálculo que permiten solucionar problemas de la vida cotidiana y sistematizar procesos deproducción.

c) Instrumental: permite, por una parte, la interpretación de hechos y conceptos de la vida diaria relacio-nados con el consumo, la economía privada y la vida social; y, por otra, la expresión y comunicaciónde conocimientos pertenecientes a otros ámbitos del aprendizaje.

Relación con las demás materias

La enseñanza secundaria actual tiene un carácter integral que aspira, en su tramo obligatorio, a la for-mación de ciudadanos y ciudadanas que sean capaces de participar crítica y activamente en el seno deuna sociedad democrática. La presentación y estructuración de los contenidos de la materia de Mate-máticas obedece a este enfoque curricular de interrelación entre materias. Así se favorece que los alum-nos comprendan su sentido y se facilita su aprendizaje significativo.

Las Matemáticas constituyen una de las materias instrumentales básicas de la enseñanza secundaria.La utilización de los algoritmos de cálculo resulta de especial interés en las materias científicas, comolas Ciencias de la Naturaleza o las Tecnologías; resulta una herramienta imprescindible, también, en el de-sarrollo de otras materias no científicas y contribuye a la estructuración del pensamiento lógico formal,con lo que facilita el aprendizaje de éstas.

— En las materias de Ciencias Sociales, Geografía e Historia y Educación para la ciudadanía y los dere-chos humanos es frecuente el uso de tasas e índices, gráficas de todo tipo, además de mapas y pla-nos a escala. Los estudios de campo requieren las técnicas de muestreo, encuesta, tabulación y re-cuento. La interpretación de gráficas, estadísticas y diagramas para transmitir informaciones es untrabajo común en estas materias.

— En las materias de Ciencias de la Naturaleza y Tecnologías se miden o estiman diversas magnitudesy se realizan cálculos con ellas. Las leyes relativas a fenómenos físicos y naturales se enuncian en len-guaje numérico, geométrico o algebraico. En general, el trabajo científico y el matemático empleanlenguajes comunes, a la vez que desarrollan habilidades, tales como la observación y la formulaciónde hipótesis, así como el planteamiento y la resolución de problemas.

— En la materia de Educación Plástica y Visual, el estudio de la geometría de figuras, las proporcionesen pintura, el estudio de mosaicos, el análisis de figuras, los métodos para construir figuras, etc. son

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algunos de los puntos de conexión con la materia de Matemáticas. Así, las Matemáticas utilizan dis-tintas composiciones plásticas como contexto para diferentes investigaciones geométricas.

2. Contribución de las Matemáticas a la adquisición de las competencias básicas

Del carácter de la Enseñanza Secundaria Obligatoria que se pretende desarrollar, de su planteamientointegrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos, se deduce la conveniencia de centrar elaprendizaje del alumno en ciertas competencias básicas, entendiendo como tales aquellas capacidadesque debe haber desarrollado el alumno al finalizar la enseñanza obligatoria para poder lograr su realiza-ción personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria y ser ca-paz de desarrollar un aprendizaje permanente a lo largo de la vida.

La identificación de las competencias básicas que debe desarrollar cada materia de la etapa no es una listacerrada, a la vez que no existe una relación unívoca entre la enseñanza de una materia y el desarrollo de cier-tas competencias. Cada una de las materias contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez,cada una de las competencias básicas se alcanzará como consecuencia del trabajo en varias materias.

Consideramos ocho ámbitos diferentes en las competencias básicas:

• Competencia matemática.

• Competencia en comunicación lingüística.

• Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

• Tratamiento de la información y competencia digital.

• Competencia social y ciudadana.

• Competencia cultural y artística.

• Autonomía e iniciativa personal.

• Competencia para aprender a aprender.

— La materia de Matemáticas en su conjunto contribuye de forma explícita a la adquisición de la com-petencia matemática, ya que los conceptos, procedimientos y actitudes que integran dicha compe-tencia forman parte del propio objeto de aprendizaje. En este sentido la enseñanza de las matemáti-cas está orientada a la adquisición de aquellas destrezas y actitudes que permiten razonarmatemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en ellenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemá-tico con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para en-frentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad.

— Las matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística, pues son en sí mismasun vehículo de comunicación de ideas a través de distintos tipos de lenguaje interrelacionados: natu-ral, numérico, gráfico, geométrico y algebraico. El lenguaje matemático destaca por la precisión ensus términos y por su gran capacidad para transmitir razonamientos gracias a un léxico propio de ca-rácter sintético, simbólico y abstracto. Por esta razón, la enseñanza de las matemáticas debe cuidarde forma especial el léxico utilizado, tanto en la expresión oral como en la expresión escrita y la pre-cisión en el lenguaje debe ser asimismo objeto de evaluación.

— Las matemáticas ofrecen un sistema válido, universalmente reconocido, para acercarse al mundoque nos rodea, interpretarlo y construir modelos que expliquen situaciones reales. En este sentidopodemos afirmar que desarrollan la competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico.La enseñanza de las matemáticas tenderá a identificar pautas de comportamiento, regularidades e in-variantes en situaciones reales, representarlas simbólicamente y ajustarlas a un modelo, de formaque el alumno sea capaz de juzgar la validez de los modelos, sus aplicaciones y sus limitaciones.

— La manipulación de datos numéricos y su interpretación es objetivo fundamental de las matemáticas.En este campo desempeñan un importante papel los recursos tecnológicos al alcance de estudian-tes y profesores (calculadora, ordenador, herramientas informáticas…), pues facilitan el trabajo tradi-

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cional y ofrecen nuevas aplicaciones. La incorporación de herramientas tecnológicas como recursodidáctico para el aprendizaje de las matemáticas desarrolla la competencia en tratamiento de la infor-mación y competencia digital, especialmente en el caso de que se apliquen estos recursos para ana-lizar la información expresada por los medios de comunicación.

— Las matemáticas han sido aplicadas con éxito a la descripción de fenómenos sociales en virtud de sucapacidad para predecir comportamientos y tomar decisiones. Así, podemos decir que la aportaciónde las matemáticas a la competencia social y ciudadana se basa en su potencial para formar ciuda-danos críticos ante los acontecimientos y dispuestos a participar activamente en distintas iniciativas.El trabajo en grupo dentro del aula constituye un sistema para desarrollar esta competencia en la en-señanza de las matemáticas, por cuanto potencia el reconocimiento de errores y la aceptación deopiniones ajenas distintas a las propias.

— La contribución de las matemáticas a la competencia cultural y artística se entiende a partir de laaceptación de las matemáticas como parte integrante de la cultura y forma de expresión artística. Lageometría en particular ha sido a lo largo de la historia parte integral de la expresión artística de la hu-manidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la bellezade las estructuras que ha creado. La enseñanza de las matemáticas debe servir para cultivar la sen-sibilidad y la creatividad en el alumno, así como la propia autonomía de pensamiento.

— En relación con la competencia anterior, las matemáticas contribuyen de forma especial a fomentar laautonomía e iniciativa personal, porque entrenan al alumno en la búsqueda de soluciones, la planifi-cación de estrategias y el análisis de resultados. En la enseñanza de las matemáticas encontramosen la resolución de problemas la herramienta ideal que brinda al alumno la oportunidad de desarrollarsus capacidades.

— En relación directa con la competencia de autonomía e iniciativa personal advertimos la incidencia delas matemáticas en el desarrollo de la competencia de aprender a aprender, por las técnicas heurísti-cas que desarrolla y por el hecho de potenciar en el alumno actitudes y destrezas tales como la auto-nomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica, la observación de regularidades o ladeducción de propiedades. La resolución de problemas es también aquí la principal vía por la que elalumno podrá adquirir y perfeccionar estas destrezas.

Identificación, trabajo y evaluación de las competencias básicas en nuestros textos

En una primera fase se ha procedido a la identificación de las competencias básicas, dentro de cada unode los ámbitos, a partir del currículo de Matemáticas para la etapa de Educación Secundaria Obligato-ria. El libro del alumno establece una relación de las competencias básicas generales del curso y un des-pliegue de éstas por unidades didácticas. En las páginas iniciales de cada unidad se indican las compe-tencias básicas que se desarrollarán en la unidad.

El trabajo de las competencias básicas se lleva a cabo haciendo un énfasis especial en aquellos apren-dizajes que se consideran fundamentales para conseguir una formación integral del alumno que le per-mita desarrollar una vida satisfactoria una vez acabada la Educación Secundaria Obligatoria. El libro delalumno presenta los contenidos fundamentales de la materia desde un punto de vista integrador y orien-tado a la aplicación de los conocimientos adquiridos a la vida cotidiana, de forma que el trabajo de lascompetencias básicas está implícito en la exposición de los contenidos y en la realización de las activi-dades del libro y los materiales complementarios. Las fichas de refuerzo que se ofrecen en la Carpeta derecursos proponen una serie de actividades orientadas a afianzar la adquisición de las competencias bá-sicas.

La evaluación es el instrumento que permite comprobar si el alumno desarrolla de forma satisfactoriaaquellas capacidades que han sido consideradas como básicas. Los modelos ofrecidos en el libro delalumno (Evaluación de competencias) y en la carpeta de recursos (Prueba final de competencias bási-cas) facilitan esta labor, de modo que profesores y alumnos pueden valorar el progreso en la adquisiciónde las competencias básicas.

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3. Valores y enseñanzas transversales

El presente proyecto educativo se plantea como objetivo fundamental el desarrollo integral del alumno,lo que implica una formación en valores acorde con los tiempos actuales en las distintas materias de laetapa y la incorporación en las distintas materias de los elementos educativos básicos contenidos en lasenseñanzas transversales.

La educación en valores en la materia de Matemáticas

La enseñanza de las matemáticas debe potenciar ciertas actitudes y hábitos de trabajo que ayuden alalumno/a a apreciar el propósito de la materia, tener confianza en su habilidad para abordarla satisfac-toriamente y desarrollarse en otras dimensiones humanas: autonomía personal, relación interpersonal,etc.

Algunos valores importantes en la materia de Matemáticas son:

— Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemá-ticas y tomar decisiones a partir de ellas.

— Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas.

— Valoración de la importancia de las herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos, las represen-taciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.

— Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje matemático para representar, comuni-car o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana.

— Valoración de la aportación de las matemáticas a los distintos ámbitos de conocimiento y a la vida coti-diana.

Las enseñanzas transversales en la materia de Matemáticas

La presencia de las enseñanzas transversales en la materia de Matemáticas se concreta, a través de loscontextos de los problemas y ejercicios y de las situaciones a las que se aplican las matemáticas, en los siguientes aspectos:

Educación moral y cívica

— Actuación en situaciones cotidianas de acuerdo con modos propios de la actividad matemática,como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modi-ficar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Educación para la paz

— Reconocimiento de la realidad como diversa y susceptible de ser interpretada desde puntos de vistacontrapuestos y complementarios.

— Identificación de los elementos matemáticos presentes en argumentaciones sociales, políticas y eco-nómicas, y análisis crítico de las funciones que desempeñan.

— Flexibilidad para modificar el propio punto de vista en la solución de problemas.

— Reconocimiento y valoración de las propias habilidades matemáticas para afrontar las situacionesque requieran su empleo.

— Valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para realizar determinadas actividades(toma de datos, estudios estadísticos...).

Educación del consumidor

— Utilización de las formas de pensamiento lógico para organizar informaciones diversas relativas a lavida cotidiana.

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— Interpretación y análisis crítico de los elementos matemáticos (datos estadísticos, gráficos, cálcu-los...) presentes en las noticias, la publicidad, etc.

— Manejo de la relación de proporcionalidad y sus diversas formas de expresión.

Educación para la igualdad entre sexos

— Reconocimiento de la capacidad de cada uno de los compañeros y compañeras para desempeñar ta-reas comunes en actividades matemáticas, así como respeto y valoración de las soluciones ajenas.

— Predisposición al trabajo en grupo para la resolución de actividades matemáticas, facilitando agrupa-mientos heterogéneos entre chicos y chicas.

Educación vial

— Interpretación de representaciones planas de espacios (planos y mapas) y obtención de informaciónsobre posiciones y orientaciones.

— Soltura en la utilización de las escalas numéricas y gráficas.

4. La atención a la diversidad

La atención a la diversidad de niveles, estilos y ritmos de aprendizaje, y de intereses y capacidades pre-sentes en las aulas se refleja en nuestros materiales de varias formas:

— Las secuencias de aprendizaje plantean el acercamiento a nuevos contenidos a través de ejemplosextraídos de situaciones cotidianas, y favorecen la comprensión de éstos y su generalización por me-dio de modelos, esquemas, planteamiento de problemas... Con las actividades de aprendizaje culmi-na el entramado que permitirá al alumno/a la asimilación de los conceptos, procedimientos y valores.

— Los textos expositivos y las definiciones están especialmente cuidados para que todos los alumnosidentifiquen las ideas esenciales y puedan elaborar esquemas para organizar la información.

— Los ejercicios y actividades están secuenciados por niveles de dificultad de forma que facilitan la ad-quisición de competencias básicas a todos los alumnos. Algunas actividades llevan un icono con unode estos significados: trabajo en grupo, cálculo mental, uso de la calculadora, uso de las tecnologíasde la información y la comunicación o ejercicios que trabajan contenidos fundamentales. En la sec-ción Más a fondo se proponen actividades de mayor dificultad.

— La Carpeta de recursos, dirigida al profesor, cuenta con materiales específicos de refuerzo y de pro-fundización. Los primeros tienen como finalidad trabajar el aprendizaje de los contenidos básicos yfacilitar que todos los alumnos adquieran las competencias básicas. Los segundos pretenden traba-jar otros contenidos relacionados. Estos materiales se ofrecen en fichas fotocopiables. En el caso delas fichas de refuerzo, en el reverso se incluye el solucionario de la ficha.

— Los Cuadernos de Matemáticas ofrecen un método de aprendizaje progresivo dirigido a los alumnosde la ESO. En ellos el alumno/a encontrará un resumen al comienzo de cada apartado para recordarlos contenidos más importantes y una serie de actividades para consolidar el aprendizaje. Al final delcuaderno se adjuntan las soluciones de las actividades, gracias a las cuales el alumno/a podrá com-probar su resolución.

5. Metodología

Los contenidos de la materia de Matemáticas están fuertemente relacionados entre sí. Los procedimien-tos que se aprenden y se utilizan facilitan esta interrelación.

El proceso de aprendizaje recurre inicialmente a métodos inductivos que parten siempre del entorno co-nocido por los alumnos.

La manipulación y la experimentación son instrumentos básicos para el conocimiento y dominio de con-ceptos y técnicas de trabajo necesarios en matemáticas.

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Los métodos deductivos y el uso de lenguajes abstractos se convierten en un punto de llegada y en laculminación del aprendizaje.

Es importante garantizar situaciones en las que los alumnos tengan oportunidad de apreciar y utilizar lasrelaciones existentes entre los diferentes contenidos.

Los contenidos de la materia se han organizado en tres grandes bloques: Aritmética y álgebra, Geome-tría y Tratamiento de la información y del azar.

— Aritmética y álgebra

Recoge y sistematiza el uso y significado de las distintas clases de números, sus relaciones y los al-goritmos de cálculo necesarios para trabajar con ellos. En este campo resulta necesario desarrollarestrategias de cálculo mental, de estimación de cantidades y de uso de instrumentos de cálculocomo la calculadora y las hojas de cálculo informáticas.

El campo del álgebra se inicia con el estudio del lenguaje algebraico que permite simbolizar relacio-nes y enunciados verbales. Posteriormente se amplía hasta llegar a la resolución de ecuaciones me-diante procedimientos algebraicos. En todo caso, debe procurarse la progresiva ampliación del cam-po de aplicación del álgebra, partiendo siempre de situaciones del entorno conocido por los alumnos,para alcanzar cierto nivel de abstracción al finalizar la etapa.

— Geometría

Continúa el trabajo relativo a medidas realizado en la etapa de Educación Primaria. En este sentido,resulta necesario profundizar en el conocimiento del Sistema Métrico Decimal. La obtención de me-didas concretas puede realizarse por métodos directos, utilizando los correspondientes instrumentosde medida, o indirectos, utilizando fórmulas y algoritmos adecuados. También se introducen los con-ceptos de precisión y error. En todo caso, será necesario habituar a los alumnos y alumnas a expre-sar las unidades de medida junto con el valor de éstas.

Además, se profundiza en el estudio de las figuras planas y espaciales, así como en los sistemas de re-ferencia para situarlos en el plano o en el espacio. En este ámbito resulta de especial importancia la uti-lización del razonamiento inductivo, partiendo siempre de la manipulación previa hasta alcanzar la for-malización de relaciones geométricas. El estudio de las relaciones de igualdad y semejanza y las trans-formaciones isométricas enriquecen notablemente las posibilidades de comprensión y descripción del mundo geométrico.

— Tratamiento de la información y del azar

Desarrolla los contenidos relacionados con fenómenos de tipo causal y de tipo aleatorio. Estos últi-mos se estudian desde una doble perspectiva: estadística y probabilística.

En relación con las funciones y su representación gráfica, los alumnos y alumnas deberán iniciarse enel estudio de las relaciones funcionales, progresivamente más complejas a medida que avanza la eta-pa. El análisis y la interpretación de gráficas funcionales pueden resultar muy útiles para establecerrelaciones entre los fenómenos que describen y la evolución de las variables representadas.

Los contenidos relacionados con la estadística proporcionan instrumentos básicos que permiten in-terpretar informaciones sobre los fenómenos aleatorios. En este sentido es importante desarrollaruna actitud crítica frente a las informaciones recibidas o las interpretaciones de éstas.

El tratamiento del azar debe introducirse paulatinamente a lo largo de toda la etapa. La intuición so-bre la probabilidad que poseen todos los alumnos debe ir dando paso progresivamente a un proce-dimiento sistemático de asignación de probabilidades a sucesos. En este campo, la actividad mani-pulativa y el juego son instrumentos a partir de los cuales pueden suscitarse actividades y situacionesrelacionadas con el azar.

�


© grupo edebé

Programación,orientaciones y recursos

1. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Fracciones y números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Ecuaciones con una incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas. . . . . . . . . . . . . 59

5. Proporcionalidad aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Proporcionalidad geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8. Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9. Áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

01 recursos MAT2 1/8/08 16:44 Página 21

Criterios de evaluación• Reconocer situaciones de la vida cotidiana relativas a las operaciones con números enteros y a núme-

ros expresados en notación científica.

• Reconocer, identificar y representar números enteros sobre la recta. Comparar y ordenar números enteros.

• Aplicar correctamente los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división de números en-teros. Conocer y aplicar las propiedades de la suma y de la multiplicación de números enteros.

• Calcular potencias de base entera y de exponente natural y entero, y operar con ellas.

• Interpretar números expresados en notación científica y escribir números en dicha notación.

• Resolver raíces cuadradas exactas y enteras, y efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces.

• Identificar y relacionar múltiplos y divisores de números naturales.

• Descomponer un número en factores primos y aplicar correctamente los criterios de divisibilidad.

• Utilizar la calculadora para efectuar potencias, raíces y operaciones combinadas.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles en el proceso deaprendizaje.

• Mostrar una disposición favorable para utilizar los números enteros en diferentes situaciones de la vi-da cotidiana.

1Números enterosUnidad


23

1. N

úmer

os e

nter

os

• Conocer las características delconjunto de números enteros yefectuar con soltura operacionescon ellos.

• Calcular potencias de base enteray de exponente natural y entero, yefectuar operaciones con ellas ycalcular la raíz cuadrada de un nú-mero.

• Reconocer y valorar la utilidad delos números enteros para resolversituaciones de la vida cotidiana.

• Utilizar la notación científica paraexpresar números grandes y pe-queños.

Objetivos didácticos✎



�

© grupo edebé

• Interpretar y utilizar el lenguaje matemático en si-tuaciones cotidianas en las que intervienen núme-ros enteros.

• Efectuar potencias, raíces cuadradas y diversasoperaciones combinadas con números enteros.

• Operar con números enteros utilizando la calcula-dora científica.

• Usar la notación científica para representar núme-ros grandes y pequeños.

• Utilizar las estrategias y las herramientas matemáti-cas adecuadas para resolver problemas mostrandoseguridad y confianza en sus capacidades.



✑


• Números naturales. Operaciones combinadas.

• Definición de los números enteros.

• Potencias de base natural y exponente natural.

• Raíz cuadrada.

Educación cívica. Algunas actividadesque se realizan en grupo pueden servirpara fomentar actitudes solidarias y tole-rantes, reconociendo y valorando las di-ferencias entre las personas.


CBCB


ContenidosApartados

24

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

• Potencias de base entera y exponente natural. C

• Signo de una potencia de base entera y exponente natural. C

• Operaciones con potencias de base entera y exponente natural. C

• Potencias de base entera y exponente entero. C

• Operaciones con potencias de base entera y exponente entero. C

• Potencias de 10. C

• Notación científica. C

• Raíz cuadrada de un número entero. C

• Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas. C

• Resolución de operaciones con potencias de base entera y exponente natural y entero. P

• Utilización de la notación científica. P

• Cálculo de raíces cuadradas. P

• Cálculo de operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas. P

• Uso racional de la calculadora para efectuar operaciones con números enteros. P

• Obtención de información de diversas fuentes utilizando las tecnologías de la informacióny la comunicación. P

• Valoración de las tecnologías de la información y la comunicación como recursos de ob-tención de datos y como instrumentos para consolidar procesos matemáticos. V

3. Potenciacióny radicación(págs. 16-23)

• Conjunto de los números enteros. C

• Valor absoluto de un número entero. C


• Utilización del lenguaje propio de la aritmética para recibir y transmitir información. P

• Identificación de números enteros. P

• Cálculo del valor absoluto de un número entero. P

• Representación de números enteros sobre la recta. P

• Comparación y ordenación de números enteros. P

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje numérico para represen-tar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana. V



1. El conjunto de losnúmeros enteros(pág. 8)

2. Operacionesbásicas(págs. 9-15)


• Operaciones con números enteros (suma, resta, multiplicación, división). C

• Criterios de divisibilidad. C

• Números primos y números compuestos. C

• Reglas de prioridad en las operaciones combinadas de números enteros. C

• Aplicación de los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división de númerosenteros. P

• Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 y 100. P

• Identificación de números primos. P

• Descomposición de un número en factores primos. P

• Uso de los paréntesis y reglas de prioridad en las operaciones combinadas con númerosenteros. P

• Aplicación de los números enteros para resolver situaciones de la vida cotidiana. P

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones con númerosenteros. P

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. V


25

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

Actividades Orientaciones didácticas• Identificar los números enteros con los

naturales precedidos de un signo y re-presentarlos sobre una recta. Utilizar es-ta representación para entender el ordende los números enteros.

• Recordar el concepto de valor absolutode un número entero y la notación paraexpresarlo.

• Aplicar los algoritmos de suma, resta,multiplicación y división.

• Observar las propiedades de la suma, laresta, la multiplicación y la división de nú-meros enteros.

• Determinar la divisibilidad de un númeroentero aplicando los criterios de divisibili-dad.

• Resolver operaciones combinadas conparéntesis de prioridad y corchetes.

• Observar la definición de potencia de ba-se entera y exponente entero, y sus pro-piedades.

• Reconocer la expresión de un número ennotación científica.

• Entender el concepto de raíz cuadradaexacta de un número entero positivo.

Es necesario que los alumnos se den cuenta de la necesidad de los númerosenteros en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Para ello, se han de in-troducir situaciones en las que se utilicen, así como también pedirles queenumeren otras en las que aparezcan este tipo de números.

Después de esta fase práctica, se han de destacar las propiedades esencia-les de los enteros, comenzando por el hecho de que no existe un primer nú-mero entero. Es muy importante que sepan establecer de forma rápida el or-den de diversos números, en primer lugar con la ayuda de una recta y, pos-teriormente, sin ayuda de ésta. Para ello, el alumno/a tiene que entender per-fectamente la noción de valor absoluto de un número.

Antes de comenzar las operaciones con enteros, se han de repasar las ope-raciones con números naturales, especialmente en el caso de la división.También es recomendable proponer ejemplos prácticos de situaciones en lasque se utilizan estas operaciones (el cálculo de ingresos y deudas; la varia-ción de la temperatura, etc.); de esta manera se apela a la intuición del alum-no/a con tal de reforzar su comprensión de las reglas para efectuar operacio-nes. En el caso de la división, deben subrayarse los criterios de divisibilidadligados a la división exacta y su uso en ejemplos concretos.

Una vez consolidadas las operaciones entre números enteros y sus propie-dades básicas, tiene que recordarse la prioridad que se establece en las ope-raciones combinadas con números naturales, e insistir que esta prioridad semantiene con los números enteros. En un principio, utilizar expresiones sinparéntesis; posteriormente se introducirán los paréntesis, explicando la re-percusión que tienen en el orden de las operaciones. En este sentido, prime-ramente se han de introducir los paréntesis ortográficos, ya que no tienenningún efecto sobre el orden; posteriormente se indicarán las modificacionesque produce la introducción de paréntesis de prioridad.



Profundización: Ficha 3. Actividades 1 a 10 y de 14 a 17 (CR)

Es necesario que los alumnos sean capaces de aplicar el concepto de poten-cia a la descripción de situaciones de la vida real. Por este motivo, sería inte-resante plantearles actividades operativamente sencillas en un contexto real(por ejemplo, describir en forma de potencia situaciones del tipo: Un institutotiene seis aulas, en cada aula hay seis alumnos y cada alumno tiene seis lápi-ces de colores. ¿Cuántos lápices tienen entre todos?). También es muy impor-tante que relacionen las propiedades de las potencias con las propiedades dela multiplicación. Así mismo, puede ser útil utilizar ejemplos de aplicación inco-rrecta de las propiedades de la potenciación (por ejemplo, (2 + 3)2 ≠ 22 + 32).

Cabe destacar que la radicación es la operación contraria de la potenciación.

Hay que insistir en el uso razonable de la calculadora, la cual ha de ser unaherramienta utilizada sólo cuando sea necesaria; se tiene que prestar muchaatención, en este caso, a los pasos que hay que seguir para introducir unaexpresión numérica. Insistir, de nuevo, en la necesidad de efectuar todas lasoperaciones sencillas o inmediatas sin el recurso de la calculadora. En cual-quier caso, hay que poner énfasis en el proceso de introducir paréntesis conel fin de modificar el orden en que se efectuarán las operaciones.


Refuerzo: Ficha 1. Actividades 4 a 5 (CR)Refuerzo: Ficha 2. Actividades 1 a 4 (CR)Profundización: Ficha 3. Actividades 11 a 13 (CR)


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1. N

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© grupo edebé

• Actividad 82. Consultar una página web que contiene información sobre los números perfectos. Definirestos números y citar algunos ejemplos.

• Actividad 83. Consultar una página web sobre la historia de las matemáticas y recopilar información so-bre algunos matemáticos griegos.


Otras propuestas de actividades• Al empezar la unidad es interesante que los alumnos adviertan la presencia de los números enteros en

la vida cotidiana. Para ello, el profesor/a puede proponer que busquen ejemplos de frases, situacio-nes o noticias en las que se transmita información utilizando números enteros.

• Los alumnos pueden reforzar el aprendizaje de la notación científica si elaboran murales en grupo enlos que se aprecie el uso de esta notación en datos referidos a la vida cotidiana o al mundo científico.

✍

• Evaluación (LA)


— Efectuar diversas operaciones (simples y combinadas) con números enteros.

— Expresar diferentes situaciones utilizando números enteros y operaciones con ellos.

— Expresar en forma de potencia algunas situaciones descritas.

— Expresar en forma de potencia el resultado de diversas operaciones con potencias.

— Expresar diversas magnitudes en notación científica.

— Calcular diversas raíces cuadradas.

— Efectuar una operación combinada en la cual intervienen potencias y raíces cuadradas.

— Resolver un problema y expresar la solución en forma de potencia.

— Hallar varios números congruentes a un número dado.

• Calcular una serie de operaciones con potencias y raíces, por escrito y con la calculadora. En caso dediscrepancia entre los resultados, averiguar en qué momento se ha producido el error.

• Expresar, por medio de potencias y raíces, situaciones de la vida cotidiana, especialmente las quepueden aparecer en los medios de comunicación.

• Establecer un coloquio en el que se reflexione sobre la necesidad de la notación científica para com-probar si el alumno/a valora su utilidad en la resolución de problemas numéricos con magnitudes físi-cas.



27

1. N

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os

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Refuerzo

Recuerda que en la escritura de operaciones podemos prescindir de los paréntesis y de los signos innecesarios, yaque:

• Los números enteros positivos se identifican con los naturales: (+4) → 4

• Restar dos números enteros equivale a sumar el opuesto.

(+5) − (−3) = (+5) + (+3) = 5 + 3

1. Escribe eliminando los paréntesis innecesarios.

a) (+8) + (−3) − (−4) − (+6)

b) (+4) + (−2) + (+3) − (+5)

2. Observa cómo hemos efectuado las operaciones siguientes y completa la oración.

3 − 2 × [5 − (7 − 5)] = 3 − 2 × (5 − 2) = 3 − 2 × 3 = 3 − 6 = −3

Hemos resuelto primeramente los corchetes comenzando por los paréntesis interiores; a continuación la ...............

y, finalmente, la ...............

3. Efectúa las siguientes operaciones combinadas. Ten en cuenta la prioridad: en primer lugar, los paréntesis; des-pués las multiplicaciones y las divisiones y, finalmente, las sumas y las restas.

a) (−5) × [4 + (−6) × 3] − 2 × (−4)

b) (3 − 7) × (−2) + [5 × 2 − (7 − 4) × 3]

4. Efectúa estas multiplicaciones.

a) 55 � 56 = 5(..... + .....) = 5..... c) (−3)6 · (−3)8 = (−3)(..... + .....) =

b) d)

5. Efectúa estas divisiones.

a) 32 : 34 = 3(..... − .....) = 3..... c) (−7)5 : (−7)−3 = (−7)(..... − .....) =

b)d) −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−3

2

3

2

4 15

:6

5

6

5

6

5

3 7⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

− −

:

(..... .....)

5

3

5

3

5

3

2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

− +

:(..... .....)


1Operaciones combinadas y operaciones con potencias

Ficha

��

�

Recuerda cómo se efectúa la mul-tiplicación de potencias de la mis-ma base.

23 � 24 � 2−5 = 2(3 + 4 − 5) = 22

�

Se escribe la misma base.

�

Se suman los exponentes.

Recuerda, ahora, cómo se efectúa ladivisión de potencias de la mismabase.

85 � 83 = 8(5 − 3) = 82

�


�

Se restan los exponentes.

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−2

9

2

9

2 6

:


28

1. N

úmer

os e

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os

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Refuerzo1Ficha

��

1. a) 8 − 3 + 4 −6 ; b) 4 − 2 + 3 −5

2. ...multiplicación...; ...resta.

3. a) 78; b) 9

4.

5. a

b

) :

) :

( )3 3 3 3

6

5

6

5

6

5

2 4

3 7

= =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−

−

2 4 2−

⎛⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

− − = −−

( 3 7 1065

− − −)

) ( ) : ( ) (c 7 7 75 3 ))

) :

(5 3)) 8( 7)− (− −=

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−

d3

2

3

2

4 15

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3

2

(4 15)) 1932

− (−

−

a

b

)

)

( )5 5 5 5

5

3

5

3

5

3

5 6

2 3

⋅ = =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

+

−

5 6 11

⎛⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

− ⋅ − = −

( 2 3

(6

53

− +

+

)

) ( ) ( ) ( )c 3 3 36 8 88) 14( 3)

29

=

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠

−

−

−d)2

9

2

9

2 6

⎟⎟

− 4

Solucionario

�


29

1. N

úmer

os e

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os

© grupo edebé

Refuerzo

1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) (62)− 5 = 6..... � ..... = 6..... c) [(−7)7 ]−10 = (−7)(..... � .....) =

b) d)

2. Lee en esta tabla el orden en que se resuelven las operaciones combinadas y completa el ejemplo.

3. Completa cada uno de estos apartados.

4. Efectúa estas operaciones combinadas.

a e

b

) ) : :

) :

5 3 2 4 4 2 3 625 5 2 16 4

16 25 4

2 4 3

2

+ ⋅ − ⋅ + + − −

⋅ − 22 12 4 3 81 3 25 8 16

5 2 4 16 2 36

2 2

2

f

c g

) : :

) : )

⋅ − − ⋅ +

− + − ⋅ 881 3 4 4 3 9 5

36 8 2 6 4 3 9

2

2

: :

) :

− ⋅ + +

− + − − ⋅d

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ =1

2

28

2

7

2

7

33

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−−(..... .....)


2Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas

Ficha

��

�

Recuerda cómo se eleva unapotencia a otra potencia. �


�

Se multiplican losexponentes.

1.o

2.o

3.o

3

7

3

7

3

7

24

2 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

− − ⋅( )

⎠⎠⎟

−8

4 81 2 3 6 4 5 22 2− + ⋅ − + ⋅ =:

= − + ⋅ − + ⋅ =4 2 9 6 2 25 2.......... :

= − + − +4 18.......... ......... .........

= ..........

a) :

.......... ....

17 2 2 100 9 3 2

17 4 2

2⋅ − + + − =

= ⋅ − + + .......

.......... .......... ....

: 3 2

68 1

− =

− + + − .......

..........

=

=

c) : :

.......... .......... ...

36 2 4 2 3 33 2− + + =

= − + ........ .......... ..........

..........

: :+=

= ........... .......... .......... .........− + + .. ..........=

b) :

:.......... ..........

3 81 6 2 6 25

3

2 2⋅ + − + =

= ⋅ + ........... ..........

.......... ......

− + =

= +

6

..... .......... ..........

..........

− + =

=

Orden Operaciones

1.oPotencias y raíces en el orden en que apare-cen.

2.o Multiplicaciones y divisiones en el orden enque aparecen.

3.oSumas y restas en el orden en que apare-cen.


30

1. N

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os

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Refuerzo2Ficha

��

1. a) (62)−5 = 62 �� (��5) = 6��10

b)

c) [(−7)7]−10 = (−7)(7 �� (��10)) = (��7)�70

d)

2. 4 − 9 + 2 � 9 − 6 : 2 + 25 � 2 == 4 − 9 + 18 − 3 + 50 = 60

3. a) 10, 3, 2, 10, 2, 75 b) 9, 36, 4, 5, 27, 9, 6, 5, 35 c) 6, 8, 4, 2, 9, 3, 6, 8, 2, 3, 3

4. a) 25 ; b) 16 ; c) −4 ; d) −3e) 2 ; f) 4 ; g) 3

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠1

2

1

2

28

(2 8)12

⋅

− ⎟⎟

16

2

7

2

7

33

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

−−(3 ( 3))

27

⋅

⎠⎠⎟

− 9

Solucionario

�


31

1. N

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Profundización

1. Indica qué valores enteros pueden tener a y b en cada caso.

a) �a � × 3 = 6 b) �b � : 2 = 5 c) �a � + �b � = 3 d) �a � × �b � = 5

2. Se pueden utilizar los diagramas de Venn para representar los conjuntos de números naturales y de números en-teros.

Fíjate en los diagramas de la figura y escribe en ellos los números +4, −3, +8, −7, 0, −5, −4, −15 de forma correcta.

3. Si a = +3, b = −7, c = +15 y d = −6, calcula a � b + a � c + a � d y también a � (b + c + d). ¿Qué observas?

4. Saca el factor común más grande posible en estas expresiones.

a) 16 − 12 + 20 b) 125 + 25 − 625

5. Halla el número que multiplicado por su opuesto da −25.

6. Halla el número que restado a su opuesto da 8.

7. ¿Tienen la resta y la división exacta de números enteros la propiedad conmutativa? ¿Y la asociativa? Razona tusrespuestas.

8. Completa esta tabla.

9. Halla los posibles valores de a en cada uno de estos casos.

a) �a � − (+3) = −8 − (+2) b) +5 − �a � = 3 − (−4)

10. Si el valor absoluto de un número a es 5, ¿cuál es el valor absoluto de −a?

11. Completa:

12. Calcula y expresa el resultado en notación científica.

a) (3 � 106) � (4,2 � 10−3) b) (6,2 � 109) : (3,1 � 103)

a b) )........ .....8 273 3= − = .... ........)c 3 10= ) ........d 3 4=


3Ficha

��

�

a �a� op (a) �op (a)� op (op (a)) a + op (a)

−8

+ 6

−10

−6

�

�


32

1. N

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13. Simplifica todo lo que puedas estas expresiones.


15. Averigua el resultado de cada expresión y escribe el signo que corresponda en cada caso: <, > , =.

a) 3 − (−5) · (8 − 6 · (−3)) _____ 34 − 12 · (−7 − 8 · (−11 + 3 · 7))

b) (11 − 7 · 8) · 3 − 8 · (5 − 7 · 9 − 5 · (4 − 3 · 5)) _____ 95 − 13 · (34 − 6 · 8 − 23 · (9 −11))

c) 84 − 12 · (−3 − 25 · (11 − 19 · (5 − 6)) − 17) _____ (45 − 17 · (38 − 5 · 7)) − 12 · (−4 −13 · 8 · (12 − 4))

16. Calcula el resultado de cada una de estas expresiones.

a) Dividir el opuesto del triple de la mitad de 12 entre el opuesto de la cuarta parte del doble de 4.

b) Multiplicar el opuesto del doble del opuesto de 33 por la mitad del triple de 66.

c) Elevar al cuadrado la cuarta parte del triple del opuesto del doble de 6.

17. Descubre los números desconocidos.

a) Si B es el doble de A, ¿qué números son A, B, C y D?

A = B = C = D =

b) Si A es el doble de B, ¿qué números son A, B, C y D?

A = B = C = D =

c) Si C es la tercera parte de A, ¿qué números son A, B, C y D?

A = B = C = D =

d) Si el valor absoluto de B es igual a D, ¿qué números son A, B, C y D?

A = B = C = D =

a d g

b e

) ) )

) )

3 3 8 5 3 2 10 5

5 2 2 4 5

4 4 2 2 4 3 3

6 3 6 6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ 663 9 43

8 44 3 2 3 25

7 4 2

5 4 8 10 5 4

h

c f

)

) )

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

�

Número Cinco múltiplos Cinco divisores

12

72, 90, 360, ... 1, 2, 3, ...

182, 234, 338, ...

144, 240, ... 1, 3, ...

72, ... 1, 2, 3, 9, 8

C A B D

D A B C

A D C B

A C B D


�33

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé


1. Efectúa estas operaciones. Antes, simplifica la escritura.

a) (−4) + (−3) e) 8 : (−2) + 5 � 3 − 4

b) (−4) − (+7) f) 6 + (−4) � 5 − (−2)

c) (−4) + (+7) + (−6) + (−5) g) 16 : 2 − (4 + 3 � 2) − (5 � 3 − 2) � (−2)

d) (−4) � (+8) : (−2) h) −3 � [(+5) − (−2 � 5 + 4)] + 6

2. En una tienda de ropa, el cajero utilizauna única caja y anota cada una delas operaciones efectuadas. Hoy hahecho las anotaciones de la derecha.

a) ¿Cuánto dinero habrá en la caja almediodía si por la mañana había189 €?

b) ¿Qué variación se ha producido?

c) Expresa en forma de operación combinada los resultados obtenidos.

3. Expresa en forma de potencia la siguiente situación: El número de baldosas cuadradas que se necesitan paraembaldosar un patio cuadrado, si caben cinco por cada lado.

4. Expresa en forma de potencia de exponente positivo.

a) 25 � 23 c) 32 : 35 e) (34)7

b) (−5)3 � (−5)4 � (−5)−2 d) (−2)6 : (−2)−5 f) [(−6)2]−3

5. Expresa estos números utilizando potencias de 10.

a) 8 000 000

b) 13 740 000 000 000

c) 35 000 000 000 000

6. Calcula las raíces cuadradas en los casos en que sea posible.

7. Efectúa teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones.

8. Una patrulla espacial se ve obligada a disparar contra un meteorito que está a punto de chocar contra un saté-lite habitado. La patrulla está formada por una nave capitana y una escolta de seis naves más. Todas las navestienen el mismo sistema de defensa: tres láseres en cada una de sus dos alas y otro en la parte delantera. El co-mandante ordena que ataquen en ráfagas de siete disparos. ¿Cuántos disparos se producen en cada ráfaga?Expresa el resultado en forma de potencia.

9. Dos números enteros a y b son congruentes respecto de un tercer número entero c si las divisiones a : c y b : ctienen el mismo resto.

Halla tres números congruentes respecto de 9.

5 15 100 3 32 4 2: −( ) + ⋅ =−

a b c d) ) ) )256 1022 121 241362 4−


4�Ficha

• Venta de una camisa de 38 €.

• Entrega de 32 € a un cliente por unos pantalones que ha devuelto.

• Venta de 3 camisas de 47 € cada una.

• Pago de una factura de 200 €.


34

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úmer

os e

nter

os

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1. a) −4 − 3 = −7

b) −4 − 7 = −11

c) −4 + 7 − 6 − 5 = −8

d) −4 � 8 : (−2) = 16

e) −4 + 15 − 4 = 7

f) 6 − 4 � 5 + 2 = −12

g) 8 − 10 − 13 � (−2) = 24

h) −3 � (5 + 6) + 6 = −27

2. a) 189 + 38 − 32 + 3 � 47 − 200 = 136

Al mediodía habrá 136 €.

b) 136 − 189 = −53

Se ha producido una variación de −53 €; es decir, al mediodía habrá 53 € menos que por la mañana.

c) Dinero que hay al mediodía:

189 + 38 − 32 + 3 � 47 − 200

Variación:

189 + 38 − 32 + 3 � 47 − 200 − 189

3. 52

4.

5. a) 8 � 10 6; b) 1,374 � 1013; c) 3,5 � 1013

6. a) 16; b) 1011; c) 491, R = 281; d) No es posible.

7. 25 : (15 − 10) + 32 = 25 : 5 + 9 = 14

8. 73 = 343. En cada ráfaga se producen 343 disparos.

9. Respuesta sugerida: 10, 19 y 28.

a b c d) ; ) ( ) ; ) ; )2 5 31

3

1

38 5 3

3

3

− = =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− (( ) ;

) ; ) ( )

−

− =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

2

3 61

6

1

6

11

28 6

6 6

e f

Solucionario

�

�Ficha


Criterios de evaluación• Aplicar los diferentes significados de una fracción a situaciones de la vida real.

• Identificar fracciones equivalentes y comprobar la equivalencia. Obtener fracciones equivalentes, sim-plificar fracciones y reconocer la fracción irreducible.

• Representar fracciones positivas y negativas sobre la recta, y comparar y ordenar fracciones con igualo distinto numerador y denominador.

• Aplicar correctamente los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división de fraccionespositivas y negativas. Efectuar operaciones combinadas con fracciones positivas y negativas.

• Calcular potencias cuya base sea una fracción y su exponente un entero, y operar con ellas. Resolverraíces cuadradas de fracciones que son cuadrados perfectos.

• Solucionar problemas de la vida cotidiana en los que sea necesario aplicar los algoritmos de cálculocon fracciones positivas y negativas.

• Calcular la expresión decimal de una fracción. Obtener la fracción generatriz de números decimales li-mitados o ilimitados periódicos.

• Comparar y ordenar números decimales. Relacionar fracciones y decimales.

• Utilizar la calculadora y las TIC para efectuar potencias, raíces y operaciones combinadas con fraccio-nes y decimales.

• Mostrar una disposición favorable para utilizar las fracciones y los decimales en diferentes situacionesde la vida cotidiana.

2Fracciones y números decimalesUnidad


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eros

dec

imal

es

• Conocer las fracciones positivas ynegativas y sus características, yefectuar con soltura operacionescon ellas.

• Calcular la expresión decimal deuna fracción y la fracción genera-triz de un número decimal.

• Utilizar las relaciones entre lasfracciones y los decimales paraelaborar estrategias para la reso-lución de problemas diversos.

• Usar herramientas tecnológicaspara facilitar los cálculos.




�

© grupo edebé

• Resolver situaciones cotidianas que requieran ope-rar con fracciones.

• Emplear el método de cálculo más adecuado a ca-da situación: mental, algoritmos, medios tecnológi-cos...

• Utilizar programas informáticos de cálculo paraefectuar aproximaciones de números decimales ycalcular el error cometido.

• Efectuar aproximaciones de números decimales ycalcular el error cometido.

• Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones ylos decimales para resolver situaciones de la vidacotidiana.



✑


• Representación gráfica de números enteros.

• Escritura de fracciones a partir de distintos tipos deenunciados.

• Cálculo mental del número decimal asociado a unafracción.

Educación del consumidor. Los alum-nos pueden realizar diversas operacionesde forma aproximada: calcular el importeaproximado de una compra, estimar siuna cantidad de dinero será suficientepara pagar el importe de una factura, de-tectar errores en tiques de compra...


CBCB


ContenidosApartados

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• Expresión decimal de una fracción. C

• Fracción generatriz de un número decimal. C

• Obtención de la expresión decimal de una fracción. P

• Obtención de la fracción generatriz de un número decimal: decimales limitados, decimalesperiódicos puros y decimales periódicos mixtos. P

• Realización de operaciones con decimales: suma, resta, multiplicación y división. P

• Aplicación de estrategias de cálculo mental que faciliten las operaciones con fracciones y decimales. P

• Resolución de problemas mediante la elaboración de esquemas como estrategia. P

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presentadas en forma numérica. V

• Aproximación por redondeo y error absoluto. C

• Aproximación de un número decimal por redondeo. P

• Aplicación del redondeo para realizar estimaciones. P

• Cálculo del error absoluto cometido en una aproximación. P


• Valoración de la necesidad de presentar los trabajos de forma clara y ordenada. V

3. Relación entrelas fraccionesy los decimales(págs. 44-46)

4. Aproximación, redondeo y error(pág. 47)

• Fracción. Términos de una fracción. C

• La fracción de un número. C

• Fracciones con signo. C

• Fracciones equivalentes. C

• Fracción irreducible. C

• Orden en las fracciones. C

• Lectura y escritura de fracciones. P

• Interpretación y uso de las fracciones. P

• Cálculo de la fracción de un número. P

• Obtención de fracciones equivalentes. P

• Simplificación de fracciones. P

• Representación de fracciones sobre la recta. P

• Ordenación de fracciones. P

1. Fracciones positivasy negativas(págs. 34-39)

2. Operacionescon fracciones(págs. 40-43)

• Operaciones con fracciones. C

• Potencia de una fracción. C

• Raíz cuadrada de una fracción. C

• Operaciones con decimales. C

• Realización de operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división. P

• Uso de los paréntesis y reglas de prioridad en las operaciones combinadas con fracciones. P

• Cálculo de potencias y de raíces cuadradas de fracciones. P

• Postura crítica ante el uso de la calculadora. V


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Actividades Orientaciones didácticas

• Considerar una fracción como parte deuna cantidad y entender el procedimien-to para calcularla.

• Entender los elementos conceptuales ygráficos de una fracción, así como el sig-no, la equivalencia, la simplificación y larepresentación de fracciones.

• Recordar los procedimientos de la suma,la resta, la multiplicación y la división defracciones, y sus propiedades, así comotambién las prioridades en una operacióncombinada.

• Efectuar la potencia y la raíz de una frac-ción.

• Recordar el procedimiento para expresaruna fracción en forma de número deci-mal y su clasificación. Comprender elproceso inverso; es decir, la conversiónde un número decimal en fracción.

• Observar los procedimientos de suma,resta, multiplicación, división y raíz cua-drada de números decimales.

• Observar el proceso de aproximación deun número decimal mediante el redondeo.

• Establecer el error cometido en la aproxi-mación de un número decimal.

Al introducir el concepto de fracción, hay que remarcar a los alumnos que el de-nominador no puede ser 0 y que el numerador y el denominador de una frac-ción pueden ser números enteros positivos o negativos, pero que, por comodi-dad, sólo se escribe el signo negativo, cuando corresponda, y únicamente en elnumerador. También conviene que observen que cualquier número entero pue-de expresarse como una fracción con denominador 1. Es útil recordar, tam-bién, los criterios de orden de los enteros, porque ayudarán a separar lasfracciones negativas, el 0 y las positivas.

Con respecto a las fracciones equivalentes, es necesario señalar que antes deintroducirlas hay que repasar los criterios de divisibilidad y el cálculo del M.C.D.y del m.c.m.



Profundización: Ficha 3. Actividades 1 a 3 y 13 (CR)

En las operaciones con fracciones, es conveniente que los alumnos recuer-den las propiedades de la suma y de la multiplicación de números enteros yque observen en ejemplos concretos que estas propiedades también se apli-can a las fracciones. Los alumnos deben observar que las operaciones conpotencias de base una fracción siguen las mismas reglas que las de base en-tera y exponente entero.

En la multiplicación de fracciones hay que recordar cuál es la fracción inversade una fracción dada y observar que una potencia de exponente negativo es lainversa de la potencia de exponente positivo. En las operaciones combinadascon fracciones positivas y negativas es necesario insistir en la prioridad de lasoperaciones y en la simplificación del resultado obtenido.

Conviene favorecer el cálculo mental en la realización de operaciones con frac-ciones sencillas. También se tiene que insistir en la relación entre la radicacióny la potenciación.



Profundización: Ficha 3. Actividades 4 a 8 y 11 (CR)

Es necesario remarcar que para operar con números decimales ilimitados perió-dicos hay que transformarlos previamente en fracción, efectuar las operacionesindicadas y expresar el resultado en forma decimal. Conviene, también, poten-ciar el cálculo mental con números decimales, especialmente con dos cifrasdecimales.

Hay que destacar el hecho que un mismo número puede expresarse de mu-chas maneras (forma decimal, forma fraccionaria, forma irreducible...), e in-sistir que todas son equivalentes (representan el mismo número), y que poresto es interesante saber hallar la fracción generatriz de un número decimal.


Profundización: Ficha 3. Actividades 9, 10 y 12 (CR)

Debe recordarse que la aproximación de un número es necesaria cuando seposee información incompleta o cuando la precisión que se necesita es infe-rior a la que se tiene. Debe fundamentarse también en casos prácticos, co-mo en el cálculo monetario en euros: existen cantidades imposibles de pa-gar/cobrar y por ello se hace imprescindible la mejor aproximación. En estesentido, debe insistirse en que el redondeo es la mejor aproximación posible.

Finalmente, debe indicarse que es necesario conocer, cuando sea posible, elerror absoluto de una aproximación, con el objetivo de establecer la exacti-tud de esta aproximación.


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Otras propuestas de actividades• Al empezar la unidad es interesante que los alumnos adviertan la presencia de las fracciones y los nú-

meros decimales en la vida cotidiana. Por ello, el profesor/a puede proponer que busquen ejemplosde frases, situaciones o noticias de los medios de comunicación en las que se transmita informaciónutilizando fracciones y números decimales.

• Pueden proponerse actividades lúdicas, como un juego de dominó en el que se representen fraccio-nes, así como la resolución de cuadrados mágicos con fracciones.

• Los alumnos pueden elaborar en grupo una presentación sobre las fracciones en el arte: en la arqui-tectura, la música...

✍

• Evaluación (LA).


— Clasificar una serie de fracciones en positivas y negativas.

— Calcular la fracción irreducible equivalente a una fracción dada.

— Efectuar una serie de operaciones (sencillas y combinadas) con fracciones.

— Hallar potencias y raíces cuadradas de fracciones.

— Calcular la expresión decimal de diversas fracciones y ordenar éstas sobre la recta.

— Clasificar un conjunto de números decimales en decimales limitados, ilimitados periódicos puros e ilimi-tados periódicos mixtos, y calcular su fracción generatriz.

— Realizar diversas operaciones en las que intervienen números decimales periódicos.

— Solucionar un problema mediante la elaboración de un esquema.

— Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.

— Ordenar diversos números (fracciones y números decimales).

— Aproximar un número por redondeo hasta una determinada cifra decimal y calcular el error absoluto co-metido.

• Comentar el uso de las fracciones en el lenguaje cotidiano, con ejemplos, para comprobar si el alumno/avalora la utilidad del lenguaje numérico.


• Actividad 75. Acceder a una página web para comprobar la representación gráfica de una serie defracciones.

• Actividad 76. Utilizar una calculadora on line para resolver una actividad de cálculo de fracciones.



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Refuerzo

1. Félix, que vive en una gran ciudad, coge el mismo autobús para ir:

• De casa al centro escolar, cada día.

• Al gimnasio los lunes, miércoles y viernes.

• A clase de violín, los sábados por la mañana.

— El autobús tiene una parada de inicio y 18 paradas más. Los 18 tra-mos entre las paradas tienen la misma longitud. Fíjate en la figura 1y completa:

2. Imagínate que el autobús reduce a 9 el número de tramos.Representa en forma de fracción y gráficamente los trayectos si-guientes (fig. 2).

Casa − Gimnasio : Casa − Conservatorio :

3. Ahora imagínate que el autobús reduce a sólo 6 el número de tra-mos. Representa estos trayectos (fig. 3).

Casa − Gimnasio: Casa − Conservatorio :

4. Dibuja los tres gráficos anteriores, uno debajo del otro, e indica lasfracciones representadas en cada parte del trayecto (fig. 4).

A continuación, compáralas y responde a estas preguntas:

— ¿Cómo son las fracciones de cada uno de estos tres grupos?

— ¿Cuál es la fracción irreducible de cada uno de estos tres grupos?

a

b

c

)

)

)

6

18

3

9

2

6

12

18

6

9

4

6

18

18

9

9

6

6

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........


1Fracciones equivalentes

Ficha

��

�

Casa Centroescolar

Gimnasio Conserva-torio

Fig. 1.

Casa …… …… Conserva-torio

Fig. 2.

Casa

Fig. 3.

CasaCentroescolar Gimnasio

Conserva-torio

618

1218

1818

39

6…

……

Fig. 4.

Cuando Félix va al centro escolar tiene que recorrer 6 tramos de los18 que hace el autobús. Así, la fracción que representa el trayecto

del autobús para ir de su casa al centro escolar es .

De la casa de Félix al gimnasio hay ............... tramos de los ............... tra-mos que recorre el autobús. Por tanto, la fracción que representa eltrayecto del autobús para ir al gimnasio es ...............

Finalmente, de la casa de Félix al conservatorio de música hay............... tramos de los ............... tramos del autobús. Por ello, la frac-ción que representa el trayecto del autobús para ir al conservatorioes ...............

6

18


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es

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Refuerzo1Ficha

��

1.

2.

3.

4.

— Equivalentes.

— a b c) ; ) ; )1

3

2

31

4

6

6

6,

6

9

9

9,

12 1812

1818 18

18

18, , ; , ,

Solucionario

�

CasaCentroescolar Gimnasio

Conserva-torio

618

1218

1818

39

69

99


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Refuerzo

A la hora de operar con fracciones, elegimos la fracción irreducible para agilizar los cálculos.

Recuerda, además, que para sumar o restar fracciones, éstas han de tener el mismo denominador.

1. Efectúa gráficamente las operaciones indicadas en la figura 5 y completa esta oración.

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se sumanlos ........................ y se deja el mismo ........................

2. Completa los pasos que faltan para recordar cómo se suman frac-ciones de diferente denominador:

— Calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. (12 y 20) = 60.

— Transformamos las dos fracciones en otras equivalentes con co-mún denominador:

• Para hacerlo, dividimos el m.c.m. (60) por el denominador de laprimera fracción (12) y multiplicamos el resultado por su nume-rador (5).

• A continuación, dividimos el m.c.m. (60) por el denominador dela segunda fracción (20) y multiplicamos el resultado por su nu-merador (3).

— Sumamos las fracciones obtenidas y simplificamos el resultado.

3. Para restar dos fracciones de diferente denominador, las simplificaremos para obtener sus correspondientesfracciones irreducibles, las reduciremos a común denominador y las restaremos. Completa los pasos indicadosen la figura 6 y los pasos indicados a continuación.


5. Calcula:

a) 7,25 + 21,14 b) 12,72 − 10,25 c) 3,12 · 2,15 d) 7,14 : 2,05

a b) )........ ........2

9

1

5 45 45+ = + ........ ........1

3

1

4 12 12− = −

7

21

4

10

1

3

2

5− = − = ......... ........

15 15

1

15− = −

........ ........ ........ ........

60 60 60

3+ = + = 44

60 30

........=

60 20 3 3 3 93

20 60: ; ;

........= ⋅ = =

60 12 5 5 5 255

12 60: ; ;

........= ⋅ = =

5

12

3

20+


2Operaciones con fracciones y decimales

Ficha

��

�

+

+1

3

2

1

2

5

3

5

4

8

6

12

4

8

6

12

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

=

=

Fig. 5.Simplificamos

: 2

Comúndenominador

Simplificamos M.C.D. (7 y 21) = 7 M.C.D. (4 y 10) = 2

7 : 7 = 1 4 : 2 = 2

21 : 7 = 3 10 : 2 = 5

m.c.m. (3 y 5) = 15

15 : 3 = ...... ; ...... � 1 = ......

15 : 5 = ...... ; ...... � 2 = ......

Fig. 6


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Refuerzo2Ficha

��

1. ...numeradores..., ...denominador.

2. 25, 9, 25, 9, 25, 9, 17

3. 5, 5, 5, 3, 3, 6 ; 5, 6

4.

5. a) 28,39 ; b) 2,47 ; c) 6,708 ; d) 3,4829

a b) , , ; ) , ,10 919

454 3

1

12

Solucionario

�

+

+1

3

2

1

2 3

5 8

3 5

5 6

4

8

6

12

4 4

8 8

6 6

12 12

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

=

=


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Profundización

1. Halla los términos desconocidos de estas fracciones.

2. Escribe todas las fracciones con denominador 2, 3 y 4 comprendidas entre los números 2 y 4.

3. Escribe todas las fracciones equivalentes a con denominador comprendido entre 4 y 20.

4. Saca factor común y calcula:

5. Completa:

6. Calcula:

7. Completa:

8. Utiliza la calculadora para hallar el resultado de:

9. Calcula:

933,45 + 22,98

224,923 − 23,34

832,36 × 8,23

26,42393 : 4,238

10. Completa:

12,46 + ..... = 18,264

843,92 − ..... = 43,498

..... × 12,92 = 129,2

..... : 23,45 = 12,35

22

3

1

5

4

6+ −

a b) )........ ......8

27

27

83 3=

−= ...

........

........)c 3

1

4= )

........

........d 3

2

5=

−

a b) )22

33

1

3

2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟)c 1

2

5

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−

)d −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3

1

3

0

a)........

........= ± 3

5)

........

........b = ± 6

7

3

5

4

7

3

5

1

4

3

5⋅ − ⋅ +

1

2

5

3 9

20= =x

y


3Ficha

��

�


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11. Efectúa estas operaciones simplificando al máximo los resultados.

12. Señala los apartados que tengan un número expresado de forma incorrecta y justifica tu respuesta.

13. Escribe, en cada caso, la fracción que cumple esta condición:

a) La inversa de su opuesta es .

b) El doble de su opuesta es .

c) La mitad de su inversa es .

d) La inversa de su mitad es .

e) La opuesta de la tercera parte de su inversa es .− 11

7

6

9

6

9

− 7

9

3

7

a

b

c

d

e

)

) ,

)

) ,

) ,

2

9

4 34567

44

28 69467

9 483

�

a

b

c

)

)

)

2

4

2

4

4

7

7

3

6

3 4

2 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

55

4

9

2

3

1

2

34

4 5

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜d)

⎞⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−

3

4 52

3

2

4

9

2

3

2

15

4

10

e

f

)

) ⋅⋅

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

−

6

2

3

4

3

4

1

5

3

53

3

6

2

3 6

3

4

3

5

g

h

)

)⎠⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

5 4

2

3

45

9

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�45

2. F

racc

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s y

núm

eros

dec

imal

es

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1. Clasifica estas fracciones en positivas y negativas.

2. Halla la fracción irreducible equivalente a cada una de las siguientes fracciones.

3. Efectúa estas operaciones.

4. Calcula:

5. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones.

— A continuación, escribe las fracciones ordenadas de la más pequeña a la más grande.

6. Clasifica estos números decimales en limitados, ilimitados periódicos puros e ilimitados periódicos mixtos, y ha-lla la fracción generatriz de cada uno de ellos.

0,25 2,59� 14,7� 1,075 2,43�7. Efectúa estas operaciones.

a) 1,35� + 2,42� b) 4,82� − 1,3� c) 0,26� + 0,824� d) 7 � 5,24�

8. Miguel ha completado las tres cuartas partes de su colección de cromos. La quinta parte de los cromos que lefaltan son de motos y los otros 32 son de coches. Calcula el número de cromos que forman la colección deMiguel. (Haz un esquema del problema.)

9. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de estas parejas de números.

a) 216 y 36 b) 30 y 91

10. Ordena estos números del más pequeño al más grande.

11. Redondea los siguientes números hasta las centenas, y calcula el error que se comete con el redondeo.

a) 9,3845 b) −3,4562 c) −1,09520 d) 11,00034

1

30 56

7

31 45, ,− 33 2 34

8

5

25

3, − −

66

− 24

60

42

140

28

35

63

90

a b) )1

5

1

5

2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−

) )c d16

25

4

16

1

2⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎠⎟

2

a b c) ) : )3

7

2

21

1

14

2

6

3

7+ − 55

3

12

7

1

2

2

3

5

9

3

5

1

3

1

2⋅ − + − +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅: )d ++ 3

2

a b c) ) )36

8

44

11

1125

5

24

14)d

−−

− −−

4

5

5

2

2

7

3

5

2

3

1

2


4�Ficha


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2. F

racc

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núm

eros

dec

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es

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1. Positivas:

Negativas:

2.

3.

4.

5.

6. Decimales limitados: 0,25, 1,075; decimales ilimita-dos periódicos puros: 14,7�, 2,�43; decimales ilimita-dos periódicos mixtos: 2,5�9.

Fracciones generatrices:

7.

8.

32 : 4 � 5 � 4 = 160

La colección consta de 160 cromos.

9. a) M.C.D. (216, 36) = 36; m.c.m. (216, 36) = 216

b) M.C.D. (30, 91) = 1; m.c.m. (30, 91) = 2 730

10.

11. a) 9,38 error: 0,0045

b) −3,46 error: 0,0038

c) −1,1 error: 0,0048

d) 11 error: 0,00034

−<

−< − < < < <

8

5

25

360 56

1

31 453

7

32 34, , ,

a

b

) , ,

) , ,

1 35 2 42134

99

240

99

374

99

4 82 1 3

� �

� �

+ = + =

− == − = =

+ = +

434

90

12

9

314

90

157

45

0 26 0 8 2426

99c) , ,� � 8816

990

1076

990538

495

7 5 24 7472

90

33

= =

=

⋅ = ⋅ =d) ,� 004

90

1652

45=

• = =

• = − = =

•

,

,

0 2525

100

1

4

2 59259 25

90

234

90

26

10

�

,

,

14 7147 14

9

133

9

1 0751075

1000

43

40

�= − =

• = =

• 22 43243 2

99

241

99,� = − =

−= − = = =

24

600 4

42

1400 3

28

350 8

63

900, ; , ; , ; ,77

24

60

42

140

63

90

28

35

−< < <

a b c d) ; ) ; ) ; )1

255 125

4

5

2

4

1

4

13 = ⋅ =88

a

b

c

)

)

)

18 4 3

42

19

4214

18

7

9

60

12

3

4

5

9

180

+ − =

=

−−

+ − = − ++ − = −

⋅ + = + =

27 20

36

173

36

14

15

1

2

3

2

14

30

3

2

59

30d)

a b c d) ; ) ; ) ; )9

24 25

12

7

− − −2

7

3

5

2

3; ; .

4

5

5

2

1

2; ; .

Solucionario

�

�Ficha

Coches: 32 Motos


Criterios de evaluación• Utilizar el lenguaje algebraico para expresar diferentes situaciones.

• Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles en el proceso deaprendizaje.

• Calcular el valor numérico de una expresión algebraica. Identificar los términos de una expresión alge-braica y el coeficiente y la parte literal de cada término, y reconocer términos semejantes.

• Efectuar sumas, restas y multiplicaciones de expresiones algebraicas, y sacar factor común en expre-siones algebraicas y reconocer situaciones de la vida cotidiana relativas a enunciados que pueden tra-ducirse al lenguaje algebraico. Conocer y desarrollar los productos notables.

• Escribir ecuaciones correspondientes a enunciados verbales sencillos.

• Identificar la incógnita y los miembros de una ecuación. Reconocer las soluciones de una ecuación.

• Aplicar los métodos del razonamiento inverso y de tanteo para resolver ecuaciones sencillas.

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita aplicando las propiedades de las igualdades.

• Clasificar las ecuaciones de primer grado con una incógnita según el número de soluciones.

• Resolver problemas de la vida cotidiana mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones deprimer grado con una incógnita.

• Adquirir una actitud de interés para inventar problemas que puedan resolverse mediante la estrategiade ensayo-error.

3Ecuaciones con una incógnitaUnidad


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• Utilizar el lenguaje algebraico pa-ra generalizar propiedades, sim-bolizar relaciones y expresar dife-rentes situaciones.

• Calcular el valor numérico de unaexpresión algebraica, efectuaroperaciones sencillas con expre-siones algebraicas.

• Resolver problemas de la vida co-tidiana utilizando ecuaciones.

• Usar herramientas tecnológicaspara facilitar los cálculos de tipoalgebraico.




�

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• Reconocer situaciones relativas a enunciados quepuedan traducirse al lenguaje algebraico.

• Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar pro-piedades y simbolizar relaciones en contextos di-versos como la vida cotidiana y los ámbitos socioe-conómico, científico y social.

• Resolver problemas de la vida cotidiana utilizandoecuaciones.

• Utilizar la estrategia del ensayo-error para la resolu-ción de problemas.



✑


• Recordar el orden en el que deben efectuarse lasoperaciones combinadas.

• Fracciones.

• Escritura de expresiones algebraicas sencillas a par-tir de distintos enunciados.

Educación del consumidor. En la uni-dad se presentan actividades relaciona-das con transacciones comerciales quepueden ser utilizadas para fomentar elconocimiento y la defensa de los dere-chos que tiene el consumidor y la res-ponsabilidad de sus acciones.


CBCB


ContenidosApartados

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• Solución de una ecuación. C• Resolución de una ecuación. C• Resolución de ecuaciones por el método del razonamiento inverso y por el método de tan-

teo. P• Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita por el método general. P• Resolución de ecuaciones con paréntesis. P• Resolución de ecuaciones con denominadores. P• Clasificación de las ecuaciones según su número de soluciones. P• Uso de las tecnologías de la información y la comunicación para resolver ecuaciones y

para representarlas gráficamente. P• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador. V

• Resolución de problemas aplicando la estrategia ensayo-error. P• Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los re-

sultados obtenidos en problemas y cálculos numéricos. V• Confianza razonada en las propias capacidades para afrontar problemas y efectuar cálcu-

los. V

3. Resoluciónde ecuaciones(págs. 62-67)

4. Aplicacióna la resoluciónde problemas(págs. 68-69)

• Expresiones algebraicas. C• Valor numérico de una expresión algebraica. C• Términos de una expresión algebraica. Partes de un término. C• Términos semejantes de una expresión algebraica. C• Operaciones con expresiones algebraicas sencillas: suma, resta y multiplicación. C• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma (resta). C• Factor común. C• Productos notables. C• Lectura y escritura de expresiones algebraicas. P• Interpretación y uso de números, signos y letras. P• Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica. P• Identificación de los siguientes conceptos: término, coeficiente, parte literal de un término

y términos semejantes. P• Realización de operaciones con expresiones algebraicas sencillas: suma, resta y multipli-

cación. P• Extracción de factor común y desarrollo de productos notables. P• Aplicación del álgebra para la resolución de situaciones cotidianas. P• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje algebraico para repre-

sentar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana. V

1. Lenguaje algebraico (págs. 58-60)

2. Igualdad y ecuación(pág. 61)

• Igualdad, identidad y ecuación. C• Incógnita y miembros de una ecuación. C• Identificación de ecuaciones, de sus miembros y de la incógnita. P• Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como una forma eficaz para realizar de-

terminadas actividades. V


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• Comprobar que, para expresar algunassituaciones, escribir fórmulas o expresarreglas, es útil el empleo de letras.

• Observar la traducción en lenguaje colo-quial de diferentes expresiones algebrai-cas.

• Reconocer los elementos de una expre-sión algebraica y las reglas para operarcon expresiones.

• Entender el proceso de traducción de unenunciado a una ecuación, y el procesoinverso.

• Comparar una ecuación con una balanzay mostrar la relación con la resolución deuna ecuación.

• Entender el procedimiento general de re-solución de una ecuación y saberlo apli-car.

• Observar la aplicación del procedimientopara resolver un problema medianteecuaciones en ejemplos concretos y re-producirlo en los ejercicios.

• Examinar el procedimiento utilizado pararesolver un problema mediante ecuacio-nes.

Es necesario que se insista en expresar en lenguaje algebraico diferentes situa-ciones, ya que este proceso es imprescindible después en la resolución de pro-blemas mediante ecuaciones. Al iniciar el aprendizaje de este lenguaje, hay quedar significado concreto a las expresiones algebraicas teniendo en cuenta lasconsideraciones siguientes:

• Tienen que expresar situaciones cercanas al alumno/a.• Se han de utilizar ejemplos en los que el uso de las expresiones algebrai-

cas sea pertinente y eficaz.• Hay que usar una sola letra para representar el dato desconocido.

La suma de términos semejantes puede introducirse con elementos sumables yno sumables. En la multiplicación de expresiones algebraicas es necesario in-sistir en el hecho de trabajar la aplicación de la propiedad distributiva del pro-ducto respecto de la suma y en el proceso de extracción de factor común.También es importante que los alumnos consigan llegar a la mecanización delos algoritmos de los desarrollos de los productos notables.

Atención a la diversidadRefuerzo: Ficha 2. Actividad 3 (CR)Profundización: Ficha 3. Actividades 1 a 3 (CR)

Es importante insistir en el hecho de que una ecuación es la traducción al len-guaje algebraico de una igualdad y, a continuación, proponer al alumno/a queobtenga ecuaciones correspondientes a distintos enunciados verbales.También puede ser interesante el proceso inverso: el alumno/a inventa enun-ciados a partir de una ecuación dada.

Atención a la diversidadRefuerzo: Ficha 1. Actividades 1 a 8 (CR)Profundización: Ficha 3. Actividades 4 y 6 a 10 (CR)

Al comenzar el apartado Resolución de ecuaciones, para que el alumno/a com-prenda mejor el proceso de trasposición de términos y el proceso de aislar la in-cógnita, puede proponerse la resolución de diferentes ecuaciones mediante elmétodo de la balanza.

Posteriormente, ya que las resoluciones algebraicas de las ecuaciones implicancálculos y simplificaciones sin ninguna explicación escrita, puede resultar útil ex-presar verbalmente los algoritmos relativos a las reglas operacionales para queel alumno/a interiorice los pasos de la resolución algebraica de una ecuación:

• Poner todas las x a un lado de la igualdad.• Pasar al otro miembro y cambiar de signo.• Dividir los dos miembros entre un mismo número.

En las ecuaciones con denominadores hay que remarcar que para suprimirlos sehan de multiplicar los dos miembros, ya que es un error frecuente multiplicar só-lo uno de los miembros. También es muy común equivocarse cuando apareceun signo menos delante de una fracción. Es necesario remarcar que la solución de una ecuación es el valor que, sustitui-do por la incógnita, verifica la igualdad y conviene que los alumnos compruebenla solución obtenida tanto en la resolución de ecuaciones como en la resoluciónde problemas mediante ecuaciones. Reforzar, asimismo, el cálculo mental pormedio de la resolución de ecuaciones sencilles.

La resolución de problemas requiere seguir una serie de pasos. Es interesan-te encontrar estrategias que simplifiquen el trabajo en algunos de los pasos.La solución obtenida debe comprobarse en la ecuación planteada y tiene queser coherente con el enunciado del problema.

Atención a la diversidadRefuerzo: Ficha 2. Actividades 1, 2 (CR)Profundización: Ficha 3. Actividad 5 (CR)


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Otras propuestas de actividades• Para motivar a los alumnos en el estudio de las ecuaciones, al empezar la unidad el profesor/a puede

plantear situaciones de la vida cotidiana en las que aparecen ecuaciones (problemas de edades, demovimiento, de mediciones...) y remarcar que la solución no es siempre inmediata, de modo que serequieren nuevos conocimientos aportados por la unidad.

• Una vez que los alumnos dominen la resolución de ecuaciones, puede proponerse la utilización de lacalculadora Wiris para comprobar la solución y obtener la representacion gráfica de diversas ecuacio-nes.

• Los alumnos pueden formar grupos y elaborar enunciados, y las correspondientes resoluciones, deproblemas que se resuelvan mediante ecuaciones de primer grado. Puede organizarse un concursode resolución de problemas en el que, por ejemplo, cada grupo resuelva los problemas propuestos porotro grupo.

✍



— Traducir al lenguaje algebraico unos enunciados.

— Calcular los valores numéricos de distintas expresiones algebraicas.

— Escribir frases que definan una serie de expresiones algebraicas.

— Resolver unas operaciones con expresiones algebraicas sencillas.

— Desarrollar unos productos notables.

— Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita (sencillas, con paréntesis y con denomina-dores).

— Resolver un problema mediante el planteamiento de una ecuación.

• Formar grupos para describir situaciones próximas al alumno/a por medio de expresiones algebraicas(ecuación o ecuaciones).

• Leer los enunciados de algunos problemas que se tengan que resolver por ensayo-error, proporcionan-do unos valores de inicio para empezar el proceso.

• Resolver oralmente ecuaciones del tipo ax + b = 0.

• Desarrollar, por grupos, un programa de resolución de ecuaciones para ordenador o calculadora, ycomprobar si funciona.


• Actividad 60. Acceder a una página web para comprobar la resolución gráfica de una ecuación conuna incógnita.

• Actividad 61. Consultar una página web para recopilar información sobre Diofanto de Alejandría y so-bre las ecuaciones diofánticas.



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Refuerzo

1. Observa este tablero rectangular. Cada una de las dos partes representa uno de los dos miembros de una igual-dad.

Representaremos las unidades positivas con fichas de la forma � y las unidades negativas con fichas de la for-ma �.

— Una de estas igualdades numéricas es incorrecta. Señálala.

2. Gira 180° el tablero de la figura 1. ¿Se mantiene la igualdad?

3. Añade tres unidades positivas a la izquierda del tablero de la figura 1.¿Cuántas unidades positivas has de añadir a la derecha del tableropara mantener la igualdad?

4. Di si la igualdad de la figura 2 es correcta.

5. Añade todas las unidades negativas que faltan en la figura 3 para que seacorrecta.

6. Introduciremos unas fichas nuevas: × , −× . Estas fichas representaránlos datos desconocidos; es decir, las incógnitas.

— Lee la página 61 del libro y explica qué es una ecuación y qué es unaincógnita. ¿Cómo se llama el valor numérico de la incógnita que cum-ple la ecuación?

7. Da los valores de x en los dos casos de la figura 4. Respecto al segundocaso, recuerda que, si cambias todas las fichas por sus opuestas, semantiene la igualdad.

8. Resuelve la ecuación representada en el tablero de la figura 5. Para ello,sigue estos pasos:

— Suma a cada lado tantas � como � quieras eliminar, en este ca-so, 2. Anula cada ficha positiva con una negativa. Indica el valor de x.


1Igualdad y ecuación

Ficha

��

�

=

Primer m

iembro

Segundo miembro

�

��

�

��

��

��

�

�

�

��

��

��

�

��

�

a) 2 + 1 + 2 = 3 + 2 b) 2 = 1 + 1 c) 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2Fig. 1.

�

5 + 5 = 3 + 5 + 2

��

��

��

��

��

�

Fig. 2.

3 + 2 + 1 – 1 = 2 + 2 + 1

�

��

��

–�

��

��

�

Fig. 3.

3 + 5 + 2 – …… = 2 + 2

�

��

��

��

��

��

……………………

Fig. 4.

x = ……

x = ……

�

=

=

+++

++

x

–x

x

Fig. 5.

x + 2 = 3 + 4

= ++++

+++

++

x


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Refuerzo1Ficha

��

1. c)

2. Sí.

3. Tres.

4. Sí.

5. Seis fichas de la forma �.

6. — Una incógnita es el dato desconocido en una ecuación y se suele representar por la letra x.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se cumple para un determinado valorde la incógnita x.

— Solución.

7. 3, −2

8. 5

Solucionario

�


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Refuerzo

El uso de expresiones algebraicas es de gran ayuda a la hora de plantear la resolución de un problema.

1. Completa los pasos que faltan en los diversos planteamientos que podemos seguir para resolver el problema delenunciado siguiente.

El padre de María ha comprado dos tablas de madera cortas y una larga. Ha pagado 12,6 € por todas ellas. Sila tabla larga cuesta 1,8 € más que cada una de las cortas, calcula el precio de cada tabla.

2. Resuelve los problemas de cada uno de estos apartados.

a) La suma de dos números pares consecutivos es 34. ¿Cuáles son estos números?

b) Un alpinista llega a la cima de una montaña después de cuatro días de ascensión. El primer día recorrió la mi-tad del trayecto; el segundo día, un cuarto; el tercer día, un octavo, y el cuarto día, los 1000 m que lo sepa-raban de la cima.

¿Cuál es la distancia que ha recorrido el alpinista durante la ascensión?

c) El número de autobuses de una determinada línea que circulan cada día se reduce durante el verano. Así,el mes de junio circulan la mitad; el mes de julio, una tercera parte, y el mes de agosto sólo circulan 9.

¿Cuál es el número de autobuses de esta línea que circulan los meses que no son verano?

3. Relaciona con flechas cada expresión numérica con su expresión algebraica correspondiente.

3 · 4 + 5 · 712 · 64 + 6 · 7243 · 65 + 11 · 45 3 a + 5 b3 · 24 + 5 · 55 12 a + 6 b12 · 6 − 4 · 5 34 a − 6 b12 · 33 + 6 · 72 47 a + 5 b12 · 56 − 6 · 77 43 a + 11 b34 · 15 − 6 · 39 12 a − 6 b47 · 12 + 5 · 65 12 a − 4 b12 · 6 – 6 · 44 13 a + 7 b − 12 c3 · 91 + 8 · 55 3 a + 8 b47 · 36 + 5 · 3313 · 74 + 7 · 84 – 12 · 66


2Expresiones algebráicas y resolución de problemas

Ficha

��

�

Planteamiento gráfico

Muchas veces una representación gráfi-ca, esquemática y simplificada nos ayu-dará a resolver el problema.

Tabla corta:

Tabla corta:

Tabla larga:

3 tablas cortas + 1,8 = ........

3 tablas cortas = 12,6 − 1,8

3 tablas cortas = 10,80 ; entonces,1 tabla corta = 10,80 : .........

Tabla corta = 3,6 €

La tabla corta vale 3,6 € y la larga, 5,4 €.

12,6

......

Tabla corta:

Tabla corta:

Tabla larga:

Ecuación: x + x + x + 1,8 = 12,6

.... x = 12,6 − .... → 3 x = ....

x = 10,8 : .... → x = 3,6

La tabla corta vale .... € y la larga, .... €.

Se aproxima el planteamiento gráfico yel simbolismo algebraico, y se da senti-do a la introducción de incógnitas paraindicar las cantidades desconocidas.

Planteamiento algebraico

.......�1,8

x

x

x

�


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Refuerzo2Ficha

��

1. — 1,8 ; 12,6 ; 3— 12,6 ; 3 ; 1,8 ; 10,8 ; 3 ; 3,6 ; 5,4

2. a) 16 y 18 ; b) 8 000 m ; c) 54 autobuses.

3.

Solucionario

�

12a − 4b 12 � 6 − 4 � 5

12a − 6b 12 � 56 − 6 � 77 12 � 6 − 6 � 44

12a + 6b 12 � 33 + 6 � 72 12 � 64 + 6 � 72

13a + 7b − 12c 13 �74 + 7 � 84 − 12 � 66

34a − 6b 34 � 15 − 6 � 39

3a + 5b 3 � 24 + 5 � 55 3 � 4 + 5 � 7

3a + 8b 3 � 91 + 8 � 55

43a + 11b 43 � 65 + 11 � 45

47a + 5b 47 � 12 + 5 � 65 47 � 36 + 5 � 33


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Profundización

1. Busca por tanteo el número a por el cual el valor numérico de 2 a + 1 coincide con el de a + 4.

2. Observa cómo hemos descompuesto esta expresión algebraica en un producto de factores:

x3 + 2 x2 + x = x (x2 + 2 x + 1) = x (x + 1)2

A continuación, descompón en producto de factores cada una de estas expresiones algebraicas sacando pre-viamente factor común.

a) x3 − 2 x2 + x = x (..... − ..... + .....) = x (..... − .....)2

b) x3 − x = x (..... − .....)

c) 3 x4 − 6 x3 + 3 x2 = 3 x2 (..... − ..... + .....)

d) 10 x3 + 10 x2 + 5 x = 5 x (..... + ..... + .....)

3. Observa [3 + (x + 1)] [3 − (x + 1)] = 32 − (x + 1)2 y, a continuación, efectúa:

a) [2 + (x + 5)] (2 − (x + 5))

b) [6 − (x + 2)] [6 + (x + 2)]

c) [(x − 3) − (x + 2)] [(x − 3) + (x + 2)]

d) (x − 1 + y) (x − 1 − y)

4. Indica si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.

a) (x + 1)2 = x2 + 2 x + 1 c) 2 x + 3 = x + 1

b) (x + 1)2 = x2 + 2 x d) 5 (x − 2) = 5 x − 10

5 José ha embaldosado el comedor de su casa. Trabajando siempre al mismo ritmo, ha conseguido acabar en 3 días. El primer día completó los 2/5 del total de la obra, el segundo día embaldosó los 5/6 de lo que queda-ba, mientras que el último día sólo necesitó una hora para acabar. ¿Cuántas horas trabajó durante los tres días? ¿Cuántas horas trabajó cada día?

6. ¿Es correcta esta demostración?

Aunque parezca mentira, se puede llegar a demostrar que 2 = 1.

Lo puedes hacer mediante el siguiente proceso:

Partimos de esta igualdad: suponemos que x = y

Multiplicamos por x los dos miembros: x 2 = xy

Restamos y 2: x 2 − y 2 = xy − y 2

Descomponemos en factores, según la fórmula notable ya estudiada: (x − y )(x + y ) = y (x − y )

Dividimos por x − y : x + y = y

Como que x = y, resulta 2y = y

Dividimos entre y : 2 = 1

¿Dónde se encuentra el error de esta demostración?


3Ficha

��

�

x factor común producto notable


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7. Haz lo mismo en este proceso:

Supón que y es igual a −x: y = −x

Se multiplican los dos miembros por y: y2 = −xy

Se resta x 2 a los dos miembros: y2 − x2 = −xy − x2

Se agrupan así los términos de cada miembro: (y − x)(y + x) = −x(y + x)

Se dividen los dos miembros entre x + y: y − x = −x

Ya que y es igual a −x, se sustituye y por −x: −x − x = −x

Se suman las dos x de la izquierda: −2 x = −x

Se dividen los dos miembros entre x: −2 = −1

¿Dónde se encuentra el error en este caso?

8. Ya sabes que (a + b)(a − b) = a 2 − b 2; además, también lo has comprobado de forma geométrica. Ahora bien,la demostración puede hacerse de diversas formas. ¿Cómo se puede comprobar el resultado siguiendo es-ta ilustración?

9. Escribe una ecuación de primer grado que cumpla:

a) La solución es x = 3.

b) La solución es y el coeficiente de la x en el miembro de la derecha es 5.

c) La solución es y los términos numéricos de los dos miembros son números positivos.

d) La solución es y los términos independientes de los dos miembros son iguales.

e) La solución es un múltiplo de 3 y los términos negativos son exactamente uno.

10. Demuestra que esta igualdad es correcta:

y que, en general, si n es un número natural se cumple:

1

11

11 2−

−= + + + + +

+− −x

xx x x x

nn n n .....

1

11

43 2−

−= + + +x

xx x x

x =−9

7

x =−8

11

x = 4

5

�

a b+

a – b b

b2ba

a – b


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1. En un despacho se instalan m mesas, de seis patas cada una, y el triple de sillas, de cuatro patas cada una, pa-ra que trabajen dos personas en cada mesa. Escribe en lenguaje algebraico:

a) El número de sillas.

b) El número de personas que trabajarán en el despacho.

c) El número de patas de sillas y de mesas que habrá en total.

2. Calcula el número de sillas y de personas que trabajarán en el despacho del ejercicio 1 si en total se instalan 8 mesas.

3. Escribe una frase que defina cada una de estas expresiones algebraicas.

a) x3

b) 2 (x + y)

c) (x + 3)2

d) x2 + 3

4. Efectúa:

a) 4 x + 2 y − 6 x + 8 y + y

b) 2 xy + 4 x − 2 y + 6 xy + 11x

c) 2 x � y + 3 xy

d) 4 x + 5 x � 2 x − 6 x2 + 3 x � x

5. Efectúa:

a) (x − 3)2 c) (x − 2) (x + 2)

b) (x + 5)2 d) (x + y) (x − y)

6. Resuelve las ecuaciones siguientes.

a) 2 + 3 x = 5x − 6

b) 3 − 2 (x − 5) = 4

c) 3 x + 5 (x + 2) = 6 (x + 3)

d) 2 x − (x − 3) = 5 (x − 1)

7. Resuelve estas ecuaciones.

8. Marcos dice a un compañero:

«El doble de mi edad más 3 es igual al triple de mi edad menos 13.»

¿Qué edad tiene Marcos?

ax x

b xx x

cx x

)

)

)

5 23

23

23

8

1

2

1

2

− = −

+ + = +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

− − + = −11

3

8

5

16d

x

x)

−+

=


4�Ficha


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1. a) 3m; b) 2m; c) 6m + 4 � 3m = 18m

2. 24 sillas; 16 personas.

3. a) El cubo de un número x.

b) El doble de la suma de dos números, x e y.

c) El cuadrado de la suma de un número x y 3.

d) El cuadrado de un número x aumentado en 3.

4. a) −2x + 11y

b) 8xy + 15x − 2y

c) 5xy

d) 4x + 7x2

5. a) x2 − 6x + 9

b) x2 + 10x + 25

c) x2 − 4

d) x2 − y2

6. a) −2x = −8; x = 4

b) 3 − 2x + 10 = 4; −2x = −9; x = 4,5

c) 3x + 5x + 10 = 6x + 18; 2x = 8; x = 4

d) 2x − x + 3 = 5x − 5; −4x = −8; x = 2

7. a) 2x − 5x = −30; −3x = −30; x = 10

b) 3x + 6 + x = 2x + 48; 2x = 42; x = 21

c) x − 1 − x − 1 = −2; 0x = 0 ⇒ infinitas soluciones

d) 16 (x − 3) = 5 (x + 8); 16x − 48 = 5x + 40; 11x = 88; x = 8

8. Si x es la edad de Marcos, la ecuación que hemosde plantear es:

2x + 3 = 3x − 13

Resolución:

−x = −16; x = 16

La edad de Marcos es 16 años.

Solucionario

�

�Ficha


4Ecuaciones con dos incógnitas.Sistemas

Unidad


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• Aplicar las propiedades de lasecuaciones para hallar la soluciónde ecuaciones y sistemas.

• Utilizar las ecuaciones y los siste-mas en la resolución de problemas.

• Valorar la utilidad de la calculadorapara la realización de cálculos nu-méricos.

• Utilizar las tecnologías de la infor-mación y la comunicación para fa-cilitar los cálculos y la resolucióngráfica de los sistemas de ecua-ciones.




© grupo edebé

• Identificar ecuaciones de primer grado con dos in-cógnitas y sistemas, y conocer los conceptos aso-ciados a ellos.

• Utilizar las ecuaciones y los sistemas de ecuacionespara resolver situaciones de la vida cotidiana.

• Seleccionar la estrategia de resolución más adecua-da para solucionar un problema determinado.



✑


• Sistema de coordenadas cartesianas. Representa-ción de puntos en un sistema de coordenadas.

• Rectas secantes, coincidentes y paralelas.

• Expresión de diversos enunciados en lenguaje alge-braico.

• Ecuaciones equivalentes.

Educación del consumidor. En la unidadse presentan actividades relacionadascon transacciones comerciales que pue-den utilizarse para profundizar en las for-mas más adecuadas para el uso y el dis-frute de los bienes, los productos y losservicios que se ofrecen en el mercado.


Criterios de evaluación• Obtener las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas y representarlas gráfica-

mente.

• Resolver gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.Comprobar la resolución utilizando la tecnologías de la información y la comunicación.

• Clasificar los sistemas según el número de soluciones.

• Resolver problemas de la vida cotidiana con ayuda de las ecuaciones de primer grado, valorando la uti-lidad del lenguaje algebraico, tanteando diversas formas de resolución y siendo constantes en la bús-queda de la solución correcta.

• Adquirir el hábito de presentar de manera clara y ordenada el proceso de resolución de un problema.

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CBCB


ContenidosApartados

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• Resolución de problemas mediante ecuaciones y sistemas. P

• Aplicación del álgebra en la resolución de situaciones cotidianas. P

• Resolución de problemas aplicando la estrategia de la correcta elección de la incógnita. P

• Disposición favorable a la revisión y la mejora del resultado de cualquier cálculo o problemaalgebraico. V

• Interés y respeto por la aportación de estrategias y soluciones a problemas numéricos dis-tintas de las propias. V

3. Aplicación a la resolución de problemas(pág. 88)

• Ecuación de primer grado con dos incógnitas. C

• Resolución de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: representación gráfica. P

• Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidadesde medida utilizadas. V

• Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los re-sultados obtenidos en problemas y cálculos numéricos. V

1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas (págs. 80-81)

2. Sistemas de ecuaciones(págs. 82-87)

• Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. C

• Solución de un sistema de primer grado con dos incógnitas. C

• Representación de las soluciones. C

• Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: tipos de sistemas de ecuaciones se-gún sus soluciones. C

• Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. P

• Resolución algebraica de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por los métodosde igualación, sustitución y reducción. P

• Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones a partir de programas informáticos. P

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas algebraicos y enla realización de cálculos. V


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• Adquirir el concepto de ecuación de pri-mer grado con dos incógnitas y utilizarlopara identificar este tipo de ecuaciones.

• Analizar el procedimiento utilizado paraobtener y representar gráficamente lassoluciones de estas ecuaciones.

• Comprender el concepto de sistema deecuaciones a partir de una situación en laque deban verificarse simultáneamentedos ecuaciones.

• Analizar el procedimiento seguido pararepresentar y resolver gráficamente unsistema.

• Conocer los tipos de sistemas según elnúmero de soluciones que presentan.

• Estudiar de forma sistematizada el proce-dimiento de resolución de un sistema uti-lizando los métodos algebraicos de igua-lación, de sustitución y de reducción.

• Analizar el procedimiento utilizado pararesolver un problema mediante un siste-ma de ecuaciones.

Es muy recomendable redactar enunciados que los alumnos/as puedan tradu-cir a ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y viceversa.

Conviene resaltar que la representación gráfica de las soluciones de una ecua-ción de primer grado con dos incógnitas es una recta.

Los conceptos pueden integrarse a partir de traducir un enunciado a unaecuación de primer grado con dos incógnitas, elaborar la tabla de solucionesy realizar la representación gráfica. Una vez obtenida la recta correspondien-te, es interesante elegir algunos de sus puntos y comprobar si corresponden asoluciones de la ecuación.


Refuerzo: Ficha 1. Actividades 1, 2 (CR)

Es imprescindible señalar que las dos ecuaciones que forman un sistema ex-presan dos condiciones que deben verificarse simultáneamente, para evitarque los alumnos/as consideren que las ecuaciones del sistema están desvin-culadas entre sí.

Conviene señalar que el método gráfico de resolución de sistemas es pocopreciso en caso de que las soluciones no sean números enteros.

Una vez iniciado el estudio de los métodos algebraicos de resolución, debe re-calcarse que el método elegido para resolver un sistema es, en principio, indi-ferente, puesto que las soluciones no dependerán del método utilizado. Sinembargo, la elección de un método determinado puede simplificar la resolu-ción, dependiendo de las ecuaciones. Así pues, los alumnos deben estar dis-puestos a invertir un cierto tiempo para decidir qué método de resolución re-sulta más apropiado en cada caso.

Conviene resolver algebraicamente sistemas de todos los tipos y no limitarsea los sistemas compatibles determinados.


Profundización: Ficha 3. Actividades 2 y 8 (CR)

La resolución de problemas requiere seguir una serie de pasos. Es interesantesistematizar el procedimiento para familiarizar a los alumnos/as con las estra-tegias más adecuadas para facilitar el trabajo de planteamiento y resolución delos correspondientes sistemas de ecuaciones.

Las soluciones obtenidas deben comprobarse en el sistema de ecuaciones ytienen que ser coherentes con el enunciado del problema.



Profundización: Ficha 3. Actividades 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 y 10 (CR)


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Otras propuestas de actividades• Antes de iniciar la unidad, el profesor/a puede solicitar a los alumnos que describan situaciones conoci-

das que impliquen ecuaciones de dos incógnitas.

• Una vez que los alumnos dominen la resolución de sistemas de ecuaciones, puede proponerse la utili-zación de la calculadora Wiris y/o de otros programas de ordenador para comprobar las soluciones deactividades resueltas algebraicamente y para obtener las representaciones gráficas de diversos siste-mas de ecuaciones.

• Pueden resolverse diversos sistemas de ecuaciones en grupos, de forma que cada uno de ellos utiliceun método algebraico distinto. Al finalizar la actividad, se corregirá mediante una puesta en común, enla que cada grupo pueda argumentar las ventajas y los inconvenientes de los métodos de resolución uti-lizados en cada caso.

✍



— Determinar y comprobar algunas soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

— Explicar el procedimiento utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación deprimer grado con dos incógnitas.

— Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

— Resolver algebraicamente dos sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

— Traducir al lenguaje algebraico un enunciado correspondiente a un sistema de ecuaciones de primergrado con dos incógnitas.

— Resolver problemas sencillos mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones de primer gra-do con dos incógnitas.

• Plantear un problema para ver si el alumno/a tantea diversas posibilidades y actúa con constancia en labúsqueda de la solución.

• Argumentar cuál es el método algebraico más conveniente para resolver un sistema de ecuaciones con-creto.

• Razonar la validez de las soluciones obtenidas al resolver problemas que implican la resolución de sis-temas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.


• Actividad 41. Acceder a una página web para comprobar gráficamente la resolución algebraica de unaecuación de primer grado con dos incógnitas.



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Refuerzo

1. Expresa en lenguaje algebraico la siguiente frase: El triple de un número más otro es igual a 4.

A continuación, construye una tabla de valores con las soluciones de la ecuación obtenida y represéntalasgráficamente.

— Representamos el primer número por x y el segundo por y para obtener la ecuación.

..... x + ..... y = .....

— Despejamos una de las incógnitas de la ecuación.y = ..... − ..... x

— Construimos la tabla de valores dando valores arbitrarios a x para calcular los correspondientes valores de y.

— Representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos lospuntos representados para obtener la recta correspondiente a las soluciones de la ecuación.

Comprueba si los puntos A (3, −5), B (−3, 12) y C (4, −8) corresponden a soluciones de la ecuación.

2. La gráfica de la derecha corresponde a las soluciones de la si-guiente ecuación.

3 x − 2y = −5

— ¿Cómo comprobarías, a partir de la gráfica, si las coordenadasde un punto corresponden a una solución de la ecuación?

— ¿Y a partir de la ecuación?


1Representación de las soluciones de una ecuación con dos incógnitas

Ficha

��

�

x y = 4 − 3 x

−2 y = 4 − 3 · (−2) = .....

−1 y = 4 − 3 ..... = .....

0 y = 4 − 3 ..... = .....

1 y = 4 − 3 ..... = .....

2 y = 4 − 3 ..... = .....

Y

X

1

–1–2–3–4

23456789

10

–1 1 2 3 4 5 6 7–2–3–4–5–6–7–8

Y

X

1

–1–2–3–4–5–6–7–8

2345678

–1 1 2 3 4 5 6 7–2–3–4–5–6–7–8


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Refuerzo1Ficha

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1. 3 x + y = 4

y = 4 − 3x

Los puntos A y C corresponden a soluciones de la ecuación porque pertenecen a la recta. El punto B no es so-lución de la ecuación porque no pertenece a la recta.

2. — Si las coordenadas del punto pertenecen a la recta corresponden a una solución de la ecuación. — Sustituyendo los valores de las coordenadas por las incógnitas x e y de la ecuación. Si se obtiene el resul-

tado de la ecuación (−5), las coordenadas corresponderán a una solución de la ecuación.

Solucionario

�

x y = 4 − 3 x

−2 y = 4 − 3 · (−2) = 10

−1 y = 4 − 3 · (−1) = 7

0 y = 4 − 3 · (0) = 4

1 y = 4 − 3 · (1) = 1

2 y = 4 − 3 · (2) = −2

Y

X

1

–1–2–3–4

23456789

10

–1 1 2 3 4 5 6 7–2–3–4–5–6–7–8


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Refuerzo

1. Un examen de tipo test consta de 24 preguntas. Por cada pregunta correcta se otorgan 4 puntos y por cadacuestión contestada incorrectamente se restan 2 puntos. Si un alumno ha obtenido 78 puntos, ¿cuántas pre-guntas ha respondido correctamente y cuántas ha fallado?

— Debemos leer atentamente el enunciado del problema para identificar qué se nos pide que averigüemos, esdecir, cuáles son las incógnitas.

En este caso las incógnitas corresponden al número de respuestas correctas y el número de respuestas in-correctas.

— Asignamos una letra a cada incógnita.

Denominamos x al número de respuestas correctas e y al número de respuestas incorrectas.

— Para obtener el sistema de ecuaciones, reescribimos las frases del problema de modo que aparezca la pa-labra igual, para que cada frase se convierta en el enunciado de una ecuación.

— Y, a continuación, transformamos las frases en ecuaciones.

1.a frase. El número de respuestas correctas más el número de respuestas incorrectas es igual a 24.

x + y = 24

2.a frase. El número de respuestas correctas mutiplicado por 4 menos el número de respuestas incorrec-tas multiplicado por 2 es igual a 78.

4 x − 2 y = 78

— Las dos ecuaciones juntas forman el sistema.

Resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos algebraicos, por ejemplo, el de reducción.

x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

24

4 2 78


2Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Ficha

��

�

— Para eliminar la incógnita y, multiplicamos todoslos términos de la primera ecuación por 2. No modificamos la segunda ecuación.

— Sumamos las dos ecuaciones.

— Despejamos la incógnita x.

— Sustituimos el valor de x en la primera ecuación,para obtener el correspondiente valor de y.

x + y = 24

y = 24 − x = .....

El número de respuestas correctas es de ..... y el númerode respuestas incorrectas es de ......

x .....= =126

6

..... .....

.....

x y

x y

+ =

− =

=

2

4 2 78

6 x

..... ..... .....x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪4 2 78

2. Un cajero automático sólo dispensa billetes de 50 ∑ y de 20 ∑. Si hemos sacado 9 billetes y tenemos 270 ∑,¿cuántos billetes hay de cada tipo?

3. En un parque infantil hay 15 vehículos entre triciclos y bicicletas. Si hemos contabilizado 36 ruedas en total,¿cuántos triciclos y cuántas bicicletas hay?

4. En una librería han vendido 20 cuadernos a dos precios distintos, unos a 3 ∑ y otros a 4 ∑, con lo que han ob-tenido 72 ∑. ¿Cuántos cuadernos de cada tipo han vendido?


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Refuerzo2Ficha

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1. Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de reducción.

x + y = 24

y = 24 − 21 = 3

El número de respuestas correctas es de 21 y el número de respuestas incorrectas es de 3.

2. Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

La solución del sistema es x = 3 ; y = 6.

Así pues, hemos sacado 3 billetes de 50 ∑ y 6 billetes de 20 ∑.

3. Reescribimos las frases correspondientes al problema para obtener el sistema correspondiente.

Los valores de las incógnitas son x = 9 ; y = 6.

Hay 9 bicicletas y 6 triciclos.

4. Tras traducir el enunciado al lenguaje algebraico, se obtiene el sistema.

Cuya solución es x = 8 ; y = 12.

Es decir, han vendido 8 cuadernos a 3 ∑ y 12 cuadernos a 4 ∑.

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

20

3 4 72

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

15

2 3 36

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

9

50 20 270

x = =126

621

2x y

x y

+ =

− =

=

2 48

4 2 78

6 126x

2x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

2 48

4 2 78

x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

24

4 2 78

Solucionario

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Profundización

1. El perímetro de un triángulo isósceles mide 23 cm. Si sumamos la mitad de su base más la mitad de uno delos catetos iguales el resultado es 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del triángulo?

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

3. Dos amigos se citan para comer en un restaurante situado en un pueblo bastante alejado de la ciudad dondeviven ambos. El primero sale de la ciudad a las 9 de la mañana en bicicleta y circula a 20 km/h para dirigir-se hacia el restaurante. Su amigo sale de la ciudad a las 11 de la mañana en una motocicleta y circula a 60 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo amigo en alcanzar al primero y qué distancia habrán recorri-do ambos hasta ese momento.

4. Un comerciante mezcla un cacao de 9 ∑/kg con otro cacao de calidad inferior de 6,5 ∑/kg, de modo que ob-tiene una mezcla de 7,5 ∑/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de cacao debe mezclar para obtener 15 kg dedicha mezcla?

ax y

xy

bx y

)

)( )

2

3 2

13

12

32

3

19

3

4

35

3

+ =

− =

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

+= +

(( )x y−2


3Ficha

��

�

60 km/h

2 h

20 km/h

+


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5. Un depósito dispone de dos grifos. Si abrimos solamente el primero, el depósito se llena en 7 horas. Si abri-mos los dos grifos, el depósito se llena en 3 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abre solamen-te el segundo grifo?

6. Teresa ha comprado un bolso y un billetero por 90 ∑. Sabiendo que una quinta parte del precio del bolso cues-ta 10 ∑ más que una octava parte del coste del billetero, ¿cuánto le ha costado cada artículo?

7. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 96 cm y la altura corresponde a dosquintas partes de la base.

8. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, represéntalos gráficamente e indica cuáles de ellos son in-determinados y cuáles son incompatibles.

9. Hace 6 años la edad de una persona era el triple que la de otra, y dentro de 6 años será el doble. Halla la edadde cada una de ellas.

10. Halla una fracción tal que, si sumamos 8 al numerador, resulta igual a 3 y, si le restamos 2 al denominador, re-sulta igual a 1.

a x y

x y

b x y

xy

2

c

)

)

2 2 0

2 2 4

4 1

8

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− = −

+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

)) 3 9

3 9

x y

x y

− =

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

�

y

x

��


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1. Encuentra tres soluciones de la siguiente ecuación y compruébalas.

2x − 5 y = 10

2. Explica el procedimiento que debemos emplear para representar gráficamente las soluciones de esta ecua-ción.

2x + 3 y = 9

3. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

4. Resuelve algebraicamente estos sistemas de ecuaciones.

5. Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado.

Un padre tiene 29 años más que su hijo y dentro de 14 años le doblará la edad.

6. Se han envasado 200 litros de leche en 130 botellas de 2 litros y de 1 litro. ¿Cuántas botellas de cada tipo sehan utilizado?

7. El perímetro de un rectángulo es de 390 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 51 m más de largoque de ancho.

8. El triple de un número más el doble de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 15. ¿Cuálesson estos números?

a x y

x y

b x y

x + y

) )2 3 6

2 3

4 2 8

3 9

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− =

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

3 4

2 1

x y

x y

− =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪


4�Ficha


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1. Despejamos una de las incógnitas de la ecuación,por ejemplo, la y.

Asignamos valores cualesquiera a la otra incógni-ta, x, y calculamos los valores correspondientes ay. De este modo, construimos una tabla de solu-ciones en la que los pares de valores son solucio-nes de la ecuación.

Así, por ejemplo, son soluciones de la ecuación lospares de valores x = −10, y = −6; x = 0, y = −2;x = 5, y = 0.

Comprobamos que estos pares de valores son so-luciones de la ecuación.

2 (−10) − 5 (−6) = 10

2 (0) − 5 (−2) = 10

2 (5) − 5 (0) = 10

2. 2 x + 3 y = 9

• Despejamos una de las incógnitas. Aunque eshabitual despejar la y, es totalmente indiferentecuál de ellas se escoge.

• Despejamos la incógnita y obtenemos la si-guiente expresión:

• Para elaborar la tabla de soluciones, asignamosvalores arbitrarios a la incógnita x y los sustitui-mos en la expresión anterior para obtener los va-lores correspondientes a la incógnita y.

• A cada par de valores x e y de una solución, leasignamos el punto del plano que tiene por coor-denadas (x, y).

• Trazamos la recta que pasa por todos los puntosrepresentados.

3. Construimos las tablas de soluciones de cada unade las ecuaciones.

Representamos gráficamente las soluciones delas dos ecuaciones en un sistema de coordenadascartesianas.

Las dos rectas se cortan en el punto (1, −1), así quela solución del sistema es x = 1, y = −1.

4.

La solución del sistema es x = 3, y = 0.

La solución del sistema es x = −1, y = −6.

5. Las ecuaciones correspondientes al enunciadoson:

x = 29 + y

x + 14 = 2 (y + 14)

6. A partir del enunciado, obtenemos el siguiente sis-tema de ecuaciones:

Cuya solución es x = 70, y = 60. Se han utilizado 70 botellas de 2 litros y 60 botellas de 1 litro.

7. Denominamos x a la altura del rectángulo e y a labase, y obtenemos el siguiente sistema:

Cuya solución es x = 72, y = 123. El rectángulomide 123 m de base por 72 m de altura.

8. A partir del enunciado, se obtiene el sistema si-guiente:

Cuya solución es x = 4, y = −1.

Los números son 4 y −1.

3x y

x y 15

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

2 10

4

2x y

y x 51

+ =

= +

⎫⎬⎪

⎭⎪

2 390

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

130

2 200

b x y

x y

) 4 2 8

3 9

− =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

a x y

x y

) 2 3 6

2 3

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

yx= −9 2

3

yx= −2 10

5

Solucionario

�

�Ficha

x yx= −2 10

5

−10 −6

− 5 − 4

0 − 2

5 0

10 2

x y = 3x − 4 x yx 1

=− −

2

−202

−10−42

−202

0,5−0,5−1,5

Primera ecuación Segunda ecuación

Y

X

1

–1–2–3–4–5–6–7–8–9

–10

2

–1 1 2 3 4 5 6–2–3–4–5–6


5Proporcionalidad aritméticaUnidad


71

5. P

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rcio

nalid

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ritm

étic

a

• Conocer las razones y las propor-ciones, las propiedades de unaproporción y calcular los términosque faltan.

• Reconocer la proporcionalidadentre dos magnitudes y calcular laconstante de proporcionalidad.

• Conocer las relaciones entre lasfracciones, los decimales y losporcentajes, y utilizarlas para ela-borar estrategias de cálculo prác-tico con porcentajes.




© grupo edebé

• Utilizar conceptos matemáticos como proporcionali-dad, porcentajes e interés para interpretar y transmi-tir información.

• Aplicar las proporcionalidades directa o inversa pararesolver problemas de la vida cotidiana.

• Calcular porcentajes en situaciones cotidianas.

• Valorar la importancia que tiene un interés producidopor un capital depositado en una entidad bancaria.



✑


• Fracciones.

• Fracciones equivalentes y expresión decimal de unafracción.

• Cálculo de fracciones y porcentajes.

Educación del consumidor. En la unidadse presentan actividades relacionadascon transacciones bancarias y descuen-tos que pueden ser utilizadas para fomen-tar el conocimiento y la defensa de los derechos que tiene el consumidor y la res-ponsabilidad de sus acciones.


Criterios de evaluación• Conocer y aplicar las propiedades de una proporción.

• Reconocer los términos de una proporción y calcular los que falten.

• Identificar y reconocer la proporcionalidad entre dos magnitudes directamente proporcionales y entredos magnitudes inversamente proporcionales.

• Establecer relaciones de proporcionalidad entre los valores correspondientes de dos magnitudes direc-tamente proporcionales y calcular e interpretar la constante de proporcionalidad directa.

• Establecer relaciones de proporcionalidad entre los valores correspondientes de dos magnitudes inver-samente proporcionales y calcular e interpretar la constante de proporcionalidad inversa.

• Resolver problemas de la vida cotidiana mediante reglas de tres simples directas, reducción a la unidady reglas de tres simples inversas.

• Conocer y utilizar la relación que existe entre un porcentaje, la fracción de denominador 100 y el núme-ro decimal correspondiente.

• Calcular el tanto por ciento y el tanto por uno de una cantidad, y saberlos relacionar.

• Resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con el interés simple y el descuento comercial.

• Utilizar la calculadora para efectuar diferentes cálculos con porcentajes.

• Valorar y utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herramientas útiles y eficacespara practicar el cálculo de porcentajes, descuentos e intereses.

�

CBCB


ContenidosApartados

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• Porcentajes. C

• Aumentos y disminuciones porcentuales. C

• Interés simple. C

• Descuento comercial. C

• Cálculo de porcentajes. P

• Resolución de problemas de interés simple y de descuento comercial. P

• Aplicación de estrategias que faciliten el cálculo mental en las operaciones aritméticas. P

• Uso racional de la calculadora para efectuar cálculos de proporcionalidad numérica. P

• Uso de las tecnologías de la información y la comunicación para profundizar en las diversasaplicaciones del cálculo de porcentajes, descuentos e intereses. P

• Resolución de problemas modificando previamente el enunciado como estrategia. P

• Interés y respeto por las estrategias y las soluciones a problemas numéricos distintas de laspropias. V

3. Porcentajes(págs. 108-111)

• Razón y proporción. C

• Términos de una proporción. C

• Propiedades de una proporción. C

• Cuarto, tercero y medio proporcionales. C

• Identificación de proporciones. P

• Cálculo del cuarto, el tercero y el medio proporcionales. P

• Aplicación de la proporcionalidad aritmética en la resolución de situaciones de la vida coti-diana. P


1. Razones y proporciones (págs. 98-101)

2. Magnitudes proporcionales(págs. 102-107)

• Magnitudes dependientes. C

• Magnitudes directamente proporcionales. C

• Constante de proporcionalidad directa. C

• Regla de tres simple directa. C

• Método de reducción a la unidad. C

• Repartos directamente proporcionales. C

• Magnitudes inversamente proporcionales. C

• Constante de proporcionalidad inversa. C

• Regla de tres simple inversa. C

• Repartos inversamente proporcionales. C

• Identificación de magnitudes directamente proporcionales. P

• Cálculo de la constante de proporcionalidad directa. P

• Resolución de problemas mediante la regla de tres simple directa. P

• Resolución de problemas por el método de reducción a la unidad. P

• Resolución de problemas de repartos directamente proporcionales. P

• Identificación de magnitudes inversamente proporcionales. P

• Cálculo de la constante de proporcionalidad inversa. P

• Resolución de problemas mediante la regla de tres simple inversa. P

• Resolución de problemas de repartos inversamente proporcionales. P


• Confianza razonada en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos. V


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• Observar las definiciones de razón y pro-porción, y los nombres de sus términos.

• Comentar las propiedades de la propor-ción y seguir los ejemplos en que se apli-can para obtener sus términos.

• Mostrar el uso de tablas para la determi-nación de magnitudes dependientes, tan-to directamente proporcionales como in-versamente proporcionales.

• Observar el uso del concepto de propor-cionalidad en las reglas de tres simples di-rectas o inversas.

• Entender los conceptos de porcentaje ytanto por uno, y su relación, así como elmodo de calcularlos.

• Reflexionar sobre la presencia de porcen-tajes en diversas actividades cotidianas.

• Observar el uso de las palabras interés ydescuento, y su relación con el conceptode porcentaje, así como también seguirlos procedimientos para calcularlos.

Antes de iniciar el estudio de las proporciones, conviene recordar la propiedadfundamental de las fracciones equivalentes y también cómo comprobar si dosfracciones son equivalentes. Después de introducir las razones, hay que desta-car que, mientras que en las fracciones el numerador y el denominador tienenque ser números enteros, en las proporciones el antecedente y el consecuentepueden ser números cualesquiera. Se puede trabajar el cálculo mental mediantela obtención de los términos de una proporción. Por ejemplo:• Juan compra 10 kg de patatas que cuestan 550 céntimos y Rosa 15 kg que

cuestan 825 céntimos.

• Caminando a la misma velocidad, Juan ha tardado 10 min en recorrer 1,2 kmy Rosa ha tardado 20 min en recorrer 2,4 km.


Profundización: Ficha 3. Actividades 1, 2 y 4 (CR)

Al mismo tiempo que se presentan a los alumnos diversas situaciones entre dosmagnitudes directamente proporcionales, es necesario que se presenten situa-ciones en las que estas magnitudes no sean directamente proporcionales. Ade-más, habría que insistir en los procedimientos para resolver problemas en losque intervengan magnitudes directamente o inversamente proporcionales; esdecir, las reglas de tres directas e inversas, simples y compuestas. Por ejemplo:• Si 3 libretas cuestan 2,7 euros, ¿cuánto costarán 5 libretas?

Los alumnos han de observar que los problemas en los que intervienen magnitu-des directamente proporcionales o magnitudes inversamente proporcionalespueden resolverse de dos maneras diferentes.



En los problemas en los que se ha de aumentar o disminuir una cantidad segúnun cierto porcentaje a %, hay que constatar que las cantidades iniciales y las can-tidades obtenidas después de aplicar el porcentaje son directamente proporcio-nales.

Los alumnos tienen que reconocer que los porcentajes permiten hacer compara-ciones relativas.

Han de señalarse algunos de los errores habituales cuando se trabaja con porcen-tajes: olvidar que siempre se trabaja con cantidades relativas a una dada; si éstavaría hay que volver a calcularlo todo. Finalmente, hay que insistir en la importan-cia de los porcentajes en el estudio de otras materias, especialmente en temaseconómicos; para ello, se promoverá que los estudiantes descubran noticias oanuncios en los diarios que incluyan el cálculo de porcentajes (intereses de losbancos, índices de la bolsa, descuentos, etc.).



Profundización: Ficha 3. Actividad 3 (CR)

Primer procedimientoSegundo procedimiento

(método de reducción a la unidad)

Calcular el cuarto proporcional de

3, 2, 7 y 5.

Calcular primero el valor de una libreta.

Y, a continuación, calcular el valor de 5 libretas.

5 · 0,9 = 4,5 euros

2 70 9

,,

3=

3

5

2 7

5 2 7

34 5

= ⇒

⇒ =⋅

=

,

,,

x

x euros


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Otras propuestas de actividades• Al empezar la unidad el profesor/a puede proponer a los alumnos que busquen ejemplos cotidianos: re-

cetas de cocina, etiquetas de productos, información deportiva, rebajas... en las que aparezcan propor-ciones, porcentajes y descuentos.

• Los alumnos pueden formar grupos y elaborar una presentación sobre diversos tipos de proporcionespresentes en el arte y en la naturaleza: arquitectura, escultura, música, botánica...

✍



— Definir los términos razón y proporción, y expresar un ejemplo numérico de cada uno de los términos.

— Calcular el término que falta en unas proporciones, indicar si se trata del cuarto, del tercero o del me-dio proporcional, y nombrar las proporciones en las que coinciden los medios y los extremos.

— Justificar si una serie de pares de magnitudes son o no dependientes y, en las que lo sean, expresarsi se trata de una proporción directa o inversa, y determinar e interpretar en cada caso la constantede proporcionalidad.

— Solucionar una serie de problemas cotidianos utilizando la proporcionalidad (directa o inversa).

• Enumerar situaciones cotidianas en las cuales esté presente la proporcionalidad.

• Realizar cálculos de porcentajes con la calculadora valorando los resultados obtenidos.


• Actividad 68. Acceder a una página web para obtener más información práctica sobre la resolución deproblemas de porcentajes y descuentos.

• Actividad 69. Consultar una página web para recopilar información sobre la proporción áurea y su descu-bridor.



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Refuerzo

1. Completa la figura 1.

— Lee la definición de magnitudes directamente proporcionales en lapágina 102 del libro. ¿Son directamente proporcionales las magni-tudes representadas por A y por B?

2. Completa las máquinas de la figura 2, sabiendo que A y B representandos magnitudes directamente proporcionales.

3. Esta figura reproduce la primera máquina del ejercicio anterior. Tomaun valor cualquiera de la magnitud A y el valor correspondiente de lamagnitud B, y escribe la razón.

— Haz lo mismo con otro par de va-lores. ¿Obtienes el mismo valor?

— Prueba ahora con otros pares devalores correspondientes.

— Completa:

La razón entre pares de valorescorrespondientes de dos magni-tudes directamente proporcio-nales es un valor ..................... y se denomina constante de.....................

4. Sigue los pasos indicados a continuación y resuelve este problema.

Si un pintor pinta 5 m de una valla en 2 h, ¿cuántos metros pintará en 5 h?

— Responde a estas preguntas para saber si se trata de una proporcionalidad directa.

• Los metros pintados, ¿dependen del tiempo empleado?

• ¿Para pintar el doble de metros, necesitará el doble de tiempo?

• ¿Para pintar el triple de metros, necesitará el triple de tiempo?

— Llama x a la cantidad desconocida que queremos hallar y completa:

Tiempo (h) Valla pintada (m)

2 5

5 x

5. Resuelve los siguientes apartados.

a) Si 15 m de tela cuestan 112,70 €, ¿cuánto costarán 37 m de tela? ¿Cuántos metros podremos comprar con52,60 €?

b) Si para preparar un biberón de 90 ml se necesitan 3 cucharadas de leche en polvo, ¿cuántas se necesitaránpara preparar uno de 150 ml?

c) Sabiendo que la superficie del mar se encuentra a una presión de 1 atm y que cada 10 m que nos sumergi-mos aumenta la presión 1 atm, ¿cuál es la presión que cabe esperar a unos 32 m de profundidad?

⇒ = ⇒⋅ = ⋅=

2

5

5 2 5 5

x

x

x .......


1Magnitudes directamente proporcionales

Ficha

��

�

A B

x22

3

4

5

6

9

12

15

1 3x2

x2

x2

4

14

14

9

20

15

40

81

2

7

5

3

x2

x2

A

A

B

B

A B

4

8

14

16

10

20

35

40

2 2

14 2

5

=

5

Fig. 1.

Fig. 2.


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Refuerzo1Ficha

��

1. Sí.

2.

3. — Sí.

—

— ...constante... ; ...proporcionalidad.

4. — Sí ; sí ; sí.

— 12,5

5. a) 277,99 €, 7 m ; b) 5 cucharadas ; c) 4,2 atm

8

20

16

40;

Solucionario

�

A B

x2

x4 x4

x7 x7

x8 x8

4

8

14

16

10

20

35

40

2 5x2

x2

x5 x5

x3 x3

x27 x27

14

21 9

1535

81189

7 3

6x2

A B


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Refuerzo

Recuerda que un porcentaje o tanto por ciento es una determinada cantidad de cada 100 unidades considera-das.

Así, por ejemplo, el 5 % de 200 es:

Fíjate en que calcular un porcentaje de una cantidad determinada equivale a resolver una regla de tres simple directaen la que uno de los datos es 100.

1. Lee los siguientes enunciados y completa las operaciones.

a) Sergio ha comprado un ordenador cuyo precio era 1 050 €, y como lo ha pagado al contado le han hecho undescuento del 12 %. ¿Cuánto ha tenido que pagar finalmente?

Por tanto, Sergio ha pagado .......... − 126 = .......... €.

b) El padre de Cristina se ha comprado un televisor, y como lo ha pagado al contado le han hecho un descuen-to del 8%. Si el descuento ha sido de 36 €, ¿cuál es el precio del televisor?

Por tanto, el precio del televisor es .......... €.

2. Resuelve estos apartados.

a) Susana se ha comprado ropa por un valor de 132 €. Dado que es una clienta habitual le han hecho undescuento del 5 %. ¿Cuánto ha pagado en realidad?

b) Julio adquirió, en temporada de rebajas, una bicicleta. Le hicieron un descuento del 9 %. Si el descuento fuede 10,15 €, ¿cuál era el precio de la bicicleta?

c) ¿Qué porcentaje representan 54 € respecto de 450 €?

3. Di si son ciertas o falsas estas afirmaciones.

a) Unas rebajas se anuncian con el 20 % de descuento. Un traje se marca con 100 € y el encargado de latienda afirma que el precio anterior era de 120 €.

b) José ha comprado un coche por 10 000 € y le han rebajado 500 €. Luis ha comprado otro coche por12 000 € y le han rebajado 500 €. Así, pues, el porcentaje de descuento es el mismo.

c) Al sumar el 5 % a una cantidad, y después de restar el 5 % a la nueva cantidad, volvemos a obtener la can-tidad inicial.

8

100

36

8= ⇒ = ⋅ =..........

..........

..........x 4450

..........

..........

..........

..100

12= ⇒ = ⋅xx

.........= 126

5

100 200

5 200

10010= ⇒ = ⋅ =x

x

5 2005

100200 10% de = ⋅ =


2Porcentajes

Ficha

��

�


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Refuerzo2Ficha

��

1. a) 12, 1 050, 1 050, 100, 1 050, 924 b) 36, x, 100, 450

2. a) 125,4 € ; b) 112,78 € ; c) 12 %

3. a) Falsa, porque el 20 % se ha de calcular sobre el precio marcado anteriormente, 120 €.

b) Falsa, porque si fuese así la cantidad rebajada debería ser proporcional al precio.

c) Falsa, porque el 5 % de la segunda cantidad es más grande que el 5 % de la primera cantidad.

Solucionario

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Profundización

1. Observa estas proporciones y escribe el enunciado de la propiedad correspondiente.

2. Fracciones y fichas de dominó.

Saca todas las fichas dobles de un juego de dominó (el seis doble, el cinco doble, etc.) y todas las fichas con 0(es decir, sin ningún punto en una de sus mitades). Así te quedarán quince fichas para jugar. Con estas fichaspuedes hacer operaciones con fracciones como ésta:

a) Coloca la ficha que resuelve esta operación.

b) ¿Hay alguna ficha que resuelva esta otra operación? ¿Cuántas?

c) Coloca las quince fichas en tres filas de cinco. ¿Puedes conseguir que todas las filas sumen 10?

3. Cuando un banco hace un préstamo, acostumbra a cobrar un porcentaje de este capital. Este porcentaje sedenomina, como ya sabes, interés. Por ejemplo, si un banco cobra un interés del 8 % por un préstamo de1 000 000 de euros a una persona, ésta le tendrá que pagar 80 000 euros de interés al cabo de un año (a par-te del dinero que le han prestado). De la misma forma, si una persona deposita dinero en el banco, algunas ve-ces, el banco le paga un interés por tenerlo, de acuerdo con el llamado interés compuesto: si una persona de-posita dinero en el banco y éste le da un interés compuesto del 6 %, esto significa que en un año recibirá un6 %, y sumará el dinero que tenía más el interés que le dan; al segundo año, se calculará el interés del 6 % so-bre esta suma, y así, sucesivamente, los siguientes años. Esta tabla muestra un caso concreto:


3Ficha

��

�

55

1

110

2

55 1

1

110 2

255 1

55

110 2

110

= ⇒

+ = +

− = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

4

1

6

5

6

21

12+ =+ =

+ =

+ =

Años Total a finalde año

1.o

2.o

3.o

4.o

1 000 000 60 000 1 060 000

1 060 000 63 600 1 123 600

1 123 600 67 416 1 191 016

1 191 016 71 460 1 262 476

Interés compuesto(6 %)

Dinero a principios de año


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En este caso, al cabo de 4 años, esta persona habría cobrado 262 476 euros de interés. En cambio, si hubie-se cobrado el interés normal (que se denomina interés simple), habría cobrado 60 000 euros cada año; es de-cir, 240 000 euros de interés.

— Supón que una persona deposita 800 000 euros en un banco a un interés del 8 %. Completa la tabla del in-terés compuesto de los próximos 5 años.

— Responde:

a) ¿Cuántos años han de pasar para que se doble el dinero que se había depositado en el banco, calcula-do con el interés compuesto? ¿Y con el interés simple?

b) Haz lo mismo para una cantidad inicial de 1 200 000 €. ¿Qué observas en los resultados de las pregun-tas anteriores?

c) Ya sabes que la fórmula para obtener el interés de una cantidad c, a un interés i, en un número de añosn es I = c · i · n. ¿Cuál sería la fórmula para obtener el interés compuesto?

4. El número 60 846 400 se denomina cadena cuadrada. El motivo es que, aunque no es un número elevado alcuadrado, las cuatro primeras cifras sí que son un número al cuadrado:

782 = 6 084

Si se eliminan las dos primeras cifras, las cuatro cifras siguientes forman otro cuadrado:

922 = 8 464

Eliminando las cuatro primeras cifras del número original, las cuatro cifras siguientes también forman un cua-drado:

802 = 6 400

I así, sucesivamente, si hubiesen más cifras.

Nota: se considera que los números de cuatro cifras no pueden ser menores de 1 000, ni los números de doscifras menores de 10; es decir, el número 160 025 no es una cadena cuadrada correcta, porque 0025 no es unnúmero de cuatro cifras que cumpla la condición anterior.

— Responde:

a) Di si son cadenas cuadradas estos números.

102 401

43 922 378

0 398 252 356

11 562 500

8 390 384 652

124 834 929 332

b) Escribe otras tres cadenas cuadradas.

Nota: 2 304 846 400 no lo es, porque 0 484 comienza por 0.

�

Años Total a finalde año

1.o

2.o

3.o

4.o

5.o

Interés compuestoDinero

a principios de año


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1. Define los términos razón y proporción, y pon un ejemplo numérico de cada uno.

2. Calcula el término que falta en las proporciones siguientes e indica, en cada caso, si se trata de el cuarto, el terce-ro o el medio proporcionales.

— ¿Qué nombre reciben las proporciones en las que coinciden los medios o los extremos?

3. Determina si estos pares de magnitudes son dependientes y, entre las que lo sean, las que son directamente o in-versamente proporcionales.

a) Tiempo de depósito de un capital → Interés producido

b) Perímetro de un cuadrado → Área del mismo cuadrado

c) Número de dentistas de una ciudad → Tipo de interés unitario de las entidades financieras de la ciudad

d) Masa de una galleta → Número de galletas preparadas

— En las relaciones que sean proporciones, indica e interpreta la correspondiente constante de proporcio-nalidad.

4. En este recuadro puedes leer los ingredientes para preparar un pastel de manzana para 4 personas.

— Calcula qué cantidades necesitaremos si queremos preparar un pastel para 6 personas.

5. Por pintar un apartamento, tres pintores cobraron 1 560 € y trabajaron 20, 40 y 60 horas. ¿Cuánto recibirá cadauno de ellos?

6. Un ganadero tiene forraje para alimentar 24 vacas durante 10 días. ¿Para cuántos días dispondrá de forraje si ven-de 4 vacas?

7. Calcula qué capital, al 5 % de interés durante un año, produce el mismo interés que 780 € al 6,5 %.

8. Si abonamos 90 días antes de lo acordado un recibo de 360 € y el tipo de interés es del 8 % anual, ¿cuánto nosahorraremos por pagarlo anticipadamente? ¿Cuánto deberemos pagar?

9. Tres pintores pintan 100 m2 de pared en 3 horas. ¿Cuántos metros de pared pintarán 9 pintores en 5 horas?

ax

bx

) )12

15

4 3

10

10= = )cx

x3

27=


4�Ficha

Pastel de manzana

Ingredientes para 4 personas:

— 2 huevos

— 4 manzanas

— 6 cucharadas de azúcar

— 12 cucharadas de harina


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1. Se denomina razón de dos números, a y b, siendo

b � 0, el cociente entre estos dos números, .

Ejemplo: la razón de 25 y 13 es

Cuatro números a, b, c y d forman una proporción sicumplen:

Ejemplo: 2, 5, 4 y 10 forman proporción, ya que:

2. a) 12x = 60 ⇒ x = 5. Es el cuarto proporcional.

b) 3x = 100 ⇒ x = 33,3. Es el tercero proporcional.

c) 81 = x2 ⇒ x = 9. Es el medio proporcional.

— Proporciones continuas.

3. a) Son magnitudes dependientes y directamenteproporcionales.

La constante de proporcionalidad directa será elproducto del capital inicial por el interés unitario:

y = (c � r ) � t

b) Son magnitudes dependientes, pero no propor-cionales:

c) El número de dentistas no depende del tipo de in-terés unitario.

d) Son magnitudes dependientes e inversamenteproporcionales.

La constante de proporcionalidad inversa será lamasa total de galletas preparadas.

número de galletas � masa de una galleta == masa total

4.

Necesitamos 3 huevos, 6 manzanas, 9 cucharadasde azúcar y 18 cucharadas de harina.

5.

Les corresponde a cada uno 260 €, 520 € y 780 €.

6. 24 � 10 = 20 � x ⇒ x = 12

Dispondrá de forraje durante 12 días.

7. 6,5 % de 780 € = 0,065 � 780 € = 50,7 €

5 % de C = 50,7 € ⇒ 0,05 � C = 50,7 € ⇒

⇒ C = 1014 €

El capital será 1014 €.

8.

Nos descontarán 7,2 €.

Deberemos pagar 360 € − 7,2 € = 352,8 €.

9. 500 m2

Y = ⋅ ⋅ =360 0 0890

3607 2, ,

x y z x y z

x

20 40 60 20 40 60

1560

12013

2013

= = =+ +

+ += =

= ⇒ xx

yy

zz

=

= ⇒ =

= ⇒ =

260

4013 520

6013 780

2

4 63

4

4 66

6

4 69

12

4 618

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

xx

xx

xx

xx

área perímetro= ⋅1

162( )

2

5

4

10=

a

b

c

d=

25

13.

a

b

Solucionario

�

�Ficha


6Proporcionalidad geométricaUnidad

Tecnologías; Educación Plástica y Visual

83

6. P

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a

• Calcular la razón de dos segmen-tos y reconocer pares de seg-mentos proporcionales.

• Conocer el teorema de Tales y al-gunas de sus aplicaciones.

• Reconocer triángulos en posiciónde Tales y resolver problemas en losque intervengan estos triángulos.

• Apreciar la utilidad de situacionesde proporcionalidad geométricaen nuestro entorno.




© grupo edebé

• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar ytransmitir la información.

• Aplicar los conceptos geométricos elementales a laresolución de problemas de la vida cotidiana.

• Presentar de forma clara y ordenada las construc-ciones y los trabajos geométricos.

• Valorar el uso de recursos y herramientas matemáti-cos para afrontar situaciones que lo requieran.

• Utilizar medios informáticos para realizar construc-ciones geométricas.



✑

Contenidos que se trabajan antes de empezar la unidad:

• Fracciones.

• Rectas en un plano.

• Ángulos.

Educación para la paz. El profesor/apuede aprovechar la idea de proporciona-lidad asociada a la belleza para tratar lasactitudes de respeto hacia las característi-cas y las cualidades de las otras personas.


Criterios de evaluación• Reconocer situaciones de la vida cotidiana en las que interviene la proporcionalidad geométrica.

• Calcular la razón de dos segmentos.

• Reconocer pares de segmentos proporcionales a partir de la igualdad entre sus razones.

• Dibujar pares de segmentos proporcionales con una razón de proporcionalidad dada.

• Conocer el teorema de Tales y aplicarlo para hallar medidas indirectas.

• Dividir gráficamente un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados y aplicarlo al efec-tuar repartos proporcionales.

• Dividir gráficamente un segmento en partes iguales y aplicarlo a la representación de fracciones sobre larecta.

• Determinar gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados y el segmento terce-ro proporcional a dos segmentos dados.

• Reconocer triángulos en posición de Tales.

• Calcular las longitudes de los lados de triángulos en posición de Tales aplicando la proporcionalidad desus lados.

• Resolver problemas de la vida cotidiana en los que intervengan triángulos en posición de Tales.

• Adquirir una actitud de interés en buscar triángulos en posición de Tales para resolver diferentes proble-mas de la vida cotidiana.

�

CBCB


ContenidosApartados

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• Triángulos en posición de Tales. C

• Identificación de triángulos en posición de Tales. P

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la geometría para conocer y resolver diversassituaciones relativas al entorno físico. V

3. Triángulos enposición de Tales(pág. 129)

4. Construccionesgeométricascon ordenador(págs. 130-131)

• Razón y proporcionalidad de segmentos: constante o razón de proporcionalidad. C

• Cálculo de la razón de dos segmentos. P


• Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como una forma eficaz para realizar de-terminadas actividades. V

1. Razón yproporcionalidadde segmentos(pág. 122)

2. Rectas secantescortadas porparalelas(págs. 123-128)

• Rectas secantes cortadas por paralelas. C

• Teorema de Tales. C

• Segmento cuarto proporcional. C

• Segmento tercero proporcional. C

• Aplicación del teorema de Tales para el cálculo de medidas indirectas. P

• División de un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados y división de unsegmento en partes iguales. P

• Determinación del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados. P

• Determinación del segmento tercero proporcional a dos segmentos dados. P

• Gusto por la realización sistemática y la presentación esmerada y ordenada de trabajos geométricos. V

• Uso del ordenador para realizar construcciones geométricas. P

• Resolución de problemas mediante la estrategia de la experimentación con la posible solu-ción. P

• Aplicación de estrategias de cálculo mental que faciliten las operaciones en geometría. P

• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador. V


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• Presentar los conceptos de razón de dossegmentos, segmentos proporcionales yrazón de proporcionalidad.

• Relacionar el concepto de razón de seg-mentos y segmentos proporcionales conel concepto de relación numérica.

• Mostrar el resultado de cortar dos rectassecantes con varias paralelas.

• Seguir el proceso que conduce a encon-trar la relación que se establece entre lossegmentos que se obtienen al cortar dosrectas secantes por rectas paralelas.

• Leer el enunciado del teorema de Tales yrelacionarlo con lo anterior

• Ver las aplicaciones del Teorema de Tales.

• Observar dos triángulos en posición deTales y reconocer que tienen un ángulo encomún y los lados opuestos a este ángu-lo son paralelos.

• Comprobar que tienen los lados propor-cionales e identificarlos.

Al iniciar el estudio de la razón y de la proporcionalidad de segmentos, es con-veniente que el profesor/a compruebe si los alumnos recuerdan la simplifica-ción de fracciones y la búsqueda de fracciones equivalentes a una dada. Paraello, también debe insistirse en actividades de cálculo mental del tipo:

La razón de dos segmentos es 3/4. Si el primero mide 6 cm, ¿cuánto mide elsegundo?


Refuerzo: Ficha 1. Actividades 1 y 2 (CR)


Las diferentes construcciones geométricas deben realizarse de forma correc-ta y precisa: división de un segmento en partes proporcionales a unos seg-mentos dados, división de un segmento en partes iguales, determinación grá-fica del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados...

Tras construir gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentosdados y el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados, puedeproponerse el cálculo numérico de su medida, así los alumnos podrán com-probar la equivalencia de ambos procesos, el numérico y el gráfico (siempreque las construcciones geométricas se ejecuten correctamente).

Debe recordarse a los alumnos la siguiente propiedad de las proporciones:

y a continuación observar que, teniendo en cuenta esta propiedad, al cortar dosrectas secantes por tres rectas paralelas —tal y como se observa en la figura si-guiente— se obtienen los siguientes pares de segmentos proporcionales:

Dado que AC = AB + BC y que A′C′ = A′B′ + B′C′.


Refuerzo: Ficha 1. Actividad 3 (CR)


AB

A B

BC

B C

AC

A C′ ′=

′ ′=

′ ′

a

b

c

d

a c

b d

c

d= ⇒ +

+=

Antes de empezar este apartado, el alumno/a debe conocer y saber aplicarperfectamente el teorema de Tales. La resolución de las actividades de la pre-paración de la unidad nos recordará qué son ángulos correspondientes.

Es conveniente que el profesor/a explique detalladamente cada uno de los pa-sos seguidos en la demostración de la proporcionalidad de los lados de dostriángulos en posición de Tales y que remarque la aplicación del teorema deTales en esta demostración.



Profundización: Ficha 3. Actividad 7 a 10 (CR)

En este apartado se explica cómo proceder para dibujar una serie de construc-ciones geométricas con un programa determinado. El profesor/a, según suspreferencias o el software de que disponga, podrá utilizar el programa que con-sidere más interesante.

En las sesiones con ordenador, conviene considerar los diferentes niveles quepuedan tener los alumnos en su manejo, y así, tenerlo presente a la hora de for-mar grupos o de plantear las distintas actividades.

• Analizar los procedimientos que se mues-tran para la construcción de ciertos ele-mentos geométricos, e intentar reproducir-los con un programa adecuado.

A

A’ B’ C’

BC


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Otras propuestas de actividades• En el apartado de Crónica matemática, se habla de algunas proporciones que se dan en objetos cotidia-

nos. Se podría proponer que los alumnos buscasen más ejemplos en los que se dieran este tipo de pro-porcionalidades, y comprobar mediante la medición directa que efectivamente se cumplen.

• A lo largo de la historia, la idea de belleza en el arte y la arquitectura ha ido muy ligada a la proporciona-lidad. El profesor/a, si lo considera oportuno, puede proponer la confección de un mural en el que semuestre cómo han cambiado los cánones de proporcionalidad en la pintura y la arquitectura en el trans-curso de la historia.

✍



— Calcular la razón entre dos segmentos.

— Realizar un reparto proporcional numérica y gráficamente.

— Dividir un segmento en partes iguales.

— Representar fracciones sobre la recta.

— Determinar gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados.

— Obtener gráficamente el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados.

— Obtener las longitudes de unos segmentos aplicando el teorema de Tales.

— Resolver un problema cotidiano aplicando el teorema de Tales.

— Calcular las longitudes de los lados de dos triángulos aplicando el teorema de Tales.

— Responder a una cuestión referente a triángulos en posición de Tales.

• Identificar en construcciones geométricas triángulos en posición de Tales.

• Enumerar diversas situaciones en las que puede ser útil la aplicación del teorema de Tales.


• En el último apartado de la unidad se explica la utilización de un programa informático para efectuar di-versas construcciones geométricas.

• En la actividad 50 se propone visitar una página web y realizar una serie de ejercicios.



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Refuerzo

Recuerda que la razón de dos segmentos es el cociente entre sus longitudes. Además, si los segmentos a y b tienen lamisma razón que los segmentos c y d, decimos que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d.

1. Indica la razón entre AB y CD en los siguientes casos.

a) AB CD Razón:

b) AB CD Razón:

c) AB CD Razón:

d) AB CD Razón:

¿Hay pares de segmentos que sean proporcionales?

2. Resuelve estas cuestiones.

a) La razón de los segmentos AB y CD es . ¿Cuánto mide el segmento AB si el segmento CD mide 12 m?

b) La razón de dos segmentos es . Si la longitud del segmento más largo es de 30 dm, ¿cuál es la longitud del

otro?

c) ¿Dos segmentos de longitudes 24 cm y 12 cm son proporcionales a dos segmentos de longitudes 6 cm y 3 cm?¿Y dos segmentos de longitudes 50 cm y 25 cm son proporcionales a dos segmentos de longitudes 10 cm y 2 cm?

d) Elige cuatro segmentos entre los que tienen por longitudes 4 cm, 8 cm, 7 cm, 4 cm, 2 cm y 10 cm que sean pro-porcionales.

3. Considera las dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas de la figura siguiente.

Resuelve:

a) Mide los segmentos AB, BC, A�B� y B�C�, y compara los co-

cientes: y .

b) Completa: Si dos rectas ................... son cortadas por un conjuntode rectas ..................., los segmentos determinados en una de ellasson proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

A B

B C

′ ′′ ′

AB

BC

2

3 303 60= → = =x

x x dm; ..........

2

3

AB

CD

ABAB AB m= → = → = =3

2 12

3

22 36 ; ..........

3

2


1Razón y proporcionalidad de segmentos

Ficha

��

�

A

A' B' C'

B

C


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Refuerzo1Ficha

��

1. a) 3

b) 3

c) 5/3

d) 1,5/5

Son proporcionales los pares a) y b).

2. a) 18 m b) 20 dm c) Sí, no d) 2 cm y 4 cm, 4 cm y 8 cm

3. a) 0,55 y 0,56

b) ...secantes..., ...paralelas...

Solucionario

�


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Refuerzo

1. Observa los triángulos ABC y DBE representados en la figura siguiente, y re-suelve las cuestiones de cada uno de los apartados.

a) Mide sus lados y compara estos cocientes.

b) Mide y compara sus ángulos.

c) Completa: Los triángulos ABC y DBE tienen los ............................ proporcio-nales y los ángulos ............................

2. Comprueba el teorema de Tales, midiendo todas las distancias necesarias (AB, AC, A′B′ y A′C′).

— Comprueba, también, que .

3. Señala los apartados en que puedes afirmar que sin necesidad de hacer cálculos.

a) d)

b) e)

c) f)

Comprueba los resultados midiendo los lados que consideres necesarios de cada figura.

AB

AB

AC

AC

BC

BC′ ′ ′= =

AB

A B

BC

B C′ ′ ′ ′=

AB

DB

BC

BE

CA

ED, ,


2Triángulos en posición de Tales

Ficha

��

�

C

E

A BD

A

A’

B’

C’

B

C

B’C’

B C

A

B’ C’

B C

A

B’C’

B C

A

B

B’ C

C’

A

BB’

CC’

A

B

B’ C

C’

A


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6. P

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Refuerzo2Ficha

��

1. a) Iguales a 1,7.

b) Todos miden 60o.

c) ...lados..., ...iguales.

3. b, d, e

Solucionario

�


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Profundización

1. La razón de dos segmentos cuya longitud está expresada en decímetros es 3. ¿Cuál es su razón si la longitud de estos segmentos está expresada en centímetros? ¿Y si está expresada en milímetros?

2. Identifica una fracción para cada uno de los puntos señalados en la recta.

3. Averigua si las rectas r y s de esta figura son paralelas.

4. Considera el triángulo ABC de la figura y traza una recta por los puntos medios M y N de los lados BC y CA.

— Comprueba que AB es paralelo a NM y que la longitud de NM es la mitad de la longitud de AB.

5. Utiliza el resultado de la actividad anterior para calcular la longitud del segmento NM del triángulo de la figurasiguiente si M y N son los puntos medios de los dos lados del triángulo.

6. Observa en esta figura tres rectas que pasan por el punto A cortadas por tres rectas paralelas.

a) Completa:

b) Si B�C� mide 3 cm; C�D�, 2,5 cm y D�C�, 4 cm, ¿cuánto mide C�B�?

AB

AB

AC

AC

B C B C′ ′ ′ ′ ′= =............

′′′′ ′′

′ ′B C

C D=............


3Ficha

��

�

–1 0

r4 cm

5 cm

3 cm

2,9 cm s

C

A B

MN

N M

6 cm

D′′

B′ C′

C DB

A

D′

C′′ B′′


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7. Indica tres formas de construir un triángulo isósceles con una regla y un compás. Aquí tienes una:

Se dibuja una circunferencia y se trazan dos radios y una cuerda; este triángulo es isósceles.

8. ABCD es un rectángulo que cumple que BC = 3 AB. P y Q son puntos que dividen el segmento BC en tres par-tes iguales; es decir, BP = PQ = QC, tal como muestra la figura.

Demuestra que: ángulo DBC + ángulo DPC = ángulo DQC

9. Comprueba que, dado este rectángulo, se cumple: p 2 + q 2 = s 2 + r 2

10. Observa la figura. Hipócrates de Quíos demostró que las áreas sombreadas son iguales. Es decir, el área som-breada del triángulo rectángulo isósceles, de hipotenusa igual al diámetro de la semicircunferencia pequeña, y elárea sombreada de la lúnula formada entre las dos semicircunferencias, son iguales.

Compruébalo:

�

A D

B CQP

A

D

B

C

sq

r

V

p


�93

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1. La razón de los segmentos a y b es y la razón de los segmentos a y c es . Halla la razón de los segmentos b y c.

2. Eva y Manuel han comprado por 5 € una barra de helado cuya longitud es 30 cm. Eva ha contribuido con dos mo-nedas de 1 € y Manuel, con tres. Se quieren repartir el helado en partes proporcionales a lo que ha aportado cadaamigo. Calcula numéricamente y gráficamente la parte de helado que les corresponde a cada uno de ellos.

3. Dibuja un segmento de 5 cm y divídelo en tres partes iguales.

4. Representa sobre la recta las siguientes fracciones:

5. Construye el segmento cuarto proporcional a tres segmentos a, b y c cuyas longitudes son 2 cm, 4 cm y 8 cm, res-pectivamente.

6. Construye el segmento tercero proporcional a dos segmentos a y b cuyas longitudes son 4 cm y 9 cm, respecti-vamente.

7. Halla las longitudes x e y de los segmentos indicados en esta figura.

8. Si un palo de 2 m proyecta una sombra de 3 m, ¿qué sombra proyectará un árbol de 9 m en el mismo momento?

9. Calcula las longitudes que faltan.

10. ¿Es cierto que, si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, pueden situarse en posición de Tales?

a b) )8

5

5

4−

1

3

1

2


4�Ficha

10 cm 6 cm

12 cm

x

y

5 cm

15 cm

9 cm

3 cm


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1. La razón entre los segmentos b y c es:

2. Eva: x cm; Manuel: (30 − x ) cm

A Eva le corresponden 12 cm de helado y a Manuel,18 cm.

Gráficamente:

3.

4. a)

b)

5.

6.

7.

Las longitudes son x = 7,2 cm e y = 7,5 cm.

8.

La sombra proyectada por el árbol es de 13,5 cm.

9.

10. Sí, porque dos triángulos con dos ángulos igualesdeben tener el tercer ángulo igual.

9 2

3

27

213 5

xx= → = = ,

6 4

57 5

6 10

127 2

yy

xx

= → =

= → =

,

,

− = − −5

41

1

4

8

51

3

5= +

x xx

2

30

312= − → =

b

c

b

ac

a

= = =

1

23

1

2

3

Solucionario

�

�Ficha

9 cm

4 cm

9 cm

10 cm 6 cm

4 cm

12 cm

x

y

5 cm

2 m

3 mx

9 m

15 cm

9 cm9 cm

5 cm

3 cm 3 cm

12 cm30 cm

5 cm

1 20

0–1–2

4 cm

8 cm

2 cm


7SemejanzaUnidad

Ciencias Sociales, Geografía e Historia; EducaciónPlástica y Visual; Ciencias de la Naturaleza

95

7. S

emej

anza

• Reconocer triángulos semejantesaplicando los criterios de semejan-za y calcular la razón de semejanza.

• Reconocer y construir polígonos se-mejantes, calcular la razón de seme-janza y relacionarla con la razón desus perímetros y con la de sus áreas.

• Conocer el concepto de escala yaplicarla a situaciones reales.

• Valorar positivamente el esfuerzode análisis que comporta la bús-queda y la identificación de seme-janzas en los fenómenos de nues-tro entorno.




© grupo edebé

• Utilizar el lenguaje geométrico para describir situa-ciones cotidianas en las que aparezcan figuras se-mejantes.

• Presentar de forma clara y ordenada los procesos deconstrucción de polígonos semejantes.

• Valorar el uso de recursos y herramientas matemáti-cos para afrontar situaciones que lo requieran.

• Interpretar y utilizar las unidades de medida másadecuadas en cada situación.

• Utilizar medios informáticos para realizar construc-ciones geométricas.



✑

Contenidos que se trabajan antes de empezar la uni-dad:

• Razón entre dos segmentos.

• Polígonos.

• Perímetros.

• Áreas.

Educación para el consumidor. En launidad se presentan actividades de inter-pretación y cálculos de escalas de planosy mapas que servirán para que los alum-nos aprecien la importancia de que losplanos y los mapas estén bien hechospara ajustarlos al máximo a la realidad.


Criterios de evaluación• Reconocer situaciones de la vida cotidiana relativas a la semejanza.

• Identificar triángulos semejantes y calcular la razón de semejanza.

• Comprobar que dos triángulos en posición de Tales son semejantes y que dos triángulos semejantespueden colocarse en posición de Tales.

• Conocer y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

• Reconocer polígonos semejantes y calcular la razón de semejanza.

• Recordar el concepto de triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y aplicar los criterios de semejan-za de triángulos rectángulos.

• Construir por el método de Tales un polígono semejante a otro polígono dado.

• Relacionar la razón de semejanza entre dos polígonos semejantes con la razón entre sus perímetros ycon la razón entre sus áreas.

• Reconocer figuras semejantes y calcular la razón de semejanza.

• Construir por el método de la cuadrícula una figura semejante a otra dada.

• Conocer el concepto de escala y calcular longitudes y superficies a partir de representaciones hechas aescala.

• Tomar el hábito de interpretar críticamente la información representada a escala.

�

CBCB


ContenidosApartados

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7. S

emej

anza

© grupo edebé

• Figuras semejantes. C

• Escalas. C

• Construcción de figuras semejantes. P

• Obtención de la escala de una representación. P

• Uso correcto de los instrumentos de dibujo. P

• Aplicación de la semejanza para resolver situaciones de la vida cotidiana. P

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los instrumentos de dibujo para construir figu-ras de manera precisa. V

3. Figuras semejantes(pág. 150)

4. Construccionesgeométricas conordenador(págs. 151-152)

• Triángulos semejantes: razón de semejanza. C

• Criterios de semejanza de triángulos. C

• Identificación de triángulos semejantes. P

• Cálculo de la razón de semejanza entre triángulos. P

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la geometría para conocer y resolver diversassituaciones relativas al entorno físico. V

1. Triángulossemejantes(págs. 142-145)

2. Polígonossemejantes(págs. 146-149)

• Polígonos semejantes: razón de semejanza. C

• Perímetros y áreas de polígonos semejantes. C

• Identificación de polígonos semejantes. P

• Cálculo de la razón de semejanza entre polígonos. P

• Construcción de polígonos semejantes. P

• Obtención de las relaciones numéricas entre perímetros y áreas de polígonos semejantes. P

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas de semejanza yen la realización de cálculos. V

• Gusto por la realización sistemática y la presentación esmerada y ordenada de trabajos geo-métricos. V

• Uso del ordenador para realizar construcciones geométricas. P

• Aplicación de la estrategia del razonamiento inverso en la resolución de problemas. P

• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador. V


97

7. S

emej

anza

© grupo edebé


• Relacionar el concepto de semejanza detriángulos con el teorema de Tales.

• Observar los criterios de semejanza detriángulos y aplicarlos en casos concre-tos.

• Observar la posibilidad de triangular cual-quier polígono.

• Relacionar el concepto de semejanza depolígonos con el de semejanza de trián-gulos.

• Mostrar la relación del área y el perímetrode un polígono con otro semejante, y rela-cionarlos con la razón de semejanza.

• Relacionar el concepto de semejanza defiguras con el de semejanza de polígonos,especialmente en el método de la cua-drícula.

• Observar un plano y reconocer que las di-mensiones del dibujo son proporcionalesa las del objeto real para introducir losconceptos de dibujo a escala y escala.

Para construir sobre un segmento A′B′ un triángulo semejante a otro ABC, demanera que AB y A′B′ sean homólogos, es preciso recordar cómo se constru-ye un triángulo dados un lado y sus dos ángulos contiguos:

Debe remarcarse la importancia de una realización correcta y precisa de lasconstrucciones geométricas.

Conviene recordar a los alumnos que la suma de los tres ángulos de un trián-gulo es 180°, ya que en algunos casos esta información será útil para decidirsi dos triángulos son semejantes; así como la clasificación de los triángulossegún sus lados y sus ángulos.

En el estudio de la semejanza de dos triángulos, hay que resolver diferentesactividades de cálculo mental de este tipo:Uno de los lados de un triángulo es 22 cm. ¿Cuál es la longitud del lado homó-logo de otro triángulo, si la razón de semejanza entre los dos triángulos es 5?

¿Y si es ?




Puede ser útil presentar la razón de semejanza entre polígonos semejantes y su re-lación con la razón entre los perímetros y con la razón entre las áreas, acompaña-da de actividades manipulativas simples y que no requieran grandes medios (porejemplo, juegos de etiquetas adhesivas, con medidas estandarizadas).

Debe remarcarse que en dos polígonos semejantes no sólo son proporcionaleslos lados homólogos, sino también otros segmentos cualesquiera y que la razónde cualquier par de segmentos homólogos es igual a la razón de semejanza.

Finalmente, conviene recordar el teorema de Pitágoras y su importancia en elcálculo del área de un polígono.




Después de introducir el concepto de escala, debe explicarse claramente elsignificado de una escala de tipo, por ejemplo, 2:1 y también cómo calcular lasdimensiones reales si la escala es gráfica.

Es conveniente asociar los conceptos de razón de semejanza y escala, subra-yando que la única diferencia es la forma de expresarlos.

Los alumnos pueden utilizar datos reales a partir de ejemplos circundantes,utilizando planos de su población y calculando longitudes reales de calles,áreas de parques, etc.



Sería conveniente disponer de un programa informático para la práctica de losprocedimientos explicados en este apartado. En este caso debería explicarse,en primer lugar, cada una de las construcciones y los pasos que han de seguirpara reproducirlos a continuación con la ayuda del programa.

En caso de no disponer de un programa informático estas construcciones de-berían realizarse con regla, cartabón y compás.

• Seguir los procedimientos que se muestranpara la construcción de ciertos elementosgeométricos, e intentar reproducirlos conun programa adecuado.

C

A B

B′ B′A′ A′

C′

1

11


98

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Otras propuestas de actividades• Para profundizar en los contenidos estudiados, si el profesor/a lo cree conveniente, puede explicar la

demostración de los criterios de semejanza de triángulos y puede proponer a los alumnos que demues-tren los criterios de semejanza de triángulos rectángulos y los de triángulos isósceles basándose en loscriterios de semejanza de triángulos.

• Puede proponerse la construcción de un pantógrafo con cuatro barras de mecano, para su posterior uti-lización. También pueden presentarse otros instrumentos para reproducir figuras o segmentos semejan-tes como el pantógrafo Sylvester o el compás de reducción.

• Si el profesor/a lo cree conveniente, puede proponer un trabajo interdisciplinario que consiste en laconstrucción de una maqueta.

• Para profundizar en la comprensión del concepto de escala, puede proponerse una actividad del tipo:

Presentar el plano de la planta de una habitación a una cierta escala, por ejemplo 1:100, con una puer-ta y una ventana. Presentar también diversos modelos de muebles, dibujadas sus plantas en la mismaescala (1:100) y con sus precios: camas (individual y de matrimonio), armarios (de dos y tres puertas),escritorios y sillas.

Pedir al alumno/a que represente en una cartulina, a una misma escala (1:10), los planos de la habitacióny de los muebles y que los recorte. A continuación, tiene que montar la habitación que más le guste te-niendo en cuenta unos criterios previos:

— Se dispone de una determinada cantidad de dinero. Por lo tanto, el precio total de los muebles nopuede superarla.

— No puede haber ningún obstáculo en el radio de giro de la puerta.

— No puede haber ningún armario delante de la ventana.

— Cualquier conjunto de muebles debe contener como mínimo, una cama, una silla, un escritorio y unarmario.

✍



— Reconocer, entre una serie de triángulos, dos triángulos semejantes y justificar la elección realizada.

— Calcular el perímetro de un triángulo a partir del perímetro de uno semejante y de la razón de seme-janza.

— Resolver una situación cotidiana aplicando la semejanza de triángulos.

— Calcular la longitud de la diagonal de un cuadrilátero semejante a otro del cual se conoce la diagonal,y también calcular las amplitudes de algunos de sus ángulos.

— Construir un hexágono semejante a otro dado.

— Obtener la razón de semejanza entre dos polígonos a partir de la razón de sus áreas y obtener el áreade uno de los polígonos conocida la otra.

— Calcular distancias reales y distancias en un mapa con una escala conocida.

— Obtener la escala de representación del plano de una vivienda.

— Identificar, conocidas las longitudes de los lados de varios triángulos, los que son rectángulos e indi-car los catetos y la hipotenusa.

• Reconocer y analizar representaciones a escala en informaciones publicadas en la prensa.

• Realizar construcciones geométricas de figuras semejantes presentándolas con esmero y orden.


• En el último apartado de la unidad se explica la utilización de un programa informático para efectuar di-versas construcciones geométricas.

• En la actividad 50 se propone visitar una página web en la que hay un applet que permite construir pa-res de triángulos semejantes.

• En la actividad 51 se propone una página en la que hay un pantógrafo virtual que permite dibujar figurassemejantes.



99

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Refuerzo

Recuerda que dos triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

1. Observa los triángulos ABC y A�B�C� de la figura de la derecha.

Resuelve:

a) Mide sus ángulos. ¿Qué observas?

b) Mide sus lados, calcula los cocientes indicados y explica qué observas.

c) Completa:

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos .............................. y los lados ..............................

2. Observa los cuadriláteros ABCD y A�B�C�D� de la figura de la derecha.

a) Calcula estos cocientes.

b) Calcula estos cocientes.

c) Calcula los siguientes ángulos.^A�

^B� C� D�

^A

^B C

^D

d) Completa:

Los dos polígonos tienen los .............................. proporcionales y los .............................. iguales; por lo tanto, son polígo-nos ...............................

e) Calcula las razones siguientes.

f) Completa:

La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de ..........................., y la razón de susáreas es igual al ............................. de la razón de semejanza.

P

P

A B B C C D D A

AB BC CD DA

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ++ + +

A

AA

ABCD

′ ′ ′ ′B C D

A B

AB

B C

BC

C A

CA

D A

DA

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′, , ,

OA

OA

OB

OB

OC

OC

OD

OD

′ ′ ′ ′, , ,

A B

AB

B C

BC

C A

CA

′ ′ ′ ′ ′ ′, ,


1Triángulos y polígonos semejantes

Ficha

��

�

C

A B

B ′

C ′

A ′

C

BD

A

O

C ′

B ′

A ′

D ′


100

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Refuerzo1Ficha

��

1. a) 60o; Son iguales.

b) 3 cm y 1,8 cm, 0,6; Son proporcionales.

c) ...iguales..., ...proporcionales

2. a) 1,7

b) 1,7

c) ^A� =

^A = 60o ,

^B� =

^B = 122o ,

^C� =

^C = 112o ,

^D� =

^D = 105o

d) ...lados..., ...ángulos..., ...semejantes

e) 1,7, 3,1 � 2,9

f) ...semejanza..., ...cuadrado...

Solucionario

�


101

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Refuerzo

Uno de los métodos más sencillos utilizados para reproducir figuras semejantes es el método de la cuadrícula. Nos per-mite ampliar o reducir una figura original según una determinada razón de semejanza equivalente a la razón entre loslados de los cuadraditos de ambas cuadrículas.

1. Completa en cada uno de los casos la figura semejante reproduciendo las líneas de la figura original.

a)

b)

c)

2. Construye la figura semejante, con razón de semejanza , de la figura dada mediante el método de la cua-drícula.

3. Dados estos triángulos:

a) triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm, y b) triángulo rectángulo cuyo cateto menor mide 15 cm. Si son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza? ¿Cuánto miden los otros lados de ambos triángu-los?

k = 3

8


2Figuras semejantes

Ficha

��

�


102

7. S

emej

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© grupo edebé

Refuerzo2Ficha

��

1.

2.

3. La razón de semejanza es 1/3.

a) La hipotenusa mide 13 cm.

b) El otro cateto mide 36 cm y la hipotenusa, 39 cm.

Solucionario

�


103

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Profundización

5. Contesta, razonando la respuesta:

a) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo cuyos catetos son uno el doble del otro y cualquier otro triángulocon un ángulo de 60º?

b) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales y cualquier otro triángulo rectángulocon un ángulo de 45º?

c) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 60º, yotro triángulo, T �, que es semejante a un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 30º?

d) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 60º, yotro triángulo, T �, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 30º?

e) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 70º, yun triángulo rectángulo, T �, que es semejante a un triángulo con un ángulo de 20º?

6. Demuestra el teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2) a partir de la figura de la derecha y del hecho de que:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

7. El teorema de Pitágoras debe su nombre a un gran pensador griego. Aunque se desco-noce si fue el primero en demostrarlo y el método que empleó, el resultado ya era utili-zado mucho antes de su demostración. Hay muchas formas diferentes de comprobarel teorema de Pitágoras, aparte de la de la actividad anterior, y en esta actividad de-mostrarás alguna más:


3Ficha

��

�

c

b a

1. Observa la figura y calcula la pro-fundidad del pozo.

2. Observa la figura y calcula la anchura del río.

2,4 m

0,8 m

p

1 m

a

8 m2 m

1 m

3. Comprueba que los triángulos rectángulosABC, ADC y BCD de esta figura son semejan-tes.

4. Sabiendo que los triángulos ADC y BCD de la figu-ra son semejantes, calcula las longitudes de BC, CAy DC.

C

A D B

C

A 8 cm 2 cmD B


104

7. S

emej

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© grupo edebé

Rellena los espacios en blanco y así podrás demostrar el teorema de Pitágoras de formas diferentes:

1.ª Considera estos cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos a y b, y de hipotenusa c.

Ponemos estos triángulos de esta manera:

El lado del cuadrado central es igual a ....................................

El área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos más el áreadel cuadrado central, por lo tanto: c 2 = ...................................................................... por lo tanto, ......................................................................simplificando, c 2 = ................................... que es el enunciado del teorema de Pitágoras.

2.ª La suma de las áreas de estos dos cuadrados es igual a ..............................................................

Se puede considerar esta segunda forma de cortar los dos cuadrados anteriores, de mane-ra que queden dos .......................................................... y una forma extraña.

Las figuras que resultan de cortar de esta manera los dos cuadrados se pueden poner deesta otra forma porque ..................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

Por lo tanto ...............................................................................................................

3.ª La fórmula del área de un trapecio de bases b1 y b2, y altura h es: ..............................

Esta fórmula se puede aplicar a la figura de la derecha: ..........................................................

Ahora bien, este trapecio está formado por dos ............................................................................ y la mitad deun ...........................................................

Por lo tanto, .......................................................... = a · b + .............................

Si se desarrolla esta igualdad queda: .............................................................................................................

simplificando, ................................................................... Tal como dice el teorema de Pitágoras.

4.ª Los triángulos ABC y ABD son semejantes, por lo tanto: AB/BC = .......................

Los triángulos ABC y ACD son semejantes, por lo tanto: AC/BC =.......................

Si se multiplican en cruz estas dos igualdades queda:

..............................................=.............................................. y ..............................................=..............................................

Si sumamos ambos lados de la derecha y de la izquierda .............................................. = ..............................................

y, simplificando la derecha, .............................................. = .............................................. que es el teorema de Pitágoras.

�

c

a

b

c

b

a

a

b

a

b a

bc

a

bc

c

c

b

b

a

a

BD

CA


�105

7. S

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1. En esta figura hay dos triángulos semejantes. Identifica cuáles son y justifica tu respuesta.

2. Dos triángulos ABC y A�B�C� son semejantes y su razón de semejanza es . Si el perímetro del triángulo ABCes 48 cm y sus lados son proporcionales a 3, 4 y 5, calcula:

a) Las longitudes de los lados de ABC. b) El perímetro del triángulo A�B�C�.

3. Para averiguar la altura de un árbol, medimos su sombra que es de 19 m. A la misma hora, un palo de 2 m proyec-ta una sombra de 2,3 m. ¿Cuánto mide el árbol?

4. Calcula la longitud de la diagonal D del cuadrilátero W, sabiendo que el cuadri-

látero W es semejante al cuadrilátero V con razón de semejanza .

— ¿Cuánto mide el ángulo ^A�?

5. Construye un hexágono semejante a un hexágono regular de 2 cm de lado con razón de semejanza .

6. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es . ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre los ladoshomólogos?

— Si el área del primero es 24 cm2, ¿cuál es el área del segundo?

7. En un mapa de escala 1:100 000 ladistancia entre dos ciudades es 15 cm. ¿Cuál es la distancia real entreellas?

— Si la distancia entre dos poblacio-nes es 25 km, ¿cuál es su distanciaen el mapa?

8. Calcula la escala de representacióndel plano de la vivienda de la figura dela derecha, sabiendo que la superficiede la terraza es de 13 m2.

9. Di cuáles de estos triángulos sonrectángulos, y señala los catetos y lahipotenusa:

a) Triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 6 cm.

b) Triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm.

c) Triángulo cuyos lados miden 5 cm, 7 cm y 11 cm.

16

25

k = 3

5

1

2

1

2


4�Ficha

A

B

C

D

E

F

G

Â = 135o

Â’

3 cmV

D

W


106

7. S

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1. A y G porque tienen los ángulos iguales y los ladosproporcionales.

2. a) 3 + 4 + 5 = 12

Los lados de ABC son 12 cm, 16 cm y 20 cm.

b)

El perímetro de A�B�C� es 96 cm.

3.

El árbol mide 16,5 m.

4.

La diagonal mide 6 cm y el ángulo ^A, 135°.

5.

6.

El área del segundo es 37,5 cm2.

7.

La distancia real es de 1500 000 cm, o sea, 15 km.

La distancia en el mapa es 0,00025 km, o sea,25 cm.

8. Los 13 m2 = 130000 cm2 de la terraza son:

6,5 cm × 2 cm = 13 cm2 en el plano

La escala del plano es 1:100.

9. a) No

b) Sí, hipotenusa 5 cm

c) No

13

130000

110000 100

22= ⇒ = ⇒ =

kk k

1

100000 250 00025= → =x

x ,

1

100000

15

251500000= ⇒ =x

16

25

4

5

24 16

2537 5

2= ⇒ =

= → =

k k

xx ,

3 1

26

DD= ⇒ =

xx

19

2

2 316 5= ⇒ =

,,

P

P PP

′ ′′= ⇒ = ⇒1

2

48 1

2= 96

48

124 3 4 12

4 4 16 5 4 20

= ⇒ × =

× = × =;

Solucionario

�

�Ficha

2 m

2,3 m19 m

x

2 cm


8Cuerpos geométricosUnidad

Educación Plástica y Visual; Ciencias de la Naturaleza

107

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

• Conocer los diferentes elementosgeométricos básicos del espacio ylas posiciones relativas de rectas yplanos.

• Conocer los ángulos poliedros, sudesarrollo plano y la relación quetienen con los poliedros.

• Identificar poliedros (poliedros regu-lares, prismas y pirámides) y cuer-pos de revolución (cilindros, conos yesferas), y conocer sus elementos.

• Reconocer y valorar la utilidad delos cuerpos geométricos para pre-cisar y transmitir información rela-tiva al entorno, en particular en ladescripción de la esfera terrestre.




© grupo edebé

• Conocer los conceptos geométricos elementales yutilizarlos en situaciones de la vida cotidiana.

• Identificar y clasificar los distintos cuerpos geométri-cos.

• Obtener y representar distintas figuras geométricasy utilizarlas para describir situaciones reales.

• Utilizar los medios informáticos para representar fi-guras geométricas.



✑


• Ángulos.

• Ángulos complementarios y suplementarios.

• Medidas de los ángulos.

• Polígonos.

Educación para la paz. El profesor/apuede aprovechar la entrada de la unidadpara conversar sobre la conservación y lamejora del patrimonio cultural.


Criterios de evaluación• Conocer los elementos básicos de la geometría (punto, recta y plano) y otros como el segmento, la se-

mirrecta y el semiplano.

• Determinar rectas y planos en el espacio, así como las posiciones relativas que pueden adoptar, inclui-da la perpendicularidad.

• Identificar los ángulos diedros, sus elementos, su clasificación y saber cómo medirlos.

• Conocer los ángulos poliedros, sus elementos, su clasificación y su desarrollo plano.

• Diferenciar los poliedros del resto de cuerpos geométricos, conocer sus elementos y clasificarlos encóncavos y convexos.

• Conocer los cinco poliedros regulares y saber que son los únicos.

• Distinguir los prismas y las pirámides del resto de poliedros no regulares, nombrarlos y clasificarlos, y co-nocer sus elementos.

• Reconocer los cuerpos redondos y los cuerpos de revolución.

• Distinguir los cilindros, los conos y las esferas, y conocer sus elementos.

• Conocer las figuras esféricas y distinguir perfectamente las que se derivan de la esfera y las que se de-rivan de la superficie esférica. Conocer los elementos de la esfera terrestre.

• Resolver problemas aplicando la estrategia de dibujar una figura.

�

CBCB


ContenidosApartados

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8. C

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• Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera. C

• Figuras esféricas. C

• La esfera terrestre. C

• Husos horarios. C

• Clasificación de los cuerpos de revolución e identificación de sus elementos. P

• Obtención del desarrollo plano de cuerpos geométricos. P

• Reconocimiento de los husos horarios. P



3. Cuerpos derevolución(págs. 176-179)

• Elementos geométricos del espacio. C

• Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano, y de dos planos en el espacio. C

• Perpendicularidad de rectas y planos en el espacio. C

• Ángulo diedro. Elementos de un diedro. Medida de un diedro: ángulo rectilíneo de un diedro. C

• Ángulo poliedro. Desarrollo plano de un ángulo poliedro. C

• Identificación de los elementos geométricos necesarios para determinar una recta y un pla-no en el espacio. P

• Reconocimiento de la posición relativa de dos rectas, de una recta y un plano, y de dos pla-nos en el espacio. P

• Identificación de un ángulo diedro y del ángulo rectilíneo de un diedro. P

• Medida y comparación de ángulos diedros. P

• Identificación de un ángulo poliedro. P

• Reconocimiento de los elementos de un poliedro. P

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de la geometríapara representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana. V

1. Elementosgeométricosdel espacio(págs. 164-170)

2. Poliedros(págs. 171- 175)

• Poliedros. Elementos de un poliedro. C

• Relación de Euler. C

• Poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro. C

• Poliedros no regulares: prismas y pirámides. C

• Reconocimiento de los elementos de un poliedro. P

• Clasificación de los poliedros. P

• Determinación y construcción de los poliedros regulares. P

• Utilización del teorema de Euler para determinar el número de caras, vértices y aristas de unpoliedro. P

• Clasificación de los prismas y de las pirámides, e identificación de sus elementos. P

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de los instrumentos de dibujo para construir figu-ras de manera precisa. V


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• Observar los elementos básicos de la geometría del espacio y su denomina-ción, así como algunas de sus propieda-des. Analizar las posiciones relativas derectas y planos.

• Visualizar el hecho de que dos planos quese cortan en el espacio determinan cuatroángulos, cada uno de los cuales se deno-mina diedro, y comprender la forma demedirlos.

• Generalizar el concepto de ángulo diedroal de ángulo poliedro.

• Aprender el concepto de poliedro y sus di-ferentes clasificaciones.

• Visualizar los cinco poliedros regulares ysus características.

• Identificar las características de un prismay de una pirámide, y leer sus clasificacio-nes.

• Observar cómo se forman los cuerpos derevolución.

• Mostrar las características diferencialesde un cilindro, un cono y una esfera.

• Identificar los diferentes elementos deuna esfera, así como identificar figurasesféricas en la realidad.

Es conveniente que el profesor/a analice los conocimientos previos de los alum-nos mediante la realización de actividades como la representación de una rectaque pase por dos puntos, la determinación de la posición relativa de dos rectasen el plano...

Los alumnos deben conocer los elementos geométricos del plano, las posi-ciones relativas que pueden adoptar y cómo representarlos y dibujarlos, antesde emprender la ampliación en el espacio.

El profesor/a puede acercar la geometría a los alumnos, por ejemplo, trabajan-do la percepción de los diferentes elementos geométricos presentes en la cla-se, el patio...

Es importante que los alumnos visualicen las posiciones relativas de rectas yplanos con la ayuda de lápiz, folios..., pero es preciso insistir en el hecho deque eso es sólo una parte de la recta o del plano representado.



Ficha 2. Actividades 2 y 3 (CR)


Parece conveniente comenzar la construcción de poliedros utilizando polígo-nos. Para hacerlo, los alumnos pueden dibujar los desarrollos planos, y reali-zar las construcciones correspondientes, o bien aprovechar materiales co-merciales que faciliten este trabajo manual.

El profesor/a puede utilizar la idea de polígono regular para llegar, por analo-gía, a la de poliedro regular. Un polígono regular tiene los lados y los ángulosiguales. Como los lados de los polígonos son análogos a las caras de los po-liedros, y los vértices de los polígonos a los vértices de los poliedros, la ideade regular que puede desprenderse por analogía es la de un poliedro que tie-ne las caras iguales y regulares, y que también tiene iguales los ángulos queforman las caras en los vértices.

En muchas ocasiones, los alumnos sólo reconocen como poliedros los pris-mas y las pirámides regulares. Por este motivo, deben utilizarse prismas y pi-rámides no regulares en los diferentes ejemplos, siempre y cuando no sea pre-cisa su regularidad. Los alumnos también deben acostumbrarse a describirlos poliedros y sus elementos con precisión y clasificarlos correctamente se-gún diferentes criterios.

Es muy útil que el alumnado pueda visualizar poliedros de muy diversos tipos,y no solamente los regulares. Por ello, es recomendable visitar algunas pági-nas web que contienen un número considerable de representaciones tridi-mensionales e interactivas de gran cantidad de poliedros.




Como en el caso de los poliedros, conviene que los alumnos identifiquen cilin-dros, conos y esferas en el entorno. Una dificultad que puede surgir es suidentificación como cuerpos de revolución. Para solventarla el profesor/a pue-de plantear la siguiente actividad:

— Para obtener un cilindro recortar por grupos algunos rectángulos iguales.

Colocar los rectángulos de forma que compartan un mismo lado. Se cons-tatará que representan diferentes posiciones de un rectángulo cuando giraalrededor de un lado común.

Observar que el conjunto de todos los lados de los rectángulos paralelos allado común forma la superficie lateral de un cilindro.

— Llevar a cabo la misma actividad con triángulos rectángulos para obtenerconos y con semicírculos para conseguir esferas.

Atención a la diversidadProfundización: Ficha 3. Actividades 6 a 8 (CR)


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Otras propuestas de actividades• A nuestro alrededor hay muchas figuras y cuerpos geométricos que podemos estudiar. Puede resultar

interesante organizar una visita a un entorno arquitectónico de valor artístico, o a un museo para que losalumnos puedan captar la presencia de elementos geométricos en el arte. Conviene elegir un lugar don-de predominen los elementos geométricos: el más adecuado podría ser un museo de arte moderno. La actividad constará de tres partes: trabajo previo a la visita, trabajo durante la visita y trabajo tras la visita.

— Trabajo previo a la visita. Los alumnos deben tener claro que se trata de buscar elementos geomé-tricos: puntos, rectas, planos, ángulos poliedros, y, sobre todo, figuras y cuerpos geométricos. Esmás fácil que se centren en una parte del entorno aquitectónico o del museo.

— Trabajo durante la visita. Los alumnos llevarán papel y lápiz como material. Han de observar y ano-tar los elementos geométricos que encuentren, y nombrarlos si los identifican. Si no es así, es mejorque los dibujen para exponerlos y analizarlos en clase.

— Trabajo tras la visita. A partir de las formas encontradas, se procederá a un análisis conjunto de laspropiedades más elementales, como por ejemplo: ¿cuáles tienen caras planas?, ¿contienen rectas?,¿tienen desarrollo plano?, ¿son cuerpos de revolución?

Para facilitar este análisis, pueden reproducirse las formas con plastilina, papel...

A continuación, puede llevarse a cabo una clasificación de los cuerpos geométricos. Los criterios puedenser: poliedro o no poliedro, regular o no regular, cuerpo de revolución o no...

• Para ampliar los conocimientos sobre poliedros es útil visitar algunas páginas web con representacio-nes tridimensionales. Una de las web de referencia puede ser:

http://mathworld.wolfram.com/topics/SolidGeometry.html

✍



— Dibujar un punto, una recta y un plano sin puntos en común; simbolizar y describir posiciones relativas.

— Indicar si una serie de frases referidas a la determinación de planos y a las posiciones relativas de rec-tas y planos son verdaderas o falsas, y justificar las respuestas.

— Explicar el motivo por el que no es posible construir un poliedro regular de caras hexagonales y des-cribir y nombrar el poliedro regular de caras pentagonales.

— Indicar cuántas caras y cuántos vértices tiene un icosaedro, y determinar su número de aristas me-diante la relación de Euler.

— Clasificar los cuerpos geométricos de una figura, nombrar sus elementos e indicar si tienen o no de-sarrollo plano y el nombre de un cuerpo geométrico sin desarrollo plano.

— Expresar en forma compleja la medida de unos ángulos.

• Visualizar en el entorno las diversas posiciones relativas entre puntos, rectas y planos.

• Construir con cartulina o cartón dos planos secantes no perpendiculares, indicar el valor de los ángulosrectilíneos de los diedros formados y clasificarlos.

• Nombrar y clasificar cuerpos geométricos que puedan observarse en el entorno.

• Describir cuerpos geométricos para comprobar que el alumno/a utiliza con precisión el lenguaje geomé-trico.

• Construir y clasificar poliedros y cuerpos de revolución a partir de sus desarrollos planos.


• En la actividad 74 se propone visitar una página web en la que se encuentra la representación de distin-tos polígonos y su desarrollo plano. Se propone confeccionar una tabla para clasificarlos y construir unocon cartulina.

• En la actividad 75 se remite a una página en la que hay distintos polígonos y se propone encontrar algu-no que se parezca a un cuerpo de revolución.



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8. C

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Refuerzo

1. Completa la tabla de cada uno de los apartados siguientes.

a) Dos rectas en el espacio pueden ser:

b) Un plano en el espacio queda definido por:

c) La intersección de:


1Elementos geométricos del espacio

Ficha

��

�

2. Observa la figura y añade los elementos señaladosque faltan.

— Completa:

Un ángulo .......................... es la región del espacio limi-tada por dos .............................. que tienen una recta encomún.

La medida de un ángulo diedro es la medida de suángulo .............................

En general si consideramos tres o mas planos que con-curren en un punto obtenemos un ángulo poliedro.

3. Observa la figura dela derecha y añadelos elementos seña-lados que faltan.

— Completa:

Un ángulo .................... es la región del espacio limitadapor tres o más planos que concurren en un ......................

El punto común se llama ................ y cada uno de losplanos es una ................. del ángulo poliedro. Dos carasconsecutivas forman un ángulo ...................... y los ladoscomunes a dos de las caras son las ............................

Caras

Cara

Secantes Paralelas Coincidentes Se cruzan

r

s

Tres puntosno alineados

Un punto y unarecta

Dos rectas que se cortan

Dos rectas paralelas

P

r

Dos rectas es un puntocomún a ambas rectas

Un plano y una recta es unpunto común

Dos planos es una rectacomún a ambos planos

r

α

P


112

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

Refuerzo1Ficha

��

1. a)

b)

c)

2.

...diedro...; ...semiplanos...; rectilíneo.

3.

...poliedro..., ...punto. ; ...vértice..., ...cara..., ...die-dro..., ...aristas.

Solucionario

�

Secantes Paralelas Coinciden-tes Se cruzan

r s r

sr

s

r

s

Tres puntos noalineados

Un punto y

una recta

Dos rectas quese cortan

Dos rectas

paralelas

A

B

C P

r

r

s

r

s

Dos rectas es un

punto común

Un plano y unarecta es un

punto común

Dos planos esuna recta

común

r s

P

r

α

P

βα

r

Arista

Caras

Ángulorectilíneo

Vértice Cara

Arista


113

8. C

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eom

étric

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© grupo edebé

Refuerzo


Las rectas o los planos al cortarse en el espacio forman ángulos, que pueden medirse de formas distintas: en gra-dos sexagesimales o en grados centesimales.

2. Transforma estas expresiones sexagesimales en centesimales.

a) 23° 12′ 12″ b) 44° 44′ 44″ c) 27° 9′ 1″

3. Transforma estas expresiones centesimales en sexagesimales.

a) 12,5° b) 23,56° c) 28,392°


2Poliedros

Ficha

��

�

Poliedro Imagen Desarrollo planoPolígono

de las carasAristas

por vértice

En un vértice

concurren...

La suma de los ángulos

planos que formanel ángulo poliedro

de los vértices es...

3 caras

4

Icosaedro 5 × 60° = 300°


Tetraedro 3 3 caras 180o

Octaedro 44

caras 240o

Icosaedro 5 5 caras

300°

Hexaedro 3 3 caras 270o

Dodecaedro 3 3 caras 324o

114

8. C

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Refuerzo2Ficha

��

1.

2. a) 23,203333° b) 44,74555° c) 27,15027777°

3. a) 12° 30′ 0″ b) 23° 33′ 36″ c) 28° 23′ 31,2″

Solucionario

�


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8. C

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Profundización

1. ¿Cuántas rectas determinan cuatro puntos no alineados? ¿Y cinco puntos? Di cuántos planos quedan deter-minados en los dos casos anteriores.

2. Traza una recta y dibuja un punto exterior a ella. ¿Cuántos planos quedan determinados? ¿Y si el punto per-tenece a la recta?

3. Dado un segmento cualquiera, ¿cuántos planos lo contienen? ¿Y si son dos segmentos, tales que las rectasque los contienen se cruzan?

4. Dado un ángulo poliedro cualquiera. ¿Pueden ser paralelas dos de las rectas que contienen las aristas? ¿Y perpendiculares?

5. 1) La sierpe progresiva, de Javier Santos, es un puzle formado por 6 piezas policúbicas. El número de cubosunitarios de las piezas es 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

a) ¿Cuántos cubos unitarios componen un cubo de lado 3?

b) ¿Cuántos cubos unitarios forman todas las figuras de la imagen?

Aprovechando esta coincidencia, debes formar con todas las piezas de la sierpe progresiva un cubo de lado 3.

2) El cubo DiaWolicO, ideado por Javier Santos, es un puzle que está formado por las piezas policúbicas pla-nas que se ven en la figura.

El número de cubos unitarios de cada fila de piezas es 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Tienes que seleccionar 6 piezas, unade cada tipo. El objetivo es construir un cubo de lado 3.

El puzle puede contener todos los tricubos y tetracubos (excepto el alargado, de 4 cubos, que no aparece enla figura, porque obviamente no puede encajarse en un cubo de lado 3).

En la figura vemos una posible solución:

¿Sabrías hallar otra solución?


3Ficha

��

�


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6. Cualquier lugar de la superficie de la Tierra se localiza con dosnúmeros: latitud y longitud.

Para determinar la latitud de un punto P en la superficie de laTierra, se dibuja el radio OP hasta este punto. Entonces, elángulo de elevación del punto sobre el ecuador es su latitud,λ (lambda griega); latitud norte, cuando el punto está al nortedel ecuador, y latitud sur (o negativa) si está al sur. En el globoterrestre, las líneas de latitud se denominan paralelos. El ma-yor es el ecuador, cuya latitud es 0, mientras que en los polos,en las latitudes 90° norte y 90° sur (o −90°), los círculos se em-pequeñecen hasta convertirse en puntos.

Por otra parte, todos los meridianos cruzan el ecuador. Comoel ecuador es un círculo, podemos dividirlo, como cualquierotro círculo, en 360°; la longitud φ (phi griega) de un punto es,entonces, el valor señalado en la división por donde el meri-diano cruza el ecuador.

Todos los atlas indican los paralelos y los meridianos mediante su latitud y su longitud, respectivamente.

— Busca en una enciclopedia la longitud de radio de la esfera terrestre.

— Calcula la longitud de la circunferencia del ecuador.

— Busca en un atlas dos ciudades que se encuentren sobre la circunferencia del ecuador y calcula su distan-cia aproximada.

— Calcula la longitud del paralelo terrestre 10° N y calcula la distancia entre ellas.

— Repite las dos actividades anteriores con las siguientes latitudes: 25° N, 55° N y 50° S.

— Entebee es una ciudad de Uganda que se encuentra sobre el ecuador y tiene una longitud aproximada de32° E (es decir a 32° al este del meridiano 0°). Busca en un atlas la longitud y la latitud de Moscú, y calculala distancia aproximada entre ambas ciudades.

— Busca la longitud y la latitud de tu ciudad en un atlas y calcula su distancia a Moscú.

7. Una persona se encuentra en un punto determinado de la Tierra. Recorre 1000 km en dirección norte, y luego1000 km en dirección este. Finalmente, recorre 1000 km en dirección sur. Una vez terminado el recorrido, seda cuenta de que está en el mismo lugar de partida.

— Determina un lugar donde podría encontrarse esta persona al principio del recorrido.

— ¿Existen otros puntos de la Tierra donde podría estar?

8. Una persona se encuentra en un punto determinado de la Tierra. Recorre 1000 km en dirección sur, y luego1000 km en dirección este. Finalmente, recorre 1000 km en dirección norte. Una vez terminado el recorrido,se da cuenta de que está en el mismo lugar de partida.

— Determina un lugar donde podría encontrarse esta persona al principio del recorrido.

— ¿Existen otros puntos de la Tierra donde podría estar?

�

φ


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1. Dibuja un punto, una recta y un plano que carezcan de algún punto común. Simbolízalos y describe la posición relativa de la recta y el plano.

2. Di si las frases siguientes son verdaderas (V) o falsas (F), y justifica tus respuestas.

• Un plano queda determinado por dos rectas.

• Un plano queda determinado por cuatro puntos no alineados.

• Dos rectas que no son secantes entre ellas son paralelas.

• Dos rectas secantes pueden ser perpendiculares.

• Si una recta es perpendicular a un plano, el plano es perpendicular a la recta.

3. Dibuja un diedro e indica sus elementos.

— ¿Puedes construir un ángulo poliedro con cinco ángulos planos de 12° 32′ 47″; 44° 25′; 126° 53′ 41″; 105° 22′ 22″ y 84° 17′ 28″, concurrentes en un mismo vértice?

Justifica la respuesta.

4. Explica por qué no es posible construir un poliedro regular de caras hexagonales.

— Describe y nombra el poliedro regular de caras pentagonales.

5. Di cuántas caras y cuántos vértices tiene un icosaedro.

— Determina el número de aristas mediante la relación de Euler.

6. Clasifica los siguientes cuerpos geométricos y nombra los elementos señalados.

— ¿Tienen desarrollos planos todos los cuerpos anteriores? Di un cuerpo geométrico que no lo tenga.

7. Expresa de forma compleja estos ángulos.

a) 45,835° b) 1 875,6′ c) 16 416″


4�Ficha

a

d e

bc


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1. Respuesta sugerida:

La recta y el plano son paralelos.

2. V, F, F, V, V.


— No, porque su suma es mayor que 360°.

4. El ángulo de un hexágono regular mide 120° y contres hexágonos ya obtenemos una suma de 360°.

— Dodecaedro: está formado por 12 pentágonosregulares y en cada vértice concurren tres.

5. Tiene 20 caras y 12 vértices.

— Por la relación de Euler, C + V = A + 2:

20 + 12 = A + 2 ⇒ A = 30

Así, el icosaedro tiene 30 aristas.

6. a. Dodecaedro.b. Prisma regular recto cuadrangular, u ortoedro.c. Pirámide pentagonal regular.d. Cilindro.e. Cono.

— Sí, todos tienen. Un cuerpo geométrico que notiene desarrollo plano es la esfera.

7. a) 45° 50′ 6″ b) 31° 15′ 36″ c) 4° 33′ 36″

Solucionario

�

�Ficha

r

α

P

Caras

Vértice

Base

Aristabásica

Aristalateral

Cara lateral

b

Arista

Vértice

Cara

a

Basec

Caralateral

ApotemaAristabásica

Aristalateral

Vértice

Vértice

Base

Caralateral

Generatriz

Eje derevolución

Altura

d

Eje derevolución

Caralateral

Generatriz

Base

Altura

e


9Áreas y volúmenesUnidad

Tecnologías; Educación Plástica y Visual; Ciencias So-ciales, Geografía e Historia

119

9. Á

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enes

• Calcular áreas de figuras planas poli-gonales, figuras circulares, figurascombinadas, poliedros, cuerpos derevolución y cuerpos compuestos.

• Representar desarrollos planos depoliedros, cilindros y conos.

• Calcular volúmenes de prismas, pi-rámides, cilindros, conos, esferas yde cuerpos geométricos a partir desu descomposición en cuerpos mássencillos.

• Reconocer y valorar la importanciade expresar los resultados de loscálculos en las unidades de medidacorrectas.

• Resolver problemas de la vida coti-diana mediante el cálculo de áreas yvolúmenes.




© grupo edebé

• Reconocer y aplicar comprensivamente las fórmulaspara el cálculo de áreas y volúmenes.

• Efectuar estimaciones de volúmenes en situacionescotidianas.

• Utilizar las unidades de medida más adecuadas encada situación.

• Comparar diversas medidas expresadas en distintasunidades.

• Utilizar la estrategia más adecuada para resolverproblemas de la vida cotidiana.



✑


• Áreas de polígonos y sectores circulares.

• Teorema de Pitágoras.

• Unidades de medida de longitud, superficie y volumen.

Educación ambiental. El profesor/a pue-de aprovechar la relación entre áreas y vo-lúmenes de distintos envases para hablardel ahorro energético y de material queconllevan ciertos procesos de fabricación.


Criterios de evaluación• Reconocer situaciones de la vida cotidiana en las que se aplique el cálculo de áreas y volúmenes de fi-

guras planas y cuerpos geométricos.

• Calcular las áreas de las figuras planas poligonales, circulares y combinadas.

• Deducir las fórmulas para el cálculo del área del segmento circular y la del trapecio circular a partir de ladel sector circular y la de la corona circular a partir de la del círculo.

• Identificar y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de figuras planas.

• Representar desarrollos planos de poliedros, cilindros y conos.

• Deducir las fórmulas para el cálculo de las áreas de poliedros, del cilindro y del cono a partir de sus de-sarrollos planos.

• Identificar las fórmulas para el cálculo de áreas de poliedros y de cuerpos de revolución.

• Calcular las áreas de poliedros, de cuerpos de revolución y de cuerpos compuestos.

• Calcular los volúmenes de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

• Obtener los volúmenes de cuerpos geométricos descomponiéndolos en otros más sencillos.

• Valorar la necesidad de tomar medidas de volumen en diferentes situaciones de la vida cotidiana.

• Reconocer y valorar la utilidad de la medida de volúmenes para transmitir informaciones precisas relati-vas al entorno.

�

CBCB


ContenidosApartados

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• Áreas de poliedros. C

• Áreas de cuerpos de revolución. C

• Áreas de cuerpos compuestos. C

• Cálculo de áreas de poliedros regulares, de prismas regulares rectos, de pirámides regula-res y de cuerpos de revolución. P

• Cálculo de áreas de cuerpos compuestos. P

• Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidadesde medida utilizadas. V


1. Áreas de cuerposgeométricos(págs. 190-195)

2. Volúmenesde cuerposgeométricos(págs. 196- 203)

• Volúmenes de prismas y pirámides. C

• Volúmenes de cuerpos de revolución. C

• Volúmenes de cuerpos compuestos. C

• Clasificación de los poliedros. P

• Cálculo de volúmenes de prismas y pirámides. P

• Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución. P

• Cálculo de volúmenes de cuerpos compuestos por descomposición en otros cuerpos mássencillos. P

• Estimación de volúmenes. P

• Uso correcto de los instrumentos de medida. P

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de la medida para transmitir informaciones preci-sas relativas al entorno. V

• Disposición favorable a la revisión y la mejora del resultado de cualquier cálculo o problemageométrico. V


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• Observar diferentes cuerpos geométricosy reconocer la necesidad de calcular susáreas.

• Leer la definición de área de un poliedro.Leer las características y el área de lospoliedros regulares y saber deducirlas.

• Observar un prisma, una pirámide, un cilin-dro y un cono, y deducir las fórmulas de susáreas.

• Observar una esfera, reconocer la dificul-tad del cálculo del área y leer la fórmulade ésta.

• Reconocer el procedimiento para calcularel área de un cuerpo compuesto a partirdel área de las figuras en que se descom-pone. Exponer la necesidad del cálculoaproximado de áreas.

• Comprender que la unidad básica de vo-lumen en el Sistema Internacional (SI) esuna unidad derivada del metro y su inter-pretación geométrica.

• Constatar la necesidad de transformarunas unidades en otras, para operar ocomparar volúmenes.

• Observar los procesos que permiten cal-cular los volúmenes del prisma y de la pi-rámide, y deducir de éstos las fórmulascorrespondientes.

• Analizar los procesos que permiten calcu-lar los volúmenes de los cuerpos de revo-lución, y deducir de éstos la fórmula co-rrespondiente para cada caso.

• Mediante un ejemplo resuelto, ver cómose obtiene el volumen de un cuerpo geo-métrico a partir de su descomposición encuerpos más sencillos.

Es conveniente utilizar en clase diferentes materiales que puedan manipularsey que permitan trabajar los desarrollos planos de los cuerpos geométricos:plantillas de polígonos con encajes, plantillas recortables, una colección decuerpos geométricos...

Antes de iniciar el cálculo de áreas de cuerpos geométricos, no estaría de másrecordar el concepto de distancia entre un punto y un plano y el de distanciaentre dos planos para verificar que la altura es la longitud de un segmento per-pendicular al plano o a los planos considerados.

Es conveniente que los alumnos observen los elementos de la pirámide y delcono que puedan relacionarse mediante el teorema de Pitágoras.

Es importante mostrar la necesidad práctica de calcular áreas de forma apro-ximada, fundamentalmente en situaciones reales (cálculo de superficies debosque, de terrenos de cultivo, etc.); para ello, pueden proponerse métodosde triangulación aproximada de superficies muy irregulares y, luego, calcularla suma de las áreas de estos triángulos.

Para trabajar los cuerpos de revolución es interesante utilizar programas y otrasaplicaciones informáticas como:

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/formulas/faq.cylinder.html, en la quepueden encontrarse las fórmulas y los elementos básicos relacionados con el ci-lindro y http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/formulas/faq.cone.html en laque pueden encontrarse las fórmulas y los elementos básicos del cono y deltronco de cono.




Previamente a la definición de volumen, sería conveniente trabajar con losalumnos la percepción del concepto de volumen mediante experiencias deltipo: coger cajas vacías o recipientes diversos y proponer a los alumnos quepasen las manos por dentro; presentar cuerpos de la misma forma y tamaño, yde diferentes texturas o colores y pedir que los palpen, etc.

Los alumnos deben saber que el valor obtenido de una medida depende de launidad que se ha tomado. Para ello, el profesor/a puede proponer la construc-ción de dos ortoedros de las mismas dimensiones: uno formado por 6 cubosy el otro por 48 cubos de tamaño diferente.

Para que comprueben la necesidad de utilizar una unidad de medida adecuadasegún el volumen que quieran medir, puede resultar interesante pedirles queefectúen la estimación de los volúmenes de algunos cuerpos cuyas medidassean difíciles de expresar en metros cúbicos (estimación del volumen de unahormiga, de una punta de aguja de cabeza, del planeta Tierra, de un edificio...).

Para comprender mejor cómo se obtiene la fórmula del volumen de un prisma,puede proponerse la construcción de uno similar al que aparece en el libro delalumno (pág. 196) con cubos de 1 cm de arista.

Sería conveniente mostrar la necesidad práctica de calcular volúmenes de for-ma aproximada, basándose en situaciones reales (cálculo de la capacidad deun pantano, de un petrolero, etc.), e insistir que en la vida real es más proba-ble que tengan que estimar volúmenes en lugar de calcularlos exactamente(por falta de datos, por irregularidad del cuerpo, por falta de precisión en losprocedimientos de medida, etc.).

Finalmente, puede ser interesante conocer y practicar el principio de Cava-lieri, para generalizar las áreas de prismas y pirámides, y utilizar recursos in-teractivos para mostrar a los alumnos su veracidad, como éstos:

http://www.ies.co.jp/math/java/geo/cava/cava.html

http://kidslink.bo.cnr.it/fardiconto/cabrijava/geom3d/principio_Cavalieri.htm



Ficha 3. Actividades 1 a 3



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Otras propuestas de actividades• En la vida cotidiana hay muchos objetos manufacturados con formas cilíndricas y cónicas. Puede apro-

vecharse para plantear la siguiente actividad:

— Nombra objetos cotidianos que tengan forma cilíndrica o cónica.

— Calcula el área aproximada de estos objetos.

— En el caso de los objetos cilíndricos, intenta explicar el motivo de su forma y sus dimensiones a par-tir de la necesidad de ahorrar material a la hora de construirlos. Para ello, pueden llevarse a cabo ejer-cicios prácticos de construcción de objetos con otras formas y con la misma área para comprobarque los mayores son los cilindros.

• Puede ser útil la confección de un mural con la tabla de equivalencias de las unidades lo cual facilitarála conversión de éstas.

• Puede ser interesante la construcción de los siguientes cuerpos geométricos:

— Prismas y pirámides de la misma base y altura para comprobar que efectivamente se establece la re-lación entre sus volúmenes: Vprisma = 3 · Vpirámide

— Cilindros de la misma base y altura para que comprueben que efectivamente se establece la relaciónentre sus volúmenes: Vcilindro = 3 · Vcono

• Dado que muchos objetos tienen formas irregulares, puede resultar oportuno explicar la manera de me-dir volúmenes irregulares. Esto consiste en medir la capacidad de agua que desplazan.

Pueden comprobar experimentalmente este resultado en cuerpos en los que es posible calcular su vo-lumen mediante la fórmula.

✍



— Dibujar los desarrollos planos de un tetraedro y de un dodecaedro.

— Clasificar los cuerpos geométricos de una figura y calcular sus áreas.

— Obtener el área de un cuerpo de revolución.

— Resolver un problema cotidiano de geometría.

— Calcular el área de una esfera inscrita en un cubo.

— Transformar unas unidades en otras utilizando factores de conversión.

— Ordenar de menor a mayor diversas medidas de volumen expresadas en diferentes cantidades.

— Calcular el volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro y de un cono.

— Obtener el volumen de un cuerpo geométrico a partir de su descomposición en otros más sencillos.

• Enumerar diferentes situaciones en las que es preciso calcular áreas de figuras planas y cuerpos geo-métricos.

• Elaborar con cartulina o cartón los desarrollos planos de cuerpos geométricos para comprobar las fór-mulas de las áreas.

• Llevar a cabo una investigación en grupo para estudiar las unidades tradicionales de medida de volu-men y capacidad de la localidad o comarca. Exponer en clase los resultados de la investigación.

• Calcular experimentalmente volúmenes irregulares midiendo la capacidad de agua que desplazan.

• Realizar en grupos la estimación de distintos volúmenes y comparar los resultados obtenidos.


• En la actividad 69 se propone visitar una página web con un conversor de áreas y volúmenes. Se plan-tea un trabajo de investigación para averiguar dónde se utilizan las distintas unidades que aparecen enel conversor.

• En la actividad 70 se propone una página en la que explican qué son las losetas espaciales y se planteauna pregunta sobre éstas.



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Refuerzo

Veamos cómo podemos determinar el desarrollo plano de un objeto.

Coge una caja de zapatos y una hoja grande de papel de embalar. Cubre completamen-te la caja con el papel y recorta lo que sobre de manera que sólo tengas una capa de pa-pel que cubra la caja.

Señala los vértices con un lápiz. A continuación, separa el papel y despliégalo. Dibuja entu cuaderno la figura que has obtenido (fig. 1).

Acabas de obtener el desarrollo plano de la caja de zapatos. El desarrollo plano de uncuerpo geométrico nos permite observar la superficie del cuerpo y calcular el área.

1. Recuerda cómo se calcula el área de un cuadrado y anótalo en tu cuaderno.

— Observa en la figura 2 el desarrollo plano del cubo.

— Calcula el área del cuadrado sombreado:

A�

= c2 ; A�

= (...... cm)2 ; A�

= ...... cm2

— Cuenta los cuadrados que componen el desarrollo plano y calcula el área total dela figura:

2. Completa la figura 3, que representa el desarrollo plano de un tetraedro.

— Calcula el área del tetraedro de la figura 4.

3. Observa y completa esta tabla.

4. Una fotografía por satélite de una isla del Pacífico revela que tiene la forma de laderecha.

Calcula aproximadamente el área de la isla mediante una triangulación.

— Si la escala de la fotografía es 1:300 000, ¿cuál es la superficie aproximada dela isla?

— ¿En qué caso crees que se cometerá un error mayor al calcular la superficie dela isla?

a) La isla es prácticamente plana. b) La isla es muy montañosa.

A cuadradoscm

cuadradcubo = ⋅................ 2

1 ooA cmcubo; ........= 2


1Áreas de cuerpos geométricos

Ficha

��

�

b (a )b

h (ap)

b = 8 cmh = 6,93 cm

3,5 cm

Fig. 1.

Fig. 2.

a = 10 mb

ap = 8,66 m

Fig. 3.

Fig. 4.

Área del triángulob h

Acm cm

cm

:

.... ....

⋅

=⋅

=

2

22

Δ

Figura Desarrollo plano Área

A = A

+ A

+ A

+ A

+ Ab + Ab

A = 4 A

+ 2 Ab

A = 4 � (...... m � ...... m) + 2 � (...... m)2

A = ...... m2 + ...... m2 = ...... m2

A = A

+ A

+ A

+ A

+ ...... + ......

A = 5 ...... + Ab

A = ...... m2 + ...... m2 = 547 m2

A = Al + 2Ab

A = (2π � 4 m) � 10 m + 2π (4 m)2

A = 251,2 m2 + 100,48 m2

A = 351,68 m2

10 m

4 m

15 m

10 m

6,88 m

10 m

4 m

4 mAb

Ab

A A A A

Ab

A

10 m

P = 5 10 m = ..... m.

..... m....... m

A AA

A

Am

= ⋅ ⋅ +⋅

52

50

2

...... ...... ......


A = Al + 2 Ab = (2 π · 4 m) · 10 m + 2 π (4 m)2

A = 251,2 m2 + 100,48 m2 = 351,68 m2

4 mAb

Ab

A A A A

Ab

AA A

A

A

10 mP = 5 10 m = 50 m.

15 m6,88 m

10 m

2 (4 m)p 2

Ab

Ab

Al

A A A A A A A A A

A m mb b b= + + + + + = +

= ⋅ ⋅ +� � � � �4 2

4 2( ) (4 10 4 mm m

m m

)2 2

2 2

= +

+ =

160

32 192

A A A A A A A A A

Am

b b= + + + + + = +

= ⋅⋅

+⋅

� � � � � �5

52

5010 m 15 m 66,88 m

375 1722

5472 2 2A m m m= + =

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Refuerzo1Ficha

��

1. 3,5, 12,25 ; 6, 12,25, 73,5

2. 8, 6,93, 27,72 ; 27,72, 110,88 ; 173 m2

3.

4. Se pueden calcular las áreas de estos triángulos y sumarlas:

En caso de que la isla sea muy montañosa el error será mayor.

Solucionario

�


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Refuerzo

Recuerda que un factor de conversión es una fracción que expresa una equivalencia entre unidades diferentes.

Veamos cómo utilizamos un factor de conversión para expresar 25 m3 en cm3.

— Escribimos en primer lugar las unidades inicial y final.

Unidad inicial Unidad final

m3 cm3

— Encontramos el factor de conversión que expresa la equivalencia entre metros cúbicos y centímetros cúbicos recor-dando que la unidad inicial ha de aparecer en el denominador y la unidad final en el numerador.

— Multiplicamos la cantidad inicial, 25 m3, por el factor de conversión correspondiente.

1. Escribe los factores de conversión que expresen la equivalencia entre las siguientes unidades. Utiliza fraccionesen las que no aparezcan números decimales.

a) cm3 y dm3 →

b) m3 y dam3 →

c) cm3 y mm3 →

d) hm3 y dam3 →

e) dm3 y dam3 →

2. Transforma estas unidades utilizando el factor de conversión adecuado.

a) 27 cm3 = ............. dm3 → factor de conversión →

b) 8 m3 = ............. dam3

c) 3,2 cm3 = ............. mm3

d) 54,8 hm3 = ............. dam3

e) 16 dm3 = ............. dam3

271

10000 027 27 0 0273

3

33 3 3cm

dm

cmdm cm dm⋅ = → =, ,

1

1000

3

3

dm

cm

1

1000

3

3

dm

cm

251000000

1250000003

3

3

3mcm

mcm⋅ =

1000000

1

3

3

cm

m


2Factores de conversión

Ficha

��

�


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enes

© grupo edebé

Refuerzo2Ficha

��

1.

2. b) 0,008

c) 3 200

d) 54 800

e) 0,000 016

bdam

md

dam

hm

cmm

cme

) )

) )

1

1000

1000

1

1000

1

1

3

3

3

3

3

3

ddam

dm

3

31000 000

Solucionario

�


Figura Expresión del volumen h (altura) Ab (área de la base) V (volumen)

V = Ab � h 9 mV = 6,92 m2 � 9 m

V = 62,28 m3

V = Ab � h ...... mV = ...... m2 � 8 m

V = ...... m3

V = Ab � h ...... mV = ...... m2 � ...... m

V = ...... m3

V = Ab � h ...... mV = ...... m2 � ...... m

V = ...... m3

127

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé


2. Observa en la figura 1 los desarrollos planos de un prisma y una pirámide regula-res, ambos de base cuadrada.

— Construye en cartón los desarrollos planos de los dos cuerpos, con las medi-das que se indican en la figura 1.

— Cierra el desarrollo lateral del pris-ma y una de las bases (fig. a).

— Cierra el desarrollo lateral de la pirá-mide (fig. b).

— Llena la pirámide con arena y vierteel contenido en el prisma. Di cuán-tas veces has llenado la pirámi-de para completar el volumen delprisma.

— Observa cómo se calcula el volumen del prisma y completa la fórmula del vo-lumen de la pirámide:

3. Calcula los volúmenes del prisma y dela pirámide representados a la derecha,y compáralos.

V A h VA h

prisma b pirámideb= ⋅ =

⋅.......


3Ficha

��

�

17 cm17 cm

7 cm 7 cm

ba

15 cm

10 cm

10 cm

15 cm

9 m

3,46 m

4 m

8 m

3 m

7 m

5 m

3,44 m

4 m

10 m

3,44 m

Am m

mb =⋅

=4

22

............

A m mb = =( )...... ......2 2

P m m

Am m

b

= ⋅ =

=⋅

=

5

3 44

2

...... ......

............

,mm2

P m m

Am m

b

= ⋅ =

=⋅

...... ...... ......

...... ......

2== ...... m2

Refuerzo Volumen de cuerpos geométricos

Fig. 1.


128

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

1.

2. 3 veces, 3.

3. Vprisma = 119 cm3, Vpirámide = 39,67 cm3

Comprobamos que efectivamente el volumen del prisma es tres veces más grande que el de la pirámide.

�

h (altura) Ab V

9 m 6,92 m2 62,28 m3

8 m 9 m2 72 m3

7 m 43 m2 301 m3

10 m 41, 52 m2 415,2 m3

Refuerzo3Ficha

��Solucionario


129

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

Profundización 4��

�

Ficha

1. Relaciona cada una de estas figuras con la expresión que permite calcular su área.

2. Busca o construye un cubo. A continuación, responde a estas cuestiones:

— ¿Cuántos cuadrados concurren en cada vértice?

— ¿Cuál es el máximo número de cuadrados dispuestos en línea?

— ¿Pueden estar las dos bases en el mismo lado de las caras laterales?

— Utiliza las respuestas de las cuestiones anteriores para determinar cuáles de estos hexaminós son desarrollosplanos de un cubo.

Para llegar a la solución correcta de estas actividades, el alumno/a tiene que recurrir a razonamientos como los si-guientes:

• No serán desarrollos del tetraedro los tetradiamantes que tengan un vértice en el cual concurran cuatro triángu-los.

• En cada vértice del cubo concurren tres caras; por ello, no serán desarrollos del cubo los hexaminós que tenganun vértice en el que concurran cuatro cuadrados.

• El cubo tiene cuatro caras laterales y dos bases; por ello, no serán desarrollos del cubo los hexaminós que ten-gan cuatro cuadrados en línea y los otros dos cuadrados estén en el mismo lado.

3. El área de una esfera es de 100 π cm2. ¿Cuál es su radio? ¿Cuál es el área de un cilindro de la misma altura que eldiámetro de esta esfera?

4. El área de un cono es de 189 cm2. Halla el radio de la base sabiendo que la altura mide 7 cm.


x x x

4 + x4

4x4

a Ax

) = ⋅4 4

2b A x x) ( )= + ⋅4 c A

x) = 4

2d A x) = π 2


130

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

5. El radio de una esfera mide 6 cm y su casquete, 3 cm de altura. En el dibujo se re-presenta la relación entre la altura del casquete, su radio y el radio de la esfera.

— Identifica todos los radios de la esfera que estén en el dibujo.

— Señala la altura del casquete y su radio, marcados en el dibujo.

— ¿Qué medidas del triángulo de la figura conoces?

— Calcula el radio del casquete.

— ¿Conoces una fórmula que calcule el radio, a, de un casquete a partir del radiode la esfera, R, y la altura del casquete, h?

— Calcula el volumen del casquete y el área del casquete esférico.

— ¿Qué sucedería si la esfera tuviese un radio de 12 cm y el casquete 6 cm de altura?

6. La noción de segmento esférico puede extenderse a esta figura. Se trata de labanda que se obtiene al cortar la esfera con dos planos paralelos.

— Con esta situación, ¿cuál es el área y el volumen del segmento esférico?

Una esfera tiene un radio de 9 cm y el segmento esférico (con la nueva definiciónmás general) mide 4 cm de altura. Una base del segmento es un círculo máximo.

— Calcula el radio del segmento esférico.

— Calcula el volumen de este segmento esférico y su área.

7. Si has leído La vuelta al mundo en 80 días, una novela de Julio Verne, recordarás cómo Phileas Fogg gana suapuesta: cuando Fogg regresa a Londres cree que no ha conseguido «dar la vuelta al mundo en exactamente80 días», pero, a la mañana siguiente, su ayudante Passepartout observa que la fecha es precisamente la del80.o día después de la partida; es como si hubieran dado la vuelta al mundo en 79 días; ¡a pesar de que elloscontaron ochenta! ¿Cómo puede ser?

8. Un barco zarpó de un puerto el día 13 de diciembre de 2002 y atravesó un único océano. Llegó a puerto el día12 de diciembre (¡no se trata de un error!). ¿Qué océano atravesó?

9. Existen otras figuras de revolución, como por ejemplo, el toro. Se trata de una figura cuya generatriz es unacircunferencia. Esta ilustración te muestra el eje, la generatriz y, finalmente, el toro.

Existen fórmulas para calcular el área y el volumen de un toro. Si el radio de la circunferencia generatriz es r, y la distancia del centro de esta circunferencia al eje es R, las fórmulas del área y del volumen son:

A = 4 π2 R rV = 2 π2 R r 2

Un flotador mide 80 cm de anchura máxima, y su altura una vez hinchado es de 16 cm.

a) ¿Qué superficie de material plástico se ha empleado en este flotador?

b) ¿Qué volumen de aire puede contener el flotador?

�

h

a

αR – h

R

h

a

b


�131

9. Á

reas

y v

olúm

enes

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1. Dibuja los desarrollos planos del tetraedro y del dodecaedro.

2. Clasifica estos cuerpos geométricos y calcula sus áreas.

3. Halla el área del cuerpo geométrico que se obtiene al girar al-rededor de un eje la figura plana de la derecha.

4. Calcula el área de una esfera inscrita en un cubo de 5 cm de arista.

5. Averigua si un lápiz de 10,5 cm cabe en esta caja

6. Haz las transformaciones siguientes utilizando factores de conversión.

35 m3 = .................... dm3 0,05 m3 = .................... hm3 5 km3 = .................... dam3 38,24 cm3 = .................... m3

7. Ordena de mayor a menor estas cantidades: 49 000 000 cm3, 6 100 000 000 mm3 y 0,0058 dam3.

8. Calcula los volúmenes de los siguientes cuerpos geométricos.

9. Descompón esta figura en otros cuerpos geométricos más sencillos y calcula sus volúmenes.


5�Ficha

7 cm 6 cm5 cm

12 cm8 cm

12 c

m

5 cm

a bc

Eje de revolución

8 cm

6 cm

4 cm

12 cm

19,27 cm

6,88 cm

18 cm

10 cm

b7 cm

8 cm

8 cm10 cm

6 cm5 cm

5 cm

a c d

8,54 cm

6 cm8 cm


132

9. Á

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olúm

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1.

2. a. Prisma cuadrangular rectoAprisma = P × h + 2 × Abase

Aprisma = (2 × 7 + 2 × 5) × 12 + 2 × (7 × 5)Aprisma = 358 cm2

b. Cilindro

Acilindro = 2 π × r (g + r) = 2 π × 5 × (8 + 5) Acilindro = 408,2 cm2

c. Pirámide cuadrangular regular.

Cálculo de la apotema Ap:

Apirámide = 184,8 cm2

3.

Abase cilindro = π × r2 = π × 32 = 28,26A lateral cilindro = 2 π × r × g = 2 π × 3 × 3 = 56,52A lateral cono = π × r × g

Cálculo de la generatriz g del cono:

El área del cuerpo es 118,78 cm2.

4. El radio de la esfera es 2,5 cm. Por lo tanto:A = 4 π × r2 = 4 π × 2,52 = 78,5

El área de la esfera es 78,5 cm2.

5. La longitud máxima quecabe en la caja es la de ladiagonal del ortoedro. Lla-mamos D a esta diagonal.

d 2 = 82 − 42 ⇒ d = 8,9

D 2 = 8,92 − 62 ⇒D = 10,7

Por lo tanto, sí que cabe.

6.

7. 49 000 000 cm3 = 49 m3

6 100 000 000 mm3 = 6,1 m3

0,005 8 dam3 = 5,8 m3

Por lo tanto:

49000000 cm3 > 6100000000 mm3 > 0,0058 dam3

8.

9. Descomponemos la figura en un cilindro, un cubo yuna pirámide. Calculamos el volumen de cada unode estos cuerpos y los sumamos.

Vcilindro = Abase × h = π × 33 × 8 = 226,08

Vcubo = l3 = 63 = 216

Calculamos la altura:

Vpirámide = 226,08 + 216 + 96 = 538,08

El volumen del cuerpo es 538,08 cm3.

h h

Vpirámide

2 23 8 54 8

6 8

396

+ = ⇒ ⇒

= × =

,

VA h

pirámidebase=

×3

a.

b.

V A h cm

VA h

base

base

= × = × × =

=×

=

× ×

5 7 12 420

3

10 5

3

66 88

218

31032

5 8

3

2 2

, ×=

= × = × × = × ×

cm

V A h r hbasec. π π ==

=×

+ × × =

628

3

6 8

3301 44

3

23

cm

VA h

cmbased.π

,

351000

135000

0 051

1000 000

33

3

3

33

mdm

mdm

mhm

m

× =

×,33

3

33

3

0 000 000 05

51000 000

1500000

=

× =

, hm

kmdam

km00

38 241

1000 0000 00003824

3

33

3

3

dam

cmm

cmm, ,× =

g g

Alateral co

2 2 22 3 13= + ⇒ =

nno

totalA

= × × =

= + + =

π 3 13 34

28 26 56 52 34 118 78, , ,

Ap Ap

Apirámide

2 2 212 3 12 4

24 12 4

2

24 3

2

= + ⇒ =

= × + × =

,

,1184 8,

AP Ap P ap

pirámide =×

+×

2 2

Solucionario

�

�Ficha

3

Ap12

Tetraedro

Dodecaedro

3 cm

3 cm

2 cm

84d

D 6

3

h8,54


10 FuncionesUnidad

Tecnologías; Ciencias de la Naturaleza; Ciencias Sociales,Geografía e Historia

133

10. F

unci

ones

• Transmitir e interpretar la informa-ción dada por funciones expresadasde distintos modos.

• Interpretar funciones lineales comofunciones asociadas a una funciónde proporcionalidad directa.

• Valorar el lenguaje de las funcionespara representar, comunicar o resol-ver diversas situaciones de la vidacotidiana.




© grupo edebé

• Interpretar y representar gráficamente una situaciónplanteada mediante una tabla de valores, un enun-ciado o una expresión algebraica sencilla.

• Deducir las características de una función a partir desu representación gráfica.

• Utilizar calculadoras gráficas y programas de orde-nador para construir e interpretar gráficas.

• Valorar las aplicaciones de las funciones en la vidacotidiana.



✑


• Dependencia entre magnitudes. Formas de expre-sión de la dependencia entre magnitudes.

• Magnitudes directamente e inversamente proporcio-nales.

• Representación de puntos en un sistema de coorde-nadas.

Educación vial. En la unidad se presentanactividades relacionadas con la conduc-ción de vehículos que permiten analizar eidentificar causas de accidentabilidad yfactores de riesgo como la velocidad ex-cesiva, el consumo de alcohol y la trans-gresión de las normas de circulación.


Criterios de evaluación• Entender el concepto de magnitudes dependientes.

• Expresar la dependencia entre dos magnitudes mediante una tabla de valores, una gráfica y una fórmula.

• Reconocer y valorar la dependencia entre magnitudes para transmitir informaciones relativas a situacio-nes cotidianas.

• Entender el concepto de función.

• Obtener imágenes y antiimágenes de una función a partir de su expresión algebraica.

• Reconocer si la gráfica de una función es continua, discontinua o escalonada.

• Representar gráficas de funciones a partir de tablas de valores.

• Interpretar gráficas de funciones a partir de sus características.

• Identificar funciones lineales y obtener su pendiente.

• Identificar funciones de proporcionalidad directa como funciones lineales y obtener la constante de pro-porcionalidad.

• Valorar la presencia de las funciones en múltiples situaciones de la vida cotidiana.

• Reconocer y valorar la utilidad del lenguaje gráfico para representar y resolver problemas de la vida co-tidiana y del conocimiento científico.

�

CBCB


ContenidosApartados

134

10. F

unci

ones

© grupo edebé

• Función creciente, función decreciente y función constante. C

• Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. C

• Máximos y mínimos relativos de una función.C

• Obtención de la gráfica de una función. P

• Interpretación de gráficas de funciones. P

• Determinación de la pendiente de una recta. P

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas de funciones y enla realización de cálculos. V

• Función lineal o de proporcionalidad directa. C

• Función de proporcionalidad inversa. C

• Aplicación de las funciones para resolver situaciones de la vida cotidiana. P

• Resolución de problemas utilizando la estrategia de organización de la información. P

• Gusto por la realización sistemática y la presentación esmerada y ordenada de trabajos enlos que intervienen las funciones. V

3. Característicasde las funciones(págs. 222-224)

4. Funcionesde proporcionalidaddirecta e inversa(págs. 225-227)

• Dependencia entre magnitudes. C

• Variables dependientes e independientes. C

• Expresión de una dependencia entre magnitudes de distintas formas. P

• Identificación de la variable independiente y de la variable dependiente. P

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presentadas en forma de tablas y gráficas. V

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de las tablas y los gráficos para conocer y resol-ver diversas situaciones relativas al entorno. V

1. Dependenciaentre magnitudes (págs. 214-215)

2. Conceptode función(págs. 216-221)

• Función. C

• Imágenes y antiimágenes de una función. C

• Expresión algebraica de una función. C

• Gráfica de una función. C

• Utilización del vocabulario propio de las funciones para recibir y transmitir información. P

• Determinación de la expresión algebraica de una función. P

• Obtención de imágenes y de antiimágenes a partir de la expresión algebraica de una fun-ción. P

• Elaboración de tablas de valores para recopilar los valores de una función. P

• Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del lenguaje propio de las funcionespara representar, comunicar o resolver diversas situaciones de la vida cotidiana. V


135

10. F

unci

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• Leer una situación en la que se presentadependencia entre dos magnitudes, y elprocedimiento para expresar esta de-pendencia con una tabla, una gráfica yuna fórmula.

• Leer la definición de función, después dehaber definido las variables independien-te y dependiente.

• Observar las definiciones y las caracterís-ticas de los elementos algebraicos y gráfi-cos asociados a una función, especial-mente en el caso de la gráfica de unafunción.

• Examinar, a partir de diferentes gráficas,cómo se deducen las características delas funciones: los puntos de corte con losejes, el crecimiento y el decrecimiento,los máximos y los mínimos, y la continui-dad y la discontinuidad.

• Leer las definiciones de función de pro-porcionalidad directa y de función de pro-porcionalidad inversa y sus característi-cas, y relacionarlas con la definición defunción.

• Generalizar el concepto de función lineal alde función afín, y observar también cómoson las funciones constantes.

Los alumnos deben apreciar la dependencia de magnitudes como un modelomatemático que permite describir relaciones que aparecen en la vida cotidiana.De esta manera, estarán más motivados para abordar su estudio y no lo veráncomo un hecho alejado de su entorno. Para ello, se aconseja al profesor/a queproponga situaciones en las que se presentan dependencias entre magnitu-des.



Ésta es la primera vez que se trabaja el concepto de función. Por ello, es pre-ciso introducirlo lentamente, asegurándose de que cada elemento nuevo escomprendido por los alumnos.

El entorno nos proporciona muchos ejemplos de funciones:

• El importe de una factura.

• El tiempo empleado en efectuar un recorrido.

Conviene analizar detalladamente estos ejemplos, insistiendo en la identifica-ción de la variable dependiente y la independiente, el cálculo de la expresiónalgebraica, la obtención de la tabla de valores...




Para que el alumno/a capte la utilidad inmediata de los conceptos matemáticostrabajados en clase, es conveniente plantear problemas con enunciados en losque haya que interpretar gráficas a partir de las características de las funciones.

Puede analizarse, por ejemplo, la evolución de la población de una determinadaespecie animal en vías de extinción.

Es conveniente que el alumno/a tenga muy claro el concepto de proporciona-lidad directa antes de iniciar el estudio de este apartado.

Puede ser útil que el alumno/a represente funciones de proporcionalidad direc-ta, confeccionando previamente tablas de valores para asimilar que las funcio-nes de proporcionalidad directa son funciones lineales.

Comprender que la función afín es la definición más general de este tipo defunciones, ya que incluye las funciones lineales.

Es importante que el alumno/a represente funciones de proporcionalidad inver-sa, confeccionando previamente tablas de valores para facilitar la comprensiónde la gráfica hiperbólica.





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10. F

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ones

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Otras propuestas de actividades• Los alumnos pueden formar grupos de trabajo y elaborar una presentación sobre un tema científico, de

ciencias sociales, geografía, sociología... para exponer ante el resto de la clase. La información conte-nida en dicha presentación debe expresarse mediante gráficas, tablas de valores... y los alumnos tienenque realizar las correspondientes interpretaciones.

• La actividad anterior podría completarse con la utilización de algún programa informático para confec-cionar representaciones gráficas de distintas funciones a partir de las correspondientes tablas de valo-res o expresiones algebraicas.

✍



— Ejemplificar magnitudes dependientes, indicar cuáles son la variable dependiente y la variable inde-pendiente, y expresar si es o no una función.

— Calcular imágenes y antiimágenes de una función a partir de su expresión algebraica.

— Obtener la expresión algebraica de una función, construir una tabla de valores, dibujar la gráfica y ex-presar el tipo de gráfica obtenida.

— Indicar, entre diversas gráficas, cuál es discontinua, cuál corresponde a una función decreciente, cuála una función con un máximo en el punto x = 2 y cuál a una función lineal.

— Identificar funciones lineales, expresar sus pendientes y elaborar su gráfica.

— Obtener la expresión algebraica de una función lineal asociada a una proporcional directa e indicar supendiente.

• Elaborar gráficas de funciones no lineales con la ayuda de algún programa informático y analizar las ca-racterísticas de la gráfica para extraer conclusiones sobre el fenómeno representado.

• Enumerar otras disciplinas en las que se utilice el lenguaje gráfico para interpretar fenómenos y escribirejemplos.


• Actividad 49. Acceder a una página web para comprobar la representación gráfica de las funciones delas actividades 38, 40, 42 y 43 de la unidad.



137

10. F

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Refuerzo

1. Lee, en la página 216 de tu libro, la definición de función y di si las afirmacio-nes siguientes son verdaderas o falsas.

• Una función es cualquier relación de dependencia entre dos variables.

• Una función es una relación de dependencia en la que la variable depen-diente y la independiente son la misma.

• En una función, a cada valor de la variable independiente le correspondeuno de la dependiente.

• En una función, a cada valor de la variable independiente le correspondecomo mínimo uno de la variable dependiente.

2. En la sopa de letras de la derecha (fig. 1), encontrarás cuatro términos que de-signan conceptos relacionados con las funciones.

Localízalas y defínelas con tus palabras.

3. Completa las tablas de valores de estas funciones lineales y represéntalas gráficamente en unos mismos ejes car-tesianos.

4. Las rectas que has representado en la actividad anterior sólo se diferencian por su inclinación. Obsérvalas y com-pleta la siguiente tabla.

¿Hay alguna relación entre la posición de las diferentes rectas en los cuadrantes y el signo del coeficiente de x?Explícala.

5. Ésta es la tabla de una función f (x) afín.

a) Di el tipo de función de que se trata.

b) Da la expresión algebraica de esta función.

c) ¿En qué puntos corta los ejes esta función?


1Concepto de función y funciones lineales

Ficha

��

�

M Q W E R T Y V P

O I B G C D E A F

L P M R O U Y R T

A B V A R Y N I M

V Q S F G D F A G

R X Z I G E G B H

E C V C B L N L N

T F G A B N M E M

N D W E R T T Y T

I F D E S A M O P

Fig. 1

x −2 0 1 3

y = f (x )

h (x) = −5x

x −2 −1 0 1

y = h (x )

g (x) = 3x

x −1 0 1 2

y = g (x )

x −2 −1 0 4

y = i (x )

f x x( )1

2

i x x( ) = − 2

3

Función Coeficiente de x Cuadrantes

f x x( ) = 1

21.° y 3.°

g (x) = 3 x

h(x) = −5x

i x x( ) = − 2

3

x −2 3 5

y = f (x) 1 1 1


138

10. F

unci

ones

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Refuerzo1Ficha

��

1. F, F, V, F.

2.

3.

4.

Sí. Cuando el signo del coeficiente de la x de una fun-ción lineal es positivo, la representación gráfica de surecta pasa por los cuadrantes 1.o y 3.o; mientras quesi es negativo pasa por los cuadrantes 2.o y 4.o.

5. a) Función constante; b) f(x) = 1; c) (0, 1).

Solucionario

�

x −2 0 1 3

y = f (x) −1 0

f x x( ) =1

2 1

2

3

2 i x x( ) = − 2

3

x −2 −1 0 4

y = i (x) 04

3

2

3− 8

3

h (x) = −5xx −2 −1 0 1

y = h (x) 10 5 0 −5

g (x) = 3xx −1 0 1 2

y = g (x) −3 0 3 6

6 g (x) = 3 x

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

1–1–2 2 4

4

3

2 2xf (x) =

1

1

0

–1

–1 1 2 3–2

–2

–3

4

2

0 1 2

h (x) = –5x

–1–2

–2

–4

Función Coeficiente de x Cuadrantes

1.o y 3.o

g (x) = 3 x 3 1.o y 3.o

h (x) = −5 x −5 2.o y 4.o

2.o y 4.o

f x x( ) =1

2

1

2

−2

3i x x( ) = −

2

3

M Q W E R T Y V P

O I B G C D E A F

L P M R O U Y R T

A B V A R Y N I M

V Q S F G D F A G

R X Z I G E G B H

E C V C B L N L N

T F G A B N M E M

N D W E R T T Y T

I F D E S A M O P


139

10. F

unci

ones

© grupo edebé

Profundización

1. Completa la tabla de valores asociados a una dependencia y expresa esta dependencia mediante una fórmula. A continuación, da ejemplos de magnitudes que satisfagan esta dependencia.

2. El coste de una llamada telefónica depende del tiempo de comunicación y de la distancia. En el gráfico de la figu-ra se representan las llamadas de cuatro amigos: Juan (J), Isabel (I), Mercedes (M) y Cristina (C).

a) ¿Quién ha llamado más lejos: Juan o Cristina?

b) ¿Quién ha llamado más cerca: Cristina o Isabel?

c) ¿Quién de los cuatro amigos ha llamado más cerca?

d) ¿Quién ha llamado más lejos?

e) ¿Dónde situarías una llamada hecha al mismo lugar alque ha llamado Juan pero de doble duración?

f) ¿Crees que tiene sentido unir de alguna manera los cua-tro puntos representados?

3. Busca gráficas en los medios de comunicación e interprétalas.

4. Elabora una gráfica de temperaturas a lo largo de un mes e interprétala.

5. Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones: a) y = 4x; b) y = 4x + 2. Contesta:

a) ¿Qué tienen en común estos gráficos? c) ¿Tienen todas las rectas la misma inclinación?

b) ¿En qué se diferencian? d) ¿De qué depende la inclinación de una recta?

6. Observa la gráfica de las funciones siguientes y contesta a las preguntas de los apartados.

a) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de estas funciones afines?

b) ¿Cuál de las dos tiene mayor pendiente?

c) ¿Cuál es la pendiente de cada una sin hallar la expresión de la función?

d) Halla las expresiones de estas funciones.


2Ficha

��

�

x 1 2 4 6 n

y 3 4 8 12

Precio

Tiempo

C

J

I

M

10

8

6

4

2

y

x–2–4–6 2 4 6

10

8

6

4

2

x

y

–2–3 2 4 6


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7. Una función de proporcionalidad inversa no es una función afín, pero está muy ligada a las funciones de pro-porcionalidad directa; se cumple que, cuanto mayor es el valor de la variable independiente, menor es el valorde la función (ambos en valor absoluto). Además, si se multiplica el valor de la función por el valor en que se

ha evaluado, siempre da el mismo resultado. Por ejemplo, si la función es

si x = 1 f (1) = 4 y 1 · f (1) = 1 · 4 = 4

si x = 2 f (2) = 2 y 2 · f (2) = 2 · 2 = 4

si x = 3 f (3) = 1,33 y 3 · f (3) = 3 · 1,33 = 4

Por lo tanto, se cumplen las condiciones para que esta función sea de proporcionalidad inversa.

Comprueba este hecho para las funciones y , completando estas tablas.

Comprobación:

−3 · g(−3) =

−2,6 · g(−2,6) =...

Comprobación:

−3 · h(−3) =

−2,6 · h(−2,6) =

...

Contesta a las preguntas de los apartados siguientes.

a) ¿Existe algún problema para calcular la imagen de alguno de los valores? ¿Qué sucederá para este valor?

b) En los otros casos, ¿se cumple la propiedad de las funciones de proporcionalidad inversa?

c) ¿Cuál de estas gráficas podría asociarse a la función inversa?

h xx

( ) = −2g xx

( ) = 3

f xx

( ) = 4

�

x −3

y

−2,6 −2 −1,8 −1,4 −1 −0,8 −0,6 −0,4 0 0,2 0,4 0,6 1 1,2 1,4 2 2,2 2,6 3

x −3

y

−2,6 −2 −1,8 −1,4 −1 −0,8 −0,6 −0,4 0 0,2 0,4 0,6 1 1,2 1,4 2 2,2 2,6 3

y

x

y

x

y

x

y

x


�141

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1. Pon un ejemplo de magnitudes dependientes e indica cuáles son las variables dependiente e independiente.

— Di también si se trata de una función. Justifica tu respuesta.

2. Dada la función , calcula:

a) La imagen de −2 y de 0. b) La antiimagen o antiimágenes de 3 y de 2.

3. Emilio quiere confeccionar un disfraz con una tela que cuesta 3,5 € el metro. Escribe la expresión algebraica de lafunción que nos da los euros que tenemos que pagar dependiendo del número de metros de tela comprados,construye una tabla de valores y dibuja la gráfica de la función. ¿De qué tipo de gráfica se trata?

4. Responde a las siguientes cuestiones sobre las gráficas dela derecha. Justifica tus respuestas.

a) ¿Cuál de las gráficas es discontinua?

b) ¿Cuál de las gráficas corresponde a una función siempredecreciente?

c) ¿Qué gráfica tiene un máximo en x = 2?

d) ¿Cuál es la gráfica de una función lineal?

5. Contesta a estas preguntas a partir de la gráfica que muestrala temperatura en un determinado lugar a lo largo de un día.

a) ¿En qué intervalos de tiempo la temperatura es constan-te?

b) ¿Entre qué horas la temperatura ha ido aumentando? ¿Y disminuyendo?

c) ¿Cuál ha sido la temperatura más elevada? ¿A qué horase ha alcanzado?

d) ¿Cuál ha sido la temperatura más baja? ¿Cuándo se haalcanzado?

6. Indica cuál de las siguientes funciones es lineal, indica supendiente y haz su representación gráfica.

a) y = 3 x + 2 b) y = 6 x2 c) y = −3 x d) y = −5 x2

7. Observa la tabla de valores de la derecha y contesta:

¿Son directamente proporcionales las magnitudes? Encaso afirmativo calcula la constante de proporcionalidaddirecta y escribe la expresión algebraica de la función li-neal asociada indicando su pendiente.

f x x( ) = −1

21


3�Ficha

Y

Y Y

Y

X

X X

X

a

c d

b

8

7

6

5

4

3

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

1

–1

–2

–3

–4

Temperatura ( oC)

Tiempo (h)

x 7,5 15 22,5

y 1,5 3 4,5 6

30

7,5

37,5


142

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1. Respuesta sugerida: El volumen de un cubo, y, y lalongitud de su arista, x. La variable dependiente esy y la independiente, x.

— Es una función porque el valor del volumen de uncubo de una arista determinada es único.

2. a) La imagen de x = −2 es y = −2; la imagen de x = 0es y = −1; b) La antiimagen de y = 3 es x = 8; la an-tiimagen de y = 2 es x = 6.

3. Si consideramos x el número de metros de tela e ylos euros que valen x metros de tela, la expresión al-gebraica es y = 3,5 x.

Como el número de metros de tela, x, puede tomarcualquier valor mayor que 0, la gráfica de la funciónes una semirrecta y, por lo tanto, es continua.

4. a) La gráfica d no puede dibujarse de un solo trazo.

b) En la gráfica a, a medida que aumenta la variablex, la variable y disminuye.

c) En la gráfica c, la variable y toma el valor mayorpara x = 2.

d) La gráfica b es una recta que pasa por el origen.

5. a) La temperatura ha sido constante entre las 4 h ylas 6 h, y entre las 16 h y las 19 h.

b) La temperatura ha aumentado entre las 6 h y las12 h; la temperatura ha disminuido entre las 12 hy las 16 h, y las 19 h y 24 h.

c) La temperatura máxima ha sido de 8 °C y se haalcanzado a las 12 h.

d) La temperatura mínima ha sido de −3 °C y se haalcanzado entre las 4 h y las 6 h.

6. La función lineal es y = −3x y su pendiente es m = −3.

7. Las variables son directamente proporcionales y laconstante de proporcionalidad directa es:

La expresión algebraica de la función lineal asocia-da es y = 0,2 x y su pendiente m = 0,2.

k = =1

50 2,

�

1

1 X

Y

x y

−1 3

0 0

1 −3

2 −6

3 −9

Ficha de evaluación3Solucionario

�Ficha


11 EstadísticaUnidad

Ciencias Sociales, Geografía e Historia; Lengua Caste-llana y Literatura

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✑


• Fracciones, números decimales y porcentajes.

• Ángulos.

• Sistemas de coordenadas.

• Sector circular.

Educación del consumidor. El profe-sor/a puede invitar a los alumnos a inter-pretar y analizar críticamente los datosestadísticos presentes en las noticias, lapublicidad, etc.


Criterios de evaluación• Conocer los conceptos de estadística, población, muestra, individuo y variable estadística.

• Entender qué es una muestra y cuándo se tiene que utilizar en la realización de un estudio estadístico.

• Comprender la diferencia entre variable cualitativa y variable cuantitativa.

• Decidir sobre la conveniencia o no de utilizar muestras y analizar su representatividad.

• Recoger y organizar datos para la realización de un estudio estadístico.

• Conocer y comprender el significado de los diferentes tipos de frecuencias.

• Elaborar e interpretar tablas de distribución de frecuencias.

• Reconocer los diferentes tipos de gráficos estadísticos.

• Identificar, calcular e interpretar los parámetros estadísticos (media aritmética, mediana y moda).

• Interpretar informaciones de ámbito social obtenidas a partir de un estudio estadístico.

• Desarrollar hábitos de precisión, orden y claridad en el tratamiento de la información por medios estadísticos.

• Valorar las posibilidades de los ordenadores y de las calculadoras en la confección de gráficos estadís-ticos y en el cálculo de parámetros estadísticos.

�

• Comprender el significado de con-ceptos relacionados con la estadís-tica: población, muestra, variableestadística...

• Calcular las frecuencias absolutas,las frecuencias relativas, las frecuen-cias absolutas acumuladas y las fre-cuencias relativas acumuladas tantode variables discretas (cualitativas ycuantitativas discretas) como conti-nuas (cuantitativas continuas).

• Obtener información práctica degráficos estadísticos.

• Valorar críticamente el uso de los len-guajes gráfico y estadístico en infor-maciones y argumentaciones socia-les, políticas y económicas a travésde la historia hasta nuestros días.

Objetivos didácticos✎• Interpretar el lenguaje estadístico que se presenta en

tablas y gráficos en informaciones de la vida cotidia-na.

• Utilizar de forma adecuada la calculadora y el orde-nador para calcular y representar informaciones di-versas.

• Presentar de forma clara, ordenada y argumentadala resolución de problemas.

• Reconocer la importancia del trabajo colectivo en larealización de trabajos y estudios.

Competencias básicasCBCB


ContenidosApartados

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• Media aritmética. C

• Moda. C

• Mediana. C

• Cálculo de la media aritmética, de la moda y de la mediana. P

• Interpretación de los valores de las medidas de centralización. P

• Aplicación de la estadística para la resolución de situaciones de la vida cotidiana. P



• Interés y respeto por las estrategias y las soluciones a problemas estadísticos distintas delas propias. V

3. Parámetrosestadísticos(págs. 248-249)

• Población, muestra e individuo. C

• Variable estadística. C

• Determinación de la población o de la muestra de un estudio estadístico. P

• Obtención de datos estadísticos de formas distintas. P

• Recogida y recuento de datos para estudiar una variable estadística. P

• Análisis crítico de las informaciones del entorno presentadas en forma de tablas y gráficas. V

• Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como una forma eficaz para llevar a cabodeterminadas actividades. V

1. Conceptosestadísticos(págs. 238-241)

2. Presentaciónde datos(págs. 242- 247)

• Frecuencia absoluta y frecuencia relativa. C

• Frecuencias acumuladas. C

• Tablas de distribución de frecuencias. C

• Gráficos estadísticos. C

• Obtención de frecuencias absolutas y relativas, y de frecuencias absolutas y relativas acu-muladas. P

• Construcción e interpretación de tablas de frecuencias de los valores de una variable esta-dística. P

• Construcción e interpretación de diagramas de barras y diagramas de sectores. P

• Elección del tipo de gráfico más adecuado en cada estudio estadístico. P

• Gusto por la realización sistemática y la presentación esmerada y ordenada de trabajos es-tadísticos. V

• Reconocimiento y valoración de la utilidad de las tablas y gráficos para conocer y resolverdiversas situaciones relativas al entorno. V

• Uso del ordenador en la construcción de gráficos estadísticos y en el cálculo de parámetrosde centralización. P

• Uso de la calculadora en el cálculo de la media aritmética. P• Interés por conocer las posibilidades que ofrece el uso del ordenador. V

4. Ordenadory calculadoraen estadística(págs. 250-251)


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• Observar unos ejemplos para introducir elconcepto de estudio estadístico.

• Razonar los distintos elementos que per-miten llevar a cabo un estudio estadístico:población, muestra y variable estadística.

• Observar los distintos tipos de variablesestadísticas.

• Leer de qué manera se debe llevar a cabola recogida de datos.

• Observar los elementos constitutivos deuna tabla estadística y su construcción,especialmente el cálculo de los diversostipos de frecuencias.

• Comprender la construcción de los distin-tos tipos de gráficos estadísticos a partirde las tablas y aplicarlos en las activida-des.

• Observar la necesidad de los parámetrosestadísticos.

• Leer las definiciones de media aritmética,moda y mediana, y saberlos aplicar en lasactividades.

Es muy importante que el alumnado vea la aplicación de la estadística en la vida co-tidiana. De este modo estará más motivado para abordar el estudio de la estadísticay no la verá como un hecho alejado de su entorno. Por ello, se aconseja al profesor/aque proponga recordar situaciones en las que han contestado una encuesta, recor-dar listas de datos que han recogido con anterioridad, utilizar como población el co-legio, el barrio, la ciudad en que viven para identificar posibles variables estadísticas.

Más que memorizar la definición de los diferentes conceptos estadísticos, losalumnos deben entenderlos y saber identificarlos

Es preciso destacar que los trabajos estadísticos tienen que estar elaborados deforma ordenada y clara. Para ello, sería conveniente habituar al alumno/a a la uti-lización sistemática de tablas para caracterizar un estudio.

Es interesante presentar esta secuencia de aprendizaje como la primera fase deun trabajo estadístico: preparación de la encuesta.



Antes de iniciar el estudio de este apartado sería conveniente repasar los procedi-mientos que permiten expresar un número racional en forma decimal y en tanto porciento, y el que permite representar un sector circular utilizando grados y décimas degrados. De este modo se facilitará la mayor comprensión de este apartado.

A la hora de representar gráficos puede resultar de utilidad que el profesor/a des-taque los errores que suelen cometerse de manera sistemática, como la malagraduación de los ejes.

Resulta interesante presentar esta secuencia de aprendizaje como la segunda eta-pa de un trabajo estadístico: la recogida y la organización de datos estadísticos.



Posiblemente en esta secuencia se encuentran por primera vez con el uso desubíndices; es interesante explicar a los alumnos que utilizarán esta forma de lenguaje en muchas situaciones y en diferentes áreas, como por ejemplo paraexpresar un cambio de temperatura entre dos instantes: inicial, Ti, y final, Tf.

Es importante dar significado a la media aritmética de una serie de datos y saber-la interpretar correctamente. En este sentido, resulta interesante plantear ejem-plos de series muy diferentes pero con la misma media. Por ejemplo, la nota me-dia de un alumno/a que ha obtenido en sus pruebas un 1 y un 9 es la misma quela de otro que ha obtenido un 4 y un 6, pero evidentemente el significado de estanota media no es el mismo en ambos alumnos.

Conviene que los alumnos se acostumbren a calcular la media aritmética a partirde la tabla de frecuencias, añadiendo una columna más con los productos de losvalores por sus frecuencias. Esto prepara el camino para que, en cursos poste-riores, utilicen las tablas para el cálculo de los diferentes parámetros, tanto decentralización como de dispersión.

Resulta interesante presentar esta secuencia de aprendizaje como la tercera eta-pa de un trabajo estadístico: análisis de los resultados obtenidos en un estudioestadístico realizado.



• Seguir las instrucciones para completar unatabla y confeccionar una gráfica con ayu-da de un programa informático, así comocalcular los parámetros de centralización.

Sería conveniente disponer de un programa informático para la práctica de losprocedimientos explicados en este apartado. En este caso, deberían explicar-se los pasos que hay que seguir para la obtención de los gráficos, y los pará-metros de centralización a partir de un ejemplo.


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Otras propuestas de actividades• Una actividad interesante que además fomenta el trabajo en equipo y la relación con los demás es la

realización de una encuesta.

Para ello es conveniente formar grupos reducidos (3 ó 4 alumnos por grupo). Los pasos que hay que se-guir para la realización de la encuesta podrían ser los siguientes:

1. Formulación del cuestionario: primero se hará un borrador y se elaborará una prueba con las per-sonas del equipo y otras ajenas a él para eliminar o reformular las preguntas dudosas.

2. Elección de la muestra (si es necesario).

3. Realización de las entrevistas y posterior recopilación de los cuestionarios.

4. Organización de los datos en tablas y elaboración de los datos más adecuados.

5. Análisis de los resultados y conclusiones.

Si el profesor/a lo considera conveniente los alumnos podrían utilizar algún programa informático paraorganizar y representar los datos, así como para presentar las conclusiones.

Es importante tener en cuenta una serie de reglas a la hora de hacer la encuesta:

— El número de preguntas debe ser reducido.

— Formular las preguntas de forma concreta y precisa, con lenguaje sencillo y evitando el uso de pa-labras abstractas o ambiguas.

— No plantear preguntas que obliguen a consultar archivos o realizar cálculos numéricos.

— Las preguntas han de ser preferentemente cerradas y numéricas.

• Para ampliar la construcción de gráficos estadísticos y su interpretación el profesor/a puede proponer alos alumnos la siguiente actividad:

Buscar información sobre la composición del Parlamento Europeo (número de diputados, países que loforman, grupos parlamentarios...).

A partir de estos datos, los alumnos pueden elaborar los siguientes gráficos:

— Un diagrama de sectores con la distribución de los diputados por grupos parlamentarios.

— Un diagrama de sectores semicircular con los resultados de cada partido para cada uno de los países.

— Un gráfico estadístico con la distribución por países de los diputados de un determinado grupopolítico.

• Puede ser interesante que los alumnos se familiaricen con las hojas de cálculo que les permita agruparfácilmente los datos, y calcular los distintos parámetros estadísticos.

✍



— Emparejar una serie de conceptos estadísticos con su definición.

— Organizar una serie de datos en una tabla de frecuencias, calcular la frecuencia relativa acumulada deun determinado valor y representar los datos mediante un diagrama de barras y un polígono de fre-cuencias.

— Definir cada uno de los parámetros de centralización, describir dos series estadísticas en las quecoincidan la media aritmética y la moda, y hallar la mediana de una serie estadística.

— Observar y extraer información de un cartograma.

— Construir un diagrama de sectores a partir de unos porcentajes.

— Confeccionar unos gráficos evolutivos y un gráfico comparativo.

• Realizar trabajos en grupo de recogida y organización de datos estadísticos.

• Utilizar el lenguaje estadístico en informaciones y argumentaciones sociales, políticas y económicas.


• En la actividad 42 se propone visitar la página del Instituto Nacional de Estadística y buscar informaciónsobre los trabajadores en activo y en paro en distintos sectores. A partir de los datos obtenidos, se pidela confección de un gráfico comparativo de diagrama de barras.



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Refuerzo

Laura se ha presentado a un concurso televisivo. Antes de iniciar su actuación, el presentador informa al público:

«Laura tiene 13 años. Es morena, mide 1,54 m y pesa 48 kg. Vive en Logroño. Estudia 2.o de ESO. Le gusta jugar al ba-loncesto y su cantante favorita es Luz Casal.»

1. Pregunta a más compañeros o compañeras, y completa una tabla como la siguiente.

Cada una de estas características es una variable estadística.

2. Anota las características anteriores cuyos valores vienen representados por números.

— Edad, ...........................................................................................................................................................

Estas características son variables estadísticas cuantitativas.

3. Anota las características cuyos valores no son numéricos.

— ...........................................................................................................................................................................

Estas características son variables estadísticas cualitativas.

4. Escribe tres variables estadísticas cualitativas y tres cuantitativas, y pon ejemplos de los valores que puede tomarcada una de ellas.

5. Indica si las siguientes afirmaciones son correctas, y corrige las incorrectas.

a) Una variable estadística son los resultados de un estudio realizado en diferentes Estados.

b) El estado civil es una variable estadística cualitativa.

c) Las marcas de coche más vendidas en el año 2007 es una variable estadística cuantitativa.


1Variable estadística

Ficha

��

�

Nombre Edad Color del cabello Estatura (m) Peso (kg) Residencia Curso Deporte preferido Cantante favorito

Laura 13 Morena 1,54 48 Logroño 2.o ESO Baloncesto Luz Casal

Tú

Compañero 1

Compañero 2


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Refuerzo1Ficha

��

2. Edad, estatura, peso.

3. Color del cabello, residencia, curso, deporte preferido, cantante favorito.


Variables cualitativas:

Color preferido: azul, verde...; estilo de novela preferida: policíaca, histórica...; grupo de música extranjero preferi-do: Green Day, The Coors...

Variables cuantitativas:

Número preferido: 8, 3...; número de horas semanales dedicadas a la lectura: 7, 8...; número de piscinas recorri-das en una hora: 20, 18...

5. a) Incorrecta, una variable estadística es una propiedad o característica determinada que queremos estudiar.

b) Correcta.

c) Incorrecta, las marcas de coche más vendidas es una variable cualitativa.

Solucionario

�


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Refuerzo

Los tutores de ESO han programado proyectar una película el último día de claseantes de las vacaciones.

Para decidir qué película verán, han realizado una encuesta. Las respuestas de di-cha encuesta se recogen en la figura 1.

1. Completa la siguiente tabla.

El número de veces que se repite un valor determinado de la variable estadís-tica es su frecuencia .............................................................................................

El resultado de dividir la frecuencia absoluta de un valor entre el número totalde datos es la ....................................................................... de dicho valor.

Como sabes, los valores de una variable estadística pueden representarse me-diante gráficos. Algunos de los más usados son: diagramas de barras, pictogra-mas y cartogramas.

2. Observa la figura 2 y coloca debajo de cada gráfico estadístico el nombre correspondiente.

3. Lee el apartado Gráficos estadísticos (págs. 244-247) de tu libro e indica si lassiguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) En un diagrama de barras, la altura de cada barra es proporcional a la fre-cuencia absoluta del dato correspondiente.

b) Los cartogramas sólo se utilizan para representar variables estadísticascuantitativas.

c) Un pictograma es un diagrama de barras en el que se colorean las barras de colores diferentes.

d) Un polígono de frecuencias es un polígono en cuyos vértices colocamoslos valores de las frecuencias absolutas de los diferentes valores.


2Datos estadísticos

Ficha

��

�

La amenaza fantasma:

85 alumnos

Titanic:

40 alumnos

Hombres de negro:

30 alumnos

Indiferentes:

5 alumnos

Fig. 1.

Fig. 2.

ISLASBALEARES

Mar MediterráneoISLAS CANARIAS

DÍAS DESPEJADOS AL AÑO

Menos de 60 días

De 60 a 120 días

De 120 a 150 días

Más de 150 días

Tenis

Baloncesto

Fútbol

Natación

Atletis

moOtro

s

23%

Deportes más practicados30%

15%

8%11%

12%

ESPAÑ

AAL

EMAN

IAAU

STRIA

BÉLG

ICA

DINAM

ARCA

FIN

LANDIA

FRAN

CIAG

RECIA

HOLA

NDAIR

LANDA

ITAL

IA

LUXE

MBU

RGO

PORTU

GAL

REIN

O U

NIDO

SUECIA

MED

IA

120

100

80

60

40

20

0

Precio en Europa de la Gasolina sin plomo

Película Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

La amenaza fantasma 85

Titanic

Hombres de negro

Indiferentes

85

1600 53= ,

......................................................................

......................................................................

......................................................................


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Refuerzo2Ficha

��

1.

...absoluta.; ...frecuencia relativa...

2. Cartograma, diagrama de barras, pictograma.

3. a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Falsa.

d) Falsa.

Solucionario

�

PelículaFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

La amenaza fantasma 85

Titanic 40

Hombres de negro 30

Indiferentes 5

85

1600 53= ,

40

1600 25= ,

30

1600 19= ,

5

1600 03= ,


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Profundización

1. Además de los parámetros de centralización, también son muy importantes los parámetros de dispersión. Losparámetros de dispersión contienen información sobre si los valores de la muestra se encuentran todosagrupados muy cerca de un valor, o bien, se encuentran dispersos. Por ejemplo, las notas de un grupo A deuna clase de 2.o de ESO son 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 6 y 3, y su media es 4,5; curiosamente, la muestra de notas,0, 9, 0, 9, 0, 9, 0, 9, 1 y 8 del grupo B también tiene como media 4,5. Ahora bien, lo que diferencia ambos gru-pos es la dispersión de los datos en la segunda lista de notas. Esta dispersión se medirá con los parámetrosde dispersión. Los más importantes son:

— El recorrido de la muestra, que es igual a la diferencia entre el valor máximo menos el valor mínimo. El re-corrido es, pues, la anchura del intervalo en el que pueden incluirse todos los datos de la muestra.

En los casos del ejemplo anterior, el recorrido de la muestra del grupo A es 3, ya que el máximo es 6 y el míni-mo 3; su diferencia es 6 − 3 = 3. En cambio el recorrido del grupo B es 9, mucho mayor.

— La varianza (σ2) de la muestra se calcula de la siguiente forma: se resta la media aritmética a todos los da-tos de la muestra; estos resultados se elevan al cuadrado y, finalmente, se suman. Para acabar, se divide elresultado entre el número de valores de la muestra.

En el ejemplo de la muestra A la media es 4,5; así pues debe calcularse: 4 − 4,5 = −0,5; 5 − 4,5 = 0,5; 6 − 4,5 = 1,5;3 − 4,5 = −1,5. La lista de diferencias es: −0,5, 0,5, −0,5, 0,5, −0,5, 0,5, −0,5, 0,5, 1,5 y −1,5. Debemos elevar-las al cuadrado y sumarlas, y, finalmente, dividir el resultado entre el número de valores, 10:

La varianza de la muestra A es σ2 = 0,65, mientras que la varianza de la muestra B es σ2 = 18,65.

— La desviación típica (σ) es el más utilizado de todos los parámetros de dispersión, y se halla extrayendo laraíz cuadrada de la varianza. Este parámetro da una idea del valor medio de las diferencias de la media arit-mética con cada uno de los valores de la muestra. En el caso de la muestra A, la desviación típica es σ = 0,806, mientras que en el caso de la muestra B, σ = 4,32. Como puede observarse, estos valores de ladesviación típica dan una buena aproximación de la diferencia entre los valores de cada muestra con res-pecto a su media aritmética.

Calcula los parámetros de dispersión de la muestra que recoge el número de personas que han entrado cadaminuto durante la última media hora en una estación A de tren. Los datos son: 37, 46, 25, 30, 37, 34, 35, 30,27, 40, 29, 31, 36, 24, 33, 33, 39, 34, 40, 33, 31, 44, 31, 47, 26, 39, 30, 24, 25 y 33.

En otra estación, B, de la misma línea, los datos de entrada por minuto durante la misma media hora son: 34,32, 32, 34, 36, 39, 24, 38, 36, 39, 31, 32, 40, 25, 27, 46, 40, 34, 37, 43, 45, 29, 29, 34, 35, 31, 30, 38, 40 y 35.

a) Calcula los parámetros de centralización y dispersión de esta muestra.

b) ¿Qué estación dirías que presenta una mayor afluencia por minuto de usuarios a esa hora? ¿Por qué?

c) ¿En qué estación la afluencia de público es más regular?

2. Normalmente, algunos de los parámetros más importantes pueden definirse con fórmulas que utilizan símbo-los especiales, pero que permiten condensar la definición en una breve expresión. El símbolo más utilizado esel denominado símbolo de sumatorio, Σ (la letra sigma mayúscula del alfabeto griego). Este símbolo significaque deben sumarse los elementos referidos que se indican; por ello, suele ir acompañado por una expresióninferior y otra superior. Un ejemplo permitirá aclarar el significado de los índices:

Este sumatorio indica que debe sumarse la expresión que sigue (en este caso, solamente n), empezando porel valor que se indica en el índice inferior (es decir, desde n = 1, o sea , desde que n tiene valor 1), hasta el va-lor que se indica en el índice superior (es decir, 5). Por lo tanto,


3��

�

Ficha

σ2 =(4 – 4,5)2+ (5 – 4,5)2+ (4 – 4,5)2+ (5 – 4,5)2+ (4 – 4,5)2+ (5 – 4,5)2+ (4 – 4,5)2+ (5 – 4,5)2+ (6 – 4,5)2+ (3 – 4,5)2

10= 0,65

�n=1

5

n

�n=1

5

n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5


152

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

Otro ejemplo.

Si tenemos una serie de valores l1 = 3, l2 = 5, l3 = 6, l4 = 5, l5 = 6, l6 = 3, l7 = 2 y l8 = 4, el sumatorio li indica

que deben sumarse los valores l2, l3, l4 y l5.

li = l2 +l3 + l4 + l5 = 5 + 6 + 5 + 6 = 22

Desarrolla estos sumatorios y calcula el resultado de cada uno de ellos.

a)

b) si l1 = 1, l2 = 3, l3 = 6, l4 = 5, l5 = 6, l6 = 7, l7 = 9 y l8 = 3

c)

El símbolo de sumatorio puede utilizarse para definir de forma rápida algunos de los parámetros de centrali-zación y de dispersión.

En el caso de la media aritmética, si x1, x2, x3 ... xn son los valores de una muestra de una variable estadística,la media aritmética de estos valores es:

Es decir, la suma de todos los valores de la muestra dividido por el número total (en este caso, n).

De esta manera, para esta misma muestra, la varianza puede calcularse de esta forma:

Finalmente, la desviación estándar de la misma muestra se define como:

�n=1

15

(2n + 1)

�i=2

7

l i

�k=1

10

�i=2

5

�i=2

5

�

nx ��i=1

n

xi

nσ2 =

�i=1

n

(xi – x )2

nσ =

�i=1

n

(xi – x )2�


�153

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé


1. Relaciona cada concepto con su definición.

• Cada uno de los elementos de una población. Variable estadística

• El conjunto formado por todos los elementos Poblaciónobjeto de un estudio estadístico.

• Cada una de las propiedades o características Individuoque estudiamos en una población.

2. Se ha preguntado a 25 alumnos de 2.o de ESO el número de libros que leen, por término medio, al año. Las res-puestas han sido: 3, 2, 1, 4, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 3, 6, 3, 4, 5, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 1, 3.

a) Organiza estos datos en una tabla y construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la frecuencia relativa acumulada del valor 3. ¿Qué significado tiene esta frecuencia?

c) Representa los datos en un diagrama de barras y construye el polígono de frecuencias correspondiente.

3. Define media aritmética, moda y mediana de una serie estadística. A continuación, escribe dos series estadísticasdiferentes con más de cinco datos que tengan la misma media y la misma moda.

— Calcula la mediana de la serie estadística de la actividad 2.

4. Observa el cartograma de la figura y responde a las siguientespreguntas sobre la cosecha de plátanos de este año en la Re-pública de Banania.

a) ¿En qué provincia se ha conseguido la mejor cosecha?¿En qué provincia se ha dado la peor?

b) ¿Qué provincias han tenido una cosecha comprendida en-tre las 10 000 y las 20 000 toneladas métricas?

c) Sabiendo que el pasado año la cosecha total fue de321 000 toneladas métricas, ¿cómo crees que ha ido la co-secha del año actual?

5. El 45 % de los habitantes de Tropicalia combate el calor conventiladores, el 35 % utiliza aparatos de aire acondicionado yel 20 % restante usa un paipay. Dibuja el diagrama de secto-res correspondiente a esta situación.

6. Confecciona los gráficos evolutivos de la posición final queocuparon en la liga de fútbol los equipos de la siguiente tabla.A continuación, elabora un gráfico comparativo de los datosde ambos equipos.


4�Ficha

0 - 10 000

10 000 - 20 000

20 000 - 30 000

30 000 - 40 000

40 000 - 50 000

Producción de plátanos en el 2002(en toneladas métricas)

Norte

Sur

Maroriental

Este

Oeste

CentroNorte

Maroccidental

CentroEste

1995

Rojos F. C. 2

C. D. Verde 3

1997

2

3

1996

3

1998

4

1 2

1999

1

2001

2

2 3

2000

5

2002

3

1 1

2003

1

2

AñoEquipo


154

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé


1. Cada uno de los elementos de una población:individuo. El conjunto formado por todos los elemen-tos objeto de un estudio estadístico: población. Cadauna de las propiedades o características que estudia-mos en una población: variable estadística.

2. a)

b) La frecuencia relativa acumulada del valor 3 es0,72. Esto quiere decir que el 72 % de los alumnosde la clase ha leído 3 o menos libros.

c)

3. La media aritmética de una serie de datos es la sumade los valores de los datos dividida por el número to-tal de datos.

La moda de una serie de datos es el valor de los da-tos que tiene mayor frecuencia absoluta.

La mediana de una serie de datos es, después de or-denarlos de menor a mayor:

• El dato que ocupa el lugar central, si el número dedatos es impar.

• La media aritmética de los dos datos centrales, siel número de datos es impar.

Respuesta sugerida:

a) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3.

b) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5.

— La mediana de la serie es 3.

4. a) En la provincia Norte se ha conseguido mejor co-secha y en la provincia Centro Este la peor.b) Centro Norte y Sur. c) Según el cartograma la pro-ducción de plátanos total oscila entre 110 000 y170 000 toneladas métricas. Por tanto, la cosecha delaño actual ha sido peor que la del año anterior.

5.

6.

Solucionario

�

�Ficha

Libros leídos Recuento Número

1 5

2 6

3 7

4 4

5 2

6 1

Libros leídosFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

1 5

2 6

3 7

4 4

5 2

6 1

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

Frecuenciaabsoluta

Librosleídos

20%

35%

45%

5

4

3

2

1

0

Rojos F.C.

5

4

3

2

1

0

C.D. Verde

5

4

3

2

1

0

Rojos F.C.C.D. Verde

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

5

250 2= ,

6

250 24= ,

7

250 28= ,

4

250 16= ,

2

250 08= ,

1

250 04= ,


Otros recursospara la evaluación

Evaluación inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Indicadores para la evaluación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Evaluación final de competencias básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Recursos evaluacion MAT2 4/8/08 09:33 Página 155

157

© grupo edebé

Evaluación inicial (primera parte)

1. Calcula:

a) −[3 + 6 · (−4)] + 28 : 7 − 3

b) 15 : (3 · 3 − 4) − [24 − (−2) · 3]

c) −[6 : (−3) + 4 : (−4)] − 9 : (6 · 2 − 3)

2. Representa gráficamente los siguientes pares de fracciones e indica si son equivalentes.


4. Tres quintas partes del total de los 270 socios de un club deportivo son hombres, y de éstos, un terciojuegan a tenis.

— ¿Qué fracción del total de socios representan los jugadores de tenis?

— ¿Cuántas socias hay en el club?

— ¿Qué porcentaje representan los hombres sobre el total de socios?

5. Efectúa las siguientes operaciones y aplica el redondeo al resultado. Señala a qué cifra aplicas el redondeo ypor qué.

a) 3,5 + 4,4337 + 7,02 · 1,3. El resultado es el precio de un artículo en euros.

b) 7,274 − 0,04 + 0,17 · 0,1848. El resultado es una longitud, en metros, medida con una cinta métrica.

6. Hemos comprado una camisa de 38 ∑ con un descuento del 15 % y una chaqueta de 65 ∑ con un descuentodel 20 %. Si hemos pagado con un billete de 100 ∑, ¿cuánto dinero nos han devuelto?

7. Expresa los siguientes enunciados con lenguaje algebraico.

a) La suma del doble de a más el triple de su cuadrado es igual a 85.

b) La diferencia del triple del cubo de a menos el cuadrado de b es igual a 48.

8. Escribe una ecuación equivalente a cada una de las siguientes.

a) −4 x = 24 b) y − 2 = 0 c) z + 5 = 0

9. Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 3 = 27 b) 36 = 4x c) 19 − x = 16

a c

b

) ) :

) :

4

5

3

4

2

3

2

5

1

33 3

5

6

71

4

+ ⋅ + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

+ 33

23

4

31

2

5d ) :− −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

a y b y c y) ) )2

3

4

9

1

3

3

6

4

5

12

15


�


158

© grupo edebé

1. a) 22

b) −25

c) 2

2. a) No b) No c) Sí

3.

4. — La fracción del total de socios representadapor los hombres que juegan a tenis es:

— Calculamos el número de socios masculi-nos.

Por lo tanto, el número de socias es:

270 − 162 = 108 mujeres

— El porcentaje de socios es:

5. a) 17,0597 = 17,06. Redondeamos hasta las cen-tésimas, puesto que el submúltiplo más pe-queño del euro corresponde a los céntimos deeuro.

b) 7,2654 = 7,265. Redondeamos hasta las milé-simas, ya que la cinta métrica mide milímetros.

6. Por la camisa hemos pagado:

38 − (38 ·0,15) = 32,3 ∑

Por la chaqueta:

65 − (65 · 0,2) = 52 ∑

Hemos pagado: 32,3 + 52 = 84,3 ∑

Por lo tanto, nos han devuelto:

100 − 84,3 = 15,7 ∑

7. a) 2 a + 3 a2 = 85

b) 3 a3 − b2 = 48

8. Respuesta sugerida.

a) − 2 x = 12

b) 2 y − 4 = 0

c) 3 z + 15 = 0

9. a) x = 27 − 3 = 24

c) x = 19 − 16 = 3

b) x = =36

49

162

270 100

162 100

27060= ⇒ = × =x

x %

2703

5162⋅ =

3

5

1

3

3

15⋅ =

a b c d) ) ) )13

10

43

6

112

65

25

9

Evaluación inicial (primera parte)

Solucionario�

2

4

1

3

4

12

3

9

3

6

5

15


159

© grupo edebé


10. Esta tabla muestra la dependencia entre dos magnitudes.

a) ¿Se trata de magnitudes directamente proporcionales? Razona la respuesta. En caso afirmativo, calculala constante de proporcionalidad.

b) ¿Qué valor de y corresponde a un valor de x igual a 35?

11. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los puntos de la figura siguiente e indica si hay dosrectas perpendiculares.

12. Calcula el ángulo complementario y el suplementario del ángulo ^A = 38°15 ′47′′ .

13. Calcula el área del polígono regular de 12 cm de lado, 10 cm de apotema y cuyo ángulo central mide 72°.

14. Halla el área de esta figura.

15. ¿Qué área ocupa un estanque circular cuyo diámetro mide 7 m?

16. Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos e indica en qué cuadrante está cada situadocada uno.

(−3, 4) , (0, 4) , (−2, −2) , (−3, 0) , (5, −1) , (3, 4)

17. La gráfica de la derecha representa la variación de la velocidad de una motocicleta en función del tiempo paraun trayecto entre dos calles de una ciudad.

a) ¿Qué velocidad máxima alcanza la motocicleta? ¿Cuán-to tiempo dura este trayecto?

b) ¿Qué velocidad lleva a los 15 segundos? ¿En qué instan-te la velocidad es de 40 km/h?

c) ¿Durante qué intervalo de tiempo la velocidad aumenta?


�

x 0 2,5 5 7,5 10 12,5

y 0 95 190 285 380 475

A B

C D

18 cm 6 cm

36 cm

12 c

m

12 c

m18

cm

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80

V (km/h)

t (s)


160

© grupo edebé

10. a) Sí. Porque al dividir cada valor de y por el correspondiente valor de x, se obtiene siempreel mismo resultado.

b) y = 38 · 35 = 1330

11.

Las rectas BD y CD son perpendiculares.

12. El ángulo complementario es 51° 44 ′ 13 ′′.

El ángulo suplementario es 141° 44 ′ 13 ′′.

13. 360° : 72º = 5 lados. Se trata de un pentágono regular.

Calculamos el perímetro del pentágono:

P = 12 · 5 = 60 cm

Calculamos el área:

14. Descomponemos la figura en un triángulo y dosrectángulos. El área total de la figura será la sumade las áreas de estas tres figuras.

— Calculamos el área del triángulo (A1):

b1 = 36 − 18 − 6 = 12 cm

— Calculamos el área del rectángulo menor (A2):

b2 = 36 − 18 = 18 cm

h2 = 18 − 12 = 6 cm

A2 = b2 · h2 = 18 · 6 = 108 cm2

— Calculamos el área del rectángulo mayor (A3):

b3 = 36 − 18 = 18 cm

A3 = b3 · h3 = 18 · 12 = 216 cm2

— El área total es:

A1 + A2 + A3 = 72 + 108 + 216 = 396 cm2

15. A = π ·r2 = 3,14 · (3,5 m)2 = 38,47 m2

16.

(−3, 4): pertenece al segundo cuadrante.

(−2, −2): pertenece al tercer cuadrante.

(5, −1): pertenece al cuarto cuadrante.

(3, 4): pertenece al primer cuadrante.

Los puntos (0, 4) y (−3, 0) pertenecen a los ejes decoordenadas.

17. a) La velocidad máxima es de 45 km/h. El movi-miento dura 75 s.

b) A los 15 s su velocidad es de 35 km/h. La velo-cidad es de 40 km/h en los instantes t = 18 s yt = 62 s.

c) La velocidad aumenta en el intervalo de 0 a 20 s.

Ab h

11 1 2

2

12 12

272=

⋅= ⋅ = cm

AP ap

=⋅

= ⋅ =2

60 10

2300 2cm

y k x ky

x= ⋅ ⇒ = = =95

2 538

,


Solucionario�

AB

C

D

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

–1 1 2 3 4 5 6–2–3–4


Indicadorespara la evaluación continua

Las profesoras y los profesores de la ESO deberán evaluar los aprendizajes desus alumnos en relación con los objetivos generales. Éstos, por su formulacióny grado de generalización, resultan difícilmente evaluables; por ello se hace ne-cesario enumerar una serie de datos y observaciones que pueden tomarsecomo indicadores de la presencia y el desarrollo de las capacidades a queapuntan los objetivos generales.

Con el fin de orientar a profesoras y profesores en la evaluación continua, la edi-torial Edebé ofrece, a continuación, unos indicadores de evaluación por trimes-tres que recogen las capacidades enunciadas en los objetivos generales de lamateria.


162

© grupo edebé

Pri

mer

tri

mes

tre

Utiliza los números enteros para expresar situaciones cotidianas.

Interpreta y utiliza la notación de potencias.

Efectúa correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones connúmeros enteros.

Opera con potencias de base y exponente enteros.

Calcula raíces cuadradas enteras.

Conoce la jerarquía de las operaciones y las reglas de uso de losparéntesis y corchetes en �.

Utiliza la notación científica para expresar números muy grandes o muypequeños.

Utiliza los números fraccionarios con signo para expresar situacionescotidianas.

Reconoce y obtiene fracciones equivalentes.

Halla la fracción irreducible equivalente a una dada.

Representa fracciones sobre la recta y las ordena.

Opera correctamente con fracciones.

Aplica correctamente la jerarquía de las operaciones al realizar cálculoscon fracciones.

Halla la expresión decimal correspondiente a una fracción.

Clasifica los números decimales.

Efectúa operaciones con números decimales.

Calcula la fracción generatriz de un número decimal.

Aproxima los números decimales por redondeo.

Calcula el error cometido en una aproximación.

Traduce al lenguaje algebraico enunciados verbales sencillos.

Conoce y utiliza la nomenclatura propia del lenguaje algebraico.

Realiza operaciones con expresiones algebraicas sencillas.

Resuelve ecuaciones sencillas por tanteo, razonamiento inverso...

Resuelve ecuaciones de primer grado por métodos algebraicos.

Justifica matemáticamente todos los pasos realizados en la resoluciónde una ecuación de primer grado.

Obtiene las soluciones de una ecuación de primer grado con dosincógnitas y las representa gráficamente.

Resuelve gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones deprimer grado con dos incógnitas.

Clasifica los sistemas según el número de soluciones.

Resuelve problemas utilizando ecuaciones de primer grado o sistemasde ecuaciones.

Valora la utilidad del lenguaje numérico y algebraico en los distintosámbitos.

Es constante en la búsqueda de soluciones correctas.

Selecciona la estrategia de resolución más adecuada para solucionar unproblema determinado.

Revisa el resultado de cualquier cálculo o problema numérico.

Utiliza las nuevas tecnologías de la información en la resolución deproblemas, en particular para comprobar los resultados.

Aritm

étic

a y á

lgeb

raIn

dica

dore

s re

laci

ona-

dos

con

los

obje

tivos

de la

mat

eria

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global


163

© grupo edebé

Seg

und

o t

rim

estr

e

Utiliza las propiedades de las proporciones para calcular nuevas proporciones.

Calcula el cuarto, el tercero y el medio proporcional.

Identifica relaciones de proporcionalidad directa.

Aplica la regla de tres simple en problemas de proporcionalidad directa.

Resuelve problemas de proporcionalidad utilizando el método dereducción a la unidad.

Resuelve problemas que implican un reparto directamente proporcional.

Identifica relaciones de proporcionalidad inversa.

Aplica la regla de tres simple en problemas de proporcionalidad inversa.

Utiliza conceptos matemáticos como proporcionalidad, porcentajese interés para interpretar y transmitir información.

Aplica la proporcionalidad en problemas de porcentajes, intereses y descuentos.

Identifica segmentos proporcionales.

Utiliza el teorema de Tales.

Halla los segmentos cuarto proporcional a tres dados y terceroproporcional a dos dados aplicando el teorema de Tales.

Reconoce triángulos en posición de Tales.

Reconoce los triángulos rectángulos y la relación que se establece entresus lados.

Realiza construcciones geométricas con programas informáticos.

Reconoce figuras geométricas semejantes y calcula la razón desemejanza.

Construye polígonos semejantes por triangulación y por radiación.

Calcula y aplica la razón de semejanza entre dos figuras para hallar la medida de sus segmentos o ángulos.

Establece relaciones numéricas entre las razones de perímetros y áreas de figuras semejantes y la razón de semejanza.

Construye figuras semejantes por el método de la cuadrícula.

Conoce el concepto de escala y calcula longitudes y superficies a partirde representaciones hechas a escala.

Calcula la equivalencia entre las formas simples y complejas de lasmedidas de tiempo y ángulo.

Utiliza correctamente los términos propios de la geometría.

Confía en sus capacidades para percibir el espacio y resolver problemasgeométricos.

Reconoce y valora la utilidad de la geometría para expresar situacionesrelativas al entorno.

Persevera en la búsqueda de soluciones en los problemas geométricos.

Presenta de forma clara y ordenada las construcciones y los trabajosgeométricos.

Geo

met

ríaAr

itmét

ica

y álg

ebra

Indi

cado

res

rela

cion

a-do

s co

n lo

s ob

jetiv

osde

la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global


164

© grupo edebé

Terc

er t

rim

estr

e

Reconoce los elementos básicos de la geometría, punto, recta y plano,así como los de segmento, semirrecta y semiplano.

Determina rectas y planos en el espacio.

Determina la posición relativa de dos rectas.

Determina la posición relativa de una recta y un plano.

Determina la posición relativa de dos planos.

Expresa la medida de los ángulos en forma compleja e incompleja.

Clasifica los ángulos diedros.

Calcula la medida de ángulos diedros.

Conoce el concepto de ángulo poliedro.

Conoce todos los poliedros regulares.

Identifica los poliedros regulares, los no regulares (prismas y pirámides)y los cuerpos de revolución.

Entiende los conceptos de área y de volumen.

Conoce las unidades de área y volumen y las equivalencias entre ellas.

Utiliza factores de conversión para transformar unas unidades de áreay de volumen en otras.

Sabe hallar la forma compleja de una medida de área o de volumenexpresada en forma incompleja, y viceversa.

Compara y opera con medidas de área y de volumen expresadas endiferentes unidades.

Calcula áreas de figuras planas (polígonos, figuras circulares y figurascombinadas).

Calcula el área y el volumen de cuerpos geométricos (poliedros regulares,prismas regulares rectos y pirámides regulares).

Calcula el área y el volumen de cuerpos de revolución (cilindros, conosy esferas).

Expresa los resultados numéricos de las mediciones acompañados dela unidad correspondiente.

Calcula áreas y volúmenes de forma aproximada, cuando es necesario.

Reconoce la dependencia de magnitudes y la expresa mediante unenunciado verbal, una tabla, una gráfica o una fórmula.

Distingue entre variable dependiente y variable independiente.

Obtiene imágenes y antiimágenes gráfica y analíticamente.

Confecciona tablas de valores de funciones y construye la gráfica.

Interpreta las características de una función a partir de su gráfica.

Identifica una función lineal asociada a una proporcionalidad directa ycalcula su pendiente.

Identifica una función de proporcionalidad inversa y calcula la constantede proporcionalidad inversa.

Maneja los conceptos básicos de estadística: población, muestra yvariable estadística.

Distingue las variables cualitativas de las cuantitativas.

Maneja de forma correcta las diferentes formas de presentar los datos,en tablas y gráficas.

Realiza estudios estadísticos mediante la elaboración de una encuestay la selección de una muestra.

Calcula los parámetros de centralización de una muestra de una variablecuantitativa.

Interpreta correctamente los resultados, gráficos y numéricos, deltratamiento de un problema estadístico.

Utiliza calculadoras y programas informáticos para construir tablasy gráficos.

Reconoce la importancia del trabajo colectivo en la realizacion detrabajos y estudios.

Utiliza distintas estrategias en la resolución de problemas.

Geo

met

ríaTr

atam

ient

o de

la in

form

ació

n y d

el a

zar

Indi

cado

res

rela

cion

a-do

s co

n lo

s ob

jetiv

osde

la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global


165

© grupo edebé

Prueba final de competencias básicas (primera parte)

1. En una enciclopedia hemos leído que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,496 · 1011 m. Expresa esta canti-dad en kilómetros. Exprésala también con todas sus cifras.

2. Efectúa las siguientes operaciones con la calculadora. Expresa los resultados en notación científica.

a) 2,25 · 103 + 7,12 · 104

b) 4,39 · 108 − 3,08 · 107

c) 5,036 7 · 105 + 4,182 2 · 104 − 2,543 4 · 103

3. En una tienda de ropa han comenzado las rebajas de la temporada de invierno.

— Una camisa que cuesta 37 ∑ está rebajada un 15 %. ¿Cuánto debemos pagar por ella?

— Un abrigo está rebajado una tercera parte. Si antes de las rebajas valía 190 ∑, ¿cuánto vale ahora?

— Por unos guantes hemos pagado 10,5 ∑ y estaban rebajados un 30 %. ¿Cuál era su precio antes de las rebajas?

4. En una papelería hemos comprado 8 cuadernos. Si nos hubiesen hecho un descuento de 1 ∑ por cada cua-derno, hubiésemos podido comprar 2 cuadernos más.

a) ¿Cuánto nos ha costado cada cuaderno?

b) ¿Cuánto dinero hemos gastado?

5. Tres hermanos de 27, 31 y 32 años reciben una herencia de 36 000 ∑ que debe repartirse entre ellos de formadirectamente proporcional a sus edades. ¿Qué cantidad de dinero le corresponderá a cada uno?

6. Calcula en el mapa siguiente la distancia recorrida aproximadamente si vamos de Milán a Génova por autopista.

7. La siguiente figura representa la vela de un barco.

— Determina las longitudes x e y de los segmentos de las franjas dela vela.

— Calcula el área de la vela.


�

50 km

1 m

x

y

0,8 m

0,6 m

0,75 m


166

© grupo edebé

1. Aplicamos factores de conversión:

149 600 000 000 m

2. a) 7,345 · 104

b) 4,082 · 108

c) 5,429 · 105

3. — El precio después de las rebajas será igual alprecio anterior menos el precio multiplicadopor el descuento del 15 % (0,15).

37 ∑ − 37 · 0,15 = 31,45 ∑

Debemos pagar 31,45 ∑ por la camisa.

— Seguimos el mismo razonamiento del aparta-do anterior.

Ahora, el abrigo vale 126,66 ∑.

— Planteamos una ecuación, en la que la incóg-nita corresponde al precio antes de las reba-jas.

x − 0,3 x = 10,5

0,7 x = 10,5

El precio antes de las rebajas era de 15 ∑.

4. a) Planteamos y resolvemos la ecuación.

8 x = 10 (x − 1)

8 x = 10 x − 10

−2 x = −10

x = 5

Cada cuaderno nos ha costado 5 ∑.

b) 8 · 5 ∑ = 40 ∑.

Hemos gastado 40 ∑.

5. Planteamos las proporciones correspondien-tes.

Los hermanos recibirán 10800 ∑, 12400 ∑ y12800 ∑, respectivamente.

6. Con una regla, medimos la distancia entre las dosciudades en el mapa que resulta ser de 3,9 cm.Aplicamos factores de conversión.

La distancia aproximada entre las dos ciudadeses de 130 km.

7. — Determinamos el segmento cuarto proporcio-nal, x.

Del mismo modo, determinamos la longitud y.

El segmento x mide 0,75 m y el segmento ymide 0,6 m.

— El palo de la vela mide:

b = 0,8 + 0,6 + 0,6 = 2 m

La hipotenusa del triángulo rectángulo forma-do por la vela mide:

a = 1 + 0,75 + 0,75 = 2,5 m

Aplicamos el teorema de Pitágoras para deter-minar la base del triángulo que será el cateto c.

El área de la vela será:

El área de la vela es de 1,5 m2.

Ac b= ⋅ = ⋅ =

2

1 5 2

21 5 2,, m

c

c

2 2 22 5 2 2 25

2 25 1 5

= − =

= =

, ,

, , m

a b c c a b2 2 2 2 2 2= + ⇒ = −

0 8

1 0 750 8 0 75 0 6

,

,, , ,= ⇒ = ⋅ =

yy m

0 8

1

0 6 1 0 6

0 80 75

, , ,

,,= ⇒ = ⋅ =

xx m

3 950

130, cmkm

1,5 cmkm=

z =⋅

=36000 32

9012800

y =⋅

=36000 31

9012400

x =⋅

=36000 27

9010800

x y z

27 31 32

36000

90= = =

x = =10 5

0 715

,

,

190 1901

3126 66− ⋅ = ,

1 496 101

101 496 1011

38, ,⋅ ⋅ = ⋅m

km

mkm

Prueba final de competencias básicas (primera parte)

Solucionario�


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Prueba final de competencias básicas (segunda parte)

8. Calcula la altura de una torre que proyecta una sombra de 12 m sabiendo que, a la misma hora, una señal detráfico de 2 m de altura proyecta una sombra de 3 m.

9. Calcula la cantidad de cartulina necesaria para construir un prisma hexagonal de 2 cm de arista de la base y 6 cm de altura.

10. Una piscina rectangular mide 15 m × 6 m y 2,10 m de profundidad.

— ¿Cuántos litros son necesarios para llenarla dejando un margen de 10 cm desde el borde?

— Si el caudal del grifo de llenado es de 30 litros por minuto, ¿cuánto tiempo necesitaremos para llenarla?

— Si cada m3 cuesta aproximadamente 0,85 ∑, ¿cuánto nos costará llenar la piscina?

11. Nos desplazamos en bicicleta a una velocidad de 40 km/h.

a) Escribe la expresión que nos da la distancia recorrida enfunción del tiempo.

b) Representa gráficamente el movimiento: en el eje de abs-cisas el tiempo y en el eje de ordenadas la distancia re-corrida.

c) ¿Qué distancia habremos recorrido en 20 minutos?

12. Un estudiante ha obtenido las siguientes notas en las pruebas de matemáticas realizadas durante el curso:

5, 7, 9, 7, 6, 2, 5, 6, 6, 4, 7, 6, 7, 8, 8, 5, 6, 8, 4, 5, 7, 9, 5, 6

a) Construye la tabla de distribución de frecuencias.

b) Indica el valor de la moda y calcula la media aritmética.

13. Los resultados de las elecciones para elegir al presidente de la junta de un club recreativo son los siguientes:

— Si a Daniel le han votado 84 socios, ¿cuál es el número total de socios del centro?

— ¿Cuántos socios del centro votaron a Clara?


�

12 m

2 m

3 m

h

40 km/h

Daniel21%

Víctor32%

Clara

Abstención11%

Nulos3%


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8. La torre y la señal de tráfico, y sus respectivassombras, forman dos triángulos semejantes. Sillamamos h a la altura de la torre, por semejanzade triangulos, deberá cumplirse:

La torre mide 8 m de altura.

9.

Calculamos la apotema delhexágono que forma labase del prisma aplicandoel teorema de Pitágoras.

El perímetro del hexágono es:

P = 6 · 2 = 12 cm

Calculamos el área del hexágono que forma labase del prisma.

Calculamos el área lateral del prisma.

Alateral = P · h = 12 · 6 = 72 cm2

Finalmente, calculamos el área total del prisma.

AT = Alateral + 2 · Abase = 72 + 2 · 13,44 = 98,88 cm2

Necesitaremos un mínimo de 98,88 cm2 de cartulina.

10. — Calculamos el volumen de la piscina.

V = 15 · 6 · 2 = 180 m3

Aplicamos factores de conversión para expre-sar el volumen en litros.

Se necesitan 180 000 litros para llenar la pisci-na hasta 10 cm del borde.

— Aplicamos factores de conversión.

Se tardan 4,16 días en llenar la piscina.

— Aplicamos, de nuevo, factores de conversión.

Llenar la piscina nos costará 153 ∑.

11. a) s = v · t ; s = 40 t

b)

c)

En 20 minutos habremos recorrido 13,33 km.

12. a)

b) moda = 6 ; media aritmética = 6,16

13. —

— El porcentaje de socios que votaron a Clara es: 100 − 11 − 3 − 33 − 21 = 32 %que corresponde a: 400 · 0,32 = 128Votaron a Clara 128 socios.

21

100

84 84 100

21400= ⇒ = ⋅ =

xx socios

201

600 33

40 0 33 13 33

minmin

,

, ,

⋅ =

= ⋅ =

hh

km

hh kms

1800 85

11533

3m

euros

meuros⋅ =

,

1800001

306000

1

60

1

244

ll

h

día

h

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ =

minmin

min

,116 días

18010

11800003

3

3m

l

ml⋅ =

AP ap

base =⋅

= ⋅ =2

12 2 24

213 44 2,

, cm

ap ll

ap

2 2

2

2 2

2

2 1 5

5 2 24

= +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

= + =

= = , cm

hh

2

12

3

12 2

38= ⇒ = ⋅ = m

Prueba final de competencias básicas (segunda parte)�Solucionario

2 cm

6 cm

ap

2

20 40 60 80 t (min)

10

20

30

40

50

s (km)

NotaFrecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frec.relativaacumul.

2 1 1 0,042 0,042

4 2 3 0,083 0,125

5 5 8 0,208 0,333

6 6 14 0,25 0,583

7 5 19 0,208 0,791

8 3 22 0,125 0,916

9 2 24 0,083 1


La materia de Matemáticasy las TIC

I. Tecnologías de la información y la comunicación . . . . . . . . . . . . . . . . 171

II. Tratamiento de las TIC en la materia de Matemáticas . . . . . . . . . . . . 183

MATERIA FIS_QUIM Y TIC 4/8/08 09:37 Página 169

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I. Tecnologías de la información y la comunicación1. Introducción

Las tecnologías de la información y la comunicación han incidido en los últimos años de forma notabley fundamental en nuestra sociedad en general, y en los chicos y chicas adolescentes en particular. Sinembargo, las tecnologías más recientes están tardando en introducirse como dotación y recurso educa-tivo habitual en centros y aulas.

Uno de los objetivos establecidos por la LOE para la Educación Secundaria Obligatoria pretende, por unlado, desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crí-tico, adquirir nuevos conocimientos y, por otro, adquirir una preparación básica en el campo de las tec-nologías, especialmente las de la información y la comunicación. Hay que tener en cuenta que para lasociedad actual el conocimiento de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) es una delas competencias básicas y necesarias, tanto como leer, escribir o contar.

Para alcanzar este doble objetivo las administraciones educativas han establecido como meta eliminarlas barreras que dificultan el uso de las TIC en el entorno educativo, aumentar la confianza en la tecno-logía y proporcionar formación al profesorado para garantizar que se utiliza de forma adecuada y ofre-cer servicios y contenidos de utilidad. Al mismo tiempo las administraciones pretenden facilitar la comu-nicación de las familias con los centros educativos haciendo uso de las nuevas tecnologías y promoveractuaciones específicas dirigidas a alumnos con necesidades educativas especiales.

Finalmente, debemos señalar que la introducción de las TIC es y será un factor determinante para la mo-tivación de los alumnos, porque mejoran los aprendizajes y facilitan las adaptaciones a los diferentes rit-mos de aprendizaje, promueven un aprendizaje cooperativo y posibilitan el trabajo en grupo, y favore-cen el desarrollo de habilidades de búsqueda y selección de la información y mejora de competenciasde expresión y creatividad. Todo ello puede contribuir a la reducción del fracaso escolar, sin olvidar sucapacidad de ofrecer recursos educativos o planificar la actividad docente.


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2. El impacto de las TIC en la educación

La creciente presencia de las TIC en nuestra sociedad (en la vida diaria, en el entorno familiar, en elocio…) hace cada vez más necesario que los ámbitos educativos se adapten a la nueva realidad inte-grando las TIC como fuente de información y en los métodos de enseñanza-aprendizaje.

La información y formación que recibimos y que conforma nuestro bagaje cultural nos llega, en gran par-te, desde la televisión, la radio e Internet y cada vez más, museos, bibliotecas y centros de recursos uti-lizan estas tecnologías para difundir información. Cada vez se aprenden más cosas fuera de la escuela,por lo que esta institución está experimentando la necesidad de adaptarse a un entorno y a unas deman-das diferentes. Ello obliga a replantear el papel de la escuela y el profesorado, que ya no es el único de-positario del conocimiento, la forma de enseñar y de aprender y los medios que se deben utilizar paraello. Sólo integrando nuevos medios en los procesos de enseñanza, la escuela será capaz de respondera las nuevas necesidades y así poder retomar su protagonismo como institución orientadora en la ad-quisición de conocimientos.

La utilización en clase de las nuevas tecnologías arranca hace ya bastantes años con el uso del vídeo.También eran (y siguen siendo nuevas tecnologías) las diapositivas, las transparencias, los magnetófo-nos y giradiscos que nos eran tan familiares, pero que se han ido viendo sustituidas recientemente porel DVD, los recursos multimedia o el acceso a Internet por citar sólo algunos ejemplos y que las nuevasgeneraciones asimilan y dominan de forma natural. Así la escuela debe adaptarse en la actualidad a losmedios que se han popularizado en los últimos años.

La labor de profesores y profesoras ya no trata únicamente de favorecer el desarrollo personal de los es-tudiantes y el aprendizaje de los contenidos previstos en los temarios de los currículos, sino que debeactuar de intermediaria entre la cultura, la información y los estudiantes. Existe, por tanto, una necesi-dad de innovar en la práctica docente. Hoy en día el saber ya no está exclusivamente en los libros y enlos profesores sino que llega desde muy diferentes medios y canales, por lo que el docente deberá orien-tar a los alumnos (en grupo o de forma individual), en el acceso a los canales de información, guiarlos enla selección y análisis de la información, evaluarlos conforme a criterios formativos y sobre todo promo-ver dinámicas motivadoras.

Este factor motivador de las TIC y los recursos que proporcionan favorecen el desarrollo de enseñanzasindividualizadas para poder atender a la diversidad de estudiantes que hay en las aulas, por niveles, for-mación y conocimientos previos e intereses y necesidades. Además, si el profesor demuestra sus capa-cidades y conocimientos sobre las TIC y las utiliza puede motivar y facilitar los aprendizajes al incluir ele-mentos audiovisuales muy difíciles de incorporar de otro modo.

Así la escuela del futuro (aunque algunos centros empiezan a disponer de buena parte de este equipa-miento y los recursos) contará para estar al día tecnológicamente con pizarras digitales en las aulas, or-denadores o terminales en la clase, aulas específicas de informática, bibliotecas dotadas de equiposmultimedia y acceso a Internet, una intranet y un portal del centro dotado de recursos educativos, enla-ces a webs de interés, y favoreciendo entornos comunicativos como tutorías virtuales, videoconferen-cias, comunidades virtuales de aprendizaje, portafolios virtuales (webs o portales donde alojar docu-mentos, trabajos, apuntes) y entornos de formación on line.


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3. Tratamiento de la información y competencia digital como competencia básica

Además de todos los cambios producidos en la sociedad en los últimos años que hacen necesaria unasólida formación de base y una formación o aprendizaje continuo a lo largo de la vida, en los planes deestudio de las distintas etapas educativas se ha incorporado la competencia digital en aras de conse-guir una alfabetización digital básica de los estudiantes, cada vez más imprescindible.

Esta competencia consiste en disponer de habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar in-formación y para transformarla en conocimiento. Incorpora para ello diferentes habilidades, que vandesde el acceso a la información hasta su transmisión en distintos soportes una vez tratada, incluyendola utilización de las tecnologías de la información y la comunicación como elemento esencial para infor-marse, aprender y comunicarse. No debe olvidarse que para adquirir esta competencia no basta con elconocimiento de las tecnologías de la información, sino que son imprescindibles ciertos aspectos de lacomunicación lingüística. La competencia digital entraña igualmente la utilización segura y crítica de lasTIC en el trabajo y en el ocio.

El tratamiento está asociado con la búsqueda, selección, registro y análisis de la información, utilizandotécnicas y estrategias diversas para acceder a ella según la fuente a la que se acuda y el soporte que seutilice (sea oral, impreso, audiovisual, digital o multimedia). Y para ello se requiere el dominio de una se-rie de lenguajes específicos básicos (desde el textual hasta los lenguajes visuales, gráficos y sonoros),así como la capacidad de aplicar en distintas situaciones y contextos el conocimiento de los diferentestipos y fuentes de información.

Pero disponer de información no produce de forma automática conocimiento, ni supone su uso adecua-do. Transformar la información en conocimiento exige destrezas de razonamiento para organizarla, rela-cionarla, analizarla, sintetizarla y hacer inferencias y deducciones de distinto nivel de complejidad; endefinitiva, comprenderla e integrarla en los esquemas previos de conocimiento. Significa, asimismo, co-municar la información y los conocimientos adquiridos empleando recursos expresivos que incorporen,no sólo diferentes lenguajes y técnicas específicas, sino también las posibilidades que ofrecen las tec-nologías de la información y la comunicación. Asimismo, esta competencia permite procesar y gestio-nar adecuadamente la información, resolver problemas reales, tomar decisiones, trabajar en entornoscolaborativos ampliando los entornos de comunicación para participar en comunidades de aprendizajeformales e informales, y generar producciones responsables y creativas.

La competencia digital incluye también utilizar los equipamientos y las herramientas de las tecnologíasde la información y la comunicación, por lo que implica manejar estrategias para identificar y resolver losproblemas habituales de software y hardware. Se sustenta en el uso de ordenadores para obtener, eva-luar, almacenar, producir, presentar e intercambiar información, y comunicarse y participar en redes decolaboración a través de Internet.

Las TIC permiten al alumnado la posibilidad de actuar con destreza y seguridad en la sociedad de la infor-mación y la comunicación, aprender a lo largo de toda su vida y comunicarse sin las limitaciones de las dis-tancias geográficas ni de los horarios rígidos de los centros educativos. Además, puede utilizarlas comoherramientas para organizar la información, procesarla y orientarla hacia el aprendizaje, el trabajo y el ocio.

En síntesis, el tratamiento de la información y la competencia digital implican ser una persona autóno-ma, eficaz, responsable, crítica y reflexiva al seleccionar, tratar y utilizar la información y sus fuentes, asícomo las distintas herramientas tecnológicas; también tener una actitud crítica y reflexiva en la valora-ción de la información disponible, contrastándola cuando es necesario, y respetar las normas de con-ducta acordadas socialmente para regular el uso de la información y sus fuentes en los distintos sopor-tes. Para conseguir estos objetivos es necesario el papel orientador del profesorado.

Se pueden establecer las siguientes dimensiones para agrupar estas competencias en el currículo es-colar: el uso de sistemas informáticos, el uso de Internet y el uso de programas básicos.

El uso de sistemas informáticos agrupa los conocimientos elementales para desenvolverse con soltu-ra en el ámbito de las TIC. En relación con ellos, al finalizar la Educación Secundaria Obligatoria los jó-venes deberán ser capaces de:


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a) Distinguir los principales elementos de hardware y software, su denominación, su función, especi-ficaciones...

b) Instalar y desinstalar programas.

c) Conocer y utilizar la terminología y las funcionalidades básicas del sistema operativo.

d) Guardar, organizar y recuperar información en diferentes soportes.

e) Realizar actividades básicas de mantenimiento del sistema de un ordenador.

El uso de Internet supone la adquisición de las competencias necesarias para aprovechar el que seconfigura como principal medio de información y comunicación en el mundo actual. Al finalizar la Edu-cación Secundaria Obligatoria, los jóvenes serán capaces de:

a) Realizar búsquedas avanzadas utilizando filtros con palabras clave en algunos de los buscadoresmás utilizados.

b) Recuperar y almacenar información textual e icónica de diversas páginas web.

c) Utilizar de manera habitual el correo electrónico, los foros, las plataformas educativas…

d) Participar a través de las herramientas que ofrece la red en trabajos cooperativos y en sistemas decomunicación grupal.

e) Seleccionar y valorar con prudencia la información obtenida desde el punto de vista de su veraci-dad, objetividad, fiabilidad, legalidad y planteamiento ético, identificando y evitando la que sea in-adecuada o discriminatoria.

El uso de software o programas básicos reúne las competencias necesarias para conocer y utilizar losprincipales programas que son necesarios para aprovechar con éxito las posibilidades que ofrece un or-denador: procesador de textos, editores gráficos, hoja de cálculo, bases de datos y programas de pre-sentaciones.

a) Utilizar procesadores de textos para redactar, organizar, almacenar, imprimir y presentar documen-tos diversos, aprovechando todas sus herramientas, tipos de formato, inserción de imágenes ygráficos, correctores ortográficos y gramaticales, etc.

b) Utilizar editores gráficos que permitan el retoque fotográfico o la edición de dibujos vectoriales.

c) Utilizar una hoja de cálculo para realizar cálculos sencillos, ajustar el tipo de formato, organizar, al-macenar, imprimir y presentar la información deseada.

d) Utilizar una base de datos tanto para consultarla como para introducir datos mediante un formula-rio sencillo y formatos adecuados.

e) Utilizar programas que le permitan realizar exposiciones y presentaciones.


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4. Funciones y utilidades de las TIC en educación

La introducción de las TIC en el entorno educativo permite establecer una serie de funciones caracterís-ticas de las que se derivan al mismo tiempo una serie de ventajas.

En relación con los alumnos:

— Propician la iniciativa personal y la toma de decisiones.

— Facilitan una continua interacción entre los alumnos/as y los recursos (ordenador, Internet...)

— Favorecen el trabajo en grupo, es decir, el aprendizaje cooperativo, el intercambio de ideas y el de-sarrollo de la personalidad. Desarrollan canales de comunicación que facilitan el intercambio de ideas y materiales y el trabajo cooperativo gracias al correo electrónico, el chat, las videoconferencias...

— Contribuye a mejorar las competencias de expresión y creatividad gráfica, escrita y audiovisual.

En relación con los procesos de enseñanza-aprendizaje:

— Contribuyen al aprendizaje, por ser consideradas motivadoras y atractivas.

— Permiten una gran personalización de los procesos de aprendizaje de acuerdo con los distintos rit-mos de aprendizaje y permiten la realización de autoevaluaciones de los propios conocimientos.

— Son altamente interdisciplinares.

— Facilitan la alfabetización digital y audiovisual tanto como medio de aprendizaje como por el accesoque proporcionan a la información.

— Son más flexibles y no se limitan al entorno tradicional del aula.

— Promueven las habilidades de búsqueda y selección de la información.

— Son especialmente útiles en el ámbito de las personas con necesidades especiales y las TIC favore-cen tanto su aprendizaje como su integración.

En relación con los profesores y los centros:

— Permiten una mayor comunicación entre profesores y alumnos.

— Facilitan la evaluación y control del aprendizaje de los alumnos. Como herramientas de diagnósticode las capacidades y los conocimientos de los estudiantes y como medio de evaluación de sus co-nocimientos.

— Al profesor le supone un perfeccionamiento en sus conocimientos digitales y un proceso de forma-ción continua que mejora su competencia profesional paralelamente a la formación del alumnado.

— Además en el ámbito de los centros, mejora su administración y gestión, abre nuevos canales de co-municación entre el centro, los profesores, los padres y los alumnos (web del centro, intranet, correoelectrónico, etc.), proyecta la imagen del centro escolar, y permite compartir los recursos educativoscreados por estudiantes y profesores.

Como herramienta didáctica y fuente de información:

— Facilita el acceso a información de todo tipo, a múltiples recursos educativos (tanto a alumnos como pro-fesores) y diferentes entornos de aprendizaje ya que el profesor no es la única fuente de conocimiento.

— Como instrumento para procesar la información, creando bases de datos, informes, etc., mediantehojas de cálculo, procesadores de texto, de imagen, etc.

— Como medio de expresión, para escribir, dibujar, hacer presentaciones, crear webs utilizando distintossoftwares y posibilita visualizar simulaciones de distinto tipo gracias a los programas informáticos.

— Es fuente de información y de recursos gracias a la prensa, la radio, la televisión, Internet, vídeos,DVD, CD-ROM, etc.

— Posibilita nuevos escenarios formativos gracias a los entornos virtuales de aprendizaje.


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5. Principales herramientas TIC y utilidad didáctica

Como antes se mencionaba al hablar de la competencia digital, en las nuevas tecnologías tienen cabi-da desde la utilización de las diapositivas o el vídeo, la visualización de presentaciones, el trabajo conrecursos multimedia, pasando por la búsqueda y selección de información en Internet, la utilización dehojas de cálculo y procesadores de texto, hasta el desarrollo de una página web por un grupo de alum-nos como ejercicio verdaderamente complejo de trabajo con las TIC.

Conviene recordar aquí qué significa multimedia. Un material multimedia suele combinar al menos va-rios de los siguientes elementos: texto, imágenes fijas, imágenes con movimiento y audio. Si el usuariopuede controlar el tiempo en que se presentarán ciertos elementos o determinar valores de algunas va-riables estaremos frente a un material multimedia interactivo. Si en la estructura aparecen elementos re-lacionados a través de los cuales el usuario puede navegar, eligiendo el orden o secuencia, hablamosentonces de hipermedia (combinación de hipertexto y multimedia).

Hay que pensar que las nuevas tecnologías han popularizado una nueva forma de lectura, la de los hi-pertextos (textos no lineales, textos interactivos), integrados con múltiples elementos (imágenes estáti-cas o dinámicas, audio, vídeo, etc.). Las páginas web son las máxima expresión de este nuevo medio.

Así, las principales herramientas TIC disponibles y algunos ejemplos de sus utilidades concretas son:

— Uso de procesadores de texto para redactar, revisar la ortografía, hacer resúmenes, añadir títulos,imágenes, hipervínculos, gráficos y esquemas sencillos, etc.

— Usos sencillos de las hojas de cálculo para organizar la información (datos) y presentarla, en ocasio-nes, de forma gráfica.

— Utilización de herramientas simples de algún programa de diseño gráfico.

— Usos simples de bases de datos.

— Utilización de programas de correo electrónico.

— Usos y opciones básicas de los programas navegadores.

• Acceso, entre otras muchas utilidades, a las noticias de prensa (prensa digital) para establecer com-paraciones, recabar información actualizada, acceder a hemerotecas, etc., o para investigacionesbibliográficas.

• Uso de buscadores.

• Extracción de información (enlaces) a partir de los propios directorios de cada buscador principal.

• Uso de los recursos de búsqueda por términos clave en búsquedas simples y avanzadas.

• Creación y organización de listas de favoritos, así como seguimiento y actualización de la informa-ción de las distintas URL consultadas.

— Uso de enciclopedias virtuales (cd y www).

— Uso de periféricos: escáner, impresoras, etc.

— Puesta en práctica de videoconferencias, chats...

— Usos sencillos de programas de presentación (Powerpoint o similares): trabajos multimedia, pre-sentaciones creativas de textos, esquemas, o realización de diapositivas.

— Edición de páginas web. Pueden tener, por ejemplo, las siguientes finalidades:

• Web del centro escolar.

• Web del equipo docente o de profesores de forma individual.

• Web de la asignatura y como centro de recursos.

• Espacios de tutoría virtual.

• Foros y comunidades virtuales.

• Web de los alumnos.


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• Web de cada clase.

• Web de una excursión o un viaje.

• Web sobre una obra de teatro, libro, película...

• Web de proyectos colaborativos.

• Web de proyectos de los alumnos.

• Web de revistas (del centro, del área de Matemáticas...).

• Web de debates.

• Web para webquests, cazas de tesoros, etc.

Internet

La red que llamamos Internet alberga una enorme cantidad de información. Pero el tratamiento de la infor-mación presente en la red presenta algunos inconvenientes: su dispersión, la falta de un método de bús-queda, el exceso de información o información meramente superficial y la descontextualización de los con-tenidos en la mayoría de las ocasiones. Gran parte de la información vertida en la red es de calidad dudosa,por no estar contrastada, por simple, por simular rigor científico o simplemente por estar mal escrita. A ellose suma la volatilidad de los datos, es decir, que en ocasiones la información permanece poco tiempo ac-cesible, los portales dejan de funcionar o los enlaces (links) ya no nos redirigen hacia la información espe-rada. Su utilización como herramienta de aprendizaje presenta por ello una serie de dificultades, empezan-do por la de que los alumnos no suelen contrastar lo suficiente la información que han encontrado.

No obstante, a pesar de las dificultades señaladas, Internet facilita, en el ámbito educativo, una mayoratención a la diversidad y la toma en consideración de la multiculturalidad y sus posibilidades van más alláde ser un medio y canal de comunicación e información. Internet aporta además perspectivas múltiplesde la información distintas de las que puede proporcionar un libro de texto. Su verdadero potencial se ma-nifestará cuando profesores, alumnos, administraciones y gestores educativos trabajen de forma conjun-ta la forma de ofrecer actividades de enseñanza y aprendizaje con la intención de fomentar la comunica-ción entre profesores, padres y alumnos mediante la intranet y la web de centro, más allá de laslimitaciones de los horarios de clase, mediante tutorías, foros y comunidades educativas virtuales.

Un recurso recurrente es proporcionar enlaces para obtener nuevos recursos e información de Internety por ello se hace totalmente necesario desarrollar actividades de aprendizaje basadas en la red. Así,uno de los objetivos es alcanzar Competencias en el Tratamiento de la Información, especialmenteútiles por la gran cantidad de información presente en Internet. Es en este aspecto donde se plantea laopción de desarrollar propuestas de actividades webquest.

Las webquest (WQ)

En 1995 el profesor Bernie Dodge, de la Universidad de San Diego, diseñó algo que explicado de formasencilla consistía en un modelo de enseñanza a través de Internet.

Una definición más amplia: las webquest son actividades de aprendizaje guiadas enfocadas a la inves-tigación, generalmente en grupo, que a partir de unas tareas previstas promoverán el análisis de la infor-mación así como su organización, reelaboración, síntesis y comunicación final.

En una webquest se promueve un uso de la World Wide Web de manera controlada. Una de sus venta-jas en este sentido es que evita la pérdida de tiempo que supone la búsqueda en la red de la informacióny se centra en su tratamiento. Ese manejo de la información implica, por tanto, una tarea de análisis.

Una webquest debe ser una tarea bien definida, con aportación de recursos e indicando claramente losobjetivos que se pretende alcanzar. Mediante las webquest el modelo de competencias antes señaladose alcanza a través de los siguientes elementos: definición del trabajo, estrategias para buscar la infor-mación, localización y acceso a ésta, uso de la información, síntesis y evaluación del proceso.

La duración de una actividad webquest es muy variable. Hay propuestas de corto plazo, que pueden serde una semana, y de más largo plazo, como por ejemplo de un mes. Localizar la información puede ne-cesitar tres sesiones y su análisis de una semana a un mes.


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Principales características de las webquest como actividad:

— Pueden ser individuales o grupales, con lo que el aprendizaje es cooperativo.

— Pueden estar enfocadas hacia una única materia o ser interdisciplinares (hay que recordar que buenaparte de la información de la web puede estar en inglés, francés u otros idiomas).

— Permiten la motivación por el uso de las TIC y por la creación de escenarios de trabajo simulados.

— Pueden enfocarse hacia la investigación, pero implican el análisis, la síntesis y la evaluación de la in-formación. Así, se desarrollan diferentes capacidades como la investigación, el pensamiento crítico,la creatividad, la toma de decisiones…

— Ayudan al profesor a planear y estructurar los procesos de aprendizaje. Una vez propuesta y lanzadala actividad el profesor deja de ser protagonista y casi única fuente de conocimiento (junto con el li-bro de texto) y pasa a ejercer de guía de unos grupos de alumnos presumiblemente más motivadospor la tarea y el entorno de aprendizaje.

— Una vez elaboradas son fácilmente revisables y actualizables en función de los currículos y las apor-taciones de los propios estudiantes.

— Pueden suponer cierta atención a la diversidad, ya que facilitan la integración de los alumnos en losgrupos y por las ayudas temporales de distinto tipo que se pueden ir proporcionando a lo largo de losprocesos .

— Contribuyen a fomentar las Competencias en el Tratamiento de la Información, es decir un conjuntode habilidades en el uso de la información obtenida fundamentalmente de Internet. La webquestorienta al alumno en la utilización de la información y evita la pérdida de tiempo que supone localizarinformación. Completa de esta forma el simple y típico recurso de consulta en la web, sin proponernada más que una dirección o enlace para, por ejemplo, ampliar contenidos.

— Confieren a los alumnos, si la actividad es grupal, interdependencia, pero al mismo tiempo responsa-bilidades individuales dentro del grupo (por la tarea específica) y de responsabilidad grupal (en la quetodos se ven implicados). También implica una mejora de la eficacia del alumno en su tarea a medidaque avanza el proceso.

Partes de una webquest

1. Introducción

Proporciona la información básica.

Debe suscitar el interés y mostrar asimismo el atractivo de la actividad.

2. Tarea

Es la descripción formal de lo que debe llevarse a cabo al final de la webquest, estableciendo una metay su enfoque. Puede ser on line u off line. Una webquest puede culminar, por ejemplo:

— En un informe o documento escrito.

— En una exposición verbal acompañada o no de una presentación multimedia.

— En un vídeo.

— En una página web con el resultado...

A su vez las tareas pueden presentarse en diferentes formatos. Las principales formas (la taxonomía delas tareas) son:

— De repetición. Las más fáciles. Estrictamente no es una WQ. Casi se limita al típico ejercicio de cor-tar y pegar la información de la web. Debe ir más allá combinándose con otra.

— De recopilación. Recopilan información de varias fuentes y les da formato común.


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— De misterio. Funciona mejor en determinadas áreas. Crea un acertijo o misterio que se debe resol-ver, pero debe finalizar en una síntesis.

— De tipo periodístico. Los alumnos se convierten en reporteros. Implica objetividad, contrastaciónde fuentes, eliminación de prejuicios en la elaboración de la información, tal y como lo haría unperiodista.

— De diseño. Establecer un plan o proyecto pero que debe tener, para ser válido, limitaciones reales.

— De carácter científico. Implican la aplicación del método científico: establecimiento de hipótesis,comprobación y, finalmente, descripción de los resultados.

— De emisión de juicios. Sobre temas que hay que valorar e implican toma de decisiones.

— De carácter analítico. Para establecer implicaciones, relaciones de causa-efecto, similitudes y di-ferencias, etc.

— De producción creativa. De carácter más artístico y creativo.

— De autoconocimiento. Para favorecer un mayor conocimiento de sí mismo.

— De persuasión. Para alcanzar como meta la influencia en las opiniones de los que no están deacuerdo sobre algún tema.

— De construcción de consenso. Acomodar o acercar puntos de vista en temas que crean controver-sia o con puntos de vista distintos.

3. Proceso

Describe los pasos que se deben seguir con los enlaces que son posibles consultar en cada paso. Lastareas pueden dividirse a su vez en subtareas describiendo los papeles o roles que desarrollan dentrodel grupo los estudiantes. Respecto a los enlaces, en las propuestas más sencillas se suministran laswebs que contienen la información, pero en las propuestas más complejas se proporcionan únicamen-te los sitios básicos y los alumnos deben buscar otros. No debe pasarse por alto que Internet es una redde ordenadores pero también lo es de personas, que pueden implicarse, ofrecerse y participar en la bús-queda o aportación de información.

4. Recursos

Proporciona la lista de webs localizadas. Puede ser que no todos los recursos estén en Internet. La ma-yoría se citan habitualmente en la parte de proceso. A veces se pueden aportar diagramas o mapas con-ceptuales para guiar las tareas encomendadas.

5. Evaluación

Puede haber una plantilla de evaluación y debe involucrarse a los estudiantes en ese proceso. Las me-tas deben ser claras y en relación a las tareas.

6. Conclusión

Resume la experiencia y estimula la reflexión. Los estudiantes pueden hacer sugerencias para su mejo-ra, lo que permite ir renovando, adaptando las propuestas de webquest.

Las miniquest

Son una versión reducida de las webquest. Su preparación requiere un tiempo menor y su realizaciónestá prevista en el transcurso de una sola sesión, ya que además contemplan sólo tres pasos de realiza-ción: escenario, tarea y producto. Al igual que las webquest, pueden ser grupales o individuales.

Tipos:

— De descubrimiento.

Al inicio de una unidad.

— De exploración.

Durante la unidad. Para aprender un contenido y alcanzar un contenido.


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— De culminación.

Al finalizar. Precisa, por tanto, de una base de conocimiento.

Se componen de:

— Escenario

Establece el contexto real para la solución del problema o cuestión que se plantea.

— Tarea

Preguntas diseñadas para adquirir la información. Muy estructurada con direcciones de sitios espe-cíficos de la web.

— Producto

Describe lo que los estudiantes deben realizar para responder a la cuestión o problema esencial realplanteado. Debería tener prevista alguna forma de evaluación del proceso. Además debe conteneruna síntesis, como forma de construcción de conocimiento.

Las cazas del tesoro (treasure hunts)

También reciben el nombre de cazas de conocimientos o knowledge hunt. Una caza del tesoro (por seruna información valiosa, un tesoro sobre el que construimos un determinado conocimiento) es una acti-vidad semejante a las webquest pero con una estructura diferente. Se trata de un trabajo práctico, indi-vidual o grupal, basado en un cuestionario y centrado en un único tema.

A partir de una lista no demasiado extensa de preguntas, se proporciona una serie de recursos en línea que losalumnos deben consultar para responder y resolver los interrogantes planteados. Lógicamente la propuestade actividad puede ser entregada en papel y no necesariamente acceder a ella a través del soporte digital.

A diferencia de las webquest, las cazas del tesoro tienen pocas preguntas y relativamente pocos recur-sos, ya que se plantea como una actividad para una clase o como tarea para casa, con la intención deintroducir un tema o trabajar más en profundidad un contenido concreto.

La estructura de una caza puede ser la de una lista de cuestiones cuya respuesta se encuentra directa-mente en el vínculo que se proporciona. Una estructura un poco más compleja se basaría en el siguien-te esquema: una introducción, una lista de preguntas, un listado de recursos donde encontrar la infor-mación y finalmente una gran pregunta cuya respuesta engloba y sirve de conclusión a las anteriores.También puede incluirse una propuesta de cómo se llevará a cabo la evaluación.

Uno de los objetivos, común también con el de la webquest, es evitar la pérdida de tiempo en la búsquedade la información en Internet y que el contenido además sea el adecuado según los deseos del docente.

Es imprescindible que la forma de realizar las preguntas y los enlaces de la información seleccionada fa-vorezcan la comprensión de los textos y desarrollen la capacidad de búsqueda de información.

También la actividad puede plantearse de forma inversa, haciendo que los alumnos sean los que preparen unacaza, su cuestionario y así serán evaluados por las preguntas hechas y la calidad de los recursos propuestos.

Actividades del tipo Hot Potatoes

Las patatas calientes o Hot Potatoes son un paquete de software (desarrollado por la University of Vic-toria pensado para la realización de actividades de evaluación sencillas, que se ejecutan por medio deun navegador y son publicadas en lenguaje html. Su uso por parte del docente y por parte de las institu-ciones educativas es gratuito. También ofrece la posibilidad de alojar las actividades en línea si el usua-rio está registrado y permite acceder a ellas sin restricciones.

Los diferentes generadores permitirán crear actividades como crucigramas, rellenar huecos y campos,crear cuestionarios de respuesta múltiple, ejercicios de coincidencias, ordenar oraciones, o crear unapantalla desde la que acceder a todas estas actividades.

El software también permite hacer un cálculo de los porcentajes de aciertos o errores, por lo que permi-te disponer de una calificación precisa del alumno o la alumna.


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Las weblogs y los fotologs

Las weblogs o bitácoras son páginas personales sencillas, de formato periodístico, cuyos contenidoses la suma de una serie de textos consecutivos como las cuadernos de bitácora de los barcos en don-de se anotan diariamente los acontecimientos relevantes. Los textos suelen estar vinculados a un temaen particular al estilo de una publicación temática.

Las weblogs o blogs publican con cierta regularidad y el orden de los artículos publicados no se altera.Existen blogs de multitud de temas, también de educación, y su creación es muy sencilla, ya que bastacon disponer de un editor.

Los fotologs implican que la imagen tiene mayor relevancia que el texto y se dedica fundamentalmentea contener imágenes con sus respectivos comentarios.

La pizarra digital o electrónica

Un ordenador, sus periféricos (escáner, altavoces, impresora, webcam...), un proyector, una pantalla y unacceso de banda ancha a Internet constituyen lo que denominamos la pizarra digital. La versión mássimple es la que está constituida por un proyector y un ordenador. Este nuevo recurso educativo exigeun replanteamiento de la actividad docente y de los materiales didácticos y exige nuevos roles al profe-sorado, pero a cambio es el más eficaz de todos, pues permite superar los problemas técnicos e infor-máticos que se producen en el aula de informática.

La utilización de este recurso permite dinamizar didácticamente la enseñanza tradicional, mediante pre-sentaciones, conexiones puntuales a Internet y permite adaptarse a los diferentes ritmos de aprendiza-je de los alumnos y sus necesidades con más rapidez y versatilidad. Además, por sí mismo, el entornoes mucho más motivador. Es una fuente de entrada de la actualidad y de la cultura de todo el mundo.

A continuación, citaremos algunas de las posibilidades que nos ofrece la pizarra digital como recursoeducativo:

— Apoyo a las explicaciones del profesorado. El profesor/a puede ilustrar sus explicaciones con la piza-rra digital. Las herramientas habituales suelen ser presentaciones en Powerpoint, acceso a páginasweb, animaciones, gráficos, archivos multimedia, simulaciones, etc.

— Actividades y recursos para la atención y tratamiento de la diversidad. La pizarra permite acceder agran cantidad de recursos que favorecen una atención individualizada de los alumnos en función desus intereses. Así puede orientarse hacia actividades obligatorias o voluntarias, individuales o grupa-les, autocorrectivas, de refuerzo o ampliación.

— Exposiciones públicas de los alumnos. Los estudiantes pueden buscar materiales y recursos quepueden presentar a sus compañeros cuando el profesor lo indique. Ello, mediante el seguimiento delprofesor, permite desarrollar actividades de búsqueda y selección de información, elaboración y pre-sentación de informes, etc. Puede servir como repaso a lo aprendido.

— Presentación de trabajos realizados por el grupo clase. Pueden ser trabajos colaborativos y ser pre-sentados en formato multimedia o como páginas web. Su exposición permite desarrollar habilidadescomunicativas y facilita el aprendizaje y el repaso.

— Apoyo en los debates y uso conjunto por el profesor y los estudiantes. La información localizada y presen-tada permite sustentar las ideas y argumentaciones, así la pizarra digital favorece la interacción en el aula.Las aportaciones se pueden recoger en un editor de textos y ser analizadas y revisadas paralelamente.

— Espacio informático. Disponer del equipamiento, ordenador y periféricos, posibilita digitalizar, impri-mir… permitiendo una gestión inmediata de las necesidades de profesores y alumnos.

— Prensa digital y diversidad idiomática. El acceso a la prensa digital es una interesante opción de ini-ciarse en algún tema de actualidad sobre el que argumentar, debatir, contrastar o ampliar la informa-ción. Asimismo se puede consultar la prensa extranjera, con lo que además se favorece la práctica deidiomas y la diversidad multicultural ya presente en las aulas.

— Videoconferencias y comunicaciones colectivas en línea. Para comunicarse con otros grupos dealumnos, profesores o personas por correo, chat o videoconferencia de cualquier lugar del mundo.


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— Realización de ejercicios y otros trabajos colaborativos. Se pueden proyectar actividades multimediainteractivas desde soportes en línea o desde disco y organizar su realización colectiva.

— Corrección colectiva de ejercicios en clase. Con el apoyo de la pizarra es muy útil realizar esta tareade corrección y permite y favorece la intervención del grupo para la resolución de dudas. Igualmentepuede servir para la puesta en común de la corrección de ejercicios, análisis y comentarios de textos,etc.

— Preguntas no previstas. En cualquier momento es posible acceder a Internet para buscar la informa-ción sobre ellas y comentarla de forma conjunta.

— La pizarra digital como una pizarra convencional. Con un procesador de textos y otros programas (di-bujo, gráficos) puede utilizarse la pizarra para enseñar aquello que el profesor crea conveniente mos-trar en aquel mismo momento de la misma forma que con una pizarra convencional y de forma lim-pia. Además puede guardarse e imprimirse la información expuesta y ser recuperada en cualquiermomento, como por ejemplo, para recordar lo explicado en otra sesión, enviada por mail (por ejem-plo a los propios alumnos, a los que no pudieron asistir a clase, etc.). Además, permite usos de fuen-tes tipográficas distintas y de colores. Supone una toma de apuntes colectiva.

— Síntesis conjuntas. Sobre cualquier tema se puede hacer un trabajo de síntesis en el aula haciendoparticipar a los estudiantes para aportar sus ideas mientras se van anotando las conclusiones en unprocesador de textos.

— Para el tratamiento de la multiculturalidad en el aula. El alumnado extranjero puede buscar informa-ción sobre sus lugares de origen en Internet y presentarla de la forma que se crea más conveniente.

— Aprendizajes sobre programas informáticos. La pizarra digital facilita el aprendizaje de programas sies utilizada en el aula de informática.

— Pizarra digital e intranet del centro. La intranet del centro puede constituirse en un banco de materia-les elaborados por profesores y alumnos que puede ser consultado, y contener, por ejemplo, un índi-ce de los recursos que pueden encontrarse en Internet.

— Pizarra digital, webcam y escáner. Una webcam propia o un escáner permiten digitalizar y mostrar encualquier momento cualquier documento. Desde las webcams accesibles desde Internet se puedevisualizar cualquier lugar del mundo y comprender por ejemplo de forma directa los husos horariosdel planeta.

6. Conclusiones

La sociedad de la información en general y las nuevas tecnologías en particular están incidiendo en to-dos los ámbitos del sistema educativo. Por ello, la alfabetización digital se ha considerado como una delas competencias básicas que deben adquirir los alumnos.

El tratamiento de la información y la competencia digital son parte fundamental hoy día del proceso deenseñanza aprendizaje. Dominar el acceso a la información y su información es un aspecto básico delaprendizaje, tanto en la escuela como fuera de ella. Además proporciona las herramientas necesariaspara aprender a aprender (para ser capaces de procesar información cada vez más abundante y com-pleja) y a hacerlo de forma autónoma. El conocimiento de las TIC debe capacitar a los alumnos y a lasalumnas a gestionar adecuadamente la información, tomar decisiones, resolver problemas reales, traba-jar la información en entornos colaborativos y generar producciones o materiales de forma creativa.


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1. Utilización de las TIC en Matemáticas

Los recursos tecnológicos que hoy en día están al alcance de estudiantes y profesores desempeñan unpapel importante en la manipulación de información de tipo matemático: números, ecuaciones, gráficos...Su utilización facilita llevar a cabo trabajos que no hace muchos años debían realizarse de forma manual.

No obstante, no debemos limitarnos a utilizar estas tecnologías como meras herramientas de cálculo,sino que debemos utilizarlas como recursos didácticos para el aprendizaje.

En este sentido, es necesario aprovechar al máximo las nuevas posibilidades que se nos ofrecen para laobtención, el procesamiento y la transmisión de la información.

Resaltemos aquí algunas de las principales ventajas de su utilización.

— Realización de tareas de una forma rápida, cómoda y eficiente.

— Aceso a gran cantidad de información de una forma rápida.

— Realización de actividades interactivas.

— Desarrollo de la iniciativa y de las capacidades del alumno/a.

— Aprendizaje a partir de los propios errores.

— Cooperación y trabajo en grupo.

— Alto grado de interdisciplinariedad.

— Motivación del alumno/a.

— Flexibilidad horaria.

Todo ello debe contribuir a que el alumno/a, al final de su escolarización obligatoria, esté capacitadopara el uso de sistemas informáticos, de Internet y de programas básicos.

2. Presencia de las TIC en el libro del alumno

Uso de la calculadora

En el libro del alumno se van introduciendo diferentes explicaciones sobre el uso de la calculadora y seproponen actividades específicas para su uso que se distinguen con el icono .

En este aspecto, cabe destacar que la manera en la que se deben introducir las diferentes operacionesen la calculadora depende de la marca y el modelo. Por ello, el profesor/a deberá orientar a cada alum-no/a y deberá fomentar sobre todo el autoaprendizaje a través del uso del manual.

El alumno/a debe hacer un uso racional de la calculadora y saber seleccionar y utilizar la herramientaadecuada para realizar cada cálculo.

Uso de programas informáticos

También encontramos algunas explicaciones sobre el funcionamiento de algunos programas informáti-cos y actividades encaminadas a su uso. Estas actividades van marcadas con el icono , puesto quepromueven el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

No obstante, el profesor/a puede proponer la utilización de programas informáticos para la resolución decualquiera de las actividades presentes en el libro del alumno.

Podemos diferenciar entre programas informáticos de carácter general y aquellos que son específicosde las matemáticas.

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II. Tratamiento de las TIC en la materia de Matemáticas�


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Dentro del primer grupo podemos encontrar:

— Procesadores de texto (habitualmente acompañados de un editor de ecuaciones).

— Hojas de cálculo.

— Programas de diseño gráfico.

— Bases de datos.

— Programas de presentaciones.

En el segundo grupo podemos destacar los siguientes programas:

— MatLab. Es un programa para realizar cálculos numéricos, enfocado principalmente al trabajo convectores y matrices. También puede realizar una gran variedad de gráficos en dos y tres dimensiones.

— Derive. La característica principal de este programa es el cálculo simbólico, aunque también se puedenrealizar con él cálculos numéricos y representar gráficas en dos y tres dimensiones. Existen numerosasactividades desarrolladas por los ususarios encaminadas a trabajar aspectos concretos del currículo.

— Mathematica. Programa de análisis numérico y cálculo simbólico que permite realizar cálculos en dosy tres dimensiones.

— Cabri Géomètre. Con este programa se pueden llevar a cabo con el ordenador todas las construccio-nes geométricas que se pueden realizar con regla, compás y las herramientas de dibujo habituales.Permite al alumno/a entender la geometría mediante la manipulación directa.

— Minitab. Programa de estadística de fácil manejo.

Conviene tener en cuenta que existe una multitud de pequeños programas, muchos de ellos gratuitos,que pueden ser muy útiles para trabajar un contenido en concreto.

Internet

En ocasiones se propone la visita a una página de Internet para ampliar los conocimientos relativos a al-gún contenido. En otras ocasiones se proponen actividades que podrán realizarse visitando un enlace.Estas actividades se distingen también con el icono . Cabe destacar los enlaces de simulación en losque el alumno/a puede manipular los distintos elementos matemáticos.

Aunque resulta difícil destacar sólo algunas páginas, dado el gran número de buenos enlaces que hay,señalamos aquí algunas de ellas.

General

Redemat.com, http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

Gacetilla Matemática, http://www.arrakis.es/~mcj/

El paraíso de las Matemáticas, http://www.matematicas.net

Matemáticas, http://www.aula21.net/primera/matematicas.htm

Bibliografía

Pérez Sanz, Antonio, Libros, http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/libros.htm

Casanchi.com, http://personales.ya.com/casanchi/libros.htm

Programas

Don Freeware, Don Freeware, http://www.donfreeware.com

Educaguía, http://www.educaguia.com/

Asociación de Usuarios de Derive de España, http://www.upv.es/derive

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Recursos

Grupo edebé, http://www.edebedigital.com/home/

Calculadora Wiris, http://herramientas.educa.madrid.org/wiris

Aquí matemàtiques, http://www.xtec.es/recursos/mates/aqui/

Manipula Math with JAVA, http://www.ies.co.jp/math/java/

Descartes, http://descartes.cnice.mecd.es/

Webquest y cazas del tesoro

WebQuest News, http://www.webquest.org/

Educoteca, http://www.eduteka.org/webquest.php3

Comunidad Catalana de Webquest, http://www.webquestcat.org/

The WebQuest Page, http://webquest.sdsu.edu/webquest.html

Aula21.net, http://www.aula21.net/

Biblioteca Semántica de WebQuest, http://cfievalladolid2.net/webquest/common/index.php

Edutec, http://edutec.rediris.es/Revelec2/revelec16/adell.htm

Pizarra digital

La Pizarra Digital, http://dewey.uab.es/pmarques/pizarra.htm

Recursos para la pizarra digital, http://intranet.sigmat.com/enlacesdim

Recursos on line para usar en la pizarra digital, http://www.pizarradigital2005-2006.blogspot.com/

Hot Potatoes

Hot Potatoes, http://hotpot.uvic.ca/

Tutorial de Hot Potatoes, http://platea.pntic.mec.es/~iali/CN/Hot_Potatoes/intro.htm

EducaMadrid, http://www.educa.madrid.org/portal/c/portal/layout?p_l_id=10970.55&c=an

Applets

Descartes, http://descartes.cnice.mecd.es/miscelanea.php

Paco Quiles, http://www.pacoquiles.com/

Manipula Math with Java, http://www.ies.co.jp/math/java/

Historia

Las matemáticas de Mario, http://personal.redestb.es/javfuetub/

Historia de las matemáticas, http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/

Historia de las Matemáticas a través de la imagen,http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/presentacion.html

Curiosidades, recreativa

Curiosidades matemáticas, http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/cumat.htm

Juegos y problemas de ingenio del club Mensa, http://www.mensa.es/

Martínez Arosa, José, http://aixa.ugr.es/

Curiosidades matemáticas,http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm


�186

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Buscadores

Yahoo, http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/

Google. http://www.google.com/Top/World/Español/Ciencia_y_tecnología/Matemáticas/

Organismos

Real Sociedad Matemática Española, http://www.rsme.es/

European Mathematical Society, http://www.emis.de/

Red telemática educativa de Andalucía, http://www.juntadeandalucia.es/averroes/

Xarxa telemàtica educativa de Catalunya, http://www.xtec.es/

3. La propuesta digital de Edebé

La propuesta de Edebé es un complemento y soporte a la tarea del profesor/a donde el docente siguesiendo el eje de referencia y hace que las TIC puedan incorporarse de la mano del libro de texto. Es, evi-dentemente, un material integrado con el currículo y muy fácil de usar sin necesidad de conocimientosinformáticos específicos.

El material de Edebé es proyectable, permite un estilo de enseñanza expositivo, posibilita mantener elcontrol del aula, tiene una utilidad didáctica e innovadora, y aporta continuidad con el resto de las TIC.Además, favorece la atención a la diversidad, la interdisciplinariedad y deja incorporar y actualizar con-tenidos de forma visualmente atractiva. También hace posible preparar las clases de forma integral al es-tar todos los recursos enlazados.

Se trata de una versión digital del libro del alumno con un sistema de hipervínculos y de menús de nave-gación que permite acceder a toda una serie de recursos añadidos. Los materiales que edebé interacti-va (www.edebeinteractiva.com) pone a disposición del profesor son:

— Otras páginas del mismo libro del alumno.

— Guía del profesor.

— Programación de aula.

— Proyectos de etapa.

— Test interactivos.

— Generador de evaluación.

— Enlaces a recursos en Internet.

— Presentaciones.

— Animaciones.

— Actividades de búsqueda, tratamiento y síntesis de información tipo cazas del tesoro.

Otras ventajas de este libro o pizarra digital que debemos considerar son que:

— Presenta a partir del propio libro los recursos integrados con los contenidos, las actividades y lailustración.

— Fomenta la confianza y la seguridad de profesores y alumnos, ya que el punto de partida es supropio libro de texto.

— Es el profesor/a el que decide la utilización que dará al producto en función de las característicasde los alumnos o del tiempo disponible, más magistral (sólo proyecta y destaca) o más dinámi-ca (accede a los recursos a voluntad).

— Su manipulación no precisa formación y es tremendamente intuitivo.

— Puede ser actualizable on line.


Solucionario

1. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2. Fracciones y números decimales . . . . . . . 195

3. Ecuaciones con una incógnita . . . . . . . . . 203

4. Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas . . 211

5. Proporcionalidad aritmética . . . . . . . . . . . 223

6. Proporcionalidad geométrica . . . . . . . . . . 233

7. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8. Cuerpos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . 247

9. Áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Evaluación de competencias . . . . . . . . . . . . . 287

UN 00 SOLUCIONARIO 4/8/08 09:40 Página 187

189

1. N

úmer

os e

nter

os

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1. Números enteros

Actividad inicial

Masa de la Tierra:5980 000000000000000 000000 kg

Masa de un electrón:0,000 000 000 000 000 000 000 000 000000 91095 kg

La notación científica nos permite escribir y leer nú-meros muy grandes o muy pequeños con mayor faci-lidad.


• Primero se efectúan las operaciones indicadas den-tro del paréntesis, a continuación, las multiplicacio-nes y las divisiones en el orden en que aparecen y,por último, solucionamos las sumas y las restas.

• a) 9 × �� (12 + 8) + 6 : 2 = 9 × �� 20 + 3 = 183

b) 425 − 12 × 28 + 4 × (28 − 7) =

= 425 − 12 × 28 + 4 × 21 = 425 − 336 + 84 =

= 173

•

−12 < −8 < −5 < −3 < +2 < +6 < +7 < +9

• a) 35; b) 94

• a) 45; b) 54; c) 610

•

Actividades

1. Enteros positivos: +9, +12, +5, +10

Enteros negativos: −6, −4, −9, −14, −15, −13, −8

−15 � −14 � −13 � −9 � −8 �� −6 � −4 � +5 � +9 � +10 � +12

−15 tiene el valor absoluto mayor, �−15 � = 15, y −4 el menor, �−4 � = 4.

2. −9, +6, +4, −12, +9, −5, −10, +14, +15, +13, +8

3. a) (−7) + (−9) + (−3) = (−16) + (−3) = −19

b) (−14) + (+8) + (+5) = (−6) + (+5) = −1

c) (+23) + (−17) = +6

d) (−9) + (−16) = −25

4. a) +3 + (−7) + 12 + (−8) + 4 = −4 + 12 + (−8) + 4 =

= 8 + (−8) + 4 = 0 + 4 = 4

+3 + 12 + 4 = +19

(−7) + (−8) = (−15)

+19 + (−15) = +4

b) −6 + 25 + (−14) + (−7) + 4 + (−3) =

= +19 + (−14) + (−7) + 4 + (−3) =

= +5 + (−7) + 4 + (−3) = −2 + 4 + (−3) =

= 2 + (−3) = −1

+ 25 + 4 = 29

−6 + (−14) + (−7) + (−3) = −30

29 + (−30) = −1

5. a) 9 − 12 = −3

b) −25 + 25 = 0

c) 95 + 22 = 117

d) 12 − 34 = −22

6. (+4) − (−7) = 4 + 7 = 11

(−7) − (+4) = −7 − 4 = −11

La resta no cumple la propiedad conmutativa.

7. a) 5 − 8 − 13 − 4 = −20

b) −9 − 3 − 11 − 1 = −24

c) −3 + 9 + 8 + 4 = 18

d) 12 + 6 + 7 − 5 = 20

e) −6 − 15 + 4 − 4 = −21

f) −2 − 9 + 6 + 1 = −4

g) 23 + 12 − 7 − 6 = 22

h) −12 + 6 + 2 + 1 = −3

8. a) 5 · (−8) = −40; (−8) · 5 = −40

b) −12 · (−5) = 60; (−5) · (−12) = 60

c) −6 · 9 = −54; 9 · (−6) = −54

d) 15 · 3 = 45; 3 · 15 = 45

9. a) −4 · (8 − 5) = −4 · 3 = −12

−4 · 8 − (−4) · 5 = −32 + 20 = −12

b) 5 · (4 + 3) = 5 · 7 = 35

5 · (4 + 3) = 5 · 4 + 5 · 3 = 20 + 15 = 35

c) −9 · (−2 − 7) = −9 · (−2) − (−9) · 7 = 18 + 63 = 81

−9 · (−2 − 7) = −9 · (−9) = 81

a b

c

) , ...; ) , ...;

)

351 18 73 1549 39 35

24 680 15

= =

= 77 09, ...

�Solucionario

0 +2 +6 +7 +9–5–8–12 –3

0–8–14

+5 +9 +12

+10...

–4–6–9–13–15

...


190

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

d) 6 · (3 − 8) = 6 · (−5) = −30

6 · 3 − 6 · 8 = 18 − 48 = −30

10. a) [−7 · (−4)] · (−3) = 28 · (−3) = −84

−7 · [(−4) · (−3)] = −7 ·12 = −84

b) [5 · 9] · (−2) = 45 · (−2) = −90

5 · [9 · (−2)] = 5 · (−18) = −90

c) [−6 · (−6)] · 4 = 36 · 4 = 144

−6 · [(−6) · 4] = −6 · (−24) = 144

d) [−2 · 7] · 9 = −14 · 9 = −126

−2 · [7 · 9] = −2 · 63 = −126

11. a) −6 · (−4) + (−4) · 5 − 9 · (−4) =

= −4 · (−6 + 5 − 9) = −4 · (−10) = 40

b) 5 · (−7) − 5 · (−3) − 8 · 5 =

= 5 · [−7 − (−3) − 8] = 5 · (−12) = −60

12.

1 3. a) No. 49 no termina en cero ni en cifra par.

b) No. 50 no es divisible por 6.

c) Sí. 205 termina en 5.

d) Sí. Las suma de las cifras de 135 es múltiplode 9.

14. a = −13; b) −7

15. a) 3; b) 0; c) 2

16. 87 es divisible por 3; 121 es divisible por 11; 225es divisible por 3, 5 y 9; 291 es divisible por 3; 340es divisible por 2 y por 5; 534 es divisible por 2 y3; 702 es divisible por 2, 3 y 9; 990 es divisible portodos; 2 321 es divisible por 11; 4 301 es divisiblepor 11; 5 490 es divisible por 2, 3, 5 y 9.

17. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89

18. 135 = 33 · 5; 260 = 22 · 5 · 13; 1 520 = 24 · 5 · 19;2 880 = 26 · 32 · 5; 3 420 = 22 · 32 ·5 · 19

19. 23 · 3 · 5 · 7; 2 · 3 · 5

20. 135

21. a) −33 + 24 − 4 = −13

b) −112 : 4 + 4 − 3 = −28 + 4 − 3 = −27

c) −6 · (−12) − 24 − 5 + 1 = 72 − 24 − 5 + 1 = 44

d) −72 : 9 + 7 · (−4) − 6 = −8 − 28 − 6 = −42

22. a) −1; b) 0; c) −208; d) −2

23. a) 8; b) −27; c) 226; d) −3; e) −84; f) 9; g) 13;h) 9

24. a) (−2)3; b) (−5)5

25. Positivas: (−2)12, (+6)5, (−4)32

Negativas: (−4)7, (−7)21

26.

27. −59; 714; −157; 912; −321

28. a) 27; b) (−2)8; c) (−4)20; d) (−3)3;

e) (−7)2; f) (−3)10

29. a) (−2)3 = −23; b) 78; c) 412; d) 612 : 68 = 64; e) 721 : 74 = 717; f) −415 : 49 = −46

30.

31.

32. a) (−4)−11; b) (−3)−10

33. a) 73; b) 1; c) (−5)7; d) (−3)10

34. 25 · 10−5 dm; 42 · 106 mm; 12 · 108 pm

35. 3 000 000 ; 0,000 07 ; 52 000 ; 0,002 3

36. 7 � 103; 4 � 10−3; 8 � 10−6; 21 � 104; 5 � 10−4; 125 � 10−5

37. 1018

38. 3 240 000 000 000; 0,000 000 000 005 3;0,000 001; 1 600 000 000; −80 000 000

39. 3,245 � 106; 3,2 � 10−8; 4,325 6 � 102;2,9 � 109; 2,3 � 1010

40. 3,051 757 8 � 1010; 2,985 984 � 1012;2,824 295 4 � 1011; 2,756 361 9 � 10−9

41. ±5; ±9; ±10; ±20; ±30

1

2

1

4

1

7

1

5

1

93 7 99 11 4− − − − −− − −;

( );

( );

( );

1

7

1

3

1

8

1

221 5 16 121( );

( ); ;

( )− − −

a =−

= −48

412

Multiplicación Base Exponente

6 � 6 � 6 6 3

−−7 � (−−7) � (−−7) � (−−7) −7 4

−−9 � (−−9) � (−−9) � (−−9) �9 4

21 � 21 � 21 � 21 � 21 � 21 21 6 216

(−9)4

(−−7)4

63

Potencia


191

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

42. 57; 41; 123; 236

43. 72 + 8; 92 + 11; 132 + 20; 272 + 39; 362 + 2

44. 0 y +2

45. a) −13 − 6 � 8 + 29 = −32

b) −5 � 9 : 3 + 34 = 19

46.

Ejercicios y problemas

48.

Valores absolutos: 7, 3, 2, 5, 8, 6

+3 � +2 � −5 � −6 � −7 � −8

— Opuestos: +7, −3, −2, +5, +8, +6

49.

50. Por orden de aparición:

a) −3 + (−2) + 13 + (−3) == −5 + 13 + (−3) = 8 + (−3) = 5

b) −1 + (−3) + 12 + (−8) == −4 + 12 + (−8) = 8 + (−8) = 0

Sumando primero los términos positivos y los ne-gativos:

a) [−7 + (−2) + (−3)] + (4 + 13) == −12 + 17 = 5

b) (9 + 12) + [−10 + (−3) + (−8)] == 21 + (−21) = 0

51. a) −[−14 + 2] −8 = −(−12) − 8 = 12 − 8 = 4

b) −(8 − 3) − (4 + 2) − [3 − 2 − 4] == −5 − 6 − (−3) = −8

52. a) −100, −95, −90, −85, −80

b) −11, −9, −7, −5, −3

c) −20, −15, −10, −5, 0

d) −11, −5, 1, 7, 13

53. a) −8 + 6 − 5 + 3 + 6 = 2

b) −1 + 7 + 8 − 3 − 2 = 9

54. Efectuando primero las operaciones entre parén-tesis:

a) −3 � 10 = −30

b) 6 � (−4) = −24

c) −6 � (−17) = 102

d) −9 � (−16) = 144

Aplicando la propiedad distributiva:

a) −3 � 3 + (−3) � 7 = −9 − 21 = −30

b) 6 � 3 + 6 � (−7) = 18 − 42 = −24

c) −6 � (−10) + (−6) � (−7) = 60 + 42 = 102

d) −9 � (−17) + (−9) � (−5) + (−9) � 6 == 153 + 45 − 54 = 144

— Es más rápido efectuar previamente las opera-ciones entre paréntesis.

55. a) (3 + 5 + 3) � (−2)

b) 3 � 4 + 3 � 3 + 3 � 7 − 3 � 11 + 3 � 32 == 3 � (4 + 3 + 7 − 11 + 32)

56. 1. 2 · (−3) = −3 · 2 d. conmutativa

2. −5 · (2 · 6) = (−5 · 2) · 6 a. asociativa

3. −3 · 1 = −3 c. elemento unidad

4. −3 · (5 − 2) = −3 · 5 − (−3) · 2 b. distributiva

57. a) Cociente: 7 Resto: 1

b) Cociente: 3 Resto: 1

c) Cociente: 2 Resto: 1

d) Cociente: 10 Resto: 1

Sí, son congruentes, porque los restos son losmismos.

58. a)

b)

a

b

c

)

)

)

− + − + + − = + + =

− + ⋅ − = ⋅ =

−

7 3 2 15 7 1 15 23

9 3 2 4 8 4 32

112 8 2 4 6 4 4 1

9 2 1 3 2 2 7 4 4

28

+ − + − = =

− ⋅ − − − − − = ⋅ − =

=

: :

)d

−− =4 24

a

b

c

) ( )

) :

)

625 5 3 4 121

24 16 4 4 8 3

2

3 0

2 2

⋅ − + +

+( ) ⋅ − ⋅

− ⋅ (( ) :9 4 36 169 12 + − −( )

+2 +3 +5 +6 +7 +8

...

–2–3–5–6–7–8

...

Número Divisiblepor 4

Divisiblepor 9

Divisiblepor 11

396 Sí Sí Sí

315 No Sí No

325 No No No

Número Divisiblepor 4

Divisiblepor 9

Divisiblepor 11

539 No No Sí

360 Sí Sí No

207 No Sí No


192

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

59. (11 · 13 · 17) · 4 = 9724

60. a) −340

b) −64

c) −113

61. Dos de los números han de tener el mismo signoy el otro ha de tener signo contrario. Por ejemplo,2 · (−3) · (−5) = −30.

62. 19 683

— La suma de las cifras de 273 es igual a 27, labase de nuestra potencia.

— El número pedido es 8; ya que:

83 = 512 → 5 + 1 + 2 = 8

63.

64. a) falso

b) falso

c) verdadero

d) verdadero

65. 9 801 = 992

66. 7 744 = 882

67. 610

68. 22 · 53

69. a) 32 � 26 � 52

b) (−1)35 � 310

c) (−5)8 � (−2)12

d) 92 � 214 � 826

70.

72.

73. 1,5 � 10−9 g; 3 � 1015 g; 4,5 � 10−11 g

74. a) 600 – 30 = 570

570 + 45 = 615

615 – 60 = 555

555 + 40 = 595

La altura máxima que ha alcanzado es 615 m.

b) En la trayectoria horizontal vuela a 595 m so-bre el nivel del mar.

75. Hallamos los litros de agua que entran en el de-pósito en 10 minutos:

50 · 10 = 500

Hallamos los litros de agua que salen del depósi-to en 10 minutos:

30 · 10 = 300

Hallamos los litros de agua que contendrá el de-pósito transcurridos 10 minutos:

250 + 500 – 300 = 450

Al cabo de 10 minutos el depósito contendrá450 l.

76. a) 1423 + 30 = 1 453

1 453 + 78 = 1 531

1 531 − 925 = 606

606 + 48 = 654

b) Su saldo inicial era 654 ∑.

77. Calculamos la variación de temperatura:

8− (−4) =12

La temperatura ha descendido 12 oC.

Calculamos el número de horas correspondientea esta variación de temperatura.

12 : 2 = 6

Hace 6 h que la ciudad tenía una temperatura de8 oC.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

− ⋅ −− ⋅ − ⋅ −

=−−

=5 5

5 5 5

5

5

4 15

5 6 6

19

17(( )− =5 252

Potencias Multiplicación DIvisión

(−3)5 ; (−3)8 −313 (−3)−3

(−4)3 ; (−4)−8 (−4)−5 −4−11

(−4)−6 ; 42 4−4 4−8

56 ; (−5)−8 5−14 52

1 8 1 6

52012

3 9 3 6

10

0

1

1

2

15

4

3

2

11 2 3 4 5

Concepto Ingresos GastosSaldoParcial

Saldoinicial

. 654 ∑

Teléfonomóvil

48 ∑ 606 ∑

Nómina 925 ∑ 1 531 ∑

Reparacióncoche

78 ∑ 1 453 ∑

Gasolina 30 ∑ 1 423 ∑


193

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

78. 10 segundos son la sexta parte de 1 minuto. Cal-culamos los metros que se desplaza el ascensoren 10 segundos:

30 : 6 = 5

En 10 segundos el ascensor se desplaza 5 m.

Calculamos la nueva altura a la que se halla:

20 – 5 = 15

El ascensor se halla a 15 m de altura.

79. m.c.m. (2, 7, 11) = 154

4 m = 400 cm

5 m = 500 cm

La longitud de la cinta es un múltiplo de 154 com-prendido entre 400 y 500.

154 · 3 = 462

La longitud de la cinta es 462 cm.

80. a) M.C.D. (15, 20, 35) = 5

Podrá preparar 5 bolsas.

b) 15 : 5 = 3

20 : 5 = 4

35 : 5 = 7

En cada bolsa habrán 3 caramelos de menta, 4 de fresa y 7 de naranja.

81. a) 85 = 5 · 17

51 = 3 · 17

El precio del libro de lectura es 17 ∑.

b) El primer grupo está formado por 5 compañe-ros y el segundo por 3 compañeros.

84. a) La raíz cuadrada entera de 59 es 7.

Habrán 7 bolas en cada fila y 7 bolas en cadacolumna.

Calculamos el número de bolas que sobrarán:

72 = 49

59 − 49 = 10

Sobrarán 10 bolas.

b) 82 = 64

64 − 59 = 5

Faltan 5 bolas para formar un cuadrado con 8 bolas en cada fila y 8 bolas en cada colum-na.

85. 152 + 20 = 245

86. 1 444 = 382


Un truco de magia

Se da a cada una de las cuatro cartas secundarias elvalor que figura en la casilla superior izquierda. Sesuma este valor de aquellas cartas en las que se digaque sí aparece la figura escogida. El valor de estasuma corresponde al número de la figura escogida enla carta principal.

Mensajes cifrados

17 es S; 04 es I; −2 es B; −3 es E; 05 es L; 04 es I; −8 es U; 17 es S. Por tanto, resulta: SIBELIUS.

Consigue un gran número

Será una potencia, utilizando como base el númeromayor, es decir el 9, y como exponente el número másgrande que se pueda obtener, que será otra potenciade base 9 y exponente también 9.

La expresión del número sería:

Con cuatro 4

¿Qué números son?

Que el producto de tres números distintos sea 16,sólo es posible con el 1, el 2 y el 8, o bien los númerosque resulten de poner dos de ellos con signo negativodejando el otro positivo. Para que la suma sea −7, seha de considerar esta segunda opción, y esto sucedecon los números −1, 2 y − 8.

Evaluación

1. a) −20; b) −112; c) −1 202

2. a) 311; b) −27; c) (−5)7; d) − 4−13

3. 2,34 � 108; 4,3 � 10−2; −3,245 � 108;9 � 1010; 1,2 � 1013

4. El número buscado es 2 � 3 = 6.

4 4 4 4 4 54 4 4

4

64 4

44 7

44

44

8 4 44

= − ⋅ + = ⋅ +

= + + = −

= + ⋅

( ) ;

;

449 4 4

4

4

1044 4

411

44

4 4

12 4 4 4 4

;

;

= + +

= − =+

= ⋅ + +( )

9 99( )


194

1. N

úmer

os e

nter

os

© grupo edebé

5.

6.

7. Consideramos que la longitud de los catetosiguales es x, y uno de ellos es la base y el otro laaltura. Tenemos:

La longitud de cada cateto es de 4 metros.

xx x

22

28 16 16 4= ⇒ = ⇒ = =

5 26 6 7 52 8

12 149 13 25 653 26

32 1049

< < < <

< < < <

<

; ;

; ;

<< 33

a

b

)

) :

21 512 23 15 4 11695

2 25 3 4 1210 0 2 2

− ⋅ + ⋅ = −

− + ⋅ =

= 11024 25 1 16 144 3303

4 3 4 4 82 3 2 3

− + ⋅ =

⋅ ⋅ − ⋅−

:

) : [( ) ]c 11

41

964 4096 9 256

=

= ⋅ ⋅ ⋅ =:


195

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

2. Fracciones y números decimales

Actividad inicial

La superficie visible del B-15A será 1/9 de 3 100 km2.El valor resultante es de 344,44 km2 .

La superficie sumergida del iceberg será 8/9 de 3 100 km2. Por lo tanto, están bajo el agua 2 755,56 km2

de superficie.


•

Se divide la recta en partes iguales y se señala el pun-to 0. A partir de este punto, hacia la derecha se repre-sentan los números positivos y hacia la izquierda losnegativos, contando tantas particiones como indicael valor absoluto del número que se va a representar.

•

•

• 0,5; 0,03; 0,75; 5,6; 0,2

Actividades

1.

2.

3. a) 4 920; b) 900

4. a) 2 520; b) 4 050

5. Positiva: hemos acertado 8 de las 12 preguntasde un examen.

Negativa: nos hemos gastado 7 de los 10 eurosque teníamos.

6.

7. Sólo a).

8.

9.

No, porque daría un denominador decimal si sedebe cumplir la relación de equivalencia.

10. a) −78; b) 6; c) −5; d) 6 ó −6

11.

12.

13. — En dos fracciones equivalentes, el productodel numerador de la primera por el denomina-dor de la segunda es igual al producto del de-nominador de la primera por el numerador dela segunda.

— Dos fracciones son equivalentes si al multipli-car o dividir el numerador y el denominador deuna por el mismo número, obtenemos la otra.

— Dos fracciones son equivalentes si al simplifi-car cada una de ellas obtenemos la mismafracción irreducible.

14.

15. A B C D O: ; : ; : ; : ; :3

4

2

4

7

4

5

40

− −

15 63 2

− = − =

=

24 12

36 12

2

3

105 15

540 15

7

36

42 6

18 6

:

:;

:

:

:

:

77

3

173

252

360 120

480 120

3

4

188 47

705 4

;

:

:;

:

:=

77

4

15=

a b c

d

) ; ) ; ) ;

) ;

3

2

6

5

48

239

7

−−

−−−

ee f) ; )37

76

94

255

−48

156

Positivas

Negativas

: , ,

: , ,

5

4

1

8

7

3

2

3

1

2

3

4

−−

− − −,,

— ,

2

5

2

5

2

5

1

8

1

8

−

−= − −

−=

10

55

2

11=

11

100

11

10

11

100000

110

1; ; ;

3

4

4

7

2

4; ;

1

3

2

5

3

2

11

13; ; y

�Solucionario

0 +2 +4 +7–1–3–5

−480

512

3 –3

–2 –15

0 0

0 –3

1 1

1 –2

5 –4

–14 6

UN 02 SOLUCIONARIO pg 195 5/8/08 06:45 Página 195

196

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

16.

17. Reducimos las fracciones a común denominadorpositivo y tomamos el m.c.m. de 4 y 3, m.c.m. (4, 3) = 12.

Así tenemos que:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Raquel tardará 225 min en terminar de leerlo.

25. Se ha gastado

Le quedan · 32 = 20 euros.

26.

27.

28.

29.

30.

31. a) 3 + 16 = 19

b) 5 · 13 = 65

c) 16 + 50 = 66

32.

33. Limitados: 3,435; −2,89

Ilimitados periódicos puros:

Ilimitados periódicos mixtos:

34.

35.

36. a) 10,32

b) 1,92

a

b

) , , ,

) ( , ,

3 5 4 567

2

137

30

959

6015 983

2 8 0

⋅ = ⋅ = =

+

� �

�� 3 1 5

14

5

1

3

14

9

47

15

14

9

47

15

9

) : , :

:

= +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

= = ⋅114

141

7012 0142857= = , �

74

10

37

5

7

100

4562

1000

2281

500

5

900

=−

=−

− =

; ; ;

−−1

180

212

99

3229

990; ;

8 251 2 13444, ; , ...�2 242424 0 75 0 5, ...; , ; ,� �

0 846153 1 142857 0 3571428 0 75 1 4, ; , ; , ; , ; , ;� � � �− −

00 3571428, �

18

50

1

4

147

27

108

75

25

64

20

45

72

50; ; ; ; ; ; ;

10

3

23

9

7

15

12

8

2

3

27

36

3

4, , , ,= =

a b c d) ; ) ; ) ; )2

3

1

44

2

3

45 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−

77

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

a b c) ) )5

33 4

2

5 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

a b c) ; ) ; )25

49

16

9

9

4

8

64

38

16

19

8+ = =

5

8

3

832 12⋅ = .euros

180 11

3

1

43 180

5

123 225⋅ − −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ = ⋅ ⋅ =

a

b

) :

) :

2

3

13

5

10

39

1 23

4

11

51 2

15

44

=

− ⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − ⋅ −

⎛

⎝⎝⎜⎞

⎠⎟=

= + =115

22

37

22

2

3

2

5

1

3

1

3

2

9

11

45+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ − + =

a

b

c

)

) :

)

− + + =

⋅ + =

⋅ − +⎛

⎝

5

2

9

4

4

9

7

36

5

30

2

3

4

9

4

9

5

3

6

4

9

4⎜⎜⎞

⎠⎟+ = ⋅ + =

= + =

4

9

5

3

3

4

4

9

5

4

4

9

61

36

a

b

)

)

− − = − − = − = −3

7

20

54

162

378

140

378

302

378

151

189

−− + = − + =2

21

7

8

16

168

147

168

131

168

g h i) ; ) ; )− −11

9

44

35

28

90

a b c d e) ; ) ; ) ; ) ; ) ;1

4

1

2

5

2

5

16

1

8− − − − )f

27

8

− <−

<−

< <12

5

8

5

4

5

3

15

3

1

12 5 8 52 2 3 1

− < − ⇒ − < − ⇒ − < − ⇒−

< −21 15

21

12

15

12

7

3

5

4

7

3

5

4

− = − − = −5

4

15

12

7

3

21

12;

a b) )6

8

14

18−

...

8

–4–12 30

3–5

55 1

15...


197

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

c) 3,744

d) 2,225

e) 0,66

f) 5,809 5

g) 0,281 4

37. a) 3,1; el error es de 0,025.

b) 21,354; el error es de 0,004.

c) 41,5623; el error es de 0,0003.

38. a) 2,8; el error es de 0,015.

b) 3,5; el error es de 0,05.

c) 67,9; el error es de 0,008.

39. 3,023 ó 3,017

40. a) 12,379

b) 19,3025

41. Representamos el período de observación por unsegmento:

La mitad de este segmento corresponde a buentiempo.

Las tres cuartas partes del resto ha sido nublado.

Vemos que el número de días que quedan, que son los 6 que ha llovido, corresponden a

del total.

Calculamos una cantidad, los de ésta es 6:

La observación ha durado 48 días: la mitad (24) hahecho buen tiempo, tres cuartas partes del resto(18) ha sido nublado y 6 días ha llovido.

42. Representamos en un diagrama los personajes ylos unimos por flechas que vayan de los que adeu-dan las canicas a aquellos que las han prestado.Escribimos sobre cada flecha el número de canicasprestadas:

El número de canicas que se llevará cada uno acasa después de haber pasado cuentas es la sumade las flechas que llegan a él menos las que partende él.

Observamos en el gráfico que quien se lleva 18 ca-nicas es Julián.


43. a) 800; b) 2 500; c) 11 250; d) 640

44.

45. a) 6 × 15 = 10 × 9 → sí son equivalentes; b) no sonequivalentes.

46.

47.

— Sí, son todas equivalentes


49.

50.

51. a)

5

2

7

6

3

4

3

4

7

6

5

2−< − < − < < −

−<

A B C D= = − = − =2

5

3

5

6

5

7

5; ; ;

−−

=−

= −3

21

1

2

9

71

2

7;

− −210

270

108

270y

−3

8

− −11

20

6

11

41

120

7

19; ; ;

Positivas

Negativas

: , ,

: , ,

3

8

2

3

3

11

3

5

4

7

5

9

4

−−

−−

−

−−=

− −−

=7

4

7

2

3

2

3,

1

86 6 1 6 6 8 48.......... : ,= → = ⋅ =

1

8

11

2

3

8

1

8− − =

12

12

Buen tiempo

313824 de =

Buen tiempo Nublado Lluvia

6 días

3 7

32

715Andrea Teresa

Pilar

Julián

–2 –1 0 1 29 –5 3 –3–7 8 5 –2

0 1–1–2–3

..

535

–7–3–7

2 324–2

–646...


198

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

b)

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58. Limitados: 2,34; 5,4123

Ilimitados:

59. Calculamos los resultados de las operaciones:

La relación que se establece entre los números 1,2, 3 y 4, y las letras a, b, c y d es:

1 − b 2 − c 3 − d 4 − a

60.


Se trata de números decimales periódicos purosde período 3 ó 6, siempre y cuando no sean ente-ros.

números decimales limitados.

1

40 25

3

500 06

13

101 3= =

−= −, ; , ; , . Obtenemos

1

30 3

5

31 6

9

33

= − = −

=

, ; , ;� �

2 3 0 5 1 0323 2

9

5

10

103 10

90

21

9

5

10

, , ,� �

+ + = − + + − =

= + + 993

9

210

90

45

90

93

90

348

90

58

15

4 86 1 34

= + + = =

− =, ,� � 4486 48

90

134 13

90

438

90

121

90

317

90

1 6 2

− − − =

= − =

⋅,�

,,

, : ,

�

� �

116 1

9

21 2

9

15

9

19

9

285

81

95

27

7 6 2

= − ⋅ − = ⋅ = =

2276 7

9

22 2

9

69

9

20

9

621

180

69

20= − − = = =: :

1 23232323 0 03 2 13

0 034034034

, ...; , ; , ;

, ...

−� �

c)1120

49

20

49

100

49

10

7

7

4

21

2

7

4

42

4

49

4

− = = ±

+ = + = = ±d)77

2

a

b

)

)

25

25

11

25

36

25

6

5

7

2

5

4

14

4

5

4

9

4

3

2

+ = = ±

− = − = = ±

a

b

)

)

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − = −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−

1

2

1

2

1

32

3

4

3

4

5

5

5 33 4 2 43

4

3

4

3

4

3

4

: :⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−

66

14 9

729

4096

7

8

7

8

7

8

=

− −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠

−

c) ⎟⎟ =

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −

− −

3

14 12 27

8

7

8

7

8

8

77

8

7

64

49

2

2

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

= − = −

a

b

)

)

1

32

3

2

5

41

1

3

15

41

29

12

1

4

3

41

+ ⋅ ⋅−

+ = − + = −

⋅ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎦⎥

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ = − ⋅ =

= − ⋅ ⋅⋅

: :5

12

3

2

19

16

5

12

3

2

19 12 3

16 55 2

19 3 3

4 5 2

171

40⋅= − ⋅ ⋅

⋅ ⋅= −

a b c d) ; ) ; ) ; )− −3

10

13

125

68

9

10

3

a b c d) ; ) ; ) ; )− − = −23

28

16

60

4

15

1

2

41

15

− <−

<−

< < < <3

4

2

3

1

2

1

2

5

4

4

32

–1–2 1

2

1–3 5 42

–3

–24 4 30 1 2

2

3

6⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

7⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

3

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

5⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

9⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

3

8⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

3

4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Fracciónirreducible

Expresióndecimal

Clasificación delnúmero decimal

1

30 3,� Decimal ilimitado

periódico puro

17


periódico mixto

38


periódico mixto

22

54 4, Decimal limitado


199

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

62. a) 0,7631

b) 1,352

c) 30,9225

d) 2,1714285

64.

65. a) 12,5; el error es de 0,044.

b) 0,3; el error es de 0,02.

c) 9,6; el error es de 0,04.

d) 17,1; el error es de 0,046.

66. El resultado de las operaciones es el siguiente:

a) 23,5178 b) 157,1928 c) 9,3361

El error dependerá de la estimación realizada.

67. Los 24 ∑ que tiene en estos momentos son la

suma de (la totalidad) del dinero que tenía

hace una semana más de ese dinero que ha

ahorrado esta semana. Por lo tanto, en estos mo-

mentos tiene del dinero que te-

nía hace una semana. Así pues, si resolvemos, tenemos:

Hace una semana tenía 22 ∑.

68. a) de 48,12 = 8,02

48,12 − 8,02 = 40,10

Pagaremos por los pantalones 40,10 ∑.

b)

El precio de la camisa era 36,24 ∑.

69.

Calculamos el número total de bolas que hay enla caja:

Inicialmente en la caja hay 90 bolas.

Bolas rojas: de 90 = 30

Bolas amarillas: de 90 = 20

Bolas verdes: 90 − (30 − 20) = 40

En la caja hay 30 bolas rojas, 20 bolas amarillas y40 bolas verdes.

70. Al alinear las dos varillas la longitud total es 10,92 m.Si dividimos esta longitud en 7 partes iguales, 3 de estas partes corresponden a una varilla y lascuatro restantes a la otra. Por lo tanto, tenemos:

10,92 : 7 = 1,56

1,56 · 3 = 4,68

1,56 · 4 = 6,24

La longitud de las varillas es 4,68 cm y 6,24 cm.

71. En tren recorremos del trayecto. Queda por

recorrer del total.

En autobús recorremos de

Queda por recorrer:

del

total. Por lo tanto:

La distancia que separa la ciudad del pueblo esde 200 km.

72. a) Calculamos la parte de cinta que ha utilizado:

Calculamos la parte de cinta que le queda:

Calculamos la diferencia entre la parte de cin-ta que ha utilizado en la primera reparación y laparte de cinta que le queda:

El electricista disponía de 72 m de cinta.

1

2

2

9

9

18

4

18

5

18

5

1820

20 5 4

4

− = − =

= →=

⋅de .........

:

118 72=

⎧⎨⎪

⎩⎪

17

9

9

9

2

9

2

9− = − =

1

2

1

6

1

9

9

18

3

18

2

18

14

18

7

9+ + = + + = =

1

1002

2 1 2

2 100 200de .........

:= →

=⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎩⎪

147

50

1

20

100

100

94

100

5

100

1

100− − = − − =

15

300

1

20= =

5

6

147

50

50

50

47

50

3

50− = − =

47

50

2

9

1

3

2

360

60 2 30

30 3 90de .........

:= →

=⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

11

3

3

3

1

3

2

3− = − =

5

630 20

30 20 5 6 04

6 04 6de ......... ,

, : ,

,= →

=⋅ ==

⎧⎨⎪

⎩⎪ 36 24,

1

6

12

1124

24 12 2

2 11 22de .........

:= →

=⋅ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

11

11

− = − = − =

= =

1 312

9

4

38 34

826

99

2 1162095

990

4

, ; , ;

,

� �

� 119

1980 007

7

999

12 3451222

990

679

55

; , ;

,

�

�

=

= =

1

11

11

11

1

11

12

11+ =

3

50

5

6

3

50= ⋅ =


200

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

b)

En la primera reparación ha utilizado 36 m decinta, en la segunda 12 m y en la tercera 8 m.

73. Entre el comedor y la cocina, Elisa destinará

del presupuesto. El

resto, es decir , a los tres dormito-

rios, destinando, por tanto, del

presupuesto a cada habitación. Ordenando lasfracciones tenemos:

Es decir, el presupuesto destinado al comedor esel mayor y el destinado a cada uno de los dormi-torios el más pequeño.

74. Los redondeos son: 6, 16 y 7 ∑. La suma es 29; porlo tanto, tendrán suficiente.

75.

76.

77.

78. a) Comparamos las fracciones

m.c.m. (9, 19) = 171

Juan ha recorrido una mayor parte del camino.

Los dos amigos no se han cruzado.

Les separan las partes del camino.

79. Calculamos a qué equivalen los de los dela fracción que debemos hallar.

Se trata de la fracción .

80. Calculamos la fracción que representa la canti-dad de refresco con la que llenamos la jarra.

Calculamos la capacidad de la jarra:

La capacidad de la jarra es 3,5 l.

81. La primera llena del depósito en una hora, y la

segunda . Si manan las dos a la vez, llenarán

del depósito por hora.

1

7

7

126

42

123 5⋅ = = ,

0 5 3 0 16

0 1616 1

90

15

90

1

6

2 5 6 0 416

, : ,

,

, : ,

=

= − = =

=

�

�

�

00 416416 41

900

375

900

5

12

1

6

5

12

2

12

5

12

,�

= − = =

+ = + = 77

12

1

3

− − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − + = − + =

⋅

17

45

5

9

17

45

5

9

17

45

25

45

8

45

2

3

4

55

8

15

8

15

8

45

8

458

8

360

1

451

45

=

= →= =

⋅de .........

:

11515

45

1

3= =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1148

171

171

171

148

171

23

171− = − =

b)4

9

8

19

76

171

72

171

148

171

148

1711

+ = + =

<

4

9

76

1718

19

72

171

4

9

8

19

=

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ >

a)

:

:

7 3

4 14

3

2

7

2

4

33

1

3

3

8

3

74

36

45

5

⋅⋅

+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−=

+

−=

=66

14

3

135

784

12

13

214

99

7

3

5

3

1

2

5

:

)

:

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −

⋅ − ⋅b

229

2

3

856

429

35

91

54

7311

3861

21

5

2

+ ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=−

+

=−

: == −12185

27 270

a b c d) ; ) ; ) ; )− − = −23

28

16

60

4

15

1

2

41

15

4

7

96

168

1

8

21

168

17

168= > = >

1

272 36

1

672 12

1

972 8

de

de

de

=

=

=

4

7

1

8

32

56

7

56

39

56+ = + =

17

563

17

168: =

139

56

17

56− =

0 125

0 149

0 167

4

9

8

19y .

23

1712

34

5

1

5

1

7

1

5

12

35+ =


201

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

82.

El primer móvil recorre 20 m en 1 s.

El segundo móvil recorre 25 m en 1 s.


Llena y vacía recipientes

Hay varias soluciones posibles. Una de ellas es la quese presenta a continuación, indicando con tres valo-res la cantidad de agua que va quedando en cada re-cipiente:

Así, podemos obtener un volumen de agua de 6 litros.

Las monedas

Cualquier número entero del 20 al 100 puede expre-sarse como la suma de un múltiplo de 20 más un nú-mero entero entre el 1 y el 20. Necesitaremos, por lotanto, 4 monedas de 20 céntimos, más las monedasnecesarias para expresar cualquier cantidad entre el1 y el 20. Cualquier número entero del 10 al 20 puedeexpresarse como la suma de 10 más un número me-nor o igual que 10. Cogemos, por ello, una monedade 10 céntimos, y formamos los otros 10 cts. con unamoneda de 5 céntimos, dos de 2 cts. y una de 1 cén-timo.

Por lo tanto, tomaremos 4 monedas de 20 cts., unade 10 cts., una de 5 cts., dos de 2 cts. y una de 1 céntimo.

Un regalo en una caja

Se trata de hallar dos números que sumados den 8 ycuya diferencia sea 7. Procederemos por tanteo, dadoque en este curso aún no se han estudiado las ecua-ciones.

Los valores buscados son 0,5 y 7,5, que cumplen lascondiciones del enunciado.

Divide y vencerás

El «truco» consiste en escribir las cifras en numera-ción romana y «partirlas» por la mitad, a modo de frac-ción, quedándonos con el numerador. Así, de IX sepasa a IV y de XII se pasa a VII.

Puede ser el 8 (insertando una raya por su mitad).

Cuadriatlón

La suma de todas las fracciones de la duración de lasesión de entrenamiento tiene que ser igual a la uni-dad. Todos los intervalos de tiempo se nos dan enfracciones, excepto el intervalo de la carrera a pie.

Buscamos la fracción correspondiente a la carrera apie. Es igual a la unidad menos la suma de las fraccio-nes restantes:

Esta fracción es igual a 45 minutos; por tanto, el tiem-po total es justo 10/3 de 45 minutos:

minutos, que es igual a 2 horas y media.

Evaluación

1.

10

345 150⋅ =

11

6

1

3

1

51

5 10 6

30

3

10− + +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − + + =

5

81000 625

5

1260 25

625

2525

de

de

=

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

3

51000 600

1

260 30

600

3020

de

de

=

=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

Recipiente 1.º 2.º 3.º

Capacidad 7,5 2 5,5

Situación inicial 7,5 0 0

Se llena el 3.er recipiente 2 0 5,5


Se llena el 2.º en el 1.º 4 0 3,5


Se vacía el 2.º en el 1.º 6 0 1,5

–2 61

17

342–36

18752

13

28572

143

==

=

–

–

–1 0 1 2

a b c) ; ) ; )− −1

2

6

5

17

13


202

2. F

racc

ione

s y

núm

eros

dec

imal

es

© grupo edebé

2.

3.

4. a) Calculamos los metros cuadrados que pinta elprimer día:

de 87,12 = 19,36 m2

b) Calculamos qué superficie le queda por pintar:

87,12 − 19,36 = 67,76 m2

5.

6. 12,567; el error es de 0,000424.

7. − < − < − < − < − <

< <

3 45 3 4 3 4446

4

1

2

0 45

3

, , ,

,

�

a b) ; ) ( )3 3 3 3 32 2 2 6= ⋅ =− −

2

9

5 0765 076

1000

1269

250

0 1717

99

28 7112 58

,

,

,

= =

=

=

�

� 44

90

1292

45=

7

3

5

6

1

2

2

5

14

5

1

5

15

53: + ⋅ = + = =


203

3. E

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n un

a in

cógn

ita

© grupo edebé


Actividad inicial

Sin plantear todavía una ecuación podemos razonarde la siguiente manera: Si el lado desigual del triángu-lo es una parte del total del perímetro, cada uno de losdos lados iguales serán tres partes de ese total. Por lotanto, hemos dividido el perímetro en 7 partes iguales(1 + 3 + 3), cada una de ellas de 210/7 = 30 m. Así, eljardín tendrá un lado de 30 m y dos lados de 90 m (30 · 3) cada uno.


• El doble de 6 es 6 · 2 = 12.

El triple de 12 es 12 · 3 = 36.

La quinta parte de 25 es 25 : 5 = 5.

— Doble: 2 · a

Triple: 3 · a

Quinta parte:

• La expresión general del área de un círculo de radior es S = π · r 2. Por lo tanto, la superficie de un círculode 5 cm de radio es S = π · 52 = 78,54 cm2.

• a) Alumnos de Secundaria = 336 − 15 = 321

b) Alumnos de Secundaria = a − 15

•

Actividades

1.

2. a) El doble de a menos el doble del cuadrado de b.

b) Menos a más tres b.

c) El cuadrado de la suma de a más b.

d) La suma de los cuadrados de a y b es igual a 25.

e) a más la mitad de b es igual a 18 más a.

f) El doble del cuadrado de a más su cubo esigual a 96.

3. a) −4; b) 7

4. a) 3 a − 2b + b2; b) 2x + 2xy + 6y; c) −2x + xy + 3y ; d) 7x2 − xy

5. a) 15x3y; b) 2 a3 + 6 a2b ; c) 2x2 + 5x + 3

6. a) a (2b + 5c − a) ; b) 5x (1 + 2y + xy)

7. a) x2 + 8x + 16 ; b) a2 − 10a + 25;c) a2 − 4 ; d) x2 − y2

8. a) 4 + 12x + 9x2; b) 4 a2b2 + 12 a2b + 9 a2;c) 4 a2 − 4ab + b2; d) 4 x2y2z2 − 4xyz + 1

9. a) (1 + x)2; b) (3 + x)2; c) (2 − x)2; d) (y − 3x)2

10. a) x2 − 4y2; b) a2b2 − 4c2

11. a) (2 + xy) � (2 − xy) = 4 − x2y2;

b) (ab + 3) � (ab − 3) = a2b2 − 9

12. La incógnita de la ecuación es x, el primer miem-bro es 5 (x + 2) y el segundo miembro es 3x + 14.La solución a la ecuación es x = 2.

13. a) Son equivalentes: x = 2

b) No son equivalentes.

14. a) La solución es x = 2.

b) La solución es x = 8

15. a) Llamamos x al número que buscamos y aplica-mos el método de razonamiento inverso:

3 x + 5 = 17 ⇒ x = (17 − 5) : 3 = 4


b) Llamamos x al número que buscamos y aplica-mos el método de razonamiento inverso:


16. a) 4 ; b) ; c) −1 ; d) 4

17. Transposición de términos: 13 − 7 = 2x +x

Reducción de términos semejantes: 6 = 3x

Despeje de la incógnita: x = 2

18. a b c d e f) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )2725

13

11

4

4

54 8

3

5

xx

33 11 11 3 3 42− = ⇒ = + ⋅ =( )

a ab

b x y

c a a da

) ; ) ( ) ;

) ; )

22

2

3 4 5315

10090

3 2+ ⋅ +

+ = − =

2 3 4 31

22 9 6

18 6 24

2⋅ − − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − =

= + =

( ) ( ) ( )

a

5

�Solucionario


204

3. E

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a in

cógn

ita

© grupo edebé

19.

20.

21.

22. Una única solución: a); ninguna solución: b) y d);infinitas soluciones: c).

23. a, c, d, e, g y h son ecuaciones; b y f son identida-des.

— Una ecuación de primer grado puede teneruna única solución, infinitas soluciones o nin-guna solución

— Si a vale 0, entonces la ecuación tendrá infini-tas soluciones (si b = 0) o ninguna solución (sib ≠ 0).

24. Llamamos x al número que buscamos. Así, la

ecuación que tenemos que resolver es

= 175. Resolvemos la ecuación y obtenemosx = 900. Por lo tanto, el número buscado es 900.

25. Llamamos x al número que buscamos. Así, la ecua-ción que tenemos que resolver es

Resolvemos la ecuación y obtenemos x = 63. Por lotanto, el número buscado es 63.

26. Llamamos x a los años que han transcurrido. Así, la ecuación que tenemos que resolver es (57 − x ) = 2 (32 − x ). Resolvemos la ecuación y ob-tenemos x = 7. Por lo tanto, hace 7 años.

27. Llamamos x a la altura del rectángulo. Así, la ecua-ción que tenemos que resolver es 5x + x ++ 5x + x = 72. Resolvemos la ecuación y obtenemosx = 6. Por lo tanto, la altura del rectángulo es 6 cm yla longitud de la base es 30 cm.

28. Si llamamos x al número de litros que se consu-mieron el primer día, tenemos que x − 2 es el nú-mero de litros que se van a consumir el segundoy 4x − 4 es lo que se consumió el tercer día. Comoen total se consumieron 600 litros, resulta laecuación 6x − 6 = 600. La resolvemos y obtene-mos x = 101. Por lo tanto, el primer día se consu-mieron 101 l.

29. Si llamamos x al número de botellas de agua, te-nemos que 3x es el número de botellas de refres-

cos y 3x + 10 el de botellas de zumos. Como entotal hay 73 botellas, resulta la ecuación 7x + 10 == 73. La resolvemos y obtenemos x = 9. Por lotanto, hay 9 botellas de agua, 27 de refrescos y37 de zumos.

30. Consideremos un número diferente de 1, por ejem-plo x = 3. Obtenemos que 5 � 3 − 32 = 6 � 4. Por lo tan-to, x = 3 no es el número que buscamos. Conside-ramos ahora x = 4 y obtenemos 5 � 4 − 42 = 4. Así, elnúmero buscado es 4.

31. Como el resultado de la suma es negativo, segu-ro que alguno de estos cuatro números es nega-tivo, pero para que el resultado de la suma sea −2, alguno tiene que ser positivo. Probamos con−1, 0, 1 y 2 y al sumarlos obtenemos +2. Si proba-mos con −2, −1, 0 y 1, la suma sí da −2. Por lo tan-to, éstos son los números buscados.


32. a) 2x; b) 2x + 1; c) (2x)2; d) 3 (2x + 1);

e) x + (x + 1) + (x + 2); f) x2 (x + 1)2

33. 3x2 + 5x

34. a) −2 ; b) 0

35.

36. a) 10 a − 20 b; b) 7x − 10 y; c) x − 5 y + 4;

d) 2b − a b

37. a) 2x 3y 2; b) 20 a 3b 3; c) −14x 2y 2z ; d) 5x 5y 5

38.

39.

Las áreas de las dos figuras son iguales.

A a a b b a b

A a a b b a

figura

figura

12 2

2

= ⋅ − ⋅ = −

= ⋅ − + ⋅( ) ( −− =

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = −

b

a a a b b a b b a b

)

2 2

a a b a b a b

b a a a

ca

) ( ) ( )

) ( ) ( )

)

2 2

2

2

25 5 5

91

− = + −

− = + −

− 663

43

4

4 81 2 9 22 2

= +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

− = +

a a

d a b a b) ( ) ( aa b− 9 )

xx

7

2

372+ =

x

3125− =

a b c d) ; ) ; ) ; )− − −14

29

1739

47

7

a b c d) ; ) ; ) ; )11

10

91

2

90

13

151

9

−

a b c d e

f g h

) ; ) ; ) ; ) ; ) ;

) ; ) ; )

337

47

1

4

33

514

3

10

3

3

−

− −22

a b (a + b)2 (a − b)2 a2 − b2

− 6 4 4 100 20

1

2−1

1

4

9

4

− 3

4

0,2 −2,2 4 5,76 − 4,8


205

3. E

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40.

41. a) 32 + 5 = 14; b) 32 + 2 � 3 � 5 + 52 = (3 + 5)2;

c) 42 − 2 � 4 � 8 + 82 = (4 − 8)2;

d) 52 − 72 = (5 + 7) � (5 − 7)

42. a) x ; b) 1 − 6b; c) 9b2 + 3 a − 27ab + 7b6

43.

44. La suma de las expresiones algebraicas de la ter-cera columna es igual a 15.

2x − 2 + 3 (x − 2) + 8 = 15

2x − 2 + 3x − 6 + 8 = 15

2x + 3x = 15 + 2 + 6 − 8

5x = 15

Al hallar el valor numérico de las expresiones al-gebraicas de la primera fila para x = 3 se obtiene:

2 + y + 7 + 4 = 15

y = 15 − 2 − 7 − 4 = 2

El valor de x es 3 y el valor de y es 2.

45. Se observa en la primera balanza que 2x equivalea y. Por tanto, también podemos mantener elequilibrio de la segunda balanza de la siguientemanera:

El valor de y es el doble del valor de x. Así, y = 2.

El valor de x es 1 kg y el valor de y es 2 kg.

46. a) Cierta; b) falsa; c) cierta; d) cierta

47. Llamamos x al número que buscamos y aplica-mos el método de razonamiento inverso:


48. La solución es x = 8.

50. Se pueden proponer infinitas ecuaciones equiva-lentes a una dada. La solución siempre será lamisma.

a) Multiplicamos, por ejemplo, por 2:

b) Multiplicamos, por ejemplo, por 5:

20 (x − 1) = 15 (x + 2); x = 2

c) Multiplicamos, por ejemplo, por 3:

9 (x − 1) − 60 = 21; x = 10

d) Multiplicamos, por ejemplo, por 2:

4 (x + 3) + 10 = 18; x = −1

e) Multiplicamos, por ejemplo, por 3:

f) Multiplicamos, por ejemplo, por 2:

51. a) x = −2; b) x = −2; c) x = 2; d) x = 2;

e) x = −1; f) x = −4; g) x = −3; h) x = 5

52.

53. a x b x c x d x

e x f x

) ; ) ; ) ; ) ;

) ; )

= = = − = −

=−

= −

1 3 44 19

42

1122

141

19

182

253; ) ; )g x h x= =

a x b x c x

d x e x

) ; ) ; ) ;

) ; )

= = − =

= = −

01

3

9

2

1

23

x xx

+ − + = =2

2

1

34 20;

2 33 15

221x

xx− = + =;

4 10 10 47

3x x x− = + = −;

2

35 23

23 5

23 27

xx+ = ⇒ = − ⋅ =

x x x

x

x

+ + =

=

= =

3

3 3

3

31

2 y + 7 4

x = =15

53

· a 5b −3a a − b

4 4a 20b −12a 4a − 4b

3a 3a2 15ab −9a2 3a2 − 3ab

−2b −2ab −10b2 6ab −2ab + 2b2

a + b a2 + ab 5ab + 5b2 −3a2 − ab a2 − b2

EcuaciónIncóg-

nita

1.r

miem-bro

2.º miem-

bro

Solu-ción

7a − 15 = 2a a 7a − 15 2a 3

8 = 2b + 3 b 8 2b + 35

2

2x −3 = 5x + 2 x 2x − 3 5x + 2−5

3

8y + 4 = 2(3y + 2) y 8y + 4 2(3y + 2) 0

3 kgxxx


206

3. E

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54. Llamamos x al menor de dichos números.

Los dos números que siguen a x son x + 1 y x + 2.

Los tres números consecutivos son 3, 4 y 5.

55. Llamamos x al tiempo que tardarían los dos pin-tores en pintar la pared.

Tardarían 1,2 horas en pintar la pared.

56. a) Llamamos x al precio de un bolígrafo.

El precio de un bolígrafo rebajado en 2 ∑ esx − 2.

El precio de un bolígrafo es 10 ∑.

b) 12x = 12 · 10 = 120

Hemos gastado 120 ∑.

57. a) Llamamos x al número de horas que tarda elcoche en alcanzar al autocar.

El número de horas que el autocar llevará deviaje hasta que el coche le alcance es x + 2.

La distancia que ha recorrido el coche puedeexpresarse como 120 x y la que ha recorrido elautocar como 90 (x + 2).

Se encontrarán después de 6 horas de la sali-da del coche; es decir, a las 16 horas.

b) 120x = 120 · 6 = 720

Habrán recorrido 720 km.

58. Llamamos x al tiempo que ha dedicado a salir consus amigos.

Tiempo dedicado a la natación:

Tiempo dedicado a la lectura:

m.c.m. (6, 3) = 6

Ha dedicado 12 horas a salir con sus amigos.

Tiempo dedicado a la natación:

Tiempo dedicado a la lectura:

Ana ha dedicado 2 horas a la lectura, 4 horas a lanatación y 12 horas a salir con sus amigos.

59. a) Llamamos x a la longitud del cateto más pe-queño. Así, la ecuación que tenemos que re-solver es:

Resolvemos la ecuación por el método de en-sayo-error y obtenemos x = 4. Por lo tanto, loscatetos miden 4 cm y 5 cm.

x x⋅ +=

( )1

210

x

6

12

62= =

x

3

12

34= =

66 3

6 18

66

63

6 6 18

2 6

⋅ + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ⋅

⋅ + ⋅ + = ⋅

+ +

x xx

x xx

x x xx

x

x

=

=

= =

108

9 108

108

912

1

2 3

1

2 3 6

6 318

dex x x

x xx

= ⋅ =

+ + =

1

3

1

3 3de x x

x= ⋅ =

120 90 2

120 90 180

120 90 180

30 180

x x

x x

x x

x

= +

= +

− =

=

( )

xx = =180

306

12 15 2

12 15 30

12 15 30

3 30

3

x x

x x

x x

x

x

= −

= −

− = −

− = −

= −

( )

00

310

−=

x x

x x

x x

x x

2 31

62 3

6 1

62

63

6 1

3 2

+ =

⋅ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

+ = 66

5 6

6

51 2

x

x

=

= = ,

x

x

+ = + =

+ = + =

1 3 1 4

2 3 2 5

3 3 2 4 22

3 2 22 3 4

5

x x

x x

x

+ + + =

+ = − −

= 115

15

53x = =


207

3. E

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60. x = 2.

62. Llamamos x a la altura de la lámina grande (antesde recortarla).

La altura de la lámina antes de recortarla era 15 cm.

63. a) Llamamos x al número de alumnos que hay en 2.º.

Alumnos grupo A:

Alumnos grupo B:

Alumnos grupo C:

En 2.º hay 84 alumnos.

b) Alumnos grupo A:

Alumnos grupo B:

Alumnos grupo C: 28 − 2 = 26

En el grupo A hay 28 alumnos; en el grupo Bhay 30, y en el grupo C hay 26.

64. a) Descomponemos la figura en dos semicírcu-los y en un cuadrado.

Lsemicircunferencia

Pfigura=

La expresión algebraica correspondiente alperímetro de la figura es 2x + π · x.

b) Descomponemos la figura en tres semicírcu-los y en un rectángulo.

Lsemicircunferencia pequeña

Lsemicircunferencia grande = π · x

Pfigura =

La expresión algebraica correspondiente al perí-metro de la figura es 2x + 2π · x.

65. Todas las soluciones son:

a) x = 0; b) x = 1, x = −1; c) x = ;

d) x = 2; e) x = −1, x =

66.

−8

7

1

3

22 2

22

22 2

xx

xx

xx

x x x

+ ⋅ + ⋅ + =

= + ⋅ + ⋅ = + ⋅

π π π

π π π

= ⋅π x

2

xx x

x

xx

x x

+ ⋅ + ⋅ + =

= + ⋅ = + ⋅

π π

π π

2 2

22

22

= ⋅π x

2

5

14

5 84

1430

x = ⋅ =

x

3

84

328= =

x x xx

m c m

x x x

3

5

14 32

3 14 41

423

5

14 3

+ + − =

=

⋅ + + −

. . . ( , )

22 42

423

425

1442

342 2 42

14

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =

x

x x xx

xx x x x

x x x x

+ + − =

+ + − =

15 14 84 42

14 15 14 42 84

x = =84

184

x

32−

5

14

5

14

5

14de x x

x= ⋅ =

1

3

1

3 3de x x

x= ⋅ =

20 14 6 174

20 14 84 174

20 14 174 84

x x

x x

x x

− − =

− + =

− = −

( )

66 90

90

615

x

x

=

= =

Láminagrande

Láminapequeña

Base 20 14

Altura x x − 6

Área 20x 14(x − 6)

Número de minerales Cajas

x x

51+

x − 1x − 1

4


208

3. E

cuac

ione

s co

n un

a in

cógn

ita

© grupo edebé

Así, se cumple que:

Por lo tanto, Silvia tiene 25 minerales y 6 cajas.


Las tres puertas

Todas las combinaciones posibles de premio, multa ynada en la primera, la segunda y la tercera puertasquedan recogidas en la siguiente tabla.

La única posibilidad de que sea uno y sólo uno de loscarteles falso es la figura sombreada, en la que el fal-so sería el cartel de la primera puerta, y los otros dosserían ciertos. El concursante debe elegir la tercerapuerta, que es en la que está el premio.

El examen

Si consideramos x las respuestas correctas, el resto,(30 − x), serán las no correctas. Si la puntuación obte-nida es 70 puntos, podemos plantear la siguienteecuación:

3x − (30 − x) = 70; 4x = 100; x = 25.

Para obtener 70 puntos hay que contestar correcta-mente 25 preguntas.

Para saber cuántas respuestas correctas son necesa-rias para aprobar, planteamos la siguiente ecuación:

3x − (30 − x) = 42; 4x = 72; x = 18.

Hay que responder 18 preguntas correctamente.

La excursión de fin de curso

Suponiendo que todos los alumnos que no llevan go-rra sí llevan plano; es decir 42 − 30 = 12 alumnos, ha-bría como mínimo 8 alumnos (20 − 12) que llevan pla-no y también llevan gorra.

Adivinar el número

Expresando algebraicamente las operaciones realiza-das nos queda:

Se trata de una identidad que se cumple para todoslos números, sea cual sea el valor dado a x.

Jugar a la oca

Es posible sólo si estos amigos no juegan entre sí.

Evaluación

1. El perímetro es la suma de todos los lados. Por lotanto, tenemos:

Los lados del trapecio miden 15 cm, 4 cm, 5 cm y4 cm.

2. Llamamos x al número que buscamos y aplicamosel método de razonamiento inverso:

(x + 3) : 2 = 5 ⇒ x = (5 � 2) − 3 = 7


3. x 2 + 2x = 288; por tanteo obtenemos que el número positivo que satisface esta ecuación es x = 16.

4. Llamamos x al número natural buscado. Así, laecuación que tenemos que resolver es:

(x − 1) (x + 1) = 399

Resolvemos la ecuación por el método de ensayo-error y obtenemos x = 20. Por lo tanto, el númerobuscado es 20.

5. a x b x c x) ; ) ; )= − = = −111

2

41

14

3 1 1 28

3 3 1 28

3 28

( )x x x x

x x x x

x x x x

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + = −− −

=

= =

+ = + = ⋅ =

+ = +

3 1

6 24

24

64

3 1 3 4 1 3 5 15

1 4

x

x

x

x

( ) ( )

11 5=

2 10 8

26

( )xx

+ −− =

x xx

51

1

425+ = − ⇒ =

1.ª PUERTA 2.ª PUERTA 3.ª PUERTA

Premio Multa Nada

Premio Nada Multa

Multa Premio Nada

Multa Nada Premio

Nada Multa Premio

Nada Premio Multa


209

3. E

cuac

ione

s co

n un

a in

cógn

ita

© grupo edebé

6.

Así, se cumple que:

Por lo tanto, Pablo tiene 7 años y Sergio, 17.

7. Si llamamos x al precio que tenían ayer los CD,0,8x es el precio de uno de ellos y 0,85x el del otrodespués de haberle aplicado el descuento. Comoentre los dos se ha pagado 33 euros, resulta laecuación 0,8x + 0,85x = 33. Resolvemos la ecua-ción y obtenemos x = 20. Por lo tanto, los discoscompactos valían 20 euros cada uno.

32

4 4 16⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − ⇒ =x

x x

Edad de Sergioel año pasado

Edad de Pabloel año próximo

xx

2

Edad de Sergiohace 5 años

Edad de Pablohace 3 años

x x+ − = −1 5 4x x

21 3

24− − = −


211

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

4. Ecuaciones con dos incógnitas.Sistemas

Actividad inicial

Sean x los camarotes cuádruples. Entonces habrán780 − x camarotes dobles.

Habrán 480 camarotes cuádruples y 300 dobles.


•

•

•

•

La igualdad no se cumple.

• Respuesta sugerida:

2x = −4 Multiplicamos por 2.

2x + 5 = 1 Sumamos 5 a cada miembro.

Dividimos cada miembro entre 2.

Actividades


En una granja hay gallinas y conejos. ¿Cuántosanimales de cada clase hay si en total suman 200 patas?Ecuación:

2. Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico:

3.

a

b)

4.

2 2 3 2 1x y y x+ = − ⇒ = −

yx= +3 4

2

2 4 4 2x y y x+ = ⇒ = −

2 4 200x y+ =

x + =5

2

1

2

3 2 3 3 4 3 12

9 12 12 12

21 24

2 − − − = ⋅ +

+ = +

=

( )

2 36

2( )x

x− = +

�Solucionario

Rectassecantes

Rectascoincidentes

Rectasparalelas

Y

X

1

–1–2–3–4–5

2345

–1 1 2 3 4 5 6 7–2–3–4–5–6–7

(–3, 5)

(–4, 1)

(–1, 0)

(2, 3)

(2, 1)

2. cuadranteo

1. cuadranteer

3. cuadranteer 4. cuadranteo

x y = 4 − 2x

0 4 (a)

1 2 (b)

2 0 (c)

3 −2 (d)

4 −4 (e)

x

−2 −1

−1 1/2

0 2

1 7/2

2 5

x y = 2x − 1

−2 −5

−1 −3

0 −1

1 1

2 3

yx= +3 4

2

3 2 12 1

3

12 1 1

31

1

2

x y xy

y x x

y x

− = − ⇒ =−

= − ⇒ =− −

⇒ = −

= ⇒ =

( )

221

21

30

22 2 1

31

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

⇒ =

= ⇒ =⋅ −

⇒ =

x

y x x

Y

X

1

–1–2–3–4

2345

–1 1 2 3 4 5–2–3

a

b

c

d

e

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

–1 1 2 3–2–3

Y

X

1

–1–2–3–4–5

234

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5

2 780 4 2520

1560 2 4 250

2 960 480

( )− + =

− + =

= ⇒ =

x x

x x

x x


212

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé


Escogemos tres puntos de la recta: (5, 5), (2, 3) y(−7, −3).

Comprobamos que son solución de la ecuación3y = 2x + 5.

3 · 5 = 2 · 5 + 5 ⇒ 15 = 153 · 3 = 2 · 2 + 5 ⇒ 9 = 93 · (−3) = 2 · (−7) + 5 ⇒ − 9 = − 9

6. Edad actual del hijo: x

Edad actual del padre: y

7.

Sustituimos las soluciones en el sistema deecuaciones:

Por lo tanto, (−7, −5) no es solución del sistema deecuaciones.

8. a)

1.ª ecuación

2.ª ecuación

Las dos rectas se cruzan en el punto (5, 3), porlo que x = 5, y = 3 es la solución al sistema.

Comprobación de la solución:

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

b)

1.ª ecuación

2.ª ecuación

Las ecuaciones se cortan en el punto (4, 1), porlo que x = 4, y = 1 es la solución al sistema.

Comprobación de la solución:

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

9. a)

1.ª ecuación

2.ª ecuación

2 0

3 7

2

7

3

x y

x y

y x

yx

− =+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

=

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

4 2 1 2 2 2− ⋅ = ⇒ =

2 4 3 1 11 11 11⋅ + ⋅ = ⇒ =

x y+ = ⇒ + ⋅ = ⇒ =2 11 5 2 3 11 11 11

2 3 1 2 5 3 3 1 1 1x y− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

2 3 1

2 11

2 1

311

2

x y

x y

yx

yx

− =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3 7 4 5 7

21 20 7 1 7

7 7 8 5 105

4

( ) ( )

( ) ( )

− − − =

− + = ⇒ − =

− + − =

− 99 40 105 89 105− = − ⇒ − = −

3 4 7

7 8 105

x y

x y

− =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

xy

xy

=

− =−

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

4

66

7

x 2 −1 5

1 −1 3yx= −2 1

3

yx

=−11

2

Y

X

1

–1–2

23456

–1 1 2 3 4 5 6–2–3

x 1 −2 4

3 5 1yx= −11 2

3

x 2 4 6

0 1 2yx= − 2

2

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

–1 1 2 3 4 5 6 7 8–2–3

x 1 2 0

y = 2x 2 4 0

2 3 11

2 2

11 2

32

2

x y

x y

yx

yx

− =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x 4 7 1

1 0 2yx

=−7

3

x 1 3 5

5 4 3


213

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

Las rectas se cruzan en (1, 2), por lo que x = 1, y = 2 es la solución del sistema.

— Comprobación de la solución:

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

b)

1.ª ecuación

2.ª ecuación

Las rectas se cruzan en (6, 0), solución del sis-tema.

— Comprobación de la solución:

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

— a y b no son equivalentes porque no tienenla misma solución.

10. a)

b)

11. Método por sustitución:

Método gráfico:

1.ª ecuación

2.ª ecuación

El punto de corte de las dos rectas es (3, 8). Obte-nemos el mismo resultado por los dos métodos.

12. a) y x

yx

xx

x x

y

= +

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

+ = − ⇒ = ⇒ =

= +

3

16 3

2

316 3

25 10 2

2 3 ⇒⇒ =y 5

2 3 7

2 22 2

2 2 2 3 7 3

2

y x

y xy x

x x x

y

− =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪= +

+ − = ⇒ =

=

( )

++ ⋅ ⇒ =2 3 8y

5 3

2 02

5 2 3 1

2

x y

x yy x

x x x

y

− = −

− + =

⎫⎬⎪

⎭⎪=

− = − ⇒ = −

= −

5 8 13

2 3 4

13 8

5

213 8

5

x y

x yx

y

y

− = −

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −− = − ⇒ = −

=+ −

⇒ = −

3 4 46

13 8 46

571

y y

x x( )

− ⋅ − ⋅ = − ⇒ − = −2 6 6 0 12 12 12

3 6 2 0 18 18 18⋅ + ⋅ = ⇒ =

3 2 18

2 6 12

18 3

212 2

6

x y

x y

yx

yx

+ =

− − = −

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪

1 3 2 7 7 7+ ⋅ = ⇒ =

2 1 2 0 0 0⋅ − = ⇒ =

Y

X

1

–1–2–3

23456789

–1 1 2 3 4 5 6 7 8–2–3–4–5–6–7

Y

X

1

–1–2–3

23456789

–1 1 2 3 4 5 6 7 8–2–3–4–5–6–7

x 0 2

9 6yx

=−18 3

2

x 0 −3

2 3yx= −12 2

6

x 1 −1

5 2yx= +7 3

2

x 1 −2

y = 2 + 2x 0 6

Y

X

1

–1–2–3

23456789

–1 1 2 3 4 5 6 7–2–3


214

4. E

cuac

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n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

b)

13. Método de igualación:

Método gráfico:

1.ª ecuación

2.ª ecuación

El punto de corte de las dos rectas es (5, 3), solu-ción del sistema.

14. Método de igualación:

Método de sustitución:

15. a)

b)

16. Método gráfico:

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Se cortan en el punto (0, 3), solución del sistema.

Método de reducción:

17. Sistema compatible determinado

3 6

2 4

x y

x y

+ =− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

2 2 6

3 4 12

4 4 12

3 4 12x y

x y

x y

x y+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − = −+ =

−− = ⇒ =

− − = −

+ =

= ⇒ =

x x

x y

x y

y y

0 0

6 6 18

6 8 24

2 6 3

x y

x y

x y

x yy y

− =− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− + = −− =

= ⇒ =

4 2

2 5 7

2 8 4

2 5 73 3 11

5 20 10

8 20 28

3 18 6

x y

x y

x x

+ =

− + = −

− = − ⇒ =

x y

x y

x y

x yy y

+ =+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− − = −+ =

= ⇒

4

2 4 10

2 2 8

2 4 102 2 ==

− − = −

+ =

− = − ⇒ =

1

4 4 16

2 4 10

2 6 3

x y

x y

x x

x y

y y y

x x

= −

− + = ⇒ =

= − ⇒ =

4

3 4 2 11 1

4 1 3

( )

x y

x y

x y

xy

y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

= −

=−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

− =

4

3 2 11

4

11 2

3

411−−

⇒ =

= − ⇒ =

2

31

4 1 3

yy

x x

xy

=+1 3

2

xy

x y

yy

y y

x

=+

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒+

= −

= ⇒ =

=

1 3

211 2

1 3

211 2

7 21 3

111 2 3 5− ⋅ ⇒ =x

yx

y x

xx

x x

y y

= +

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ + = −

= ⇒ =

= − ⇒

6 3

28

6 3

28

5 10 2

8 2 == 6

y −1 3

1 5xy

=+1 3

2

y 2 4

x = 11 + 2y 7 3

Y

X

1

–1–2–3

23456789

–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11–2–3

x 0 4

3 0yx= −12 3

4

x 0 2

y = 3 − x 3 1

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

4

5

6

–1 54321 6 7–2–3


215

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

Lo resolvemos por igualación:

— Sistema compatible indeterminado. Lo resol-vemos por reducción.

— Sistema incompatible. Lo resolvemos por re-ducción.

18. a)

Sistema compatible determinado.

b)

Sistema compatible determinado.

c)

Las dos rectas son paralelas. Por lo tanto, esun sistema incompatible.

d)

Se trata de un sistema incompatible.

19. Representamos por x el precio de los libros y pory el de los rotuladores.

Un libro vale 8 ∑ y un rotulador 50 céntimos.

20. Representamos por x la longitud de los ladosiguales y por y la longitud del lado desigual.

El triángulo tiene dos lados de 15 cm y uno de 20 cm.

21. Sea x la edad del hijo ahora, e y la edad del padreactualmente.

En la actualidad, el niño tiene 12 años, y el padre48. Así pues, dentro de tres años tendrán 15 y 51 años, respectivamente.


22. a) x + y = 8

b) 6x + 5y = 7

c) 2x + 2y = 60

d) x = y + 27

23.

xy

xy

x y

x y

x x

=

− =−

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒=

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

− =

4

66

7

4

7 36

7 4 366 12

4 48

⇒ =

= ⇒ =

x años

x y y años

.

.

2 50

52 5 50

3 45

15

x y

x yx x

x

x cm

+ =+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ + + =

=

= .

3 2 25

2 99 2

3 9 2 2 25

27 6

x y

x yx y

y y

y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪= −

− + =

−

( )

++ =

− = −

= ⇒ =

2 25

4 2

1

28

y

y

y x

2 6

2 2

x y

x y

+ =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

x y

x y

x y

x y

+ =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

+ =

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

2

3 3 6

2

2

2 3

3

2 3

3

3 6

x y

x y

x y

x y

x x

+ = −

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

+ = −

− = −

= − ⇒ = −22

2 3

2 2 6

3 3 1

x y

x y

y y

+ = −

− + =

= ⇒ =

2 2

3 88 3

2 8 3 2 2

8 3 2

x y

x yy x

x x x

y

− =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪= −

− + = ⇒ =

= − ⋅ ⇒⇒ =y 2

y x

y x

y x

y x

− =

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

− + = −

− = −

+ =

5 2

2 10 6

2 10 4

2 10 6

0 0 −−10

2 3

2 3

0 0 0

x y

x y

− =

− + = −

+ =

y x

y xx x

x

y y

= −= − +

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ − = − +

=

= − ⋅ ⇒ =

6 3

4 26 3 4 2

2

6 3 2 0

x

y = 1 − 3x 4 −5

2−1

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2

3

4

5

–1 4321–2–3–4


216

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé


Construimos una tabla de valores:

Comprobación:

•

•

•

Tres soluciones de la ecuación son x = −1, y = −1 ;x = 0, y = 1/2 ; x = 1, y = 2.

25. a) Falsa

b) Falsa

c) Cierto

d) Cierto

26. Sustituimos los valores de x e y en la ecuación:

27. a)

1.a ecuación:

2.a ecuación:

Las rectas se cortan en un punto. Es un sistemacompatible determinado.

b)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Son rectas paralelas. Es un sistema incompa-tible.

c)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación: es la misma recta que la primeraecuación.

Las dos rectas tienen todos los puntos en co-mún. Es un sistema compatible indeterminado.

d) x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

5

3 2 12

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

5

5

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

8

4

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

8

2

a a

b b

⋅ + ⋅ = ⇒ =

⋅ − ⋅ = ⇒ =

3 4 2 14 2

5 3 2 9 3

5 1 4

2 5 1 11

4 4

11 11

− =

⋅ + =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

=

=

⎫⎬⎪

⎭⎪

0 3 3

2 0 3 5

3 3

3 5

+ =

⋅ − =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

=

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

10 3 2 10 16 10+ ⋅ = ⇒ =

2 3 2 2 8 2⋅ + = ⇒ =

3 1 2 2 1 1 1⋅ − ⋅ = − ⇒ − = −

3 0 21

21 1 1⋅ − ⋅

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − ⇒ − = −

3 1 2 1 1 1 1( ) ( )− − − = − ⇒ − = −

3 2 3 53 1

2x y y

x− − = ⇒ = +( )

x −1 0 1

−1 2yx

=+3 1

2

1

2

x −2 2

y = 8 − x 10 6

x −1 2

y = x − 2 −3 0

Y

X

1

–1–2–3

23456789

10

–1 54321 6 7 8–2–3–4–5–6–7–8

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

6

7

–1 54321 6 7 8–2

x −1 2

y = 8 − x 9 6

x −1 2

y = 4 − x 5 2

x 0 2

y = 5 − x 5 3

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

6

7

8

9

–1 54321 6 7 8 9–2–3


217

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Las rectas se cortan en un punto; por lo tanto, setrata de un sistema compatible determinado.

28. a) Compatible determinado

b) Compatible indeterminado

c) Incompatible

29. a)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Solución del sistema: x =1, y = −1

b)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Solución del sistema: (7, 2)

c)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:


d) yx

yx

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

4

22 1

3

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

2 5

2

yx

y x

= +

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1

416 2

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪2

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

3

5

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

3

2 2 6

x y

x y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

3

1

x

y = 5 − x 4 2

31

x 2 4

3 0yx

=−12 3

2

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

6

7

–1 54321 6 7–2

x

y = −x 1 −1

1−1

x

y = x − 2 −4 −1

1−2

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

–1 4321–2–3

x 3 7

1 2yx

=+ 1

4

x

y = 16 − 2x 12 2

72

Y

X

1

–1

23456789

101112

–1 54321 6 7 8–2

x

y = 2x − 5 −9 1

3−2

x

y = x − 2 −2 0

20

Y

X

1

–1–2–3–4–5–6–7–8–9

23

–1 54321 6–2–3


yx

=−4

2

218

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Solución del sistema (2, 1)

30. a)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

Sistema incompatible

b)

1.ª ecuación:

La segunda ecuación es la misma recta.

Es un sistema compatible indeterminado.

c)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

d)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

y x

yx

= − +

= −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 5

3 1

5

y x

x y

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

3 12

14 3

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

4

4

yx

yx

= −

= +

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

3 26

23 26

2

x 0 2

2 1

x 5 −1

3 −1yx= −2 1

3

x 0 4

−13 −7yx

=−3 26

2

x −2 2

10 16yx= +3 26

2

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

4

–1 54321 6–2–3

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

2

4

6

8

10

12

14

16

–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20–4–6–8–10–12–14–16–18

Y

X

x

y = 4 − x 1 −3

42

Y

X

1

–1

–2

2

3

4

5

6

–1 54321 6 7 8–2–3

x

y = 3x − 12 −3 3

53

x 2 5

4 3yx= −14

3

x 2 −3

1 −2yx

=−3 1

5

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

2

3

4

5

6

–1 54321 6 7 8–2

x

y = − 2x + 5 1 −3

42


219

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

31. a) x = −3 y = −7

b) x = 6 y = 1

c) x = −1 y = −2

d) x = 4 y = 9

32. a)

b) x = 5 y = 3

c) x = 4 y = 3

d) x = 1 y = 4

33. a) x = 2 y = 3

b) x = 3 y = −4

c) x = 9 y = 5

d) x = −2 y = 10

34. Representamos por x el número de adultos y pory el número de niños que hay.

Hay 55 adultos y 100 niños.

35. Sean x las habitaciones de 6 camas e y las de 8 camas.

Hay 5 habitaciones de 6 camas y 8 de 8 camas.

36. Sean x la cantidad de cajas e y las bolas quetengo.

Hay 3 cajas y 17 bolas.

37. Sean x las unidades e y las decenas.

El número es el 326.

38. Sea x los puntos que tiene el participante que haobtenido menos puntos e y los puntos del otroconcursante.

Un concursante ha obtenido 6 puntos y el otro, 12 puntos.

39. Representamos por x el número de finalistas ypor y la cantidad de dinero.

Se dan 550 euros y hay dos finalistas.

40. Representamos por x el precio establecido porJuan y por y el precio establecido por Óscar.

Juan vende las camisas a 70 ∑ y Óscar a 65 ∑.

41.

42. a) a = 2

b) a = 4

c) a = 5

43.

La solución del sistema es x = 3 e y = 6.

44. Sean x los puntos obtenidos en la primera prue-ba; y los puntos obtenidos en la segunda prueba,y z los puntos obtenidos en la tercera prueba.

x y

x y z

z x

x y

x y

+=

+ +=

= +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⇒

+=

+

250

349

2

250

++ +=

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x 2

349

x y

x y

x y

x y

+ =+ ==

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ = =9

2 2 18

2

3 6

35 35 30 40 40 30

5

70

x y

x y

x euros y

− ⋅ = − ⋅

= +

⎫⎬⎪

⎭⎪

=

( ) ( )

== 65 euros

250 50

270 10

2 550

x y

x y

x finalistas y eu

= −

= +

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = rros

2

3 3

6 12

x y

x y

x y

=

+ = −

⎫⎬⎪

⎭⎪

= =

x y

x y

x y

+ =

=

⎫⎬⎪

⎭⎪

= =

8

3

6 2

5 2

6 1

3 17

x y

x y

x cajas y bolas

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

= =

x y

x y

x y

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

= =

12

6 8 86

5 7

x y

x y

x adultos y niño

+ =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪

= =

600

8 5 4500

500 100 ss

x y= =56

11

6

11

Y

X

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

–1 54321–2–3–4–5

x −4 −1 2 5

y 4 2 0 −2


220

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

x = 45 puntos

y = 55 puntos

z = 47 puntos

Ha obtenido 45 puntos en la primera prueba, 55puntos en la segunda y 47 en la tercera.

45. Sean x el radio grande e y el radio pequeño.

La longitud de la corona pequeña es 10 π cm y lade la corona grande es 20 π cm.


El frasco de colonia

El único frasco que puede contener amoniaco es el 3.Por lo tanto, el 5 tiene acetona. La única posibilidadde que un frasco tenga colonia es el 2.

En la diana

Llamemos x, y, z, respectivamente, al número de dar-dos que impactan en el círculo central, el círculo me-dio y el círculo externo.

Así, obtenemos el siguiente sistema:

Si despejamos la z de la primera ecuación y la sustitui-mos en la segunda, obtenemos:

4x + 2y = 50

El máximo valor para x se obtiene cuando y vale el me-nor valor posible. El menor valor de y es 0 con lo queobtenemos x = 12,5. Como el número de tiradas nopuede ser un número fraccionario, aproximamos almayor entero por debajo de 12,5, obteniendo el valorde 12. Por lo tanto, 12 es el máximo número de impac-tos en el círculo central.

Se puede comprobar que con x = 12, los valores de yy z que cumplen las condiciones del enunciado son 1 y 7, respectivamente.

Rombo numérico

Hay infinitas soluciones. Para un valor cualquiera de x,y = 2 − x; z = 6 − x y t = x − 1.

Los dos albañiles

Sea x las horas que tarda el segundo albañil en reali-zar él solo la obra. El primer albañil en una hora realiza1/5 de la obra; por lo tanto, en 3 horas efectuará 3/5.Análogamente, el segundo albañil realiza 1/x de laobra, así en 3 horas realizará 3/x. Por ello, tenemos:

Evaluación


Comprobación:


3. a)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:


b) y x

yx

= −

= +

⎫

⎬⎪

⎭⎪

2

6

3

y x

y x

= −

= −

⎫⎬⎪

⎭⎪

5 2

2 3

ax by c a b c+ = ⇒ ⋅ −( ) + ⋅ =2 3

3 1 2 1 3 3 8 5

3 0 21

23 1 6

⋅ − − ⋅ − − = − + =

⋅ − ⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − +

( ) ( )

==

⋅ − ⋅ − = + =

5

3 1 2 2 3 3 2 5( )

3

5

31 7 5+ = ⇒ =

xx horas,

x y

x yx cm y cm

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪= =

15

2 10 210 5

π π π

x −1 0

yx= +3 1

2−1 1/2

1

2

Soluciones Comprobación2 1x y+ = − − −4 3 1+ =x y+ =3 7 −2 9 7+ =

2 5 11x y+ = −4 15 11+ =

x

y = 5 − 2x 9 1

2−2

x

y = 2x − 3 −3 −7

−20

X–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 6 7 8 9–1

123456789

–2–3–4–5–6–7–8

Y

x y z

x y z

+ + =

+ + =

⎫⎬⎪

⎭⎪

20

5 3 2 70


yx

=−20 2

5

221

4. E

cuac

ione

s co

n do

s in

cógn

itas.

Sis

tem

as

© grupo edebé

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:


4. a)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

b)

1.ª ecuación:

2.ª ecuación:

5.

6. Representamos por x la altura del rectángulogrande y por y la altura del rectángulo pequeño:

Los rectángulos tendrán una altura de 6 y 2 me-tros respectivamente.

7. Sea x el número mayor, e y el menor.

Un número es el 50 y el otro el 20.

x y

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = =

70

2 1050 20

5 3 24

46 2

x y

x yx m y m

− =− =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = =

3 2

24 6

x y

y xx y

=− =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = =

x y

y xx y

+ =

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = = −

1

137 6

2 5 20

1010 0

x y

x yx y

+ =

− =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = =

x

y = x − 2 −2 1

30

x 0 −3

2 1yx

=+ 6

3

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

4

–1 54321 6 7–2–3–4

x

y = x − 10 −2 0

108

x 0 5

4 2

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

4

5

6

–1 54321 6 7 8 9 10 11–2

x

y = 1 − x 1 −1

20

x

y = x − 13 −15 −11

2−2

Y

X

1

–1–2–3–4–5–6–7–8–9

–10–11–12–13–14–15

–1 54321 6 7 8 9 10 11 12 13–2–3


223

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

5. Proporcionalidad aritmética

Actividad inicial

Sería conveniente utilizar en subida un plato pequeño(pocos dientes) con un piñón grande.

En una bajada fuerte no es necesario pedalear, pero situviéramos que elegir sería conveniente escoger unarazón de transmisión grande (plato grande y piñón pe-queño).


•

No son equivalentes.

•

• a) 251,6 ; b) 71256

• a) Más; b) menos

• Debe pagar 120,32 ∑.

Actividades

1.

— Ningún par de las razones anteriores formauna proporción.

2.

3. La igualdad a) es una proporción, de la que pode-mos deducir las siguientes proporciones, entreotras:

4.

5. Tercero proporcional → x = 3;

tercero proporcional → x = 3 125;

medio proporcional → x = 12;

cuarto proporcional → x = 5

6. a) x = 8; b) x = 84; c) x = 192; d) x = 120

7. a) 4; b) 2; c) 6; d) 4


Son dependientes:

• Las horas de estudio diario y las calificaciones.

• La longitud de un camino y el tiempo que se tar-da en recorrerlo.

• El precio de un objeto en euros y en dólares.

No son dependientes:

• La altura de una persona y su sueldo.

• La presión atmosférica y el número de manchasde un leopardo.

• El número de cigüeñas observadas y el númerode recién nacidos en un período de tiempo.

e

h

g

f

f

h

g

e

e

g

h

f

f

g

h

e

g

f

e

h

g

e

f

h

h

f

e

g

h

= = = =

= = =

; ; ; ;

; ; ;ee

f

g=

100

2

50

1

1

50

2

100

100

50

2

1

= =

=

;

y y

y y

y y

6

8

3

46 4 8 3

3

4

6

83 8 4 6

12

9

8

612 6 9 8

8

6

=

=

=

==

=

=

12

98 9 6 12

12

9

4

312 3 9 4

4

3

12

94 9 3 12

y y

y y

y y

Proporción Extremos Medios

y y

y

8

6

4

38 3 6 4

4

3

8

64 6

=

= 33 8

8

4

6

38 3 4 6

6

3

8

46 4 3 8

3

6

4

83 8 6 4

4

8

3

64

y

y y

y y

y y

=

=

=

= yy y6 8 3

a

b

c

) ,

) ,

) ,

40

60

2

30 6

20

60

1

30 3

20

40

1

20 5

= =

= =

= =

�

�

b personas)3

9327 109⋅ =

a kg)2

51000 400⋅ =

4

90 4

5

140 357= =, ; ,

�

�Solucionario


224

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

9. No son directamente proporcionales, ya que

no es equivalente a .

10. a) Verdadera; b) falsa.

11. Son magnitudes dependientes los pares a), b), d),e) y f).

De éstos, b) y d) son directamente proporciona-les.

12.


Son directamente proporcionales:

• La longitud de una circunferencia y su radio,siendo 2 la constante de proporcionalidad.

• El espacio recorrido por un móvil a velocidadconstante y el tiempo que ha tardado, siendo lavelocidad la constante de proporcionalidad.

• El precio de un artículo en euros y el precio endólares, siendo la constante de proporcionali-dad el valor de un dólar en euros.

Podemos representar la relación entre la longitudde una circunferencia y su radio.

14.

Se venderán 1 350 bocadillos.

15.

Tardará 8 h en recorrer 656 km.

Recorrerá 246 km en 3 h.

16.

En 72 días consumirá 3 744 l.

17. De forma directamente proporcional:

Así, el primer socio ganará 1 200 euros y el segun-do, 600 euros.

18. De manera directamente proporcional a las canti-dades apartadas:

El primer hermano recibirá 1 190 euros; el segun-do, 595 euros y el tercero, 1 428 euros.

— Al término del año, los hermanos tendrán16 190 euros, 8 095 euros y 19 428 euros, res-pectivamente.

19. La constante de proporcionalidad es:

k = y · x = 32 400 000

La representación gráfica es:

20. 3 � 60 = 2,25 � x; x = 80

Habría de ir a 80 km/h.

21. 3 � 8 = 4 � x; x = 6

Necesitarán 6 h.

x y z

x

15000 7500 18000

3213

40500

3213 15000

40

= = =

=⋅5500

1190

3213 7500

40500595

3213 18000

40

=

=⋅

=

=⋅

y

z5500

1428=

x y

x

y

6000 3000

1800

9000

1800 6000

90001200

1

= =

=⋅

=

=8800 3000

9000600

⋅=

1560

30 72

1560 72

303744= =

⋅=x

x;

410

5 3

410 3

5246= = ⋅ =x

x;

410

5

656 5 656

4108= = ⋅ =

xx;

450

15 45

450 45

151350= = ⋅ =x

x;

3 72 192192

824 7

168

724, ; , ; ,= =

85

40

60

25

Longitud

54321 6 Radio

600

1200

1800

2400

3000

6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000

Subvención(∑)

Sueldo (∑)


225

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

22.

Cada región debe recibir 50 millones de euros, 25 millones de euros y 20 millones de euros, res-pectivamente.

23. a) 5 800; b) 74 180; c) 500; d) 12 700

24. a) 22,22 %; b) 34,375 %;

c) 41,67 %; d) 83,33 %;

e) 60 %

25. a) 500; b) 80

26. Representamos por x el precio de un bocadilloantes del aumento.

Como el aumento es del 5 %, 100 ∑ se converti-rán en 105 ∑.

Su precio era de 2 euros.

27.

Habría pagado 35,1 ∑.

El segundo descuento era del 25 % del 90 %:

0,25 � 0,90 = 0,225

Como que inicialmente se había hecho un 10 %:

0,225 + 0,1 = 0,325

En total, el descuento fue del 32,5 %.

28. Llamamos x al precio de cinco paquetes de foliossin aplicar el IVA.

Calculamos el precio sin IVA de un paquete de folios.

15 : 3 = 3

Con estos datos ya podemos completar la tabla:

29.

1 440 ∑ de intereses en 6 años y 160 ∑ en 8 me-ses.

30. Calculamos el interés que producirá el capital endos años.

I = 7300 · 0,04 ·2 = 584

Los intereses ascienden a 584 ∑, por lo quetranscuridos dos años tendrán 7884 ∑.

31.

El porcentaje de interés era del 6 %.

32.

Un capital de 660 ∑.

33.

Había colocado 1 800 ∑.

34. I = 18 000 � 0,08 � 3 = 4 320

Le descontarán 4 320 ∑ y, por lo tanto, tendrá quepagar 13 680 ∑.

35.

Tendrá que pagar 456 ∑.

36.

Nos ahorramos 4,5 ∑ y, por lo tanto, tendremosque pagar 445,5 ∑.

I = ⋅ ⋅ =450 0 1230

3604 5, ,

I = ⋅ ⋅ =

− =

480 0 16

1224

480 24 456

,

xx

100

1903 5

105 75

1903 5 100

105 751800= =

⋅=

,

,;

,

,

c =

⋅ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=8 8

0 062

12

20

360

660,

,

i =

⋅ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

=26 25

210 21

12

0 06,

,

I

I

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

3000 0 08 6 1440

3000 0 088

12160

,

,

xx

100

17 4

116

100 17 4

11615= ⇒ = ⋅ =, ,

90

100 52

52 90

10046 8

75

100 46 8

46 8

= = ⋅ =

= =

xx

xx

; ,

,;

, ⋅⋅ =75

10035 1,

100

105 2 10

100 2 10

1052= = ⋅ =x

x,

;,

∑

x y z

1

0 01

1

0 02

1

0 025

95

1

0 01

1

0 02

1

0 025

, , ,

, , ,

= = =

=+ +

xx y z

x

y

100 50 40

95

190

95 100

19050

95 50

190

= = =

= ⋅ =

= ⋅ ==

= ⋅ =

25

95 40

19020z

Númerode

paquetes

Preciosin IVA

(∑)

Preciocon IVA

(∑)

1 3 3,48

2 6 6,96

3 9 10,44

4 12 13,92

5 15 17,40


226

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

37. ¿Cuánto costará 1,5 l de agua a 24 céntimos deeuro el litro?

1,5 � 24 = 36

Costará 36 céntimos de euro.

38. ¿Qué cantidad sobre 100 representa lo mismoque 80 000 sobre 400 000?

La cantidad buscada es el 20 %.

39. Calculamos el 9 % de 390 euros en un período de45 días y lo restamos de 390:

Tendremos que pagar 385,61 euros.

En resumen

Proporción; directa; inversamente.


40.

Los números que corresponden a a, b, c y d son6, 48, 54 y 432, respectivamente.

41. Llamamos x al número de chicos.

Número de chicas: x + 3

En la clase hay 12 chicos y 15 chicas.

42.

43. Representamos por x el número de bolas rojas ypor y el número de bolas blancas.

En la caja hay 20 bolas rojas y 10 bolas blancas.

44. Representamos por x, y y z las cantidades res-pectivas de huevos, azúcar y harina.

Son necesarios 4 huevos, 200 g de azúcar y 300 g de harina.

45. a) Llamamos x al precio de dos entradas.

El precio de dos entradas es 17 ∑.

b) Llamamos y al número de entradas.

Hemos comprado 6 entradas.

46. Representamos por x el número de rosales.

Son necesarios 20 rosales.

47. a) Se trata de dos magnitudes inversamente pro-porcionales; es decir, entre ellas hay una proporcionalidad inversa.

Representamos por x los días que tardarían.

Tardarían 9 días.

b) Se trata de dos magnitudes inversamente pro-porcionales; es decir, entre ellas hay una proporcionalidad inversa.

3 12 43 12

49⋅ = ⇒ = ⋅ =x x

1 2

0 8

30 0 8 30

1 220

,

,

,

,= ⇒ = ⋅ =

xx

3 25 50

51

3 51

25 506

yy= ⇒ = ⋅ =,

,

3

2

25 50 2 25 50

317= ⇒ = ⋅ =, ,

xx

3

6 8

3 8

64

150

6 8

150 8

6200

225

6 8

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒

xx

yy

zz == ⋅ =225 8

6300

x y

x

y

y y

y y

=++

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

+ ⋅ = + ⋅

+ = +

2

5

5

5

3

2 5 3 5 5

6 15 5

( ) ( )

225

6 5 25 15

10

2 2 10 20

y y

y

x y

− = −

=

= = ⋅ =

x

xx x

x x

x x x

x

+= ⇒ ⋅ = + ⋅

= +

− = ⇒ =

+

3

4

55 3 4

5 4 12

5 4 12 12

3

( )

== + =12 3 15

30

100 20

30 20

1006

40

100 120

40 120

10

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅

aa

bb

0048

6 48 54

6

48

54 48 54

6432

=

= + = + =

= ⇒ = ⋅ =

c a b

dd

0 09 39045

3604 3875 4 39

390 4 39 385 61

, , ,

, ,

⋅ ⋅ =

− =

≈

XX

100

80000

40000020= =;

8 5 2 4

8389

1 1 2 6

05

0

8

3 65

4

3

2

11 2 3 4 5

1


227

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

Representamos por x el número de vasos.

Se podrían llenar 5 vasos.

c) Se trata de dos magnitudes directamente pro-porcionales; es decir, entre ellas hay una proporcionalidad directa.

Representamos por x el importe que pagaría-mos.

Pagaríamos 20,4 ∑.

48. Representamos por x el número de horas que hatrabajado la persona que ha recibido 2400 ∑ y re-presentamos por y el número de horas que hatrabajado la persona que ha recibido 3000 ∑.

La persona que ha recibido 2400 ∑ ha trabajado120 horas y la que ha recibido 3000 ∑ ha trabaja-do 150 horas.

49. Se trata de dos magnitudes inversamente pro-porcionales.

El valor de x es 45 km/h, el de y es 4,5 h y el de z es 2,5 h.

50. Los beneficios se deben repartir en tres importesx, y y z que sean proporcionales a 2000, 3000 y5000, respectivamente.

Sumamos los beneficios recibidos por cada unode los socios.

Entre los tres socios se han repartido 2000 ∑.

51. Si el precio fuese proporcional al número de ca-ballos:

Por el primero se pagaría 405,6 euros y por el se-gundo 608,4.

— Si se estableciese en proporción inversa a lashoras de funcionamiento:

Así, por el primero se pagarían 702 euros y porel segundo 312.

52. 42 � 6,65 = 35 � x; x = 7,98

Cada cual tendrá que pagar 7,98 euros. La cons-tante de proporcionalidad inversa es 279,3 euros,que es el precio del autocar.

53.

Les corresponde 7 200, 7 500 y 9 300 euros.

54. 10 % de 10000 = 1000

15 % de 10000 = 1500

x y z

x

y

24 25 31

24000

80

24000 24

807200

24000

= = =

=⋅

=

=⋅⋅

=

=⋅

=

25

807500

24000 31

809300z

x y

x

1

2 400

1

5400

1014

13

21600

1684 800

1684800

= = =

= : 22400 702

1684800 5400 312

=

= =y :

x y

x

y

4 6

1014

10

1014 4

10405 6

1014 6

10608

= =

=⋅

=

=⋅

=

,

,44

x y z+ + = + + =400 600 1000 2000

400000

1000400

2

x

y x

= =

= + 000 400 200 600

3000 5000

600

3000 5000

6

= + =

= ⇒ =

=

y z z

z000 5000

30001000

⋅ =

x y z

y x

x x

x

2000 3000 5000

200

2000

200

3000

30

= =

= +

= +

⋅ 000 2000 200

3000 2000 400000

3000 200

= ⋅ +

= +

−

( )x

x x

x 00 400000

1000 400000

x

x

=

=

x x

y y

⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

6 90 390 3

645

60 90 390 3

604 5

10

,

88 90 390 3

1082 5⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ =z z ,

80

1600 2400

80 2400

1600120

80

1600 3000

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒

xx

yyy = ⋅ =80 3000

1600150

42 5 2 5

1 2

42 5 1 2

2 520 4

, ,

,

, ,

,,

xx= ⇒ = ⋅ =

1

425

4 25 204 25

205

I cl

x x

=

⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ =


228

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

Llamamos x a la cantidad de dinero que aportó elamigo que ha recibido 1000 ∑ de beneficio y lla-mamos y a la cantidad de dinero que aportó elamigo que ha recibido 1500 ∑.

El amigo que ha recibido 1000 ∑ de beneficioaportó 4000 ∑ y el que ha recibido 1500 ∑ aportó6000 ∑.

55. Hallamos el porcentaje de descuento que se haaplicado a cada una de las bombillas.

Bombilla grande:

El descuento que se ha aplicado a la bombillagrande es el 15 %.

Bombilla pequeña:

El descuento que se ha aplicado a la bombilla pe-queña es el 17 %.

La bombilla pequeña tiene el precio más reba-jado.

57.

El almuerzo sin IVA cuesta 72 ∑.

58. Llamamos x al precio sin descuento. Como eldescuento es del 12 %, si el precio original fuera100 ∑, sólo pagaríamos 88 ∑. Así tenemos:

El precio sin descuento era de 47,25 ∑.

59. Llamamos x al precio del objeto sin IVA.

El precio sin IVA era 50 ∑.

Llamamos y al precio del objeto si se le aplica un7 % de IVA.

Deberíamos pagar 53,50 ∑.

60. 48 % de 635 100 = 48 � 635 100 : 100 = 304 848

Obtuvo 304 848 votos.

61. a) Representamos por x y por y los porcentajesde aprobados de los grupos 2.º ESO A y 2.º ESO B, respectivamente.

Número de alumnos del grupo 2.º ESO A: 23 + 9 = 32

Número de alumnos del grupo 2.º ESO B: 21 + 7 = 28

El porcentaje de aprobados del grupo 2.º ESO A es 71,88 % y el del grupo 2.º ESO Bes 75 %.

El grupo 2.º ESO B ha obtenido mejor resulta-do que el grupo 2.º ESO A.

b) Llamamos z al número de aprobados que de-bería tener el grupo 2.º ESO A.

Debería aprobar 1 alumno.

62. Representamos por x el interés que nos han apli-cado.

El banco ha aplicado un 3,75 % de interés.

63. Despejamos el tiempo de la fórmula del interéssimple

Estará depositado durante un año y cuatro me-ses.

64. 8 % de 8 975 = 0,08 � 8 975 = 718

8 975 − 718 = 8 257

Pagaremos 8 257 euros.

nI

C i=

⋅=

⋅=360

4500 0 061 3

,,�

900

33 75

100 100 33 75

9003 75

,

,,= ⇒ =

⋅=

xx

zz

32

21

28

32 21

2824

24 23 1

= ⇒ = ⋅ =

− =

yy

100

21

28

100 21

2875= ⇒ = ⋅ =

xx

100

23

32

100 23

3271 88= ⇒ = ⋅ = ,

107

100 50

107 50

10053 5= ⇒ = ⋅ =

yy ,

xx

100

58

116

100 58

11650= ⇒ = ⋅ =

xx

100

41 58

88

100 41 58

8847 25= =

⋅=,

;,

,

xx

100

77 04

107

100 77 04

10772= = ⋅ =,

;,

5 4 15 0 85

100

0 85

5

100 0 85

517

− =

= ⇒ = ⋅ =

, ,

, ,xx

6 5 1 0 9

100

0 9

6

100 0 9

615

− =

= ⇒ = ⋅ =

, ,

, ,xx

1000 1500

1000 1500 2500

100000 25

1000

x y

x y

=

++

= =

;

,

xxx

yy

= ⇒ = =

= ⇒ =

0 251000

0 254000

15000 25

1500

0 2

,,

,, 55

6000=


229

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

65.

Pagaremos 536,4 euros.

66. 40 % de 120 000 = 48 000

Han de invertir 19 200 euros y 28 800 euros.

67.

Le descuentan 3,62 euros y, por lo tanto, debepagar 478,38 euros.

69. La proporción áurea es la razón entre la diagonalde un pentágono regular y uno cualquiera de suslados. Su descubridor fue Fidias.

70. Por orden, de menor a mayor error: cronómetro,reloj de pulsera, reloj de péndulo y reloj de bol-sillo.

71. Representamos por a, b, c, d, la cantidad que re-cibe cada agricultor y aplicamos la fórmula del re-parto inversamente proporcional.

Cada agricultor recibirá 8640 ∑, 4320 ∑, 2880 ∑ y2160 ∑, respectivamente.

72. 0,85 � 48 = 40,8

0,9 � 46 = 41,4

El vestido me costará 40,8 euros en la primeratienda y 41,4 euros en la segunda. Así, me saldrámás económica la compra en la primera tienda yme ahorraré 60 céntimos de euro.

73. I = 30 000 � 0,095 � 2 = 5 700

15 % de 8000 = 0,15 � 8 000 = 1 200

I = 30 000 � 0,06 � 2 = 3 600

La cuenta que tienen les proporcionaría 5 700 eu-ros de beneficios en dos años. La cuenta vivien-da les proporcionaría unos intereses de 3 600 eu-ros y un descuento de 1 200 euros y, por lo tanto,un beneficio de 4 800 euros. La primera cuentales da más beneficios.

74. Calculamos el interés en un año.

I = 1000 · 0,08 · 1 = 80

1000 · 0,25 = 250

1000 + 80 – 250 = 830

Los intereses ascienden a 80 millones de dólares.El país deudor ha de pagar 830 millones.


El videoclub

Cada DVD vale 4 ∑ pero si compramos la tarjeta de10 ∑, nos descuentan un 15 %, por lo que nos cues-ta:

Sea x el número de DVD que hay que alquilar tal quenos cueste igual con o sin tarjeta. Se tiene:

4 x = 10 + 3,4 x ; por tanto, x = 16,67.

El menor entero superior a este valor es 17, que es lasolución buscada.

415

1004 3 40− ⋅ = , ∑

1

c

118000

18000

25

7200018000

18000

25

7200028

= ⇒

= =a : 880

1

24000

18000

25

72000

18000

24000

25

7200

d

a

= ⇒

= :00

2160=

a b c d

1

6000

1

12000

1

18000

1

24000

18000

1

6000

= = = =

=+ 11

12000

1

18000

1

24000

18000

25

72000

1

6000

1

+ +=

=

=a 88000

25

72000

18000

6000

25

720008640

1

1200

⇒

= =a

b

:

00

18000

25

72000

18000

12000

25

720004320

= ⇒

= =b :

I = ⋅ ⋅ =482 0 0930

3603 615 3 62, , ,≈

x y

x

y

8 12

48000

20

48000 8

2019200

48000 12

20

= =

=⋅

=

=⋅

== 28800

I = ⋅ ⋅ =

− =

540 0 0830

3603 6

540 3 6 536 4

, ,

, ,


230

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

El fregadero

El primer grifo llena el fregadero en 12 minutos. Portanto, su ritmo o velocidad es de:

El segundo grifo llena el fregadero en 8 minutos. Su

velocidad es de:

El tercer grifo llena el fregadero en 24 minutos. Su ve-

locidad es de

Llamemos t al tiempo que tardan los tres grifos en lle-nar el fregadero simultáneamente. Se cumple que:

Los pintores

La relación entre metros pintados y tiempo tardado esdirectamente proporcional, mientras que la relaciónentre número de pintores y tiempo tardado es inversa-mente proporcional.

Busquemos primero los metros de valla pintados porpintor y minuto:

Por tanto, se tiene:

Rebajas y «contrarrebajas»

Llamemos x al precio inicial de un producto cualquie-ra. El primer encargado cambia lo que marca la eti-queta al nuevo valor:

Llamemos y a este nuevo precio: y = 0,85 x

El segundo encargado cambia el valor de y por el si-guiente:

Recordando la relación entre x e y, el nuevo preciovale:

Es decir, los productos quedan más baratos que en lasituación inicial.

Las vacas y el prado

Llamemos x a la fracción de prado que una vaca secome por día. Y llamemos y a la fracción de prado quese renueva cada día porque la hierba va creciendo.Sea 1 la hierba total del prado en la situación inicial.Con los datos del enunciado, se tiene:

Resolviendo el sistema, se obtiene que cada vacacome al día x = 1/1600 de la hierba inicial y que la hier-ba crece cada día una fracción igual a y = 1/480 de lahierba inicial.

Si la hierba del prado se tiene que acabar en 24 días,se tiene:

Es decir, se necesitan 70 vacas.

Evaluación

1. a) x = 84; b) x = 216; c) x = 20

2. Sí, son directamente proporcionales, y la constan-te de proporcionalidad es:

3.

La autopista medirá 22 cm.

4.

Tardará 1 min.

5.

El primer clasificado ganará 18 000 ∑; el segundo,12 000 ∑, y el tercero, 6 000 ∑.

6.x y z

1

12

1

15

1

18

9990

37

180

48600= = = =

x y z

x

y

3 2 1

360000

66000

6000 3 18000

6000 2

= = = =

= ⋅ =

= ⋅ ==

= ⋅ =

12000

6000 1 6000z

150

6

25 6 25

1501= = ⋅ =

xx;

50

5

220 5 220

5022= = ⋅ =

xx;

18000

750

24000

100024= =

n n⋅ = + → =241

16001 24

1

48070

20 96 1 9630 60 1 60

⋅ = +⋅ = +

x yx y

1 15 1 15 0 85 0 9775, , , ,y x x x= ⋅ = <

y y y+ ⋅ =15

1001 15,

x x x− ⋅ =15

1000 85,

16

5

1

0 4

8m

p ores m

p or

int,

int min

min⋅

⋅

=

14

7 50 4

m

p ores

m

p orint min,

int min⋅=

⋅

tfregadero

fregadero

t

⋅ + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⋅

1

12

1

8

1

241

min

66

241 4= → =t min

1

24fregadero/min

1

8fregadero/min

1

12

1

12

fregadero

utosfregadero

min/min=


231

5. P

ropo

rcio

nalid

ad a

ritm

étic

a

© grupo edebé

El primer clasificado ganará 4 050 ∑; el segundo,3 240 ∑, y el tercero, 2 700 ∑.

7.

Un capital de 54 900 ∑.

Tardará 4 meses

8.

Le aplicarán un descuento de 10,85 euros y, por lotanto, tendrá que pagar 712,15 euros.

I = ⋅ ⋅ =723 0 063

1210 845 10 85, , ,≈

t en años

t

=⋅

=

=

1418 25

0 0775 549000 3

1418 25

,

,, ( )

,

�

00 0775 5490012 4

,( )

⋅⋅ = en meses

c =⋅

=945 5

0 077580

360

54900,

,

x1

1248600 4= ⋅ = 0050

1

1548600 3240

1

1848600 2700

y

z

= ⋅ =

= ⋅ =


233

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé

6. Proporcionalidad geométrica

Actividad inicial

La segunda casa está a 2,4 cm de la primera, la terce-ra a 4,2 cm y la última a 6 cm.


•

•

• cinco

• a) paralelas

b) secantes

c) coincidentes

Actividades1. Están en proporción los segmentos d y e, y

los segmentos b y d.

2.

3.

4.

Así, x = 7,5 cm.

Así, x = 1,875 cm; y = 2,343 75 cm.

5. No son paralelas porque los segmentos definidosen una no son proporcionales a los correspon-dientes determinados en la otra.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. Sea x la longitud del segmento producto. Tenemos:

xx

x cm= ⋅ ⇒ = ⇒ =2 61

2

612

22

141

8

14

15

62

3

6= + − = − −;

bx

x

y

xy

),

,;

, ,,

,;

,

2 5

2 1 5

2 5 1 5

21 875

2 5

2

2 5 1

= = ⋅ =

= = ⋅ ,,,

875

22 343 75=

ax

x) ; ,4

6

5 6 5

47 5= = ⋅ =

1

10

2

3

c )2

7

4

14

6

21

8

28= = =

b )3

10

6

20

9

30

12

40= = =

a )1

2

2

4

3

6

4

8= = =

a b c) ) )12

7

1

2

21

41

xcm

kmkm cm

ycm

kmkm cm

= ⋅ =

= ⋅ =

6

104 2 4

6

107 4 2

,

,

�Solucionario

A

C D G H K L

B E F I J

9 – xx

4 cm

7 cm

b

c

b

c

a

d

a

–3 –2 2223–15 314246 5

–1 – 0 1 2

b

a

c

x

b

a

b

x

2 25

1 5

2 1

1 35

,

,

,

,≠


234

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé


Los triángulos son ABC, ADE y AFG.


Están en posición de Tales los triángulos ABC yADF, ABC y DBE, ABC y FEC.

18. Dibujamos un triángulo AB�C� que tenga los án-gulos A y ^B deseados; trazamos la bisectriz delángulo A y marcamos la longitud que debe tener. Acontinuación, trazamos la paralela a B�C� poresta marca, y obtenemos el triángulo buscado.

19. Dibujamos una recta r y una semirrecta perpen-dicular a r con origen en un punto de r. Marca-mos un punto C� sobre la semirrecta y dos seg-mentos, A�C� y A�B�, de manera que A� y B� seanpuntos sobre r y que sus longitudes sean 2 y 3.

Marcamos la longitud de la altura sobre la semi-rrecta y el punto C en su extremo, trazamos dosparalelas a A�C� y a B C� que pasen por C. Así,obtenemos el triángulo buscado ABC.

En resumen

• proporcionalidad; Tales; cuarto, tercero; iguales,proporcionales.



21.

22. Tenemos que:

Hallamos la razón de los segmentos c y a.

La razón de los segmentos c y a es .

23. Llamamos x a la longitud del segmento AB y lla-mamos y a la longitud del segmento BC.

La longitud del segmento AB es 0,4 dm y la delsegmento BC es 1,6 dm.

24.

La casa se halla en el kilómetro 32,2 de la carretera.

AC

ABAC

4

5AB

de

= ⇒ =

− =

= ⋅ =

4

5

35 21 14

4

514

4

514 11 2

2

,

11 11 2 32 2+ =, ,

x

y

x y

yx

x x

x x x x

=

+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= ⋅ = ⋅ =

+ = ⇒ = ⇒ =

1

4

2

4

14 4

4 2 5 22

550 4

4 4 0 4 1 6

=

= = ⋅ =

,

, ,y x

3

2

c

a

b

b=

⋅

⋅= =

5

25

3

1

21

3

3

2

a

ba

b

b

cc

b

= ⇒ = ⋅

= ⇒ = ⋅

5

3

5

3

2

5

5

2

a b

c d

) ; )

) )

AB

CD

AC

BD

BC

AD

BC

BD

= =

= =

2

5

5

8

3

10

3

8

2 cm

1 cm

6 cm

x = 6 . 2 = 12 cm

A G

F

B

D

C E

C'

C

l

B'BA

A

C D G H K L

B E F I J

C

C'

A'Ar B' B

h c=

4 c

m


235

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé

25. Llamamos x a la base del rectángulo y llamamosy a su altura.

La base del rectángulo mide 10 cm y la altura 8 cm.

26.

En el primer caso mide 3,75 cm y en el segundo,4,27 cm.

27.

El segmento x mide 5,83 cm y el segmento y mide7,68 cm.

28. Podemos establecer las siguientes proporciones:

Las medidas de los segmentos x, y y z son 1,5 cm,4,5 cm y 6 cm, respectivamente.

29. a) La recta t es paralela a las rectas r y s, ya que

.

b) La recta t no es paralela a las rectas r y s, ya

que .

30.

31.

32.

33.

Un segmento mide 2,25 cm y el otro 3,75 cm.

34.

x xx x

x x3

6

55 18 3

8 18 2 2

= − = −

= =

; ;

; , 55 6 2 25 3 75; , ,− =

1 5

1 4

1

0 9

,

, ,≠

2

2 2

3

3 3, ,=

x y z x y z

xx

1 3 4 1 3 4

12

81 5

11 5 1 1 5 1

= = =+ ++ +

= =

= ⇒ = ⋅ =

,

, , ,,

, , ,

, ,

5

31 5 3 1 5 4 5

41 5 4 1 5 6

yx

zz

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

7

6 5

7 5

65 83

6 4

5 6

6 4 6

57 68

= = ⋅ =

= = ⋅ =

xx

yy

; ,

,;

,,

2 5

2 3

2 5 3

23 75

1 5

1 6

4 1 6 4

1 54

,;

,,

,

,;

,

,

= = ⋅ =

= = ⋅ =

xx

xx ,,27

2 2 36

5

4

5

4

5

4

25

42 36

10

4

x y

x

y

xy y

yy

y

+ =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=⋅

=

⋅ + =

++ =

⋅ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

2 36

410

42 4 36

410

44 2 4 3

y

yy

yy 66

10 8 144

18 144144

88

5

4

5 8

410

y y

y y

xy

+ =

= ⇒ = =

= = ⋅ =

A B C

10 cm

D

A B7 cm

A Bx 6 – x

3 cm

5 cm

6 cm

6 cm


236

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé

35.

36.

37.

38.

39.

40. a) Cierta; b) falsa; c) falsa; d) cierta.


42.

Así, x = 2,4 cm; y = 7,2 cm.

44. El perímetro del triángulo mayor es 27 cm.

45. Establecemos las siguientes proporciones:

Los peldaños de la escalera miden 30 cm, 60 cmy 90 cm, respectivamente.

46. Recorrido pasando por B:

4 km + 5 km = 9 km

Recorrido pasando por A y por C:

Hallamos AC y CE.

2 km + 4,5 km + 2,5 km = 9 km

En ambos casos recorrería 9 km.

47. Al estar los triángulos en posición de Tales, tene-mos:

Las medidas correspondientes a x + 2 y a x − 2son 8 cm y 4 cm, respectivamente.

x x

x x

x x

x

+ = −

+ ⋅ = ⋅ −

+ = −

−

2

12

2

6

2 6 12 2

6 12 12 24

6 12

( ) ( )

xx

x x

x

x

= − −

− = − ⇒ = −−

=

+ = + =

− = − =

24 12

6 3636

66

2 6 2 8

2 6 2 44

ACAC

CECE

3

6

4

3 6

44 5

2

5

4

2 5

42 5

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

,

,

80

120

20 120 20

8030

80

120

40 120 40

80

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅x

x

yy ==

= ⇒ = ⋅ =

60

80

120

60 120 60

8090

zz

3 6

3 6

3 6 6

37 2

7 2 9

3

7 2 3

92 4

,;

,,

,;

,,

= = ⋅ =

= = ⋅ =

yy

xx

AB AB BC B C

AC AC B B

= = = =

= = =

4 6 3 2 4 8

3 4 5

; ; , ; , ;

; , ;

′ ′ ′

′ ��

� �

′

′

′ ′ ′ ′

=

= =

= = =

56

73

1 5

º;

º

,

C C

AB

AB

B C

BC

AC

AC

C A D B

BA7 cm CD = AB4

3

A8 cm

Q P B

3 cm

2 cm

1 cm

a

b

c a

c

b x = 6 cm

d

e

x

f

p

q

p

x

A B'

C'

C

B


237

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé

48. Llamamos e al espacio que recorre en 4 s.

En 4 s recorre 20 m.

Llamamos e′ al espacio que recorre en 15 s.

En 15 s recorre 75 m.

Llamamos x a la altura a la que se encontrará a los15 s de la salida.

A los 15 s de la salida se encontrará a 37,5 m dealtura.

49. El otro cateto del triángulo mayor mide:

Así pues, tenemos que:

50. a) d = 10,5 cm

51.

La torre mide 11,1 m de altura.

52. Puesto que los triángulos ABC y DBE están enposición de Tales se cumple:

Puesto que los triángulos ABC y D´BE´ están enposición de Tales se cumple:

53. Aplicamos el teorema de Pitágoras y la propor-cionalidad geométrica para determinar la longi-tud de cada cable.

1 888 + 1 573 + 1 154 + 629 + 1 605 ++ 1 239 + 828 = 8 916

Hacen falta 8 916 m de cable.


La estatura correcta

El poste de la canasta y su sombra son los catetos deun triángulo rectángulo, al igual que ocurre con los ju-gadores y sus respectivas sombras

Los catetos verticales de cada triángulo miden, res-pectivamente: 395 cm, (195 + 2,5) cm y (180 + 2,5) cm.Los catetos determinados por las sombras va-

len, respectivamente: 300 cm, , y

.

Se tiene que cumplir que la razón entre los catetos delos tres triángulos sea la misma:

La primera igualdad sí que es cierta pero la segundano, lo cual indica que el valor de 182,5 cm no es co-rrecto. Es decir, miente el jugador que afirma que suestatura es de 1,80 m.

Se hace camino al andar

Hay 25 caminos distintos.

Una bella durmiente moderna

Si hoy es miércoles y pasado mañana es viernes, es-tamos igual de cerca del lunes como del domingo,respectivamente.

Un laberinto de hormigas

En un triángulo rectángulo la longitud de la hipotenu-sa es menor que la suma de las longitudes de los ca-

395

300

197 5

150

182 5

133 33= =, ,

,

4

9300 133 33= , cm

300

2150= cm

D E

AC

D B

AB

D E

ACD E AC

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =2

3

2

3

DE

AC

DB

AB

DE

ACDE AC= ⇒ = ⇒ =1

3

1

3

5

1 8 4

5 4

1 811 1

,;

,,= = ⋅ =I

I

720

665

280259

2130

665

7

= ⇒ =

=

yy m

Siy

se tiene que; :

220

535579= ⇒ =

xx m

c m= − + =980 440 280 6652 2( )

20

10

75 10 75

2037 5= ⇒ = ⋅ =

xx ,

1

15

5 15 5

175= ⇒ = ⋅ =

ee

''

1

4

5 4 5

120= ⇒ = ⋅ =

ee

10 m20 m

75 m

x

300 400 500

82812391605

1888

1573

1154

629

500

600

605 m

35 m


238

6. P

ropo

rcio

nalid

ad g

eom

étric

a

© grupo edebé

tetos. Por tanto, el camino más rápido para la hormi-ga es el que va de A a F y de allí a H y a B. Recorre entotal 70 cm.

Las dos embarcaciones

Las trayectorias de las embarcaciones son dos rectasno paralelas y, por tanto, se cortan en un punto. Aho-ra bien, las dos embarcaciones no tienen por qué pa-sar por dicho punto en el mismo instante de tiempo.Pero como el ángulo entre la línea de avance de unade las embarcaciones y la visual de la otra embarca-ción permanece constante en el tiempo, significa quellegarán a colisionar. Por tanto, la advertencia de alar-ma es correcta.

Evaluación

1. Nota: téngase en cuenta que la escala no es 1:1

2. Llamamos D a la longitud de la diagonal mayor y da la de la diagonal menor.

Son necesarios 0,66 m2 de tejido.

3.

Así, x = 1,2; y = 0,8; z = 0,4.

4.

5.

6. Llamamos x a la altura del árbol.

La altura del árbol es 7 m.

7. Cuando tienen un ángulo común y los ladosopuestos a este ángulo son paralelos.

xx

2 1

16

4 8

2 1 16

4 87

, ,

,

,= ⇒ = ⋅ =

1 5

1 0 81 2

1 5

1

1 2 1 2 1

1 50 8

1 5

1

,

,; ,

, ,;

,

,,

,

= =

= = ⋅ =

xx

yy

== = ⋅ =0 6 1 2 1

0 60 4

,;

,

,,

zz

D

d

D d

=

= +

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= ⋅ =

= + ⇒ ⋅ = ⋅

7

3

1

7

3

7

3

7

31 3

7

33

Dd d

dd

dd( ++

= + ⇒ − =

= ⇒ = =

= + =

1

7 3 3 7 3 3

4 33

40 75

1 0 75

)

,

,

d d d d

d d

D d ++ =

= ⋅ = ⋅ =

1 1 75

2

1 75 0 75

20 66

,

, ,,A

D d

CH

AA

B B

D E

BA

G

F

10 cm

5 cm

10 cm

x

10 cm

7 cm

4 cm

x


239

7. S

emej

anza

© grupo edebé

7. Semejanza

Actividad inicial

El edificio es cinco veces mayor que el árbol.

El edificio es veces mayor que la

persona.

Si la persona mide 10 cm, el árbol medirá 22,2 cm y eledificio 111,1cm.


•

• 2 cm y 3 cm; 4 cm y 6 cm; 6 cm y 9 cm

• Pentágono.

Hexágono

• a) La base del triángulo será:

Por tanto:

Perímetro = 50 + 85 +105 = 240 cm.

No es un polígono regular.

b) Perímetro = 3 + 2 + 3 + 2 = 10 cm. Área = 3 · 2 = 6 cm2


c) No se puede calcular el perímetro, pues dependedel ángulo de los lados. Área = 27,5 · 20 = 550 cm2


d) Perímetro = 12 · 6 = 72 cm.

Es un polígono regular.

Actividades

1.

2.

o bien, z = 5,4 − y = 5,4 − 4,05 = 1,35

La razón de semejanza es:

3. Son semejantes los triángulos BCA y FCD, AEB yDEF.

4.


6.

8.

21 12 18 2

3

21 3

231 5

12 3

218

18 3

2

a b c

a

b

c

= = =

=⋅

=

=⋅

=

=⋅

,

== 27

AB

AD

BC

DE

AC

AE= = → = = =4

1

2

0 5

5 4

1 354

,

,

,

4

5 4

3 5 4 3

44 05

4

5 4

,

,,

,

= → = ⋅ =

=

yy

11 5 4

41 35

zz→ = =,

,

1

0 5

40 5 4 2

,,= → = ⋅ =

xx

Área cm72 10 39

2374 04 2

⋅=

,,

Área cm=⋅

=105 40

22 100 2 .

50 40 85 40 1052 2 2 2− + − = cm.

A D C F y B E� � � � � �= = =;

11 1,�20

1 8011 1

,, ;=�

20

45= ;

�Solucionario

5 cm

2 cm6 cm

2,4 cm

3 cm

1,2 cm

A B'

C'

C

B

5 cm10 cm

A B

B'

C'

A'

C

C''

B''A''


240

7. S

emej

anza

© grupo edebé

— Los dos primeros triángulos son semejantes:

— El primer y el tercer triángulos son semejantes:

— El segundo y el tercero también son semejan-tes.

9. Sí, porque tienen los ángulos iguales.

10.

Son semejantes porque:

11. Sí, porque tiene los ángulos iguales y los ladosproporcionales.

12.

Su razón de semejanza es la razón entre sus la-dos:

, o sea



15.

16. (5 + 6 + 7) � 3 = 54. Así, el perímetro del triángulosemejante es de 54 cm.

17. Calculamos el lado del rombo:

Como el lado mide 5 cm, el perímetro será 20 cm.

En el rombo semejante, las diagonales serán 12 cmy 16 cm, el lado medirá 10 cm y el perímetro 40 cm.

18. La razón entre los perímetros es:

El perímetro del

polígono mayor es de 80 cm.

19.

— Hexágono de 6 cm de lado:

Apotema =

Radio = 6 cm

Perímetro = 6 · 6 = 36 cm

— Hexágono de 4 cm de lado:

Apotema =

Radio = 4 cm

Perímetro = 4· 6 = 24 cm

4 2 3 462 2− = , cm

6 3 5 22 2− = , cm

P

PP P cm

′′ == ⇒ ⋅ =1

22 80 .

l cm= + =4 3 52 2

k = 2

3

I

I

′ = 4

6

B B A A C C

A B

AB

B C

BC

C A

C

� � � � � �= = = = → =

= =

′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

75º

AA= 2

• º º;A A y B B

A B

AB

B C

BC

� � � �= = = =

=

′′ ′′

′′ ′′ ′′ ′′

60 60

== = =

= = =

A C

AC

A A yA B

AB

A C

′′ ′′

′′′ ′′ ′′

10

4

5

2

60• º� � ′′′AC

= =10

4

5

2

• º º;A A y B B

A B

AB

BC

BC

A C

AC

� � � �= = = =

= =

′ ′

′ ′ ′ ′ ′

60 60

== =

= = = = =

2

4

1

2

602

4

1

2• ºA A y

A B

AB

A C

AC� �′

′ ′ ′ ′

C'

B'

BA

C

A'

DD'

A'

C'

B'

A

C

B

4 cm 6 cm

O

B

a

b c

C

D

E

G’

F’

E’

D’

C’

B’

A’A

G

F

GG’

F’

E’

D’

C’B’

A’A

BC

D

E

F

A

G’

F’

E’

D’

C’B’

G

F

E

D

CB

6 cm4 cm

aa

6 cm4 cm


241

7. S

emej

anza

© grupo edebé

La razón de semejanza entre apotemas, radios,lados y perímetros es la misma.

20. La razón entre los perímetros es , y entre las

áreas, .

21. Dado que tenemos:

Por lo tanto:

El perímetro del triángulo grande es de 12 cm.

22. En el pentágono original tenemos:

Perímetro = 10,9 · 5 = 54,5 cm

Área =

En el pentágono semejante, si tenemos:

Perímetro =

Área =

23.

La razón de semejanza entre las dos figuras es k = 2.

24.

25. Si tomamos medidas en el dibujo, la longitud deltren es de 7 cm y la escala gráfica mide 1 cm, que

representa 600 cm de la realidad, por lo que tene-mos que la escala de la maqueta es 1 : 600.

Llamemos x a la longitud real del tren. Debe veri-ficarse que:

El tren tiene una longitud de 42 m.

29. La superficie del área sobre el mapa inicial es:

2 500 : 0,92 : 0,62 = 8 573 mm2

— La escala del mapa que obtenemos al final es:

(1 : 10 000) � 0,6 � 0,9 = 0,54 : 10 000

0,54 : 10 000 → 1 : 18 518

En resumen

• Proporcionalidad; Tales; criterios; Polígonos, razónde semejanza; cuadrado; escala.


30. — Ángulos:

Los ángulos B^

y C^

del triángulo menor miden 52ºy 47º respectivamente, y los ángulos A

^´ y B

^´ del

triángulo mayor miden 81º y 47º respectivamente.

— Lados:

El lado BC del triángulo menor mide 34 cm y ellado A´B´ del triángulo mayor mide 50,36 cm.

31.

A B

AB

B C

BC

C A

CA

A B

AB

A

′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = =

′ ′ = ⇒

54 26

27 132

2

,

,

′′ ′ =

= ⋅ =

= ⇒ =

B

A B

B C

BC BC

25 182

25 18 2 50 36

268

,

, ,′ ′

′ ′22

68

234BC = =

B B

C

A A

C

o

o o o o

o

� �

�

� �

�

= ′ =

= − − =

′ = =

52

180 81 52 47

81

( )

′′ = =C o� 47

1

600

74200= ⇒ =

xx cm

4

5205 87 131 76

2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ =, , cm

4

554 5 43 6⋅ =, , cm

54 9 7 5

2205 87 2, ,

,⋅ = cm

1

2

612= → =

xx

k k2 1

4

1

4

1

2= → = =

1

4

1

2

k = = = =5 2

3 46

6

4

36

241 5

,

,,

k = 4

5

8 cm

6 cm

12 cm


242

7. S

emej

anza

© grupo edebé

32. Llamamos x a la distancia entre A y B.

La distancia entre A y B es 80 m.

33. — Triángulos ABC y ADC:

Los triángulos ABC y ADC son semejantes y larazón de semejanza es .

— Triángulos ABC y DBC:

Los triángulos ABC y DBC son semejantes y larazón de semejanza es .

— Triángulos ADC y DBC:

Los triángulos ADC y DBC son semejantes y la ra-zón de semejanza es .

34. a) 180º − 108º = 72º

72º : 2 = 36º

Los ángulos del triángulo mayor miden 72º,36º y 36º.

b) Hallamos los lados iguales del triángulo me-nor.

18 : 2 = 9

14 + 9 + 9 = 32

El perímetro del triángulo menor es 32 cm.

35. a)

La razón de semejanza es

b)

El cateto cuya longitud viene expresada por x + 2 mide 4 cm y el que viene expresado por5x − 2 mide 8 cm.

36. a) cierta; b) cierta; c) falsa; d) cierta.

37.

38.

El área del hexágono menor es 22,5 cm2.

39. Área =

40. Un cuadrado.

— Sí, dado que todos los cuadrados son seme-jantes.

— Calculamos el lado del cuadrado inscrito por elteorema de Pitágoras:

Dado que el lado del cuadrado inscrito mide

la razón de semejanza es:

41. a) Determinamos los puntos A´ y A´´ de forma que

y.

OA

OA

´´= 3

2

OA

OA

´= 1

2

k = =2 2

4

2

2

2 2 cm,

I′ = + =2 2 2 22 2

7

325 5 138 83

2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅ =, , cm

A

A A

AA

´= ⇒ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= ⇒ = ⋅

k2

235 2 5

4

35 2 25

16

35 2 16

2

,

, ,

5522 5= ,

x

x

x x

x x

x x

+−

=

+ ⋅ = − ⋅

+ = −

− = −

2

5 2

1

2

2 2 5 2 1

2 4 5 2

2 5 2

( ) ( )

−−

− = − ⇒ =−−

=

+ = + =

− = ⋅ − = − =

4

3 66

32

2 2 2 4

5 2 5 2 2 10 2

x x

x

x 88

k = 1

2.

k = =3

6

1

2

k ´´ = 0 75,

1 5

2

1 2

1 6

0 9

1 20 75

, ,

,

,

,,= = =

k ´ = 1 25,

2 5

2

2

1 6

1 5

1 21 25

,

,

,

,,= = =

k = 1 6,�

2 5

1 5

2

1 2

1 5

0 91 6

,

, ,

,

,,= = =�

xx

40

60

30

40 60

3080= ⇒ = ⋅ =

d b

a

c

E

A

D

C

B

E

AC

B

D

E D

C

B

O

A

Razón desemejanza

Razón entre los

perímetros

Razón entre las

áreas

EntreA y B

4

7

4

7

16

49

EntreB y A

7

4

7

4

49

16


243

7. S

emej

anza

© grupo edebé

b)

43. Descomponemos la figura en un rectángulo y enun semicírculo.

Rectángulo:

Base: 4 · 100 = 400 cm

Altura: 2 · 100 = 200 cm

Arectángulo = 400 · 200 = 80 000 cm2

Semicírculo:

Radio: 2 · 100 = 200 cm

Asemicírculo = · 2002 = 62 831,85 cm2

Figura:

Afigura = 80 000 + 62 831,85 = 142 831,85 cm2

El área de la figura es 14,28 m2.

44. a) 700 m = 70 000 cm

La escala del plano es 1:10 000.

b) 4,2 · 10 000 = 42 000 cm

42 000 cm = 420 m

La distancia real entre la escuela y la arboledaes 420 m.

3,5 · 10 000 = 35 000 cm

35000 cm = 350 m

La distancia real entre la arboleda y la casa es350 m.

47.

La altura del palo telegráfico es 12,5 m

48. Llamamos x a la diferencia de altura entre los dosbloques.

Por semejanza de triángulos se cumple:

La altura del bloque más alto es 45 m.

49. Calculamos el cateto del triángulo original:

El área de ese triángulo será:

Área =

Por lo tanto, el área de un triángulo semejante,con razón de semejanza k = 2 será:

Área =

50. a)

La escala del plano es 1:300.

b) Llamamos x a la longitud, en el plano, del ladomenor de la habitación.

La longitud, en el plano, del lado menor de lahabitación es 0,8 cm.

51. La distancia real es, aproximadamente, 275 km.

54. La misma, 60º.

55. Llamamos x a la diferencia de longitud entre labarra más larga y la barra más corta, y construi-mos la siguiente figura:

Longitud de la barra de acero:

La longitud de la barra de acero más larga es 8 m.

56. La distancia en línea recta entre A y B sobre elmapa es 6,7 cm. Así pues:

x + = + =5 3 5 8

8

1

24 1 24

83= ⇒ = ⋅ =

xx

1

300 240

1 240

3000 8= ⇒ = ⋅ =x

x ,

450

1 5300

,=

2 6 242 2⋅ = cm

3 4

26 2⋅ = cm

cateto cm= − =5 3 42 2

15 20

40

15 40

2030

30 15 45x

x= ⇒ = ⋅ =

+ =

xx

2

30

4 8

30 2

4 812 5= → = ⋅ =

, ,,

70 000

710 000=

1

2π

Pentágono Perímetro Área

ABCDE 17,5 cm 21 cm2

A´BĆ´DÉ´ 8,75 cm 5,25 cm2

A´´B´Ć´´D´É´´ 26,25 cm 47,25 cm2

15 m

x

20 m

40 m

8 m 16 m

1 m

x

1

150000

6 7

6 7 150000 1005000

10050

=

= ⋅ =

=

,

,

x

x cm

x m


244

7. S

emej

anza

© grupo edebé

La distancia real en línea recta entre A y B es de10 050 m.

La distancia real entre B y C sobre el mapa es 6,3 cm. Así pues:

La distancia real en línea recta entre C y B es de9 450 m.

— Para poder calcular los kilómetros reales querecorremos al ir de B a C, primero representa-mos la pendiente de la montaña a partir de lascurvas de nivel.

La distancia aproximada, teniendo en cuen-ta las alturas inicial y final, entre C y B es9 587,85 m.

57. Dado que:

297 : 1 030 000 000 = 1 : 3 468 013

210 : 890 000 000 = 1 : 4 238 095

Hemos de utilizar como mínimo una escala 1 : 4 238 095, o cualquier otra que reduzca toda-vía más.

59. a) 2,1 · 225 = 472,5

472,5 cm = 4,725 m

La distancia entre las dos puertas, en la reali-dad, es 4 m y 72,5 cm.

b) 2,1 · 1,25 = 2,625

La distancia entre las dos puertas, en el planofotocopiado, es 2,625 cm.

c)

La escala del plano fotocopiado es 1:180.


Ampliar el césped

Los litros necesarios para regar son proporcionalesal área del césped; por lo tanto, el agua necesariaserá:

Los comensales de la mesa redonda

Si llamamos s a la distancia de separación entre loscomensales, el perímetro de la mesa inicial es: Pinicial = 8 s. Al ampliar la mesa, el nuevo perímetroes: Pfinal = 12 s. La razón de semejanza entre las dos

circunferencias será: . Por tanto,

hay que aumentar en un factor la

superficie de la mesa inicial para poder ubicar a los12 comensales.

Gulliver en Liliput

La estatura de tu hermano liliputiense sería de suestatura.

Una cuestión rectangular

Sean l la longitud del rectángulo inicial y a su anchura.El perímetro del rectángulo inicial es:

Cuando se agranda este rectángulo, tenemos quey

El perímetro del nuevo rectángulo es:

, mientras que su área, que se sabe que

vale 30 cm2, viene dada por: .Por lo tanto, a · l = 8. Sólo hay estas dos posibilidades:

— Primera: a = 1 cm y l = 8 cm, que da lugar a un perí-metro del rectángulo mayor igual a Pfinal = 1,25 · 8 ++ 6 · 1 = 26 cm y un perímetro del rectángulo inicialde 18 cm.

— Segunda: a = 2 cm y l = 4 cm, que da lugar a un pe-rímetro del rectángulo mayor igual a Pfinal = 1,25 · 4 ++ 6 · 2 = 22 cm y un perímetro del rectángulo inicialde 12 cm.

Por tanto, la solución es de 26 cm como perímetromáximo del rectángulo mayor y de 18 cm como perí-metro máximo del rectángulo inicial.

La correa de transmisión

Se pueden trazar dos triángulos semejantes. Lla-memos A al punto intersección del radio de la cir-cunferencia pequeña y el tramo de correa que sedirige de esta circunferencia al punto P. Y llamemosB al punto intersección del radio de la circunferen-cia grande y el tramo de correa que se dirige deesta circunferencia al punto P. Podemos formar es-tos triángulos:

— el triángulo que tiene por lados O´P, el radio que vade O´ a A y el segmento AP.

— el triángulo que tiene por lados: OP, el radio que vade O a B y el segmento BP.

S a l al= = =´ ´ 3 75 30,l a= +2 50 6,

P l afinal = + =2 2´ ´

a a´ = 3l l´ = 1 25,

P l ainicial = +2 2

1

12

k2

23

2

9

4=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

ks

s= =

12

8

3

2

( , ) ,1 5 30 67 52 ⋅ = litros

472 5

2 625180

,

,=

1

150000

6 3

6 3 150000 945000

9450

=

= ⋅ =

=

,

,

y

y cm cm

x m

B C

2 600

2 400

2 200

2 000

1 800

1 600

1 400


245

7. S

emej

anza

© grupo edebé

Si llamamos d a la distancia de O´ a P, por semejanzade triángulos, se cumple que:

Es decir, la distancia de O´ a P es de 6 cm y la de O aP es de 16 − 6 = 10 cm.

Evaluación

1. No; sí.

2. Si x es la altura de la estatua, tenemos que:

La altura de la estatua es 11,56 cm.

3. La razón entre los perímetros es la razón de seme-

janza. Así pues, . Por lo tanto, los la-

dos medirán:

12 · 5 = 60 cm

16 · 5 = 80 cm

20 · 5 = 100 cm

4. — La razón de semejanza es .

— Los otros lados miden:

— La razón entre los perímetros es , y entre

las áreas es .

5. Llamamos x a la altura del triángulo.

30 − 20 = 10

10 : 2 = 5

Por semejanza de triángulos, se cumple:

El área del triángulo es 196 cm2.

6. Si x es el perímetro del polígono pequeño, se tiene:

El perímetro del polígono pequeño es de 24 cm.

Si y es su área, se tiene:

El área del polígono pequeño es de 32 cm2.

7.

La escala es 1 : 2 000 000.

8.

La escala es 1 : 80.

k2

237 5

240000

6 12

489 90

1

80= =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟, ,

,≈

k = =372

744000000

1

2000000

5

4

50 50 16

2532

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= → = ⋅ =

yy

5

4

30 30 4

524= → = ⋅ =

xx

xx

10

9 8

5

10 9 8

519 6

20 19 6

2196

= ⇒ = ⋅ =

= ⋅ =

, ,,

,A

k2

23

5

9

25=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

k = 3

5

103

56 20

3

512⋅ = ⋅ =cm cm;

k = =18

30

3

5

k = =240

485

xx

8

2 6

1 8

8 2 6

1 811 56= → = ⋅ =,

,

,

,,

r

d

R

O O d d dd cm=

−→ =

−→ =

´

3 5

166

5 cm

9,8 cm

10 cm

x


247

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

8. Cuerpos geométricos

Actividad inicial

Cilindro, prisma, semiesfera, pirámide…


•^A =

^C ;

^B =

^D

• Ángulo complementario =

Ángulo suplementario =

• a) triángulo

b) cuadrado

c) pentágono

d) hexágono

Actividades

1. Determinamos dos segmentos, AB y BC, y seis se-mirrectas, cuyos orígenes son: A (dos), B (dos) y C (dos).

2. Por un punto del plano pasan infinitas rectas.

Por dos puntos de un plano pasa solamente unarecta.

3. NO. Porque las rectas son ilimitadas (al represen-tarlas sólo dibujamos una parte) y, por lo tanto,las semirrectas también.

4.

Pertenecen también a la recta puntos como el (0, −3); (3, 3);…

5. Determinan 6 rectas y 4 planos.

6.

7. AB y CD son paralelas.

AB y BE son secantes.

AB y CE son rectas que se cruzan.


Secantes: AC y BC; ED y DF.

Paralelas: AC y ED; CD y BF.

Se cruzan: AB y CD; BF y CD.

Perpendiculares: BC y CD; BF y DF.

9. Sí.

10. No, porque un plano perpendicular a una de lasrectas, también será perpendicular a cualquierrecta paralela a la primera.

11. No, porque dos rectas perpendiculares puedenpertenecer al mismo plano.

12. Observamos doce ángulos diedros convexos.

La esquina de la pared forma un diedro recto, yuna puerta medio abierta define un ángulo diedroagudo.

D = 120 º

C = 108 º

B = 90 º

A = =180

360

ºº

= − =180 133 12 18º ºA ′ ′′

= − =90 43 12 18º ºA ′ ′′

�Solucionario

A

BC

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

–1 4321–2–3–4

s

r

t

Semiplano A

Semiplano B

Semiplano C

x

xP

s

r

R

Q

α

^

^

^

^

^

^


248

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

13. Hay dos diedros de 45º y siete diedros de 90º.

14. a) Tiene seis ángulos diedros de 90º y tres ángu-los diedros de 60º.

b) Tiene doce ángulos diedros de 90º y seis án-gulos diedros de 120º.

15. No, porque dos planos paralelos no se cortan.

16. El diedro opuesto mide lo mismo, 43° 25� 34� y,por lo tanto, será agudo. Su complementario es46° 34� 26� y su suplementario, 136° 34� 26�.

Los otros dos ángulos miden 136° 34� 26� y, porlo tanto, son obtusos. Su suplementario es un án-gulo de 43° 25� 34�.

17.

18.

19. No, porque su suma es 360º.

20. Sí, porque suman 303° 32� 45�, menor que 360°.

21. Una pirámide.

22. a) 5 + 5 − 8 = 2; b) 7 + 10 − 15 = 2


24. Sí, el icosaedro.

25. Porque la suma de los ángulos que concurren enel vértice ha de ser menor de 360º, y los ángulosde una cara cuadrada miden 90º, por lo que concuatro caras se alcanzaría esa medida.

26. No, porque la suma de los ángulos del desarrolloplano del ángulo poliedro sería:

108 � 4 = 432° � 360°

27. Tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2; cubo: 6 + 8 = 12 + 2; octaedro: 8 + 6 = 12 + 2; dodecaedro: 12 + 20 == 30 + 2; icosaedro 20 + 12 = 30 + 2.

28.

29. Sí, el cubo.


31. Un rectángulo.

Tipo de diedro Medidas

Cóncavo De 180º a 360º

Convexo De 0º a 180º

Agudo De 0º a 90º

Recto 90º

Obtuso De 90 a 180º

60o150o

Complementario Suplementario

Complementario Suplementario

15o

105o

b)

a)

Cara lateral

Vértice

Arista básica

Base

Arista lateral


249

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

32.

33. Isósceles.

34. Sí, el tetraedro.

35. En total, tiene el doble de aristas que lados tienela base. Tiene el mismo número de aristas bási-cas que laterales.

37. Tienen forma de cilindro una columna, un tubo yel tronco de un árbol.

39. Tienen forma de cono un cucurucho, la conchade una caracola y una papelina.

40. Del cuadrante de un círculo.

41. La semiesfera es comomedia naranja, y el hemis-ferio es como la piel de lamedia naranja.

La cuña esférica es comoel gajo de una naranja y lapiel de ese gajo sería el huso esférico.

42. Tokio, 20 h; Londres, 11 h; Nueva York, 6 h; Mos-cú, 14 h; Sidney, 21 h.

43. Los meridianos son todos iguales porque pasan porlos polos. Los paralelos no son iguales pues a medi-da que se alejan del ecuador y se acercan a los po-los, su radio (y, por lo tanto, su longitud) se reduce.

44. Dibujamos el cuerpo y situamos los datos.

La altura de la pirámide es 8,94 cm.

45. Dibujamos el cuerpo y situamos los datos.

La diagonal del ortoedro es y ladel cubo:

En resumen

Plano; poliedros; tetraedros; cubo; pirámide; revolu-ción; cono.


46. Tres grupos.

47. a) Las rectas r y s son secantes, las rectas r y tson paralelas y las rectas t y u se cruzan.

b) La recta r es secante al plano α, la recta s esparalela al plano α y la recta t está contenidaen el plano α.

a a a a2 2 2 3+ + =

a b c2 2 2+ +

4 8 8 942 2+ = ,

Caralateral

Base

Vértice

Aristalateral

Arista básica

GeneratrizBase

Superficielateral

Vértice

Generatriz

Base

Superficielateral

V

A

C C

h8 cm

4 cmA

V

a

b

c c

b

a


250

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

c) Los planos α y β son secantes y los planos β yγ también.

48. a) La recta está contenida en el plano.

b) La recta es paralela al plano.

c) La recta es secante al plano.

49. 70° el opuesto al de 70° y 110° el opuesto al de110°.

50. Construcción con cartulina de un ángulo triedro.

51. a) 53º 30’

b) 26º 15’; 153º 45’ y 153º 45’

c) menor

d) 360º

52. Construcción en grupo de polígonos regulares.

53. a) Cierta; b) cierta; c) falsa; d) falsa.

54. a)

b) Caras: n + 1

Vértices: n + 1

Aristas: 2n

55. 1 - d; 2 - c; 3 - a; 4 - b


57.

58. — Base del cilindro:

Radio: 1,5 m = 150 cm

150 : 150 = 1

En el dibujo a escala el radio debe medir 1 cm.

— Superficie lateral del cilindro:

Altura: 6 m = 600 cm

600 : 150 = 4

En el dibujo a escala la altura debe medir 4 cm.

Longitud de la circunferencia:

9,42 m = 942 cm

942 : 150 = 6,28

En el dibujo a escala la base del rectángulo queforma la superficie lateral debe medir 6,28 cm.

59. No, porque la longitud de la generatriz se corres-ponde con la de una hipotenusa y el radio se co-rresponde con un cateto del mismo triángulo; sí,porque se corresponden con dos lados de un rec-tángulo.

60. Dibujamos el desarrollo plano de la superficie la-teral del cilindro y señalamos los puntos A y B.

L L= ⋅ ⇒ = ⋅ =2 2 2 12 56π πr ,

L r= ⋅ = ⋅ =2 2 1 5 9 42π π , ,

Caras Vértices Aristas

Pirámidetriangular

4 4 6

Pirámidecuadrangular

5 5 8

Pirámidepentagonal

6 6 10

Pirámidehexagonal

7 7 12

Vértice

Cara

Base

Arista básica

Arista lateral

6,28 cm

4 cm

1 cm


251

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

Llamamos x a la distancia entre A y B.

El recorrido mínimo para ir de A hasta B mide8,02 cm.

61. Hallamos la longitud de arco correspondiente a90º.

Hallamos el radio del cono.

La longitud del radio del cono es 1,5 cm.

62.

Llamamos h a la altura del cono:

La altura de la figura es 17,7 cm.

63. Un punto y un círculo de radio menor o igual queel de la esfera serán los puntos comunes a la es-fera y el plano. Además, la esfera quedará corta-da en dos semiesferas o en dos segmentos esfé-ricos.

66. Dibujamos la figura.

Así:

La diagonal del ortoedro mide 10,8 cm.

67. Calculamos las diagonales de los dos cubos.

— Cubo de 1 cm de arista:

Diagonal de la base:

Diagonal del cubo:

— Cubo de 3 cm de arista:

Diagonal de la base:

Diagonal del cubo:

— Razón de las dos diagonales:

La razón de las dos diagonales es.

68. Llamamos C a las caras y V a los vértices.

El poliedro tiene 8 caras y 12 vértices.

C V A

C V C V

C V C V

C V

C V

+ = +

+ = + ⇒ + =

+ = ⇒ − = −

+ =

−

2

18 2 20

4 4

20

== −

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

+ =

− = −

⎫⎬⎪

⎭⎪4

20

4

C V

C V

2 16C =

C

C V V

V

= =

+ = ⇒ + =

= − =

16

28

20 8 20

20 8 12

1

3

1 73

5 19

1

3

,

,=

d h

d

′ ′

′

2 2 23 18 9 27

27 5 19

= + = + =

= = ,

h h′ ′2 2 23 3 18 18 4 24= + = ⇒ = = ,

d h d2 2 21 3 3 1 73= + = ⇒ = = ,

h h2 2 21 1 2 2 1 41= + = ⇒ = = ,

h

d h

= +

= + = + + =

6 4

8 6 4 8 10 77

2 2

2 2 2 2 2 ,

h h

h h

2 2 2 2

2

4 7 16 49

49 16 33 33 5 7

12 5 7

+ = ⇒ + =

= − = ⇒ = =

+

,

, == 17 7,

L r r

r

= ⋅ ⇒ = ⋅

= =

2 9 42 2

9 42

21 5

π π

π

,

,,

lr

n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =π π180

6

18090 9 42,

x

x

2 2 26 28 5 64 43

64 43 8 02

= + =

= =

, ,

, ,

6,28 cm

B

12,56 cm

A

5 cm

6 cm

4 cm

8 cmd

h


252

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

69. Aplicamos el teorema de Pitágoras sobre el trián-gulo que tiene por diagonal la longitud x.

La medida x señalada en la figura es 5 cm.

70. La altura coincidirá con la longitud de uno de los ca-tetos. Así:

La altura del cono es 29,7 cm.

71. Si tiene 78,15 cm2 de área de la base:

72.

La longitud de una circunferencia máxima es 31,4 m y el área de un círculo máximo es 78,5 m2.

73. Llamamos r al radio del círculo.

El área del círculo sombreado es 62,8 cm2.

76.

La relación de Euler no se cumple siempre en lospoliedros cóncavos.

77. Llamamos x a la longitud de una arista básica yllamamos y a la de una arista lateral.

La longitud de una arista básica es 2 cm y la deuna arista lateral es 2,5 cm.

78. El tercer desarrollo.

79. La generatriz mide 3 cm, la longitud de la base es 12,56 cm y el radio del círculo de la base sería1 cm.

80.

81. El radio mide 5 cm.

x

y

x y

xy y

yy

y

=

+ =

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=⋅

=

⋅ + =

+

4

5

4 4 18

4

5

4

5

44

54 18

16 220 9090

362 5

4

5

4 2 5

52

y y

xy

= ⇒ = =

= =⋅

=

,

,

r r

r r

A r

2 2 2 2

2

2

4 6 16 36

36 16 20 20 4 5

+ = ⇒ + =

= − = ⇒ = =

= ⋅

,

π == ⋅ = ⋅ =π π4 5 20 62 82, ,

L r

A r

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2 2 5 31 4

5 25 78 52 2

π π

π π π

,

,

rA= = =π

78 15

3 145

,

,

h c c h c c2 2 2 2 22

242

229 7= + = = =; ; ,

x x2 2 24 3 25 25 5= + = ⇒ = =

10 cm

4 cm5

cm

5 cm

A = 78,15 cm2

13 cm

Poliedro Caras Aristas Vértices C − A + V

primero 12 20 9 1

segundo 24 66 44 2

tercero 8 18 12 2

cuarto 8 18 12 2

5 cm

10 cm


253

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

82. Hallamos el radio de la base del cono original:

La generatriz del cono original será:

Generatriz =

La altura del cono pequeño será:

Altura = 36 − 12 = 24 cm.

Por semejanza de triángulos, podemos encon-trar el radio (r´ ) de la base del cono pequeño, queserá el radio de la base superior del tronco decono.

La generatriz de la pirámide pequeña será:

Generatriz´ =

Así pues, la generatriz del tronco de pirámideserá:

Generatriz´´ = 39 − 26 = 13 cm

La altura del tronco de pirámide es 12 cm; los ra-dios miden 15 cm y 10 cm, y su generatriz es de13 cm.

En resumen

Plano; poliedros; tetraedros; cubo; pirámide; revolu-ción; cono.


Los triángulos

Hay 25 triángulos.

El intruso

El cubo C.

La hormiga y el octaedro

Por 7 aristas. Ha pasado por 5.

El cubo y los cubitos

En cada arista del cubo hay cubitos. Por lotanto, en cada cara hay 62 = 36 cubitos.

Tendrán pintura de dos colores los cubitos de la aristaque no den a las esquinas; es decir, 4 por arista. Comotenemos 12 aristas, habrá 4 · 12 = 48 cubitos de doscolores.

Con pintura de un solo color tendremos los cubitos dela cara que no den a las esquinas, 16 en cada cara, ycomo hay 6 caras, 16 · 6 = 96 en total.

Sin pintar están los cubitos que no dan al exterior, queforman un cubo de 4 cubitos de lado, por lo tanto, entotal 43 = 64.

Un montón de esferas

Tenemos un triángulo rectángulo que tiene un catetode longitud igual a 3 · 3 = 9 (es la base) y de hipotenu-sa igual a 6 · 3 = 18. Por lo tanto, el otro cateto será:

A esta longitud hemos de sumarle dos veces el radiopara obtener la altura total que será 15,59 + 6 = 21,59 cm.

Problema con cerillas

Formando un tetraedro.

Las caras de un cubo

Se puede pensar que el máximo número de caras vi-sibles en un cubo es tres. Esto es cierto en un cubosólido normal. Pero si consideramos alguno de estoscasos:

— Un cubo transparente.

— Un cubo situado frente a un espejo.

— Nosotros mismos en un extremo de una habitaciónde dimensiones cuadradas e iguales.

Entonces es evidente que podemos ver a la vez todaslas caras de un cubo.

cateto cm= − =18 9 15 592 2 ,

216 63 =

10 24 262 2+ = cm

15

36 24

15 24

3610= ⇒ = ⋅ =r

r cm′ ′

15 36 392 2+ = cm

ππ

r r cm2 706 86706 86

15= ⇒ = =,,

10 cm

15 cm

12 c

m

13 cm


254

8. C

uerp

os g

eom

étric

os

© grupo edebé

Evaluación

1.

a) Son paralelas los pares de caras A y C, B y D, Ey F, y secantes todos los otros pares.

b) Son paralelas las aristas 1, 3, 9 y 11; 2, 4, 10 y12; 5, 6, 7 y 8.

Son secantes las aristas 1, 2 y 6; 2, 3 y 7; 3, 4 y 8;1, 4 y 5; 6, 9 y 10; 7, 10 y 11; 8, 11 y 12; 5, 9 y 12.

c) Se cruzan las aristas 1 y 10, por ejemplo.

2. Sí, porque la suma de los ángulos planos es 270°,menor que 360°.

3.

4. Prisma triangular, esfera, tronco de cono e icosaedro.

5. Triángulo pequeño:

Hallamos el otro cateto del triángulo:

Radio: 4 cm

Generatriz: 5 cm

Altura: 3 cm

— Triángulo grande:

Radio: 6 cm

Generatriz: 7,5 cm

Altura: 4,5 cm

6. No, porque no se satisface la relación de Euler: 5 + 4 − 6 = 3, y tendría que dar 2.

7. a) pirámide regular

b) hexaedro

c) dodecaedro

d) esfera

4 2

3

4 3

26

5 2

3

5 3

27 5

3 2

3

3 3

2

rr

gg

hh

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

,

44 5,

c c

c c

c

2 2 2 2

2 2

3 5 9 25

25 9 16

16 4

+ = ⇒ + =

= − ⇒ =

= =

12 109

7

6

11

8

A

E

F

C

D B5

43

2

1

120o

90o

60o

a b

5 cm3 cm

4 cm


255

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

9. Áreas y volúmenes

Actividad inicial

Pondremos 10 contenedores a lo largo, 15 a lo anchoy 3 a lo alto. En total, tenemos:

Se podrán llegar a colocar 450 contenedores.


• Respuesta sugerida:

• a)

b)

c)

•

Actividades

1. Pirámide, cilindro, semiesfera, prisma…

2.

— Tetraedro:

— Octaedro:

— Icosaedro:

3. Calculamos el área de cada cara:

Por lo tanto, el lado medirá . Asípues, la arista del cubo mide 12 cm.

Si se trata de un tetraedro, tenemos:

La arista del tetraedro mide 22,33 cm.

4. El área de un tetraedro es la quinta parte del áreade un icosaedro de aristas iguales.

El área de un octaedro es dos quintas partes delárea de un icosaedro de aristas iguales.

5. Acubo = 6 � 22 = 24 cm2

Adodecaedro = 30 � 5 � 3,4 = 510 cm2

6. a A cm

A

lateral

total

) ( )

,

= ⋅ ⋅ =

= + ⋅

3 6 15 270

2706 5 2

2

2

== 285 6 2, cm

864 3

864

322 33

2= ⋅

= =

a

a cm,

144 12= cm

864

6144 2= cm

A A a atriángulo= ⋅ = ⋅ ⋅ =20 203

45 32 2

A A a atriángulo= ⋅ = ⋅ ⋅ =8 83

42 32 2

A A a atriángulo= ⋅ = ⋅ ⋅ =4 43

432 2

A

a aa

aa

aa

triángulo =

⋅ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

⋅=

=⋅ ⋅

2

22

2

2

3

4

2

32

2==

3

42a

Ar

n

r

r

= ⋅

= ⋅

= ⋅⋅

=

π

π

π

2

2

2

360

14 14360

45

14 14 360

453

,

,66

36 6r cm= =

apotema cm

Aperímetro apotema

= − =

=⋅

=

=

4 2 3 46

22

2 2 ,

44 3 46

241 57 2⋅ =,

, cm

altura cm

Abase altura

= − =

= ⋅ = ⋅ =

8 4 6 93

2

8 6 93

22

2 2 ,

,77 71 2, cm

A r cm= = ⋅ =π π2 2 26 113 1,

�Solucionario

Altura

Vértice

Aristalateral

Apotema Radio de la base

Base

Altura

Vértice

Arista

Altura

Apotema de la base

Base

Arista lateral

Arista básica

Altura

Apotema de la base

Arista básica

Base

Base

Radio de la base

Radio Centro

10 15 3 450⋅ ⋅ =


256

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

7.

8. a) A lateral = 2 � 3 � 5 = 94,2 cm2

Atotal = 2 � 3 � (5 + 3) = 150,7 cm2

b) A lateral = 2 � 5 � 3 = 94,2 cm2

Atotal = 2 � 5 � (3 + 5) = 251,2 cm2

c) A lateral = 2 � 4 � 4 = 100,5 cm2

Atotal = 2 � 4 � (4 + 4) = 201 cm2

9. La altura del cono es de 7 cm, al igual que el radio dela base que también es de 7 cm. La generatriz es.

10.

Así, el área del cilindro es de 96 cm2.

Así, el área del cono es de 24 cm2.

11. a) A = 4 � � 72 = 615,4 cm2

b) A = 4 � � 32 : 2 = 56,5 cm2

12. Calculamos el área de una semiesfera:

Se necesitarán 9,82 m2 de tela.

13. El radio de la esfera es:

El área de una esfera menor con razón de seme-

janza es:

14. a) El cuerpo está formado por un cilindro al quese le ha quitado el volumen de otro. Conside-ramos las áreas:

A l1: área lateral del cilindro grande.

A b1: área de la base del cilindro grande.

A l2: área lateral del cilindro pequeño.

A b2: área de la base del cilindro pequeño.

Se cumple que el área lateral y de la base delcuerpo son:

A lateral = A l1 + A l2 =

= 1 205,8 + 904,3 = 2 110,1

Abase = A b1− A b2

= 201 − 113 = 88

Por lo tanto, el área total es:

A = Alateral + 2 � Abase =

= 2 110,1 + 2 � 88 = 2 286,1 cm2

b) El cuerpo está formado por un prisma al quese le ha quitado el volumen de un cilindro.Consideramos las áreas:

A lp: área lateral del prisma.

Abp: área de la base del prisma.

A lc: área lateral del cilindro.

Abc: área de la base del cilindro.

Se cumple que el área lateral y la de la base delcuerpo son:

A lateral = Alp+ Alc

= 180 + 125,6 = 305,6

Abase = Abp− Abc

= 23,4 − 12,6 = 10,8

Por lo tanto, el área total es:

A = Alateral + 2 � Abase =

= 305,6 + 2 � 10,8 = 327,2 cm2

16. El área del observatorio es el área de la cúpulamás el área de la pared:

A = 4 � 52 : 2 + 2 � 5 � 10 = 471 m2

— Así, el área de la maqueta es:

A = 471 : 302 = 0,523 33 m2 = 5 233,3 cm2

17.

18.

El volumen del prisma es de 2 618 280 cm3.

V A h

V

V

prisma base

prisma

= ⋅

= ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⋅6 12 10 39

27

,

pprisma dm= 2 618 28 3,

a V A h cm

b V a

prisma base

cubo

)

)

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= =

2 5

213 65

4

3

3 ,, ,5 91 13 3= cm

A dm= ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=314

2

550 24

2

2,

k = 2

5

314 4314

452= ⋅ ⋅ ⇒ = =π

πr r dm

A m= ⋅ ⋅ =4 1 25 2 9 822 2π ( , ) : ,

b A Acono cilindro) : := = =2 48 2 24

A r g r A

a A Acilindro cono

cilindro c

= ⋅ + = ⋅

= ⋅

2 2

2

π ( )

) oono = ⋅ =2 48 96

7 7 9 9

7 9 9 217 7

2 2

2

+ =

= ⋅ ⋅ =

=

,

, ,

cm

A cm

Alateral

total

π

ππ ⋅ ⋅ + =7 9 9 7 371 65 2( , ) , cm

A cm

A

octaedro

lateral pirámide

= ⋅ =

=⋅

2 3 5 86 6

4

2 2,

( 55 4 3

243

86

2) ,

:

⋅=

=

cm

A Aoctaedro lateral pirámide ,, :6 43 2=

= + ⋅ =

=

4 5 15 300 2) ( )b A cm

Alateral

total 3300 2 5 350

5 6 7

2105

2 2

2

+ ⋅ =

=⋅ ⋅

=

cm

c A cm

A

lateral)( )

ttotal cm= +⋅ ⋅

=1055 6 4 1

2166 5 2

( ) ,,


257

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

19. El área de la base es:

Por lo tanto, la arista básica mide .

20.

El ortoedro mayor tiene un volumen de:

La razón entre los volúmenes es 64, que es elcubo de la razón de semejanza (43 = 64).

21.

22. La arista básica mide .

Calculamos la altura de la pirámide.

Calculamos el volumen:

El volumen de la pirámide es 0,386 4 dm3.

23. Hallamos la apotema del hexágono de la base.

Hallamos el área de la base de la pirámide:

La altura de la pirámide mide 90 cm.

24. Calculamos la altura de la pirámide:

El volumen de la pirámide original será:

El área será:

Para una pirámide menor y semejante, con una

razón de semejanza , tenemos:

25. El volumen de la taza es:

Vcilindro = Abase � h = ( � 42) � 10 = 502,4 cm3

La capacidad de la taza es de 502,4 cm3 = 0,5 l.Esto quiere decir que la podemos llenar con 0,5 l = 500 ml de café sin derramar ninguna gota.

26. Tomamos 4 cm como el radio de la base y 8 cmcomo la altura del cilindro.

27. Como el área lateral es igual al área de la base, te-nemos que:

Por lo tanto, el volumen será:

28.

29. Buscamos el otro cateto del triángulo pequeño:

Consideramos el cateto mayor como el radio dela base y el otro cateto será la altura.

Volumen del cono pequeño:

El cono grande tiene un volumen de:

V cm= ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=1205 76

4

3953 18

3

3, ,

V cm= ⋅ ⋅ =π 8 6

3402 16

23,

Cateto cm= − =10 6 82 2

a VA h

cm

b V

conobase

cono

)( )

,

)

=⋅

=⋅ ⋅

=

=

3

4 7

3117 2

23

π

AA hcmbase ⋅

=⋅ ⋅

=3

4 4

367

23

( )π

V cmcilindro = ⋅ ⋅ =π 16 8 64342 3

2 8 162⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =π πr r r cm

V cmcilindro = ⋅ ⋅ =π 4 8 402 122 3,

′ = ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

′ =

A cm

A

pirámide

pirámide

4001

516

47

2

2

11 31

53 77

3

3, ,⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= cm

k = 1

5

A cmpirámide = ⋅ + =40 15

210 4002 2

V cmpirámide = ⋅ =10 14 14

3471 3

23,

,

h cm= − =15 5 14 142 2 ,

AP ap

VA h

base

base

=⋅

= ⋅ =

=⋅

⇒ =

2

300 43

26450

3193500

64450

3

193500 3 6450

193500 3

645090

⋅

⋅ = ⋅

=⋅

=

h

h

h

ap

ap

ap

ap

2 2 2

2

2

25 50

625 2500

2500 625 1875

+ =

+ =

= − =

= 11875 43=

V cmpirámide = ⋅ =9 14 31

3386 4

22,

,

h cm= − =15 4 5 14 312 2( , ) ,

36

49= cm

a VA h

cm

b V

pirámidebase

pirámide

)

)

=⋅

= ⋅ =

=

3

2 6

38

23

AA h

cm

base ⋅=

⋅ ⋅=

=3

3 4 7 5

3

23 5 3

( , )

,

′ = ⋅ =V cmortoedro 4 84 5 3763 3

V cmortoedro = ⋅ ⋅ =3 4 7 84 3

25 5= cm

A cmbase = =150

625 2

50 cm

25 cm


258

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

30.

Así, el volumen del cilindro es 270 cm3.

Así, el volumen del cono es 15 cm3.

31. Buscamos el radio de la circunferencia de labase:

El volumen del cono es:

Cabrían 0,12 litros.

32.

El volumen de la semiesfera es 56,5 cm3.

33. El radio es de 4 cm.

34.

35. El volumen del cilindro es:

El volumen del cono es:

Por tanto, el cilindro es mayor que el cono.

36. a) El cuerpo puede descomponerse en un cilin-dro y dos semiesferas. Calculamos el volumende cada uno de estos cuerpos:

Por lo tanto, el volumen total es:

V = 31,8 + 2 � 7,1 = 46 cm3

b) El cuerpo es un prisma al que se le ha quitadoun cilindro. Calculamos el volumen de cadauno de ellos:

Vprisma = 182 � 36 = 11 664 cm3

Vcilindro = � (18 : 2)2 � 36 = 9 156,2 cm3

El volumen del cuerpo es, pues:

V = 11 664 − 9 156,2 = 2 507,8 cm3

c) El cuerpo puede descomponerse en un cono yuna semiesfera. Calculamos el volumen decada uno de ellos:

Por lo tanto, el volumen total del cuerpo es:

V = 301,4 + 452,2 = 753,6 cm3

d) El cuerpo es un tronco de cono. Su volumen esel del cono grande, V1,menos el del pequeño,V2. Calculamos estos volúmenes:

Para obtener el volumen del cono pequeño,calculamos primero su radio:

Por lo tanto, el volumen del tronco de cono es:

V = 314 − 4,9 = 309,1 cm3

37. Un ladrillo, un tomo de una enciclopedia y un vo-lante.

38. En el primer caso se debe estimar el volumen decada una de las cajas y sumar los valores. En elcaso del cilindro, estimamos la altura y la anchu-ra del depósito; con estos datos, aplicamos lafórmula del volumen de un cilindro.

39. Debemos estimar las dimensiones de cada uno delos objetos y aplicar la fórmula correspondientepara obtener el volumen y el área que nos piden.

40. Dependerá del tamaño de los libros. Hallaríamossu volumen (por ejemplo, 1 dm3) y lo multiplica-ríamos por el número de libros que hay, si es queéstos ocupan todo su volumen.

41. Consideramos un cilindro cuyo radio mide 1 cm ysu altura 2 cm. Calculamos su volumen:

V1 = � 12 � 2 = 2

Consideramos el cilindro que resulta de triplicar elradio y la altura. Calculamos su volumen:

V2 = � 32 � 6 = 52

r cm

V cm

= ⋅ − =

= ⋅ ⋅ =

5 3 13 5 1 25

1 25 3

34 9

2 2

2

23

: ,

,,

π

V cm1

2 2 23

5 13 5

3314=

⋅ ⋅ −=

π

V cm

V

cono

semiesfera

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ =

π

π

6 8

3301 4

4

36 2

23

3

,

: 4452 2 3, cm

V cm

V

cilindro

semiesfera

= ⋅ ⋅ =

=

π

π

1 5 4 5 31 8

4

3

2 3, , ,

⋅⋅ =1 5 2 7 13 3, : , cm

4

3

V rcono = 4

33π

V rcilindro = π 3

V r cmesfera = ⋅ = ⋅ =4

3

4

37 2 179 53 3 3π π ( : ) ,

V cmesfera = ⋅ =4

34 268 083 3π ,

a V r cm

b V

esfera

esfera

) , ,

)

= ⋅ = ⋅ =

=

4

3

4

32 5 65 43 3 3π π

44

3

4

33 113

2 11

3 3π π⋅ = ⋅ =

= =

r

V Vsemiesfera esfera

;

: 33 2 56 5: ,=

V cm

cm d

cono =⋅ ⋅

=

=

π ( , ),

, ,

3 82 8

3122 25

122 25 0 12

23

3 mm l3 0 12= ,

24 2 3 82= ⇒ =πr r cm,

b V Vcono cilindro) = ⋅ = ⋅ =1

3

1

345 15

Vr h

V

a V V

cono cilindro

cilindro cono

= =

= ⋅ =

π 2

3

1

3

3) 33 90 270⋅ =


259

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

La razón entre los volúmenes es:

Repetimos el proceso considerando un cilindrode radio 2 cm y altura 2 cm, y obtenemos tambiénque la razón entre los volúmenes es 27.

En general, si partimos de un cilindro de radio r yaltura h, tenemos:

Por lo tanto, el volumen del cilindro que resulta detriplicar el radio y la altura de un cilindro dado es33 veces el volumen del cilindro inicial.

42. Consideramos un cubo de arista 2 cm y calcula-mos su volumen:

V1 = 23 = 8

Si multiplicamos la arista por k, el volumen delnuevo cubo es:

V2 = (k � 2)3 = k 3 � 8

Así, la razón entre los volúmenes es:

Repitamos el proceso considerando un cubo dearista 4 cm, y obtenemos también que la razónentre los volúmenes es k3.

En general, si partimos de un cubo de arista a te-nemos:

La relación que hay entre los volúmenes de un cuboy el que resulta de multiplicar la arista por k es k3.

— Si obtenemos un cubo multiplicando las di-mensiones de otro por una constante k, deci-mos que el cubo obtenido es semejante al ini-cial con razón de semejanza k. Sabemos quela razón entre las aristas de los dos cubos es ky entre las áreas, k 2; ahora hemos comproba-do que la razón entre los volúmenes es el cubode la razón de semejanza, k 3.

En resumen

Geométricos; polígonos; figuras circulares; regulares;pirámide; cono; esfera; revolución, cono; esfera.


43. Se trata de cuatro trapecios circulares que for-man parte de una corona circular de radios 8 cmy 4 cm.

El área de la superficie coloreada es 100,48 cm2.

44. Llamamos x a la distancia señalada en el siguien-te dibujo:

Área del rectángulo:

El asiento tendrá una superficie plana de 240 cm2.

45.

46. Cubo: 150 cm2.

Tetraedro: 48 cm2.

Octaedro: 96 cm2.

Icosaedro: 240 cm2.

47. Hallamos la longitud de una arista.

75 : 30 = 2,5

La longitud de una arista es 2,5 cm.

Hallamos el área del icosaedro:

El área del icosaedro es 54,1 cm2.

48. El área de la base es:

Por lo tanto, tenemos:

Por lo tanto, siendo el perímetro 20 cm, podemoshallar la altura:

49.

La altura del cilindro es 3,18 cm.

2 4 80 3 18⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =π h h cm,

20 19 0 95⋅ = ⇒ =h h cm,

A

A cm

lateral

lateral

25

16

21

16 25

2119 2

=

= ⋅ =

A cmbase = =5 252 2

A a= = ⋅ =5 3 5 3 54 12 22,5 ,

A cmtetraedro = ⋅ =3 10 173 22 2,

2 2 3 6

6 40 240

x = ⋅ =

= ⋅ =A

x x2 2 24 5 9 3+ = ⇒ = =

An

R rtrapecio circular = − =

= ⋅

π

π360

60

360

2 2( )

(( ) ,

sup

8 4 25 12

4

2 2− =

= ⋅A Aerficie coloreada trapeecio circular =

= ⋅ =4 25 12 100 48, ,

V

V

ka

ak2

1

3

33= =

( )

V

V

kk2

1

338

8= ⋅ =

V

V

r h

r h1

2

2

23

3 33=

⋅ ⋅⋅ ⋅

=π

π( )

V

V2

1

352

227 3= = =

ππ

5 cm4 cm

x


260

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

50. a) El área del cuerpo es el área lateral del cilindro,A1, más el área de la esfera, A2. Calculamos es-tas áreas:

A1 = 2 � 5 � 12 = 376,8 cm2

A2 = 4 � 52 = 314 cm2

Por lo tanto, el área del cuerpo es:

A = 376,8 + 314 = 690,8 cm2

b) El área del cuerpo es el área lateral del prisma,A1, más el área lateral de cada una de las pirá-mides, A2. Calculamos estas áreas:

Por lo tanto, el área del cuerpo es:

A = 120 + 2 � 24 = 168 cm2

51. Descomponemos la figura en dos prismas y ha-llamos sus áreas.

Área del prisma 1:

Calculamos la longitud del segmento BC.

Área del prisma 2:

Hallamos el área total del mueble:

El área total del mueble es 740 dm2.

52. Calculamos el área de la base:

Como la altura es 5 m = 500 cm, el volumen será:

53. Hallamos el volumen del prisma:

El volumen del prisma es 96 cm3.

Hallamos el volumen de la pirámide:

El volumen de la pirámide es 32 cm3.

96 : 32 = 3

El volumen del prisma es el triple del volumen dela pirámide.

54. a)

El volumen del ortoedro pequeño es 30 cm3 yel del ortoedro grande 6 480 cm3.

b) 6480 : 30 = 216

Caben 216 ortoedros.

c) El volumen de un ortoedro de dimensiones 12 cm x 18 cm x 30 cm es 216 veces ma-yor que el de un ortoedro de dimensiones 2 cm x 3 cm x 5 cm.

V cm

V

ortoedro pequeño

ortoedro grande

= ⋅ ⋅ =2 3 5 30 3

== ⋅ ⋅ =12 18 30 6480 3cm

A cm

VA h

base pirámide

pirámidebase

= =

=⋅

=

4 16

3

16

2 2

⋅⋅ =6

332 3cm

A cm

V A h

base prisma

prisma base prisma

= =

= ⋅ =

4 16

1

2 2

66 6 96 3⋅ = cm

V cmparalelepípedo = ⋅ =12 500 6000 3

A cmrombo = ⋅ =8 3

212 2

A A A

A

total mueble prisma prisma

total mueb

= + 1 2

lle dm= + =282 458 740 2

A A Aprisma base prisma lateralprisma 2 2 2= +

AA dm

P

A

base prisma

l

226 13 78

6 13 6 13 38

= ⋅ =

= + + + =

aateral prisma

prisma

dm

A

22

2

38 10 380

78

= ⋅ =

= ++ =380 458 2dm

BC

BC

A dm

ABEFC

CA

2 2 2

2

6 8 100

100 10

10 13 130

= + =

= =

= ⋅ =

DDF

prisma

dm

A dm

= ⋅ =

= + + + =

8 13 104

24 24 130 104 282

2

122

A A A A A

A A

p ABC DEF BEFC CADF

ABC DEF

1

6 8

224

= + + +

= = ⋅ = ddm2

A cm

A cm

12

22

4 3 10 120

4 3 4

224

= ⋅ ⋅ =

=⋅ ⋅

=

( )

( )

10 d

m

13 dm6 dm

Prisma 2

8 d

m

13 dm6 dm

Prisma 1 FC

EBA

D


261

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

55. Hallamos el volumen del semicilindro grande:

El volumen del semicilindro grande es 125,6 cm3.

Hallamos el volumen del semicilindro pequeño:

El volumen del semicilindro pequeño es 31,4 cm3.

Hallamos el volumen del cuerpo geométrico:

El volumen del cuerpo geométrico es 94,2 cm3.

56. Sumamos el volumen de los dos cuerpos:

El volumen del cuerpo geométrico es 425 cm3.

57. Hallamos el área total de la caja:

El área total de la caja es 700 cm2.

Hallamos la cantidad de papel que sobrará:

8 dm2 = 800 cm2

800 − 700 = 100

Sobrarán 100 cm2 de papel.

59. Llamamos x, y y z a las dimensiones del ortoedro.

Las dimensiones del ortoedro son 3 cm, 6 cm y7,5 cm.

Calculamos el área total:

El área total del ortoedro es 171 cm2.


El volumen del ortoedro es 135 cm3.

60. El radio mide r = 10 : 2 = 5 cm

— El área total del cilindro es:

A = 2π · 5 · (10 + 5) = 471 cm2

— El volumen del cilindro es:

61. Hallamos el volumen del cono mayor.

Hallamos el radio del cono más pequeño.

El radio del cono más pequeño mide 3 cm.

Hallamos el volumen del cono más pequeño:

Hallamos el volumen del recipiente:

El volumen del recipiente es 77,45 cm3.

V V V

V

cono mayor cono pequeño= −

= − =133 97 56 52 77, , ,445 3cm

Vr h

cmcono pequeño =′ ⋅ ′

=⋅ ⋅

=π π2 2

33 6

356 52

3,

8

6

4 6 4

83=

′⇒ ′ = ⋅ =

rr

Vr h

cmcono mayor =⋅

=⋅ ⋅

=π π2 2

3

3

4 8

3133 97,

V cm= ⋅ ⋅ =π 5 10 7852 3

V A h cmbase= ⋅ = ⋅ =18 7 5 135 3,

P

A P h cm

Alateral

base

= + + + =

= ⋅ = ⋅ =

3 6 3 6 18

18 7 5 135 2,

== ⋅ =

= + ⋅

=

3 6 18

2

13

2cm

A A A

Atotal lateral base

total 55 2 18 171 2+ ⋅ = cm

xx

21 5 2 1= ⇒ = ⋅, ,55 3

41 5 4 1 5 6

51 5 5 1 5 7 5

=

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

cm

yy cm

zz c

, ,

, , , mm

x y z x y z

2 4 5 2 4 5

16 5

111 5= = =

+ ++ +

= =,,

P cm

A P h cm

Alateral

= + + + =

= ⋅ = ⋅ =

15 10 15 10 50

50 8 400 2

bbase

total lateral base

t

cm

A A A

A

= ⋅ =

= + ⋅

15 10 150

2

2

ootal cm= + ⋅ =400 2 150 700 2

V a cm

A cm

V

cubo

base pirámide

pi

= = =

= =

3 3 3

2 2

5 125

5 25

rrámidebase

cubo pirá

A hcm

V V V

=⋅

= ⋅ =

= + ⋅3

25 6

350

6

3

mmide

V cm= + ⋅ =125 6 50 425 3

V V

V

semicilindro grande semicilindro pequeño−

= 1225 6 31 4 94 2 3, , ,− = cm

V V

V

semicilindro pequeño cilindro pequeño

sem

= 1

2

iicilindro pequeño

semicilindro peq

r h

V

= ′ ⋅ ′1

22π

uueño r cm= ⋅ ⋅ =1

22 5 31 42 3π ,

V V

V

semicilindro grande Cilindro grande

semic

= 1

2

iilindro grande

semicilindro grande

r h

V

= ⋅

=

1

21

2π

224 5 125 62 3π r cm⋅ ⋅ = ,

8 cm

4 cm

6 cm

r


262

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

62. Esta figura puede descomponerse en dos prismas.

Calculamos el volumen del prisma 1:

Calculamos el volumen del prisma 2.

La base puede considerarse un triángulo rectán-gulo cuyos catetos miden 4 m y 25 m.

Hallamos el volumen de la piscina:

V = Vprisma 1 + Vprisma 2

V = 300 + 400 = 700 m3

700 m3 = 700 kl

La capacidad de la piscina es 700 kl.

63. Hallamos el volumen de una pelota.

Hallamos el volumen que ocupan las 12 pelotas:

V12 pelotas = 12 · Vpelota

V12 pelotas = 12 · 38,8 = 456,6 cm3

Hallamos el volumen de la caja:

Abase = 25,2 · 8,4 = 211,7 cm2

Vcaja = Abase · h = 211,7 · 4,2 = 889,1 cm3

Hallamos el volumen de la parte de la caja quequeda vacía:

V = Vcaja − V12 pelotas

V = 889,1 − 465,6 = 423,5 cm3

El volumen de la parte de la caja que queda librees 423,5 cm3.

64. — Alateral 1 = 2 π · r � (2 r) = 4 π r 2

Alateral 2 = 2 π · (2 r) · r = 4 π r 2

A total 1 = 2 π · r · (2 r + r) = 6 π r 2

A total 2 = 2 π · (2 r) · (r + 2 r) = 12 π r 2

V1 = π r 2 · 2 r = 2 π r 3

V2 = π 4 r 2 · r = 4 π r 3

65. Consideramos la cantidad de madera necesariapara construir las diferentes partes de la caseta:

• Paredes laterales:

A1 = 1,5 � 0,75 = 1,1

• Cada ala del tejado:

• Pared posterior:

• Pared anterior:

Por lo tanto:

A = 2 � 1,1 + 2 � 0,8 + 0,9 + 0,8 = 5,5

Así, para construir la caseta necesitan 5,5 m2 demadera.

66. Vcaja = 737,1 cm3 ; 737,1 : 15 = 49,14

Así, en la caja caben como máximo 49 bombones.

67. a) Que el depósito tiene 5 metros de diámetroequivale a decir que mide 25 dm de radio. Porlo tanto, tenemos:

b) Si la forma del depósito es esférica, tenemos:

70. Una loseta espacial es una figura formada por po-liedros que repetidos llenan completamente elespacio.

Un pentágono al lado de otro nunca podrán llenarcompletamente una superficie. Así, nunca podre-mos formar una loseta espacial con prismas debase pentagonal.

71. Calculamos el radio del cilindro de 10 cm de perí-metro:

10 210

21 6= ⇒ = =π

πr r r cm; ,

60004

3

6000 3

411 33 3= ⇒ = ⋅ =π

πr r dm,

6000 256000

2532

2= ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅=π

πh h dm

A4

21 0 25

21 0 75

0 25

20 8= ⋅ + ⋅ − ⋅ =,

,,

,π

A3

1 0 25

21 0 75 0 9= ⋅ + ⋅ =,

, ,

A22 21 5 0 5 0 25 0 8= ⋅ + =, , , ,

V r cmpelota = = ⋅ =4

3

4

32 1 38 83 3 3π π , ,

A m

V m

base prisma

prisma

22

23

4 25

250

50 8 400

= ⋅ =

= ⋅ =

A m

V

base prisma

prisma

12

1

8 25 200

200 1 5 300

= ⋅ =

= ⋅ =, mm3

1,5

m

25 m

8 m

4 m

25 m

8 m

Prisma 1

Prisma 2


263

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

Calculamos el radio del cilindro de 6 cm de perí-metro:

El cilindro de 6 cm de altura y 1,6 cm de radio ten-drá el siguiente volumen:

El cilindro de 10 cm de altura y 0,95 cm de radiotendrá el siguiente volumen:

El primer cilindro tiene un volumenveces mayor que el segundo.

72. Calculamos el área del interior del depósito cilín-drico.

Han impermeabilizado una superficie de 175,84 m2.

Calculamos el precio que han cobrado por cadametro cuadrado.

Por cada metro cuadrado de impermeabilizaciónhan cobrado 10 ∑.

Calculamos el área del interior del depósito or-toédrico.

Se desean impermeabilizar 82 m2.

Calculamos el precio que cobrará la empresa:

82 · 10 = 820

La empresa cobrará 820 ∑.

73. El área lateral del tronco de pirámide es la de lapirámide inicial menos la de la pirámide sepa-rada:

Así, el área total es:

El volumen del tronco de pirámide será el volu-men de la pirámide mayor menos el volumen dela pirámide menor. Calculamos el volumen de lapirámide mayor:

La altura de la pirámide menor será:

Por lo tanto, el volumen de la pirámide menor será:

Así pues el volumen del tronco de pirámide será:

74. Hallamos el radio de la pelota.

El radio de la pelota mide 3 cm.

Hallamos el área de la pelota:

El área de la pelota es 113,04 cm2.

Hallamos el volumen de la pelota.

El volumen de la pelota es 113,04 cm3.

75. El área lateral de la pirámide que remata el obelis-co es:

Por lo tanto, el área del prisma que sirve de baseal obelisco es A = 288 − 48 = 240 m2, y su altura,h = 240 : (4 � 6) = 10 m.

Por otro lado, la altura de la pirámide es:

Así, la altura del obelisco es:

h = 10 − 2,6 = 12,6 m

76. Hallamos el volumen de agua contenido en el pri-mer depósito.1 10

3 10 2

12

12

m dm

V r h

V

depósito

depósito

=

= ⋅

= ⋅ ⋅ =

π

π 882 6 3, dm

h m= − =4 3 2 62 2 ,

A m=⋅ ⋅

=( )4 6 4

248 2

V r cmpelota = = ⋅ =4

3

4

33 113 043 3 3π π ,

A r cmpelota = = ⋅ =4 4 3 113 042 2 2π π ,

L r r

r cm

= ⋅ ⇒ = ⋅

= =

2 18 84 2

18 84

23

π π

π

,

,

V cm= − =15724 8 731 14993 8 3, ,

V cm=

⋅ ⋅⋅

=

( ) ,,

6 6 5 2

223 43

3731 3

h cm= − =24 5 2 23 432 2( , ) ,

V cm=

⋅ ⋅⋅

=

( ) ,

,

18 6 15 6

256

315724 8 3

Atotal = + ⋅ + ⋅

=

2707 1108 15 6

2

36 5 2

23643 1

,, ,

,

Alateral =⋅ +

− ⋅ =

=

108 56 15 6

2

36 24

22707 1

2 2,

,

P m

A P h mlateral ortoedro

= + + + =

= ⋅ = ⋅ =

3 4 3 4 14

14 5 70 2

AA m

A A

lateral ortoedro

erior latera

= ⋅ =

=

3 4 12 2

int ll baseA

m

+ =

= + =70 12 82 2

1758 40 175 84 10, : , =

A r g

m

A

lateral cilindro

base

= ⋅ =

= ⋅ ⋅ =

2

2 4 5 125 6 2

π

π ,

ccilindro

erior latera

r m

A A

= = ⋅ =

=

π π2 2 24 50 24,

int ll baseA

m

+ =

= + =125 6 50 24 175 84 2, , ,

48 2

28 341 7

,

,,=

V cm= ⋅ ⋅ =π ( , ) ,0 95 10 28 342 2

V cm= ⋅ ⋅ =π ( , ) ,1 6 6 48 22 2

6 26

20 95= ⇒ = =π

πr r r cm; ,


264

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

Llamamos r´ al radio del segundo depósito y h´ ala altura que alcanzará el agua.

El agua, en el segundo depósito, alcanzará unaaltura de 5,6 dm.

77. La capacidad total de la bañera es:

La cantidad de agua que hay en estos momentoses:

Por lo tanto, caben todavía 420 − 336 = 84 litros.Así, si sumergimos un cuerpo de 50 dm3, el aguano rebosa. Con un cuerpo de 84 dm3 el agua lle-garía al borde de la bañera.

78. Calculamos la apotema de la base:

Hallamos el volumen del prisma:

79. Expresamos el radio r en centímetros, por lo quetenemos:

(expresado en cm3)

(expresado en cm3)

Igualando:

El radio de la esfera será de 0,03 cm.

80. Calculamos el área de la base:

Por tanto, el área lateral será:

Calculamos el perímetro de la base:

Y así podemos hallar la altura:

El volumen del cilindro es:

V = 201 · 12 = 2412 cm3.


La esfera en el cubo

Sea l el lado del cubo. El radio de la esfera es igual a lamitad del lado del cubo. Por tanto, la relación entrevolúmenes es:

Construyendo un cilindro

Por el lado corto. Véase el ejercicio 71 de esta mismalección.

Las palomitas

El volumen de una pirámide truncada de altura h y debases de longitud L y l vale:

Aplicando esta fórmula, para el envase de 20 cm dealtura, el volumen resultante es:

Mientras que en el de 19 cm de altura, el volumen es:

Si queremos más cantidad de palomitas, hay queescoger el segundo envase, el de altura igual a 19 cm.

Las latas de refrescos

Se puede lograr colocando las latas de forma que vis-tas desde arriba formen un empaquetamiento hexa-gonal. Las filas tendrían, alternadamente, cinco y cua-tro latas, de forma que la primera y la última fila tengancinco. En total hay 5 · 5 + 4 · 4 = 41 latas. La altura queocupan es h, la anchura es de 5 d (viene dada por lalongitud de la fila con mayor número de latas) y la lon-gitud es menor que 8d.

El podio

Calculamos el volumen del podio:

La masa del podio es:

m d V g cm cm

m g kg

= ⋅ = ⋅

= =

0 4 220000

88000 88

3 3, /

V

V cm

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

2 50 60 20 2 20 50

220000

2

3

V cm= + + ⋅ =19

312 9 12 9 21092 2 3( ) .

V cm= + + ⋅ =20

312 8 12 8 2026 72 2 3( ) ,

Vh

L I L I= + + ⋅3

2 2( )

V

V

l

Iesfera

cubo

=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

4

3 2

6

3

3

ππ

50 24 603 12, ⋅ = ⇒ =h h cm

Perímetro cm= ⋅ ⋅ =2 8 50 24π ,

A cmlateral = ⋅ =3 201 603 3

A cmbase = ⋅ =π 8 2012 2

4

34 0 1

3 0 1 0 03

3 2

2

π πr r

r cm

= ⋅

= ⋅ =

( , )

, ,

A r= ⋅4 0 1 2π ( , )

V r= 4

33π

V cmprisma = ⋅ ⋅ ⋅ =6 6 5 2

215 1404 3,

apotema cm= − =6 3 5 22 2 ,

V cm

V litros

agua

agua

= ⋅ ⋅ =

=

120 70 40 336000

336

3

V cm

V litros

total

total

= ⋅ ⋅ =

=

120 70 50 420000

420

3

π π

π

′ ⋅ ′ = ⇒ ⋅ ⋅ ′ =

′ =⋅

=

r h h dm

h

2 2 3

2

282 6 4 282 6

282 6

4

, ,

,55 6, dm


265

9. Á

reas

y v

olúm

enes

© grupo edebé

A pintar

Calculamos los metros cuadrados de superficie quevamos a pintar:

Con 5 kg de pintura podría pintar 40 m2. Por ello, conun bote hay bastante.

Evaluación

1. Son falsas las afirmaciones d) y e).

2. La altura del cono será uno de los catetos del trián-gulo:

Por tanto, se trata de un cono de altura 4 cm, y ra-dio de la base también 4 cm. Calculamos el área yel volumen:

3.

4. Calculamos la apotema de la base:

El área de la base es:

Por lo tanto:

5. El cuerpo puede descomponerse en tres pirámi-des y un prisma. Calculamos el volumen de cadauno de estos cuerpos:

Vprisma = 192 cm3 ; Vpirámide = 21,3 cm3

Por lo tanto, el volumen del cuerpo es:

V = 192 + 3 � 21,3 = 255,9 cm3

6.

En la piscina caben 750000 litros de agua.

V m= ⋅ ⋅ =25 10 3 750 3

A cm

Vtotal

prisma

= ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

2 374 4 12 6 12 1612 8

374

2, ,

,, ,4 12 4492 8 2⋅ = cm

A cmbase = ⋅ ⋅ =12 6 10 4

2374 4 2,

,

apotema cm= − =12 6 10 42 2 ,

A cm= ⋅ ⋅ =30 15 10 2 4590 2,

A cm

V cm

= ⋅ ⋅ + =

= ⋅ ⋅ =

π

π

4 4 2 4 121 3

4 4

367

2

23

( ) ,

4 2 2 42= ⇒ =c c cm

A m= ⋅ ⋅ =4 3 3 36 2


267

10. F

unci

ones

© grupo edebé

10. Funciones

Actividad inicial


•

Los puntos A y D están situados en el primer cua-drante, B y E en el segundo, C en el tercero y F en elcuarto.

• Respuestas sugeridas: tiempo de desplazamientode un coche y distancia recorrida, número de pro-ductos comprados e importe total de la compra, etc.

• a) Directamente proporcional. A mayor tiempo defuncionamiento de la máquina, mayor consumo.

b) Inversamente proporcional. Si hay más ventani-llas abiertas, habrá que esperar menos tiempo.

c) Directamente proporcional. Cuantas más llama-das, mayor es el importe.

Actividades

1.

Si llamamos g a los gramos de carne y n al núme-ro de personas, la fórmula que expresa la depen-dencia es: g = 85 n.

— No tiene sentido unir los puntos de la gráfica;ya que el número de personas sólo puede to-mar valores naturales.

2.

Si llamamos A al área del cuadrado y c a la longi-tud de su lado, la fórmula que expresa la depen-dencia es: A = c 2.

—

Tiene sentido unir los puntos de la gráfica, yaque la longitud del lado puede tomar cualquiervalor mayor que 0.

�Solucionario

Tiempo (minutos) Importe (céntimos)

0 17,5

1 23,3

2 29,1

3 34,9

Tiempo (minutos)

5

10

15

20

25

30

35

Imp

orte

(Cén

timos

)

321

(0, 17,5)

(1, 23,3)

(2, 29,1)

(3, 34,9)

Y

X

1

–1

–2

–3

2

3

4

–1 4 5321–2–3–4–5

B

E

D

A

F

C

Número depersonas

1 2 3 4 5

Carne (g) 85 170 255 340 425

Personas

Carne (g)

Lado 1 2 3 4 5

Área 1 4 9 16 25

25

Área

20

15

10

5

1 2 3 4 5 Lado


268

10. F

unci

ones

© grupo edebé

3.

Si llamamos IT al importe total y b al número debilletes comprados, la fórmula que expresa la de-pendencia es: IT = 4,5b.

No tiene sentido unir los puntos de la gráfica yaque el número de billetes sólo puede tomar valo-res naturales.

4. Respuesta sugerida: El espacio recorrido por uncoche que va a 80 km/h depende del tiempo queesté en movimiento. Si t es el tiempo y e es el es-pacio, la fórmula que expresa la dependencia ese = 80t.

5. a) La variable independiente es el número de ki-lovatios gastados, y la variable dependiente, elimporte de la factura de la luz.

b) La variable independiente es la apotema de unpolígono regular, y la variable dependiente, suárea.

c) La variable independiente es el número, y lavariable dependiente, el valor de su cuadrado.

d) La variable independiente es el tiempo de du-ración de la llamada telefónica, y la variabledependiente, su coste.

e) La variable independiente es el espacio reco-rrido, y la variable dependiente, el tiempo in-vertido en recorrerlo.

6. Es una función: su variable independiente es el li-bro y la dependiente, el número de páginas.

7. La única que no corresponde a una función es b).

— En la tabla a, la imagen de 3 es 9 y la antiima-gen de 6 es 2.

— En la tabla b, todos los valores de x expresa-dos son antiimagen de 3.

8. a) f (x) = 2 x − 5; b) f (x) = x 2

9. a) La imagen de −2 es f (−2) = 6, y la de 4 es f (4) = 12. La antiimagen de 4 es −4, y la de 16es 8.

b) La imagen de −2 es g (−2) = −10, y la de 4 esg (4) = 20. La antiimagen de 4 es 0,8, y la de 16es 3,2.

c) La imagen de −2 es h (−2) = −6, y la de 4 es h (4) = 6. La antiimagen de 4 es 3, y la de 16 es 9.

d) La imagen de −2 es i(−2) = 6 y la de 4 es i(4) = 18. Las antiimágenes de 4 son

y las de 16 son

e) La imagen de −2 es j (−2) = 4, y la de 4 esj (4) = 64. Las antiimágenes de 4 son 2 y −2, ylas de 16 son

f) La imagen de −2 es k (−2) = −1, y la de 4 es k (4) = 11. Las antiimágenes de 4 son 3 y −3, ylas de 16 son

g) La imagen de −2 es I(−2) = 24, y la de 4 es

l(4) = 12. La antiimagen de 4 es y la de 16

es .

h) La imagen de −2 es m(−2) = −9, y la de 4 esm(4) = 63. La antiimagen de 4 es y la de16 es .

10. Si x representa el número de kilómetros recorri-dos, el consumo viene dado por f (x ) = 0,063 x.

Se trata de una gráfica continua.

11. a)

173

53

2

3

14

3

21 21y − .

6 4 6 4, , .y −

+ −14 14y .+ −2 2y

Billetes 1 2 3 4 5

Importe (∑) 4,5 9 13,5 18 22,5

Billetes

5

10

15

20

25

3 4 521

Importe(∑)

Recorrido (km) 50 100 150 200 300

Gasolina (l) 3,15 6,3 9,45 12,6 18,9

Gasolina ( I )

Recorrido (km)

x 1 2 3 4 5

y 1 4 7 10 13


269

10. F

unci

ones

© grupo edebé

b)

c)

d)

12. a) f(x) = 1,40 x

b)

c)

No es una gráfica continua porque el númerode rotuladores sólo puede tomar valores natu-rales.

d) y = 14

e) x = 15

13. a) Entre las 8 h y las 12 h y entre las 16 y 20 h.

b) Entre las 0 h y las 8 h y entre las 20 h y 24 h.

c) Entre las 12 h y las 16 h.

d) A las 20 h.

e) A las 8 h.

14. a) La variable independiente es el tiempo y la va-riable dependiente, la velocidad.

b) Aumenta los primeros 50 segundos y a partirdel segundo 140. Disminuye del segundo 50 al70 y del 110 al 140. La velocidad se mantieneconstante entre los segundos 70 y 110.

c) La velocidad mínima se produce en el segun-do 0, justo antes de arrancar. La velocidad má-xima se alcanza a los 50 segundos.

x 1 2 3 4

y 1,40 2,80 4,20 5,60

x 1 2 3 4 5

y 1 −1 −3 −5 −7

x −2 −1 0 1 2

y 37

3

5

31

1

3

x 1 3 5 7 9

y 3 4 5 6 7

X

5

10

3 4 5 6 7 821

Y

X

1

–1

2

3

–1–2 1 2 3

Y

X

1

2

3

4

5

6

7

3 4 5 6 721

Y

Número de rotuladores

Importe(∑)

X

5

10

5 10

Y

X

–5

5

5 5

Y


270

10. F

unci

ones

© grupo edebé

15.

16. a)

La pendiente de la función es

La función es creciente.

b)

La pendiente de la función es m = 3.

La función es creciente.

c)

La pendiente de la función es m = −2.

La función es decreciente.

17.

Sí, se trata de una proporcionalidad directa deconstante de proporcionalidad k = 1,75.

La expresión algebraica de la función es y = 1,75x y la pendiente m = 1,75.

18.

m = 1

2

X

1

2

3

4

5

6

7

3 4 5 6 7 821

Y

Y

4

2

1 2

–2

–4

–1–2 X

x −2 −1 0 1 2

y −6 −3 0 3 6

x −2 −1 0 1 2

y 4 2 0 −2 −4

x −2 −1 0 1 2

y −1 − 1

20

1

21

1

1

X

Y

Y

1

1

X

Precio (∑)

Masa (kg)

X

102030405060708090

100110120130

150 200 250 300 35010050

Y

Masa (g)

Energía (kcal)


271

10. F

unci

ones

© grupo edebé

La expresión algebraica de la función sería y = 0,46x; por lo tanto, la pendiente es m = 0,46.

19.

La constante de proporcionalidad inversa es32 400 000.

20. a)

La constante de proporcionalidad inversa es 3.

b)

La constante de proporcionalidad inversa es −2.

c)

La constante de proporcionalidad inversa es 4.

d)

21.

120 (2 � 4 + 1,5 � 5,2 + 4 � 9) +

+ 130 (1 � 4 + 3 � 5,2 + 3 � 9) = 12 274

Así, el lote costará 12 274 euros.

En resumen

Expresa; gráfica; independientes; antiimágenes;expresión algebraica; lineal, proporcionalidad in-versa.

Masa (g) 100 150 200 250

Energía (kcal) 46 69 92 115

x −3 −2 −1 1 2

y −1 −1,5 −3 3 1,5

3

1

x −4 −2 −1 1 2

y 0,5 1 2 −2 −1

4

−0,5

600

1200

1800

2400

3000

6000 12000 18000 24000 30000 36000 42000

Subvención

Sueldo

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4Y

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4Y

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4Y

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5

x −4 −2 −1 1 2

y −1 −2 −4 4 2

4

1

x −3 −2 −1 1 2

y 1 1,5 3 −3 −1,5

3

−1

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4Y

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5

Tela blanca Tela azul Tiempo

Chándal A 2 m 1,5 m 4 h

Chándal B 1 m 3 m 3 h

Euros 4 por m 5,2 por m 9 por h


272

10. F

unci

ones

© grupo edebé


22.

Si llamamos I al importe en euros y n al número deabonos, la fórmula que expresa la dependenciaes I = 119 n.

— No se han de unir los puntos de la gráfica por-que el número de abonos sólo puede tomarvalores naturales.

23.

Si llamamos x a los metros de tela y f a su pre-cio, la fórmula que expresa la dependencia esf (x ) = 4 x.

f (3,5) = 4 � 3,5 = 14 y f (8,5) = 4 � 8,5 = 34; así, 3,5 m costarían 14 euros y 8,5 m, 34 euros.

24.

Si llamamos P al perímetro del triángulo equiláte-ro y c a la longitud de su lado, la fórmula que ex-presa la dependencia es P = 3 c.

— Obtenemos una gráfica continua.

25.

Observamos que se trata de una gráfica disconti-nua.


• La temperatura y la altura de la columna demercurio de un termómetro: la variable inde-pendiente es la temperatura, y la dependiente,la altura de la columna de mercurio.

• El volumen ocupado por 1 kg de una sustanciay su densidad: la variable independiente es elvolumen, y la variable dependiente, la densidad.

Número deabonados 1 2 3 4 5

Precio (∑) 119 238 357 476 595

Precio (∑)

Número de abonos

400

300

200

100

1 2 3 4

Metros 1 2 5 10

Precio (∑) 4 8 20 40

Precio (∑)

Metros

Lado 1 2 3 5

Perímetro 3 6 9 15

20

Perímetro

Lado

10

1 2 3 4 5

Peso (kg) Viajes

100

250

500

750

1 000

1 250

1 500

1

1

1

2

2

3

3

Viajes

Peso (kg)

1

2

3

4

500 1000 1500 2000


273

10. F

unci

ones

© grupo edebé

• La temperatura y el número de divisiones pordía de una bacteria: la variable independientees la temperatura, y la dependiente, el númerode divisiones por día.

27. a) La variable independiente es el peso colgado,y la dependiente, el alargamiento del muelle.

b) La variable independiente es el tiempo de circu-lación, y la dependiente, la distancia recorrida.

c) La variable independiente es el peso de la ha-rina usada, y la dependiente, el peso de la ba-rra de pan.

d) La variable independiente es la edad, y la de-pendiente, la estatura.

e) La variable independiente es el tiempo de fun-cionamiento de la calefacción y la dependien-te, el importe del recibo del gas.

28. a) d = 10 · t (d: distancia recorrida; t: horas)

b) Es una función en la que la variable dependientees la distancia recorrida y la independiente, eltiempo.

c) En 1,5 horas recorre 15 km. Tarda 2,5 horas enrecorrer 25 km.

29.

30. f (x ) = 2x3;

f (2) = 2 · 23 = 24 = 16;

f (-2) = 2 · (-2)3 = -24 = -16

31. a) La imagen de −1 es f (−1) = −5, y la de 3, f (3) = −1.

La antiimagen de −8 es −4, y la de 1 es 5.

b) La imagen de −1 es g(−1) = −2, y la de 3, g(3) = 6.

−8 no tiene antiimágenes, y las de 1 son 2 y −2.

32. a)

b)

Es una gráfica discontinua que por su formade escalera se llama escalonada.

33. a)

b)

Es una gráfica discontinua.

c) El valor de la variable dependiente es 18.

d) El valor de la variable independiente es 10.

34. a) 2 · 8 = 16

32 + 16 = 48

Transcurridos 2 minutos habría impreso 48 pá-ginas.

32 − 8 = 24

Hasta hace 1 minuto habrá impreso 24 páginas.

b) Si representamos por x el tiempo transcurridoen minutos y como y el número de páginas im-presas, la expresión algebraica de la función esy = 8x.

35. El crecimiento de la función se produce entre losminutos 0 y 60, y entre los minutos 90 y 120.

El decrecimiento se da entre los minutos 60 y 90.

La función alcanza el valor máximo en el minuto 120, y el valor mínimo corresponde al instante inicial.

36. a) Llamamos x a la base del rectángulo e y al pe-rímetro del rectángulo.

Altura del rectángulo: 2x

La expresión algebraica de la función es y = 6x.

b) Sustituimos en la expresión algebraica de lafunción, y, por 24.

El valor de la base es 4 cm.

24 6x x24

64= ⇒ = =

y x x x x x= + + + =2 2 6

a f x x

b f xx

) ( )

) ( )

=

= +

2

42

Númerode horas (x) 1 2 3 4

Importeen euros (y) 1,60 3,20 4,80 6,40

X

1,60

3,20

4,80

6,40

3 4 521

Y

Número de horas

Importe(∑)

Número debolígrafos (x) 1 2 3 4

Importeen euros (y) 1,20 2,40 3,60 4,80

X

1,20

2,40

3,60

4,80

3 4 521

Y

Bolígrafos

Importe(∑)


274

10. F

unci

ones

© grupo edebé

37. Son lineales las funciones c (m = 5); d (m = 1); y

.

38. a)

b)

c)

39. Hallamos la expresión algebraica de la función.

La recta pasa por el punto (4, 5)

Hallamos la imagen de 6.

El valor de a es .

40. a) Falsa; b) cierta; c) falsa; d) cierta.

41. a) En la recta f hay señalado el punto de coor-denadas (2, −3). La pendiente de la recta es

.

En la recta g hay señalado el punto de coorde-nadas (−4, −2). La pendiente de la recta es

.

b) Expresión algebraica de la recta f:

Expresión algebraica de la recta g:

42. a) La expresión algebraica de la función es

.

b)

y x= 1

2

g x x( ) = 1

2

f x x( ) = −3

2

′ = −−

=m2

4

1

2

m = −3

2

15

2

y = ⋅ = =5

46

30

4

15

2

m y x= ⇒ =5

4

5

4

f m = −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟1

2

x y

−1

1

2

5

4

8

20

−4

Y

X

20

10

1

x y

−1

1

2

4

−1

2

−1

−2

1

2

Y

11

X

x y

−1

1

2

5

1,2

2,4

6

−1,2

Y

1

1

X

x 4 6 8 10

y 2 3 4 5


275

10. F

unci

ones

© grupo edebé

c)

43. a)

b) Sí, ya que al duplicar, triplicar... los valores dela variable tiempo, los correspondientes a lavariable número de cartuchos también se du-plican, triplican...

c)

La expresión algebraica de la función es y = 45x.

44. a) Hallamos la expresión algebraica de la función.

La recta pasa por el punto (2, 3)

.

b) Hallamos el valor de la variable dependiente.

El valor de la variable dependiente es 6.

c)

El valor de la variable independiente es 10.

45. a) Son dos magnitudes directamente proporcio-nales ya que al duplicar, triplicar... los valoresde la variable radio, los correspondientes a lalongitud también se duplican, triplican...

b)

La longitud de la circunferencia es 62,8 cm.

La longitud del radio es 50 cm.

46. Son inversamente proporcionales b) y d)

48. a)

b)

c)

L r r r= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = =2 314 2314

250π π

π

L r= ⋅ = ⋅ =2 2 10 62 8π π ,

y x x x= ⇒ = ⇒ = ⋅ =3

215

3

2

15 2

310

y x y= ⇒ = ⋅ =3

2

3

24 6

m y x= ⇒ =3

2

3

2

X

–2

–6

–8

–4

2

6

8

4

Y

2 4 6 8 10–2–6–8 –4–10

Tiempo ensegundos (x) 45 90 180 450

Número decartuchos (y) 1 2 4 10

X

1

2

3

4

135 1809045

Y

Tiempo(segundos)

Cartuchos

x −10 −5 −1 1 5

y −0,5 −1 −5 5 1

10

0,5

X

–5

5

Y

5 10–10 –5

x −1 −0,25 −0,1 0,1 0,25

y −0,25 −1 −2,5 2,5 1

10

0,25

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

Y

5 10–10 –5

x −12 −6 −3 3

y 0,5 1 2 −2

6

−1

12

−0,5

X

–1

–2

1

2

Y

1 2–1–2


276

10. F

unci

ones

© grupo edebé

50. a) Si representamos por y el área del cuadriláte-ro, la expresión algebraica es y = 2 x + 8.

b)

c) Según la gráfica, la antiimagen de 13 es x = 2,5.Si consideramos la fórmula, obtenemos 13 == 2 x + 8. Por lo tanto, x = 2,5.


¡A la piscina!

El nadador más rápido siempre será el que acompañeal resto al otro lado de la piscina y regrese con el flota-dor. De esta manera, tardarán 8 + 2 + 5 + 2 + 3 = 20 mi-nutos, suponiendo que puede nadar siempre al mis-mo ritmo.

Suelo embaldosado

Si consideramos el suelo embaldosado como unosejes cartesianos, siendo el lado más largo x y el ladomás corto y, la diagonal trazada en el suelo represen-

ta la siguiente función: .

La línea corta el vértice de una baldosa cuando x e ysean números naturales. Esto equivale a hallar los va-lores de x entre 0 y 50 que son múltiplos de 5 (que son11). Por lo tanto, la diagonal atraviesa 11 vértices debaldosa.

Las tres edades

Edad de la sobrina: x

Edad del padre: y

Edad de la tía: z

Planteamos matemáticamente las condiciones:

Tenemos que . Como z está com-

prendido entre 46 y 49, probando valores, obtenemosque x = 12; y = 36; x = 48.

El taller de confección

Cada hora se confeccionan manteles.

Desde las ocho a las dos de la tarde, descansandomedia hora, transcurren 5,5 horas; por lo tanto, en estetiempo se confeccionan 5,5 · 4 = 22 manteles, que su-mados a los ocho que ya había dan un total de 30.

Evaluación

1. Tabla de valores:

Fórmula: y = 100 x

2. La variable independiente son los minutos que sedeja abierto el grifo, x, y la dependiente son los li-tros de agua que han manado: y = 12 x.

3. La imagen de −4 es f (−4) = −9,y la de 2, f (2) = 3.

La antiimagen de −3 es −1, y la de 5 es 3.

4. Tabla de valores:

20 8

34

− =

xz

yz= =

4

3

4;

y z y x z y x y z

z y x y y x x

− − = + − ⇒ − + =

+ − = + − + ⇒

( ) ( )

( ) ( )

3 2 0

xx y z+ − = 0

y x x= =30

50

3

5

x 0 1 2 3 4

y 8 10 12 14 16

20

Y

X

10

1 2 3 4

Número dehoras (x) 1 2 3 4

Distanciarecorrida (y) 100 200 300 400

X

10

0

20

0

30

0

40

0

3 421

Y

Horas

Distancia(km)

x −2 −1 0 1 2

y 2 1 0 −1 −2

3

−3


277

10. F

unci

ones

© grupo edebé

La pendiente de la recta es m = −1

5.

La constante de proporcionalidad inversa es −3.

6. — Los beneficios son crecientes en junio, sep-tiembre, octubre y noviembre, y son decrecien-tes en agosto y diciembre. El máximo benefi-cio se alcanzará en noviembre y el mínimo enagosto.

Y

1

1

X

x −3 −2 −1 1 2

y 1 1,5 3 −3 −1,5

3

−1

X

–1

–2

–3

–4

1

2

3

4Y

–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5


279

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

11. Estadística

Actividad inicial

Pueden llevar a cabo una representación gráfica de losdatos, elaborando un histograma o diagrama de barras,por ejemplo.

El medio que goza de mayor audiencia es la televisión,

con un del total de las horas sema-

nales dedicadas a los medios de comunicación.


• Encuesta: investigación para saber algo por interro-gación, audición de testigos, etc.; para recoger elparecer, la opinión… de diferentes personas sobreuna cuestión.

Frecuencia: repetición reiterada y a cortos interva-los de un acto o suceso.

Estadística: ciencia que tiene por objeto recoger,clasificar y contar hechos de un mismo orden.

•

•

•

•

• El 3.

Actividades

1. a) La población son los trabajadores de la em-presa y la variable, su deporte preferido.

b) La población son las distintas clases del cen-tro y la variable estadística, el número de alum-nos de cada una.

c) La población está formada por las bombillas yla variable es su duración.

d) La población son los estudiantes del centro yla variable estadística, su grado de satisfac-ción.

2. a) Cualitativa.

b) Cuantitativa discreta.

c) Cuantitativa continua.

d) Según cómo se formule la pregunta, puede sercualitativa o cuantitativa.

3. a) Discreta

b) Continua.


a) 25 alumnos escogidos al azar.

b) Color del pelo; lugar de nacimiento; sexo.

c) Estatura y peso.

d) Número de hermanos y número de televisoresen su casa.

5. a) Incorrecto. Buscar una muestra más represen-tativa.

b) Incorrecto. Plantear una pregunta mas concre-ta.

c) Incorrecto. Buscar una muestra adecuada.

d) Incorrecto. Buscar una muestra idónea de per-sonas que lo utilicen.

e) Incorrecto. No se ha de mostrar la opinión delencuestador y el resultado puede verse altera-do por el momento en que se realiza.

6. a) Si la empresa no es muy grande, no hace faltaescoger una muestra. Se puede llevar a cabouna encuesta a todos los trabajadores.

b) No hace falta coger una muestra. Se puedenobtener los datos de la secretaria del centro.

c) Obligatoriamente hay que elegir una muestracogiendo bombillas al azar.

6475 16

1001036

5

125100 4

⋅=

= %

5

70 7143 71 43

2

30 6667 66 67

13

150 8667

= ⇒

= ⇒

=

, , %

, , %

, ⇒⇒ 86 67, %

2 97

8 73100 34

,

,%⋅ =

�Solucionario

Y

X

(3, 8)

(4, 4)(1, 3)

(5, 0)

50° 165°


280

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

d) No hace falta coger una muestra. Se puedeefectuar una encuesta a todos los alumnos.

7. El método más adecuado es el c, ya que es el quemás se aproxima a una muestra representativa detoda la población.

8.

9.

a) 6 alumnos; b) 24 alumnos; c) 5 alumnos.

10. Llamamos x a la frecuencia absoluta del valor po-cas, y a la del valor bastantes y z a la del valor mu-chas.

La frecuencia absoluta del valor pocas es 5, ladel valor bastantes es 15 y la del valor muchases 10.

11.

x y z x y z

xx

yy

1 3 2 1 3 2

30

65

15 1 5 5

35

= = =+ ++ +

= =

= ⇒ = ⋅ =

= ⇒ == ⋅ =

= ⇒ = ⋅ =

3 5 15

25 2 5 10

zz

Deportepreferido

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Porcentaje

Baloncesto 4 0,16 16 %

Natación 10 0,4 40 %

Fútbol 6 0,24 24 %

Voleibol 5 0,2 20 %

25 1 100 %

Resp.correctas

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

10

3 3 3 0,1 0,1

1

4 3 6 0,1 0,2

30

5 9 15 0,3 0,5

0,0333

6 6 21 0,2 0,7

1

7 4 25 0,1333 0,8333

8 3 28 0,1 0,9333

9 1 29 0,0333 0,9666

Sumaobtenida

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

9

2 4 4 0,08 0,08

4

3 5 9 0,1 0,18

37

4 4 13 0,08 0,26

0,08

5 5 18 0,1 0,36

0,74

6 7 25 0,14 0,50

7 5 30 0,1 0,60

8 3 33 0,06 0,66

10 4 41 0,08 0,82

11 5 46 0,1 0,92

12 4 50 0,08 1

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Suma obtenida

Diagrama de barras

Suma obtenida

Frec

uenc

ia a

bso

luta

acu

mul

ada

Diagrama de frecuencias acumuladas


281

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

12. 0,44 � 360 = 158,4

0,33 � 360 = 118,8

0,14 � 360 = 50,4

0,064 � 360 = 23,04

0,022 � 360 = 7,92

0,004 � 360 = 1,44————360

13.

14. Calculamos el consumo medio bimensual:

Por lo tanto, el consumo medio mensual será

.

15. Llamamos n a la nota que ha de sacar en la terce-ra prueba. Tenemos:

Tendría que sacar una nota de 7,4.

16. 16,1579; 14 y 15; 11

16,3; 14, 15 y 20; 11 y 22

17. a)

b) Media aritmética:

x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

=

20 1 28 2 30 5 35 10 36 2

20

32 4,

5 3 5 3

36 7 4

, ,,

+ + = ⇒ =nn

35 67

217 83 3,

,= m

x = + + + + + =29 50 28 41 29 37

635 67,

Suma obtenida

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Polígono de frecuencias

Revista14%

Radio6,4%

Exterior2,2%

Cine0,4%

Diarios33%

Publicidad TV44%

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1985 1990 1995 2000 200419801975 Tiempo

España

Tasa

de

fecu

ndid

ad

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1985 1990 1995 2000 200419801975 Tiempo

Francia

Tasa

de

fecu

ndid

ad

0,5

1

1,5

2

2,5

3

1985 1990 1995 2000 200419801975 Tiempo

Suecia

Tasa

de

fecu

ndid

ad

1975 19851980 1990 1995 2000 20040

0,5

1

1,5

2

2,5

3

España Francia SueciaTa

sa d

e fe

cund

idad

3635302820N.º Abdominales

210521Frecuencia absoluta

2018831Frecuencia absolutaacumulada

0,10,50,250,10,05Frecuencia relativa

10,90,40,150,05Frecuencia relativaacumulada


282

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

Moda = 35

Mediana = 35

C1. 2,08; 20,11

18. Sólo es necesario buscar un contraejemplo. Eneste caso, por ejemplo, si la lista de valores es ladel ejercicio C1, vemos que la suma de las fre-cuencias relativas es 1, mientras que el númerode datos es 25.

19. Si no se cuentan las abstenciones, los votos enblanco y los nulos, la afirmación es falsa. En casocontrario, es cierta.

En resumen

Población; muestra; absoluta, relativa, absoluta acu-mulada, relativa acumulada.


20. Sería conveniente tomar una muestra en el estu-dio estadístico sobre el nivel cultural de los habi-tantes de un país y en el estudio sobre el lugarpreferido por los españoles para pasar las vaca-ciones porque, en ambos casos, la población esexcesivamente grande para entrevistarla a toda.

21. a) La población son los alumnos de Bachillerato.Puesto que la población es pequeña no es ne-cesario seleccionar una muestra.

b) La población son los estudiantes de ESO de laprovincia. En este caso es necesario seleccio-nar una muestra.

c) La población son los españoles. En este caso,se debe elegir una muestra.

d) La población son los jugadores del equipo defútbol. Puesto que la población es pequeña noes necesario seleccionar una muestra.

22. a) Falsa; b) falsa; c) cierta; d) cierta.

23. Aparecen cuatro variables estadísticas: tempera-tura máxima en Murcia, temperatura máxima enMadrid, temperatura máxima en A Coruña y tem-peratura máxima en Ávila.

Respuesta sugerida:

La temperatura máxima ha aumentado desde1930, más para Murcia, Madrid y Ávila que paraA Coruña. Además, la temperatura máxima deMurcia es superior a la de las otras tres pobla-ciones.


a) Diagrama de barras; b) diagrama de sectores;c) cartograma; d) diagrama evolutivo.

25. a) Treinta alumnos.

b) Cinco. Lo han obtenido el 23,3 % de la clase.

c)

26. Llamamos x a la frecuencia absoluta del valor SÍy llamamos y a la frecuencia absoluta del valorNO.

27. a)

b)

28. Población: España; Variable estadística: númerode ventas de los distintos medicamentos que secomercializan en España.

Verdadero; verdadero, ya que es el que alcanzaun mayor número de ventas (24,6 millones de uni-dades); falso, ya que el más utilizado es el ácidoacetilsalicílico, y además, la amoxicilina es un an-tibiótico, no calmante.

x y

x y

x

y

+ =

=

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

140

2

5

40

100

11

30100 36 67= , %

Respuesta Frecuenciaabsoluta

SÍ 40

NO 100

43210N.º de películas





0 1 2 3 4Número de películas

Frec

uenc

ia a

bso

luta

acu

mul

ada

0

2

4

6

8

10

12


283

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

29.

Moda: abril; media: 27 nacimientos/mes.

31.

Las amplitudes de los sectores serán:

0,08 � 360 = 28,8

0,1 � 360 = 36

0,14 � 360 = 50,4

0,1 � 360 = 36

0,08 � 360 = 28, 8

0,04 � 360 = 14,4

0,06 � 360 = 21,6

0,14 � 360 = 50,4

0,08 � 360 = 28,8

0,1 � 360 = 36

0,08 � 360 = 28,8

Media aritmética: 6,89; bimodal: 4 y 9; mediana:6, 5.

32. Calculamos la media aritmética:

La media aritmética de la edad de los concursan-tes es 21,4 años.

33. A partir de los datos obtenidos, cada alumno/aconstruiría una tabla de distribución de frecuen-cias, un diagrama de sectores y la media aritmé-tica, de manera similar a como resolvieron la acti-vidad 31.

x años= ⋅ + ⋅ =222

521

3

521 4,

Mes denacimiento

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

Enero 20 20 0,0615 0,0615

Febrero 30 50 0,0923 0,1538

Marzo 10 60 0,0308 0,1846

Abril 50 110 0,1538 0,3384

Mayo 25 135 0,0769 0,4153

Junio 30 165 0,0923 0,5076

Mes denacimiento

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

Agosto 45 230 0,1385 0,7076

Diciembre 25

Julio 20 185 0,0615 0,5691

325 0,0769 1

Septiembre 10 240 0,0308 0,7384

Octubre 25 265 0,0769 0,8153

Noviembre 35 300 0,1077 0,923

DatoFrecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

9

2 4 4 0,08 0,08

7

3 5 9 0,1 0,18

37

4 7 16 0,14 0,32

0,14

5 5 21 0,1 0,42

0,74

6 4 25 0,08 0,5

10

7 2 27 0,04 0,54

4

8 3 30 0,06 0,6

41 0,08 0,82

11 5 46 0,1 0,92

12 4 50 0,08 1

Datos

Frec

uenc

ia a

bso

luta

43

2

12

11

109

8

7

6

5

14%

8%

10%

8%

8%

10%10%

8%

4%

6%

14%


284

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

34.

35. Edad media: 43 años; moda: 59 años; mediana:43,5 años.

36.

342728 : 4 = 85682 espectadores diarios de media.

37. Puesto que los datos están ordenados y la me-diana es .La moda de la serie estadística es .

38. A partir de los datos obtenidos, cada alumno/aconstruiría una tabla de distribución de frecuen-cias y un diagrama de barras, de manera similar acomo resolvieron la actividad 27.

— No sería adecuado un cartograma puesto queno hay referencias geográficas ni de posiciónespacial.

39. a) Calculamos la media aritmética:

b) Al sumar 2 unidades a cada uno de los datosobtenemos la siguiente serie 5, 7, 4, 6, 8, 10, 9.

Se observa que la media aritmética ha aumen-tado 2 unidades.

c) Al multiplicar por 3 cada uno de los datos ob-tenemos la siguiente serie: 9, 15, 6, 12, 18, 24,21.

Se observa que la media aritmética ha queda-do multiplicada por 3.

40. Llamamos x a la media aritmética de los últimoscinco corredores.

La media aritmética de los cinco últimos corredo-res es 1,5 h; es decir, 1 h 30 min.

41.

a) Verdadera.

b) Falsa; ya que son 9 los alumnos que han obte-nido dicha puntuación.

c) Verdadera.

42. Búsqueda de información en la página del INE.

20 1 25 5

20 51 3

25 5 25 1 3

1 5

⋅ + ⋅+

=

+ ⋅ = ⋅

=

,,

,

,

x

x

x

x = + + + + + + =9 15 6 12 18 24 21

715

x = + + + + + + =5 7 4 6 8 10 9

77

x = + + + + + + =3 5 2 4 6 8 7

75

7 7⇒ =b5 5⇒ =a

50

40

30

20

10

A pie 29% Autobús 25%

Metro 9%

Coche 21%

Medio de transporte

Medio de transporte

Medio de transporte

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Aut

obús

A p

ie

Bic

icle

ta

Mot

o

Coc

he

Met

ro

Aut

obús

A p

ie

Bic

icle

ta

Mot

o

Coc

he

Met

ro

Aut

obús

A p

ie

Bic

icle

ta

Mot

o

Coc

he

Met

ro

Pictograma

Diagrama de sectores

Polígono de frecuencias

Diagrama de barras

Moto3%

Bicicleta13%

50

40

30

20

10

50

40

30

20

10

EspectadoresFrecuenciaabsoluta

acumulada

Primer día 92 341 92 341

Segundo día 81 429 173 770

Tercer día 85 031 258 801

Cuarto día 83 927 342 728

97654Puntuación






285

11. E

stad

ístic

a

© grupo edebé

43.

El mayor saldo vegetativo se registró en 1975, y elmenor en 1995.


¿Dónde hay más bosque?

Según datos del INE:

A. del Sur: 66,5 % de 17 833 382 = 11 859 199

Europa 43,5 % de 10 396 839 = 4 522 624

Asia 32,5 % de 44 443 738 = 14 444 215

Por tanto, la respuesta es en Asia.

El agente censor

Es imposible, tiene que haber más hijos que padres,puesto que hay más chicos, todos con una hermana,y todos los padres tienen hijos.

Hay que saber leer las estadísticas

Tamaño pie. No. El estudio se llevaría a cabo proba-blemente sobre escolares y los niños más mayores,cuyos pies son más grandes, leen mejor que los me-nores, con pies más pequeños.

Accidentes. No. Se usa el coche más por los alrede-dores de casa

Políticos. No. A no ser que todos cobren exactamen-te lo mismo.

Señal. Puede haber lugares en el río en que la profun-didad sea muy grande.

Todo es relativo

El concepto mucho/poco es relativo.

Evaluación

1. Son cualitativas el color de los ojos y la nacionali-dad. Son cuantitativas el año de nacimiento, la es-tatura y el número de páginas de un libro.

2.

a) 14,3 %

b) 50 %

c) 14,3 + 19 = 33,3 %

3.

4. a)

El valor de a es 14.

b) Moda. Existen dos modas: 11 y 13.

Mediana. Hay dos datos centrales, 12 y 13.

La mediana es 12,5.

12 13

212,5

+ =

11 3 12 2 13 3 2

3 2 3 212 4

96 2

1012 4

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +

=

+ = ⇒

a

a

,

, aa = 14

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

300 000

350 000

400 000

1985 1990 1995 2000 200519801975años

Cre

cim

ient

o ve

geta

tivo

Año Saldo vegetativo

1975 379 276

1980 281 674

1985 143 766

1990 68 283

1995 17 242

2000 38 484

2005 79 016

54321Resultado

67588Frecuenciaabsoluta

14,316,7121919Frecuenciarelativa (%)

81

6

8

19

10066,7503819Frecuenciarelativaacumulada

Industria

Construcción

Comercio

Servicios

52%

8%

26%

14%


287

Eval

uaci

ón d

e co

mpe

tenc

ias

© grupo edebé

Evaluación de competencias

1. a)

El jugador 2 es el que llega antes a recoger lacaja.

b) El otro jugador se encuentra a 13 pasos de lacaja.

2. —

La masa de la Tierra es 81 224,5 veces mayorque la de la Luna.

—

La masa de la Luna es un 0,00123 % de lamasa de la Tierra.

3. Tejanos: 40 − 0,15 · 40 = 34 ∑

Camisas: 50 − 0,2 · 50 = 40 ∑

Los tejanos valen 34 ∑ y las camisas, 40 ∑.

Unos pantalones y dos camisas costarán 114 ∑.

4. Podemos sumar los euros enteros y despuésañadirle aproximadamente el importe de los cén-timos.

5. a)

b)

c)

El mejor precio es el del agricultor c).

6. b) y c) son necesariamente ciertas y d) es necesa-riamente falsa.

7. El joven va a una velocidad de 2 m/s y la cintatransportadora va a 1 m/s. Cuando la cinta fun-ciona, el joven avanza a 3 m/s. Por lo tanto, tarda-rá 10 segundos en recorrer los 30 m.

8. Hallamos la fracción de chicos que hay:

Llamamos x a los alumnos de clase:

El grupo está formado por 30 alumnos.

9. Calculamos la parte que le queda por recorrerpara llegar a la tercera parte del trayecto:

Llamamos x a la distancia buscada:

La distancia entre la escuela y la biblioteca es 300 m.

10. a) 2 + 10 · 0,3 + 10 · 0,5 =

= 2 + 3 + 5 = 10

La puntuación de una persona que ha acerta-do todas las preguntas es 10 puntos.

b) 2 + 10 · (− 0,05) + 10 · (− 0,15) =

= 2 − 0,5 − 1,5 = 0

La puntuación de una persona que se ha equi-vocado en todas las preguntas es 0 puntos.

c) 2 + 6 · 0,3 + 4 · (− 0,05) + 7 · 0,5 + 3 · (− 0,15) =

= 2 + 1,8 − 0,2 + 3,5 − 0,45 = 6,65

Ana ha obtenido 6,65 puntos.

2

1540

40 15

2300· x x= ⇒ =

⋅=

1

3

1

5

5

15

3

15

2

15− = − =

3

518

18 5

330· x x= ⇒ =

⋅=

12

5

5

5

2

5

3

5− = − =

3 75

250 15

,, /= ∑ kg

3

100 3= , /∑ kg

0 5

250 2

,, /= ∑ kg

7 35 10

5 97 10100 0 00123

22

27

,

,, %

⋅⋅

⋅ =

5 97 10

7 35 1081224 5

27

22

,

,,

⋅⋅

=

�Solucionario

Instrucciones

Jugador 1

Posicióninicial

Posiciónfinal






Retrocede 1 paso −11 −12

Instrucciones

Jugador 2

Posicióninicial

Posiciónfinal


Avanza 2 pasos 17 19


Avanza 1 paso 0 1

Retrocede 6 pasos 1 −5



288

Eval

uaci

ón d

e co

mpe

tenc

ias

© grupo edebé

11.

12. a)

b) Sí

13.

14. 1. Quitar paréntesis.

2. Trasponer términos.

3. Reducir términos semejantes.

4. Aislar la incógnita.

15. Sea x los años que han de pasar.

39 + x = 3 · (9 + x)

x = 6

Han de pasar 6 años.

16. Sea x la medida del lado del cuadrado.

El lado del cuadrado mide 2 cm.

17. Sea x la mensualidad.

La mensualidad es de 30 ∑

18. Un ángulo será x, el otro 3x y el tercero 4x + 20.Todos ellos suman 180º.

Por lo tanto, un ángulo mide 20º, otro 60º y el ter-cero 100º.

19. Sean x el precio del lápiz y x + 2 el precio del bolí-grafo.

Un lápiz vale 1 ∑ y un bolígrafo cuesta 3 ∑.

2 3 2 5 16

2 3 6 5 16

5 5

1

x x

x x

x

x

+ + + =

+ + + =

=

=

( )

x x x

x

x

+ + + =

=

=

3 4 20 180

8 160

20

x xx

x x x

x

3 25

2 3 30 6

30

+ + =

+ + =

=

( )x x

x x x

x

x

+ = +

+ + = +

=

=

3 21

9 6 21

6 12

2

2 2

2 2

Númerodecimal

Redondeohasta las

centésimasError absoluto

0,832 0,83 |0,832 − 0,83| = 0,002

2,479 2,48 |2,479 − 2,48| = 0,003

12,412 12,41 |12,412 − 12,41| = 0,002

10,057 10,06 |10,057 − 10,06| = 0,003

ExpresiónalgebraicaSerie

n1 2 3 4 5

3n3 6 9 12 15

3n + 14 7 10 13 16

3n + 25 8 11 14 17

20.Concepto Cálculos Importes

Eur

Potencia 4,4 kW × 1 × 1,461129 eur 6,43

Coste del consumo 272 kWh ×× 0,083007 eur 22,58

Subtotal 29,01

Impuesto sobre electricidad 29,01 eur × 1,05113 × 4,864 % 1,48

Alquiler equipos 1 × 0,54 eur 0,54

Base imponible 31,03

I.V.A. 16 % de 31,03 4,96

Total factura 35,99 Eur


289

Eval

uaci

ón d

e co

mpe

tenc

ias

© grupo edebé

21.

El romboide tiene dos ángulos de 80º y dos de100º.

22. a) Sea x la distancia que separa las dos ciuda-des.

Las dos ciudades están a 200 km.

b) Llegará a las 10 de la mañana.

23. Las soluciones son:

24. Sean x, y, z los ángulos del triángulo.

Los ángulos del triángulo miden 45º, 56,25º y78,75º.

25.

Percibirá 1920 ∑.

26.

Le han descontado un 15 %.

27. Cada familia pagará:

28. Calculamos lo que cobra en una hora:

Cobraría 114 ∑.

29. La maqueta mide 25,4 cm.

El coche mide 4 m y 57 cm.

30. 10 · 4 + 2 = 42

Juntándolas por el lado más pequeño, caben 42 personas.

10 · 2 + 4 = 24

Juntándolas por el lado más grande, caben 24 personas.

31. a)

La escala es 1:30.000 aproximadamente.

b) 10,5 · 30000 = 315000 cm

La distancia es 3,15 km.

c) El camino en el mapa tiene una longitud deunos 13,6 cm que equivalen a una distancia de 4,1 km.

Tardaremos 1,025 horas.

32. Se toma un punto arbitrario y se trazan semirrec-tas que tengan por origen ese punto y que pasenpor cada uno de los vértices del polígono dado. Apartir del punto deseado de una de esas semi-rrectas, se trazan paralelas a los lados del polígo-no original que corten las semirrectas formandolos ángulos del polígono semejante.

33. a) Sí, ya que 52 = 42 + 32.

b) Calculamos el perímetro del triángulo original:

Perímetro = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

El triángulo semejante tendrá un perímetro de12 · 3 = 36 cm.

34.

35. a) Sumamos las áreas de los distintos rectángulos:

2 · (0,3 + 0,5 + 0,2) +

+ 0,3 + 1 + 0,3 + 1 + 0,3 + 1 + 0,2 = 6,1

Se necesitan 6,1 m2 de madera.

f x x x x x( ) ( ) ( ) ,= − = − =2 4 0 862 2 2 2π π

4 1

41 025

,,= horas

1 13 6

4 1 1030 000

5xx=

⋅⇒ ≈,

,.

25 4 18 457 2, ,⋅ = cm

90

7 512

12 9 5 114

,/

,

=

⋅ =

∑

∑

h

168

143 36

168

144 48

168

147 84

⋅ =

⋅ =

⋅ =

∑

∑

∑

1001530

1800100 15− ⋅ =

2400 0 2 2400 1920− ⋅ =,

x y z

x

y

4 5 7

180

16

4 180

1645

5 180

1656 25

= = =

= ⋅ =

= ⋅ =

º

, º

zz = ⋅ =7 180

1678 75, º

x

y

= −

= −

2

4

x x

x x

x x

x

100 800 5

100

40

80

80 100 4000

20 400

= −

= −

= −

=

,

00

200x =

− + =

+ =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 5

2 2 360

100

80

x y x

x y

x

y


290

Eval

uaci

ón d

e co

mpe

tenc

ias

© grupo edebé

b) 6,1 · 4,25 = 25,925

Costará 25,9 ∑.

c) Sumamos los volúmenes de los tres prismas.

Volumen = 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1

El volumen es 1 m3.

36. 2º

37. a) Calculamos la diagonal:

Por tanto, el perímetro del triángulo será:

Perímetro = 100 + 80 + 60 = 240 cm

b) Será la mitad del área del rectángulo:

Área =

38. a) Calculamos la altura de la pirámide:


b) Calculamos el área de una cara y multiplica-mos por las cuatro caras:

39. a) Constante de proporcionalidad k = 2

Expresión algebraica: y = 2x

b)

c) Por (20, 40) sí pasa. Por (30, 50) no pasa.

40. a) y = x

b)

c)

d) y = −x

41. a) Si x es la distancia recorrida, tenemos:

b)

Consumirá 18,75 litros.

42. a) Al final del segundo cuarto.

b) España 50 / Croacia 40

c) España 84 / Croacia 85

43. a) El color favorito de los clientes es el blanco.

b) Un 4 % de los coches vendidos son verdes.

c) Diagrama de barras.

d) Tabla de distribución de frecuencias:

y = ⋅ =7 5 250

10018 75

,,

yx= 7 5

100

,

y x= 1

2

y x= 1

3

Área cm= ⋅ ⋅ =5 11

24 110 2

Volumen cm= ⋅ =5 10 71

389 27

23,

,

h cm= − =11 2 5 10 712 2, ,

60 80

22400 2⋅ = cm

d cm= + =60 80 1002 2

x 50 100 150 200

y = f(x) 100 200 300 400

3632282420

1612

840

Blanco Negro Gris Rojo Verde OtrosColores

Frec

uenc

ia a

bso

luta

Color Frecuenciaabsoluta

Frecuenciaabsoluta

acumulada

Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

acumulada

Blanco 32 32 0,32 0,32

Negro 28 60 0,28 0,6

Gris 8 68 0,08 0,68

Rojo 20 88 0,2 0,88

Verde 4 92 0,04 0,92

Otros 8 100 0,08 1


CRESO_07_BioyGeo_3ESO-CAS 10/5/07 15:01 P�gina 1

3

CA

RP

ETA

DE

RE

CU

RS

OS

ed

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ESO

Bio

logí

a y

Geo

logí

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Nat

ural

eza

edebé

CARPETA DE RECURSOS 3ESO

Biología y GeologíaCiencias de la Naturaleza

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